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Beitrge zur Theorie der geometrischen Elektronenoptik.

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926
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
B a i t r a g e xur T?eeor%e
der geornetrischert E l e k t v o m m o p t i k
Tote J o h u r m a s Pichi?
(Mit 2 Figuren)
I n h a l t : 1. Die Grundgleichungen der Elektronenstrahlen. i j 2. Die Potentialfunktion 'p = 'p ( Q , 2). - 8 3. Die Differentialgleicliung
der paraxialen Elektronenstrahlen. - $ 4 . Anwendung von (18) [§ 31 auf
eine spezielle einfache Potentialverteilung. - § 5. Umformung der Differentialgleichung (18) [$ 31. - 8 ti. Die zugehorige R i c c a t i s c h e Differentialgleichung.
8 7. Integration der Differentialgleichung (22) 51
durch Reihenentwieklung. - $j 8. Integration der Differentialgleichung
(18) [$ 31 durch Iteihenentu icklung. - 3 9. Weitere Umformung der
Differentialgleichung (18) [# 31 fur den Fall, aus bekanntem e = 4 ( 2 )
die Funktion @ = 0):( zu berechnen. - 8 10. Integration von (35) [9: 91
durch Reiheneutwicklung. - 9 11. Ausfuhrung der Integration fur einige
spezielle FBlle. - 12. Die partiellen DiEerentialgleichungen der Elektronenoptik. - 5 13. Einige elektronenoptische Folgerungen aus (17 [# 31.
- S 14. Zwei Fundamentalstrahlen. - S; 15. Berechnung der zu einer
vorgegebcnen Brennweite gehorigen Potentialverteilung. - § 16. An-
[s
-
s
genaherte Bestimmung der Rrechkraft einer gegebenen Potentialverteilung. - i j 17. Brechkraft einer Beihe aufeinanderfolgender Medien
von verschiedeneni Brechungsindex, verschieden gekriimmten Begrcnzungsflgchen und gleicher, sehr kleiner Mittendicke. - 8 18. Rerechnung der Lage zweier (spezieller) konjugiertcr Punkte und des VergrijBerungsverhaltnisses in ihnen in1 AnschluB an G u l l s t r a n d s ,,Die
optische Abbildung in heterogenen Medien . . .'(
$ 19. Berechnung
der Brechkraft und der Lage der Hauptpunkte nnter Benutzung der
Ergebnisse des vorigen Paragraphen. - 8 20. Berechnung der Brechkraft und der Lage der Hauptpunkte im AnschluB an G u l l s t r a n d .
-
I n verschiedenen i n der letzteii Zeit erschienenen Brbeiten') ist experinlentell gezeigt worden, daB auf die Elektronen und auf Elektronenstrahlenbundel die Gesetze der geometrischen Optik angewandt werden konnen. Als elektronenoptische ,,Linsen" und ,,Spiegel" dienen hierbei magnetische
oder elektrische Felder. Nur mit elektrischen Linsen wollen
wir uns in dieser hrbeit beschaftigeu. Das Eigentumliche
dieser Linsen ist - und darin unterscheidet sich die Elek1) z. B. 31. K n o l l u. E. R u s k a , Ann. d.Phys. [5] 12. S. 607. 1932;
E . B r i i c h e , Naturw. 20. S. 49. 1932; E. B r i i c h e u. H. J o h a n n s o n ,
Naturw. 20. S. 353. 1932.
J . Pickt. Beitrage
2.
Theorie d. geornetrischen Elektronenopiik '32.7
tronenoptik von der ill cler Praxis nzeist benutzten Lichtoptik
-, daB es sich hier um Linsen mit ortlich variableni Brechungsindex handelt. Es gibt indessen - worauf schon wiederholt
hirigewiesen wurde - auch in der Lichtoptik Linsen mit ortlich und zeitlich variablem Brechungbindex, namlich z. B. die
Linsen des menschlichen oder tierischen Buges. Und auch
die Theorie dieser ,,inhoniogenen" Medien ist schon verhaltnismiiDig weit entwickelt worden'), so daB es naheliegt, jene
Theorie auf die Elektroiienoptik zu ubertragen.
5 1. Die Grundgleichungen der Elektronenstrahlen
Die von der Kathode ansgehenden Elektronen erfahren
durch die zwischen Anode und Kathode liegende Spannung E
eine Beschleunigung. Nach Durchlaufen der Spannung E besitzen sie so die Geschwindigkeit q,, die sich aus E und der
Masse m der Elektronen nach der Bekannten Formel i-rn go2=
e E berechnet. Durchlaufen die Elektronen nun ein weiteres
Potentialgefiille y = 9 (p, z)? wo z die Portpflanzungsrichtung
der Elektronen bzm. die Achse des Elektronenstrahlenbiindels
ist, so gilt:
.
und andererseits
5 2.
Die Potentialfunktion
'p
= 'p (4,z)
Hr. Prof. v. L a u e , der niich zu dieser Arbeit anregte, und
dem ich fur diese Anregung herzlich danke, machte mich
darauf aufmerksam, daB zwischen den Werten y (p, z) des axialsymmetrischen Potentials an der Stelle (0,z) und den Werten
'p (0,z) = 0 (2) dieses Potentials an den Stellen (p = O.z), d. h.
auf der Achse eine einfache Beziehung besteht. Denken wir
uns namlich cp (0,z) = 0 (2) in ein Po u riers c h e s Integral umgeformt, also
1) L. Herman.n, Pfliigers Archiv f. d. ges. Physiologie 27. S. 310.
1882; L. M a t h i e s s e n , Pfliigers Archiv f. d. ges. Physiologie 32. s. 101.
1883; A. G u l l s t r a n d , Kungl. Svenska Vetenskapsakademiens Handlingar 43. Nr. 2.
60 '::
928
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
(4)
+=
y (0, 2) = @ ( 2 ) = 7l S a k w a l i ,
-m
wo
+m
-co
ist, so ist
+m
(6)
T (!h 2) = -[ak J , (i k 0) ei
rc
ak,
--m
wo J,!i k e) die vom Argument i k p geiiommene Besselsche
Funktion 1. Art und nullter Ordnung ist.
DaB sp(p,z) der Laplaceschen Gleichung A T = 0 geniigt, erkennt man sofort, wenn man beachtet, daB
ist, und dal3 nach bekannteii Formeln iiber Besselsche Funktionen
(7)
(8)
ist.
d ,To ($1
-- - J , (6)
d f
Jo-(5)
-d 2=
d <A
J,
(E) + $ 4 (8
Entwickeln wir jetzt sp (9,x) nach Potenzen voii p, so erhalten mir zungchst wegen der axialen Symmetrie
Beachtet man nun die obeu angegebenen G1. (4)-(6),
so leitet man leicht ab, da
daB
Setzen wir dies in (9) ein und schreiben wieder y(0,z)=
@(z), so erhalten wir
.7. Picht. Beitrage
2.
Theorie d. geometrischen Ebktronenoptik 929
1st die Aufgabe gegeben, die fur eine bestimmte ,,Linsenwirkung" erforderliche Verteilung q (g, x ) zu berechnen, so lafit
sich diese Aufgabe demnach auf die einfachere zuriickfuhren,
die Funktion @p)zu bestimmen. Es ist dann nur notwendig,
etwa unter Benutzung der G1. (11) den Wert von s p ( ~ , x ) fur
hinreichend von der Schse entfernte Punkte (Q $. 0,x) zu berechnen und dafur zu sorgen, daW an diesen Stellen das wirklich vorhandene Potential mit dem errechneten ubereinstimmt.
1st diese ubereinstimmung erzielbar oder erzielt, so ist demnach auch der Potentialverlauf im ganzen Feld eindeutig gegeben; insbesondere das errechnete @ (2) praktisch vermirklicht.
P ur spatere Zwecke merken wir uns im AnschluW an (lo)
gleich noch einige spezielle Formeln. Es ist fur p = 0:
(j 3. Die Differentialgleichung der paraxialenElektronenstrahlen
Wir kehren zu den G1. (1) und (3) zuruck.
in (3) den Wert von sp aus (11) ein, so wird
Setzen wir
Beschranken wir uns auf kleine UTerte von Q, also auf
,,ParaxialstrahlenLL,so konnen wir die hoheren Glieder der
Reihenentwicklung vernachlassigen und erhalten
-
[ Q (Q,4 0 (4
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
930
a
BuRerdem gilt hier -3at
<rlt
d2
also nach (1):
(l6*)
Bus (16") und (16) folgt dann nach einigen Umformungen:
(18) ksnn bei vorgegebener axialer Potentialverteilung
aufgefaBt werden als Differentialgleichung fur p = Q (2) zur Restimrnung der Bahn der paraxialen Elektronenstrahlen. Und
umgekehrt kann (18) als Differentialgleichung fur c
4( 2 ) angesehen werden, die es gestattet , die Potentialverteilung zu
berechnen, die notwendig ist, damit ein bestimniter durch
Q = Q (4 gegebener Verlauf der paraxialen Elektronenstrahlen
vernirklicht w i d .
4. Anwendung von (18)
auf eine spezielle einfache Potentialverteilung
Als Reispiel der ersten Fragestellung behandeln wir den
speziellen Fall, da8
@(z)= A
B2
ist. Dann vird, da
+
(19)
y ((44
= '4
+B
unabhangig von Q, d. h. wir haben eine Potentialverteilung,
wie sie etwa zwischen zwei hinreichend groBen Kondensatorplatten besteht.
Setzen wir diese Werte in (18) ein, so ergibt sich nach
Liisen der Differentialgleichung, wenn noch die Snfangsbedingungen an der Stelle x = z,, durch
gegeben sind:
J . I'icht. Beitrage z. Thporie d . geometrischen Elektronenoptik 931
giiltig fur Paraxialstrahlen.
F u r den behandelten Spezialfall lassen sich die G1. (1)
und (2) auch ohne die - fur die Paraxialstrahlen berechtigten
- TTernachliissigungen streng losen. Es ergibt sich dann:
(2043
1I"":
=
PO+
2 ( E - A - Bz,)
__ B
.{I--
COSE V o
1 / E X C - B Y B (z - z,) tga mo
~- _}Quo.
Y E - A - Bz,
~
Fur Werte von uo, f u r dj,e cos2 cto = 1; tg2 a, = 0 gesetzt
werden kann, besteht also Ubereinstimmung zwischen (209
und den oben gegebenen Formeln (20). Der Unterschied
zwischen den Formeln (20) und (20*) ist durch die ,,spharische Aberration" des ,,geschichteten Mediums" bedingt. Wir
konuen das geschichtete Medium, d. h. die durch (19) gegebene
Potentialverteilung als elektronenoptisches Analogon eines
Satzes von hintereinander gestellten Glasplatten (der Lichtoptik) auffassen, deren Brechungsindices von Glasplatte z u
Glasplatte (etwas) verschieden sind. Erstreckt sich z. B. die
Potentialverteilung (19) von x = 0 bisz = 1, wiihrend vorher
nnd nachher das Potential konstant istl), und gehen die Elektronenzahlen von einem Punkte x < 0, p = 0 Bus, so errechnet
man aus den Formeln (203 leicht, daB sie nach Durchlaufen
des Potentialgefalles herzukonimen scheinen von einem Punkte
-
2
[ ( E - A ) 6082 Uo B
-
I) Eine solche Potentialverteilung l%Btsich ,ja Ieiclit experimentell
veuwirklichen.
952
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
wofiir wir mit der Bezeichnung ( E - A ) cos2 oco = Da auch
schreiben konnen:
F ur die Paraxialstrahlen erhalten wir dagegen unter Benutzung der Formeln (20) fur den scheinbaren Ausgangspunkt z' mit E - A = D :
Der Unterschied zwischen den beiden Formeln fur 2' gibt
die ,,spharische Langsaberration" dieses speziellen Falles.
1st tg go= 0, trifft also der Elektronenstrahl 1 auf das
,.geschichtete Nedium", so bleibt p = po, d. h. der Elektronenstrahl geht ungebrochen durch das ,,Medium" hindurch.
5 5.
Umformung der Differentialgleichung (18)
G1. (18) 1d3t sich ubrigens noch wesentlich vereinfachen.
Wir schreiben diese Gleichung zunachst folgendermaBen :
Fuhren wir jetzt eine neue Variable P ein durch
so gilt fur P = I'(z) die Differentialgleichung
d
2
ist. Hier ist
F ( z ) = E - @ (4 *
(24)
Aus (23) folgt ubrigens, daD hjz) im ganzen Bereich voii
2 stets 2 0 sein muB.
J . I'icht. Beitrage z. Theorie d . geometrischen Ekktronenoptik 933
§ 6. Die zugehgrige Riccatische Differentialgleichung
1st jetzt @(z) (und E = const), also auch F ( z ) und demnach nach (23) h(z) gegeben, so la& sich nach (22) P = P(z)
und nach (21) g = g ( z ) berechnen. Die G1. (22) 1af3t sich nun
noch umformen. Wir konnen dafiir schreiben:
P'
P"
-=-.--P
P
Wir denken uns
P' - (log F)'.
(log P).= - h .
P
- h = - h(z) in
k*\Z).
zerfBllt derart, da8
zwei Faktoren
k ( 2 ) = - h(2)
log Y'= J k*(z)d x ,
logP =[k(z)dz.
Dann wird
(25*)
pi= e . f k * ( z ) d z .
y = fh(z)czz
und demnach
P'= k(2)efk ( z ) d z - fh * ( z ) d z '
also
logk(2) + [ k ( ~ ) d z= [ k " ( z ) d ~
und durcli Differenzieren
(25)
k' (2) + k2 (2) + h (x) = 0 .
Dies aber ist die R i c c a t i sche Diff'erentialgleichung. Bestimmt man aus ihr die Funktion k = k(zl, so ergibt sich
P = P(z) ails der zmeiten der Gleichungen (25*) und Q = g (zj
BUS (21).
Die G1. (25) ist nur unter gemissen. stark einschriinkenden
Bedingungen in geschlossener Form losbar.') 1st ein partikuliires Integral k, (z) von (25) bekannt, so ergibt sich das
vollstandige Integral aus
1) Vgl. z. B. 1,. Bieberbach, Theorie der Differentialgleichungen,
S. 23; E. Madelung, Die mathemntischen Hilfsmittel des Physikers,
S. 70.
Awnalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
934
KO
= v(z) die Differentialgleichung
fur
rl v
dz
gilt, also
(x)= (
I
.
f 2. ~
- 2 k,
( 2 ) * 21
A ( 2I ) d 2 + e?./'A
(4 = 1
I (2)d
~
.b
- zJ/
I (21 d
3 7. Integration der Differentialgleichung
.
d
(22)
durch Reihenentwicklung
I m allgemeinen Fall lnBt sich (22) in Reihendarstellung
00
losen. indem man fur P = P(x) den Snsatz P(x)= C a i z 7 ,
n
und
h(x) nach
ebenso
Potenzen von x entwickelt, also
m
h(x) = C b , z ' .
Man erhiilt dann fur die Koeffizienten aj der
0
unbekannten Funktion
P = P(x) die Rekursionsformel
mo also as0 und a, - entsprechend den zwei bei der Integration von (22) auftretenden Konstanten - beliebig aiihlbar
sind und den Anfangsbedingungen angepafit Terden konnen.
Speziell liefert (26) also:
( a,, a, beliehig
a2 =
1
- -a,
2
1 .
b,
1
1
[ a 4 = - l ~ ( a , ~ o + a l b , + a , ~ , ) =7 p o h o 2 - z(a,b,+a,,b,).
1st speziell h, = 0, so sind wieder a, und a, beliebig, wiihrend
sich aus den Formeln (26) und (26a) a2 = 0 ergibt. I m
iibrigen bleiben die Bormeln (26), (26 a) unverandert.
Fur grofie Werte von x - bzw. in grofierer Entfernung
ron den Hauptpunkten (vgl. 8 13) - wird es vorteilhaft sein,
die Funktionen h(z) und P(x) nicht nach steigenden, sondern
nach fallenden Potenzen von z [bz-iv. von (x zH) = <] zu
-
W
entwickeln.
Machen wir also den Snsatz P
=
C a_, 2 - i ;
0
J . Picht. Beitrage x. Theorie d . geometrischen Elektronenoptik 935
m
P
h = Cb-ix-i,so wird 2'" = Ci(i+ 1)a-iz-ci+2).
0
Durch
0
O-Setzen der Koeffizienten von z - i in Y" + h P = 0 erhalten
wir dann wieder eine Rekursionsformel fur die a-;. Dabei
haben wir aber einige Sonderfalle zu beachten. 1st b,
0.
so liefert unser Ansatz nur die triviale Losung a_, = 0, also
JJ= 0. Das Gleiche gilt f u r b, = 0; b-,
0 sowie fiir
b,=b-,=O:b-,+Ound
+--2. Istb,=b-, = O ; b _ , = - Z .
so ergibt sich das partikulke Integral
f a, = 0; a_, beliehig
+
+-
[ ( i = 2 , 3 , 4!...).
+ 0, so wird a,, beliebig.
1st b,, = b-, = b-, = 0; b-,
( i = 1 , 2 . 3, " .).
1st b , = b _ l = b _ ? = . . . = b _ k = O ;
b - ( k + l ) + O j so ist u,
-?) = 0, und es gelten weiter
beliebig, a_, = a- = . . . =
die Formeln
Ia _ i =
I
1
-i(i + 1, a o b - ( j + a
( i = k - 1,k, ...,2 k - 3)
(i = 2 k - 2 , 2 k - 1,...).
[Das rollstHnclige Integral kiinnten wir dann z. B. nach § 6
d
herechnen, wo wir k, (2) = ~d z- (log
P ( 2 ) ) zu setzen haben.]
Die Formeln (26) bzw. (27) gelten also f u r den Fall, daB
= p(z) gesuclit
= ~ ( ( g , z j bzw. (I, = @(z) bekannt ist und
+ W
wird.
S u s (23) berechnet man dann h
=
A ( 2 ) = C b i z i , aus
n
(26) bzw. (27) 7'=
P(x)= C a i x i und hieraus nach (21) die
0
gesuchte Funktion p = (x).
936
Annulen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
Nehmen wir die Hilfsfunktion P = Y(z) als bekannt an,
so lafit sich aus (22)
h(2) =
- --1
P(2)
. ddz2a y ’
~
ferner aus (23) und (24)
berechnen.
Die Hilfsfunktion I’ = P ( z ) als bekannt anzunehmen, mutet
zwar zunachst recht willkiirlich und unberechtigt an, besitzt
aber doch insofern eine gewisse Berechtigung, als ja an den
Stellen, an denen P(z)= 0 ist, auch Q (2) = 0 ist.
Handelt es sich also allein um Bbbildung eines Achsenpunktes und kommt es auf den Verlauf der Elektronenstrahlen
zwischen Objekt- und Bildpunkt nicht an, so geniigt es, eine
geeignete Funktion l’= Pp) so zu wiihlen, daB sie an der
Ytelle des Objekt und Bildpunktes verschwindet.
Doch auch noch in anderer Hinsicht besteht eine gewisse
Berechtigung, von l J ( z ) als hekannter Funktion auszugehen.
1st es doch hierdurch in eirzfuchster Weise moglich, eine grope
Zahl ron xusummengehorigen E’unktionspaaren e = e (2); (I,= @ (2)
zu berechnen.
1st Q = e ( z ) gegeben und (I, = @(z) gesucht, so lafit sich
(22) nicht anwenden, da ja in die zwischen p(z) und P(z) bestehende Beziehung (21) noch @ (2) eingeht.
3
8.
Integration der Differentialgleichung (18)
durch Reihenentwicklung
Wir miissen dann auf (20) zuruckgehen, das wir jetzt
unter Einfuhrung von F (2) nach (24) schreiben konnen
(31)
4 F - g ”+ 2 p ’ . Q ’ + g . F “ = 0 .
tion
Entwickeln wir hier die als bekannt vorausgesetzte Funke = ~ ( 2 nach
)
Potenzen von x, so darj
0
ist und inachen fur F = E’(x) den Ansatz
J . Picht. Beitrage x. Theorie d . geometrischen Elektronenoptik 937
so lassen sicli die Koeffizienten ai aus den bi berechnen. TVir
0 die Rekursionsformel
erhalten fur b,
+
i
ai+?= -
b,
1
a
i
+
l
(i+l)
(i+2)
b, *
bo
2 [ (i - i, (i + 3 + i)
j=o
+ 4 i j + 1)ti4 2)14,-jb*+,,
wof ur wir auch schreiben konnen :
(32)
( a,, , a, beliebig
I
i-1
1
ai=
a ( a - 1)-b,- 2 [ i ( i - - 1 ) + 3 j ( j
-.
=
I
I (i = 2 , 3 , 4, ...)
+l)]~~-.~-~b~+~.
,j 0
1st b, = 0; b,
bzw. aus (32):
( a, beliebig
+ 0,
i-1
I
(32a)
I
so ergibt sich aus unserem Ansatz
(i = 2 , 3 , 4, ...)
oder
i-I
a. = -
1
+ 1)b,
a(%
X[i(i+11t3 ti + ci + 211
1)
ai-j-1
bj+?
j=0
I (i = 1, 2 , 3 , ...)
1st b, = 0, so liefert unser Ansatz wieder nur die triviale
Lijsung a_, = 0, d. h. F f 0.
‘338
9.
Fall,
Annalen der Physik. 5. Polge. Band 15. 1932
Weitere Umformung der Differentialgleichung (18) fur den
&UB bekanntem p = e (2) die Funktion @= @ (2) zu berechnen
Wir konnen noch einen anderen Weg hier angeben, der
evtl. noch einfacher F = F(x) in Reihendarstellung zu be)
ist.
rechnen gestattet, falls Q = e ( ~gegeben
Betrachten wir (31J so sehen wir: daB wir dafiir aucli
schreiben konnen
3 0’’ * F
(!) * F)” = 0
oder
3 p“
(q P) (Q ,)’” = 0 .
(34)
+
+
e
Setzen wir noch
P = G (2) und
(3 5)
lG”(Z)
+ g(2)
3 @“
~
C’
*
= g (z), so geht (34) fiber in
-I
G (2) = 0 .
10. Integration von (35) durch Reihenentwicklung
3
(2)
1st jetzt Q = 0 (2) bekannt, so kennen wir aucli __ - g i4,
,o (4
$1
und wir erhalten mit
i
(36)
wieder wie oben (26)
(37)
ai+2 =
1
g(z) =5 b i Z ’
U
cc
G (2) = 2 a;2;
1
(i + 1) + 2)
0
{ a,b, + ai-l 6, + ui--2b, + .. + u,b, ] .
*
Fur E’= F ( z ) ergibt sich dann
(38)
Es gelten hier genau die gleichen Bemerkungen, die wir oben
in 5 7 im AnschluB an G1. (26) gemacht haben, so daW wir
cliese hier nicht zu wiederholen brauchen.
Das Gleiche gilt auch fur die Entwicklung von g(z) und
G ( z ) nach fallenden Potenzen von z. Wir erhalten wieder
dieselben Formeln wie in 5 7, die wir daher hier nicht zu
wiederholen brauchen. Auch die einzelnen Spezialfalle ubertragen sich vollig ungeandert.
(i 11. Ausfuhrung der Integration fur einige spezielle Falle
1. l m AnschluB a n die vorstehenden Uberlegungen seien
noch fur einige spezielle Falle die tatsachlichen Losungen
J . Pichf. Beitrtige x. il‘heorie d. geometrischen Elektronenoptik 939
angegeben. 1st verlangt, eine Potentialverteilung derart x u
finden, daB die vom Punkte x = 0 in beliebiger Richtung ausgehenden paraxialen Elektronenstrahlen sich im Punkte x = 1
wieder treifen, und sol1 der Weg der Elektronenstrahlen durch
die Gleichung pix) = Cx(1 - x) gegeben sein, wo C die Neigung der Elektronenstrahlen im Punkte x = 0 angibt, so wird
g‘(x) = c - 2 c x ; of‘= - Z C ,
uncl (31) lautet jetzt:
cx(l-x)F”+(~C-44Cx)F’-8CP=O
oder nach Division durch C
~ (- 1
~x)F”+(2-4~)P‘-88=OO.
l)as ist die Differentialgleichung der hypergeometrischen Reihe.
Ein partikuliires Integral dieser Differentialgleichung ist die
hypergeometrische Reihe F(., p, y , x), die definiert ist durch
+
w
(‘X
+ 1).(
1
i 2) i/
(3 -I-1)(3 + 2)
.qFfl)(r+L,-
x3+
...
I n unserm Fall wird
Die Koeffizienten u untl /? sind bei uns konjugiert komplex.
In der hypergeometrischen Reihe treten sie uur in Ver bindung
(cc + x ) ( P + x ) auf mit x = 0,1,2,. . . Setzen wir cc = u +i.u;
= u - i w , so wird (a+ x ) ( b + x ) = (u
x )+
~ v2.
2. Ganz entsprechend erhalten mir, wenn die Potentialverteilung durch die spezielle Gleichung
( b ( ~=‘ E - C x ( 1 - X)
gegeben ist, wenn also
F(x)= Cx(1 - 2)
ist, fur den Weg p = Q ( Z ) der Elektronenstrahlen nach (31)
die Differentialgleichung
4Cx(l -x)p”+ 2C(l - 2x)p’-2Cp = 0
oder nach Division durch 4 C
+
x (1 - 2) <I”
+ (;
-z)(‘.-$I)=o.
Diese Gleichung hat mieder die Form der hypergeometrischen
Differentialgleichung und liefert sofort in der Umgebung von
x=o
Annalen der Physik. 5. Folye. Band 15. 1932
940
&)=cp
2 ; --p;
(3i
-
-
-
1
%;
2
1
'
+C,.qZ.F(-+
2 1 1 /22 ;
.)
",
12 - i . 12 2 ;
--;
2
wo C, und C, Konstanten sind, die den Anfangsbedingungen
angepaBt werden kiinnen.
3. Ist, urn ein anderes Beispiel zu wahlen,
11 + 1
__~ ( 2=
) const I / e - 4 4 e n + l ,
so benutzen wir, urn den Weg (1 = Q (2) der Elektronenstrahlen
zu finden, G1. (22) und bilden zu diesem Znrecke nach (23) wegen
4
log F (2) = - -~ A 2"
n +1
+1
+ const,
h(2) = l3(;. 16:A Z Z Z + h = 3 A%Z??L.
Dies in (22) eingesetzt, ergibt
Dies gibt (vgl. J a h n k e - E m d e , S. 167) das partikuliiire I n tegral l)
und nach (21)
Z-(n + I)
wo J
die Besselsche Funktion erster Art der Ordnung
B (<+T
ist. F u r n = 0 geht dies iiber in:
2 in + 1)
(39)
{
Q (2) =
const e* 2 1/X J -, ( A x f 3 ) = const,
@@)= E - const.e-*Az.
-
e4z
sin ( Ax
13)
J . I'icht. Beitrage z. The0ri.e d. geometrischen Elektronenoptik 941
Es ist noch
&A @
- - - const 16 A a e - 4 A z
d 22
a
?
!?
d
24
= - const
0
256 A4e-4-4z7
so daB nach (9)
(39) und (39*) geben den Verlauf von @((z) = y(0,x); y ( p , x )
und Q = g ( x ) . (39) zeigt, daB die Elektronenstrahlen hier
= 0 fur
dauernd wieder die Achse schneiden. Es wird
m
2=wo m = 0, 1, 2, 3 , . . . Wir erhalten also einen
A1/37d,
,,Knotenstrahl'', dessen ,,Bauche" mit wachsendern x bei A > 0
znnehmen, bei A < 0 dagegen abnehmen.
4. Eine andere interessante Losung ergibt sich fur den
Fall, da6 wir ausgehen von
'i = a x (x - x*)
mit a = const
z* = const.
Aus ( 2 2 ) erhalten wir dann
2a
+ h ( x ) a x ( x- 2") = 0 .
Dies liefert
log F (2)
-
-4
F (z) = const e
also
@(x)
=E
- const. e
und
arc sin
= --
c-
Annalen der Physik. 5. Woke. 15.
~
- 2*
~~- -Z*
~
22--8*
arc sin --
a-
7
v:
vf
-4
arc sio
nrc sin 2 2
p ( x ) = C . x ( x - z*)e
22
Z*
- E*
Z*
7
ti1
+ const
dnnalen der Physik. 5. Folge. Band
942
15. 1932
wo C eine Konstante ist, die sich aus der Anfangsrichtung tg
des Elektronenstrahles an der Stelle x = 0, g = 0 zu
bestimmt.
txo
Da
so wird
y ( q , x'i
E
- const
.e
62
(Z*
- 2)
p' z (Z* - 2)
Es lassen sich so in einfacher Weise noch eine Reihe yon
weiteren speziellen Fallen behandeln, doch wollen wir davon
absehen, da ja oben bereits allgemein die Losung der Differentialgleichungen in Reihendarstellung gegeben wurde.
$ 12. Die partiellen Differentialgleichungen der Elektronenoptik
Die oben aufgestellte Differentialgleichung (18) und die
aus ihr durch Umforxnung hervorgegangenen gelten nur fu r
die paraxialen Elektronenstrahlen.
Fur Elektronenstrahlen,
die weiter von der Achse entfernt sind, gelten dagegen partielle Differentialgleichungen, die wir jetzt angeben wollen.
Da fur die Elektronenstrahlen die gleichen Gesetze wie
fur die Lichtstrahlen gelten, so gilt auch hier clas F e r m a t sche Prinzip
a;as
=0,
vi
wo d s das Linienelement der Elektronenstrahlen und
-
Tl,
d E - Y (q,4
der variable Brechungsindex ist. Nach den Lehrsatzen der
Variationsrechnnng verschwindet nun die erste Variation des
,,Wegintegrals"
i
v1
n d s d a m und nur dann, wenn fur n langs
des ,,Elektronenstrahlweges" zwischen Q1 und Q2 die E u l e r schen Differentialgleichungen gelten. Da bei uns n nur vom
J . Picht. Beitrage x. Theorie d. gmrnetr&chen ~ l e k t r o n e n o ~943
~i~
Ort, nicht von der Richtung abhangt, so lauten hier die E u l e r schen Differentialgleichungen:
I
Nun ist n
so erhalten wir
- fm).
Setzen wir dies in (40) ein,
,4us diesen Gleichungen sind bei gegebener Potentialverteilung 4p (Q,z) die Werte x = z (s), z = z (s), y = y (s) als
Funktion des Parameters s zu berechnen. Die drei G1. (41)sind
iibrigens nicht unabhangig voneinander. Multiplizieren wir sie
der Reihe nach mit d x/ds, d y l d s , d xld s und addieren sie,
so erhalten wir eine Identitat.
F ur Strahlen, die von einem Achsenpunkt ausgegangen
sind, kijnnen wir die beiden ersten G1. (41) in eine einzige
xusammenziehen. Wir erhalten d a m :
F ur Paraxialstrahlen geht dies uber in (18), da ja hier
ds
ist.
Ei
ax;
y ( ( Q , x=)
m(x);
aQ
-
au
%--!]-
1
4
Q1
dzP
d2
8 13. Einige elektronenoptische Folgerungen &us (17)
Wenden mir die fur Paraxialstrahlen geltende G1. (17) auf
xwei verschiedene Elektronenstrahlen an, deren Bahngleichungen
durch
= g, (z) bzw. g, = p2 (2)bezeichnet seien, so erhalten wir
61*
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
944
mit
Multiplizieren wir die erste Gleichung rnit pa, die zweite
! subtrahieren beide Gleichungen und fiigen
e,
*VE~_
~
___
@(Z)
a 2
4
2
a 2 11 -r
2 1 .
hinzu, so ergibt sich
also
wo IZ,~.eine (von den beiden Strahlen abhangende) lionstante
ist. Diese Gleichung sagt aus, dal3 fiir zwei Elektronenstrahlen
a~z ! bep1 (x) und e, = e, (2) die Differenz p z dC'l - 0, 3
Q1 =
=
trachtet als Funktion von x, iiberall langs des ganzen Ver1
ist.
laufes proportional 1/E-
@(z)
Es sei U0 der Wert des Potentials im ,,Objektraum".
Betrachten wir hier eineu parallel zur Achse einfallenden
= a;
= 0 nnd einen durch den Punkt xo in
Strahl
11 3
Richtung 3 = tg u2 = - b gelienden Strahl ez = b (xo - x),
dz
so ergibt sich aus (43) fur diese beiden Strahlen die Proportionalitatskonstaiite
= a b V E - e0,
so dal3 fur diese beiden Strahlen allgemein die Gleichung gilt:
c,,
1st xo der vordere Brennpunkt (Fig. I), so verlauft p B im
Bildraum parallel zur Achse, also ist dort
Q2 = - k ; @Ll!.
= 0.
(1 z
Ferner geht g, hi Bildraum - wo wir den Wert des
Potentials mit
hezeichneii wollen - durch den hinteren Brennd
punkt, den wir x, nennen, etwa in Richtung
= tg ul' = - h.
-:dd
J . Picht. Beitrage x. Theorie d. geornetrischen Elektronenoptik 945
Es ist also g, = h(z, - 2). Nennen wir noch die vordere
Brennweite, d. h. den Abstand des vorderen Brennpunktes vorn
vorderen Hauptpunkte, f , den Sbstand des hinteren Brennpunktes vorn hinteren Hauptpunkte f', so ist
(45)
Fig. 1. Fundamentalstrahlen, Hauptebenen und Knotenpunkte
'
Dann folgt aus (44)k h = a b ___-_
- @O
Jm-7
(46)
also
- v2y-w
Da der Brechungsindes
ist, so besagt dies, da6
(46*)
nf = - ? ~ ' f '
ist, wo n der Brechungsindes im Objektraum, n' derjenige im
Bildraum ist.
Wir betrachten jetzt ein kleines nchsensenkrechtes Objekt,
dessen Abstand vom vorderen Brennpunkt gleich 5 sei. Von
einem seiner Punkte mogen die beiden oben benutzten Strnhlen
el = a und p2 = b(z, x ) ausgehen, wo z,, also wieder der
vordere Brennpunkt sei. Dann ist 5 = ~- U = - -aDas
tg Ua
b'
Bild habe vom hinteren Brennpunkt den Abstand
Die
Gleichungen der beiden Strahlen lauten im Bildraum wieder
wie oben:
f)* = - k ; <I1 = h (Zl
2) ,
k
k
wo x1 der hintere Brennpunkt ist. Uann ist 5' = - -- tgul' - h
iind es folgt wegen (45)
-
c.
-
(47)
L-g'=.ff'.
Bus dieser Gleichung und (46) leitet man auch leicht die
bekannte Abbildiingsgleichung
946
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
ab, wo g = f + 5 die ,,Objektweite"; g' = f ' + 5' die Bildweite ist.
Wir betrachten jetzt noch einen dritten Strahl g3 = g3 (x),
dessen Richtung im Objekt- und Bildraum die gleiche ist,
der also im Objektraum zum vorderen Knotenpunkt z, hinzielt
und im Bildraum vom hinteren Knotenpunkt z, herzukommen
scheint. F u r g3 gilt also im Objektraum:
p3 = R ( z , - z ) ;
im Bildraum :
g3 = B(x,-z);
*
*
dz
dz
=-
=
R
-B.
Fur das Strahlenpaar gl, g3 erhalten wir demnach aus
(43), angewandt auf den Objektraum
C13=aB1/E-@o,
und angewandt auf den Bildraum wegen
=J'
(49)
(49) sagt aus, daB der hintere Knotenpunkt vom hinteren
Brennpunkt um die vordere Brennweite entfernt ist.
Ebenso liefert die Anwendung der Formel (43) auf die
Strahlen gz und g3 im Objekt- und Bildraum
d. h. der vordere Knotenpunkt ist vom vorderen Brennpunkt
urn die hintere Brennweite entfernt.
Fur die Abbildung ist wesentlich, daB alle von eineni
Punkte ausgehenden Strahlen sich wieder in einem Punkte
treffen. Die Differentialgleichung der Elektronenstrahlen besitzt zwei unabhangige Liisungen (el und 0,). Jeder andere
Strahl g, la6t sich durch diese darstellen in der Form
Q3
-- c1 0,
+ c, e,
Gehen g, und g, von einem augeraxialen Punkt und g1 vom
zugehorigen Achsenpunkt x cines achsensenkrechten Flachenelementes aus, so ist liier g, = 0,.p3 = p2, also cz = 1, c1 beliebig. An der Stelle z', dein Bildpunkt von z, ist wieder Q, = 0,
also auch hier Q, = Q, fur beliebiges el. Alle Strahlen pa (der
q,x-Ebene), die vom gleichen Punkt auf g, im Objektraum
ausgehen, schneiden also im Bildraum g, im gleichen Punkte.
J . Picht. Beitrhge x. Theorie d . geometrischert Elektronenoptik 947
§ 14. Zwei Fundamentalstrahlen
Die Ergebnisse des vorigen Parngraphen sind - wie
vorauszusehen - vollig identisch mit den entsprechenden der
geometrischen Lichtoptik. Wie dort, konnen wir auch jetzt
die ,,elektrische“ Lime schematisch ersetzt denken durch ihre
Hauptebenen und ihre Brennpunkte.
Die x-Achse sohneide die vordere Hauptebene in z4, die
hintere Hauptebene in x5. Ferner sei z, wieder der vordere,
x1 der hintere Brennpunkt.
Einen im Objektraum parallel zur Achse verlaufenden
Strahl el = e, (2) kijnnen wir dann schematisch bis zum Schnitt
mit der hinteren Hauptebene verlangert denken und ihn dort
so geknickt denken, daf3 er im Bildraum durch den (hinteren)
Brennpunkt geht. Die Neigung des betreffenden Strahles sei
im Bildraum durch tg ul’gegeben, wahrend sein Achsenabstand
/
p;=+x,tgu,
Fig. 2. Fundamentalstrahlen (El> 0;
X2> 0)
-
im Objektraurn
K , tg ul’ sei (Fig. 2). Der Ubergang von der
Achsenparallelitat im Objektraum zur Neigung tg u,’ im Rildraum geschieht naturlich in Wirklichkeit nicht sprunghaft,
sondern stetig. Einen solchen Strahl konnen wir nun durch
die Gleichung
+ - z5)’ 4- 1
_____.
(50)
p1 = [$I/4c1
(2
~
(
-22,) - K1]tg u,’
darstellen, wo wir noch annehmen wollen, daB
c,
K , und c, > 0 ; K , > 0
ist.
1st jz - x g i 4 c1 und x - z5 < 0 (Objektraum), so wird
<
>>
1st Iz
- x5 I > 4c,
8, w
und x - zs > 0 (Bildraum), so wird
--]
- { K , - (2 - x5) - -3 tg u,’
2 - 2,
z 2 tg ul’ - (K, + x5) tg 24,’.
948
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 15. 1932
Aus (51) sehen wir, daB der Strahl im Objektraum achsenparallel verlauft und von der Bchse den Abstand - I<, tg.u,'
hat. (52) sagt aus, daB der Strahl g1 im Bildraum geradlinig
unter der Neigung tg u,' verlauft und die hchse im Punkte
(53)
schneidet, wo K , = dem objektseitigen Achsenabstand dividiert
durch die bildseitige Neigung 1 tg ul'l ist. AuBerdem erkennen
wir aus ( 5 2 ) , daB der bildseitige Strahl, riickwarts verlangert,
die zweite Hauptebene ( x = z5) im Achsenabstand - K, tg. ul',
d. h. im Achsenabstand des objektseitigen Strahles, schneidet.
Aus (53) folgt noch fur die bildseitige Rrennweite
(54)
Ganz entsprechend kiinnen wir einen Strahl e, = p z ( x ) ,
der in Richtung tg u, durch den vorderen Brennpunkt z0 geht
und im Bildraum demnach den Achsenabstand + K , tg u2 hat,
darstellen durch
wo wieder cz
jz
- x 4 / > 4c2
<
> 0; K , > 0 und c, K, sei. 1st jetzt
und z - z,, < 0 (Objektraum), so wird
1st dagegeu I x - z41
so wird
> 4c,
und z - z,,
>0
(Bildraum),
(57)
Aus (56) entnehmen wir, da8 der Strahl irn Objektraum
geradlinig in Richtung tg u, verlauft und die Achse im Punkte
schneidet, so daB
(59)
ist. Ferner schneidet die Verlangerung des objektseitigen
Strahles die erste Hauptebene in einem Achsenabstand + K, tg uZ7
der nach (57) mit dem Achsenabstand des bildseitigen Strahles
iibereinstimmt.
J . Picht. ReitrEge x. Theorie d. g e o ~ e ~ r ~Ecl e~ ~e ~?r~o n e n o p949
~i~
Q 15. Berechnung der %u einer vorgegebenen Brennweite
gehiirigen Potentialverteilung
Um die Potentialverteilung zu bestimmen , die einem
parallel zur Achse einfallenden Strahl den durch (50) gegebenen
Verlauf aufzwingt - anders ausgedriickt: urn eine Potentialverteilung zu finden, deren hinterer Hauptpunkt und hinterer
Brennpunkt (und demgemaf3: deren hiutere Brennweite) vorgegeben sind - suchen wir die Reihendarstellung von (50) und
hestimmen mit Benutzung derselben aus (32) die Reihendarstellung von F(x), aus der sich nach (24) 0 (x) berechnen la6t.
Aus (50) erhalten wir mit
Q =-
(60)
+5
K
+zit)
m
c z v .
0
Dann ist also
1
b,=l-K;
b,=1;
b,=(:)=
2
b, = b, = b, = . . = b 2 r + 1 = . - . = 0
.
’ .. .
1
16
2 1’
Setzen wir diese Werte in (32) ein, so erhalten wir, da
a. und a, beliebig gewahlt werden konnen, die beiden Losungen
m
(5) =
(61)
m
2 aiLi;
F, (5) =
0
2
ci .
a:
0
Die Koeffizienten cler ersten Losung sind
a 2 = -1 L2- l ’.
ao= 1; a,=O;
(62)
a3=
tK
2
- 1)Z
.
...
1
-k-3
Fur die Koeffizienteu der zweiten Losung ergibt sich ent‘4
=
2
( K - 1)3
3
1
2 ( R - 1)
.
sprechend
(ao%O;
n,’=1;
a’=a
a3‘
5
1
-
( K - 1)*
1
.
K-1’
1
.
+ K-l’
(7,
6
=
950
Annulen, der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
Die allgenieine Losung von (31) wird demnach
Fur die Potentialverteilung langs der Achse erhalten
wir aus (24)
@(5) = E - F ( Q .
(65)
Die Koeffizienten C , und C, lassen sich noch so beim Objektraum (5 < 0)
stimmen, daS @ ( x ) und demnach
und Bildraum (< > 0) bestimmte vorgeschriebene Werte annimmt.
Ganz ahnlich konnen wir auch unter Benutzung des
zweiten Fundamentalstrahles (55) die Potentialverteilung @ (<)
bestimmen, wenn die Lage des vorderen Brennpunktes und
des vorderen Hauptpunktes, d. h. die vordere Brennweite gegeben ist.
2 - 2z5
Fur Werte von x, fur die
> 1 ist, wird es vorteilC
haft sein, die Wurzel in (50) nach fallenden Potenzen von 5
zu entwickeln und auf die so erhaltene Reihe die Formeln (33)
anzuwenden, die hier allerdings noch etwas zu modifizieren
sind, da in der Reihenentwicklung von Q auSer den negativen
auftritt. Wir wollen indessen
Potenzen von 5 auch noch
hierauf nicht naher eingehen.
@(c)
~
c+
16. Angeniiherte Bestimmung der Brechkraft
einer gegebenen Potentialverteilung
Wahrend wir im vorigen Paragraphen gesehen haben, wie
wir eine Potentialverteilung bestimmen konnen, deren vordere
nnd hintere Brennweite bestimmte vorgegebene Werte haben,
und deren Hauptpunkte an bestimmten vorgegebenen Stellen
liegen, so kann jetzt umgekehrt die Brennweite f '
Brechkraft =
A
v
f'
m
=
-
f
bestimmt werden, menn die Potentialverteilung sp (8,z) bzw. @ (2)
gegeben ist.
Wir betrachten die Flachen konstanten 'p- Wertes. Fur
diese gilt also
s p ( ~ , x=
) const = G ,
also
x ( ( I , z) zz 'p (Q,2) - c = 0 .
Fur den Kriirnmungsradius dieser Flachen
die bekannte Formel
x ( Q , x) = 0 gilt
J . Picht. Beilrage x. Theorie d . geometrischen Elektronenoptik 951
Fur Q = 0, also in den Schnittpunkten der Achse mit den
Flachen ,y (q, z) = 0, wird nach (12)-(14)
so daB
(661
~
a Zf
F ur die ,,Brechkraft" derjenigen ,,Flache", die die Achse
an der Stelle z schneidet, gilt
dn
1 dn
D ( ~=) = - -a x .
r dz
Nun ist
(66 *)
also
___~
-
12 =
A vz - y
= A V E - @(Z),
(Q,X)
. d@
wo A ein Proportionalitatsfaktor ist.
Hiermit wird
d" 4,
A-
Fur eine aus mehreren Einzelbrechkraften Dj zusammengesetzte Brechkraft D gilt D = C D i + einer Funktion g, die
auBer von den Di wesentlich von den Abstanden abhangt, die
die einzelnen brechenden Flachen voneinander haben. I n erster
Naherung aber konnen wir diese Funktion vernachlassigen und
erhalten da,nn fur die Gesamtbrechkraft unseres Potentialgef alles
952
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
F u r die hintere Brennweite ergibt sichl)
(69)
und fur die vordere Brennweite
f=+
(69*)
4 VF-T0
JFvE
-.
-
-
@(ZJ
dz
Die Integration ist hier zu erstrecken iiber das game
Potentialgefalle, also vom Objektraum (0= Go) bis zum
Bildraum (@ = Q1).
8 17. Brechkraft einer Reihe aufeinanderfolgender Medien
von verschiedenem Brechungsindex, verschieden gekrummten
Begrenzungeflachen und gleicher, sehr kleiner Mittendicke
Die Formeln (65), (69), (69*) gelten, wie schon gesagt, nur
angenahert. Wir wollen versuchen, den Fehler abzuschatzen,
den wir bei Benutzung dieser Formeln machen. Zu diesem
Zwecke denken wir uns in den1 Potentialfeld langs der x-Achse
die Strecke LIZ vom in1 Objektraum gelegenen Punkte zo aus
hintereinnnder abgetragen und die durch die Punkte z,,,
zo
4 x , xo + 2 4 z , , ., xo + x A x, . gehenden Fliichen
rp (e,x) = const gelegt. Zwischen je zwei aufeinanderfolgenden
Flachen konnen wir d a m den Brechungsindex n als konstaut
annehmen, wahrend die Differenz zweier aufeinanderfolgender
d 1L
n-Werte durch __ Ax gegeben ist, wo d n l d x an der
dz
Stelle x = zo x A x zu nehmen ist. Wir berechnen dann
nach (67) die Brechkraft der einzelnen Flachen, also
.
+
..
+
1) Wie mir Hr. Prof. v. L a u e nach Fertigstellung dieser Arheit
mitteilte, hat Hr. J o h a n n s o n in seinem Vortrag auf dem 8. Deutschen
Physikertag in Bad Nauheim eine gleiche oder ahnliche Formel angegeben. - Anmerhng bei der Korrektur: Inzwischen habe ich von
I h . J o h a n n s o n erfahren, daB seine Formel lautet:
J \
dz
I
(E-
iD,Z))””
-
Sie ergibt sich aus (69) durch partielle Integration unter der meist zutreffenden Annahme, daB
a @ im Objektraum und Bildraum verschwindet.
dz
~
J . Picht. Beitrage x . Theorie d. geometrischen Elektronenoptik 953
Fur die aus zwei Einzelbrechkraften kombinierte Brechkraft gilt nun bekanntlich
d
D,,= D, + D , - --D,D,,
e
wo d der Abstand des vorderen zu D, gehorigen Hauptpunktes H , Tom hinteren zu D, gehorigen Hauptpunkt H,' ist.
('i1)
n
1
Ferner gilt f u r den Abstand k,, des vorderen zu D,, gehorigen Hnuptpunktes H , , vom hinteren zu D , gehorigen
Hauptpunkt H,'
h = 1-1: n D2 - a
(72)
l2
n,,Dl?
und entsprechend fur den Abstand h;, des hinteren zu D,2
gehorigen Hauptpunktes Hi2 vom vorderen zu D, gehorigen
Hauptpunkt H ,
/is,
=-
('i3)
nP8
--
"12
D,
D,2
a.
-~
Bei einer einzelnen brechenden Flache fallen die beiden
Hauptpunkte mit dem Achsenschnittpunkt der Flache selbst
zusammen, so da8 fur zwei Nachbarflachen d = A x wird.
Urn die gesamte Brennweite unserer ,,Linsenkombination"
zu berechnen, verfahren wir folgendermagen. Wir kombinieren
zuniichst die Flachen Do und D, und haben hierfur
Wir fiigen Flache
=Do
D, hinzu und beachten, da8 jetzt
+ D, + D, - A X
+
+
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
954
Da wir A z als sehr klein vorausgesetzt haben, wollen
wir A z2 und hohere Potenzen vernachlassigen.
Nehmen wir jetzt noch D, hinzu, so gilt fur diese Kombination zunachst
Wir erhalten
%m = Do12 + D, -
+-DoQ
Do12 0 4
“23
D o D s DoDs
~
no1
1212
A x - Ax(&!&!+%
~
n1!2
DiDz
D 0 3 DID, 0 2 0 3 .
+A+---
‘12
%3
+-I
n23
n12
%3
Hier sind wieder die Glieder mit d zB,... vernachlassigt.
Ferner wird mit der gleichen Vernachlassigung :
-
“34
D0,*3
Man erkennt so leicht das Gesetz, nach dem sich das Verfahren fortsetzen lafit, und erhalt demnach
Do ...
=
2
0
5 D i+
Di- Ax [%
( no1 2 D i + 3
fll2
1
%
%3 2 D i + .
2
..
3
+ 2Yli+&EDj+...
V
V
n23
2
3
J . Picht. Beitrage x. Theorie d . geometrischen Elektyonenoptik 955
Lassen wir jetzt A x immer mehr abnehmen, so gehen die
Formeln (74) und (75) unter Berucksichtigung von (66*)
und (67) uber in
wo xo ein Achsenpunkt im ,,Objektraum", x1 ein Achsenpunkt
im ,,Bildraum" ist. h' ist der Abstand des hinteren Hauptpunktes vom Punkte xl'
Fiir die von diesem hinteren Hauptpunkte Bus gemessene
hintere Brennweite f' ergibt sich dann wieder analog zu (69)
Fiir den Abstand des vorderen Hauptpunktes vom Punkte xo
ergibt sich entsprechend
und fur die vordere Brennweite, gemessen vom vorderen Hauptpunkte aus
8 18. Berechnung der Lage zweier (spezieller) konjugierter Punkte
und des Vergr6Serungsverhiltnisses in ihnen im AnschluS en
Gullst r a n d s ,,Die optische Abbildung in heterogenenMedien
..."
Wir wollen nun noch die von G u l l s t r a n d in der oben
genannten Arbeit abgeleiteten Formeln fur Brechkraft und
Hauptpunktsabstande hier angeben, ohne ausfiihrlich auf die
Herleitung dieser Formeln einzugehen.
Sind u,p, y die Richtungskosinus der Elektronenstrahlen,
d s das Linienelement dieser Strahlen und n = A 1/E - y ( 9 , ~ )
der Brechungsindex, so gilt die Gleichung
956
Annalen der Plays&
5. Folge. Band 15. 1932
Hieraus l&Wt sich ableiten, daB
rids = n ( a a x + p d y + Y a x ) =
(80)
ein vollstandiges Differential ist, datl also
(81)
n $ = gradV,
wo 5 = (u,p, y\ der Einheitsvektor in Richtung der Strahlen
ist. Die Flachen V = const sind die ,,Wellenflachen4'.
Wir betrachten nun eine dieser Wellenflachen und auf
dieser einen Punkt P und den durch I' hindurchgehenden
Strahl. Die Hauptkrummungsradien der Wellenflache im
Punkte Y seien r,, r,. Das Koordinatensystem x,, y,, x, sei
so gewahlt, daB 1' der Nullpunkt ist, daB die x,-Achse mit
der Strahlrichtung, also mit der Tangente an den Strahl durch Y ,
im Punkte P zusammenfallt, und daB die ze- und yn-Achse
mit den Tangenten in P an die Wellenflache in Richtung des
ersten (xn;YJ bzw. des zweiten (yn;rz)Hauptschnittes zusammenfallen. Ferner sei d 9. der Winkel, um den sich der erste Hauptschnitt beim Ubergang zu den Nachbarwellenflachen dreht,
gemessen gegen die zIL2,-Ebene. Dann gelten die Differentialgleichungen fur r l l r 2 , 9
av
d2 n
n
n
= -2
n
dx- d yn
_a_n
( t J yn)
2
8xraay,,
_-_.
ayn2
1st speziell r1 = 0, so gehen die ersten beiden Gleichungen
uber in
Die angegebenen 61. (52)bzw. (82*)dienen also zur Bestimmung
der Brennpunkte auf der 2-, Achse, wobei die allmahliche
h d e r u n g der Lage des Koordinatensystems zu beachten ist.
Wir betrachten jetzt ein kleines Flachenelement als Objekt, dessen Mittelpunkt wir als Objektzentrum bezeichnen, Zuni
Unterschied von Clem Blendenzentrum , dem Schnittpunkt der
zu den einzelnen Objektpunkten gehiirigen Hauptstrahlen. Als
Objektwellenflache bezeichnen wir die Wellenflache des vom
Obj ektzentrum ausgegangenen Lichtes, als Blendenwellenflache
die MTellenflaiche des Liclites, das man sich als vom Blenden-
J . Picht. Beitrage z. Theorie d. geometrischen Elektronenoptik 9517
zentrum ausgegangen denken kann. Als ,,Fokalkoordinaten"
seien die Abstande der Normalen der Rlendenwelbnflache von
den beiden Brennlinien des Normalenbundels der Objektwellenfliche definiert, die wie oben durch rll r ? , 9 bestimmt
sei. Die Fokalkoordinaten seien a, und a2. Dann gelte: fur
die Differentiale d a,, d u2 dieser Fokalkoordinaten beim Ubergang zur Nachbarwellenflache
die f u r den speziellen Fall, daB z. B. r l
\ d", da,
-
=
0 ist, iibergehen in
=0,
I n (83), (53*) treten keine auf die Blendenlage beziiglichen
GroBen auf.
Auf dem Flachenelement gibt es nun im allgerneinen nur
zwei (orthogonale) Linienelemente d sl, d s2? die in der Ebene
der ersten bzw. zweiten Brennlinie der Objektwellenflache abgebildet werden. Setzen wir nun
a u1 = p , ' d s , ; a a2 = pzfas, ,
PI', p2' - im ubertragenen Sinn -
so kiinnen wir
als ,,VergroBerungskoeffizientenCibezeichnen.
Betrachten wir jetzt einen auf der z-Achse gelegenen
Punkt uud in diesem Punkt ein zur z-Achse senkrechtes
Flachenelement, so sincl alle zum Objektzentrum gehorigen
Wellenflachen durch unser ganzes Potentialgefalle hindurch
rotationssymmetrisch, d a j a auch der Brechungsindex eine zur
x-Aehse rotationssymmetrische Funktion ist. Es ist dann
d t9 = 0 ; pl' = p,'(=
und unsere G1. (52) und (53) lauten jetzt
rl = r 2 ( = r ) ;
Annalen der Physik. 5. Folge. 15.
p')l
62
955
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
G u l l s t r a n d wendet diese Gleichungen auf die Kristalll i m e des menschlichen Auges zur Bestimmung ihrer Brechkraft
und der Lage ihrer Hauptpunkte an, indem er im Innern der
Kristallinse auf der Achse (etwa in der Mitte der Linse) ein
kleines Flachenelenient als Objelrt annimmt und die von diesem
Objekt ausgehenden Strahlen nach beiden Seiteu mit Hilfe der
G1. (84) und (85) verfolgt. Wir ubertragen dies Verfahren auf
nnseren Fall der Elektronenstrahlen.
1st die z-Koordinat,e des Kriimmungsmittelpunktes derjenigen Wellenflache, die die x-Achse im Punkte x schneidet,
so ist r = 5 - z , und die GI. (84) nnd (85) gehen iiber in
is 7)
n
.a$'=
r/T
WO :
r
a 2 ??,
de
r(x) s
I
5-
z.
Wir wahlen den Achsenschnittpunkt des genannten kleinen
Flachenelementes zum Nullpunkt der z-Achse und entwickeln
n = A -@3 - rp (p, 2)
nach Potenzen von p, x. Ferner bilden wir die l., 2., 3., 4.,...
Differentialquotienten der Q1. (86) und (87), setzen in diesen
.
n = no(= A
1/E - ~ ~ ( 0 1 )g; = r
= 0;
p=
1
und erhalten so die Differentialquotienten von 5 und p' im
Punkte x = 0 , mit denen wir fur 5 und p' die Reihenentwicklung finden:
J . Picht. Beitrage z. Theorie d. geometrischen Elektronenqtik 959
Beachten wir jetzt die Formeln (12) bis (14), so sehen
wir, daB
ist.
Diese Werte haben wir in (88) und (89) einzusetzen.
Setzen wir in (88) und (89) fur z die Werte, bis zu denen
sich die Potentialverteilung nach der einen bzw. nach der
anderen Richtung erstreckt, also etwa z = z,, (im Objektraum) bzw. z = x1 (im Bildraum), so erhalten wir aus (88) die
der durch zo bzw. z, gehenden
Krummungsmittelpunkte go,
Wellenflachen - also zwei zueinander konjugierte, d. h. in der
Beziehung: Objektpunkt-Bildpunkt sbehende Punkte und aus
(89) in &'/Po' den zugehorigen VergroOerungskoeffizienten.
§ 19. Berechnung der Brechkraft und der Lage der Hauptpunkte
unter Benutzung der Ergebnisse des vorigen Paragraphen
Aus den so gewonnenen U'erten kannen wir schon angeniihert die Brechkraft der Potentialverteilung bestimmen,
wenn wir den Abstand der beiden Hauptpunkte voneinander
vernachlassigen, sie also als zusammenfallend annehmen. Ihre
gemeinsame x-Koordinate sei zn. Es gelten die drei Gleichungen :
62 *
960
Annaleri der Physik. 5 . Folge. Band 25. 1932
-nr- - =n
-n' - -n
8,'
____
(4,; n = A1/E - Q 0 ,
wo a der Abstand des Punktes 6, von zar also a =
und a' der Abstand des Punktes
von z H , also a'= glist. Wir erhalten dann
n'= A Y E -
c0-
zH,
211
Eine bereits wesentlich genauere Bestimmung von D und
eine angenaherte Bestimmuag der Lage der beiden - jetzt
nicht mehr zusammenfallend angenomnienen - Hauptpunkte
konnen wir folgendermafien durchfiihren. ITir wenden die
Formeln (92) auf jeden der beiden sich von q, bis x = 0 bzw.
von x = 0 bis z1 erstreckenden Teile des Potentialgefalles an,
wobei wir die so erhaltenen Teilbrechkrafte mit Do bzw. D,
und die beiden zH-Werte mit zHO bzw. mit xH, bezeichnen.
Zu beachten haben wir dahei aber, daB wir in den Forineln (92)
fur Do und xHO
-___
0; PI'= 1; n'= A YE' - W(0) = ?to
und in den Formeln (92) fur D, und z H 1
___&,=0 ; p i = 1; n = A Y E - @ ( O ) = no
zu setzen haben. Wir erhalten d a m
cl=
~
Mit diesen Werten kiinnen wir d a m die Gesamtbrechkraft D und die Koordinaten z H , x H ~des vorderen und hinteren Hauptpunktes nach den bekannten Pormeln:
berechnen, wo wir d = x,fl - zIrO zu setzen habeii. Fuhren wir
in (94) die erhaltenen Werte aus (93) ein, so ergibt sich nacli
einigen Umformungen :
J . Picht. Beitrage x. Theorie d . geometrischen Eleklronenoptik 961
worin
u(x0);
_
u0= A_
@
-
Setzen wir in den Formeln (95)
Po'
n=
.--
n'=
AYE -
~
~~
A V E - @l=AIE-@pl); no=A1/E-@(0)
ist.
=
/Il', also -PI'r
= 1,
Bo
d. h. Objektpunkt go und
so erhalten wir zti = go; x p =
Bildpunkt 5, fallen niit den Hauptpunkten xH bzw. x H p zusammen, wie dies verlangt werden muB.
Setzen wir andererseits bei 5, za; g1 $: xHr die Differenzen 5, - xII = a und
- xII' = a', so daB also a der Abstand des Objektpunktes vom vorderen Hauptpunkt und a' der
dbstand des Bildpunktes vom hinteren Hauptpunkt ist, so
ergibt sich aus (95):
+
-na'' - -na = n;
a'
n
-.-=-.
n'
a
8,'
B,.'
I "
F i r sehen aus diesen Folgerungen, daB die Lage der
Hauptpunkte, also xH und Z H f durch (95) trotz der nur &herungsweisen Herleitung exakt gegeben ist.
Voraussetzung bei den vorstehenden Formeln ist natiirlich, daB der Abstand der Punkte xo und xl, also die Differenz
- xo = z1 )zoJnicht zu groB ist, damit die G1. (58)und (89)
?ur die Werte xo und z1 noch konvergent sind und nicht zu
weit entwickelt zu werden brauchen.
Doch auch in diesem Fall geben die hergeleiteten Formeln eine Moglichkeit zur Berechnung der Brechkraft und der
Hauptpunktslage. Nan denke sich namlich das ganze Potentialgefalle zwischen xo und x1 in eine griil3ere Zahl von Teil-
+
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
962
gefallen unterteilt, derart, daB die Begrenzungsflachen jeweils
Flachen konstanten Potentials sind. Auf jedes Teilgefalle
konnen die abgeleiteten Formeln (88), (89), (95) angewandt
werden, wobei natiirlich fiir jedes Teilgefiille das Koordinatensystem der oben gemachten Annahme entsprechend zu wahlen
ist. Man erhalt so die Brechkrafte und Hauptpunktslagen der
einzelnen Teilgefalle, aus denen man dann unter wiederholter
Anwendung von (94) die Gesamtbrechkraft und die Lage der
Hauptpunkte des Gesamtgefalles berechnen kann.
20. Berechnung der Brechkraft und der Lege der Hauptpunkte
im AnschluD an G u l l s t r a n d
Fur die Bereclinung der Brechkraft D eines aus m Einzelsystemen bestehenden Systems wurde von G u l l s t r a n d l) eine
Formel entwickelt, die aul3er von den Einzelbrechlrraften Di
nur noch von den VergroBerungskoeffizienten p[ abhangt,
wobei sich @[ auf das aus den Einzelsystemen D, . . -Dizusammengesetzte Teilsystem bezieht. Es werde also ein Objektpunkt P und ein in ihm befindliches abbildbares (achsensenkrechtes) Linienelement der GriiBe d s durch das Teilsystem
, Di
D, - .
bestehend aus den Einzelsystemen D, , D,
im Punkte Pi' als Linienelement der GroBe ds; abgebildet,
ds'
und es sei 2= pi'. Dann gilt fiir die Gesamtbrechkraft D
ds
die Forinel
m
-. .
.- .
.
ferner fiir den A b s t a d des vorderen Hauptpunktes des Gesamtsystems vom Objektpunkt P der Wert
(97)
und fiir den Abstand des hinteren Hauptpunktes vom Bildpunkt Ph der Wert
(97")
Fur ein System 'mit kontinuierlich veranderlicheni Brecbungsindex geht die Formel fur D iiber in
wo bei uns wieder wie oben (67)
(983
-1- aaxn = r
dz
A
4V E I
&Tq d z 2
ax
1) A. G u l l s t r a n d , Archiv f. Optik 1. S. 2. 1907.
J . Pickt. Beitrage x. Theorie a. geometrischen Elektronenoptik 963
ist und p' den Vergrofierungskoeffizienten des Gesamtsysterns
bezeichnet.
G u l l s t r a n d bestimmt dann nach (98) die Brechkraft Do
des Teilsystems, das sich von xo bis x = 0 erstreckt, sowie die
Brechkraft D, des Teilsystems, das sich von x = 0 bis x1 erstreckt. I n unserein Fa11 lauten dann die analogen Gleichungen:
PorDo = -
0
A
~
1- -- -
vjjT@Tzj
@
dz'
ax;
20
(98**)
Fur den 'ijbergang von (98) zu der ersten G1. (98**) ist
noch zu beachten, dafi wir hierfiir zunachst den R e r t pf durch
1/&' und analog den Wert P ' ( z ) durch /?'(x)/p0' zu ersetzen
1
haben. Das Produkt - piz. geht dadurch iiber in
B
.
bleibt also unverandert. Dies ist naturlich eine selbstverstandliche Forderung, da j a die Brechlcraf t unabhangig davon
ist, ob das System von links nach rechts oder von rechts nach
links durchstrahlt wird.
Die G1. (98**) liefern jetzt die Differentiale:
Differenziert man diese Gleichungen mehrmals nach x und
setzt dam z = 0 und nach (89) &&,
= 1; (dF)Z=O=0 und
beachtet, daB dann auch
a D = ajp'D); a w = ayp'D); a 3 =~aypq - 3 . a 2 p . a ~
ist, so erhalt man hierdurch die Differentialquotienten von D
an der Stelle x = 0 und mit diesen die Reihendarstellung fur
Dfl und D,:
964
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 15. 1932
Setzen wir nun diese Brechkrafte nach Formel (96) zusammen und beachten, da8 wir hierbei die Werte D,;D,;
Po'; PI'; p2'=
der Formel (96) zu ersetzen haben durch Do;
B ' in den hier Fenutzten Bezeichnungen, so wird
D,; 1; 1 ; 4
/?:ll
@o
Po
n=-+-r-.
0, D
(100)
A'
Po'
Weit,er erhalten wir fiir die Lage der Hauptpunkte nach
(97), (97"):
(loo*)
ZIf
=
Co 4- n- 6P1I'- *6', D .'
z,,=
c1+ n' ~.A' P;D
61'-
'
Die G1. (loo), (loo*) stimmen uberein mit den entspreclienden
vereinfachten Ausdrucken der 01. (95).
Fiir die Anwendung der hier entwickelten Formeln gilt
hinsichtlich der Konvergenz das bereits am Schlufj von 5 19
Gesagte.
E s ist beabsichtigt, j n einer spateren Arbeit die hier entwickelten Formeln und Uberlegungen auf praktische Beispiele
anzuwenden und auf Ab bildungsgute bzw. Abbildungsfehler
w eiterzu f iihren.
Zusammenfaseung
Es werden die Diflerentialgleichungen der Elektronenstrahlen
fur das paraxiale Gebiet sowie allgemein aufgestellt und fu r
den ersten Fall die Integration in Reihendarstellung (allgemein) und f ur einige spezielle Faille in geschlossener Form
durchgefiihrt. Es wird gezeigt, wie man eine Potentialverteilung berechnet, die einer vorgegebenen Brennweite der elektrischen Lime entspricht. Ferner werden Formeln zur Berechnung der Lage der Brennpunkte und Hauptpunkte einer
gegebenen Potentialverteilung aufgeatellt. Formeln, die von
G u l l s t r a n d fur heterogene optische Medien entwickelt wurden,
werden auf die Elektronenoptik ubertragen.
B e r l i n . Optisches Institut der Technischen Hochschule,
in1 September 1932.
(Eingegangen 13. Oktober 1932)
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