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Bemerkung ber das Wrmeleitungsvermgen des Quecksilbers.

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H. Heruug.
662
X. Bernerhmng iiber dns Wiirwbeleitungsverrn6gen cles Qwecksilbers;
von H e r ma nn H e r w i g.
Vor einigen Jahren habe ich') eine Untersuchung iiber
das Wiirmeleitungsvermogen des Quecksilbers veroffentlicht,
an welcher kurzlich Hr. H. F. W e b e r
soweit es den
rechnenden Theil meiner Arbeit betrifft , einige Ansstellungen gemacht hat. Dieselben sind zwar im Princip berechtigt, haben aber zum Theil fiir die Anmendung, worauf
es in dem vorliegenden Falle doch allein ankornmt, nach
meinem Dafurhalten keine eigentliche Bedeutung und sincl
anclerntheils durch die mangelhafte Berechnung, welche Hr.
W e b e r an Stelle der meinen einfuhrt, ungeniigend beleuchtet. Ich erlnube mir deshalb, da namentlich der letztere Theil der Sache allgemeineres Interesse bieten durfte,
hier knrz darauf zuriickzukommen.
Ich hatte fiir die Warmeleitung in einem auch nach
aussen nbgebenden Stabe die Differentialgleichung benutzt :
"),
1
l f a t
worin B = phr,ferner h
9
. -d2tdX2
=
-
Et
ausserer Wiirmeleitungsfahig-
keit, r = innerem Warmeleitungswiderstand fur Oo, p = Umfang und p = Querschnitt des Stabes und t = Temperatur an
der urn x vom Anfang des Stnbes entfernten Stelle war,
menn jetzt der Einfachheit wegen die Umgebungstemperatur
= 0 " gedacht .wird.
I n dieser Oleichung halt Hr. W e b e r mit Recht die
vorausgesetzte Abhangigkeit cles Warmeleitungswiderstandes
von der Temperatur (mit dem TemperatnrcoBfficienten u)
theoretisch fur nicht nusreichend beriicksichtigt. Es miisste
1) H e r w i g , Pogg. Ann. 1-51, p. 177. 1871.
2) W e b e r , Untersuchung iiber die Warmeleitung in Fliissigkeiten.
Ziiricher Vierteljnhrsschiift 1879, Heft 4.
H . Herzui'.
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i n meiner Schreibweise die Differentialgleichung eigentlich
lauten :
Die Vernachlassigung des mit u multiplicirten Gliedes, die
allerdings wohl hatte unterbleiben konnen , war indessen
praktisch fiir meinen damaligen Zweck von keiner besonderen Bedeutung und konnte somit als erlaubt erscheinen.
Ich suchte das Verh&ltniss des a zum Temperaturcoefficienten
fur den 'galvanischen Widerstand des Quecksilbers und konnte
schon nach den ersten Versuchen wissen, dass a sicher noch
nicht die Halite des letztern Coefficienten, also 0,0005, und
wahrscheinlich noch entschieden weniger betragen wurde.
Die gemachte Abkiirzung anderte somit an der ganzen Berechnung und Besprechung der Versuche nichts mit alleiniger Ausnahme des blos hypot.hetisch gedachten Falles,
dass die CoEfficienten fur beide Widerstande iibereinstimmen
sollten. Bei dieser in der damaligen Tabelle V ausgefuhrten
Berechnung hatten in der letzten Colonne die Werthe von
7,23 bis 7,52 statt von 7,OO bis 7,52 steigen mussen, wenn
ganz exact gerechnet ware.
Die Auflosung der obigen exacten Differentialgleichung
nach demselben Verfahren l) , welches ich in der fruheren
Abhandlung einschlug, ergibt namlich folgendes.
Znnachst gewinnt man (mit Beriicksichtigung der Grenzbedingung):
fi
= - (1 + U t ) V / B
ax
.r:
2
-2
log(1 +cct)
1) Vei-muthlich ist die Meinung des Berichterstatters iiber meine
Abhandlung in den ,,Fortschritten der Physik i. J. 1874" p. 779, dass
bei diesem Verfahren einmal mit und einmal ohne Beriicksichtigung der
Abhilngigkeit des Wlirmeleitnngswiderstandes von der Temperatur integrirt sei, nur dadurch entstanden, dass ich von der abgekurzten Differentialgleichung ausging. Andernfalls wiirde diese i'vleinung ein Missverstehen
des physikalischen Problems voraussetzen.
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wenn T die Anfangstemperatur, A
' die Lange des Stabes
A
und m = [ t d x die Mitteltemperatur des Stabes ist.
0
An Stelle dieser exacten Formel gibt Hr. W e b e r eine
andere an, indem er zwar von der richtigen Dieerentialglei-
+
1
1
chung ausgeht nur wird Ic,
~- statt
(1 ctt) eingefiihrt ,
(1 - a t )
im Laufe des Integrirens aber miederholt ahnliche VernachIassigungen, wie ich sie gleich bei Aufstellung der Difterentialgleichung machte! begeht , allerdings theilweise mit zufalliger Compensation derselben. Die Formel des 'Hrn. W e be r
lautet in meiner Schreibweise:
(
Lost man in der exacten Forinel log (1 + tc T ) in eine Reihe
auf, so ist riclitig:
mXVB
-_-
-1/1 -8 a T + q c t 2 T 2 - $ % u 3 T
.....
3
T
Nun glaubt aber Hr. Weber,. dass a den grossen Werth
0,0055 habe, und wendet seine Formeln iiberhaupt auf meine
Versuche an, d. h. bis zu T = 140 oder bis zu a T = 0,77,
woraus sich das Unexacte an dem positiven Theil dieser
Ausstellung des Hrn. W e b e r ergibt. Aehnlich verhalt sich die
Sache, wenn man mit Hrn. W e b e r in der Differentialgleichung
1
statt, wie. oben, (1 + a t ) setzt; man erhalt dann
ko (1 - a 2)
streng richtig in meiner Schreibmeise:
~
Hiernach liegt die Moglichkeit nahe! dass infolge derselben unexacten Rechnungsweise auch das bedeutsame Re-
H. Herwig.
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sultat, welches Hr. W e b e r im Anschlusse an eine zweite
Ausstellung positiv hinzugefugt hat, unrichtig sei. Es lasst
sich indessen zeigen, dass hier eine in gewissem Sinne-vollige
Compensation der mannichfaltigen Vernachlassigungen in der
Rechnung stattgefunden und somit das Resultat des Hm.
W e b e r eine gewisse Berechtigung hat; hauptsachlich aus
diesem Grunde habe ich mir die gegenwartige Veroffentlichung erlaubt.
Diese zweite Ausstellung des Hrn. W e b e r betrifft den
Umstand, dass ich die %ussereWarmeleitungsfAhigkeit innerhalb meiner Versuche constant vorausgesetzt habe. Das ist
allerdings nicht streng richtig, diese Grosse wachst vielmehr
mit steigender Temperatur. Wieviel das Wachsthum indessen
betriigt , daruber lauten die Angaben ausserordentlich verschieden. Ich hatte bei meiner Untersuchung die zwei Jahre
fruher veroffentlichten Erkaltungsversuche des Hrn. N ar r 1)
im Sinne , welche nur eine ausserst geringfugige, vielleicht
sogar grosstentheils noch auf klcinen Fehlerquellen der Beobachtung basirende Veranderlichkeit B) ergeben hatten. Dam
kam, dass die Annahme eines merklichen Wachsthums der
liussern Wgrmeleitungsfahigkeit bei meinen Versuchen, welche
mXVB
T
die Constanz des obigen Ausdruckes -
bewiesen hatten,
zugleich ein Wachsen des innern Leitungsvermogens mit
steigender Temperatur involviren wurde, wie es ja auch Hr.
W e b e r angibt. Und ein solches erwartete ich, die gegenseitigen Beziehungen der Warmeleitung und der galvanischen
Leitung untersuchend , allerdings uberhaupt nicht , dachte
rielmehr nur an eine. mijgliche Abnahme der Wkmeleitung
mit steigender Temperatur. Ich erkenne jedoch jetzt gern
an, dass das zu einer nicht exacten Formulirung meines
damaligen Schlussresultates gefuhrt hat, und dass letzteres
richtig so lauten muss, dass d a s i n n e r e W a r m e l e i t u n g s v e r m o g e n d e s r e i n e n Q u e c k s i l b e r s z w i s c h e n 40°
und 1 60° k e i n e n f a l l s m i t w a c h s e n d e r T e m p e r a t u r
1) Narr, Pogg. Ann. 143. p. 123. 1871.
2) 1. c. p. 143.
H. Herwig.
666
a b n i m m t. Das eigentlich von mir gesnchte Verhaltniss
zwischen Warmeleitung und galvanischer Leitung erscheint
dadurch, wie man sieht, n i c h t in einem mesentlich andern
Lichte, und das halte ich noch immer fiir die wichtigste
Seite der ganzen Frage.
Hr. W e b e r leitet nun unter Berucksichtigung eines
Wachsthums der aussern Warmeleitungsfahigkeit die bedeutsame Beziehung ab , dass der Temperaturcoefficient dieses
Wachsthumes infolge meiner Versuchsresultate gleich dem
doppelten Temperaturcoefficienten fiir die innere Warmeleitung sei, fiihrt jedoch seine Eechnung in der oben angedeuteten unexacten Weise durch, die auch betreffs des Resultates Zweifel erwecken muss. Statt dessen sol1 hier mit
Hiilfe des schon oben angewmdten Verfahrens s t r e n g gerechnet werden, unter Voraussetzung eines l i n e a r e n Wachsthums beider Vermogen mit der Temperatur. Dann ist mit
den positiven Temperatnrcoefficienten u uncl p in der obigen Schreibweise :
Daraus erhalt man zunachst:
und weiter :
A
Nun ist:
H. flerioiy.
wenn :
R
=
111+ 3
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-~
(U
+ 13) T + $ T 2
gesetzt wird.
Folglich unter Einfiihrung von z = P :
a
..
und :
Jecler Werth von z , welcher die rechte Seite dieser
Gleichung fiir ein beliebiges T zu 1 macht, steht mit meinen
Versuchen im Einklang. Ein einzelner clerartiger Werth ist
nun in der That z = 2.
Nach Hrn. W e b e r 's roher Annaherungsrechnung wiirde
das der einzige zweifellose Werth sein, da sein entsprechendes Resultat lautet :
Es liegt hier also iininerhin eine sehr beachtenswerthe
Beziehung vor, obschon die Sache nach dem Vorstehenden
nicht ganz frei von Bedenken sein diirfte.
Ob aber die grossen von Hm. W e b e r angefiihrten
Zahlen fur p nnd u ohne weiteres anznnehmen sind, wage
ich nicht zu entscheiden. I n Betreff des p haben andere
Autoren erheblich weniger gefunden , womit dann nuch
wohl u viel kleiner werden miirde. Der grosse von Hrn.
W e b e r fur u direct gefundene Werth kijnnte doch vielleicht durch noch nicht ganz vermiedene Strijmungen bei
seinen Versnchen beclingt sein.
D a r m s t a d t , 16. Januar 1880.
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