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Bemerkung zu der Arbeit ДDer starre Krper und das RelativittsprinzipФ.

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373
8. B e m e r k u n g xw der A r b e i t :
, , D e r s t a r r e E o r p e r und das ReZativitiLtsprinnxip,";
von W. v. I g n a t o w s k y .
Hr. F. N o e t h e r machte mich in liebenswurdiger Weise
auf einen Fehler in meiner Arbeitl) aufrnerksam, den ich hiermit berichtigen mochte. Hieran schloB sich eine briefliche
Uiskussion, die dem Folgenden zugrunde liegt.
Auf p. 620 und auch p. 621 (unten) meiner Arbeit ist
gesagt: ,,Es folgt, daB der ganze Korper nur dann auf Ruhe
transformiert werden kann , wenn er sich translatorisch und
geradlinig bewegt.'. Es muB nun ,,und geradlinig" gestrichen
werden. Denn auch bei einer krummlinigen Translation kann
der ganze Korper auf Ruhe transformiert werden, wie dies die
Herren 0. H e r g l o t z und F. N o e t h e r 3 bewiesen haben. Nur
wird hierbei die krurnmlinige Translation einen anderen
Charakter aufweisen, als bei der krurnmlinigen Translation
eines starren Korpers der alten Mechanik.
Wie mir Hr. N o e t h e r mitteilte, sind fur diesen Fall die
allgemeinen Losungen der Gleichung (20) meiner Arbeit die
folgenden :
I
(1)
wo v,
U = f ; ( V 2 + 7 1 ? J / f U L - C C 2 ~ )
!?.
=f,(vx+U!/+WZ-c~t)
I w = f;(vx +
u, w
11.y
+ w z - c")
die Kornponenten der Geschwindigkeit b nach den
X, Y, 2-Achsen bedeuten und f,, h l f3 willkurliche Funktionen sind.
Verstehen wir unter r den Radiusvektor eines Yunktes P,
vom Koordinatenanfang aus gerechnet so konnen wir auch
statt (1) schreiben:
(2) u = f ; (b 1c - 'C t); u = f, (P 1c - C 2 t) ; zo = fs (P t - C2 t).
- .
I ) W. v. Ignatowsky, Ann. d. Phys. 33. p. 607. 1910.
2) G. H c r g l o t z , Ann. d. Phys. 31. p. 393. 1910 und F. Noether,
Ann. d. Phys. 31. p, 919. 1910.
N.: v. Ignatowsky.
374
Wir legen jetzt durch den Punkt P eine Ebene E senkrecht zur Qeschwindigkeit b in P im Moment t. Bezeichnet
rl den gerichteten Abstand dieser Ebene E vom Koordinatenanfang und r2 den Abstand von P langs E bis zum DurchstoBungspunkt von rl mit E, so ist
b r = b (r1 f Tz) = b rl
(3)
,
und demnach folgt statt (2), fur t und den Punkt P:
v = f, (b rl - 'C t) U8W.
(4)
Hieraus ersieht man sofort, da6 bei konstantem ZI, u, ID
und t, b konstant lings der Ebene E sein wird und senkrecht
zu ihr.
Fur einen bestimmten Moment t werden unendlich viele
solcher Ebenen existieren und auf jeder solcher Ebene ist b
ein auderes. Dies fuhrt uns zu dem SchluB, daB auf der
Schnittlinie zweier solchen Ebenen die Geschwindigkeit eine
Zweideutigkeit aufweisen wird. Hieraus folgt aber , ahnlich
wie bei Born'), daB die Enveloppe obiger Ebenen als auBerste
Grenze fur die Dimensionen des Korpers betrachtet werden mu6.
Nun transformieren wir einen Punkt einer Ebene E auf
Ruhe (System X'). Dann werden aber fbr den Beobachter
auf K' zugleich alle Punkte der Ebene E ruhen. Damit aber
auch ein Punkt, der im Abstand dx' von der Ebene E entfernt ist, fur den Beobachter auf gl im selben Moment 't
ruht, mull sich die Geschwindigkeit in ihrer Richtung mit
einer solchen Geschwindigkeit , vom ruhenden Beobachter aus
gemessen, fortpflanzen, da6 aie die Zeit im System K' einholt,
d. h. mit der Qeschwindigkeit c 2 / 1 / v 2 + u 2 + w2. Und das ist
tatsachlich der Fall, wie' dies aus den Gleichungen (1) folgt.
Hieraus ergibt sich, da6, wenn die Gleichungen (1) fiir den
ganzen Korper standig erfiillt sind, wir den ganzen Korper auf
Ruhe transformieren, konnen.
Auch bei der krummlinigen Translation eines gewohnlichen starren Korpers werden solche Ebenen E in einem bestimmten Moment existieren, nur werden sie hier alle parallel
sein und b wird uberall denselben Wert haben. Man kann also
sagen, da6 der Ubergang von der krummlinigen Translation
'
1)
M. Born, Ann. d. Phys. 30. p. 24.
1909.
Bemerkung.
375
der Relativitatstheorie zu derjenigen der gewohnlichen Mechanik
einfach dadurch bewerkstelligt wird, dab die Enveloppe der
obigen Ebenen fur den letzteren Fall in die Unendlichkeit
ruckt. Dies entspricht dem, da6 man in der gewohnlichen
Mechanik c = 00 oder n = 0 zu setzen hat, wie dies j a schon
ofters hervorgehoben wurde.
Nun noch eine Bemerkung in bezug auf die Invariante B
9 4 meiner Arbeit. Diese Invariante ist nichts anderes als
dtrs Quadrat der entsprechenden Ruhestrecke. Transformieren
wir nun einen beliebigen Punkt eines Korpers auf Ruhe und
messen die um den Punkt liegenden Linienelemente, so fordert
die Bornsche Starrheitsbedingnng, da6 diese gleich sind denjenigen, als der Korper noch ruhte, d. h. mit anderen Worten
mu6 nach der Born schen Starrheitsdefinition ein Volumenelement auf Ruhe transformiert seine Gestalt beibehalten. Ich
mochte deshalb die Bemerkung auf p. 626 (und auch p. 618)
meiner hrbeit: ,,dab (20) 8 2 die einzige Bedingung der Starrheit ist" usw. insofern berichtigen, als (20) nur bei der Voraussetzung gilt, da6 das Volumenelement auf Ruhe transformiert
seine Gestalt nicht andert. Im ubrigen sind dies bekannte
Sachen und ich wollte hiermit nichte Neues sagen.
Nur schien mir obige Voraussetzung die plausibelste, auf
jeden Fall die naheliegendste, und meine Bemerkung hatte
nur den Zweck, dies hervorzuheben.
DaB man auch eine andere kinematische Definition fur
die Bewegung eines starren Kiirpers geben kann, hat Hr.
F. Noether') gezeigt. Nur wird hierbei nicht jeder Punkt des
Korpers auf Ruhe transformiert, sondern nur ein beliebiger
und wahrend der Bewegung beliebig wechselnder Punkt, und
dann das Volumenelement von dessen Ruhesystem aus gemessen,
wahrend es noch um eine Achse, die durch den obigen Punkt
geht, rotiert.
B e r l i n , den 5. Dezember 1910.
.
_-_
1) 1. c. p. 942 und iihnlich in einer kiinlich erechienenen Arbeit
von M. Born, Gott. Nachr. 1910. Sib. vom 28. Mai.
(Eingegangen 7. Dezember 1910.)
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