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Bemerkung zu unserer Arbeit ber die Kinematik und Dynamik der nichtlinearen Kontinuumstheorie von Versetzungen.

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H.-A. BAHRund H.-G. SCHOPF:Nichtlinea.re Kontinuumstheorie von Versetxungen
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Bemerkung zu unserer Arbeit
iiber die Kinematik und Dynamik der nichtlinearen
Kontinuumrtheorie von Verretzungen
Von H.-A. BAHRund H.-G. SCHOPF
Die in unserer Arbeit [ 11 durchgefiihrten Uberlegungen konnen in zweierlei
Hinsicht verbessert werden.
1. Fur die GrijBe der potentiellen Energie U ist die h d e r u n g maBgebend,
die die infinitesimalen Abstiinde je zweier sich im entspannten Zustand um
d d k ) unterscheidender materieller Punkte bei der elastischen Deformation erfahren:
ds2 - clu2 = 2dx(k) ax(') E&) ,
wobei
ds2 = dik dxi dxk
dU2 = d(i)(k) axc') d d k ) .
Da bei dieser Deformation dx(E) im Unterschied zu d x k oder dxK fixiert ist,
sollte der obenerwiihnte physikalische Sachverhalt durch
= u (&:Lj(i))
(1)
zum Ausdruck gebracht werden. Das entspricht dem Verfahren in der konventionellen Theorie, wo in Abwesenheit von Versetzungen der entspannte Bezugszustand mit dem sogenannten Anfangszustand K zusammenfallt,. Das Materialgesetz schreibt sich jetzt wegen (1)in der Form
2. Wie bereits in 2 . 6 . diskutiert, ist die Beriicksichtigung der kinematischen
Nebenbedingung (13.4.) bei der Variation der Vektoren ALk) mit Hilfe von
LAaRANGESChen Multiplikatoren gewissen Zweifeln ausgesetzt. wir schlagen
daher vor, in einer analogen Weise zu verfahren, wie in der Punktmechanik die
virtuellen Verriickungen beim Vorliegen von skleronom-anholonomen Bedingungen eingeschrankt werden. Indem wir also die virtuellen Verriickungen 8 9
und d5YE) der Teilchen- und Versetzungsorte als mogliche Verriickungen auffassen, haben wir an diese dieselben Forderungen wie an die wirklichen Verriickungen vkdt bzw. G k d t zu stellen. Die Oberlegungen, die zur Herleitung der
3 20
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft 6/6
1569
kinematischen Grundgleichung fuhrten, sind sodann einfach zu wiederholen
und ergeben fur die Variation der Gittervektoren:
dA;!)
+ 265''
A i i ! p l $- (AC'SX')
,k =
O
oder auch (unter Berucksichtigung von 6(Akk'A (k1 ) )
+
=
0,
+
6A&
b X " 6, A:) - Ark) a , 6 X k
2 ( 8 X 7 ' - 62.") A& an: = 0 .
( 3)
Wie zu erwarten, ist das f i i r 62'' = 6 9 (keine Verriickung der Versetzungen
relativ zum Medium) der gleiche Ausdruck \vie fur die Variation des Deformationsgradienten in der konventionellen Theorie (s. (23.5.)), aobei formal K durch
(k)zu ersetzen ist.
Mit ( I ) , (2), (3) kann nun die Variation der LAcRaNcEschen Funkt,ion
einfacher als in (2.i.) durchgefiihrt werden. Unter Ausnutzung von
ergibt. sich
hL
=
{-
r)ak
d
-& 2',+
+ U p J + 2a;1
1
+
bFk{-220',nki"}.
EYentsteht also bei der Variat,ion der Versetzungsorte 6 Z k allein die PEACH3(0EHLRR-&aft,
i
11
k k = - 2a,&ah,
hier in durchsichtiger Weise nichtlinear verallgemeinert als in 2.6. Es tritt bei
diesem Variationsverfahren also zur PEACH-KOEHLER-KFaft kein Zusatzterm
vom Typ einer LORENTZ-&aft auf. Wie zu erwarten ist, ubertragen sich somit
die Uberlegungen aus der linearen Theorie [ a ] ohne weiteres auf die nichtlineare Theorie, w o ebenfalls die reversible Versetzungsbewegung allein durch
das Verschwinden der PEACH-KOEHLER-%aft bestimmt ist.
AbschlieBend sei noch bemerkt,, daB konsistenterweise wegen (1) in der
Energiebilanz (21 .lo.) die PEACH-KOEHLER-Kraft (21.11.) durch (4) zu ersetzen
ist.
uteraturverzeichni6:
[I] BAHRH.-A. und H.G. SCHOPP,Ann. Physik 21 (1968) 57.
[2] BAHRH.-A, W. POMPE
und H.-G. QCHOPF, phys. stat. sol. 28 (1968) K23.
D r e s d e n , Bektion Physik der Technischen Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 1. August 1968
Verantwortllch
fur die ScMftleltung: Prof. Dr. G. Rich ter, 1199 Berlin-Adlershof. Rudower Chsusaee 5 ; fUr den Anzeigenteil: DEWAQ-Werbung Leipzig. 701 Leipzig, BrflhlS4-40. Buf 29740. 2.2. gllt AnmigenpreisliateS.
Verlag: Johann Ambrosiue Barth, 701 Leipzig. Salomoestr. 18B, F e d : 2 6245. VerMfentlicht unter
der Lizenz-Nr. 1396 des Presseamtes beim Vorsitzenden des Ministerrates der DDR
Printed In Qermany
Druck: Paul Dhnhaupt KO. DDR-437 K6then (IV/5/1) L 40/00
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