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Bemerkung zum elementaren Beweise des Green'schen Satzes.

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X VII. Bernerktzcng xum elernentaren Bewsise des
Green’schen Satxes; von P. M o l e m b r o e l .
In diesen Annalen l) wurde von mir gezeigt, wie der
Gr e e n’sche Satz, oder vielmehr eine specielle Form des-
selben , auch ohne die Zuhiilfenahme der Differentialrechnung hergeleitet werden kann. Ich erlaube mir jetzt noch
zu bemerken, dass auch die allgemeine Form jenes Satzes
welche man gewohnlich durch die Gleichung :
auap7+.auai.
- -+-dr=
1 S( a>
I
a.?
a,y a g
yav)
a.
-jJ,.a-udS
a
-p-l’dUdt
ausgesprochen findet, mit geringer Abanderung des 1. c. gefuhrten Beweises erhalten werden kann.
Z u diesem Zwecke seien zwei getrennte Systeme mit
den Raumdichten g und Q‘ bezw. in Betracht gezogen. Die
Yotentiale, in einem Punkte von den beiden Systemen herrtihrend, seien U und V, die Krilfte K und K’ bezw. Die
letzteren Grossen mogen einen Winkel (KK’) einschliessen.
W e n n man die dem Potential U zugehorigen Kraftlinien gezogen denkt und auf einer derselben zwei einander benachbarte Punkte P,Q wahlt, so gilt die Gleichung:
VQ - Vp = - K i . PQ cos (KpK;),
(2)
wo die Indices mit derselben Bedeutung wie in dem citirten
Beweise angewandt sind.
Denkt man den von der in Betracht gezogenen Oberflilche eingeschlossenen Raum durch die zum Potential U
gehorigen Kraftlinien in Theile zerlegt, nennt wieder cu den
senkrechten Schnitt, d r das Volumenelement einer solchen
Rohre, so erhalt man, indem die Gleichung (2) mit Kpwp
multiplicirt wird:
- K p K i cos (h’pKi)d r p = ( V Q- T’p‘ K p ~ p ,
1)
P. Molenbroek, W e d . Ann. 40. 1). 157. 1890.
785
I? Mdenbroek. Green'scher Satz.
eine Relation, welche in jedem Punktepaare einer Kraftlinie
stattfindet.
Das Gleichungesystem (1) des citirten Beweises geht
nun uber in das nachstehende:
- Ki K,'
- K) Ki
cos (Ki Kj') d t i = ( V A
wi
- VA)l < W~ A
- KA K i cos (KaXi) d t a = ( VB
- K B K ~c o ~ ( K g K i ) d t ~ = ( V c - VKBWB
~g)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- KzK; cos(KzK4) d t z = ( V v - Vz)K Z C U Z .
DASWcitere erfolgt genau wie bei dem friiheren Beweise.
Schlieaslich gelangt man soddnn zur nschstehenden Gleichung:
2 K K ' cos(KK') d t = - 5'. V K n d O + 4 z 2 V q d t
in Uebereinstimmung mit (1).
A m e r s f o r t , den 2. August 1891.
Ann. d. Phys. u. Chem. N P. XLIV.
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