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Bemerkung zur Temperaturabhngigkeit des elektrischen Widerstandes.

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J. iveixner. Bemerkuitg zur Temperaturabhangigkeit usw.
609
Bemmkung mr 2’empmaturabhUn.gigkedt
des elektrdschen wsderetandes
Von J. MeCxner
Der Widerstand eines Metalls hangt von der Temperatur T und
vom Druck p ab, R = R(T,p). Da aber p und T , zusammen mit
dem Molvolumen V , der Zustandsgleichung genugen, so kann man
p und V durch T ausdrilcken und daher den Widerstand auch als
Funktion von T und V betrachten, R = R ( T , V). F u r die Messung
ist es bequemer, die Temperaturabhangigkeit des Widerstandes bei
konstantem Druck zu verfolgen. Die Leitfahigkeitstheorie l@t dagegen einfachere Verhaltnisse erwerten, wenn man die Temperaturabhangigkeit des Widerstandes bei konstantem Volumen untersucht.
Die Sachlage entspricht also genau der bei den spezifischen Warmen
fester Kiirper bei konstantem Druck bzw. Volumen.
Die Temperaturabhangigkeit des Widerstandes bei konstantem
Druck laSt sich leicht auf den Fall konstanten Volumens umrechnen.
Es ist
Nach den Definitionen der isothermen Kompressibiliht und des
(raumlichen) Ausdehnungskoeffizienten ist
(2)
(*)aT
-4
v-
)[
und daher folgt aus (1)
(3)
Zur Bestimmung von (d R/d T! braucht man also (d Rid T)P,
( d R / d p ) T ,u und y . I n der experimentellen Literatur werden im
allgemeinen die sogenannten Temperaturkoeffizienten des Widerstandes
zwischen 0 und looo C angegebeu (wir bezeichnen sie mit Pp im
Fall konstanten Drucks, mit Py im Fall konstanten Volumens).
Man kann auf diese umrechnen, indem man (3) bei konstantem
Volumen von 0 bis 1000 C integriert und dann durch 100 R (273)
dividiert. Bequemer ist es jedoch, direkt von den Definitionen
610
Aniinlelt der Physi3i. 5. Folge. Band 38. 1940
auszugehen, wo unter p ' i n pv der Druck zu verstehen ist, der sich
einstellt, wenn man bei konstantem Volumen von der Snfangstemperatur To = 273O abs. und vom Anfangsdruck p , = 0 auf
T = 373O abs. erwiirmt. Man kaun diesen Ausdruck aus (2) in
guter Naherung zu
p
ij1
=
-x
( T - To) 2
berechnen. F u r Na, ergibt sic11 bei T - T,, = 97,5O (Schmelzpunkt)
rund 1300 Atm.! f u r Au bei T - To = looo rund 7400 -4tni. I n
diesen Druckbereichen ist die Naherupg (5) noch zulassig, wenn nian
allenfalls mittlere Wcrte von u und x einsetzt. h u s (4)folgt nun
niit Hilfe von (5)
Ferner ist naherungsweise
a In R (37321-1 )
6 In R ( 2 7 3 , ~ )
+
(7)
~~
Bei 100
-
*
3P
. a&,
aP
aP
al,
handelt es sich urn eine kleine Iiorrektur. die
mit Ausnahme der Alkalimetalle praktisch verschwindet.
GroBenordnung abzuschiitzen, setze man
Um ihre
Dann ergibt sich nach B r i d g m a n ' ) f u r Li
anderen Alkalimetalle
2%g1'
z 0, fur die
aP
- 7 10-o bis - 10 lo+'.
Diesen
C P
-
-
Betrag hat man neben d In R l d p hijchstens f i r Na in Rechnung zu
stellen (vgl. Tab. l), um so mehr, als f u r die Metalle K, Rb, Cs mit
einem Schmelzpunkt unterhalb 100 O C der Temperaturkoefiizient p,
fiir das Interval1 von T,, bis zum Schmelzpunkt Ts definiert mird
iind daher in (7) a n Stelle von 100 nur ( T s - 273) eingeht. Es
wird also
(9)
p y
=
p p + (1 + loop,).
+.
A
aln R ( 2 7 3 , ~ )
aP
Diese Formel erlaubt die Umrechnung der sogenannten Temperaturkoeffizienten des U7iderstandes zmischen 0 und looo C ineinander. Sie ist nicht exakt richtig im Gegensatz zu (3) wegen
der bei ihrer Ableitung begangenen Vernachlassigungen; bei den in
Tab. 1 berechneten Werten von pv diirfte jedoch der Fehler nicht
sehr ins Gewicht fallen.
1) P. W. B r i d g m a n , a. a. 0.
J . Meixner. Bemcrkung zur Teinperalurabhangigkeit uw. 611
Vom Stnndpunkt der Metalltheorie ist zum Temperaturkoeffizienten des Widerstandes folgendes zu sagen. F u r Temperaturen
geniigend weit oberhalb der D e b y e schen charakteristischen Temperntur 0 sol1 bei reinen Metallen der Widerstand proportional zuin
mittleren Quadrat der Amplitude der Gitterschwingungen, also proportional zur absoluten Temperatur sein. Dieses Ergebilis wird
unter der Voraussetzung konstanten Volumens hergcleitet. Daraus
wiirde folgen , daB der !l’emperaturkoeffizient des Widerstandes
d l n R/dT gleich 1/T ist, also fur alle Metalle mit geniigend tiefer
charakteristischer Temperatur gleich 0,00366 bei T = 273” abs.
Derselbe Wert miiBte sich fur pv ergehen.
Die gemessenen Temperaturkoeffizienten sind fast alle groBer
als 0,00366. Folgende Tatsachen f iihren zu Abweichungen von
diesem Wert.
1. Der gemessene Temperaturkoeffizient ist, wie schon erwahnt.
bei konstantem Druclc und nicht bei konstantem Volumen gemessen.
Das bedingt bei allen Metallen mit negativem (dR/dp)Teine VergriiBerung des Temperaturkoeffizienten pp gegeniiber Bv, bei Ca,
Sr, Ba, Li mit positivem ( d R / ~ ? peine
) ~ Verkleinerung.
2. B’alls T iiicht geniigend hoch uber der Debyeschen charakteristischen Temperatur 0 liegt, ist der Temperaturkoeffizient I j v
groljer als 0,00366. Nach Griineisenl) ist der Verlauf des Widerstandes bei konstantem Volumen im ganzen Temperaturbereich durch
63
darzustellen. F u r T Z 0 kann man dies nach Potenzen von -F
entwickeln und erhalt
lnsbesondere wird
8
2
p v = 0,00366
0,000352 (273)
(12)
+ ..‘..
Die hoheren Glieder in (12) konnen vernachlassigt werden.
3. Die Abnahme des Entcirtungsgrades des Elektronengases bei
steigender Temperatur wirkt im Sinn einer Verkleinerung des Temperaturkoeffizienten. Sie ist selbst bei einigen Ubergangsmetallen mit
uiedriger Entartungstemperatur kaum merklich.
4. Bei nicht ganz reinen Metallen tritt zu (10) noch ein Restwiderstand, der wegen seiner Temperaturunabhangigkeit im Sinne
+
-
-
1) E. G r i i n e i s e o , Ann. d. Phys. [5] 16. S. 530. 1933.
61 2
Annabn der Physik. 5. Folye. Band 38. 1940
einer Verkleinerung des Temperaturkoeffizienten des gesamten Widerstandes wirkt, ihr Betrag kann nur bei Kenntnis des Restwiderstandes angegeben werden, er kann aber bei sehr reinen Metallen
bei Zimmertemperatur vernachlassigt werden.
Sehen wir von den unter 3. und 4. aufgezahlten Einfliissen ab,
so miiBte der theoretische Wert von /?, nach (12) gleich dem aus
dern gemessenen ,t&, nnch (9) berechneten Wert von By sein. I n
Tab. 1 sind die beobachteten (d. h. aus den gemessenen p, berechneten) Werte von PV den theoretischen Werten fur die Alkalimetalle und ftir die Edelmetalle gegenubergestellt. Die MeSwerte
von p, und alnRlt3p beruhen auf Untersuchungen von Bridgman');
die letzteren beziehen sich auf O o C und auf den Druck Null. Die
raumlichen Ausdehnungskoeffizienten cz und die Kompressibilitaten x
sind einer Zusammenstellung von B o r e l i u s a ) entnommen.
Die Alkalimetalle sind fur einen Vergleich der beiden Werte
von IgY besonders giinstig'-r zwar ist bei ihnen a/x wesentlich kleiner
als bei den librigen Metallen, das wird aber durch die groBen %'erte
von d l n R l a p mehr als ausgeglichen. Mit Ausnahme von Li kann
man bei allen Metallen der Tabelle von befriedigender fibereinstimmung der beobachteten und der theoretischen Werte von p V
sprechen and wohl auch von einer Bestatigung der Gruneisenschen
Widerstandsformel (10); obwohl die Unterschiede zwischen /Iv und
0,00366 nicht gro6 sind, liegen sie zweifellos im allgemeinen hinreichend weit auSerhalb der MeSfehlergrenzen. Bei Cs wird die
ubereinstimmung zwischen den beiden Werten von By noch verbessert, wenn man den Wert p,,=O,OO443 von G u n t z und B r o n i e wski 3, zugrunde legt. l)ie verhaltnismaBig groBe Diskrepanz bei
Li wird verringert, wenn man von dem Wert P, P 0,00437 von
Meif3ner4) ausgeht. Der verbleibende Rest, der wohl au6erhalb
der MeSfehler liegt, scheint darauf hinzudeuten, daS die angenommene
charakteristische Temperatur zu klein ist. Das stimmt mit den
Bestimmungen von 0 aus den spezifischen Warmen durch Simon
und Swain6) ilberein, die bei tiefen Temperaturen 0 = 328, bei
hohen Temperaturen 430° abs. ergeben. Mit dem letzteren' Wert
wurde
= 0,00453.
Auch bei den ubrigen Metallen des regularen Systems ist die
1) P. W. B r i d g m a n , Proc. Nat. Aead. 3. S. 10.1917; Proc. Amer. Acad.b2.
S. 571,1917; 56. S. 59.1921; 58. S. 149. 1923; 00. 6. 383.1925.
2) G. B o r e l i u s , Handb. d. Metallphysik I/]. S. 220 und 224. Leipzig 1936.
3) A. Guntz und W. B r o n i e w s k i , C. R. 147. S.1474.1908; 148.S. 204.1909.
4) W. MeiBner, Ztscbr. f. Phys. 2. S. 373. 1920.
5) F. S i m o n u. R. C. S w a i n , Ztechr. f. phys. Chem. B, 28. S. 189. 1935.
J . Meixner. Benzerkung zur Temperaturabhiingigkeit usw. 61 3
ubereinstimmung zwischen dem beobachteten und dem theoretischeri
Wert von /IJ- im allgemeinen gut.
I n tiefen Temperaturen wird der Unterschied zwischen p, und
pp- geringfiigig, da dort a l n R / a p und ,y in ihrer GroBenordnung
ungeiindert bleiben, wahrend a: ungefahr proportional zur spezifischen
mit abnehmender
Warme abnimmt; andererseits nimmt (dln R/d
Temperatur stark zu.
Die Notwendigkeit der Umrechnung der Temperaturabhiingigkeit
des elektrischen Widerstandes von konstantem Druck auf konstantes
Volumen beim Vergleich mit theoretischen Ergebnissen zeigt sich
auch darin, da6 man nach G r i i n e i s e n l ) R besser in der Form
Ta (1 + a, T + a2T2)mit geeigneten Koeffizienten a, und ad darstellt, um bei hohen und bei tiefen Temperaturen die MeBergebnisse
wiederzugeben. Die theoretische Bedeutung dieses Zusatzfaktors
1 + a, T + a2T 2 liegt mindestens aum Teil darin, daB der verallgemeinerte Ausdruck fur R die Temperaturabhangigkeit des bei
konstantem Druck gemessenen Widerstandes darstellen sol]. Eine
Umrechnung auf konstantes Volumen wiirde eine Darstellung des
Widerstandes in derselben Form mit wesentlich kleineren Werten
von a, und a2 ermoglichen, wenn man nicht gar mit der Form
R = T o die MeBergebnisse innerhalb der MeBfehlergrenzen darstellen kann.
Tabelle 1
-
3 *
106
100 pp
beob.
;I.106
~
363b)
202b)
163b)
58")
42')
316")
215")
170"
Li
Na
K
Rb
cs
cu
Ag
Au
~
$.
6,8
- 66,3
- 175
- 179
- 190
- 2,Ol
3,58
- 3,12
-
_
0,458
0,547
0,541")
0,481
0,496
0,429
0,407
0,397
_
0,478
0,408 dl
0,377")
0,371
0.406e,
01410
0.379
0,428
0,385
I
0,379")
0,388'1
0.367 el
0;413
0.388
Remerkuizgen zur Tnbelle:
a) Aus der Temperaturabhangigkeit der spezifischen Wiirme.
b) Aus der Temperaturabhhgigkeit des elektrischen Widerstandes.
c) AUE dcr L i n d e m a n n s c h e n Schmelzpunktformel.
d) Wiirde man 8,<,;ap nach (7) beriicksichtigen, so wiirde sich dieser
R e r t auf 0,356 verbessern.
e) Hier sind die sogenannten Temperltturkoeffizienten zwischen O o C und
dem Schmelzpunkt des betreffenden Metolls angegeben. Dementsprechend ist
in (9) die Temperaturdifferenz 100 durch die Temperaturdifferenz znisclien
O o (' und dem Schmelzpunkt zu ersetzen.
~
~
~-~
1) E. G r u n e i s e n , a. a. 0.
Annalen der Pliysik. 5. Folge. 38.
40
~
61 4
Annalen der Ph!ysik. 5 . Folge. Band 38. 2940
Ein Versuch, den EinfluE der M’iirmeausdehnung auf den elektrischen Widerstand zu bestimmen, wurde von M o t t und J o n e s ’ )
unternommen. Sie erhalten, f u r T 9 0 ,RIT proportional zu 1 + 2uy T ,
a1n 0
wo y = - (1 T’ , C,. = Rlolwlrme, V = Nolvolumeu. Bea1uv
-
XC,.
iiicksichtigt inau nocli die theoretische Beziehung
a hR
-
dP
=
- 2yx,
die unter der Voraussetzung ableitbar ist, daB sich der Druck nur
auf die I) e byesclie charakteristische Temperatur, aber nicht auf
die Gestalt und Besetzangsverhlltnisse der Energiebiinder auswirkt,
so komrnt man auf eiue (3) entsprechende Formel zuriick. (3) gilt
aber ohne solche einschriinkeuden Voraussetzungen. Beini Vergleich
mit der gemessenen Te111~~eraturaLhliigiglreitdes elektrischen Widerstandes von Cu, Ag, du. M’, den M o t t und J o n e s irn Temperaturgebiet von etMa 500-1000O ( ’ vornehmen, ist zu bedenken, daW
bei so hohen Teinperaturen die Gitterschwingungen siclier nicht
mehr hinreichend harmonisch sind. Das diirfte sich ebenso wie
auf die spezifische JTYhne aucli auf den Widerstand in einer heute
theoretisch noch nicht erfaEbnren Reise auswirken. Deshalb erscheint es zweckniiiBiger, den Vergleicll, so wie das hier geschehen
ist, bei niedrigeren Temperaturen vorzunehmen.
1) N. F. M o t t u. H. J o n e s , The theory of the properties of metals
and alloys, Oxford 1936, S. 268.
Berlin,
Institut.
I. Institut fur tlieoretische Physik und I. Physikalisches
(Eiugegangen 1 . Uktober 1Y40)
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