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Bemerkungen ber die Polpunkte eines Magnets.

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62
VI.
Hemerkungen iiber die Polpurrkte eines
.lWugraets; m n E'driard Z l i e c k e .
(Der liunigl. Geacllschaft der Wisscnschafteo zu Gottingen mitgetheilt
den 22. Mai 1872.)
I v e i i n wir die Wirkung eines magnetisclieii Kiirpers
auf eineii aufserliwlb desselben gelegenen Punkt Letriichten,
so koniieii wir uns die Aufgabe stellen, ein System von
zwei niagnetisc:lien I'olen so zu bestininien, darb es auf
den betritchteten Punkt dieselbe Wirkung ausiibe wie der
gegehene Magnet. Diese Aufgabe wird zuniichst eine uiiendliclie Zahl von L6sungen zulasseri ; zn einer bestirnuiten
wird sie erst, wenn wir an das Systenr der Pole noch die
folgenden Anforderungvn stellen.
I . Die in denselbeti vereinigt gedachten Massell sollen
gleich y r o p aber eiitgeyengesetat seyn.
2 . Das magnetisrhe Moment des O O I I den beiden Poleri
yebildeten SystemPs soll gleich seyn dem maynetisrhen
Moment des yeyebeneii Korpers.
3. Die beiden Pole sollen anf eirier gegcbenrn geruden
Linie, o. 8. der niagnetischen Axe des Korpers, symntetrisclr
ozc einem mtf dieser Axe grgebenerb Punkle etwa dem Miltelpzrnkte des Magnets gelegeri seyn.
Unbestimmt bleiht danii nur noch der Ahstand der
beiden Pole von einander uiid zur Bestiinmung dieses
Abstandes wird die zu Ailfang gestellte Bedingung genugeii, dafs die Wirkung der heiden Pole fur einen gegebeneri aufsyeren Piiukt identisch seyn soll init der Wirkung des gegebenen Magnets.
Aus dieser letzten Bedingung crgiebt sicli unmittelbar,
Jars die Lage der Pole nbhangt von der Lage des gegehenen iiulseren Punktes, dafs also ini allgerneinen fur jeden anderen gegebeiivn Pnnkt die Lage cler Pole einr and t w 3 seyn w i d , wie dieL L a n i o lit, Handbucli dcas Magiicitisinus s. 295, fiir den Fall cines IJinc.arrnagiirtes writ e I' a LI sgefill1 I't l1at.
Von practischer Bedeutung ist die Frage nach den
Polpunkten brsonders in zwei Fallen magnetischer oder
galvanischer Maal'sbestinimung , einmal hei der Bestimmung eines Stab~nagnetisniiis aus der Ablenkung einer
Magnetnadel, und d a m bei der Bestimmung einer Stronistiirke rnit der Tangentenbussole; es erschien deshalb nicht
ohne Interesse , diese beiden Fdle etwas eingehender zu
behandeln.
Die Voraussetzungcn, von denen wir hierbei ausgehen
werden, sind folgende.
1. Der heirochtete Magnet, gleic~hgullig ob Ahknkuirgss t a b , oder Nadel einer Tuwgentenbirssole b e s i k t drei ail
einander senkrechte Synimetrieebenen.
2. Die ideale Vrrtheilung des Magnetisnius arr der Oberflache des Magnets sey symmetvisch gegen dieselben drei Eben e n , so dafs der mit neyativer magnetischer Masse belegte
Theil der Oherflache des Mugnets i)on dem mit positiver
Masse belegten durch eine der Symmetrieebenen geschieden
wird.
3. Die Entfernung derjenigen Punkte oder Stronielemente, fur loelche die zugehorigen Polpunkte des Magiiets
bestimmt werden sollen von dem Mittelpunkt des letttrren
sey so grors, dars die funften Potenzen der Dimeiisionen
des Magnets 1;ernachlassigt werden konnen, yegen die funfte
Potenz j m e r Entfernuny.
I.
Pole eiiies Ableukungsmag~~etes.
Den Mittelpunld des Magnrts niachen wir zum Mittelpunkt, die Symnietricaxen z i ~A s r n eines iditwiukligen
Coordinatensystems, durch drssen y s -Ebene die niit entgegengesetzter magnetischer Masse belegten Theile der
Oberflache der Nadel von einander getrennt seyn mijgen ;
es wird dann die %-Axe des Systems zi~saminenf~dlen
niit
der magnetischen Axe des Magnets. Der Einf:ichhrit halber bescbriinken wir tins auf die Wirlrung, welche der
Magnet ausubt auf eiiieri in der z y - E b e n e gelegenen
Punkt init den Coorclinateii u 6 . Irgend eiit P u n k t der Ober-
64
flsche des Magiiets sey belegt niit der nordmagnetischen
Masse p. Das Potential dieser Masse auf den Punkt P
ist dann gleich
II
-
r
wo
rz = (.: - u ) +
~ (y - b)? + 5'.
Fuliren wir an Stelle der rechtwiukligen Coor di II ate n
Polarcoordinatcn cin durcli die Gleichiingen :
fl: = p cos 9 cos lp
n = e cos u
a = e sin c(
y = cos ,'/ sill y
5 = p sin 3
nnd setzen wir:
cos 3 .cos ( a - y) = u,
so ergiebt sich durch Entwicklung nach Potenzen von
3- fur das Potential der Werth
wo
P', P2, P', P4 Kugelfunctionen erster bis vierter Ord-
nung von u.
Dem Punkte zyz; niit der hIasse p diametral gegeniiber liegt auf der Oberflache des Magnets ein Punkt
mit den Coordinaten - 5, - y, - 2; und der Masse - p.
F u r das Potential dieses Ponkts auf den Punkt P ergieht
sich der W e r t h
- 5!' l + ~ P ' ( - t 2 c ) + O 1 P y - u ) + ~
e
i
e
P"-U)
el
Das von den beiden Punkten zusammengenommen auf
den Punkt P ausgeiibte Potential ist demnach
e
Bilden
Oberflache
sen p und
halten wir
e
P ' ( u ) t p i ) j .
wir diesen Ansdruck fur sammtliche auf der
des Magnets vertheilte nordmagnetische Masaddiren wir alle so erhaltenen Terme, so erdas von der gesanimten Oberflachenbelegung,
65
oder von dem blagnete sell-1st arisgeiibte Potential.
ergiebt sich dcmnach fur dieses Potential der Werth
w = e'2
Z'U
Q
Es
2
P' (u)+ 7
2 , uQ3 P3 ( u ) ,
wo die Summen sich erstrrckeu iibcr die ganze mit nordmagnetischem Fluiduin bedeckte Halfte der Oberflache;
eine weitere Ausfiihrung dieser Summen mit Rucksicht
auf die vorausgesetzten Symmetrieverhaltnisse giebt :
2 p p P' (?A) = 4 cos u Bu x
s
,
t
C
(J3 P3( U ) =
(lOcos?a-66) Y u d
- cosa +(30sinLcc - 6 ) B , u s y Z
I
-
1
-6Z',uxa2
i
wo die Summen nur noch uber denjenigeii Theil der Oberflache des Magnets zu erstrecken sind , welcher innerhalb
des durch die positiven Zweige der Coordinatenaxen gebildeten Oktanten licgt.
Setzen wir an Stelle des gegebenen Magnets zwei
magnetische Pole mit den Massen M und - J l , welche
zu beiden Seiten des Mittelpunkts in dem Abstande 2 L
arif der x - A x e gelegen sind, so ist das Potential derselben
auf den Punkt P
2
V= 3
nz L P' ( c o s n )-I,
2
il.I L3 P' (cosa).
Die beiden Potentiale V und W werden identisch seyn,
wenn in den fur dieselhen gegebenen Ausdrucken die
Co&fficienten der entsprechenden Potenzen voii e gleich
sind, wir erhalten deinnach die Beziehungen:
I. M I , P' (cos a) = 2'L< 11 P'(u)
11. ML'PyCos u ) = 2 ' / L Q 3 P 3 ( U )
aus welchen sich die Werthe von M und L bestimmen
lassen.
F u h r i n wir an Stelle von P'(cosa) und P3(cosa) die
bekannten Werthe dieser Funktionen, an Stelle der auf
der rechten Seite befindlichen Summen die oben gegebePoggendorffs Annal. Bd. CXLIX.
5
66
nen Ausdriicke ein, so reducirt sich die erste Gleichunp
E d :
I'.
JlL = 42'61 2,
d. h. die erste Gleichung ist identisch mit der von uns
zu Snfang gestellten Forderung, Jars d:is magnetisclie
Mornent des voii den beiden Polen gebildeten Systemes
gleich seyn sol1 dem Moment des gegebenen Magnets.
Durch Elimination von M ergiebt sich dnnn fiir Bestimmung von L
H a t der betrachtete Magnet insbesondere die Gestalt
eines Rotationskorpers, welcher die x - A x e ziir Rotationsaxe hat, so ist:
2 p xy2 =Z ' p x a 2
und es ergiebt sich dann:
Wir konnen die in diesen Forrneln euthaltenen Resultate folgendermaken zusammenf.<men.
Um den Mittelpunkt des Magnets beschreiben wir in
einer durch seine A x e hindirrch gehenden Synrmetrieebene
einen Kreis n i i t einern solchen Hulbmesser R , dabs die funfte
Potetiz der Lange des illagnets vernachlb'sszg! werden kann
gegen die funfte Potens von R.
illit Bezng uuf alle aufserhulb des Kreises R anf einem
durch d e n Mittelpunkt des Magnets geaogenen Radius liegenden Punlcle konnen wir dann den Mngnet ersetaen durch
ein und dasselbe P a w magnetischer Pole, dagegen andert
sich die Lage der Polpunkte mit der. Riclifung der Radien.
Nur wenn der ijetiurhtefe Mlngnet die Gestalt eines Rotationskorpers besilat , drsseii A x e nrit der magrietaschen
A x e ausaminetrfallt , ist die Lage der Polpiinfite unabhaiagig
con drr Richinng drr llatliiw, das Polpaar also fur samnt-
67
liche aurserhnlb des Kreises R liegeriden Punkte ein und
dasselbe.
Fiir ein gleichfijrmig magnetisirtes Ellipsoid z. B. ergiebt sich fiir Bestiminnng der Lage der Polpunkte die
Gleichung
wobei vorausgesetzt ist, dafs die magnetische Axe des
Ellipsoides zusamnienfallt mit der Hauptaxe a, und dalb der
betrachtete aukere Punkt in der Ebene der Axen a, 1)
gelegen ist
Insbesondere wird fur b = c
L2= (a2 - b*).
11.
Vergleichung der vorhergehenden SLtze niit den Resnltateu tler cxperimentellen Bestimmiung der Pole eines Magnets Y O U elliptiseher
Gestalt.
Hetrachten wir die Gleichung, drrrch welche nacli dem
Vorhergehenden der Abstand L der Pole von dem Mittelpunkt eines symmetrisch gestalteten Magnets bestimmt
wird, so leuchtet ein, d a k bei Stabmagneten, welche im
Verhiiltnik z u ihrem Querschnitte eine betrachtliche Lange
besitzen, die Geiden letzten Glieder der recbten Seite im
Verhiiltnifs zu dem ersten kleiue Werthe besitzen werden;
denn bei eiiiem solchen Stabe ist der freie Magnetismus
hauptsachlich angehiiuft an den beiden Endfliichen , und
fur die Punkte der Endfliichen sirid die Cloordinaten y und 2,
verhaltnifsm%fsig klein gegen die Abscisse .I-. Es wird
demnach bei einem Stabmagnete von gestreckter Gestalt
der Abstand der Pole von dem Mittelputikt desselben wesentlich bestimmt seyn durch das erste Glied unserer
Formel und wir werden daher mit Riicksicht auf die Unsicherheit mit der die Polbestimmungen der Natur der
Sache nach behaftet sind, mit geniigender Anniiherung
setzen konnen :
68
Wir sehen, die Lage der Pole ist in diesern Falle
undbliangig von dem Winltel c(, dic Pole sind fiir sammtliclie aul'serhalb des Kreises R liegendcn Punkte dieselben.
Es erschien delshalb iini eine Vergleiohung der vorhergehenden Siitze mit den Resultaten der Bcobaclitung zn
erhalten, zweckmdsig, einen Magnet zu benutzen, dessen
Lauge nicht z u grots war gcgeniiber den Dimensionen
seines Querschnitts. Im hiesigen physiknlisclien Institut
befindet sich eiii Stshlspiegel von elliptischer Gestalt, dessen grolse Halbaxe 26,75 Millinr., dessen kleine Ilalbaxe
d0,75 Millirn. mifst, bei welchem sich also eine ziemlich
betriichtliche Abhiingiglteit der Lage der Pole von dem
Winkel cc von vornherein erwarten liels. Aulserdem schien
eine Bestimrnung der Pole bei diesern elliptischen Magnet
auch del'shulb von Interesse, wcil Mngnete von ahnlich
abnormer Gestalt hiiufig bei Tangeriten bussolen und Midtiplicatoreii benutzt werden.
Urn eiiie mogliclist symrnetrische Verthcilung des Magiietismus zii erreiclien , wurde die elliptische Stahlscheibe
niit ihrer grofsen Axe zwischen die entgegengesetzten
Pole zweier cylindrisclier und vollkominen gleiclier Elektrornagnete gebracht, so d a k die Enden d r r grofsen Axe
von den Polen beriihrt wurden, und dals die Axen der
beiden cylindrischen Elektromagnete mit d e r glolLen Axe
der Ellipse siuli in einer und derselhen Miclitiiiig hrfmd m . Es wiirde nnn bei diesem elliptisclien Magnet die
Bestiinmung der Pole ansgefiilirt fiir zwci verschiedcne
Bichtungen, einnial f'iir die Iiiclitung der kleinen Axe der
Ellipse, dann fiir die Riclituiig cler grolseii Axe; liierbei
konnte die ~nagnetischeAxe als zusamnicwfallend betrachtet werden mit der Riclitung der grolsen Axe. Die Bestiinniung selbst geschah in bekannter Weise dnrch die
Beobachtiing der Ablenkringen, welche eine in der hetreffenden Richtung in verschiedenpr Entferiiung aufgehsngte
Magnetnadcl diirch den elliptisclien Magnet erfuhr , wenn
die grofsse Axe desselben gegcn den magnetischen Meridian senkrecht gericlitet war.
69
Es moge beispielsweise die Hestimmung der Pole fur
die Richtnng der kleinen Axe des M a g n t h etwas weiter
ausgefiihrt werden. In der Mittc einer holzernen in nordsiidlicher Richtunq aufgestellten Schiene war ein kleiner
ltreisformiger M;ignetspiegel aufgehangt , von 25 Millim.
Dnrchmtsser , dessen Ablcnltnngen durch Fernrohr und
Scala beobachtet wnrden; die Entfernnng d r s Spiegels von
cler Scala hetrug 1966 Soalentheile. Auf der Schiene waren in gemessenen Entfernungen von ihrern Mittelpunkte
und symmetrisch zu diesem sudlich und nordlich drei
Ellipsen gezeichnct, in welche die gegebene Scheibe gensu
eingelegt werden konnte.
Bezeichnen wir diese Ellipsen von der siidlichsten an
mit den Zahlen 1 bis 6 , so hatte die Entfernung ihrer
Mittelpnnkte die Werthe :
600,Ol Millim. fur die ElIipsen 1 und 6
580701
n
n
n
2 und 5
400901
n
3
n
,, 3 und 4.
Als der Magnet successive in die Ellipsen 1 bis 6 cingelegt wurde, ergaben sich f'olgende Ablcnkungen : in Scalentheilen :
Ellipse 1
Ablenkung 175,5
n
2
n
343,4
n
3
n
600,4
n
4
n
600,G
n
5
>.
344,2
n
6
n
175,7.
Die Uebereinstimmung der den synimrtrischen Stellungen des Magnets entsprechenden Ablenkungen zcigt,
dafs der Magnctspiegel sich sehr nahezu in der Mitte
der beiderstits sich entsprechenden Ellipsen befand. Bezeichnen wir durcli T , , r , und T , die HAfttn der Entfernungen, welche die Mittelpunkte der Ellipsen 1 iind 6,
2 und 5 , 3 und 4 von einander besitzen, so entsprechen
demnach den Entfernungen T , , r2 und r3 des elliptischen
Magnets von der Nadel die Ahlenkungen in Scalentheilen
n , = 176,6; n , = 348,8; u , =
~ 600,5,
70
aus welchen die Ahlenkungswinkel selbst ohne weiteres
berechnet werden konnen. Die Rerechnung des Polabstandes geschieht, wenn wir durch r uiid 1" irgend zwei Entfernungen, durch cp uiid y 1 die ihnen entsprechenden
Ablenkungswinkel bezeichnen , nach der Formel
Nach dieser Forniel ergeben sich aus den obigen Beobachtringen zwei Werthe fiir den Polahstand L, indem dns
eineinal die Werthepaare r , , 'pl und r 2 , y2, das anderemal
die Werthqmare r , , y 1 und r j , y j combinirt werden; die
erstere Colnbination gab :
L = 19,108,
die zweite
L = 19,102.
Eine Wiederholnng dieser Beobachtung dnrch Hrn.
S c h r a d e r fuhrte zu den weniger ubereinstimmenden
Werthen :
L = 23,O und L = 19,7.
In derselben Weise wurde die Bestimmung der Pole
nun auch durchgefuhrt fur die Richtung der groken Axe
des elliptischen Magnets, wobei die Schiene in eine ostwestliche Riclitung gebracht, der Magnet in gleichen
Entfernungen ostlich und westlich von der Nadel aufgelegt wurde. AUS zwei den Entfernungen r und T' entsprechenden Ablenkungen 'p und y 1 ergab sich dann der
Polabstand L nach der Formel
Es fuhrten hier nun alle Geobachtungen iibereinstimmend auf einen imaginaren Werth fur den Polabstand L ;
wenn wir also die Wirkung betrachten, welche unser
elliptischer Magnet ausuht auf Punkte, die in der Richtung
seiner Axe gelegen sind, so giebt es keine reellen auf
der Axe liegenden Pole mehr, welche mit dern Magnet
in seiner Wirkung auf jene Punkte Hquivalent waren.
71
Hr. S c h r a d e r fand a m einer Beobachtungsreihe fur L
die Werthe
.L = 25,9 . V T l uiid L = 22,7 . V - I .
~
Eine andere Reihe von Beobachtnngen gab :
L = 23,4. b ' 3 und L = 21,l . V ZT.
Es tritt also bei dem betrachteten elliptischen Magnet
der extreme Fall ein, dafs die Gleichungen, durch welche
der Abstand L der Polpnnkte vom Mittelpunkte bestimmt
wird, fur die Riclitung senlirecht zur Axe auf reelle
Werthe von L f'uhren, wahrend sie fur die Biclitung der
Axe selbst imaginare Werthe von L und demgemiifs auch
imaginiire Pole geben; ein Verhalten , durch welches der
eine dcr von uns gegebenen Satze eine evidente Bestatigung erliglt; iudesseii durften sich die Resultate der Beobachtung auch in genugender Uehereinstimmung mit dem
zweiten Sat/e befinden, dafs fur Punkte, welche eineni
und demselben vom Mittelpunkt ausgehenden Radius angehiiren, das mit dem gegcbrnen Magnet aquivalente Polpaar ein und dasselbe ist.
111. Pole der Nadel einer Tangentenbussole.
Den Mittelpunkt des Stromkreises machen wir zum
Mittelpunkt eines mit demselben fest verbundenen Coordinatensystemes, x, y, 5 , dessen x y - Ebene mit der Ebene
des Kreises zusammenfdlt, die x-Axe denken wir uns horizontal, die y - Axe vertikal nach oben gerichtet , letztere
sey gleichzeitig die Axe, um welche sich die im Mittelpunkte des Kreises aufgehangte Nadel dreht. Mit der
Nadel denken wir uns fest verbunden ein Coordinatensystem g, '7, j , dessen Axen zusammenfallen n i t den Symmetrieaxen derselben. Die Ebene 1,5 moge wiederum die
mit entgegengesetztem Fluidum bedeckten Halften der Nadeloberflache von einander trennen.
Wir setzen voraus, dafs die Nadel so in der Mittte
des Stromkreises aufgehangt sey, dal's ihr Mittelpunkt mit
dem Mittelpunkt des letzteren zusammenfallt, und dafs die
Axe 7 j des niit ihr verbundcnen Coordinntensystems zusamnienfallt mit der Drehaxe y.
Nehmen wir aiif der Oberflache der Nadel zwei diametral gegenfiberliegends Punkte , so werden diese mit glei( her
aber entgegengesetzter niagnetischer Masse belastet
seyn und wir erhalten fiir das Drehangsmoment , welches
der von einem Strome von der Stiirke 1 dnrchflossene
Kreis anf die beiden Punkte ziisammengenommen ausubt,
den Werth:
der Halbmesser des Stromkreises, 2, y, zj die Coordinaten des betrsc hteten Punktes der Oberflache in dem
mit dem Kreis fest verbundeneii System, p seiiie Entfernung vom Mittelpunkte, wid !4 die in ilim vorhandene
magnetische Masse.
Das auf die ganze Nadel ausgeubte Drehungsmoment
wird :
wo
wo die Summe uber die ganze mit positivem Fluidurn bedeckte Hiilfte cler Nadeloberflache zu erstrecken ist.
Fiihren wir an Stelle der Coordinaten z,y, B die Coordinaten 6, t i , 5 und den Ablenkungswinkel cc der magnetischen Axe t aus der Ebene des Stromkreises ein, SO
wird :
D=
16 z
~.
cosaZp8
+7
12 n cos .K 1 - 5 ~ i n ~ n ) Z p ~ ~ + L Y , u
\ ~g~
c(
1
+(15sin~a--4)X,u~<2.
\
Ersetzen wir andererseits die Nadel diirch zwei auf
der Axe gelegene Pole im Abstande L vom Mittelpunkte,
so ergiebt sich fiir daa auf das System dieser beiden Pole
M und - M ausgeiibtc! Drehungsmoment
73
D = - C4On S C C M L
r
+ 3 1 cos a M L3 (1 - 5 sin2a).
Die beiden Momeute : ind gleich, wenn die CoGfficienten der entsprechenden Potenzen von r gleich sind, wir
rrhalten soinit die Reziehungen :
I.
lllL = 4 2 ! 4
MLR(1 - 5 sin2n)
11.
= 4 (1 - 5 sin2a) 2~
+4
Spit,?
+ 4 ( 15 sin2a - 4) z'y 2 5"
Die erste dieser Gleichungen ist wieder identisch mit
der Bedingung, dal's das magnetische Moment des V O
den beiden Polen gebildeten Systems gleich seyn sol1 dern
Moment der gegebenrn Nadel; fiir den Abstand der Pole
ergiebt sich d a m :
F u r den Fall eines Rotationskiirpers ist wieder:
Wir sehen also, dafs bei der Nadel einer l'angentenbussole die Lage der Pole im allgemeinen ahhangt von
dern Ablenkungswinkel; hat dagegen die Nadel die Gestalt
eines Rotationskorpers, so sind die Pole fiir alle Ablenkungswinkel ein und dieselhen, und sie sind in diesem Falle
identisch nait den Polen der als Ablenkungsstab benutzten
Nadel.
F u r ein dreiaxiges geichfijrmig magnetisirtes Ellipsoid
ergiebt sich:
und far h = c
L2 = ;(aZ- b2).
~
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