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Bemerkungen ber die relativistischen Keplerellipsen.

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212
Neuerdings ist von L e n a r d l) die Frage aufgeworfen
worden, mit welchem Rechte der Berechnung der Elektronenbahnen im Atom die ,,spezielle Relativitiitstheorie" zugrunde
gelegt wird. Eine Antwort darauf hat v. Laues) gegeben, indem
er zeigt, da8 nach der Formel der ,,allgemeinen Relativitatstheorie" fur das Schwerefeld einer elektrischen Punktladung
- unter Beriicksichtigung der numerischen Verhitltnisse im
Atom - keine Unterschiede zwischen den Ergebnissen der
speziellen und all gemeinen Relativitatstheorie zu erwarten sind.
Damit ist die Frage im Grunde erledigt. Trotzdem durfte
es nicht ohne Interesse sein, die Fragestellung ein wenig zu
erweitern und die Bedingungen genau festzulegen, unter denen
der Som merfeldsche Ansatz eine ausreichende Anniiherung
an die Forderungen der allgemeinen Relativitatstheorie darstellt. Eine solche Untersuchung driingt sich schon darum
auf, weil, wie bekannts), die Sommerfeldsche Rechnung, auf
das Planetenproblem angewandt, einen vie1 zu kleinen Wert
fiir die Perihel bewegung des Merkur liefert.
Wir untersuchen die Bewegung eines ,,kleinen Korpers';
von der Masse m und der Ladung
e im Felde eines kugelsyrnmetrischen ,,groSen Korpers" von der Masse M und der
Ladung E. Wenn e hinreichend klein gegen E und ebenso m
hinreichend klein gegen M angenommen wird, kann man den
groSen Korper als ruhend und das Schwerefeld als kugelsymmetrisch ansehen. Wiihlt man den Mittelpunkt von M zum
-
1) Vorbemerkung
zu der Arbeit: J. Soldner, Ann. d. Pbys. 66.
S,593. 1921. Man vgl. S. 599, Anm 2.
2) M. v. L a u e , Die Relativitatstheorie. 11. Bd. Braunschweig 1921.
S. 298. AuBerdem Ann. d. Phys. 66. S. 283. 1921.
a) A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien. Braunschweig
1910.
8. 529.
Bemerkunyen uber die relativistischen Keplerell@sen. 2 13
Nullpunkt eines Systems von raumlichen Poltlrkoordinaten r ,
8,‘p, so lautet der Ausdruck fur die MaBbestimmung in gewbhnlichen C.G.S.-Einheiten:
(1)
ds2 = f a d t 2- h 2 d r - r 2 ( d 8 2+ sina8dy2),
wobei
ist, und x = 7,42.10-a9 die durch das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c dividierte Gravitationskonstante bedeutet.’)
Die Bewegungsgleichungen lauten nach der allgemeinen
Relativitgtstheorie im vorliegenden Fall:
dabei ist unter p und Q die Massen- und Ladungsdichte des
kleinen Korpers verstanden, und
(4)
(yi= Komponenten des Viererpotentials)
gesetzt. 2j Unter unseren Voraussetzungen ist auBerdem
E
yo = 7
; fpL = lpZ= y3 = 0 .
(5)
Deiinie;en wir mit W e y l (a. a. 0. S. 201) Masse uud
Ladung des kleinen Korpers durcli die Gleichungen
(6)
mds = p d a ;
- eds = pdx
(dz = dzodx1Jr2da3),
so erhalten wir aus (3) durch Multiplikation mit
Aus diesen Gleichungen beweist man zunachst in genau
analoger Weise, wie beim Planetenproblem, daB die Bewegung
---
1) H. W e y l , liaum-Zeit-Materie, 4. Aufl. Berlin 1921. Q 31 u. 32.
M. v. Laue, a. a. 0. $ 25.
2) H. W e y l , a. a. 0. €4. 201. Der Faktor I/c auf der rechten Seite
von GI. (3) muSte hinzugefiigt werdea, weil bei Weyl die Lichtgeschwindigkeit gleich 1 gesetzt ist.
G, Jaffi.
214
in einer Ebene erfo1gt.l) Diese Ebene wtihlen wir zur Kon
ordinatenebene 4 = setzen noch
2 '
$0
(8)
3
t,
$1
= I',
xp = fp
und finden dann aus (1)
d s 2 = f 2 d x o 2- d o 2
h2 dr2 + raddya = hsdxl* + x1*dx2'.
{ do2
Die nullte und zweite Gleichung (7) lassen sich einmal
integrieren und liefern integriert den Energie- und Fltichensatz in folgender Form:
c m r 2 -dcp
=p.
ds
Dabei ergibt sich fur d r O / d s aus (9) der Wert
d a j d t ist die in natiirlichen Lbgeneinheiten unJ kosmischer
Zeit gemessene Geschwindigkeit des kleinen Korpers. Die
Integrationskonstanten in (10) und (11) sind so bestimmt, daB
die Gesamtenergie W verschwindet, wenn der kleine K6rper i n
grober Entfernung vom groben ruht, und dab p bei sehr kleiner
Geschwindigkeit und sehr grobem t das natiirlich gemessene
Fltichenmoment darstellt.
Die Gleichung (7) mit dem Zeiger i = 1 wird fur das
Folgende nicht gebraucht werden. Da sie aber physiltalisch
1) Man kann den Beweis entweder so fiihren, da8 man von Polar-
n
koordinaten ausgeht und zeigt, da6 9. = -- delr Gleichungen (7) genugt
2
(man vgl. v. L a u e , a. a. 0. S. 218), oder indem man bei karteaischen
Koordinaten zur kontravarianten Form von (7) ubergebt und daraua abdBx' d s x 2 d2xa
leitet, da8 d s l ** __
ds2 .* ___
d s % = 5' : a? :x s ist (8. W e y I, a. a. 0.S. 232).
Bemerkungen iiber die relativiscischen Keplerellipsen.
2 15
nicht ohne Interesse ist, wollen wir sie dennoch aufst,ellen.
Ersetzt man die Differentiationen nach s vermoge (12) durch
solche nach t und figt noch die ebenso behandelte Gleichung
fur i = 2 hinzu, so ergibt sich
Dabei bedeutet:
I 4=
(s)',
eE
K, = - T3
Die linken Seiten von (13) zeigen, dal3 man eiue radiale
und eine tangentiale ,,Masse der Bewegung" zu unterscheiden
hat l); dieser Unterschied bleibt auch bestehen, wenn die beiden
Korper ungeladen sind. (An der ErdoberflLche betragt der
Unterschied etwa 1,6.10-9). Die Glesamtkraft in Richtung der
Verbindungslinie la6t sich als Summe von vier Restandteilen
darstellen : Kl entspricht der Newton schen Attraktionskraft
und ist angeniihert proportional r-2, K2 riihrt von der Gravitationswirkung der Ladung 3, ist abstoBend und angenithert
proportional r-9 K, ist die Zentrifugal- und K4 die Coulombsche Kraft. Die ausgesprochenen Proportionalititen gelten nur
naherungsweise, erstens weil die tangentiale Name an Stelle
der Ruhmasse eingeht und zweitens weil r nicht den natblich
gemessenen Abstand darstellt; au6erdem haben Kl und K ,
Zusatzglieder, die vom Quadrat der Radialgeschwindigkeit
abhangen.
m,r
1) Zu diesem Punkto vergleiche man eine dernnllchst erscheinende
Notim des Verfaesers.
216
G. Jaffe'.
In ghnlicher Weise laflt sich die Gesamtenergie W in vier
Summanden zerlegen
I
w=
$v
wy
1
W, ist die Verallgemeinerung des bekannten Ausdrucks
fur die Energie eines bewegten Teilchens in der speziellen
Relativitatstheorie, W, riihrt von der ,,Anziehung der Massen",
W4 von der Anziehung der Ladungen und
von der abstoflenden Gravitationswirkung zwischen der Ladung E und der
Masse on her: Die Trennung in kinetische und potentielle Energie
1aBt sich nicht mehr durchfiihren, denn einerseits hiingt m,
von der Geschwindigkeit ab, andrerseits enthalt W1 noch
,,potentielletL Glieder, die mit W , und W3 koordiniert sind.
Sowohl bei den Kraften, wie bei den Energien fehlt ein
K, bzw. W3 analoges Glied, das proportional M e 2 ware; das
liegt offenbar an der Vorzugsstellung, die wir A! eingeraumt
haben. Wir kehren zu den Gleichungen (10) und (11) zuriick,
deren Behandlung sich genau in derselben Weise durchfuhren
lafit, wie beim Planetenprob1em.l) Man bringe in (10) das
Glied e E / r auf die rechte Seite und quadriere die Gleichung;
fdhrt man dann gemaB (9) die Substitution
aus, so ergibt sich
1)
233 an.
Wir schlie6en uns an die Rechnung bei H.Wey1, a. a. 0.S. 232,
BemeTkungen Gder die Telativistisehen Keplerellipsen. 2 17
Ersetzt man nun hier f , h und dgDlds durch ihre Werte
aus (2) und (11) und substituiert die neue Variable
Q=-
(19)
so erhalt man schlieBlich
von (11) -
-
1
r '
unter nochmaliger Verwendung
Die eingeftihrten Konstanten haben dabei folgen'de Bedeutung :
I
2 %E3
s, = cP
f
8, =
xc2mM
eE
Gleichung (20) zeigt, da6 Q sich als elliptisches Integral
in Funktion von 'p darstellen la&, und da6 unser Problem
vollstiindig durch elliptische Funktionen gelijst werden kann,
wie es W e y l gelegentlich bereits angegeben hat.l) Fiir unsere
Zwecke wird es geniigen, einige Sonderfalle zu betrachten, und
zwar erweist es sich als bequemer, von der Gleichung auszugbhen, welche aus (20) durch Differentiation hervorgeht:
-- - R - (1 + 6, - aa>e + a, pa - a, p3
2:
(22)
I. Sonderfall. Die Abweichungen der zu untersuchenden
Bewegung von der klassischen Theorie sind, wie die Gleichungen (13)bis (15) zeigen, von zweierlei Art; sie riihren teils
von der relativen Lage det beiden Massen her, teils von der
Geschwindigkeit des bewegten Kcrpers. Der ,,LageeinfluB"
auBert sich in dem Auftreten der Funktionen f u n d h, der Geschwindigkeitseinflufi in d o l d t und dT/dt. M'acht man die
einschiiinkende Annahme, daB der EinfluB der Lage gegen den
der Geschwindigkeit verschwinden 5011, so gelangt man zu den
1)
H.Weyl, Ann. d. Phys. 54. S. 117. 1917. Vgl. S. 131.
Q. Joffi.
218
Verhilltnissen der speziellen Relativitiitstheorie.
Um den
Sommerfeldschen Ansatz zu gewinnen, mu6 man au6erdem
noch fordern, da6 die elektrostatische Anziehung gro6 gegen
die Gravitationswirkungen sein sol].
Es geniigt also nicht, vorauszusetzen, daB die beiden
Zahlen
x
E'
2%$1
und
g2 = 91 = 1'
ce -r') 9
welche die Abweichungen von der euklidischen Metrik bestimmen, in demjenigen Gebiet, in dem die Bewegung stattfindet,
klein egegen 1 sein sollen. Es miissen vielmehr die beiden
folgenden Annahmen gemacht werden:
1. Die Zahlen g1 und g2 sollen klein sein gegen cZ/f2,
wo v = d O l d t die Bahngeschwindigkeit bedeutet, d. h.
2. Die Energiebetrage W, und W,,welche von der Gravitationswirkung der Mttsse M und ihrer Ladung E herriibren,
sollen gegen die Energie der elektrostatischen Anziehung zu
vernachliZssigen sein, d. h.
Da v stets kleiner als f sein muB, folgt aus der ersten
Annahme zunachst, da6 auch g, und g2 selbst kleine Zahlen
sein miissen. Daher wird f = c und h = 1 und aus G1. (14)
ergibt sich
(25)
Das Fhchenintegral (zweite (31. (1 3) bzw. (31. (11)) wird
und der Energiesatz (GI. (16))
Das sind aber genau die Gleichungen, von denen S o m m e r feld ausgeht. l) Unter den gleichen Annahmen verschwinden
1)
A. Sommerfeld, Ann. d. Pbya. 61. S. 1. 1916. Abachn. 11, § 1.
Bemerkungen iiler die relalivistischen Keplerell+sen.
219
aber auch in der Rahngleichung (22) die Glieder mit S,, S,,
und
als Faktor neben den iibrigen, und es bleibt
‘eE
eEm
rY4
W
Das ist wiederum die Gleichung, zu der auch Sommerfeld
gelangt, und es folgt daraus, da0 die von ihm berechneten
Bahnen unter den ausgesprochenen Voraussetzungen aus der
allgemeinen Relativitiitstheorie hervorgehen.
Die LBsung von (28) kihnen wir aus der Sommerfeldschen Arbeit iibernehmen; es ergibt sich
p = - =1
(29)
C(1
+&COSYcp)
mit den Abkiirzungen
Die Bahn ist also, wenn die Exzentrizitit E kleiner als
1 ist, eine Ellipse mit Perihelbewegung; das Vorriicken des
Perihels betriigt fur jeden Umlauf
d y l = 2a
oder, wenn
($ - 1) ,
a2 a h klein vorausgesetzt wird,
Es ist nun zu untersuchen , inwiefern unsere Voraussetzungen (1) und (2) bei der Bewegung der Elektronen im
Atom erfullt sind. Wir betrachten die VerhiLltnisse im Uranatom, weil fiir dieses einerseits die gr6Bten Abweichungen zu
erwarten, andrerseits die Voraussetzungen unserer Rechnung
am genausten erfiillt sind.
Schon v. L a u e hat darauf hingewiesen (a. a. 0. S. 238),
daS g1 und ga auSerordentlich kleine Zahlen sind; dasselbe
gilt aber auch von gs bis ye. Betrachten wir zungchst ein
Elektron auf dem innersten Ringe, so ist zu . setzen:
e = 4,8.10-1°,
m = 9,0.10-28,
E
&! = 3,9. lo-”;
= 4,4* lo-’,
220
G. Jaffe'.
unter Beriicksichtigung der relativistischen Massenversnderlichkeit findet man
T = 4,3*10-1',
2L
= 0,67.
c
Mit diesen Werten wird l):
g1 = 1,4*10'39,
g3 = bj
=
3,0*10-39,
g2 = 8,7~10-~'
y4 = y6 = 1,9.10-''.
Zieht man andere Elektronenbahnen mit beliebigen azimutalen und radialen Quantenzalilen n bzw. It' in Betracht, so
zeigen die Sommerfeldschen Formeha), daB die gr6Bten Abweichungen auftreten, wenn h = 1 und n' (und damit die
Exzentrizitat) groB ist. Eine eingehende Diskussion ergibt,
da6 sich die oben gegebenen Werte fur g1 bis ga hochstens
mit den Faktoren 2,7, 7,3, 1,8/1-~,1,4, 2,O und 5,3 multiplizieren kbnnen. Es kann sich also nur y, erheblich vergrbSern,
aber auch diese Z a l ~ lbleibt bei den in der Atomtheorie vorkommenden Exzentrizitaten noch immer sehr klein. Die Bedingungen 1) und 2) sind also rnit jedem wiinschenswerten
Grade von Genauigkeit erfiillt. 3,
Es sind nun noch einige Worte dariiber zu sagen, inwieweit die Voraussetzungen der hier gegebenen Rechnung bei
der Anwendung auf die Atomtheorie erfiillt sind. Die AnM trifft in allen Fallen, selbst beim Wasserstoffnahme m
atom, mit genugender Clenauigkeit zu, wenn auch natiirlich die
Nitbewegung des Kerns nicht beriicksichtigt werden kann. Dagegen ist die Forderung e E bei den Elementen mit niedriger
Ordnungszahl verletzt, und die von der Gravitationswirkung
der Ladungen herruhrende Modifikation des Schwerefeldes
kmn nicht mehr kugelsymmetrisch sein. Nun zeigen aber die
oben angegebenen Zahlen, da6 fiir die in Frage kommenden
<
<
1) Bei Kreisbahnen fallen die Bedingungen 1) und 2) wegen der
Beeiehung m r v2 = e El/1 - 8" zusammen.
2) A. Sommerfeld, Atombau und Spektrallinien. 5. Kap. 9 2.
Bei der Abschltzung der Zahlen gs bis g, ist eu brachten, daS g, im
Bphel, ga bis & dsgegen im Perihel ihre gr6Bten Werte erreicben.
3) Das gilt nicht mehr fur den von Sommerfeld untersuchten
Grenzfall spiralfhmiger Bahnen. A. Sommerfeld, Ann. d. Phys. 61.
5.1. 1916. 11. 3 3.
Bemerkungen uber die relativistischen Keplerellipsen.
22 1
-4bstande r selbst beim Uran die Gravitationswirkung der
Ladung gegen diejenige der Masse klein ist.l) Dieser Unterschied verstarkt sich noch erheblich bei Atomen mit niedriger
Ordnungszahl 3, denn der Quotient
A=&?-_ -96
g2
g&
96
ist niiherungsweise proportional N+.
Es ist also statthaft,
die Gravitationswirkung der Ladungen uberhaupt zu vernachliissigen und das Schwerefeld nach wie vor als kugelsymmetrisch
anzusehen, so dab auch alle gezogenen Folgerungen zu Recht
bestehen bleiben.
Will man andrerseits den .Sommerfeldschen Ansatz auf
die Planetenbewegung anwenden, so ist in den Gleichungen
(27) bis (30) e 1 durch x c2 m M zu ersetzen. Man darf d a m
ferner in dem Ausdruck (30) fur C den Faktor ya und den
Summanden W l m c a unterdriicken und findet (unter a die
gro6e Halbachse verstanden)
31 b)
Das ist nur der sechste Teil des Einsteinschen Wertes
fur die Perihelbewegung (8. 0. S. 212). Unsere Rechnung zeigt
aber auch, warum in diesem Falle die Formel (31 b) keine
ausreichende Annaherung darstellt. Es ist zwar immer nocb
g1 eine sehr kleine Zahl, aber die Bedingung g3 12, ist nicht
aber g8 = 2,O.)
erfiillt. (Far den Merkur ist z. B. g1 = 4,9.
I n der Tat k a n n diese Bedingung gar nicht erfullt sein, wenn
es sich um naherungsweise elliptische Bahnen handelt; denn
sie ist gleichbedeutend mit der Forderung, dab die potentielle
Energie x cBm M / r klein sein sol1 gegen die kinetische m va/2,
wahrend fur eine elliptische Bahn letztere kleiner sein muB
als erstere.
L e n a r d s Frage, ,,warum beim Merkur die , a l l g e m e i n e
Relativitiltstheorie' gelten solle, wiihrend bei den Elektronenbahnen im Atom. . nur die , s p e z i e l l e Relativitatstheorie'
<
.
2) Die anderen Bedingungen kommen fiir ungeladene Korper in
Fortfall.
Annalen der Phpeik. IV. Folge. 67.
15
222
12.Jaffi.
richtige Resultate liefqt", findet also - wie schon v. L a u e
betont hat - ihre sehr einfache Antwort. Selbstverstiindlich
ist ftir beide Falle .die allgemeine Theorie mafigebend, aber
nur bei den Elektronenbahnen im Atom ist die spezielle
Theorie eine genugende Annaherung, dort allerdings bis in alle
Einzelheiten der Bewegung.
Bei dieser Gelegenheit moge eine Bemerkung allgemeineren
Inhalts ihren Platz finden, die ohne Muhe mit Hilfe der Gleichungen (7) begrundet werden kann. Die spezielle Relativitatstheorie liefert immer dann eine ausreichende Anniiherung fur
die Bewegung eines Massenpunktes unter der Wirkung von
beliebigen Kraften, wenn zwei Bedingungen erfullt sind. Erstens
mussen die Abweichungen der y, von ihren pseudoeuklidischen Normalwerten klein gegen
sein, und zweitens miissen
diejenigen Kriifte, welche von eben diesen Abweichungen herruhren (und fur welche das Newt onsche Attraktionsgesetz
eine erste Naherung liefert) gegen die sonstigen Krafte verschwinden.
11. Sonderfall. Wir verfolgen nunmehr die Annahme, dit6
die Bahn des kleinen Kbrpers nahezu kreisformig sei und
setzen zur Behandlung dieses Falles i n Gleichung (22)
wo R, konstant und g von erster Ordnung klein sein soll.
Damit ergibt sich fir Ro die kubische Gleichung
(33)
8,12,'
- 6, Ro2+ (1 + 6, - S2)Ro - R = 0.
Diese Gleichung liefert unter allen Umstanden mindestens
eine positive reelle Wurzel; sind die 6 insbesondere kleine
Zahlen, so ergibt sich
(34)
Ro = (1
- 6, + '6,)R + S, Ra - 6, R 3 .
Die Beriicksichtigung der Glieder erster Ordnung liefert
folgende Differentialgleichung fur g :
(35)
mit der Abkurzung
(36)
7' = 1
+ 8, - S, - 26, Bo + 38, Ro2.
-
Bemerkungen iiber die relativistischen Keplerellipsen. 223
Das Integral la& sich, wenn' fur
'p = 0
gefordert wird, in der Form
(37)
1 = R , E c o s Y ' ~ ~ ,E <
auch
1,
darstellen. Demnach wird die gesuchte Losung
Q =
(38)
B,(1
+ ECOSY'Y).
Die zweite Integrationskonstante
ist noch so zu bestimmen, daB dern Energieintegral(l0) geniigt wird. Die Rechnung gestaltet sich am einfachsten, wenn man die Lasung (38)
in (20) einsetzt und E durch E ausdriickt; dabei brauchen nur
Glieder erster und zweiter Ordnung in s beriicksichtigt zu
werden, und es geniigt, die Rechnung fur den Wert cp = 0
durchzufubren. Man findet so
(39)
.
- E + 2 R R o - ( 1 + 6 , -a,)Ro3+26,R%/,-6*RR:/,
(1 + 6, - 4)RO' - 2 Roy+ 3 S4 RO4
&2 = -
Natiirlich mu6 E, d. h. also nach (31. (21)W und p, so vorgegeben sein, da6 sich E als kleine reelle Zahl ergibt, wenn
die vorstehende Rechnung Giiltigkeit haben soll.
Die Losung (38) zeigt, dab auch in dem jetzt behandelten
Sonderfall nahezu kreisfdrmiger Bahnen diese aus Ellipsen
mit Perihelbewegung bestehen. Der Betrag der Perihelbewegung
ergibt sich, wenn man y' RUS (36) statt y in (31) einfrihrt.
Nimmt man insbesondere an, daB die 6 kleine Zahlen - d. h.
also die Abweichungen von der klassischen Theorie gering sind, so findet man
A'p = 4 9
mit der Bedeutung
(40)
-!
+
A2tp
6nx
'(41) I d,rp = 67dxMR0 = a ( 1 - as) '
+4 t p
(a = halbe
groBe Achse),
Der erste Summand A,cp ist der Betrag, den die Sommerfeldsche Rechnung fiir die Perihelbewegung liefert (s. G1.(31 a)),
15*
224
G. Joffe.
d2c,oist der Wert, den E i n s t e i n fur die Planetenbewegung
berechnet hat, und A, c,o ist eine Perihelbewegung in eutgegengesetztem Sinne, die von der Gravitationswirkung der Ladung I3
herruhrt. Es hangt naturlich von den numerischen Verhaltnissen ab, ob einer der drei Summanden die anderen iiberwiegt; fiir E = 0 bleibt nur der Einsteinsche Wert ubrig.
111. Sonderfall. In den beiden bisher betrachteten Fallen
bestand die einzige Abweichung von der Ellipsenbahn in der
hinzukommenden Perihelbewegung. Im allgemeinen ist das
nicht der Fall, auch nicht, wenn die Abweichungen von der
klassischen Theorie als klein vorausgesetzt werden. Diese Annahme wollen w i r im folgenden machen und auflerdeni, urn
die Rechnung nicht unniitig zu komplizieren, die beiden Korper
ale ungeladen voraussetzen. Dann wird 8, = aZ = 8, = 6, = 0
und aus (20) entsteht die bekannte Gleichung der Planetenbahnen in der allgemeinen Relativitatstheorie:
Wir kniipfen wieder an die (22) entsprechende Gleichung
-*
(43)
=R
d cp'
-p
+ 3xMqz
an. Das letzte Glied stellt die Abweichungen von der Newtonschen Theorie dar, und da diese klein sein sollen, kann
man die Lbsung von (43) in der Form ansetzen
+
+
g = ( l o Q1 x M + qz ( x M)2 . .
Triigt man das in (43) ein und setzt die Koeffizienten
gleich hoher Potenzen von Ad einander gleich, SO erhalt man
lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten
und rechtem Glied, die sich der Reihe nach integrieren lassen.
Wir ljeschriinken uns auf die Berechnung von qo und el. Die
von M freien Glieder liefern die Newt on sche Losung
(44)
(45)
wobei sich
(46)
('0
&,,
= R(1
+
1
&,COS$P),
aus (42) wie in der klassischen Theorie zu
&,k
1 - -E
RS
Bemerkungen uber die relativistischea Keplerellipsen.
bestimmt. Uber die zweite Konstante ist so verfiigt, da6
die Lage des Perihels ist.
Die Glieder erster Ordnung ergeben :
226
=0
3 + p1 = 3 R B ( l + eocoscp)a,
(47)
d 'pB
oder integriert
pl = c1 COB 'p + c, sin 'p + 3R2
I
Die Integrationskonstanten c1 und c, sind wieder aus den
Forderungen zu bestimmen, da6 d e l / d y fiir 9 = 0 verschwindet, und dat3 p = e,, + x M e , in (42) eingesetzt, den richtigen
Wert fur E liefert. Das Ergebnis der Rechnung M3t sich
folgendermaflen schreiben :
(49)
r1 =
= Po
+ q 1 x M = R'(1 + E ' C O S r p ) + .zl + 2 . .
Dabei haben die neu eiogefuhrten GroBen folgende Bedeutung :
I
1+3xM+++)j,
1
2, = 3 x M ~ 0 R 2 ' p s i n y ,
(
z. = - ~ x ~ & 0 , 2 R a C O S 2 r p .
Bei voller Beriicksichtigung der Abweichungen erster Ordnung stellt also (48) - wenn d < 1 vorausgesetzt wird - eine
Bahn dar, die in drei Beziehungen von der Ellipse (45) abweicht. Erstens sind die Konstanten R und eo urn kleine
Betrage geandert. Zweitens findet Perihelbewegung statt; es
laBt sich namlich leicht zeigenl), drtB 2, die Einsteinsche
Perihelbewegung (GI. (41) Formel fur A, 'p) darstellt. Drittens
aber bedeutet 2, eine Bnderung der Form, die sich in Gestalt
einer Welle mit vier Knoten iiber die Ellipse lagert.
Nur wenn die Exzentrizitat eo klein ist, verschwindet 2,
neben 2,. Das Glied 2, bewirkt bei der Planetenbewegung
1) Indem man A q aus der Forderung
bestimmt.
f?(d
= B('P
f
2n
+ Av)
226 G.Juffd. Bemerkungen uber die relativistischen Keplerellipsen.
eine maximale Verbgerung des Radiusvektors im Aphel vom
x Maoa
7,2* 10'. 8,'
- und bleibt also auch beim
Betrage 2 (1 - So)' =
(1 -
80Y
Merkur weit unter der Grenze der Wahrnehmbarkeit.
Zusammenfaeeung.
Es wird die Bewegung eines Probekorpers von kleiner
Masse und geringer elektrischer Ladung im Felde einer groBen
Masse mit starker Ladung untersucht.
Die Bewegungsgleichungen. werden auf Grund der allgemeinen Relativitatstheorie aufgestellt, daraus die Differentialgleichung der Bahn
gewonnen und in drei Sonderfiillen behandelt.
1. Sind die Glieder, welche die Abweichungen von der
euklidischen Metrik bestimmen, klein gegen (v/c)~, ist ferner
die elektrische Anziehung groB gegen die Gravitationswirkungen,
so gehen die Gleichungen in den Sommerfeldschen Ansatz
uber. Die genannten Voraussetzungen sind for die Bewegung
der Elektronen im Atom mit auBerordentlicher Genauigkeit
erfullt. Bei der Anwendung auf das Planetenproblem bleibt
nur die erste Bedingung bestehen und ist dann nicht erfullt.
2. Bei nahezu kreisf6rmiger Bahn ergeben sich Ellipsen
mit Perihelbewegung; letztere setzt sich aus drei Summanden
zusammen, die von der Massengravitation (Einst einsche
Formel), der Anziehung der Ladungen (Sommerfeldsche
Formel) und der Gravitationswirkung der Zentralladung herriihren.
3. Werden die Ladungen vernachlassigt und die Abweichungen erster Ordnung voll berucksichtigt, so ergibt sich
auBer der Einsteinschen Perihelbewegung eine Formanderung,
die sich als Welle mit vier Knoten uber die Ellipse lagert
und die nur bei kleiner Exzentrizitat verschwindet.
Leipzig, im Februar 1922.
(Eingegangen 28. Februar 1922 )
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