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Bemerkungen ber die Theorie des Wasserstosses im Schussgerinne und im isolirten Strahle.

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TU.
B e n e r k u n g e n
iiber die Theorie des FVliJeerJofses i m Schufsgcrinize und im iJolirten Strahle,
von
JOHANNEA
S RZBERGER,
Direct. d. phyt u. mech. Inlir. Pabr. zu Daubrawits in Mihren.
I.
In einern Schufscerinne , oder auch als ifolirtcr
Stralil, lewege fich Waffer renkrecht gegen die
Schaufeln eines unterfchlachtigeri WaEerrades , die
Gch zwar ebenfalls und in derl'elben Richtung wie
das WaEer , aber niit geringerer Gefchwindigkeit
JIS dieles bewegen miigcn. Die Radfchauf'eln miiffen
i n diefem Fall, der Bewegung des Waffers mit einer
Gewalt entgegengedriickt werden, welche die Gefchwindiskeit des a n die Schaufeln gelangenden
WaKers bis a d die Gelchwindigkeit der Radrchaufeln vermindert ; und diere Gewalt ill der Wirkung
des WalTers nu€ die Schaufeln gleich, welche man
die Grbyse des JVaJerJofses nennt.
Wir wollen annehmen, dafs kein WalTer vorbei fliefsen kijnne, ohne die Gefchwindigkeit der
lladfchaufeln anzunehrnen. Unter dieSer VorausI'etzung k y
c
43t
3
die Gefchwindigkeit des W a r e n , mit der es
fich uoangehalten im Gerinn oder in1 Strahl hewegen wiirde = C ; die Gefchwindigkeit der
Radkhaufeln aber , oder die, welche das Warler nach dern Anrtors lehalt .
- c.
Ferner fey der Querfchnitt des zultriirnenden
Waflers bey der Gefchwindigkeit C = w ;
der R a u n i , den ein freifallender Kiirper in der
erlien Secunde zuriicklegt = 6;
die in eioer Secunde an die Schaufeln gelangende
Walrermenge, diejeoige alli, , welche in einer
Secunde durch einen unbeweglichen Querlchnitt des zufiriimenden Wanerprismas hindurch rtriimt, = A ;
und der Kubikiohalt einer WalTermalTe, die an
Gewicht dem Stofse gleich ilt = P;
lo ifinach Herrn v o n G e r l t n e r s Theorie *):
. .. -
Wird hier A durch leeinen Werth = w
driickt, fo ilt auch
C ausge-
Setzt man noch die zur Gefchwindigkeit C gehiirige
Hiihe = H dnd die zu c gehorige Hohe = h , To
erhilt man auch
*) Neue Abhrndlungen der k. bohmircbcn GeldlllTchaft der
WiOTenIchrften ater BrndXIV. Abbrndluag ; und z nar nrch
S. 6. und 15.. wo W , c , v , Gnd, war hicr A . C C .
mir der Bsmcrkung, dah dort C uocl W in Gewichc
.
a.
rerfbnden lind.
A.
oder auch
P=
z w . ( H -JH
h ) (1111)
Wird hier c , und all'o auch 11 = o , To wird
P = z \v H. (V)
Oder der l'enkrcchte Stofs auf eiue ruhende Fliche
ifi dem Product aus dem Querfchnitt des WalTers in
die zweifache Gefchwindigkeitshijhe gleich.
2.
Schon M a r i o t t e hat durch Verruche gefunden, dars der Stofs eines WaITerfirahls bei unver5nderIichem QuerL'chnitt dern Quadrat der Gefchwindigkeit des WaITers, oder der zu diefer Gefchwindigkeit gehGrigen Hiihe proportional fey;
und hieraus leitete P a r e n t k i n e Tlieorie der unterfchlichtigen Wafierrider ab.
B e r n o u l l i zeigte, dars nach den Gefetzen
der Bewegung der renkrechte Stofs eines WalTerftrahls auE eine ruhig fiehende Fliche, To g r d s
fey" miiKe, als er auch nach G e r ft n e r s Theorie
gefundenwirtf. L e o n h a r d und A l b e r t E i i l e r ,
K a f t n e r und andere mehr, haben B e r n o u l l i ' s
Theorie weiter entwickelt , und darauf die Theorie
des unterfchlachtigen WaKerrades, die ich hier unter der altern verfiehe, gegriindet. Nach di&r
Tlieorie ift alCo, wie nach der des Herrn von G e rlin e r , wcnn die Stofsflache unbeweglich ifi und der
Stofs auf eine einzige Fliiche = p gdetzt wird ,
.
p = w a H , oder auch p
= w.-
C*
28
(IV)
nun die Flache felbfi in der Richtung des
Strahls mit der Gerchwindigkeit c fort, Eo wiirde
der Stors fo grofs leyn, als wenn ein Strahl, der
niit obigem eide gleiche Grundfltirhe hat, a n eine
ruhig ftehende Flache niif der Gekhwindigkeit
C - c ltie&e ; oder er wird r e p
5.
Man h a t bisher angenonimen, der Stofs auf die
Schaufeln eines unterrchliclitigen Waflerrades fey
&en To grols a h der auf eine einzige susweictiende
Fliche, wcnn die Radfchaufeln mit derlklben Gefchwintligkeit fortriicken.
Zu den Hadkhaufeln
gelangt aber in einer Secunde offenbar diereelbe
Waflermenge, welche in einer Secunde mit der Ge[chwindigkeit C durch den Querfchnitt w geht, ilnd
diere ilt nach obigem =A. Setzt man diefen Werth
anftatt des ibm Gteichen C w in die letzte Gleid u n g ; To erhllt man kiir den Stofs auf die Ra&
khaufeln
.
I G/t 3
4.
Bei einem'aufmerkfamen Riickblick auf dieFoIgernng im Vorigen., wird man bald tinden, dafs fie
einer Berichtigung bedad; denn an die einzige ausweichende Flache, gegen die der Strahl yon der
GrundflBche = w die Gekhwindigkeit C -c hat,
fi&t in einer Secunde nicht die Walrerrnenge
A = C w , fondern die (C - c). w. Setzt man diere = a und briogt lie anfiatt A in die letzte Formel
unter 3 , To erhalt man
.
ode r auch aus diefer, fo wie gleich aus der erfien
Formel von S. 3.
P -- 0
c-c
--.
=g
Hier iI1 a nicht die Wan'ermenge, welche in einer
Secunde durch einen unbeweglichen Querfchnitt
des WaITerfirahls gehet , fondern diejenigc welche
in einer Secunde durch einen Querl'chnitt des
Strahls gehet, der mit der Gerchwindigkeit tier Busweichenden Fliiche in der Richtung des Stralils
fortriickt; und dieles iTt auch die Wallkrmenge,
welche i n einer Secunde an die ausweichende
Flichz fii;Cst.
Weil an der Stelle, wo eine Radrchaufel in den
Strahl tritt , alle nachfolgenden eintreten , folglich
die Storsflache an einer unbeweglichen Stelle des
strahls immer wieder von neuem erl'etzt w i d ; fo
hingt, in dem Fall dafs der Strahl auk die Rail-
,
c
435
1
,
fchaufeln fiiirzt die anfiofsende WaITermenge nicht
von der Gefchwindigkeit dcr Radfchaufeln ab , Tondern bleibt unverinderlich = C w = A , To grob
auch c , oder die Gekhwindigkeit der RadTchaufeln
kyn mag. Da nun diere Wankrmenge eben To mit
der Gefchwindigkeit C c eegen die Radkhauielo,
wis die Wavermenge a gegen die ausweichende
Flache fiufst; fo wird a m dern Werthe fur den Stol's
auf die ausweichende Flache, der Werth fiir den
Stol's auf die Rndfchaufeln , wenn man in den letzteren die Waaermenge A anRatt a letzt. Es fey
daher wieder , wie oben, der Stofs a d die Radfchaufeh = P; To ill
.
-
Ebea diefen Werth fiir den Stab auf die Radfchauf e h giebt auch Herrn v o n G e r fi n e r's Theorie am
angef. Orte , fo dafs alro diere mit der altern, nach
gehiiriger Berichtigung der letztern vollkommen
iibereinff immt.
5.
Als Folge des hier berichtigten Irrthums in der
altrtrn Theorie, hat Iich in dierer allgemein der
Satz m i t eingefchlichen : Der Stofs verhalte lid,
,,bei gleicher WaITermenge, wie das Quadrat der
,,Gefchwindigkeit des WaITers gegen die Flache."
Dierer Satz ilt m a r fchon in dem vorhergehenden
miderlegt worden, es I&t lich aber auch fehc leichc
zeigen , dars er nicht belt ehn kann mit dem nach
B e r n o u l l i ' s Theorie gefundwen Satze: ,,der
,
,,
,
I 436
j
,,l'enkrechte Stofs rines M'aflerfirahls auf eine bin,,reichend p o f s e Flache, ill gleich dem Gewicht
,,einer Wafl'erl'aule, deren Grundflache gleich drm
,,Querl'chnitt des Waflerlirahls unti deren Hulie zwei,,ma1 To grofs i l l , als die der Gefchwindigkeit des
Walrero nugehiirige HGhe. "
Es ilt niimlich
,,
nach
I.
Sol1 gegen die ruhende Flache dieft-lbc WaTTerrnenge c A mit einer Gefchwindigkeit = m . C fiolsen, To mufs der Querl'chnitt cles Strahls
W
=-m
feyn. Setzt man fiir diefen Fall den Stofs = P',
Lo i f i , weil zur Gefchwindigkeit = m c die Hiihe
= mz. h gehcrt
.
P'za-.
W
m
m2.H=zw.m.H=A.-
.
m.C
2g
und diefer Stofs ifi = p rn. Hieraus folgt der
Satz: der StoJ. verhalt Jch I c i gleicfier WClJermenge wie die Ge/chwindigX.eit d w PVhJers gc*j.ei.,c
die I;liiche. Auch diel'erSatz Iiiniint niit Herrn v 0 n
G e r f i n e r ' s Theorie, To wie niit der altern m c l i
obiger Berichtigung, iiberein.
6.
N o c h ein charektcrifiifcher Unterfchied zwif&en dem Stofse ein und delIelbrn Stratils auf eine
eirizige ausweichende Flirlie, u n d tlein Stofse aur
die Scha u fel n ei n cs u n t e r fch I3ch t i p n WafI'er ra d es ,
finciet fich in deoi Verliil [nil's tler Gelchwindigkeiten
der Fliche und der Radl'chaufeln gegen die Ge-
i 437
3
I'chwindigkeit des Waaers fiir das Maximum der
Wirkung und damit verwandten Umllinden.
Es fey das BewegungsrnaB fiir den Stoh auk die
Radkhaufeln, oder P c = E, fo iTt
.
E=A.(C-c).
c
Difierentiirt man hier fo, dafs man E und c von
einander abhhgig veranderlich fetzt fo wird
dE
= A . (C-2 C )
,
dC
=
uncl dierer Ausdruck
o fur c
;C. Durch die
zweite Differentiation ergiebt Gch
ddE
---A.
ac
(d C I Z
und diefer Aurdruck ifi negativ fo lange c politio
ill, folglich ilt E ein Griil'stes f i r c = f C. Ifi c
kleiner als + C , fo nimmt E ab, wenn c abnirnmt,
und beide werden zugleich = 0 . Ginge c ins Negative iiber, lo muljte das deal Rad zufliefsende
\YalTer durch die Radfchaufeln zuriickgeworfen
werden, und diefes kiinnte our dadurch gefchehen,
daTs aut das Had eine K r a t t der Richtung des Warfers entgegenwirkte
welche verwiigend ware die
Gefchwindigkeit des WalTers von der = C auf dic
_ - c zu bringen. Und diefes ware offenbar auch
eine negative Wirkung, die, To wie c, negativ bis ins
Unendliche wachfen kann; To dab man durch Verminderung eines pofitiven oder Vermehrung eines
negativen c auf kein Kleinrtes von E kommt.
Wenn c grober als 4 C ifi und c zunimmt, To
nimrnt E ebcnfaalls ab, bis f i r c ,
I
C , E= o wirtl.
Wird c griifser als C To 0iuI.i das Walter, wclchcs
Ff
.4nnal. d. P1i)Lik. B 4.
S t 4. J. 1813. S t . 8 .
-
,
,
45s
[
]
zu den Schaufeln gelangt , clurch tlide von cler GeI'chwiiitli~keitC auf die c gebracht werden, untl
hierzii i l i eine nach der Richtung des Strnhls aiif d a s
Rad wirkenrle Kraft nuthig, welclie die Gerchwindigkeitshnclerung c 2 C i n den1 hrrbeiflieLendtii
WalIer hcrvorbringt.
Dn hicr ei2e H U E clas Rail
wirkencle h a f t erfordert w i d , lo iit der Effect
ebenkalls negativ , und wird nesativ ins unendliche
wa(bl'en, wenn der poiitive W c r t h yon c iinendlicii
w i d ; To (Jars man all'o aucli (lurch (lie Vcrgri;I>r?r u n g von c aiif kein I(1eiiilit.s koninit. DieL;*s zeigt
(1 E
auch dieRechnung, da -- nureinmal = o wird,
dc
namli.ch fiir c = 3 C.
7.
c
Fiir die ausweicliende Fliiche wirtl der Effcct
p c ; l'etzt m a n diefen = e , lo wird
.
\Y
e=-.
und
=g
( C -C; ~. c =
e
-=
tl
W
-( C ' - z C c + c ~ ) . c
2g
W
(Cz-4CCc++5cz.).-.
dC
Diel'er Ausdruck wird
=o
2g
liir
c3- 4 c . c + 3 cz r 0
3 C . c + c+=o,
+
oder tiir
Czuntl alsdann ift
4 C'-
4
c . .+
c z =$CZ
oder + C - c = - l ; c .
Folglich w i d
de
=o
dc
fur c = + C
Wird hier obiger Ausdruck fiir
n t man
ma1 clifferentiirt , fo erh"l
u n d f i i r c = C.
de
zum zweitendc
Dieler Ausdruck ifi fur c = + C negativ, und fiir
c = C pofitiv. Alro wird e ein Grofstes, wenn
c = C und e ein Kleinkes, wenn c = C ifi. 111 c
kleiner als + C , lo wird dur& eine Verminderuag
von c auch e vermindert, beide gehen wie beirii
Rad (vorige Nummer) durch o ins Negative iiber
und kiinnen negativ unendlich grofs werden, fo
dafs man hier durch Verririnderuog des politiven
oder Vermehrung des nvgativen c auch kein Kleinlies f i r e erhalt.
1fi c griifser ali + C , To nirnmt e a b , wenn c
wrichfi. und es wird e = o fiir c = C ; kleiner als
o kann aber e durch die Vergrdserung von c nicht
werden, weil fur c griifser als C die Storsflache das
nachfolgende WalTer verlaljt , folglich von keiner
Seite von dielem eineu Druck leidet. Es ill all'o
fur c = C , e ein Kleinfies und auch = 0.
Das hier und unter voriger Hummer Gefagte
xt grohtentheils durch eine Bemerkung K a h e r s
(Hydrodyn. ate A d a g e S. 356. V.) veranlrl'st , in
der er zeigen wollte, w i e die dortigen Beltimmuogen f i r die grokte Wirkung fiir das Rad gelten lb1Icn, da fie do&, wie man hieraus erfehen w i d ,
fur die einzige ausweichende Flache gehiiren.
+
8.
Dec Herr geheime Hofrath L a n gs d o r f hat,
(wie er in der Vorrede zum zweiten Band feines
Handbucha der Mafchinenlehre I'elbfi erinnert,)
H e r r n von Gerllners Theorie nach feiner eignen
Anficht in diefeiii W e r k e , li, wie in l'einen Grundlehren der mechanirchen WiKenli.haften, und in
leeinem Handbuche der gemeinen und hiihern Mechanik vorgetragen, und zwar To, dal's nach leiner
Anficht der Ausdruck fur P (Formel 111.) fiir d e n
Stoli auf eine einzige bellandig ausweichende Fliclie
g d t e n Toll. Dieres fuhrte wieder auf einen Widerfpruch in der T h e o r i e , der Gch aber bel'eitigen
Iarst, wozu ich jedoch iiir niithig erachte, Herrn
LangsdorFs Darfiellung hier m i t einzuriicken. Sie
di, wie fie in feinem Handbuche dcr genieinen unr!
hiihern Mechanik Seite @o -433. vorgetragen ift,
foJgende:
,,Rufgnbe. Die Ebene M N (Tar. IV. Fig. I I.)
,,eml\fange von dern, aus einer Oeffnung firirmenden ;To,,lir\en Stralil einen Stors; die Stokebene roll nach der
,,Richtung des Strahls q r mit der Gefchwindigkeit = c
,,ausweichen ; die Gckhwindigkeit des Geiaushomen,,den WaITers Tey = C ; in irgend einem unbefiimmten
,,QuerCchnitt o p fey fie wegen der entgegengefetzten
,,Ebcne noch = z. Man roll den Erfolg, insbefondere
,,des Waflerftorses bertimmen."
,,AuH. I. W enn ich hier vorausretze, der Ebene
,,M N Entfernung von der Oeffnung fey wenigfiens eini,,gemal gr6Ler als der Durchmeller der Oeffriung ifi, To
,,Hierst, der Erfahrong zufolge, eben To vie1 Waflrr in
,,jeder Secnnde aus dem Behiltnirs, nls wenn die Stars,,tiache M N gnr niclit iin Wege fielit. Die GekhwinDiefe Unverhder,,digkeit C bleibt alro ungeiindert
,,lictakeit der Gerchwindigkeit bleibt bis zu einiJm ge,,winen Querkhnitt Mn, der nahe am Anfang der
[:
441
3
,,Strahls liegt. Bis zu diefem Querfchnitt findet alfo
,,noch kein Drnck hatt."
2. ,,Ueber m n'hinaus verbreiten Cch die WalTer,,theilchen allmihlig in gr6rsere Querfchnitte, ihre GeJchwindigkeit nimmt deho mehr a b , je niiher die
,,WalTertheilcLen der Stofsebene kommen. Die Ge,,Tchwindigkeit , mit der die WalTertheilchen, welche
,,die Ebene fclion wirklich erreicht Iiaben, ihre Bewe,,gung nach q r fortfetzen, ih dierelbe, mit LLer Gch die
,,Ebene nach q r bewegt, d. i. =c. Umgekehrt nimmt
,,alfo die Gerchwindigkeit von der Ebene M N gegen
,,die Oeffnung hin allmihlig'zu, Ib dafs aus der c , wel:,the in q hatt hat, in m n die C wird."
3. ,,So entReht alfo eigentlich nicht S t o h , fon,,dern Druck, jeder Querfchnitt drtickt ruf den nichrt,,aiiliegenden, und ein unbeftimmter Querfchnitt, wie
,,op, leidet die Summe aller PrelTungen von m n
,,his op."
4. ,,Die Bewegung verh.ilt Cch gerade To, a h
,,wenn in jedem Querrchnirt wie o p eine verzijgernde
,,oder eine der Bewrgung entgegengefetzte befchleuni,,gende Kraft in die WalTertheilchen wirkte, die von
,,mn RUS, blos verm6ge der Trigheit mit ihrer ur,,Tprijnglichen Gefchwindigkeit C fich fortzubewegen
,,fireben."
5. ,,Die WalTermenge, welche den Raum m n p o
,,ausfiillt, zwifchen m n und einem willktihrlich ange,,nommenen Querfchnitt o p , heihe M, To wird aUe,,ma1 eine gewilTe Zeit t erfordert, bis die ganze Waf,,Cermenge M rus diefem Raum m n p o ab - und eben
,,To vie1 pieder zufliel'st, urn denrelben Raum im Behar,,rungsfiande behiindig mit W i d e r angeftillt zu erhltcn.
,,Ill nun die Gefchwindigkeit der Wdertbeilchen
*,im Querrchnitt o p = z , die Summe der Yrelihngen
c
442
1
,,voii m n bis o p =p,
To wiirden fich in der Zeit t + d t
,,die Grijfsen M , p , und z, in M + d h l , p + d p und
,,z - d z verwandeln."
6 . ,,Bczeichnet nun t die befchleunigende K d t ,
,,welche den Waflertheilclien in ihrer, von m n ails,
,,vermbge der Triigheit, fortgefetzten Bewegung entge,,genwirkt, To hat man
f : r = - dz : z g d t.
,,f
7. ,,Des Elements d M bewegende Kraft dp ili
alfo aus Nr. 6.
dz
dz.dm
dp=--=2gdt
zg.dt -
. dbl,
8. ,,\Veil der Belisrrungsfiand vorausgefclzt wird,
,,To fliefst in demfelben Verhdtnifs mclir WalTer hinzu,
,,in welchem der Zuflufs langer dnuert, oder der ZU,,fliifs il't der Zcit proportional, alfo
diCI : d t = A1 : t
,,LII~J
Jeher (h-ro. 7.)
dz
RZ
d11= -.
2g
t.
-
.,g. Die in einer Secunde zufliefsende \Vaflermcn,,ge heifse A , To ifi
h1
dz
-z A , alfo d p =
. A
2g
t
,,und
p
Confi.
A
--
. z
26"
,,Es iCt aber filr z= C , p =o (h-ro.
COllrt.
I.)
dlj
A
= -. c
2g
,,10.
Kirnmt man den unbefiiininten Querkchnitt
,,op an der Ebene &IN, To verwandelt fich z in c, uiid
c
44s
I
,,es iyird slfo Kir die Snmme tiller PrelTungen von
&is an die Ebene M N
A
I. p = . (C-c).
111n
*i?
Der nattirliche Querfchnitt bei m n fey, .=>,-,
,,die zu C gebiirige Hiihr =H, die zu c gellGrigt:
, , I I.
,,=b , b hat man
- a . (H
-
H 11). w."
So weitHerr L o n g s d o r f .
Hier find fiir die Vorausletzungen bis Nr. g.
die SchliiKe richtig. R'r 10. il't etwas-iibereilt , deun
die Difierentialgleichung
dp=-
z
.A
II
"g
(Nr. 9.)
p,riindct Gch auf die Vorausl'dzung, clafs das MarLendifferential, das in o p die Gelchwindigkeitsiinderung -- d I im ZeitditFerential ti t leidet , = d M,
c
- A d t ili, und dielcs geht im Zeitdifferential
durch eiiiea uoveriiuderlichen Querfchnitt des unaufgehaltenen walTerfii*aliIs. Wird nun o p in A4.N
gel'etzt , Ib ilt das Maliendifferential, welches hier
Jie Gel'chwiadigkeitsioderung - d z leidet, dirjenige WalIermenge, die in (1 t an M N gelangt und
von da,abtlielst; und dicfes kana , wenn $1N I'elbfi
tortriickt, nicht = A . II t l q - n , fondern es wird
wegen der relativen Gefrhwindigkeit des Walrers
b e p i die FlPche
.
Aona1.d.
Pliylik. 8 . 4.;
Sr.
;.
r A 1 5 . Sr.8.
Gl?
c
4.154 I
Das diefem fo!gende MaffendilTerential (wie alle
Ferner folgenden,) wird eben l'o genornmen wertlen
uliilren. D e n n eine WaLYermafl'e, die J e r Pliiche AlN
in gleicher Geichivintiigkeit r i i i r diefer folgt, k n n n
keinen Druclr bewirken, wie fie aticli gefialtet l'eyn
mag, und bei grouser Cel'chwindig!wit des Wall'ers
k a n n dierw niir vermiige feiner relntiven GeLhwinJjgkeit gegen die F16che a u f diel'e driicken.
9W e n n dielk Vorfiellungssrt aucfi nicht fiir den
ifalirten Strahl vollkommen geniigend feyn follte,
To wird fie es doc11 fiir das Schul'sgerinne feyn.
Man denke Iicli hierzu das Gerinne Ib vie1 geneigt,
drlfs durch das Gekill der W i d e r h n d der Gerinnsw i n d e iiberwunden werde. A I3 C D (Fig. I I . ) fey
das Gerinne. M'enn durch diefes das WaKer ungehindert abflielsen k a n n , I'o reiche es bis an die Linie E m , an-der Seitenwand des tierinnes , die mit
dem Roden parallel liiuft , fo dal; der WalTerfiand
a n allen Stellen des Kanals gleich liocli, folglich
die Gefchwindigkeit des ITan'ers durcliaus gleich
grofs fey.
T r i t t in das Gerinne die genau an den Boden
und die Seitenwiinde anrchlielsentle Iiinreicliend
hohe Tafel M N als Stofsflache, untl bewegt fie fich
i n der Richtung, i n der Gch das W-affer bewegt,
mit: geringerer Gefchwindigkeit als dalrelbe, To wird
Gch durch diefe Gefchwindiskeit das WaDer bis ir-
[
44.5 1
gcnd an eine Stellc rn n anfiauen. Die Entkraung
tler SteIIe m n von M N wird mit von der Neigung
des Gerinnes abhangen. Sie wird im Beharrungsfiaod
bei gleichfcrmiger Bewegung der Flache immer
gleich grofs r e p , und bei M N wird immer To vie1
WaITer iiber die Stolsflache und &ie Gerinnwande
iiberfleigen, als durch den Querfchnitt in m n zuflierst. In der WdTermalTe zwifchen m n und M N
gilt offenbar von jedcr unendlich diinnen, rerkrecht a d die Hichtung der Bewegung abgerchnittenen Schicht , die im Zeitdifferential durch einen,
mit der Stobflache gleich gefchwind ausweichenden
Querfchnitt geht , was unter voriger Nummer von
der zunachfi a n der Flache liegenden gezeigt , und
nu1 die folgeaden angenomrnen wurde. Und hieraus folgt fur eine bellandig ausweichende Fliiche am
Schufsgerinn
A . (C-C)
dp=2 -g .
alCo
Fiir z=C
dzp
= Conk - -. a g . c
wird p=o , folglich
p
Conk
und
c-*
A . (C-C)
p=-.
z.
=--A . (C-C)
A
= K-
"g
[(C-c)----.
C - C
c
23.
Fiir z =c, oder fiic den ganzen Druck a d die Stofsflache wird
A
p = -.
[(C c)
C
2g
A
=-.
=g
- - --
[C--a
C Z
c + 7 ] .
44c
[
Es ill aber A = C
p
1
. w , folglich
W
= -[C”-
2c. c
=g
--.
W
+ c’]
[C-c]”
28
wic oben Nr. 3. Formel V. nach Bernoulli’sTheorie.
10.
If? M N unbeweglich, To ifi c=o
dp=--
A
.
dz
und p = Conk -
2g
WY‘J
Conk=---.
A
und d m n iTt
A
C und p =
”g
-.A
=g
2,
(C-2).
2 g
Sol1 hier p den ganzen Druck auf die Fliiche ausdriicken, To w i d z = o
und
wie in I-Trrrn Langsdorfs uni] Bernouliis Theorie.
Dielkr Ausdruck fiir d p fielit m i t deiri in L;origer Nummer niclit im Widerl’pruch; denn wenn
die Stofsflache ruhig fieht, fo iLt die Stelle, in
d e r das V’alTer ctine Lefiimmte Cefchwindigkeit z
h a t , auch unbcwcglicli , indel’s iie bei einer beweglichen Fliche mit dierer gleich gdchwind tortriickt , wie in vorhergchender Nummer hinreichend
gezeigt worden ilt.
I I.
Wird clas WaIT6-r bis an eine unver.inderliclic
Stelle des Gerirines verzGgert, uiitl grht es von d;\
mit der Sleichfijrrni~eiiGeli:hwinrliSkeit c fort, ( w i e
diefes der Fall ill, wenn das Wallrr (lurch Sc113ufeln eines unterfchlSclitigc!n WalTrrrades au~gehalt e n wird , die an einer unverindwlichen Stelle drs
c
3
447
des Gerinns eintreten); To hat d p den We*, den
die vorige Nurnmer anteigt, wld der game Dmck
a d die Stelle , wo die Gel'chwindigkeit des WaEers
bis auf c vermindert wird , welcher dem Stols auf
die Radfchakeln gleich i l l , ill
A
c
--.
=g
(C-c)
wie oben No. I. Formel 1V. nach Herrn von Gerltners Theorie.
z.
Die UnzulalIigkeit der Formel
1
p=-.
A
(C- c )
=g
f i r eine beltandig ausweichentie Fbche wird a w
folgendem noch mehr erhellen. Man denke Ech
i n den Seitenwanden eines Gefafses, welchcs befiandig gleich voll erhalten wird, zwei gleich poke
Oeffnungen, gleich tief untcr der OherflPche des
W a l k s , fo dals die Hichtuagen der horizontal
aus den Oeffnuogen fpringenden WalTerlirahlen
riickwirts verllingert , einander rechtwinklicht
durchfchneiden. Die beiden Strahlen miigen f e d recht auf hinreichend grofse Flachen fiofsen , deren Entfernung von der Oeffnung unverbderlicll
fey. Die Gefchwindigkeit des Wallen, welche fiir
beide Strahlen gleich grofs L'eyn miifste, fey =6,
die hienu gehiirige Hohe = Q, und die Reeeichnung der iibrigen Griifsen, wit? oben ; To ili
,
p=aw.Q=---.
W
=g
'
Q
Bewegte fich die ganze Vorrichtung in der Richtung
L'
4w 3
e k e s der beiden Stralilcn , rnit der Gefc:liwindigl;eit
GrTchwin(1igkeit des WaCTers i n
den1 Stralil
der tlie erw5hr:te Fiiclltung hatte,
C + C lkyn, u n d die Flichc kiinote als mit d r r
CeTchwindiSkeit c ausweicliend angelellen werden.
kk niiilste deninach in der Formel
c ; Lo
' wiircte die
p=
- (C"- c . c )
\V
26
c = + c gefetzt vrerdcn; und daraus folgt,
cz= 62 -;
2 c .c + c L
und
weil
c.czQ.c+c2irt,
p=-
W
2g
. ( Q Z + Q. c ) .
Fir den Stralil in derfiichtung der Bewc-gung, und fiir
den auf diefen Ienlrrechten Stralil blieLe ungeilndert
Der Stofs des Strahls in der Richtung der Rewesung niiil'bte all'o dcri Stol's des auE diefer Kchtung
renkrechten Strdils urn die Griifse
iibertrcffen.
Diefes miil'ste doch wohl von aller 13e-
w e p u g , von welcher Urljchc fie auch herkiiine,
geiten. Nun denlte man Gch aber die ganze Vorriditung To gefiellt, dal's die Richtung eines der
beiden Strahlrn in denMeridian hlle , Lo wiirde fiir
den andern Strahl c der Gefchwindigkeit gleich
Nerden mit der Gch die Stelle, wo lich der Appa*at beiindet, vermcge der Axendrehnng der Erde,
,ewegt; und dann wiirde wohl C c gegen E z lehr
.
c
449
3
bedeutend feyn, l'o grofs auch irnrncr Q wire. Fiir
einen Strahl, driTt*n l\ichturig Lnkrecht auf den
ngeridian wiire, miif5te de r Stoli, we;en der cornbinirten VVir1uin.g der I?xentlrrliiing tler ErJe tincl
dcr Bewegun,; i!i ihrer R;lhn c?L~i~CiilIs,u11tl zwnr in
a~jrtiindigenPerioden wiedeikelirend abwechfctind,
fehr verfc tiied en a 1 1 sfa Hen.
Herrn L a n gs d o r f s Ruf und feine Verrlienfie
urn die Hgdraulik find mir zu bedeutend, als Jars
icli hier, wo es die nihere Eriirteruag eines fiir (lie
Hydraulik To intererranten Gegerirtandes, als die
Tlieorie des Wa@er[ioIsesim Schuhgerinne ifi, betrifft, Ikine AnGcht mit ihren Folgen hatte iihergehen kiinnen.
13.
In der Anwendung tler Theorie des WalTerffofses aut den 8!iihlmLau niul's au€ den Spielraum,
mit dem Iich die hdl'chaufeln in1 Schufsgerinne bewegen , gehOrig RiickEcht genonimeii werden, ( y a s
Herr L a n g s d o r E in oben erwshnten Werken
hinreichend erijrtert hat) uncl d aan kann man in
RiickGcht des Erfolgs licher I k p .
Ich habe bei
nicht unbedcutenden Anlagen, und namentlich bei
den Eil'enhiitttnwerken des Herrn Altgrafen zu
Salm u. 1: w. auf der Herrfchaft Blansko ohnweit
Brunn in Mihren , diefe Theorie anzuwenden Gelegenheit gehabt , wobei der Erfolg die Rechnung
lo nahe befiatigte, als man nur in Gegenlianden
der Art erwarten darf. Daubrewitz, am 8. July
1813.
Joh. A r z b e r g e r .
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