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Bemerkungen des Verfassers zu УIst der Poyntingvektor beobachtbarФ.

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F. BOPP:1st der Poyntingvektor beobachtbar ?
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Bemerkungen des Verfassers zu ,,(st d er Poyntingvektor
beobachtbar?”
Von FRITZBOPP
(Ann. Physik (7) 11 (1963) 35)
Herr Dr. HEHLh a t gegen die oben genannte Arbeit Einwande erhoben. I n
einem ausgedehnten Briefwechsel konnte keine einheitliche Meinung erzielt
werden. Darum danke ich den Herausgebern, daB sie mir Gelegenheit zur Stellungnahme geben.
Bekanntlich ist der Energie-Impuls-Tensor durch die Feldgleichungen nicht
eindeutig bestimmt, obwohl man mit diesen die physikalischen Vorgiinge vollstilndig erfaBt. Daraus folgt, daB Energie- und Impulsverteilung, sowie Energieund ImpulsfluB bei wohlbestimmter Physik willkurliche Elemente enthalten,
welche es erlauben, Bedingungen zu beriicksichtigen, die iiber die Feldgleichungen hinausgehen und auf die eine oder andere Weise motiviert werden konnen.
Es mu13 von Anfang a n betont werden, daB sich dadurch an der Physik nichts
andert, wohl aber daren, wie wir uber die Vorgiinge sprechen.
Gewohnlich forded men, der Energie-Impulstensor solle symmetrisch sein.
Dafiir gibt es mannigfache Motivationen, auf die hier nioht eingegangen wird.
I m MAxwELLschen Fall fiihrt der symmetrische Tensor im Interferenzfeld zweier
ebener Wellen zu einer Energiestromdichte, die eine Komponente senkrecht
zur Ausbreitungsrichtung beider Wellen hat. I n der oben zitierten Arbeit ist
gezeigt worden, daB der folgende Energie-Impuls-Tensor keine solche senkrechte
Stromkomponente liefert :
T P V = SPV + a, W P ~ .
(1)
Darin ist s p y der MAXWELL-Tensor :
spy
und
+ 1 fQ“fp.s”’)
= - (1- f f f V ,
PO
WPVL= - I
( A p f , + Avfr, - AAf PV) *
2PO
(2)
(3)
Das erste Bedenken gegen diesen Ansatz, der offensichtlich nicht eichvariant
ist, haben wir durch Festlegung der Eichung aus dem Wege geraumt, namlich
durch die Forderung, daB die LoRENTz-Bedingung
a,AP = 0
(4)
so streng gelten SOH, daB durch sie auch unendlich ferne Quellen ausgeschlossen
sind. I n der Tat folgt dann aus
A P - +A ~ =
F A P a P x , ap A ~ =
P o
(5)
+
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Annalen der Physik
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7. Folge
*
Band 25, Heft 2
*
1970
zusammen mit (4):
a,
apx =
o
und daraus mit Rucksicht auf die SoMMERFELDsCheAustrahlungsbedingung :
x
0,
(6)
so daI3
eindeutig bestimmt ist. Der Umstand, daB man die LoRENTz-Bedingung oft nicht so hart formuliert wie hier, spricht nicht dagegen, daD man es tun
kann.
Wir halten unsere fruhere Behauptung aufrecht, daB sich a n dem Spinmoment des Feldes nichts iindert, und beweisen es hier mit dem Drehimpulstensor, auf den wir friiher nicht explizite eingegangen sind, benutzten also das
Instrument, mit dem Herr Dr. HERLzum entgegengesetzten Ergebnis kommt.
Dazu gehen wir von folgendem Tensor dritter Stufe aus
=
mcve
=
- XVTP~.
(7)
Daraus folgt.:
aemlrve = TVP- Trv
a
= e (Wwe -
Wrve).
Somit ist der Tensor
eine ErhaltungsgroBe.
Nun kommt der entscheidende Gesichtspunkt herein. Auch der Tensor
(8) ist nur bis auf vollstandige Divergenzen bestimmt. Will man den Drehimpulstensor in einen Bahnanteil und einen Spinanteil aufteilen, so hat man diese
Divergenz so zu bestimmen, daB die Ableitungen nur noch in der Kombination
das Drehimpulsoperators
xp
a. - xv a.
vorkommen. Die Terme mit diesem Operator bestimmen das Bahnmoment, die
iibrigen den Spin. Da der Spin durch die Feldgleichungen bestimmt sein mu13,
ohne EinfluB sind. I n der
darf man sich nicht wundern, daB die Tensoren WpV@
Tat folgt aus
!I
Mrve
= x r p e - XvTae
+ Wrve - Wvre
= xrSye - XvSre -
- X P f p e - xvsre
xr a,Wvex - x v a,W.eA
+ Wrve -
pre
+ a A ( x r p e a- xvWael)
nach Weglassung der Divergenz :
I
McVe
= xrSve - xvSre.
(9)
Der Drehimpulstensor berechnet sich aus dem MAxwELLschen. Das stimmt mit
dem langst bekannten Satz uberein, nach dem man den Drehimpulstensor mit
dem symmetrischen Energie-Impuls-Tensor berechnen kann. Man erinnere sich,
da13 dies eine der Motivierung f i i r die Symmetrisierung des Energie-ImpulsTensors ist. Doch muB man beachten, da13 man abermals eine Divergenz abspalten muB, ehe man zum Bahn- und Spinmoment gelangt. Hier begniigen
F. BOPP:1st der Poyntingvektor beobachtbar ?
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wir uns damit, das Ergebnis anzuschreiben:
-' ( A y
-
PO
Daraus erhalt man als Spindichte :
(11)
im Einklang mit unserer fr-iiheren G1. (20)) die Herr Dr. HERLbeanstandet hat.
Damit ist auch der Zusammenhang in den fruheren G1. (19) und (20) zwischen
der Spinmomentendichte und der zusatzlichen Impulsdichte
1
1
vg = g - s =a,(Ay')
c2
POC
gesichert. DaB die G1. (19) v6llig der zwischen Magnetisierung und Magnetisierungsstrom entspricht, ist zuniichst einhal ein Faktum, an dem von der Rechnung her nicht mehr zu zweifeln ist. Die Analogie besteht ganz offensichtlich
und kann nicht damit wegdiskutiert werden, daB es fiir Lichtquanten kein Ruhesystem gibt. Die alten G1. (19) und (20) gelten fur reine Strahlungsfelder in beliebigen Inertialsystemen nach Mittelung uber die Zeit. Wenn es uberhaupt
einen Sinn hat, vom Spinmoment eines elektromagnetischen Feldes zu sprechen
- und das ist doch allgemein anerkeannt - so mu13 es in jedem Inertialsystem
definiert sein, zumal es kein Ruhesystem gibt.
Zum SchluB noch ein Wort zu den negativen elektrostatischen Feldenergien.
Der Ausdruck fur die Dichte der Feldenergie lautet nach G1. (2) und (3) :
+ B . H ) + div ( @ D).
1
W =5 ( E D
(13)
Rein elektrostatisch folgt daraus :
-
W =-E D + @Q.
(14)
2
Die Felclenergie ist hiernach in der Tat negativ. Das fiillt unter die Bemerkung
im dritten Absatz von der alten G1. (5) : ,,Leider verschwindet ... nicht alles,
was befremdlich erscheint". Man kann aber nicht sagen, da13 das Ergebnis
falsch sei. Denn fur die Gesamtenergie folgt aus (14)
1
E =/ Wdt=
-
.
/-1 E . D d t + / @ d i v D d t
2
=+yE
1 *Ddr.
Da5 das so sein mu13, ist nach dem Ausgangspunkt ganz trivial, wird aber im
Falle einer Punktsingularitat etwas verschleiert. Man braucht nur von endlichen
Ladungsverteilungen zu Punktladungen uberzugehen, um sich auoh konkret
von der Richtigkeit des Gesagten zu uberzeugen.
Im Ganzen konnte aus den obigen Betrachtungen nichts Neues herauskommen. Es sind die alten Ergebnisse zum Teil mit denjenigen Methoden, die
Herr Dr. HEHLvorgeschlagen hat, bestatigt worden. Insbesonders hat es sich als
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 26, Heft 2
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nutzlich erwiesen, dem Drangen von Herrn Dr. HEIILnachzugehen, den Drehimpulstensor zu berechnen. Denn, wenn man weil3, wie man Bahn- und Spinmomente getrennt erhiilt, sieht man danach unmittelbar, dal3 bezuglich der
Drehimpulse alles so bleibt wie beim MAXWELL-Tensor. Es kann also keine Rede
davon sein, dal3 das Spinmoment verschwande.
Munchen, Sektion Physik der Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 29. August 1969.
Anschr. d. Verf.: Prof. Dr. F. BOPP
Sektion Physik d. Universitat Munchen
8 Munchen 13, Schellingstr. 2-8
Verantwortlich
fiir die Schriftleitung: Prof. Dr. 0. R i c h t e r , DDR-1199 Berlin-Adlershof, Rudower Chaussee 5 ; fiir den Anzeigentell : DEWAQ-Werbung Leipzig. DDR-701 Leipzig, Briihl34-40, Ruf 79740. Zur Zeit gilt Anzeigenpreisliste 6. Verlag: Johann Ambrosius Barth, DDR-701 Leipzig. Salomonstr. 15b, Femruf : 25245. Verbffe9tticht
unter der Lisenz-Nr. 1996 den Presaeamtes beim Voraitzenden des Ministerrates der DDR
Printed in the Qerman Democratic RepublIc
Druck: Paul Dtlnnhaupt E G , DDR-437 Eathen (IV/6/1) L 124/70
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