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Bemerkungen zu den Arbeiten ДZur Theorie der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen lngs der ErdoberflcheФ und Дber das Strahlungsfeld einer endlichen Antenne zwischen zwei vollkommen leitenden EbenenФ.

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A N N A L E N D E R PHYSIK
5.FOLGE, 1931, BAND9, H E F T 5
Bemerku~agenx u den Arbeitern
,,Zur Theorie der Ausbreitzcny elektrornagnetischer
WeCIen I a n y s der ErdoberflacheC' zcnd ,,@her d a s
Strahlungsfeld einer endldchen Amtenme #wisehen
xwei vollkommen Ieitenden Btienen/c
Ton R u d o l f W e y r i c h
Zu den Arbeiten ,,Zur Theorie der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen langs der ErdoberflacheL4l) und ,,nber das
Strahlungsfeld einer endlichen Antenne zwischen zwei rollkommen leitenden Ebenen'") seien inir einige kritische und
erganzende Bemerkungen gestattet, die rnir aus zwei Griinden
notwendig erscheinen: Der eine ist der, daB inzwischen das
gleiche Problem von anderer Seite zur Reproduktion des
Fadingeffektes und ahnlicher Erscheinungen experimentell in
Angriff genommen worden ist, und daB sich dabei einige xnderungen und Erganzungen der Theorie als wiinschenswert herausgestellt haben; der andere, daB ein genaueres Eingehen auf die
in der ersten Arbeit erwahnten Resonanzerscheinungen einige
abweichende Ergebnisse gezeitigt hat, die auch in anderer Beziehung von Belang sind, denn aus ihnen geht hervor, daB die
vielfach ubliche ausschlieBliche Untersuchung der H e r t z schen
Funktion eines Strahlungsfeldes ohne genaue Diskussion der
FeldgroBen selbst nicht nur eine unvollkommene Beschreibung
der Vorgange liefert, sondern unter Umstanden sogar irrefiihrend wirken kann.
Das H e r tzsche Potential des Strahlungsfeldes eines elektrischen Dipols zwischen zwei vollkommen leitenden Ebenen
w i d , wie in der ersten Arbeit gezeigt wnrde, unter gewissen
Umstanden fur den ganzen Defiuitionsbereich logarithmisch
unendlich. Hieraus wurde auf das Eintreten von Resonanz
1) R. Weyrich, Ann. d. Phys. [4] 85. S. 552-580. 1928.
2) R. Weyrich, Ann. d. Phys. [5] 2. S. 794--804. 1929.
Annalen der Physik. 6 . Folge. 9.
34
514
R. Weyrich
geschlossen. Wie das Formelsystem ( 2 0 4 auf S. 573 der ersten
Arbeit zeigt, bieten sich aber in diesem Falle (ky= 0) die aus
dem H e r t z schen Potential durch Differentiationsprozesse gemonnenen FeldgriiBen, auf die es allein ankommt, in unbestimmter
Form dar, jecloch in der Weise, daB bei dem Grenziibergang
ky----+O die Komponenten
@):.'
und
gegen endliche
Werte bzw. gegen Null konvergieren. Eine eige,ntliche Resonanz
tritt also nicht auf, da diese durch das Unendlichwerden einer
dieser Komponenten bei diesem Grenzubergang gekennzeichnet
sein mulSte. Die Susfuhrungen iiber die miigliche ausgezeichnete
Rolle der Resonauzwellen bei dern Susbreitungsvorgang werden
daher insofern zum Teil hinfallig, als sich diese Wellen von
den andern Partialwellen des Spektruiris nicht wesentlich anterscheiden. Es durfte ihnen vielmehr eher nur eine untergeordnete
Bedeutung znkommen, da sie in radialer Richtung, wie sich
aus den Betrachtungen des Poyntingschen Vektors ergibt,
keine Energie transportieren. Iinmerhin bleibt aber das besondere Verhalten der H e r t z schen Funktion in den Fallen
b y = 0 geniigend beachtenswert, um diese als Falle uneigentlicher Resonanz besonders hervorzuheben, und zwar schon
deshalb, weil die in1 Rahmen der Theorie entwickelten Fornieln
nicht nur elektrodynamisch, sondern rein mechanisch etwa als
die mathematische Beschreibung der entsprechenden Schwingungsvorgange in eineni elastischen Medium gedeutet werden
kijnnen, wobei dann der H e r t z schen Funktion selbst eine
wesentlich selbstiiindigere Bedeutung zukommt a.ls in der
Elektrodynamik.
Wie schon zu Beginn dieser Zeilen angedeutet wurde,
sc,heint mir der Hinweis auf dieses singulare, voii dein der
FeldgroBen in so hohem MaBe abweidiende Verhalten der
H e r t z schen Funktion deshalb von X'ichtigkeit, weil bei den
nieisten bisher vorliegenden Untersuchungen iiber die Ausbreitung elektromagnetischer Rellen llings Leiteroberfliichen,
insbesondere langs der Erdoberfiache und bei der Behandlung
verwandter Probleme der Wellenoptik lediglich das Verhalten
cler H e r t z schen Funktion des Strahlungsfeldes erortert wurde
nnter der stillschweigenden Voraussetzung, daB damit zugleich
die GroBenverhaltnisse der Amplituden des elektrischen und
magnetischen Vektors hinreichend klargelegt seien. Bei der
a:),
Bernerkungen xu xwei Arbeiten des Terfassers
515
Betrachtung des Feldes eines frei strahlenden Dipols ist diese
Beschrankung auf die Diskussion des H e r t z when Potentials
bis zu einem gewissen Grade statthaft, menn die Entfernung
Toni Dipol groB gegen die Wellenlange ist. I n der Nahe des
Dipols geben aber gerade diejenigen Glieder, welche die Entfernung vom Dipol in hoherer als der ersten Potenz im Nenner
enthalten und die man daher gewohnlich in den Ausdrucken
fur die Feldgrotlen zu vernachlassigen pflegt, die groBten Beitrage zu ihrem Gesamtbetrag. Daher mag es kommen, daB
bei der Beschreibung der Interferenzerscheinungen, die durch
Einlagerung von Leiteroberflachen in ein Strahlungsfeld entstehen, die ausschlieBliche Untersuchung der H e r t z schen
Funktion keinen ausreichenden Einblick in die IntensitatsTerhaltnisse des Feldes gewahrt, denn die in diesen Flachen
induzierteii elektromagnetischen Schwingungen konnen, wie in
der zweiten Arbeit an dem Sonderfall eines linearen Leiters
gezeigt wurde, ersetzt werden clurch die Schwingungen einer
Dipolbelegung von entsprechend gewahlter Intensitat. Wie aber
bei dem einzelnen Dipol die Intensitatsverhaltnisse seines
Strahlungsfeldes in seiner Nahe durch die H e r t z sche Funktion
unrichtig wiedergegeben werden, so ist es auch in der Nahe
einer mit Dipolen stetig oder stuckweise stetig belegten Flache.
Hierdurch wird das singulgre Verhalten der Hertzschen Funktion
im Gegensatz zu der vollen Regularitat der E'eldgrijBen bei dem
behandelten Problem erklarlich, denn nach der Problemstellung
kommt in diesem Falle nur die Betrachtung des Feldes in der
unmittelbaren Nachbarschaft der reflektierenden Flachen in
Frage. S a c h diesen Erwagungen scheint es mir nicht ausgeschlossen, daB bei ahnlichen Problemstellungen die ausschlieBliche Betrachtung der H e r t z schen Funktion ebenfalls
zu unbefriedigenden Ergebnissen fiihren konnte, und ich mochte
es daher f ur erwunscht bezeichnen, daB bereits vorliegende
Untersuchungen, bei denen es in Frage kommt, nach dieser
Richtung hin noch einmal uberpruft und - wenn notig erganzt werden.
Zu der zweiten Arbeit inogen hier noch folgende Bemerkungen uber das auf Grund der allgemeinen Erorterungen
in einem Sonderfall berechnete Strahlungsfeld einer Antenne
Platz finden, bei dem die Stromverteilung in der Antenne
34 *
R. Weyrich
51 6
gemab der bekannten Abrahamschen Formel angesetzt wurde.
Die hnnahmen der Arbeit entsprechen einer an ihrem unteren
Ende geerdeten Antenne, da an diesem ein Schwingungsbauch
der Stromstarke angenommen wurde. Fur die experimentelle
Untersuchung wesentlich einfachere Bedingungen ergeben sich,
wenn die Antenne nicht geerdet ist, die Stromstarke also an
beiden Enden Schwingungsknoten hat. Man erhalt dann an
Stelle der im Text angegebenen etwas andere Formeln, die
ohne busfiihrung der elementaren Zwischenrechnungen als
Nachtrag hier mitgeteilt werden.
Unter den geanderten Voraussetzungen ist die Stromverteilung in einer bntenne, die das Interval1 a 5 x 5 b cler
2- Achse erfullt , auf Grund der A b r a h a m schen Formel geneben durch
1
J = A cos -
- ~
b-a
-
cos _____
b-a
’
wobei aber nun zwischen den Abmessungen der Anteiine und
den ubrigen in dieser Formel auftretenden GroDen andere
Zusammenhange bestehen , als sie unter den friiheren Voraussetzungen in der zxeiten Arbeit auf S. 800, Zeile 6 on oben,
angegeben wurden. An Stelle der dort angegebenen Gleichungen
ist nuninehr zu setzen:
Auf Grund dieser Formeln ergibt sich fur die Intensitatsverteilung der Dipolbelegung der nicht geerdeten Antenne
Das H e r t z sche Potential des Strahlungsfeldes einer frei
strahlenden derartigen Antenne laat sich also in folgender
Form darstellen:
IfoAe-iWt
=
L
exp i [k V t 7 - 1 -(2 - <)* - o t ]
- --J
A
C
I/ - F q i - : i
R
Bmnerkunyera xu xuiei Arbeiteiz des Verfassers
517
wahrend eine einfache Rechnung nach den auf S. 802 der
zweiten Brbeit angegebenen Formeln fiir das H e r t z sche
Potential des Strahlungsfeldes einer nicht geerdeten Antenne
zwischen zwei vollkommen leitenden Ebenen folgendes Ergebnis liefert:
vnb
v=l
(+)2-
+
COS-
vna
(5-)
___
vnz
h
Wird die Autenne in ihrer Grundschwingung erregt, so ist
insbesondere n = 0 zu setzen.
Die zuletzt angegebene Formel erweckt den dnschein, nls
ob das H e r t a sche Potential der endlichen, nicht geerdeten
hntenne, die zwischen zwei -vollkommen leitenden Ebenen
stra.hlt, einen wesentlich hoheren Grad von Singularitst auftveisen wiirde als die eines unter den gleichen Bedingungen
strahlenden Dipols, da in dem Spektruin der endlichen Antenne
im Gegensatz zu dem des Dipols Xenner auftreten, die fur
gewisse Erregungsfrequenzen verschwinden. Damit dies eintrete, mu8 bei ganzzahligem v
sein. 1st das der Fall, so ist aber auch der Zahler des betreffenden Bruches wegen
vnb
h
COS -
+ COS- v z a
y 3% (b + 4 cos
= 2cos -Lh
n (b - a)
2h
gleich Null, und man iiberzeugt sich leicht, da8 bei einem
Grenziibergang, bei dem etwa h als veranderlich angenommen
werden kann, diese Briiche gegen endliche Werte konvergieren.
Das H e r t z sche Potential der endlichen antenne weist also
518 R. Weyrich, Bemerkungen zu xwei Arbeiten des Verfassers
keine anderen Singularitaten auf als das des Dipols und teilt
mit diesem, die Eigenschaft, daB das logarithmische Unendlichwerden in den Fallen k y = 0 sich nicht auf die Feldgrofien
ubertragt. Hier wie dort tritt also nur eine uneigentliche
Resonanz auf.
Am Schluki dieser Ausfuhrungen mochte ich nicht versaumen, ein kleines Versehen zu berichtigen, das mir bei der
Niederschrift der zweiten Arbeit unterlaufen ist. Auf S. 800,
Zeile 13 von oben, ist an Stelle der dort angegebenen Belegungsfunktion f u r die geerdete Antenne z u setzen:
f(2)
A
w
= - - cos -(Z
C
- a).
Die sich daraus ableitenden Formeln auf S. SO0 und SO2 sind
ebenfalls entsprechend richtigzustellen. Auf den Gang der
Untersuchung selbst sind diese h d e r u n g e n ohne EinfluA, da
diese Formeln nur als erlauternrle Beispiele den nllgemeinen
Erorterungen beigefugt wurden.
B r u n n , Mathematisches Institut der Deutschen Technischen Hochschnle.
(Eingegangen 3. Marz 1931)
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