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Bemerkungen zu der Anfrage und Aufforderung des Herrn Commissionsraths Busse in Freiberg in diesen Annalen Band XXIII St. 6 S

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VI.
B EM ER l i U X CE3
z u d e r A n f r a g e riizd A r r f f o r d e . r r i n g d e s
H e r r IL C o 111 171 i ~ / ~ i *ni tsi r n t 1 ~ sB u f i e i r r Fre i b e r g i n dieJ'err A n n r i / e n , B a n d X.'iIII,
S t . 6 , S. a$,
v o in
Dr.
~ I O L L W E I D E
in Halls.
1.
Herr D u E f e h a t i n fcinem Beweife des h i -
fc I1 e I i 1- 1i c t i re I ii s , bet r c f fe 11il d i e Z u fa rn m B n fet z u ng
der Xrit'tr, eiiieii SJtz Z L I IIiIlie Senommen, voii welclieiii er clzr Anfrage nacli glaiilit, dais er wolil einiSen M~tlieiiiatikerii pilratlox vorgekomrnen ftyn
I c i i i i i i e , unll z : w r cltafswcqcn , weil Jabei zuvi Grijh a t!iircL eiue eirrzige Gldichuiig beftimmt zu werdeii I'c!iLi lien.
+
Der S a t z iit diefer: Wenn b' cof@
e' fin 8'
fiir jc-lcn IVerth von 8 gleich I feyn foll, fo mufs e
= (I = i,- I r e p .
Ich weiG niclit, w a s tlas fiir Mathematiker feyn
, rieiien der Satz paratlos vorkommen
kiinrite. Dide milfsten in der Algebra wohl nur bei den
Ir-liir;z:ntnn Gieicl;un,rren frehen gebliebcn und ticlit
his ZLI rlc~iirriSL/iirii;nrenGleicliungen unrl cler MethoJc cler unbeftiinmten Coeiticienten gelioinmen
miigen
feyn, alfo die gegehene Gleichitng mit einer beFtimrnten verwechfeln. Aber die d h S'itze brige.
fiigte Bedingung, dol's die Gleichung ffir jec!en Fi-erth
VOII /3 geltell foil, giebt Cogleich zu erkeiilieti, ti&
man es hier mit .einer unbeftimmten Gleichttllg ZLL
thun habe, worin nicht Aer Werth van,% Foodern die
Coefficienten c unrl b nach der Alethoile tler unbeftimlrlteti zu beftimtnen fin?. Hiernacli ift tlenn ~ L I C
cter IJeweis des Satzes M i r leiclit. Ich v;ill cIeru:r
drei iiiittheilen, unter welchen inan w i l ~ l r umag.
p* fill P. =
. I , ro wird
a. UI
6' cof 8'
e' fin 4
' = I = ,P fin 62,
. orler ( 6 ' - I ) cof /?+( e*- I ). fin 6
'- 0.
Sol1 der erl'te Theil tlider
. . Gleichung mit dcrn
zweiten fiir jeclen W e r t l i von @ itIentiicIi I'eyn, fo
m u t jeder der in cot 8' L I I I ~fin.
~
E' muitiiJIioirteI1
ift
C,oeFficieuterrfiir lich Zero Cejii. UJCIUL.L'~A
b:
x = o
wxl e2
I = o
mithin 6 = c = 2 I.
3.. Es. werde.
die QaGs tles oatiirlichen Logarjtil.
menfyfterns clurch c bezeichnet, fo il't ver!nittelft
der beltannten mit imagiiiiceo Exponenten behafteten Ausclriicke filr den Sinus unrl Cofitius
-
+
+
+
-
cof@=---
t +C&p
0
fin 6'
= i-C0T2,3
2
demnacb .
------- 2+cz3;''-~
4
+c-a?f-x
-
n--csdlr-~
I
-
--4
-C
-aaB,ir-r
~
1-iieraus folgtJ wie i n
3'
bZ
+
ez
(2)
=2
- ep = o
d r o L = e = 4- I .
4. Durch Differcntiirung. d e r gegehenen Glei.
chutlg un:l DiviGon d e r clerivirteri n i i t . 2 fin fl cof fl
entlteht diere :
t,'
- e'
=
Q
ocier bz = e2
Dadurcli wirtl die vorgegcbene Gleichung
6* { c o r k ? $. fin @*,) d. h. bZ.= I;,
airo b =
1' = e.
Da d e r S a t z rein-ancirytircll ift, fo war es f e h r
7na2 h p r o p o r , die Naturphi!ofophie bei d e m Beweife
derfelben , w i e H e r r B'u f f e getlian t a t , zu Hiilk
zu rufen. Diefe hat darnit gar nichts zu fchaffen.
5. D i e Aufforderung , welche Nerr-'B.u f.fe gel
m a c h t h a t , betrifft die A u f l i j h g eines Problems
a u s tier L e h r e yon .den anziehenclen I(raften, \YObei E U 1 e r Schwieriglteiten erregt h a t , ileren He,.
bung m e h r e r n Mathem3tikverrt~ndigen, z; B.
I i r a f t , (i tn erften T h e i l e feiner Mechanil:; Zuf. a,
4.- 7 3 , ) K a f t i i e r , ( i n d e r h o b e r n Mechan%;
+-
'.
.
4. 9j- 9 6 , )
.
.
nicht Ieicht vorgekom'men''ift. - H e r r
B U l f e kleidet clen Fall d e r Aufgabe-,' welchen , e r
als ,,den g e b r ~ ~ c l i l i c h f t Hauptfall
en
f',
das heifst
d o c h wohl d e n i n d e r Na-tur vorkommenden'und defswegen a m 11;iu:i~ltenbehsndelten Fall,
anfieht, in
-
ein hlihrchen ein. .Ich fiirchte aber, d a f s e r feiner
Sache d d u r c h iehr lchliiiim gerathen, habe; Denn
a b e r dem Sparse hat e r den \t'iderfpruch, der fidh
in feinem Milirchen in Bctreff d e r Anziehung tler
Ercle zu beiden Seiten tles Nittelpunkts . befindet;
nberfehen, uncl zuglcich clsr Errle iiii Innern ein Anziehungsgefetz langcdichtet, tlas ihr dafelbft gar
nicht zu!cornint.
D e r \\'iilorlprucli befteht darin,
c!afs Herr B u f f e don Kiifter lClimin,'--:(wenn
I l o l b e r g , d e r die untcrinlifche Reife K l i m m ' s
gelchriebcn hat, noch lebto, nnd etwa die zweite
unterirtlifcbe Reire; welclie H e r r B ri:ffe fL'm e n
K l i r n t n maclieri 1312t, zu GeCcht beklme, fo
niiicirte er k:ii ~ v o h ldifilr cbeii fo bedanken, ;vie
C,r?r v B 11 t e s Gcli bei rleiril A v e I 1a n e d a *) far den
zweiten Zug, C!SI clieler 'feinen D o n Q u i x o t e unternchinen lids, bec!ankt hat,)
auf der einen Scite
des anzielietiden Punktes iletii Quadrate d e r ' Entfern u n s von dernl;*!be:i geriidP:z~, auf cler andern aber
dcrii Qu.idrate drr Entfernung von tlemfelben umgeh h r t proportiotiai anzielien kifst. **) Da man die erIteSeite a u d i t u r zwciten, und diere zur errten ma-
-
*) Dals das nicht dcr wahrexame desVcrfaCTers.ron
einer Fortfeizqng des Don Quixote ih, wiflen die
Lelrr des Cerrsntikhen Jleifierwerks.
M.
**) Ich habe bier Herrn Bufle's Ausdrticke von
diesleitiger cilio;,ailcher Annaherung und jenleitiger amcrihanikher Entfernung die giinRigRe Deutung gegeben. Jcde andere k t z t ein rSlliges niilsverfliindnils des bekannten und hochR einfach ausgedruckten Graritationsgefetzer von Seiten Herrn
3 u l l e ' s voraus.
w.
then h n n ; .fo folgt, dafs ein Kijrper*xu beiden Seiten deS Nittelpunkts der Anziehang zugleicb deln
Qui&ate :Ier.t(::itfernung von cIcni[&en gpmde3.u
un.1 iinzg&brc proportional angczogaci w h i , W d clies , rla es eirierr Widerfpruch einfchliefst , atfurJ ilt.
Der Gott des Sdierzes, .bei item cs wohl Herr
B u f l e eiiiinahl verfehen baben niufs, 11ar.ihn aber
noch weitec gefahrt, und ihn cine ~i*olkeftatt der
Juao urnarmen laffen. Denn clas Anziehuagsgetetz, worin<vonQuadraten der Eiitfr?rnung.vo~nonziehenden Punkta gefprochen wircl, gilt bei tlar
fphirifchen W e nur aufserhdb derfelben bis a n t!ie
Oberfliche, iniierhalb derlealbea aber fiutlet ein g a n t
antleres Strrtt. .llier ilt nimlich die Aiiziehung rler
errten Potmzder Eatfertiung vom Mittelpui\ktc, und
Zwar ger;lde:/.u, proportional, wovon man den Be.
weis in den Priiicip philqfi)pl&ncit., Lib. I, Prop.
45 un:I 7 4 , fintlcn kana. Kein ti-untlcr alf'o, wenn
die f~';il,i~ntIideii
anzicliendeii Krifte in tier artigen
lljfrt,rie , die Herr 13 u Cfe zuiii Befien gegehen
hat, ilturrcn. Er hat d3s Alurren nur nicht zu deuten ge\v&t;. es g J t oicht clem PriiGtlenten,. Tondern i l i t n fell&-,. der dutch jenen, den anziahendeo
XrSftch' dcr %rde otwas zumuthete, was be nihht
leiften kprluten.
Es 1;aki alfo'hei clem gedachten Problem, wobei
&S Gefetz 'tlcr clein (2uac.lrate der Entfernung urn:
gekellrt praprtionalen A;iziehung, els bis Z U ~ NitI
telpunkte dzrlelbeu pitend i~ngenominenwird, gar
nick t
1
1
.
c
217
I
nicht von einer Anwendung auf die Erde die Redo
feyn, fondern es ift blofs als eine mathematiiche
Uebungsaufgabe zu betrachten.
Was aber d i e
Sahwierigkeit anlangt , welche dabei- in RackGcht
der Uebertragung der Gefchwindigkeit von der einen Seite des Rlittelpunkts der Anziehung auf d i e
andere vorkommt, fo hat folche T e t e n s, (in der
Anmerkuag zu rler vorhin angefiihrten Stelle der
Kr a f t ' fchen Mechanik,) fchon viillig gehoben,
durch dieRegel, welche e r giebt, nlmlich, dafs alle
i n dem Ausdrucke fiir die Gefchwindigkeit. auf der
cinen Seite des Mittelpunkts der Anziehung'vorkommende linearen Grdfsen voraus gefetzt , dafs, wie
es in J e r K r a f t ' fchen Rechnung der Fall ift, d e r
IVeg des Kiirpers durch feine Entfernung vom Mittelpunkte ausgedruckt wird, negativ gefetzt werden
maffen. Urn fich von cier Rahrheit dieferRegel zu
aberzeugen, mufs man freilich das thuo , was T et e n s vorfchreibt, nimlich das Problem aufmerkfam betrachten, d. h. erwiigen, dafs die ablolutea
&ofsen zu beiden Seiten des 1Mittelpunkts in gleicher Entfernung von dernfelben einerlei find.. In diefer RilckGcht ift der vorliegende Fall dern -ahnlicb,
wo ein Korper vertical aufwirts geworfen in gIeichen Entfernungen von ({em oberften Punkte feiaer
Bahn diefelbe Gefchwindigkeit hat.
Herrn B u f f e 's Behauptuug, dafs T e t e n s
hier fein algebraifches Inltrurnent ,
er hat fagen
wollen : rein Inltrurnent, die Algebra,
habe zwei
Mahl anlegea milffen, ilt alto grundlos. Dies wilrde
h d . d.PLylilr, B.25. St. a. J. 1807~Skzl
P
-
-
. .
uod dadurch
f
?#hz
v?1:=.
.-;
.
.-..,
-'
2'&b2
a '
Zieht *.sman leide.,eusd,rriicke :far .die G c f c h s i b
. welche .bei
digkelt, : diesfeeits. des hIitte1punk.t~~
6 e h l e r fteht, u d jenfeits deiieADbu, im..einw einzigeo zulammen., .Loiff
P a
2 =
-
<(a? + s 2 - 2 a
wo die Grofse a'
- -s)
206'
iab'
R
'
's
2 u s uater Clem Wurzelzeichen blei'uen
mufs,
damit
die Wurzel Zo wahl
. . ...
6 ~1 als a s f e y kijnne.
. .&fit.
Setzt man die Eritfernung des Ktirpers vom
telpunkte der Anziehiing in: jedern Punkte der
Baliu s13
-
-
lo ift
vz
gbg
= n5'
-.
!2gl52
a
):ier. find aEfdsre-ei Ausdracke, 'in deren jedeni
die darin vorkominenilen Grafsen abfolut zu neh;
men fintl, fiir die Gefcliwinitigkeit diesfeits und jenfejts dcs 3JitteIpunl;ts tler Aiiziehung, ftatt cities rol:
chen, w&hen.€Ierr B u f f e gewiln'fcht hatte. Es
w i d rlaraus einleuchten., dafs. man rnit der ;wohl
b q r iinrfelm L d i r e von (ten entgegen gefettten.Gr6
f s m , lo wie fie von [Jen erften und nieiften Maihematikverft~ndigen, E u l e r , La G r a n g e , La
.
.
P l a c e , Couki:",' K i i f t n e r , S e g n e r , u. r. \v.,
.., .. .
gehraucht ilt;'und noch gebraucht w i d , und we]:
cliern Gebrauche gerniifs fie von K1 il g e l clar'geftellt
ift, fiberall, ilfo auch hier ausreiche, ohne d;rfs
man nothig hatte, zu Herrn B u If e ' s Abanderuog
derlelben feine ZuAncht zu.nehmeo.
6. Was nun die Hauptkhwierigkeit,, Welche
E u l e r bei diefern Problcme findet, und wel&
Hr. B u If e zwir..-anfiihrt ,aber-durchEinmengung
der Lehre van den eatgegen gei'etzten Graben.in
ein ganz falfches Licht ftellt , betrifft; fo befteht
cliefelbe darin, dafs die Gefchwindigkeit des ang&
zogenea Iiiiryars i!n Nittelpunkte der Aoziebyng
unendlich ift , jenfeits deffelben aber wieder endlich
wird. E u l e r f a g , diefer Sprung aus dem Unendlichm i n s Endliche fey fchlecliterdings unbegreiflich. Allein riiefe Schwicrigkeit ift eigentliclr
gar keine.
Denn verrndge der Fiatur des Unendlichen , nach welchem es Init dern Endlichen
fchlechthin unvergleichbar irt, findet nothwendig
ein lolcher Sprung von dem Iiinen zum Andern
Statt. Es gicbt, urn mit I I a u f e n zu reden,
keine Briicke von dern Einen zurn Andern, und den
Uebergang aus dem Endlichen ins Unendliche, oder
umgekebrt, aus dem Unencllichen ins Endliche begreifen trollen, heifst nichts anderes, als wiflen
wo:len, wtnn oder wo eiae ins Unendliche wachfend. G r a t e aufhiirt, endlich zu feyn, ehe oder
bevor fie unendlich wird, und umgekehrt. Beicles
fetzt eine Verwirrung der Uegriffe voraus, und ift
eine der Nrtur der Sacbe nach UniniiglicheForderung. So w h d e E u l e r felblt in fpiitern Jahren
dem gemiifs, was er in reinen ItaJtituc. culc. dgrSErent., Pars I, Cap. 111, vortragt, die Sch\vierigkeit, welche e r frilher errcgt hatte, weggeriumt
haben. - Uebrigens darf eine .uaendlicl) grofse
Gekhwindigkeit nicht anfto€sig werden , weil Gefchwindigkeit Oberhaupt nur etwas Forinales ift.
Denn das Reale der Bewegung ift blofs ftatige Veranderung des Orts ; olles abrige , was ooch bei dcr
Bewegung betrichtet wird, gehort uns an oder ift
+dofs formal.
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