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Bemerkungen zu der Frage nach den Krften welche die Ladung eines Elektrons zusammenhalten.

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1066
9. Bemerkzzcnge?a x u der Trage
Krffftcn., w e l c h d i e Lnduny cines
P ~ G L C ~ Lden
.
Elektrons xusnmmenhalteut;
WoIfj.
von Hafins TI#.
5 1. Bekanntlich folgt aus dem Gesetze von der Abstofiung gleichbenannter elektrischer Ladungen, dab ein endlich ausgedehntes Elektron (wenigstens, wofern es ruht oder
sich rotationsfrei mit geradlinig gleichformiger Geschwindigkeit, welche kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist, bewegt)
nur dann denkbas ist, wenn man das Vorhandensein augerelektrischer Kriifte annimmt, welche die Teile des Elelrtrons
zusammenhalten. l) Da man mit der genannten Annahme eine
rein elektromagnetische Begriindung der Elektronentheorie aufgibt, liegt der Versuch nahe, durch eine geeignete Abanderung an einem elektrischen Grundgesetze die erwahnten Krafte
iiberfliissig z u machen. Auf dieses Ziel arbeiten die folgenden
Betrttchtungen hin. Bedeutet der Vektor Q die elektrische
Feldstarke, so setzt man, wie bekannt, die auf das Elektrizitiitsteilchen d e wirkende elektrische Kraft gleich Q.de.2) Wir
haben nun die Wahl, entweder das Gesetz, nach dem @ sich
aus den wirkenden Elektrizitatsmengen berechnet, odes den
soeben angegebenen Ausdruck fur die elektrische Eiraft abzuandern. Da der erstere Weg wohl zu tiefgreifendeii Abweichungen von den elektrostatischen Grundanschauungen
fuhren wurde, sol1 hier der zweitgenannte vorgezogen werden.
Das vergnderte Kraftgesetz moge in allgemeiner Form lauten :
(1)
a=
+ 3 p z , EY,qJ],
1) Uber Bewegungszustilnde der Elektrizitat bei Abwesenheit voii
Zwangskraften vgl. T. L e v i - C i v i t a , Compt. rend. 115. p. 417. 1907;
L. C a f f a r a t t i , N. Cim. 15. p. 369. 1908 uiid U . C i s o t t i , N. Cirn. 17.
p. 103. 1909.
2) Im folgenden mird das elektrostatische RIaBsystem benutzt.
Krafie, welche die Lndurty eines Elektrons zusammenhalten. 1067
wobei Qz, GV und GZ die auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem bezogenen Komponenten des Vektors @ bedeuten und
S(@%,EY,Gz)ebenso wie L5 ein polarer Vektor ist.3 Urn mit
der geltenden Elektrostatik moglichst in obereinstimmung
zu bleiben, wollen wir festsetzen, daS 8 von dem Beitrage,
welchen die dem Elemente de nicht unmittelbar benachbarten
Ladungen zum elektrischen Felde liefern, unabhangig ist.
Dieser Forderung wird geniigt, wenn 8 lediglich von div @= 473p
J = raumliche Dichte der Elektrizitiit) abhangt und zugleich
mit diesem Ausdrucke verschwindet, so daB man nunmehr zu
dem Ansatze gelangt :
Se = d e - [ @+ 8 (div @)I, 8 (0)= 0.
(11)
Der Vektor 8(div @) ist jetzt naher zu bestimmen. Die nachstliegende und einfachste Rechenoperation , vermoge deren man
aus dem Skalar div@ einen Vektor ableiten kann, diirfte die
Bildung des Gradienten v div@ sein. Dieser bringt den Einflus der d e unmittelbar benachbarten Laduogen zum Ausdruck. Man wird jetzt zu dem Gesetz
IIII)
9 = d e . [ @ + k s v divG],
oder anders geschrieben:
$ = d e . [ C 5 + 4 4 k * v p]
gefuhrt, in welchem k einen Skalar bedeutet, da v div Q ein
polarer Vektor ist und k . p d i v @ auch ein solcher sein mug.
Es liegt am nlichsten, k als Konstante zu betrachten, man gelangt aber auch zu einem einfachen Ausdruck, wenn man
K = K/cliv@ setzt ( K Konstante); denn nennt man das von
der Ladung d e eingenommene Volumen dv, so erhalt man:
IIV)
$=
fi
- [G-div @ + K . v div (21.
4n
1) Es k8nnte scheinen, daB ein derartiges Gesetz im Widerspriich
mit der Definition von CF alu der auf die positive Elektrizitatseinheit
wirkenden elektrischen Kraft stehe. Diese Definition gilt jedoch zum
mindesten fur die auf einzelne Elektronen (als Probek8rper) wirkenden
Krafte, wtihrend eine weitere Unterteilung des elektrischen Feldes rein
hypothetisch ist. Vgl. M. Abraham, Theorie der Elektrizitgt 2. p. 21.
1908.
68 *
H. Th, Vo?ff.
1068
Die Kraft (dv/4n).K ~7 div @ ist derjenigen analog, welche in
einem Gase oder in einer Flnssigkeit infolge eines Gradienten
der Dichte auftritt.
8 2. Die Betrachtungen dieses Paragraphen schlieBen sich
an den Ansatz (111) an. Bei Vorhandensein eines Potentials 7
ist die auf eine Ladung d e ausgeubte elektrische Kraft bekanntlich gleich -de. v V. Man kann nunmehr der Formel (111)
geniigen, indem man an Stelle von P das Potential
U = Y - kdiv@
(1)
einfuhrt. Die elektrische Raumdichte e tritt somit, von einem
konstanten Faktor abgesehen, als Bestandteil des Potentials auf.
Es so11 jetzt die Ladungsverteilung lestimmt werden, die
ein Elektron aufweisen muS, damit nach (111) Gleichgewicht
bestehe. Hierbei seien au6ere Krafte ausgeschlossen, und das
Elektron befinde sich in Ruhe. Vom Zustande der Bewegung
ist auf p. 1070 die Rede. Damit auf kein Elektrizivatsteilchen
eine Kraft wirke, mu6 die Gleichung
(2)
erfiillt
selben
g den
einem
@
+ 4 m K. v p = 0 (Gleichgewichtsbedingung)
sein. Nimmt man an, da6 fur alle Punkte, welche denAbstand r vom Mittelpunkte M des Elektrons besitzen,
gleichen Wert hat, und nennt man den von M nach
Punkte P weisenden Vektor rl*r, so gilt:
Ferner besteht die Beziehung:
0
Man kann nun auf Qrund von (2) schreiben:
Durch Differentiation dieser Gleichung findet man:
dz
2 dq
1
-$
+ -+ -k-@
= 0.
r dr
Krafte, welche die Zadung eines Eehtrons zusanimenhalten. 1069
Uriter Benutzung der neuen Veranderlichen u = r
wir zu der Beziehung
Q
gelangen
aus welcher folgt:
Hierin sind c1 und c2 Integrationskonstanten, und k wird als
positive GriiBe vorausgesetzt. Die Ladungsverteilung, zu der
ein negativer Wert von R fuhrt, durfte weniger wahrscheinlich
sein. Damit die zu r = 0 gehiirige Dichte po nicht unendlich
gro6 wird, setzen wir c2 = 0 und konnen nun schreiben:
(3)
iz
Wenn r
= n ist, so wird g = 0, und es liegt die Annahme
nahe, daB der zugehiirige Wert von r der Radius des Eiektrons ist. Bezeichnet man diesen mit R, so gilt dann:
Es sei noch darauf hingewiesen, da6 man leicht den
folgenden Ausdruck fur die Abhangigkeit der elektrischen
Feldenergie yon der raumlichen Verteilung einer gegebenen
Ladung uberall gleichen Vorzeichens finden kann:
(5)
187zJ G 2 d v
-2nk
Das zweite Integral gibt die Arbeit an, welche die Kraft
de.4 n k v Q leistet, wenn die Ladung aus dem Zustande unendlicher Ausbreitung und unendlich kleiner raumlicher Dichte
in die betrachtete Verteilung ubergefiihrt wird. 1st die Gleichgewichtsbedingung (2) erfullt , so verschwindet Ausdruck (5).I)
In diesem Falle ist die elektrische Feldenergie vom gleichen
Betrage wie in dem soeben angegebenen Grenzzustande.
1) Wenn die Ladung ins Unendliche reicht, muS eine Bedingungsgleichung erf~lltsein.
1070 $7. 271.Wolfi Krafte, welche die .Ladung usw.
(s 3. Nachdem bis jetzt von ruhenden elektrischen Ladungen die Rede war, moge nun kurz auf den Zustand der
fortschreitenden Bewegung eingegangen werden. Wir wollen
die Gultigkeit dee Relativitatsprinzips voraussetzen. Die Gieichungen (I) bzw. (lI), (111) oder (IV) sollen demnach unverandert in verschieden (mit Unterlichtgeschwindigkeit) bewegten
Sptemen gelten (zum mindesten bei AusschluB von Drehungen
und Verzogerungen bzw. Beschleunigungen), wobei die von
einem mitbewegten Beobachter gemessenen GroBen einzusetzen
sind. Ein im Gleichgewicht befindliches Elektron weist dann,
in jedem derart bewegten System betraclitet, dieselbe Ladungsverteilung auf. 1) Dieses Verhalten zeigt bekanntlich das
L o r e n t z sche Elektron.
C h e m n i t z , im Oktober 1911.
1) Vorausgcsetzt ist, daB nur eine bestimmte Ladungsverteilung die
betreffende Gleicbgewicbtsbedingung erfullt, da sonst ein Ubergnng aus
cinem Gleichgewichtszustaude in einen auderen deukbar wiire.
(Eingegangen 26. Oktober 1911.)
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