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Bemerkungen zum Nahwirkungsprinzip in der Qantenphysik.

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R.Haag: Bewierktrngen zum hlahuiirkungsprinzip in der Quantenphysik
29
Ben1 erkungen z urn Nah wirkungsprinzip
in der Qanfenphysik
Von Rudolf Haag
Mit 1Abbildung
Herrn Professor Dr. E. F u e s xum 70. Geburtstage gewidmet
Inhaltsubersicht
Es wird eine Formulierung des Nahwirkungsprinzips in der Quantenphysik
gegeben. Die Beziehung dieses Prinzips zum Problemkreis der Eichinvarianzen
und der Statistik der Partikel wird aufgezeigt.
1. Einleitung
Der Gegensatz zwischen der Begriffswelt der Newtonschen Mechanik eines
Partikelsystems und der Faraday-MaxwellschenFeldvorstellung bedarf kaum
einer Betonung. In der Quantenphysik sind diese gegensatzlichen Bilder jedoch
soweit versohnt, daB haufig die Worte ,,Feld" und ,,Teilchensystem" synonym
gebraucht werden. I n der Tat ist eine quantisierte lineare Feldtheorie aquivalent
zur Quantenmechanik eines Systems beliebig vieler ununterscheidbarer Teilchen,
die keine Wechselwirkung miteinander haben. Man vergiBt deshalb leicht , da13
das Nahwirkungsprinzip, das der Feldvorstellung zugrunde liegt, in der Quantenphysik nicht neniger bedeutungsvoll ist als in der klassischen Physik.
Am wesentlichsten ist hier wohl der Umstand, da13 die Zuordnung zwischen
Teilchen und Feldern in einer niehtlinearen Feldtheorie keineswegs trivial ist.
Ein einziges Feld kann ein System wechselwirkender Teilchen beschreiben, in
dem verschiedene Partikelsorten vertreten sind. Der Feldstandpunkt bietet deshalb die Hoffnung, zu einer fundamentalen Theorie der Teilchen zu kommen.
Demgegeniiber stehen solche theoretischen Modelle, die jedem experimentell gefundenen, einigermden stabilen, Partikeltyp ein Feld zuordnen und diese Felder
dann ,,aneinanderkoppeln". Dies sind phanomenologische Partikeltheorien, die
nur in formaler Hinsicht vom Fcldbegriff Gebrauch machen.
Wir wollen hier einige Eigenschaften der Observablen zusammenstellen, die
das Nahwirkungsprinzip in der Quantenphysik kennzeichnen. Die physikalischen
Konsequenzen, die sich daraus ergeben, sind leider nur in sehr begrenztem Umfang klargestcllt. Wir miissen uns mit einigcn Remerkungen begniigen.
30
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 11. 1963
2. Nahwirkungsprinzip und Feld
Zunachst einige Vorbemerkungen zur Bezeichnungsweise. @ ist der Hi1 b e r t raum der physikalischen Zustande; Y und @ sind irgendwelche Vektoren daraus.
Wir nehmen L o r e n t z -1nvarianz an. Das sol1 heiaen, daR jeder inhomogenen
Lorentz-Transformation1) L = (a,A ) ein unitarer Operator U ( L )entspricht,
der die Zustande von @ transformiert. Die Operatoren U ( L )bilden cine Darstellung der inhomogenen Lor e n t z -Gruppe, d. h., sie erfiillen das Multiplikationsgesetz
U ( L 2 ) U(L1) = U P , LA.
(1)
Die Translationsoperatoren U ( a ) schreiben wir auch
U ( a )= e - - i P P , .
(2)
Die Operatoren P , entsprechen den Observablen Impuls und Energie des Systems.
Die erste Aussage des Nahwirkungsprinzips ist, da13 jedem Raum-Zeitgebiet B eine Kollektion von Observablcn zugeordnet ist, namlich die Menge
der Observablen, die innerhalb des Gebiets B geniessen werden konnen. Eine
einzelne Observable wird mathematisch durch einen selbstadjungierten Operator dargestellt. Es ist aus verschiedenen Griinden zweckmaBig, an Stelle einer
Kollektion 9J2 selbstadjungierter Operatoren den ,,v o n - N e u m a n n -Ring" R (9X)
zu betrachten, der durch 92 erzeugt wird. Dies ist eine Menge beschrankter
Operatoren, die in folgender Weise aus den (moglicherweise unbeschrankten)
selbstadjungierten Operatoren gewonnen werden kann : Man bezeichnet mit
dem Symbol 912' die ,,Kommutante" von 9X. Sie besteht aus all denjenigen beschrankten Operatoren, die mit allen Mitgliedern von % kommutieren. Die
Kommutante von 912' (also die Doppelkommutante von '331) ist der durch %I2
erzeugte vo n - N e u m a n n -Ring :
R(9X) = W".
(3)
Die folgenden Eigenschaften eines v o n - N e u m a n n - R i n g s seien erwahnt.
1. R ist eine Algebra mit Adjunktion. Das heiDt : wenn Q und Q' zu R gehoren und 01, /I komplexe Zahlen sind, dann gehoren auch
aQ+/I&';
zu R.
2. R enthalt den Einheitsoperator.
3. R ist schwach abgeschlossen2).
4. R"
QQ'; Qt
= R.
Nach diesem Exkurs iiber v o n - N e u m a n n -Ringe fassen wir die bisherigen
Betrachtungen zusammen in den Aussageii
I. Jedem Raum-Zeitgebiet B ist ein v o n - N e u m a n n - R i n g R, zugeordnet.
11. Diese Ringe werden durch die L o r e n t z -0peratoren folgendermaBen
transformiert :
U ( L )RB U - I ( L ) = RBlwobei Bl = L B ist.
(4)
l)
Der Raum-Zeitpunkt
5
wird durch L
=
5; = A,,, 5 ,
( a , A ) transformiert in
a,.
+
Die Matrix A charakterisiert den ,,homogenen Teil" der Transformation, der Vierervektor a
beschreibt eine Translation in Raum-Zeit.
2, Wir werden von dieser Eigenschaft hier keinen Gebrauch machen.
R. Haag: Benaerkungen zum Nahwirkungsprinzip in der Quantenphysik
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Die wichtigste Eigenschaft des Ringsystcms entspricht der E i n s t e i n s c h e n
Kausalitatsbedingung, die besagt, daf3sich keine physikalische Wirkung schneller als mit Lichtgeschwindigkeit ubertrrtgen kann. Dies bedeutet, daf3 zwei Messungen sich nicht storen konnen, wenn sie in Gebieten Bl und B, durchgefuhrt
werden, die total raumartig zueinander liegen. Zwei solche Observable sollen
also kommutieren. Sei nun B ein Gebict,, dann bezeichnen wir mit B' das ,,kausal komplementare" Gebiet, das alle Punkte enthalt, die zu jedem Punkt von
B raumartig liegen. Damit haben wir als
111. E i n s t einsche Kausalitatsbedingung
RBI
C Rh.
(5)
Wir wollen noch zwei weitere Vermutungen iiber das Ringsystem anschrciben. Sie werden in gewissem Umfang durch physikalische f'berlegungen nahegelegt, konnen in der Theorie eines freien skalaren Feldes bestatigt werden und
haben den Vorzug mathematischer Einfachheit. Es ist jedoch nicht unwahrscheinlich, daf3 sie gerade in den physikalisch interessanten Theorien etwas modifiziert werden mussen. Da ist zunachst
IV. Additivitat.
Wenn das Gebiet B durch Vereiniguug voii Bl und B, entsteht, dann wird
auch RB durch Rg, und RB, erzeugt. I n einer Formel
RB,"B, == ( R B , ,R B ~ ) " .
(6)
SchlieBlich kann man an Stelle der E i n s t e i n schen Kausalitatsbedingung die
stiirkere Bcdingung setzen.
V. Starke Kausalitatsbedingung.
Rh = Rgi
(7)
falls B ein einfacher Bereich ist3).
Diese Bedingung driickt z. B. zusatzlich z u (5) norh aus, daR die lokalen
Observablen einer Bewegungsgleichung geniigen, die den Ausbreitungscharakter
einer relativistischen Wellengleichung hat. Namlich, eine Observable in dem Gebiet Bl der
nebenstehenden Figur ist hestimmt durch die
Observablen des schraffierten Gebiets B,. Durch
zweimalige Anwendung von (7) und Beriicksichtigung von R" = R folgt namlich
R$
=RB
= RB,..
(8)
In der Abbildung ist BE: der Doppelkegel mit
der Basis B,. Er enthalt also Bl.
Wie ordnet sich ein ,,observables Feld" in
den Rahmen dieser Begriffsbildungen ein ? Wenn
man das Beobachtungsgebiet auf einen Punkt
Abb. 1
reduzieren konnte, dann sollten die aus der
klassischen Theorie bekannten GroIJen wie Feldstarke, Energie-Impulsdichte,
Stromdichte Observablen in dem betreffenden Punkt sein und der Obsers, H. A r a k i h a t gezeigt, daR (im Falle eines freien Feldes) die G1. (7) nicht mehr gilt,
w. nn B aus zwei getrennten, zeitartig zueinander gelegenen Teilen besteht.
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Anmlelz der Physik. 7. Folge. Band 11. 1963
vablenring des Punktes wurde durch solche GroBen erzeugt. Dies ist jedoch
nicht zu erwarten4).
Bestenfalls meBbar sind geeignet definierte Mittelwerte der FeldgroBen in
endlichen Raumzeitgebieten. Diesem Sachverhalt kann man mathematisch in
folgender Weise Rechnung tragen. Das Symbol A (x)moge eine FeldgroBe darstellen. Es ist dann A (x)kein Operator sondern nur eine H e r m i t e sche Bilinearform, die in einer dichten Domane % des H i l b e r t - R a u m s definiert ist. Wenn
also die beiden Vektoren Y und @ aus % sind, dann existiert das Matrixelement
(@ 1 A ( x ) I Y ) und es ist
<@
<@
/ A @ /01 Y
l+P
IA (x)I u'>= (Y I A (x)j @>*,
'u,>= a (@ IA(x)l PI> B <@ 1441Y2>.
+
(9)
(10)
Wegen der Bedeutung der Translationsoperatoren ist ferner
A (x)= U ( x )A (0)U-l(x).
(11)
uber die Domanc 59 hat man folgende Vermutung. Die Unmoglichkeit einer
Feldmessung in einem Punkt rhhrt daher, daB sie unendlich hohe EnergieImpulsubertragungen erfordern wiirde. Daher ist das Matrixelement (9) nur
dann endlich, wenn beide Vektoren Y und @ hinreichend stark abfallende Komponenten fur grol3e Energie-Impulswerte haben, wenn also fur ein hinreichend
grol3es n
Yll< O0
(12)
IIe
ist (und wenn fur @ dasselbe gilt). Die Domiine % besteht also aus denjenigen
Vektoren, die (12) erfullen mit einem hinreichend groBen (positiven) n. Urn aus
den Bilinearformen A (x)Operatoren zu machen genugt es A (x) zu ermitteln
mit reellen Gewichtsfunktionen f (x),deren Fouriertransformierte f ( p ) nirgends
singular sind und die im Unendlichen des p-Raums hinreichend stark verschwinden. Das Matrixelement der GroBe
s
A ( f ) = A (2) f ( x ) d4x
(13)
ist namlich, wenn wir den Hi1 b e r t -Raum nach dem Energie-lmpulsspektrum
zerlegen, von der Form [s. G1. (11)und ( a ) ]
<@
1 A ( f ) 1 w = J' f (2) d4x <@P, I A (0)I Y P ) ei(P
dP ( P ) dP (P')
= j-?(P'- P) (@PI IA (0)I Y P )
dP(P').
-
(14)
Wenn wir Y auf 5D einschrlnken, dann wird dadurch die p-Integration abgeschnitten. Die p'-Integration wird abgeschnitten durch die Funktion so dab @
nicht mehr eingeschrankt zu werden braucht. Fur jeden Vektor Y aus 6 ist
dann A ( f ) YeinVektordesHil b e r t -Raums. WirkonnennundieMengederjenigen
Gewichtsfunktionen f betrachten, die der oben geschilderten Bedingung genugen
und die dazuhin noch aul3erhalb des Raum-Zeitgebiets B verschwinden (die
ihren Trager in B haben). Die entsprechenden Operatoren A ( f ) sind dann Observable im Gebiet B , d. h., sie sind dem R,ing R , assoziiert. Diese Betrachtung
zeigt den Zusammenhang zwischen dem Ringsystem und observablen FeldgroBen. Es ist nicht bekannt ob ein Ringsystem mit den oben beschriebenen
4 ) S. die Diskussion von Gedankenexperimenten zur Messung der elektrischen FeIdstiirke. N. Bohr u. L. R o s e n f e l d , Dan. Mat. Fys. Medd. XII,Nr. 8 (1933).
R. Haag: Bemerkungen zum Nahwirkungsprinzip in der Quantenphysik
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Eigenschaften stets mit einer Quantenfeldtheorie aquivalent ist . Doch entspricht
ein solches Ringsystem stets einer vollstandigen physikalischen Theorie (einschlieljlich Interpretation) sofern der H i l b e r t -Raum irreduzibel ist.
3. Superselection Rules. Globale und lokale Formulierung d m 'rheorie.
W i g n e r hat darauf hingewiesen, dalj im allgemeinen nicht alle selbstadjungierten Operatoren in @ Observable sein konnen und nicht alle Vektoren von @
physikalische Zustande. Solche prinzipiellen Einschrankungen der Meljbarkeit
nennt, man superselection rules. Soweit sie gegenwartig bekannt oder vermutet
sind lassen sie sich folgendermaljen schematisieren: Es gibt eine Anzahl von
Observablen 2, - wir wollen sie die zentralen Observablen nennen -, die mit
sllen Observablen (also auch untereinander) kommutieren. Nur diejenigen Vektoren von @, die Eigenvektoren aller Z, sind, stellen reine physikalische Zust'ande dar. Die Menge der Eigenvektoren der 8,zu einem festen Eigenwertsatz
z , nennt man einen koharenten Teilraum von @.
Beispiele von zentralen Ohservablen sind (vermutlich) die elektrische Ladung und die Baryonzahl. Wir vermerken zunachst, dalj dies auch globale Observable sind, d. h., sie konnen nicht annahernd durch Beobachtungen in einem
endlichen Raumzeitgebiet bestimmt werden. Dies bedeutet, dalj eine experimentelle Unterscheidung der verschiedenen kohirenten Teilraume strenggenominen unmoglich ist'. Jedes realistische Experiment mulj theoretisch diskutiert werden konnen in einem einzelnen, beliebig gewahlten koharenten Teilranm (also etwa im Raum der ZustBnde mit Ladung und Baryonzahl 0).Das
Ergebnis darf nicht von der Wahl des Teilraums abhangen. Dies gibt Anlalj zu
einigen interessanten Fragen.
Sei @(<) ein koharenter Teilraum. Jeder Observablenring R , transformiert
@)
in sich. Man kann also die Einschrankung von R , auf .@(;I betrachten.
Damit haben wir fur jeden koharenten Teilraum ein Ringsystem Rk,also insgesamt eine Menge verschiedener Teiltheorien oder ,,Sektoren" ( @ ( i ) , R$ ).
Nach der eben gemachten Bemerkung mulj jeder einzelne Sektor bereits eine
Beschreibung aller physikalisch interessierender Phanomene enthalten und die
verschiedenen Sektoren mussen physikalisch aquivalent sein. Offensichtlich
geheri sie aber nicht durch cinc unitarc Transformation auseinander hervor.
Denn der Sektor, der zu Ladung und Baryonzahl o gehort enthalt den Vakuumzustand, der invariant gegen alle U (L)
ist, wiihrend kein anderer Sektor einen
normierbarcn, L o r e n t z -1nvarianten Zustand enthalt. Daher hedeutet ,,physikalische Aquivalenz" zweier Theorien weniger als unitare Aquivalenz. Worauf
es ankommt sieht man am einfachsten, wenn man den Begriff des ,,partiellen
Zustands" in bezug auf ein Raum-Zeitgebiet B einfuhrt. Wir wollen darunter
eine Klasse von globalen Zustanden (Hi1b e r t -Raum-Vektoren) verstehen,
welche nicht unterschieden werden konnen an Hand der Erwartungswerte der
Operatoren aus R,. Zwei Theorien sind physikalisch aquivalent, wenn man jeden
partiellen Zustand eines beliebigen e n d l i c h e n Gebietes, der in der einen Theorie
vorkommt, beliebig genau approximieren kann in der anderen Theorie (beliebig
genaue ubereinstimmung der Erwartungswerte von R,).
E s stellt sich damit die Aufgabe, die globalen Zuge der Theorie z u eliminieren
und. lediglich mit den part'iellen Zust,anden und Ringen iiber e n d l i che n Gebieten zu arbeiten. Dies ist, nicht durchgefuhrt. Doch seien einige Bemerkungen
3
Ann. Physik. 7. Folye, Bd. 11
34
Alznulelz deer Physik. 7. E'olge. Balzd 11. 1963
angefiigt. I n der globalen Formulierung, die alle Sektoren zugleich beschreibt,
treten natiirlich ,,nicht observable Felder" auf, die verschiedenen Sektoren miteinander verbinden. Ein Beispiel ist das Dirac-Feld. I n der lokalen Formulierung geniigt es, sich auf einen Sektor zu beschranken. Die Observablen allein
bilden dann ein vollstandiges Operatorsystem. Die physikalisch wesentliche
Aussage der superselection rule der Ladung ist, grob gesprochen, da13 bereits
die Ladung, welche in einem endlichen Raumgebiet enthalten ist, mit allen Observablen innerhalb dieses Gebietes kommutiert. Die genaue Formulierung dieses
Umstands fur die Ringe R, mu13 notwendig verschieden sein ob man das freie
D i r a c-Peld betrachtet oder die volle Quantenelektrodynamik, denn im letzteren
Fall la& sich die in einem Volumen eingeschlossene Ladung durch die Observablen an der Oberflache des Volumens (elektrische Feldstarke) ausdriicken, im
ersteren Fall dagegen nicht. Diesem Unterschied entspricht in der globalen
Formulierung, da13 das freie D i r a c -Feld invariant ist gegen Eichtransformationen erster Art, die volle Elektrodynamik aber gegen Eichtransformationen
zweiter Art. Man kann also hoffen in der lokalen Formulierung den physikalisch
wesentlichen Inhalt der Eichinvarianzen augenfallig zu machen und damit
die Bedeutung der elektrischen Ladung, als Quelle von Wechselwirkungen,
durch Strukturaussagen iiber die Observablenringe zu charakterisieren.
Ein anderer Problemkreis, der mit den superselection rules zusammenhiingt
betrifft die Statistik der beschriebenen Teilchen. Bei Abwesenheit von superselection rules folgt aus dem Nahwirkungsprinzip in einfacher Weise, daD alle
vorkommenden Teilchen der B o se-Statistik geniigen. Die superselection rule
der Ladung ermoglicht, da13 geladene Teilchen der Fermi.Statistik geniigen
konnen5). Man kann sich dies etwa so plausibel machen. Wenn man nur mit
Observablen arbeitet und sich demgemaB auf einen einzigen Sektor beschrankt,
dann kann ein ortlicher Einteilchenzustand nur erhalten werden, indem man
an einer sehr entfernten Stelle die Ladung kompensiert, etwa durch ein Antiteilchen. Das Nahwirkungsprinzip erfordert dann nur, da13 ein solches TeilchenAntiteilchen-Paar der B o s e -Statistik geniigt. Die Diskussion des Zusammenhangs von Nahwirkungsprinzip und superselection rules einersejts rnit der Statistik der Teilchen andererseits ist bisher noch nicht vollstandig durchgefiihrt.
Insbesondere ist nicht klar, ob es aul3er B o s e - und Fermi-Statistik noch
andere theoretische Moglichkeiten gibt .
5 , Allgemein mu13 jedes Fermion durch eine zentrale Observable vom Vakuumzustand
unterscheidbar sein.
U r b a n a , Illinois, Department of Physics, University.
Bei der Redaktion eingegangen am 10. Dezember 1962.
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