close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Bemerkungen zur chromatischen Aberration von Elektronenlinsen.

код для вставкиСкачать
Bern erkungen zur chroma tischen Aberration
von Efektronenfinsen
Von H.GrUmm
Mit 4 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
Der Farbfehler von Elektronenlinsen wird vom Standpunkt der wellenmechanischen Elektronenoptik aus behandelt. Zur Gewinnung ubersichtlicher
Formeln sind dabei einige Schematisierungen erforderlich. Die FarbfehlerEffekte werden a m Beispiel der Abbildung eines einfachen AmplitudenObjekts studiert. Eine Kompensationsmoglichkeit fur den Farbfehler wird
a,m Beispiel des magnetischen Glockenfeldes erlautert.
1. Einleitung
Die ,,chromatische Aberration" (der Farbfehler) von Elektronenlinsen
ist vorn Standpunkt der geometrischen Optik aus mehrfach untersucht wordenl).
Auf diese Weise ist es moglich, die Farbfehler-Effekte der Elektronenlinsen
annahernd zu erfassen und ihre oberen Grenzen zu bestimmen. Allerdings
werden bei diesem Vorgehen die Verhaltnisse weitgehend schematisiert, indem
z. B. als ,,Objekt" ein strahlender Punkt betrachtet und kein AufschluR uber
die Intensitatsverhaltnisse im Bildraum geliefert wird. Es ist daher naheliegend, den Farbfehler vom Standpunkt der fur Intensitatsfragen zustandigen
w e l l e n m e c h a n i s c h e n Auffassung zu untersuchen. Dabei kann man auf
der von W. G l a s e r und P. S c h i s k e 2 ) entwickelten wellenmechanischen
Theorie der elektronenoptischen Abbildung aufbauen. Eine konsequente
Theorie des Farbfehlers 1aRt sich zwar allgemein ansetzen, doch gelangt man
bei der Konkretisierung auf technisch wichtige Reispiele zu erheblichen rechnerischen Schwierigkeiten. Um zu iibersichtlichen Ergebnissen zu gelangen,
werden wir daher im folgenden ebenfalls zu gewissen Einschrankungen und
Schematisierungen greifen mussen. Die geometrisch-optische Auffassung wird
dabei ihre natiirliche Einordnung in die wellenmechanische erfahren. Wie in
der geometrisch-optischen Auffassung reicht auch fur unsere Zwecke' die Untersuchung der GauR schen Dioptrik aus.
W. Glaser, Z . Physik 116, 66 (1940); A. Recknagel, Jahrb. AEG-Forschg. 7,
17 (1940); G. Wendt, S. Physik 116, 436 (1940). VgL a. Anm. 5).
2, W. Glaser u. P. Schiske, Ann.Physik 12,240 (1953) I. und 11. vgl. a. W. Glaser,
Grundlagen der Elektronenoptik, Wien 1952.
13
Ann. Physik. 6. Folge. Bd. 1 4
194
Annalen der Physik. 6.Folge. Band14. 1954
2. Ursachen der chromatischen Aberration und ihr EinfluS auf die elektronische
Abbildung
In der Praxis hat man es in Elektronengeraten nie mit einem Elektronenbundel exakt definierter Geschwindigkeit zu tun. Auch theoretische Erwagungen verlangen die Annahme einer gewissen Streuung der Geschwindigkeiten um einen mittleren Wert. Die Ursachen der Geschwindigkeits-Abweichungen sind z. B. beim Elektronenmikroskop sehr verschiedener Art 3).
Einerseits handelt es sich um weitgehend , , u n v e r m e i d b a r e " Erscheinungen,
wie z. B. die thermische Schwankung der Austrittsgeschwindigkeiten an der
Kathodenoberflache und die Streuung in der Objektfolie (die letztere ermoglicht iiberhaupt eine Bildentstehung). Andererseits gibt es ,,vermeidbare"
Ursachen des Farbfehlers, die durch geeignete technische Mafinahmen reduziert werden konnen. Hierher gehoren Schwankungen der Beschleunigungsspannung oder der Linsenbrechkraft wahrend der Expositionszeit. In dieser
Arbeit wollen wir uns nur auf Erscheinungen der zweiten Art beschranken.
Es sei ein rotationssymmetrisches elektrisch-magnetisches Abbildungsfeld, charakterisiert durch @ ( z ) und B,(z) gegeben. In der Objektebene
z = zo sei die durch die Eigenschaften des Elektronenstrahlers, des Kondensors
und der Objektfolie bestimmte Wellenfunktion (,,Objektfunktion") y(zo,zo,yo)
vorgegeben. Wenn man sich auf den paraxialen Bereich beschrankt, stellt
sich dann nacha) in einer beliebigen Einstellebene z = const. die Stromdichteverteilung
J,(x, z,
1
-
y) = p ( z ) y y*
(2 ,
z,y) mit p ( x ) = 1 2 e m ~ ( z )
(1)
ein. Dabei lautet die Losung der ,,paraxialen Schrodingergleichung"
)
Die (verkiirzte) Wirkungsfunktion 8, hangt von zwei Losungen ~ ( z und
t ( z ) der Differentialgleichung
ab, die den Bedingungen
genugen. Haben alle Elektronen die gleiche Geschwindigkeit U , so entsteht
in der durch t (%) = 0 definierten Bildebene z = x, ein mafistabsgetreu vergrofiertes, in den Intensitatsbetragen entsprechend geschwachtes ,,Bild" der
Intensitatsverteilung J,(zo, zo,yo) in der Objektebene :
Die Lateralvergroflerung ist durch V = s(zl) gegeben.
8)
B.. v. Borries u. E. Ruska, Z. techn. Physik 8, 226 (1939); M. v. Ardenne,
Z.Physlk 108, 341 (1938).
H . Griimm: Bemerkungen zur chromatischen Aberration vm Elektronen.linsen 195
Nun werde an das Abbildungssystem eine von der ,,Sollspannung" U
geringfugig abweichende Spannung @ angelegt . Welchen EinfluB hat diese
Spannungsanderung auf den Abbildungsvorgang ? Zunachst kommt es zu
einer V e r s c h i e b u n g d e r
GauBschen Bildebene
urn die Strecke Ax, (Abb. l),
die sich in erster Naherung
ZU
-
Az,
= V 2CFl
mit
AU
1/"all
AU
-
u-u
(6)
=--
U
ergibt. Die GroBe
G,1 =
u
at
(7)
(a)z=zl
Abb. 1:. Veriinderung der Losungen s (2) und t ( z ) bei
Anderung der Beschleunigungsspamwg
sol1 ,,erste Farbfehlerkonstante" genannt werden. Weiter tritt eine A n d e r u n g
d e r V e r g r o B e r u n g auf:
V ( U , = V ( 1 - C & O U ) s'(x,) .A%.
(8)
+
Dabei wurde die ,,zweite Farbfehlerkonstante"
u
cF, =
/v/
as
(9)
= z1
verwendet .
Die V e r s c h i e b u n g d e r F r a u n h o f e r - E b e n e betrligt:
(10)
Die Gest,alt des Brennflecks in der neuen Fraunhofer-Ebene wird erstens
durch die Objektfunktion und zweitens durch die Grofie
-
+
t ( & ) = i(zp) tk * dz,
(11)
bestimmt4). Schliefilich tritt noch die bekannte B n d e r u n g d e r Bildd r e h u n g aufl), bestimmt durch
20
Die Beziehungen (6-12) ergeben sich naturlich auch auf Grund geometrischoptischer Uberlegungen, weil G1. (3) gleichzeitig die Differentialgleichung der
Paraxialbahnen darstellt. Der EinfluB dieser Veranderungen auf die wellenmechanische Abbildung so11 im niichsten Abschnitt untersucht werden.
Haben wir es mit einer Veranderung der L i n s e n d u r c h f l u t u n g zu tun,
so gelangt man zu ganz analogen Beziehungen, nur treten in den Farbfehlerkonstanten an Stelle von Ableitungen nach U solche nach B, auf5).
4)
5)
Vgl. R. Griimm, Ann. Physik 11, 131 (1962).
Vgl. W. G l a s e r , Grundlagen der Elektronenoptik, S. 266ff.
13*
196
Annalen der Physik. 6 . Folge. Band 14. 1954
3. Bildfleck bei senkrechter Inzidenz der Objektbeleuchtung
Wir fragen nun nach der durch den Farbfehler bedingten Verwaschung des
Sildflecks in einer bestimmten Einstellebene. Fur die Schwarzung der Photoplatte ist die an den verschiedenen Stellen der Plattenebene herrschende
Arbeitsdichte 6, maligebend, d. h. das fiber die Expositionszeit erstreckte
Zeitintegral des Produktes aus Beschleunigungsspannung und Stromdichte.
Zur Vereinfachung nehmen wir an, da13 sich der Gesamt-Strahlstrom wahrend
der Exposition nicht andert (man konnte eine derartige Bnderung durch Anbringen eines dimensionslosen, zeitabhangigen Faktors im Integranden berucksichtigen). Die Arbeitsdichte bestimmt sich also aus
wenn t, die Expositionszeit bedeutet. Unter JZ(%,xl,y,, t ) ist die im Bildpunkt P, zur Zeit t, herrschende Normalkomponente der Stromdichte (1)
zu verstehen. Die Veranderung der Beschleunigungsspannung sei als Funktion
der Zeit gegeben: @ = @ ( t ) . Die Umkehrfunktion t = T(C)sei eindeutig.
1st U die Spannung zu Beginn der Exposition,
so geht (13) uber in
u1
a(zl, x,,y,) =
$
-
U . J,(x,, x,, y,,
U
c). T' . d o .
(14)
Die Photoplatte befinde sich in der zur
Sollspannung U gehorenden Gaul3 schen Bildebene G ( U ) . Nach dem Hauptsatz der elektronischen Abbildungz) entwerfen die U-Elektronen fur sich genommen ein ahliches, vergroi3ertes Bild der Stromdichteverteilung
J,(xo, xo,yo) (in Abb. 2 ist schematisch die Abbildung einer zentrierten Kreislochblende dargestellt). Die U-Elektronen erzeugen ebenfalls
G(ul
G(G 1
ein ideales Bild, allerdings in der ihnen zugeAbb. 2. Abbildung einer zen- ordneten Bildebene G ( G ) .Ihr Beitrag in G ( U ) ,
trischen Kreislochblende. Elek- wo sich die Platte befindet, ist im allgemeinen
tronen der Qeschwindigkeit
eine komplizierte F re s nelsche Beugungserzeugen in der Bildebene G (
erscheinung (defokussierte Abbildung). Um die
ein ideales Bild. In der Ebene
Q ( U ) , wo sich die Photoplatte Arbeitsdichte nach (14) zu ermitteln, miissen
also im allgemeinen Fresnelsche Beugungsbefindet, entsteht eine F r e s n e 1 sche Beugungserscheinung. erscheinungen superponiert werden. Schon im
Sie wird fur die Rechnung einfachsten Fall, bei der Abbildung einer Kreisdurch die strichlierte Auslochblende, fuhrt diese Aufgabe zu einer kaum
gleichskurve ersetzt
zu bewaltigenden Rechenarbeit.
Hier kommt es uns aber nicht so sehr auf die Feinstruktur des Bildflecks
an, sondern darauf, handliche Formeln zu gewinnen, welche die Gute der
Linse im Hinblick auf den Farbfehler charakterisieren. Zweckmaliigerweise
u
u)
_
_
6,
~
B. v. Borries, Die tfbermikroskopie (1949), S. 187.
H . Grumrn: Bemerkungen zur chromatischen Aberration vm Elektrmenlinsen
197
werden wir daher die defokussierte Abbildung durch eine annaliernde Intensitatsverteilung ersetzen. Wir machen dabei von folgender, fur die elektronische Abbildung charakteristischen Tatsache Gebrauch : wenn sich die
Einstellebene immer mehr der Bildebene nahert, gleichen sich die in der Einstellebene entstehenden Beugungserscheinungen immer mehr dem idealen
Abbild an. Dementsprechend nehmen wir an, da13 die u-Elektronen auch in
G ( U ) ein annahernd ideales Bild erzeugen (wir ersetzen dabei die feinen
Schwankungen der Intensitatskurve durch eine Art Ausgleichskurve). Allerdings wird dieses Bild gegeniiber dem in G(@) entstehenden serzerrt sein.
Stillschweigende Voraussetzung ist, daB die Objektfunktion y(zo,xo,yo) bei
geringen Spannungsschwankungen praktisch unverandert blei bt.
Wir haben also naherungsweise die Gestalt des Bildflecks zu bestimmen,
den sie 0-Elektronen in der G(U)-Ebeneerzeugen. Zunachst sei s e n k r e c h t e
I n z i d e n z der Elektronen in der Objektebene vorausgesetzt. Wird in der
G(U)-Ebene ein Bild der Vergroflerung V ( 0 )entworfen, so betragt die VergroBerung in G(U)nach Abb. 1, sowie G1. (8) P = V(1 - CF2A U ) . AuBerdem
ist die Anderung der Bilddrehung(l2) in Betracht zu ziehen. Die gesuchte
Intensitatsverteilung wird also, wie man nach Berucksichtigung dieser Seriinderungen in (2) findet, annahernd die Gestalt
annehmen. Wenn wir aur Abkurzung
+ C,,AU) + y 0 C d U
go = YO (1 + Cp, A U ) - x0 C A U
go = xo(l
einfuhren, laflt sich (15) in der Gestalt
1
(17)
J , (21, 51, Y1, 8)= p (1 4- 2 CF,A u) * J , ( ~ O
ZO,
, go)
schrei hen.
Als Beispiel betrachten wir die Abbildung eines Amplitudenobjekts in
Gestalt eines ,,Gaufl-Buckels" :
J , (zo, ro) = K
(18)
Fur dieses speaielle Objekt werden unsere Betrachtungen sogar e x a k t (abgesehen son der Entwicklung der Paraxialbahnen nach A U ) , da bei der Abbildung eines GauO-Buckels bis auf Verzerrungen die Gestalt der Intensitatsverteilung durch den ganzen Strahlengang hindurch erhalten bleibt '). Fur
die zeitliche T'eranderung machen wir den einfachsten Ansatz
-
U
=
U
f
e-P%
x t mit x = const.
(19)
Nach Einsetzen von (18-19) in (17) und Einfuhrung von (17) in (14) k6nnen
wir integrieren und erhalten, wenn wir A U , = x tl/u a71s klein voraussetzen,
fur die Arbeitsdichte :
') W. Glaser, Osterr. Ing. Arch. VII, 144 (1963).
198
Annalen der Phyeik. 6.Folge. Band 14. 1954
Versteht man unter Dodie Halbwertsbreite des Bildflecks bei idealer Abbildung,
so bestimmt sich seine Halbwertsbreite bei nicht behobenem Farbfehler aus
(20) zu
D = D , 1 - - 1C p TXjt l.
(
(21)
2
Das Maximum der Arbeitsdichte betragt
am = am, (1 + C P ,
3)
wenn a, den Betrag des Maximums bei idealer Abbildung bedeutet. Der
durch (21-22) bestimmte Farbfehler-Effekt trat in den friiheren geometrischoptischen Untersuchungen nicht auf, da dort die Abbildung eines ,,Punkts"
und nicht eines endlichen Objektes betrachtet wurde.
4. Beriicksichtigung der Kondensor-Apertur
Bisher wurde angenommen, dafi das Objekt vom Kondensor her parallel
bestrahlt wird. Nunmehr denken wir uns in Obereinstimmung mit der Praxis,
daB die Kondensorapertur einen kleinen, aber nicht verschwindenden Wert
hat. Wir konnen uns dann die Objektbestrahlung als aus einer Reihe von
inkohlrenten Elektronenbundeln zusammengesetzt denken, die unter verschiedenen Winkeln ein fallen.
Wenn man ein Amplitudenobjekt mit einer koharenten, ebenen Elektronenstromung bestrahlt, deren Richtung mit der optischen Achse die
Winkel a, und (s, (gemessen in den Meridianebenen) einschliefit, so ergibt sich
bekanntlich in allen Einstellebenen die gleiche Intensitatsverteilung wie bei
senkreehter Inzidenz*), allerdings sind die Bildfleeke jeweils um die Betrage
AX
= t(x)
. sin a,
Ay
= t(z)
sin Po
gegenuber den bei senkrechter Inzidenz entstehenden verschoben. Wir haben
also statt (16), wenn wir m, und Po als klein voraussetzen,
+ C F , A U ) + yo C AU +
go = yo (1 + CF, Au) x0 C A u +
Zo = X, ( 1
~
"0
180
Cp, A U
cpl A
u
zu verwenden. Die Arbeitsdichte berechnet sich in diesem Fall aus
1
-VZ
(1+2CFzAU).
T'd??da,d/?,.
Zur Illustration fiihren wir das oben gegebene Beispiel weiter, indem wir
annehmen daB das Amplitudenobjekt (18) nunmehr von einem zur optischen
Achse zentrischen, kegelformigen Bundel der Apertur y getroffen wird. Die
~
8)
Vgl. W. Glaser, a. a. 0.S . 581.
H . Griimm: Bemerhngen zur chromatischen Aberration von Elektronenlinsen
199
Richtungscharakteristik A ( g o ,Po)setzen wir konstant. Unter Berucksichtigung
von
a. = yo cos y
180
= Yo sin Y
haben wir dann in (25) uber y von 0 bis 2 n und uber yo von 0 bis y zu integrieren. Es ergibt sich
~.
Hier betriigt die Halbwertsbreite
des Bildflecks
An dieser Besiehung ist interessant, da13 sich eine Korrektur des Farbfehlers
erzielen laat, wenn man die Bedingung
erfullen kann. Wieweit das moglich ist, sol1 nun fur ein spezielles magnetisches
Abbildungsfeld untersucht werden.
5. Spezialfall: Magnetisches Gloekenfeld
Die erste Farbfehlerkonstante (7) wurde fur das in der Praxis wichtige
magnetische Glockenfeld
Bo
B,(x) = ___-~
(30)
1 4-( Z / V '
in dem Rich die Paraxialbahnen streng berechnen lassen, schon fruher best.immtl0). In analoger Weise ergibt sich die zweite Konstante (9) zu:
CF2 = -
k2 7c z,,
2 d (1 k2)3/2
+
bzw. fur hohe Vergrofierungen zu (vgl. Abb. 3):
k2 7c
7c
CF2= - 2 (1 + k2)3/" c t g &
.
Man erkennt aus (31), da13 C p , bei xo I
0 positiv ist und fur eine Objektlage in der Feldmitte (xo = 0) verschwindet. Fur diesen Dingort nimmt aber
auch CFl fur alle Linsenstarken k2 seinen Minimalwert an. Von unserem
Standpunkt aus stellt die Objektlage in Feldmitte im allgemeinen noch nicht
das erreichbare Optimum dar. Da Cpl ebenfalls positiv ist, treten in (28)
entgengesetzt wirkende Glieder auf und die Kompensation (29) ist im Prinzip
erreichbar. Eine vollige Kompensation des Farbfehlers ist damit zwar nur
= 0 erhiilt man wicder (21). Macht man D,,
extrem klein (,,punktformiges
0 ) Fiir
Objekt"), so ergibt sich bis auf den Faktor der Radius des geometrjsch-optischenFarbfehlerscheibchens.
l o ) W. Glaser, Z. Physik 117, 286 (1940).
200
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 14. 1954
fur das hier behandelte, sehr spezielle Objekt dargelegt, doch ist auch im allgemeinen Fall eine gewisse Kompensation zu erwarten. Die bisherigen Abschatzungen des Farbfehlers scheinen daher etwas zu rigoros zu sein.
2
7
Abb. 3. Die zweite Farbfehlerkonetante Gpz fur das magnetische
Glockenfeld, in Abhkingigkeit von der
Linsensyarke k 2
r
2
3
Abb. 4. Die fiir die Fa,rbfehlerkompensation beim magnetischen
Glockenfeld wesentliche GroRe p
in Abhingigkeit yon der Linsenstiirke k2. (Die Achse entspricht
dem Wert p = 1)
Fur das Glockenfeld (30) lautet die Korrekturbedingung (29) :
Dabei ist 6 = Do/lVl,bedeutet also die Halbwertsbreite des Objektflecks (18).
Die GroBe q ist in Abb. 4 als Funktion von ka dargestellt. Fur k2 = 1, d =
1 mmundy =
8 = 1,38 . 10-3 mm. Man kann die Halbwertsbreite (33)
mit einem ,,gunstigsten Teilchenradius" in Beziehung setzen ll).
l*)
W. Glaser, Grundlagen der Elektronenoptik, S. 612.
W i e n VI, Joanelligasse 7.
Bei der Redaktion einggangen am 20. Oktober 1963.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
0
Размер файла
416 Кб
Теги
elektronenlinsen, zur, aberrations, chromatischen, bemerkungen, von
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа