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Bemerkungen zur Teilchenerzeugung im expandierenden Universum.

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Annalen der Phvsik. 7. Foke. Band 33. Heft 1. 1976, S. 36-44
J. A. Barth, Leipzig
Bemerkungen sur Teilchenerseugung
im expandierenden Universum
Von E. KREISEL
Zentralinstitut fur Astrophysik der Akademie der Wissensc.-Aften der DDR, Potsdam-Babelsberg
I n h a l t s u b e r s i c h t . Es wird gezeigt, da5 man spontane Teilchenerzeugung im leeren Minkowski-Raum besohreiben kann, wenn man Teilchenzahloperator und Hilbertraum in ilhnlicher
Weise definiert, wie in Arbeiten iiber Teilchenerzeugung im expandierenden Universum [l- 31.
Dementsprechend riihrt diese spontane Teilchenerzeugung nicht vom Gravitationsfeld her,
sondern hkngt mit der Nicbteindeutigkeit des Teilchenbegriffsund der Ausmahl eines zeitabhiingigen Teilchenzahloperators zusammen.
Remarks to the Creation of Particles in an Expanding Universe
Abstract. It is shown that one can get spontaneous particle creation in an empty Minkowskispace, if one defines particle-number operator and Hilbert space in a similar way as in publications
about particle creation in an expanding universe [l-31. Accordingly spontaneous particle creation
does not originate in the gravitational field, but is connected with the non-uniqueness of the notion
“particle” and the chosen timedependent particle-number operator.
Es ist in den letzten Jahren von mehreren Autoren [1, 2, 31 die Moglichkeit der
spontanen Erzeugung von Teilchen aus dem Vakuum in einem expandierenden Universum in Betracht gezogen worden. Von HAWKING
[4] und TREDER[ 5 , 61 wurde
naher untersucht, inwieweit sich eine solche Teilchenerzeugung mit rein klassischen
Argumenten ad absurdum fiihren 1aBt. So folgt allein aus der Bedingung der Energiedominanz [4]
Tiktdtk2 0 fur alle Beobachter,
Tipi nicht raurnartig fiir uiui > 0
und der dynamischen Gleichung
(1)
(2)
Tik;k = 0
(3)
(das SeniikoIon bedeutet die kovariante Ableitung)
fiir den Materietensor &us Tik= 0 auf einer raumartigen Anfangsfliiche Tik = 0 zu
allen Zeiten. Fur die in [l]und [S] betrachteten Vakuum-Erwartungswerte des Materietensors, fur die (3) gilt, bedeutet das, daB Bedingung (1)bzw. (2) verletzt ist. Aus
klassischer Sicht ist dieses Verhalten der Vakuum-Erwartungswerte zumindest sehr
ungewohnlich.
I n [ 5 ] wurde naher gezeigt, da13 es klassisch nicht gerechtfertigt ist, das System
der kovarianten Materiefeldgleichungen und der Einsteinschen Gleichungen fur das
Gravitationsfeld zu entkoppeln und die Ruckwirkung der Materie auf das Gravitationsfeld zu vernachlassigen. Bei Beriicksichtigung dieser Ruckwirkung erweist sich
eine spontane Erzeugung von Teilchen aus dem Vakuum fiir Friedmannsche Evolutionskosmen gerade a19 unmoglich.
37
Teilchenerzeugung im expandierenden Universum
Nun ist die Frage nach der spontanen Erzeugung von Teilchen im expandierenden
Universum vollstandig nur im Rahmen einer Quantenfeldtheorie der beteiligten physikalischen Felder (einschlie13lich Gravitationsfold) behandelbar, so da13 damit auch
andere offene Fragen beriihrt werden. Deshalb ergeben sich bei der Beschreibung auf
der Basis einer Quantenfeldtheorie in einem vorgegebenen expandierenden Universum,
wie sie von PARKER
in [ a ] benutzt wurde, zusatzliche Einsichten iiber die Herkunft
und die eigentlichen Wurzeln der merkwiirdigen spontanen Teilchenerzeugung aus
dem Vakuum. Wenn die Zahl der im Kosmos erzeugten Teilchen grol3 genug ist, sollte
aul3erdem eine klassisch korrespondierende Erzeugungsrate als Teilchenstromdivergenz definierbar sein.
angegebenen LosungsverfahWir wollen nun zeigen, da13 man mit den von PARKER
ren und Definitionen der Teilchenzahloperatoren nicht nur im expandierenden Kosmos,
sondern entsprechend iibertragen auch im leeren Minkowski-Raum, Teilchenerzeugung erhalten kann. Dabei wird sich zeigen, da13 diese Teilchenerzeugung von der
Definition der Teilchenzahloperatoren und des Hilbertraumes der Zustande iin Heisenbergbild herriihrt.
Wir schreiben dazu zuerst die Losung der Klein-Gordon-Gleichung im MinkowskiRaum
(0- m2) @ = 0
(4)
in der von PARKER
benutzten Form (s. [ Z ] , GI. (6))
t
@ = ( L ) - 3 / 2 2 [ 2 w ( tk) ], - l ” a k ( t ) eXp
k
( k = lk]),L3 - Normierungsvolumen)
(5)
fiir die Vernichtungsoperatoren a k ( t ) .
Die konstanten Operatoren A,, Akf erfiillen die ublichen Vertauschungsrelationen :
(7)
[ A k , A & ] = ak,kr, I A k , Akt] =
Die Moglichkeit der Darstellung der Losung von (4)in der Form ( 5 ) ergibt sich
unmittelbar aus den Ergebnissen von PARKER,
wenn man dort den Expansionsfaktor
R(t)in der Metrik konstant gleich Eins setzt.
Da die Losung von (4) andererseits in der Form
(Ek= (k2 + m2)1’2)
wohlbekannt ist, lassen sich die Funktionen a und fur beliebiges reelles W ( k , t ) , von
dem wir sonst nur die Exiatenz der ersten und zweiten Ableitung nach der Zeit zu
fordern haben, direkt angeben.
Wir setzen d a m (6) in ( 5 ) ein und ordnen die Terme um, dann konnen wir die Losung (6) in der Form
@ = L-W 2 (2)-1/2 Akeik’h* (k, t )
h. c.
(9)
k
schreiben, wobei h ( k , t ) gegeben ist durch:
+
38
E. KREISEL
Die Darstellung (9) zeigt in Verbindung mit (8) bzw. 01. (4), deS h(k, t ) die Schwingungsgleichung
+ +
h(k, t ) (k2 m2) h ( k , t ) = 0
(11)
erfullen mu13, d.h. die allgemeine Gestalt
iEk (t- t o )
c ( k ) e-iEk(t-to)
h(k, t ) = b(k) e
mit beliebigen Konstanten b ( k ) und c ( k ) besitzt.
Nun kann man die Funktionen a und leicht durch h ( k , t ) und W ( k ,t ) ausdrucken.
!, so bestimmt werden, da13 die Vertauschungsregeln (7) auch fur
Dabei sollen 01 und ?
die Operatoren ak(t),aL(t) gelten. Das bedeutet entsprechend (6) und (7), daS fur
a und B, zu allen Zeiten
+
(13)
lap - p i 2 = 1
sein mu13.
Eine weitere Einschriinkung fur a und ,8 resultiert aus (lo), (12) und (ll),wenn
man berucksichtigt, da13 wegen (11)der Ausdruck
h*h - hh*
(14)
konstant ist.
Andererseits ergibt sich fur (14) mit (10):
D a nun h bzw. h* entsprechend (12) frei vorgebbar iat, miissen die Faktoren von h
und h* in (15) verschwinden, damit (14) konstant ist, d.h. es gilt:
Differenzieren wir nun den Ausdruck (10) fur h(k, t ) nach der Zeit und benutzen (16),
so sehen wir, da13 Oi und in der Ableitung von h(k, t ) nicht mehr auftreten. Es gilt:
.
t
i
h=eto
wobei abkurzend
t
f Wdt'
-i
$ Wdt'
+Be*e
(17)
9
(W-Wy + iW1/2
(18)
gesetzt wurde.
Mit (10) und (17) stehen nun zwei Gleichungen fiir die beiden Funktionen OT und B
zur Verfiigung, die nach a und aufgelost folgende Ausdrucke ergeben :
Q
t
a(k,t ) = (
ie*hW1/2) (p - p*)-1 exp (-i
J~
( kt ' ), at'
to
1
~ ( kt ), = -(i,- e h W 2 ) (e - @*)-I exp i
t
J~
to
I
( kt'), atr
I
.
(19)
Die Anfangswerte von a und B zur Zeit, to hangen von der Vorgabe der Werte von h,
h, W und W zur Zeit to ab.
So entsprechen die Anfangswerte
4 4 to) = 1, B(k, to) = 0
(20)
Teilchenerzeugung i n expandierenden Universum
39
der Vorgabe
6 ( k ) = (E,)-l’B, c ( k ) = 0
fur Jt(k, t ) in (12) und den Bedingungen
(21)
W ( k , to) = E,, W ( k ,t ) t = t p = 0
(22)
fur die zu den iibrigen Zeiten freie Funktion W. Man priift auch leicht nach, da13 die
geniii13 (%I),
(19) und (6) festgelegten ak(t),uk+( t ) die Vertauschungsrelation (7) erfiillen.
Mit der Vorgabe der Werte entsprechend (20) hat man zur Zeit t = to eine Ubereinstimmung der Darstellung (5), (6) der Losung @ mit der ublichen Form der Losung
(P), und A,, A ; sind die Teilchenerzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Wahlt
inan die Funktion W ( k ,t ) so, da13 zu allen Zeiten (22) gilt, so gilt (20) zu allen Zeiten
und die Quantisierung mit den Operatoren ar(t),ak+(t)ist mit der ublichen Quantisierung identiseh.
Was bedeutet nun die Darstellung (5) der Losung fur beliebiges W ( k ,t ) ? Hier ist
zuerst zu bemerken, da13 ( 5 ) auch bei beliebigem W(lc,t ) nach wie vor identisch mit
der ublichen Losung (8) ist, so sind die Funktionen cy und ja gerade entsprechend
(10) und (12) bzw. (19) konstiuiert worden.
Der Unterschied bezieht sich lediglich auf die Konstruktion des Hilbertraumes und
das, was phpsikalisch als Teilchen angesehen wird.
Formal erscheint es zunachst moglich, sowohl die Ak, A ; als aueh die a k ( t ) , a t ( t )
als Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren einzufiihren ; beide sind mit den kanonischen Vertauschungsrelationen
[@(a, t ) , & ( d ,t ) ] = i 8 ( x
[@(a, t ) , @(id, t ’ ) ] = 0,
- a‘)
[b(x.t ) , &x’, t’)] = 0
(23)
vertragli ch.
Die G1. (23) sind auch fur die Quantisierung mit.den a k ( t )evident, da ihre Erfullung
nicht von der Schreibweise der Losung @ abhiingen kann. Sie lassen sich fur die a
und?! , aus (19) naturlich auch direkt verifizieren. Es erhebt sich also die Frage: Welche
physikalischeii Fordernngen verhindern im Minkowski-Raum die Interpretation der
Form (5) der Losung init zeitabhangigem W ( k ,t ) als Erzeugung von Teilchen aus deiii
leeren Minkowski-Rauni ? Die Beantwortung dieser Frage wird gleichzeitig offenbaren,
in welchem Sinne die analoge Quantisierung im expandierenden Universum und die
dainit verbundene Teilchenerzeugung, zweifelhaft sind.
Wenn wir die Quantisierung der Klein-Gordon-G1. (4) im Minkowski-Raum gema13
(23) durchfuhrten, so bedeutet das, da13 wir im Heisenherghild arbeiten und fur die
physikalisclien ZustBnde ly> gilt
arjy) = 0.
(24)
Ein Aufgeben von G1. (24) bei Beibehalten der Quantisierungsvorschrift (23) und der
zu (1)gehorigen Lagrangefunktion bedeutet das Einfiihren einer zusatzlichen Wechselwirkung. Verfahren wir nun analog zu [a] und fuhren die physikalischen Zustande und
insbesondere das Vakuum zuin Zeitpunkt t = to durch
Q k ( t 0 ) 10) = -4, lo> = 0,
JV) = A 2 10)
ein, so sirid die Einteilchen-Zustande und das Vakuum zum Zeitpunkt t durch
(25)
(26)
Q k ( 0 lo>, = 0, IvW = d ( t ) lo>,
gegeben.
Da sowohl die A,, als auch die n k ( t ) die Vertauschungsrelation (7) erfullen, gehen
heide dureh eiiie zeitahhangige unitare Transformation U ( t ) auseinander hervor, die
E.KREISEL
40
in [2] explizit angegeben ist. Der Zusammenhang zwischen den Zustanden zur Zeit t
und to ist
lY(t)) = U ( t ) IY)
(27)
nnd wegen (25) nnd
a k ( t ) = I'AkC-'
(27a)
gilt gerade (26).
Da die durch (25) bzw. (26), (27) gegebenen Zustande das Vakuum bzw. Teilchen
mit festem Impuls k beschreiben, ist die Definition (26) der physikalischen Zustande
.,Vakuum" bzw. ,,Teilchen" offensichtlich zeitabhangig im Gegensatz zum Heisenbergbild, das die Zustande begrifflich zeitunabhangig voraussetzt.
Die zeitunabhangige Definition der physikalischen Zustande beinhaltet die Voraussetzung bzw. die Existenz eines vollstandigen Satzes von zeitunabhangigen Operatoren O'"), die die Basis des Zustandsraumes definieren und zeitunabhangige Eigenwerte A$) besitzen. Die zeitunabhangigen Basiszustande sind erst durch diese zeitnnahhangigen Eigenwerte charakterisiert und die zeitunabhangigen Operatoren O(")
lassen sich schreihen als
O(") = 2 Iyn>i$)(yn].
(28)
n
Im Minkowski-Rauin steht bei der ublichen Quantisierung mittels der Ak der folgende vollstandige Satz zeitunabhangiger Observabler fur die Charakterisierung des
Zustandsraumes und die phgsikalische Prazisierung des Teilchenbegriffs zur Verfuping :
1. Impulsoperator
Po
=
2
EJ.(A,-~
+~A k A k )
k
(30)
3. Teilchenzahloperator
=
2
AkAk.
k
(31)
Fuhren wir dagegen die Quantisierung niit Hilfe der a k ( t ) durch, so haben wir die Operatoren (29), (30) durch die Operatoren a k ( t ) auszudrucken. Wenn man die Beziehung
16) umkehrt und die Ak, A t in (29), (30) einsetzt, erhalt man:
=
+
2 k[a, (!)
(t)l
(32)
- 2a"B a,(t) a A k ( t ) - 2@*& a k ( f ) a - k ( t ) } *
Hier heben sich in (33) im Gegensatz zu (32) die Terme proportional ak+a?kbzw. aka-&
in der Snmnie nicht weg, weil sich E, bei Ersetzung von k durch -k symmetrisch
verhalt im Gegensatz zu k in (32).
Will man nun den Znstandsraum mit Hilfe der a L ( t ) entsprechend (26) aufbauen,
so sieht man, dal3 die Zustande ( 2 6 ) Eigenzustande des Impulsoperators (32) nnd des
neuen Teilchenzahloperators
N ( t ) = 2 af(t)
ak(t)
k
sind, jedoch nicht des Energieoperators (33).
(34)
Teilchenerzeugung im expandierenden Universum
41
Die Operatoren (32) und (33) sind zeitlich konstant, weil sie identisch mit (29),
(30) sind ; der neue Teilchenzahloperator (34) ist jedoch zeitabhiingig. Die Quantisierung mit den Operatoren a k ( t ) und den Zustlinden (26) ist also widerspruchlich bzw.
unvollkommen in folgenden Punkten:
1. Sie verletzt die Bedingung (24) des Heisenbergbildes.
2. Sie definiert den Teilchenzahloperator zeitabhiingig.
3. Sie benutzt Basiszustande, die als ,,Teilchen" bezeichnet werden, jedoch keine
Eigenzustande des Energieoperators (30) bzw. (33) sind, also unscharfe Energie besitzen.
Man kann nun die Verletzung von (24) (Einwand 1) vermeiden, indem man die
Zustiinde (25) zum Zeitpunkt t = to einfiihrt und gem513 G1. (24) parallel verschiebt
und auf spatere Zeiten ubertriigt; das entspricht dem Vorgehen in [2]. I m MinkowskiRaum bedeutet dieses Vorgehen schlicht die iibliche Quantisierung, denn die so definierten Zustande sind zu allen Zeiten Eigenzustande von (29), (30) und naturlich
auch, wenn man (29), (30) in der Form (32), (33) schreibt.
Um so merkwiirdiger ware es, wenn man jetzt analog dem Vorgehen in Ref. 2 , nur
wegen der Moglichkeit der Schreibweise (32), (33) bei der Berechnung der Teilchenzahl, die zu dem durch
fur alle Zeiten definierten Vakuumzustand gehort, nicht den Operator (31), sondern
den zeitabhangigen ,,Quasi-Tei1chen"-Operator (34) benutzen wiirde. Man erhielte
auf diese Weise eine ,,Teilchen-Erzeugung" im Minkowski-Raum, die allein auf der
von den urspriinglich betrachteten Zustiinden losgelosten Definition (34) des Teilchenzahloperators basiert und entsprechend (34), (35) und (6) gegeben ist durch:
Entscheidend ist hier, daI3 man, obwohl der vollstandige Satz konimutierender
Observablen (29), (30), (31) zur Verfugung steht, der die Teilchenzustande auch eindeutig charakterisiert, zu spiiteren Zeiten den vollstiindigen Satz durch Weglassen
von (31) einschrankt ; denn der fur (31) hinzugenommene Teilchenzahloperator (34)
ist nicht mit (30) (s. G1. (33)) vertauschbar. Effektiv bedeutet das, daB man fur t > to
den Satz von Observablen (34), (29) benutzt, d. h., Po weglaBt und nicht zur Charakterisierung der Teilchenzustande verwendet.
Da die Teilchenzustande nunmehr nur noch Eigenzustande von (29) und (34) zu
sein brauchen, ist ihre Zeitabhiingigkeit, die ja durch Po fixiert wird, in1 Rahiiien der
durch (5), (6) gegebenen Zerlegung frei. Man hat eine analoge Situation, wie bei der
Entartung von Eigenwerten. I n dein Unterraum, der zur Energie- bzw. zur Zeitvariablen gehort, sind die Orthogonalfunktionen, nach denen man entwickelt im obigen
Sinne frei wahlbar, wahrend die Orthogonalfunktionen, die zum Impuls- bzw. Ortsraum gehoren eindeutig durch eikx gegeben sind.
Dementsprechend kann man beliebig viele unterschiedliche ,,Teilchenbegriffe"
einfiihren, je nachdem, welches Zeitverhalten man den Teilchen zuschreibt. Erst, wenn
man verlangt, da13 die Teilchenzustande Eigenzustande von Po sein sollen, wird das
Zeitverhalten eindeutig auf e-iEkt fixiert und der Teilchenbegriff auf die iibliche Quantisierung reduziert.
Nun liegen die Verhilltnisse im expandierenden Universum natiirlich nicht so
einfach, weil dort Pokeine Konstante der Bewegung ist und damit der Einwand 3 wegfallt, d.h., Po von vornherein nicht als Operator des Systems kommutierender Operatoren zur Verfugung steht.
E. KREISEL
42
I n [21 wurde gezeigt, daB auch im expandierenden Universurn die Darstellungen
(32) und (29) fur den Impulsoperator moglich sind. Insofern besteht von den erhaltenen BewegungsgroBen her keine Anszeichnung der Operatoren Ak bzw. ak(t).Hier ware
es als ein Argument fur die Interpretation der a$ ( t ) a19 Teilchenerzeugungsoperatoren
zu werten gewesen, wenn der zeitabhiingige Hamiltonoperator H ( t ) in den Operatoren
a k ( t ) die Darstellung
(37)
H ( t ) = 2 w ( k , t ) {a$(t)a k ( t ) f a k ( t ) a$(t))
k
besitzen wiirde. Man rechnet jedoch leicht nach (s. unten), daB H ( t ) sowohl in den
ak(t)als auch in den A , eine (33) analoge Struktur mit entsprechenden zeitabhangigen
Koeffizienten besitzt.
Deshalb gibt es, wenn man nicht a priori Teilchen so definieren miichte, da13 ihr
Zeitverhalten durch eine reine Exponentialfunktion entsprechend dem Ansatz ( 5 ) beschrieben wird, keinen Grund die Operatoren ak(t)gegenuber den A k auszuzeichnen.
Iin Gegenteil, wegen (24) ist die Benutzung der A k und die Definition der Zustande
analog ( 2 5 ) gegenuber (26) ausgezeichnet, was in [2] ja auch benutzt wird. Dann ist
es jedoch auch sinngemaB, den zum Zustandsraum gehorigen Teilchenzahloperator zu
benutzen, d. h., ihn ebenso wie die Zustiinde vom Zeitpunkt t = to fiir alle Zeiten zu
ubernehnien. Der Teilchenzahloperator ist dann eine Konstante der Bewegung und
nicht wie der Operator (34) explizit zeitabhangig. Es ist evident, daB die Teilchenzahl
nicht konstant sein kann, wenn man den Begriff der Teilchenzahl zeitabhangig definiert und den Zustandsbegriff unveriindert 1aiBt.
Insofern ist es verstandlich, daB mit den zeitabhiingigen Zustanden (26) tind dem
zeitabhiingigen Teilchenzahloperator (34) ebenfalls keine Teilchenerzeugung auftritt,
weil sich die unitare Transformation gerade gegenseitig kompensiert. Die Qunntisierung mit Hilfe der A k , d. h. der a k ( t o ) , hat natiirlich den Mangel, daB man je nach Wahl
des Zeitpunktes to den Hilbertraum mit anderen Teilchenoperatoren aufbaut. AuBerdem verandert sich im Peldoperator @ die zum Teilchen a k ( t 0 ) gehorige Funl-t'ion
[ a k ( t o ) , @] mit der Zeit nicht nur wie eine Exponentialfunktion, so daB ini Laufe der
Expansion des Kosmos das Teilchen deformiert wird.
Die Moglichkeit, beliebig viele Teilchenbegriffe einzufiihren, verwundert nicht, sie
entspricht, wie schon bei der Diskussion der Verhaltnisse im Minkowski-Raum hervorgehoben wurde, der Tatsache, daB mit dem Ausscheiden von Po aus dem Satz der
kommutierenden Observablen eine der Entartung von Eigenwerten analoge Situation
in der Energie- bzw. Zeitvariablen auftritt, so da13 das Zeitverhalten der Teilchen ohne
zusatzliche physikalische Forderungen nicht eindeutig fixiert ist.
Eine solche Forderung ware z.B., zu verlangen, daB das Zeitverhalten der Teilchen
so festgelegt wird, daB auch H ( t ) nochmit P u n d N ( t )= z : k f ( t ) a k ( t ) kommutiert. Dazu
inussen die Koeffizienten der Terme proportional
verschwinden. Mit
-.
H ( t )= f d 3 x ( n 6 - Y ) , z = v - g @ ,
3
6 2
k
ak(t)a-k(t)
bzw. ukf ( t )a + k ( t ) in H ( t )
I/T= (R(t)}3
- ~ ( t ) - 2 2 (aj@)2 - m ~ z ]
(38)
j=l
und der Porm ( 5 ) , (6) der Losung @ im rnit dem Expansionsfaktor R(t)expandierenden
Universum erhalt man fur diese Koeffizienten die folgenden Ausdrucke :
H ( t ) = &f,*(t).fk(t)
ak(t)}
f
3 RWR-1
+ -i4 W. W-l
W
R-2
4
ak(t) a-k(t)
Wz
3
+7+i-RR-1 4
16W
- - + -W-l(k2 + m2R2)
4
(39)
Teilchenerzeugung im expandierenden Universum
43
(Bei den Rechnungen wurde G1. (10) aus [2] fur SP benutzt.) Damit der Imaginiirteil
der geschweiften Klammer verschwindet, mu13 gelten
3RR-1
+~ W - =
l 0 r~ W ( k ,t ) = [R(t)]-3Wo(k),
(40)
wobei W o ( k )konstant ist.
AuBerdem mu13 der Realteil der geschweiften Klammer in ( 3 9 )Null sein. Verwendet
man in dieser Bedingung G1. (40), so erhalt man:
W ( k ,t ) = ka[R(t)]-a
+ m2.
(41)
Die Bedingnngen (40) und (41) sind nur gemeinsam erfullbar, wenn R(t)= const. ist.
Damit ist dann auch W ( k ,t ) gemas (40) konstant, SO daB nur im Minkowski-Raum,
bei ublicher Quantisierung ( W ( k ,t ) = const.) H mit P und N vertauschbar ist.
Es ist also nicht moglich, den Teilchenbegriff im expandierenden Kosmos durch
die Forderung, daB H ( t ) noch mit P und N ( t ) kommutieren soll, zu prazisieren. DemgemiiB ist auch a priori keine der vielen Moglichkeiten, den Teilchenbegriff zu fixieren,
ausgezeichnet. Man kann ihn rnit Hilfe der Ak = ak(to)und der Wahlfreiheit der Funktion W ( k ,t ) auf beliebig verschiedene Weise einfiihren, ohne dadurch die Teilchenzahlerhaltung zu verletzen.
Man kann aber auch, ebenfalls auf beliebig verschiedene Weise, mit Hilfe der ak(t)
und entsprechender Wahl von W ( k ,t ) den Teilchenbegriff und den Teilchenzahloperator so definieren, daB keine Teilchenzahlerhaltung gilt. Das Gravitafionsfeld liefert
fur diesen Schritt jedoch keine Rechtfertigung ; man kann ihn genauso im MinkowskiRaum vollziehen.
Das Gravitationsfeld im expandierenden Universum bewirkt lediglich, daB der
Operator Ponicht mehr fiir die Charakterisierung der Teilchen zur Verfugung steht
und dementsprechend der Teilchenbegriff notwendig nichteindeutig wird.
Anders verhalt es sich, wenn ein Stromerhaltungssatz hinzugezogen werden kann,
wie z.B. fur elektrisch geladene Teilchen. Hier muB die Ladung, da der Stromerhaltungssatz ja unabhiingig von der Metrik immer die Form einer echten Divergenz besitzt
in den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Teilchen die aus der speziellen
Relativitltstheorie bekannte Struktur haben [7].
Eine konsequentere Quantisierung, die diese Miingel nicht aufweist bzw. entsprechend dem Wesen der Gravitation auf geometrische Weise auflost, scheint wesentlich
mit der Frage der Parallelverschiebung von physikalischen Zustanden bei Anwesenheit von Gravitationsfeldern, wie sie von WIGNER[ 8 ] und UTIYAMA
[ 9 ] diskutiert
wurde, zusammenzuhangen. Die Argumente von WIGNERlegen nahe, daB a n Stelle
von (24) eine allgemeinere Gleichung zu treten hat, die den Paralleltransport von Zustanden reguliert.
Mit Hilfe dieses Transports wairen dann auch sinngemZl3 der Begriff der kovarianten Ableitung zu erweitern und die Form der Klein-Gordon-Gleichung so abzuandern,
daB die dem Paralleltransport entsprechende Hilbertrauni-Affinitat in den Ausgangsgleichungen voll beriicksichtigt wird.
Literaturverzeichnis
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Phys. Rev. Lett. 21, 662 (1968).
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Phys. Rev. 183, 1057 (1969).
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44
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191 R. UTIYAMA,
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Bei der Redaktion eingegangen am 19. MSlrz 1975.
Anschr. d. Verf. : Dr. sc. ECEHARD
KREISEL
Zentralinst. f. Astrophysik d. AdW der DDR
DDR-1502 Potsdam-Babelsberg,Telegrafenberg
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