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Beobachtung einer zweiten Gattung von Reflexionstnen nebst Andeutungen ber die Theorie derselben.

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105
innerhalb der extremsten Werthe, welche die iibrigen. Versnche ergebeti Iiaben, namlich 2,361 und 2,913. Dazu
koinint Lnoch, daEs bei Berechnung des theoretischen W e r thes das iiiecliaiiische Aequivalent der Warme f = 420 angenomrnen wurde, diese Zahl aber keineswegs wit Genauigkeit feststeht.
Benutzt man den fiir a gefunderien W e r t h 2,551.101
zur Berechuung derselben, so erhalt man - = 399,7, eine
A
Zahl, die iunerhalb der Griinzen lie@, zwischen welchen
die nach verschiedenen Methoden ermittelten Wer the dieser Griifse schwanken, wenn es auch wahrscheinlich ist,
dafs der wabre We rt h etwas griifser, uud also bei vorausgesetzter Richtigkeit der Theorie der W e r t h voii a etwas
kleiner als der gefundene ist.
W e n n also auch diese Versuche den Werth der gesuchten Constante nicht mit der wiiuschenswerthen und
angestrebten Scharfe ergeben haben, so geniigen sie doch,
urn nachzuweisen , d a b die elektrodynaniische Erwlrmung
nicbt, wie es bishe-r den Auschein habeu konnte, im Widerspruche xnit der mechanischen Theorie der W l r m e steht.
’
VI. Beobachtung einer zweiten Gattung von Hejlexionstiinen, nebst Antieutungen iiber die l’heorie
derselben; oon J. J . O p p e l .
w e r da nur stets mit offenem Auge und offenem Ohr
herantritt zur Beobachtuug der Natur, dem antwortet sie
auch klar auf jede klar gestellte Frage. Eiu Beispiel liefert wiederum die in deli folgenden Zeileii mitzutheilende
Beobachtuug, die so einfach uiid so leicht VOII Jedermann
o h m alle kunstlicheu Vorrichtungen anzustellen ist, dafs
man sich billig wundern mufs, warurn sie nicht langst gemacht wordeu.
f 06
0. 1. Beobachtuag.
In den ersten W o c h e n dicses Jahres (1857) fuhrte mich
mein Weg nach d e r Behausung eiiies vor d e r Stadt in
eioem Garten wohnenden Freundes iind Collegen zu wiederholten Malen durch ein enges Glfsclien, welches, von
d e r Eschersheimcr Landstrafse (nicht weit votn ” Eschenheiiner Tlioree) aasgehend, in westlicher Richtong zwischen
eiiier Gartenmauer nnd einer Sretterwnnd nach der sogeiiannten Giirtnerei ,( hinfihrte. Es war hubsches, trocknes
W e t t e r , und w%hrend icli i n raschem Schritte zwischen den
beiden W z n d e n hinging, nahui der Schall ineiner Fufstritte
auf dem harteii, festen Bodeii bald in selir bemerkbarem
G r a d e jeiies eigenthumlich Iclingende, ich miichte sagen,
metallische Geprage an, wie man dasselbe wohl in Iangen
G3ngcn oder Hallen alterthumlicher Gebsude (Kliister, Gehugnisse etc.) oftnials wahrnimmt.
Ich bemerkte bald, dafs dieser hohIe, klingende Nachhall, trotz seiues in der T h a t sehr raschen Verklingens,
eine gans bestirnnate, z. B. fur ineine Stimme sehr beqiiein
erreichbnre Tonhiihe im musikalischeii Sinne hatte, rind diese
Eigenschaft trat mir noch uin so deutlicher und unrerkennbarer entgegen, als ich im Weitergehen gewahrte, wie d e r
Ton, bei jedem einaelnen Entstehen uud Verklingeu z w a r
von gmz constanter Hiihc, doch allmiihlich tiefer und tierer
ward, j e mehr ich inich von dem Eingange des erw3hnten
Pfades, d. h. von der Eschersheimer ChauseBe, enffernte,
i v ~ b r e i i dgleichzeitig aiicli seine Stiirke eher ab-, als zuzunehmen schien. I)a ich bei dieser ersten Beobachtung die
sonst gewiihiilicli mitgefuhrte Stimmgabel zufallig nicht bei
mir hntte, uud inein musikaliscbes Geliar tiicbt scharf und
geubt genug ist, um absohte Tonhiihen mit einiger Sicherlieit z u erkenuen, so m u k t c ich mich vorerst mit einer anuiiliernden Schltzuiig (diirch Vergleichuug mit dem Umfange
der Stimme etc.) begiiugen, die mir den T o n in seiner aiif;ii,glichen IIiilie ungefahr als das kleine b oder h erscheineii liefs. 1)anii und wann kam es mir auch vor, als ob
die hiilicre Octavc (das eiiigestrichene b oder h ) gaoz
81
107
srhwach mitklange , ohne d a k iclt jcdoch hieriihcr volle
Gewifsheit erlangen konnte.
fias erwshnte Tieferwerden des T o n s iiiit dein weiteren
Vorschreiteii zeigte sich inders beim wiederlioltcn Uurchwandern des Gifschens als kcin ganz regelmlifsiges; vielmehr hlieb sich derselbe wolil manchmal niif A bis 10 Scliritte
weit ganz glcich, oder ging sclbst wieder uin einen kleinen Viertelton in die FIijhe; auch schicn dns Sinken iiherdiefs bei weiterein Eindringeu i n das Gafschen allm#hlich
langsamer z u crfolgen, so dars e r whlireiid der letztcn
25 bis 30 Schritte ziemlich constant hlieb.
Obgleich sicb niimlich d e r hcscliriebene Furspfad etwa
133 Schritte weit i n ganz gerader Richtung zwisclieii den
Ghrten binzieht, w a r docli d e r metallische Klang des T o n e s
und seine iibcrliaupt hestirnmlxtre Hiihe n u r wlilirend cler
ersten 100 Scliritte vernehmbnr, zind erEosch gan; pZiJtcZich,
genau an der Stelle, wo die reclits hinlaufende Brctterwaiict
einein dichten Lattenzaun Platz maclit, wahrend die d e n
W e g z u r Linker] einfassende Mauer noch 35 Scliritte i n
gerader Richtuug welter geht.
Dic Stlirke oder Festigkeit des Auftreten,s*erwies sich
gleich bei diesein ersten Versuche als ohne aZZe Einwirkung
auf die Hiihe, obwohl allerdiogs von bedeutendem Einflusse
a u f die Starke und Veruelimbarkeit des Tones. Ob ferner
die kaum erwahnten Sckwankungen i n Bezog auf erstere
Eigeuschaft vielleicht, wie ich einen Augenblick vermuthete,
damit zusammenb~ngenmiichten, dafs icli inich w#hrend dcs
(Jehens bald dieser, bald jener W a n d etwas mehr genbhert,
suclite ich sofort dadurch zu ermitteln, dafs ich nochmals,
mijglichst geraau in der Milte zwischen beiden W’Snden und
in miigliclist gcrader Linie I:indurchging: - allein die
Tonhijhe blieb allerwlrts, wie zuvor; die Stellen, a n welchen sie schwankte, oder stationar wurde, oder wieder etwas in die E-Iijlle zu gelien scliieii, maren dieselben, wie beim
ersten Versuche.
O b eudlicli die inateriellen Eigenscliaften des urspriinglich schallerregendeii Korpcrs, o h die a ~ ~ f t r c t c n dSohle,
e
108
oder die Beschaffenheit des Bodens von merklichem Einflusse auf dic Touhohe segen, entschied ich dadurch, dafs
ich sofort auch einige andere Arten der Schallerregung anwandte, z. R. Steiue aufbob und aiieinander schlug, oder
einfach in die H h d e klatschte u. s. w. Alle diese Modificationen des Vcrsuches aber, namentlich auch die grirLcre oder geringere Masse der aneiuander geschlagenen
Steine etc. I), liefsen den Ton vollkommen unveriindert, uud
das Klatschen in die Hande (das jedoch, urn ihn nicht zu
selir zu verdecken, nur ein ziemlich leises segn darf) liefs
ihii. noch am Schansten und Deutlichten, ich mUchte sagen,
tun Selbststiindigsten in seiner scharf bestilnmten HOhe hervortreteii, wogegen er bei den Steinen wie durch frelnde
Beitnischung etwas getrubt erschien.
9. 2. Theorie im Allgemeiaen.
Als ich, nach diesen Beobachtungen zu Hause angelangt, iiber dieselben weiter nachdachte, unterlag es fur
mich bald keinein Zweifel mehr, dafs ich es hier mit einer
aweiten Gattung von Reflexionstonen zu thuu habe,
und
-
I ) DaL nimlich
Sfcine von zicmlich Iromogener Elesclraffenheit und niclit
allzu unregeludsiger Gestalt, auch bei sehr grof s e r Masse, unter geeignetrn UmstSnden brim Ansclrlagen mit einem belirbigen harten K6rper
einen pan: enfschiedenen T o n , von musikalisch bestimmbarer (meist
bedcutendrr) Hiilre, hervorbringen , ist eine vielleicht nicht hinliinglicli
beachtete Thatsache. So entsinne ich mich, dal's ich vor vielen Jahren
am Ufer des Rheins bei Andrmueh, wihrend des Wartens auf das ankominendr Dampfboot, die in der Nihe des bekannten Krahns umherliegeriden, zum Wassertransporte bestirurnten groken grauen llliihIsteine
(aus dem Brolrlthal) rum Zeitvertreibe mit drm Stocke anschlug und
darunter zurjllig bald fiinf in der NShe beisammen liegende herausfand,
welche ziemlich genau die fiinf ersten S d e n einer diatonischen Scale
lieferten , so daL ich auf drmelben zur Brlustigung meiner damaligen
Reiscgef2hrten den itinen ganz verstindlichrn Anfang einer belanoten
Yulkjtnrlodie rspieltest. Auch erinnere ich micb, dab in einem friilrcr
von rnir bewohuten Hause, wo mein Schlafriormer auf &en Hof giog,
der nls Steinmetm- W e r k s t h e benutit w i d , sich rur Sorumerszeit gar
iuauclrinal die dculliclien Dur- uod Moll-Accorde der dort sclron in den
ersten Friilrstunden belrauenen rothen Sundsfrinr mit meinen letmten
BIoqcntrSumcn vcrwebten.
109
zwar genau m't derjenigen Gattung, die von mir am Schlusse
cines friiher in diesen Annalen mitgethcilten Aufsatzes
(Bd. XCIV, S. 357 ff., ins Besondere itn 0 33, S. 569
bis 671) als wahrscheinlich existirend, aber noch iiiclit
sicher beobachtet bezeichnet worden.
Ich habe in jenem Aufsatze, wie ich glaube, in evidenter Weise, nachgewiesen, dafs es Tone giebt, welche niclit
auf dem gewBhnlichen Wegc, durch rege1m:ifsige Vibrationen elastischer Korper, sondern durcli blofse, von iiufseren
me chaiiischen Ursac hen herrii ii re ti de ras che Wiederholung
cines beliebigen einfachen Schalls (Knalls etc.) hervorgerufen werden, und dabei angedeutet, dafs es aufser der dort
naher geschilderten Gattuiig solcher, durch ein Gitter hervorgebrachten TOne, wohl noch andere, namentlich durch
parallele Wancle bewirkte geben kiiniic.
Zwei parallele Winde n~imlich, zwischen welcheti irgend
ein einfacher Schall von beliebiger Art ( Kiiall, Schlag,
Stofs u. s. w.) hervorgebracht wird, miisseii offenbar von
diesem ein vielfach wiederholtes Echo bewirkeu, in ~ " n z
ahnIicher Weise, wie zwei parallele Spiegel eine unabsehbare Reihe von Bildern der dazwischen befindlichen Objecte liefern. Denkt man sich iiun hierbei die parallelen
Wiinde so nahe ausammengeriickt, dafs die eiiizelnen Stiifse
oder Wiederholungen dieses Echos von detn Ohre nicht
mehr als einzelne empfunden oder wahrgenommen werden
konnen, so mussen dieselben auf das Hiirorgan ohne Zweifel den Eindruck eines zusammenhangenden Wellenzuges von
bestimmter Schwingungsgescliwiiidigkeit machen, d. h., sie
miissen irn Ohre die Empfindung eines Tones im musikalischen Sinne dieses Wortes hervorrufen. Befindet sicli dabei der Horende am Orte der Entstehung des veranlaseeiiden
Gerausches, so wird, wie a. a. 0.,gleichfalls bereits angedeutet worden, dieser Ton eine constante Eohe haben miissen, weil ja die S t a t e des ihn bewirkenden Echos, stets
nur mit derselben (als constant betrachteten) Fortpflanzuogsgeschwindigkeit des Schalles in der Luft den gleichen Abstand zwischen beiden WBnden hin und her durchlaufend,
I10
sich in gleichen Intervallen folgen miissen; und die absolzite Hiihe des Tons wird dabei von nichts Anderein, als
(bei gleichbleibender Scballgeschwindigkeit) von der Gr6fsse
dicses Abstandes beider Wande alhangen.
3.
3. Ytiirke d e e Tons.
So zullssig diesc Erklaruug der Sache im Allgemeinen
scheinen mag, so darf sie doch sicher erst d a m eine befriedigende heifsen, n e u n sie auch alle Einzelheitcn genau
erkliirt.
Das i n 3. 1 erwahnte sehr rasche Verklingen der einzelnen Tone z. B., das zuvtirderst eiue Erkliirutig heischt,
wird oline Zweifel dadurch sehr begrciflich ersclieinen, dafs
ja die Ausbreitung einer (gl~~icliviel
ob einfachen oder wiederholt entstaodenen) Scliallwelle, uiid die durch sie liervorgerufene Divergens der Strahlen, resp. die Verringerung des mecbanischeli Momentes der Luftschwingung in
Bezug auf das Ohr, auch nach erfolgter Reflexion (von einer
ebenen F l k h e iianilicli ) genau iioch iu derselben Weise
fortgelit, als ob der Schall nicht reflectirt worden, d. h.,
als ob er von dem Orte seines Spiegelbildes (die reflectirende Ebenc als Spiegel bctrachtet) urspriiiiglicb ausgegangen wiire.
DieL Spiegelbild wird aber,
wie ein Blick auf die
Fig. 1 Taf. I erliiureru mag, in welcher ab und c d die paralleleu Wiinde vorstellen,
fur jeden folgenden Reflex
des (in o entstandenen) Schalls in stets gr8rserer Entfernuny hinter dieven M78nden,
dau ersfe durch die Wand cd
bervorgerufene z. B. in p, das zweite in na, das dritte in r
u. s. w. liegen; und obgleich nuo, falls man den Ort o der
Schallerregung in der Mitte zwischeii beideii Waiiden annirnmt, die Reflexe dcr andcrn Wand ( a b ) gleicbzeitig entstchen uiid also die StiiCse jener ersten Hcihe versturken
~ l i i s s e n , so werden docli fur beide die folgenden StbLe
gegen die fruhcren in dein Maafse geschzodcht erscheineo, in
welchein die von den stets etitfernteren Punkten p, q, r . . .
(und m , ri audrerseits), urspriiuglich ausgekende Schall-
-
-
-
..
verbreitung diefs seyn wurde. Da nun offenbar o p = p q
= q r . . ist, so werden sich die Schallstarken der auf einaude? folgendeii einzeluen , dcii Ton zusammcnsetzeiideii
Stafse umgekehrt wie die Quadrate der Zahlen 1, 2, 3, 4 etc.
verhalteu miisseii, d. h., sic werden i m VerliHltuisse der
Zahlenreilie
t 4
I
l
l
16
HS
3b
abnehmen, oder, was dasselbe ist, es wird, die Iutensitlt des
urspriinglichen, erregeuden Sclialles als Eiuheit geiioinmen,
die SchalZstarke y der einzeliieri Stiifse als Fuiictioii der
vom Anfange des Toacs au verflosseiieii Zeit 5 ausgedruckt
seyn durcli die Gleichung:
und demuach sehr bald eiiieii sehr gcriiigen Wcrtli aiinehmeii miissen, dafs sie deui Ohre niclit inchr veriiehinlich
wird. (Die Intensitiitscurve dcs Toiles selbst wurde also,
wie der Aublick obiger Gleichuug zeigt, eine selir rasch
herabsteigende hyperbolische im weitereii Sinue, uiid die
Abscissenare ihre Asymptote seyn.)
0.
4.
W e i t e r e B e o b a c h t u n g e n iind M e s s n n g e n .
W a s nuii zweiteus das obeii geschilderte allm~lilichc
Tieferzoerden des fraglicheii T o m bei weiterein Vordriogen
iu dem Gafscheu betrif€t, so gab ich bei desseii Erklarung
den anfangs wolil fur eiiicii Augeoblick gehegten Gedanken an eine Mitwirkuiig der ijstlicheii Ausrniindung dcs
W e g e s ahf die vie1 breitere Heerstrafse urn so lieber uud
eher wieder auf, als hier offeubar vou eiiiem ahnlicheu
Vorgange, wie er z. B. bei der Ausmiindung offener Pfeif e . statt hat, iiberhaupt von stebenden ~Yclleiiuud loiigitudiualer Luftschwinguug etc., keiiie Kede zu seyii schien :
- ich suchte vielmehr alsbald die alleiuige Ursaclie jeiies
Sinkens sowohl, als auch des erwahnten Schwaiihens der
Tonhiihe, i n einer nicht vollig parallelen Luge der bciden
iiieioen P fa d einschliefseiideu Wunde.
Und icli hatte gleich bci eiuer, wenige Tage spater
112
gemachten, sweiten Beobacbtung die Freude, diese Vermuthung aufs Vollkommenste bestltigt und die versuchte
Theorie somit durch einen weiteren, sehr gewichtigen
Wahrscheinlichkeitsgrui~dgestutzt zu sehen. Wahrend ich
iiamlich an dem anteren (westlichen) Ende des beschriebenen, auf den ersten Anblick freilich iiberall gleichbreit erscheinenden GSfschens, wo der Ton am tiefsten erklungen
war, beiln horizontalen Ausstrecken beider Arnie Miihe
hatte, die WSnde mit den lufsersteo Spitzen der Mittelfinger zu erreichen, ward mir diefs am entgegengesetzten
(oberen oder 8stlichen) Ende noch bei merklicher Kriimnaung beider Arme mbglich. Da iiberdiefs beim alliniihlichen
Grijfserwerden der Distanz ac, Figur 1 Tafcl I, aucli die
Vuukte p, q, r weiter hinausriickeu,, so wiirde sich hieraus zugleich auch die nach dem westlichen Ende bin etwas
abnehmende Stiirke des klingenden Nachhalls aufs Befricdigendste erklaren.
Eine genauere Prtifung des Tones selbst bei dieser zweiten Beohachtung (mittelst der Stimmgabel) zeigte, dafs er
an deln (schmaleren) Eiiigange des W e g s dein ein9estr.ichenen c sehr nahe kam (obwohl uin ganz weniges tiefer
klang), beim Weiterschreiteri aber allmablicli UUI eine voUe
Quarte sank, so dafs e r wahrend der letzten 20 Schritte
vor sejnem Erl6schen ain Westende dcs Pfades entschieden
und deutlich das kteine g war.
Doch machte mir eben dieser bedeutende Unterschied
eine genauere Messung der Dimensionen des Gafschens sebr
wiinschenswerth, uod ich begab mich daher kurz darauf
zum dritten Ma1 an Ort und Stelle, wo ich in Gemeiuschaft
eines Technikers diese Messung vornahm. Es fand sich der
horizoiitale Abstaod der beiden Wande, ungefshr in der
Hbhe des Kopfes gemessen:
am engeren (bstl.) Ende =1' 70"
am weiteren (westl.) Ende =6' 2 bis4".
Die Zweideutigkeit der letzteren Angabe griindet sich
darauf, dafs die meiteste Stelle (=S' 4 ' ) nicht ganz am
fufsersten Ende, sonderii fast 11 Schritte (etwa 31') weitcr
..
113
einwarts lag, wahrend an diesem westlichen Ende selbst
(so wie auch eine kleiiie Strecke vor der angefiihrten weiso
testen Stelle) die fragliche Breite nur 6’ 2’’ betrug,
d a k ich als mittlere Breite dieses weiteren Theils der Gasse,
wo der Ton g erklang, 6’ 3” annehinen kann.
Da wir ferner diesen Abstand der zwei Wande iiberhaupt nicht blofs an den Enden, sondern durch die ganze
Lkinge des GBfschens, etwa von je 8 zii 8 Schritten, inahen, so hatte ich zugleich Gelegenheit, mir von dem mehrerwahnten Schmanken des Tons an verschiedenen Punkten
iinseres Weges im Einzelnen die befriedigendste Recheuschaft zu geben. Namentlich ist 36 Schritte voni oberen
(tistlichen) Ende eritfernt eine Stelle, wo der im Ganzen
sinkende Ton deutlich wieder etwas in die Htihe zu gehen
schien:
und die Messung zeigte in der That, dafs hier,
in Folge des Weichens oder Einwartsneigens eines der
senkrechten Pfshle, an welchen die Bretter der Holzwnnd
festgeuagelt sind,
der Abstand derselben von der gegeniiberliegenden Mauer nurmehr = 4‘ 84” war, wahrend
er kurz vorher und nachher uber einen 2011 mehr betrug.
Das Schwaiiken der Breite des Gafschens schien iiberhaupt
ausschliefslich auf Rechnung der nicht ganz regelmatig
construirten Bretterwand zu kommeii, wahrend die Mauer
dagegen sich in ganz gerader Linie hinzieht.
Auch die Hohe dieser Wiinde wurde zur Vorsorge notirt.
Sie betragt, vom Boden aus gemessen, fur die Brettemand
am iistlichen Ende 6’ 6”, uimmt dann wahrend der ersteii
26 Schritte, in Folge einer Seukung des Bodens von der
Chaussee her, bis auf 9’ zu, aber sogleich wahrend der
folgenden 4 Schritte in schriiger Linie rasch wieder auf
5’ 9’ab, uud wird hierauf, bei fortdauernder, obwohl miuder rascher’, westlicher Abdachung des Pfades , allmahlich
wieder grtifser, so daL sie am westlichen Eude, beim Beginn des erwihnten Lattenzaunes, wieder 6’ 6’’ betragt.
Die den Pfad auf der andern (siidlichen) Seite begranzende
Mauer dagegen, deren obere Flache ganz horizontal zu
PoggendorWs Annal. Bd. CI.
8
-
-
-
-
114
liegen scheint, zeigte am 6stlichen Ende eine Hblie von
7' 2", am westlichen von 10'.
Die Richtung des Pfades, so weit er gerade ist, geht
ziemlich genau von JJO.gen N.n nach m S . gen W . n ;
die Temperatur betrug im Freieii wghrend jener Mittagsstuade, in welcher die Ietzten Beobachtungen mit der
Stimmgabel gemacht wurden, etwa 12" R. ( freilich nicht
ao Ort und Stelle gemessen).
-
9. 5. S p e c i e l l e P r i f u n g der Theorie: Berechnung.
So plausibel nun nach dem bisher Gesagten die versuchte Erklarung der in Rede stehended TBne gewifs bereits erscheineii wird, so wiirde ich doch nicht gewagt haben, dieselbe fiir mehr als einen Einfall zu halten, wenn
sie die Feuerprobe der Rechnung nicht bestanden hatte.
Und dioser Rechnung eben sollten die obigen Messungen
als Grundlage, resp. als Controle dienen.
Denn sol1 der aufgestellte Erklarungsversuch stichhaltig
seyn, so mufs sich einerseits der Abstand der schallreflectirenden Wande aus der beobachteten Tonhohe, und andererseits diese aus dem gemessenen Abstande berechnen lassen, und der Grad der Uebereinstimmung dieses Rechnungsresultates mit den Beobachtungen wird auch hier mit Recht
als Prufstein fGr die Theorie betrachtet werden kbnnen.
Insofern namlich die einzelnen , den Ton zusammensetzenden Stiifse oder Echos des ursprunglich einfachen
Schalls lediglich durch ein Hin- und Herlaufen des Letzteren zwischen den parallelen Wandfllchen bewirkt werden,
und die beobachtete Tonhohe angieht, wie viele solcher
Stake, also auch wie viele solcher Hin- und Hergiinge z. B.
in einer Sekunde erfolgt seyn miissen, so wird man offenbar den Abstand jener Wande zum Resultate erhalten,
wenu man einfach
die Schallgeschwindigkeit. d. h. den in einer Sekunde vom
Schall in der Luft zuriickgelegten Weg, durch die Anzahl
jener Stope, d. i. durch die ,,SchwingungszahP des vernommenen Tons dividirt ;
115
und umgekehrt: Man wird den Ton (oder vieltnehr dessen
SchwingungszahI w) zum Resultate erhalten mLissen , wenn
man
die Schallgeschwindigkeit durch den gemessenen Abstand
der parallelen Wande dividirt ;
oder, kiirzer ausgedriickt, es wird, wenn C die Schallgeschwindigkeit fur eine Sekunde, n die Schwingungszahl des
beobachteten Tons (gleicbfalls fur eine Sekunde), und B
die Breite des Gafschens oder Ganges bezeichnet,
JJ
B=-
C
n
und n = -
C
€3
seyn miissen; - oder endlich: Es werden, da B und n
ein constantes Product (C)haben,
.der Abstand der parallelen Winde und die Schtoingungszahl des durch sie bewirkten Retlexionstons einander umgekehrt proportional seyn."
Es wlre dieser Satz somit das Grundgesetz dieser zweiten', constanten Art von Reflexionstonen, und seine Richtigkeit war nun an dem vorliegenden speciellen Falle zu
priifen.
Das Ergebnifs dieser Berechnung, die ich in einer meiner nachsten Mufsestunden ausfiihrte , war ein der aufgestellten Vermuthung durchaus giinstiges, \vie man sicb sofort iiberzeugen wird, wenn ich die hauptslchlicbsten Zalileu hersetze.
Ich rcducirte zuerst zum Zwecke bequemerer Benutzung
der gewbhnlicben akustischen Angaben die gemachten Messungen auf metrisches Maafs. Da ich bei einer, wie icli
glaube , hinllnglich sorgfiltigen Vergleichung der Maafsstabe gefunden hatte, dafs 42; Zoll des von mir angewandten Zollstabes (hiesigen Maafses) ziemlich genau 1 Meter
betragen, so liefert diese Reduction, indem ich fur das
Ende, w o der vernornmene Ton wenig tiefer als das eingestrichene c gewesen, die ohen angegebene Breite von
55,75", fiir die Stellen aber, wo am Reinsten das kleiue g
erklang, den Mittelwerth der obigen zweideutigen Messung
(9. 4), also gerade 75,OO" annahm, folgende Maafse:
8"
116
a ) fiir das obers Ende
1,3195 Meter,
6 ) fur das untere Ende 1,7751
Fur die Schallgeschwindigkeit schwanken die neueren
Angaben der I’hgsiker zwiscben 1021 und 10.19 Pariser
Fufs in der Sekunde, fiir eine Temperatur von Oo R. Nebme
ich dafiir das Mittel, so giebt d i e t 1036,5 Pariser Fiifs.
Da aber die Luftternperatur in dem vorliegenden Falle etwa
12O R. betrug und nach den Angaben der franzosischen
Pbysiker die Schallgeschwindigkeit innerhalb gewisser Granzen fur jeden weiteren Grad R. urn etwa 2,4 Pariser Fufs
zunimmt (welche Zunahme freilich der der Temperatur nicbt
genau proportional seyn kann), so giebt diefs fur den besprochenen Fall eine Schallgeschwindigkeit von ungefabr
1036,5 12.2,1=1036,5+28,8=1065,3’
Par.;
und da ferner 1 Pariser Fufs gleich 0,324674 Meter gesetzt
wird, so wtre diese hier in Rechnung zu bringende
Schallgeschwindigkeit (fiir 1”)=345,87521 Meter.
W a s endlich die zu Grunde zu legende absolute Schwingungszahl der T6ne betrifft, so schwanken auch hier die
Angaben der Akustiker z. B. fur das eingestrichene a , je
nach der hbheren oder tieferen Stimmung der verschiedenen Orte und Orchester, zwischen folgenden Zahlen:
453 (Petersburger Oper),
443,5 ( S c h e i b l e r ) ,
441 (3erliner Oper),
440 (Wiener Oper)
434 (grand opdra
428 (opdra comique Paris).
424 (ital. Oper
Fiir das eingestrichene ‘c ergeben dicse Zahleu resp.
254 bis 271 (ganze) Schwingungen in der Sekunde. Da
die Stimmung der angewandten Gabel jedenfalls den hoheren Stimmungen (- die ganz hohe Petersburger abgerecbnet! -) etwas nther liegen durfte, als den auch bei
uns in neuerer Zeit rnehr und mebr aufser Gebraucb gekominenen tieferen, so iiehme icb a h Mittelzahl fur das
.
+
.
!
117
262 Schwi~~guogeu
') an (was for dns
eiiigestrichene
etwa 437 macheu wurde), und demgernlt fur das kleine g
(8 davon:) 196,5 Schwingungen in der Sekunde.
Null lag, wie oben bereits bemerkt worden, der am
bstlichen Ende des Weges veriio~nme~ie
Ton zzoischen
0
und h ; und 262 Schwingungen fur gerechnet, geben fiir
h 246, sonach fur einen zwischen Beiden ungefchr in der
Mitte liegenden Ton 254. Ich nehme daher zwischen diesem Zetzteren und dem
c
;(da
der veriiommeue Ton jcden-
falls weit niiher bei
als bei h lag) wiederum die Mitte,
uud erhalte somit als Schwingungszahlen fur die beiden
iiufsersten T6ne :
a) am oberen Ende
298 pro Sekunde
b) am unteren Ende 196,5 =
n
Uividire ich nun mit diesen beiden Zahlen in die oben
gefundene Schallgeschwindigkeit von 345,67521 Meter, so
erhalte ich fur den Abstand der Wande von einander:
berechnet
1,3406 Meter
a ) am oberen Ende:
gemessen (8. 0 . ) 1,3195 u
Differenz
0,021 1 Meter
1,7602 Meter
berechnet
b ) am unteren Ende:
gemessen (s. 0.) 1,7751 n
Differenz
0,0149 Meter
also zwischen Rechnung und Messung einen Uuterschied
von nur 2, resp. 1: Centimetern;
gewifs kaum mehr als
die Unebenheiten der Oberflache jener Mauer betragen.
Diese Uebereinstimrnuug ist so grofs, dafs sie meine
eigene Erwartung tibertraf, uud icb mich, wie ich oben
bekenne, auch mit einer weit geringeren begniigt haben
wiirde.
Sie erscheint uberdiefs in noch frappanterer Gestalt,
weun inan den umgekehrten Weg geht und aus dem ge-
t
+
-
-
1) Z a n i m i n e r in seinem neueren Werke: >)DieMusik und die
musi-
kalischen Znstrurncnte" (Giefsen 1855) giebt als rnittleren W e r t h fiir
;261,6
an.
118
messenen Absfande der Wande die Hohe des zugehorigen
Retlexionstons berechnet. Es ergeben sich namlich dann
(nach der zweitera der obigen Formeln, oder nun einfach
nach dem angefiihrten Gesetze der umgekehrten Proportionalitut) fiir die betreffenden Tone die Zahlen von
194,s und 262,l
Schwingungen:
also kaum 2 Schwingungen zu wenig,
resp. 4 zu viel,
ein Unterschied, den sicher auch das
Olir des geiibtesten Nusikers nicht wahrzunehmen im Stande
seyn wijrde, so dafs man die Uebereinstimmung des Ergebnisses mit der versuchten Theorie geradezu als eine
vollkommene bezeichuen darf. (Ich bemerke dabei noch
ausdrucklich, dafs die ganze hier stehende Rechnung absichtlicia von mir erst nach vollendeter Beobachtung der
Tone und Dimensionen gemacht worden, um nicht etwa
durch ihr Ergebnifs irgendwie einen modificirenden Einflufs auf die Vorstellung von den gehiirten Tbnen oder
auf die Messungen uben zu kbnnen.)
-
-
8. 6.
Vermutliete Modification d e s Tons.
Bei weiterer Erwiigung der vorstehenden Theorie drangte
sich mir noch die Frage auf, wie es sich wohl mit den
besprochenen Tonen verhalten mbge, wenn der Standpunkt
des Horenden nicht, wie bei meinen einsainen Beobachtungen, mit deln Orte der Entstehung des einfachen Schalls
Zusamnaen~ele,sondern zwischen Beiden ein grbfserer oder
geringerer Zwischenraum im Sinne der LIngsrichtung der
W a n d e ware, und ob dieser Umstand ins Besondere die
Hohe des Tons in bemerkbarer Weise modificiren werde.
W a s ich mir dabei dachte, wird sich schneller und ktirzer an einer kleinen Zeichnung, wie etwa Fig. 2 Taf. I,
erlautern lassen, in welcher wiederum a b und c d die parallelen Wiinde, o deu Ort der Eutstehung des einfacben
Schalls, und uunmehr s den Standpunkf des Eorers vorstellen iniigen , beide Letzteren der Einfachheit wegen in
der illitte zwischen den Wanden angenommen.
Es hat dann der urspriingliche Schall, um bis ZUIU Ohre
f 19
des HBrers ZII gelangen, den geradeo W e g o s , das erste
Echo aber (nimlich vorerst eininal iiur das von der Waird
c d h2rvorgerufene) die gebrocliene Liuie 0 f s , das zweite
den Zickzackweg o g h s , das dritte den W e g o i k l s u. s. w.,
iiberhaupt jedes folgende einen Weg zuriickzulegen, welcher eine Biegung oder Brechung mehr enthalt, als der des
vorbergehenden.
Man kaun offenbar diese Wege, in ganz gleicber Weise
wie die des Lichtstrabls bei paralleleu Spiegeln, am Einfachsten dadurch construireu, dafs man erst die Orte der
,,SpiegeZbilder" bestimmt, d. h., die Linie n r , senkrecht iuf
c d und a b , zieht, und nun o p = p q = q r ..., = o m
m a .
= a c abschneidet. Es fiiidet sich dann nach
allbekanntein Reflexionsgesetze der Puukt f z. B., indein
man p s zieht; der Punkt h , indcin man n s , der Punkt g,
indein man p h zieht; ebenso der Punkt 1 mittelst rs, k mittelst n l , i mittelst p k , u. s. w.
Da nuu offenbar o f = p f , ferner o g = p g und p h = n h ,
ebenso o i = p i , p k = n k und n l = r l etc. ist, so hat das
erste Echo im Ganzen einen W e g gleich p s , das zmeite
eiuen gleich ns (oder, was dasselbe ist, gleicli q s ) , das
dritte einen gleich r s zuruckzulegeu; iiberhaupt jedes folgende einen W e g , der dem directen Abstande des folgenden Spiegelbildes (wenn c d eiii Spiegel ware) oon dem
Standpunkte s entspricht.
Und da nun diese Wege, p s , qs, rs,
offenbar iminer grofser and grofser werden (gleichwie schon der erste
p s oder o f + f s > o s
ist etc.), somit die folgenden Stafse
oder Echos auch hier immer sp8ter zum O hr des Harenden gelangen, so mufs in der That auch bier
ein Ton
entstehen, der in s vernommen wird.
Da aber ferner diese allmahliche Vergrafserung der
W e g e p s , qs, P S
augenscheinlich hier keine gleichmafsige ist, vielmehr auch die Differenzen dieser W e g e selbst
stets grijfser und grofser werden: - so kann der entsteliende Ton in diesem Falle nicht, wie in dein zu Anfange
besprocbenen, ein Ton von constanter Hohe-, - er mufs
-
..
.. .
-
...
120
vielmehr wiihrend seiner ganzeu Dauer im Sinken begriffen
segn; ja, dieses Sinken mufs iiberdiefs, wie gleichfalls schon
eiu Blick auf die Zeichuung lehrt, desto bedeutender, resp.
der Anfang des Tons desto hoher ausfallen, je geringer
die Differeuz zwischen deu ersten jener Zickzackwege,
d. h., je grorser der Abstand zwischen o und s ist. (Das
Genauere, welches ich hier der Kilrze wegen iibergehe,
ergiebt sich in ganz iihnlicher Weise, wie bei der in meinem friiheren Aufsatze, Bd. XCIV der Annalen S. 357 ff.,
besprocheneii Gattuiig von Tdnen, mit ,welcher der hier in
Rede stehendc tiberhaupt die grbfste Aehnlichkeit haben
miifste.)
Ich belnerke hierbei nur noch, dafs in obiger Erlluterung, wie auch schon 'in der Fig. 2 Taf. I, urn diese nicht
211 colnplicirt werden zu lassen, die zweite, durch die andere Wand a b zungchst hervorgerufene Reihe von S t a t e n
oder Echos, deren erstes z. B. in der Gegend 9 stehen
wiirde, ahsichtlich weggelassen ist, was ja deshalb ohue
Zweifel zullssig erscheiut, weil diese zweite Reihe mit der
ersten vollkominen gleichzeitig entstehen und daher dem
Ohre als cine bloke Verstdrkung des Tons etscheinen mufs.
-
#.
7.
Beobacbtung.
Begierig nun, auch diese theoretischen Erwlgungen
eiuer Priifung durch das Experiment zu unterwerfen, begab ich mich vor wenigen Tagen wiederholt an den mehrerwlhnten Ort Ich stellte mich am dstlichen Eingange
des Pfades auf uud liefs einen niitgenommenen Begleiter,
deli Schall seiuer Tritte belauschend, das Gafschen hiuabgehen. Ich vernahm aber Nichts vou einem ,,Ton" im musikalischen Siiiiie, sondern nur die einfachen , klanglosen
Fufstritte, und auch diese wurden, bei der allmahlich wachsenden Entfernuug des Gehenden von mir und bei der
iiicht gauz gereuschlosen Umgebung (es war um die Mittagszeit) bald so schwach, dafs ich sie kaum noch hdrte.
Ehe ich iudesseu die Hoffnung aufgab, bat ich lnciuen
Ilegleiter, den Versuch mit ctwas sfavkerem Auffreten (na-
121
mentlich in grbfserer Ferne) zu wiederholeu. Jetzt fing
er, als er etwa 20 Schritte weit von mir entfernt war, aus
voller Kraft mit der ganzen Fufssohle zu traben an, und
ich hatte die Freude, den vermutheten Ton sofort in seiner gaiizeu Reiiiheit und Scharfe wahrzunehmen. Er unterschied sich aufs Deutlichste von dem dumpfen , klanglosen Gerausche der Fufstritte , erfolgte eiuen merklichen
Moment spater, war dabei im Anfange oline Vergleich
hoher und reiner uiid hatte etwas klangvoll Musikalisches,
so dafs ich ihn dem Pizzicato der Contrabasse oder Violoncelli verglich, nur daCs er dieses noch an Klang und
Klarlieit iibertraf.
Dabei war in der That jeder einzelne solche Ton, gleich
dem an der Frankfurter Eisenbahnbriicke beobachteten,
durch Gitter hervorgebrachteu Reflexionstone , obwohl bei
Weiteln iiicht vou so aufserordentlicher Euhe, wie dieser,
von Anfaiig an iu einern selir raschen, gegen Ende jedoch
langsamer werdcnden Sinken begriffen ( ganz wie ich erwartet liatte), was besonders schbn und klar hervortrat,
wenn ich das Ohr bis auf etwa 1' der siidlichen Mauer
naherte; weniger klar an der miudcr gerade und regelmafsig verlaufenden Bretterwand.
Es ergab sich sonach, dafs zur Hervorbriugung dieser
zweiten Abart des fraglichen Tons schon eiu etwas stiirkeres Gerausch gehort, als die FuCstritte eines Gehendeu
unter gewolinlichen Utnstanden sind; uud es wird diefs
auch sofort begreiflich , wenn man die bedeutende Schwachung des Schalls ins Auge fafst, die er durcli die siel grofseren Umwege dabei erleiden mufs.
Ich bemerkte mir bei der so eben geschilderten Beobachtung noch, dak dieser eigenthiimliche Ton (den auch
meiu Begleiter als einen sehr vernehmlicheu uiid auffallenden bezeichnete) am Klarsteu hervortrat, wenn die Entfernuug des Trabenden etc. von dem Hiirer iiicht mehr als
30 bis 36 (eiufache) Schritte betrug, wahrend er bei grafserem Abstande ( tiicht aber bei kleinerem ) allmahlicla
schwach uiid undeutlich ward.
-
122
5.
8. Specie11 Theoretiscbes.
W a s das Gesatz des Sinkens dieser letztbeobachteten
Art von Reflerionstijnen betrifft, so ist dasselbe ohue Zweifel noch einfacher uud leichter zu entwickeln, als bei dem
in meinem fruheren Aufsatze (Bd. XCIV) behandelten ,,GitCertonea, obwohl es offenbar mit dem des Letzteren vie1
Aehnlichkeit haben wird.
Versucht man nlmlich die Wellenliinye des Tons, die
er in jedem beliebigen Augenblicke seiner Dauer hat, a h
eiiie Function der seit seinem Beginn bis zu dem betreffenden Augenblicke verflossenen Zeit auszudriicken, uud
nennt zu diesem Zwecke jene Wellenliiuge y , diese Zeit
aber x, so mufs sich zwischen x und y eiue Gleichung aufstellen lassen , deren Construction die in Frage steheude
Toacume liefert und das in der Gleichung enthaltene Gesetz des Sinkens dieser Art von Tanen veranschaulicht,
gleichsam ihre Gestalt dem Auge sichtbar vorfiibrt.
Bezeichnet man dabei den (vorerst als constant betrachteten) Abstand 0 8 , in Fig. 2 Taf. I, des Hiirers von dem
Orte der Schallerregung, mit dem Buchstaben a, uud die
Ordnungsnummer des betreffenden Stofses oder Echos mit
n ; nimmt man ferner, wie Aehnliches bereits in dem mehrerwahnten friiheren Aufsatze geschehen, an, es sey jener
Abstand a nicht nach willkuhrlichen LSiigeneinheiten (Furs,
Zoll, Meter etc.), sondern uach dem Abstande b d der parallelen Wande gemessen worden, so dafs man o p selbst =l,
o q = 2 , o r = 3 etc., Uberhaupt den Abstand des Jlntene
Spiegelbildes von o selbst = l a setzen kann; und es sey
endlich in ahnlicher Weise auch die Zeit vom Beginn des
Tons an
nicht nach willktihrlichen Einheiten (Sekunden etc.) , sondern nach demjenigen Intervalle gemessen,
welches der Schall bei nonualer Verbreitung in der Luft
gebraucht, um die eben zu Grunde gelegte Langeneinheit b d
zu durchlaufen: SO hat man dadurch auch hier den Vortheil, dafs man dieselbe Zahl, die das MaaG irgend einer
rsumlichen Liinge bezeichnet, geradezu auch fur die Zeitdauer gebrauchen kann, wahrend welcher der Schall diese
-
123
Liinge seines W e g e s zurucklegt, und urngekehrt; dafs also
auch jeder fur die raumliche Wellenlange eines Tones gefundeu'e rnathematische Ausdruck zugleich fiir dessen Schwingungsdauer gelten kann u. s. w.
Stellt nun unter diesen gemachten Voraussetzungen z. B.
der Punkt r in Fig. 2 Taf. 1 das n t e ~~Spiegelbilda
von o
vor (so dafs die Strecke o r = n wird), so ist o i k l s , welcbes ja, wie oben bereits bernerkt worden, gleich T S
ist,
der W e g des nten Echos bis zum Ohr des Horers,
und folglich, nach der augedeuteten Weise gemessen, zugleich die Zeit m, welche vom Beginn des Tones bis zutn
Horbarwerden dieses n ten Stofses verflossen ist. Man hat
daher
I. x?=a2+na oder n 2 = x 2 - a 2 .
Nimmt man ferner, wie in dem friiheren Aufsatze,
(Bd. XCIV, S. 542, 8. 26) geschehen, als Wellenlange, die
dem Tone im Momente des nten Stofses zukommt, das arithmetische Mittel zwischen der Lange der ihin vorhergehenden
und der ihm folgenden Welle, so ergiebt sich (iudem ich
mich hier etwas kurzer fasse, als a. a. O., wo inail das
Ausfiihrlichere nachlesen kann) fur diese WellenlYnge der
Ausdruck :
XI. y = (I/a2+(n
1)2
I/a2+ (n - 1)2);
und es ist, um die verlangte Toncurve zu finden, uur noch
nothig, diese beiden Ausdriicke ( I uud 11) mittelst Elimination der dritten veranderlichen GroCse n in eine Gleichung zwischen x und y zu vereinigen.
Schreibt man zu dem Ende statt der zweiten Gleichung
auch hier vorerst kiirzer :
y =;
(6- ,
so wird
4y2=v+w
-2vvw,
oder
16y4 8y2(V ZU)+(V +w)'= 4 v W ,
oder endlich:
1x1. 16 y4 89' (U +w) +(U -w)'= 0.
Nun ist aber, indem man die gebrauchte Abkiirzuug
-
+ -
va
-
+
-
124
wieder beseitigt nnd zugleich die Gleichung I (in ibrer
zweiten Form) benutzt:
a ) (v+ w ) =aa
(n+ I)'+
aa+(n- 1)'
=2 (aa nZ)+2
+
+
=23:2+2,
und in ahnlicher Weise:
,8)
(0-
w ) =[aa+
~
(n+ 1)*--aa
=(4 =16 na
-
-( n -1)2]3'
= 16xa 16aa;
und setzt man nuu diese beiden Werthe a und p fiir
( s t w ) und ( v - w ) ~ in die oben mit I11 bezeichnete Form
der Gleichung eiu, so verwandelt sie sich in folgende:
16y4 8 yz (2 3:' +2) 16 3:' 16 a' =0,
oder endlicb, nach Weglassung des gemeinsamen Factors:
IV. y
(39+ 1). ya+3:2=
a2,
welches also die verlangte Endgleichung zwischen 3: und y
ist, die sich librigens, wie man leicbt sieht, auch so schreiben lafst:
v. (y2 sa>.(y" 1)=a2 ,
oder, wenn man lieber will:
VI. (I." $9.(L ya) =a";
uud die wesentliche Eigenschaft der fraglichen Toncurve
bestande sonach darin , dafs die beiden eingeklammerten
Differenzen (ntimlich die Differ- der Quadrate zusammengehiiriger Coordinaten, und die des Ordinatenquadrats mit
der constanten Grafse 1) ein unveranderliches Product baben, oder, was wiederum Dasselbe sagt, einander umgekehrt
proportional sind.
Man ersieht bereits hieraus, dafs die Gleichung dieser
Toncurve die grbfste Aehnlichkeit mit der in Bd. XCIV,
S. 545 entwickelten des dort Lesprocbenen, durch Gitter
erzeugten Tones hat, ja, dafs sie mit ihr, bis auf die constante G r a t e I , identisch ist.
L6st mau zum Behufe etwaiger Berechnung und Construction die Gleichung fiir ya auf, so erhalt man
-
+
-
'-
-
-
-
125
+
-
VII. p= ;
r(d 1) -\/(s2 iy -I-4 q.
Dals und warum auch hier die rechts vorkommende
Quadratwurzel nur negatiz, zu uehmen ist, so dafs das ihr
vorhergehende Minuszeichen ein wesentlicbes, die sonstige
Zweideutigkeit des Wurzclzeichens ausschliefsendes ist, will ich hicr nicht ausfuhrlicher erartern: es crgiebt sich
in ganz ahnlicher Weise, wie in dem fruheren Aufsatze
(a. a. O., 5. 27 zu Ende, S. 548 bis 519); ebenso die weiteren Folgerungen aus der obigen Gleichung, dafs z. B.
fur s=O, iiberhaupt fur $ < a , y imaginsr;
fur a=O,
y=l;
fur s = a , y=O; - fur $>a, y stets reell und
(1;
fur y = l entweder a=O oder x=m wird u. s. w.,
wie diefs alles zum Voraus zu erwarten war und defshalb
wiederum fur die Richtigkeit der entwickelten Gleichung
zur Controle dieneu kann.
-
-
5.
9. G e o a u e r e Gestaltung und a b s o l u t e AGhe des Tons.
Berechnet man auch hier aus obiger Gleichung, um sich
eine deutlichere Vorstellung von der ahsoluten Hiihe und
Gestaltung des Tons in dena vorliegenden speciellen Falle
bilden zu k h n e n , etwa fur die willkuhrliche Annahme
a=lO (d. h. fur die Entfernung o s = 2 0 bis 25 Schritte,
ffir melche der Ton gerade recht klar und deutlich hervortrat), einige der ausammengehorigen Werthe von x und y
(ganz so, wie diefs iu dem mehrerwahnten Aufsatze 5. 29,
S. 551 f. gescheben) so findet sich z. B. fur
Y
0
* 2
4
ru6
u 8
N 10
Y 11
Y 12
m 13
>I
Y
14
15
8
i
i
i
N
N
x
i
0,00000
f 0,41517
N
n
,I
w
0,55144
0,63784
0,69893
0,74459
3,2423
3,5513
,4,5825
6,2174
8,0962
10,0498
11,0376
12,0290
13,0228
14,0183
15,0149
=k
N
))
))
N
N
N
126
0
& 16
Y
1)
Y
1)
17
18
19
20
=t 0,58003
1) 0,801319
Y 0,83106
u 0,84997
Y 0,86576
f 16,0122
11 17,0102
11 18,0086
11 19,0073
1) 20,0063
Von den doppelten Werthen f u r y sind die in der erorderen Columne stehenden die aus dem oben erwahnten
Minuszeichen hervorgegangenen, wahreud die in der zweiten Reihe auch hier uur die andere Halfte des rein algebraischen Inhaltes der Formel erschapfen und, wie man bei
Vergleichung der Zahlen auf den ersten Blick sieht, eine
Curve darstellen, welclie miederum die grafste Aelinlichkeit
mit einer gleichseitigen HyperbeE hat, ohiie eiue solche zu
seyn, und deren genauere Betrachtuog ich, als nicht hierher geharig, ubergehe. (Der Buchstabe i stellt imaginare
Werthe vor.)
Dafs die fragliche Toncurve anch hier eine ihrer Axe
parallele Asymptote (mit der Gleichung y=-C 1) hat, also
die Wellenlauge des sinkenden Tons sich fortwahrend einer
constanten Grofse (und zwar der des oben in 8. 1 bis 5
besprochenen constanten Grundtons) nahert u. s. w., ergiebt
sich aus der Betrachtung ohiger Zahlen, so wie schon aus
dem Anblicke der Gleichung in der mit V oder VI bezeichneten Form.
Will man endlich auch hier den fur die kIare Vorstellung des Tons nicht sehr geeigneten Begriff der Wellenlangen auf deu der Tonhohen in dem gelaufigen, musikalischen Sinne dieses Wortes (die Letzteren etwa nach
fenaperirten halben ?'onen" gemessen) reduciren, so wird
D i e t in ganz ahnlicher Weise zu bewerkstelligen seyn,
wie bereits in dern friiheren Aufsatze (Bd. XCIV, S. 554 ff.)
des Ausfiihrlicheren erbrtert worden.
Als Grmndton zur Vergleichung der Tonhbhen wird man
namlich offenbar auch hier am Bequemsten eben jenes kaum
erwahnte Maximum der Wellenlange (resp. Minimum der
11
127
Schwingungsgeschwindigkeit) wahlen , welchem sich der
Ton bei seinem Verklingen asymptotisch annahert. Und
da nun die Wellenlange y irgeiid eines Tones, der urn
ra temperirte halbe Tiine hoher seyn soll, als ein beliebiger
Grundton von der gegebenen Wellenlange w, bekauntlich
auszudriicken seyn wird durch
12-
y=w:v2",
wobei iudessen w diefs Ma1 nicht, wie bei dem a. a. 0.
besprochenen JJGittertouem = 2, sondern nur = 1 zu setzell
ist: - so hat man hier
und daraus wiederum andrerseits
n=--
-
12 logy
log 2
oder,
da logy hier an sich negativ (weil ja y stets ( 1 )
und demnach das Minuszeiclien rechts vor dem Bruche doch
wieder wegfallen wird, bequemer so :
n=
12 [ 1 - ( l o g y + l ) ]
log 2
oder endlich (wenn man zugleich fur tz, welches ja eben
die nach halben Tiinen gemessenen Ordinaten der neucn,
auschaulicheren Toncurve ausdriickt, wiederum y' einsetzt)
als Berechnungsforinel:
VIII. log y k l o g .12[1- (log y +l)]-log log2.
Die Ausfuhrung der Rechnung fur die z. B. in obiger
Tabelle enthaltenen hier gultigen Werthe von y, resp. von
z, so mie fur eiu Paar weiter hinzugefiigte (bei der oben
gemachten Annahme a= 10, d. h. bei einer Entferung des
Hiirers von etwa 60') Iiefert nunmehr folgende Zahlen fur
die nach halben Tonen ausgedriickte Hiihe y':
I28
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28
30
40
50
15,2185
10,3047
7,7049
6,2014
6,IO.iS
4,3009
3,6865
3,2037
2,8142
2,4624
2,0070
1,6530
1,3688
1,1824
1,0195
0,5623
0,3534
und diese Zahlenwerthe stelleu, in ein rechtwinkliches
Coordinatennetz eingetragen, die gesuchte Toncurve in der
anschaulichereu Gestalt der Fig. 3 Taf. I dar.
Man sieht leicht, dafs diese Curve eine hyperbelartige
Kriimmung hat, und dafs ihre beideu Axen zugleich ihre
hsymptoten bilden.
Da ins Besondere fur die zu Grunde gelegte Beobachtung (in dem weitereu Theile jenes Gabchens vor dem
Eschenheimer Thore zu Frankfurt a. M.) der Grundton,
dessen Wellenlange y hier = 1 gesetzt worden, das kleine g
ist, so fiudet sich fur m = 11 (d. h. etwa .&Sekunde nach
dem Momente des urspriinglichen Schalls) ungefahr das
eingestrichene b, fur x = 12 bereits das eingestrichene f,
fur 13 i s , fur 14 d e s , u. s. w., wie DieL am Rande der
Fig. 3 Taf. I angegeben ist, so dafs man fiir den ganzen
Verlauf des Tons zcngefdihr folgende Melodie erhslt :
3
129
die man sich tibrigens in Jberaus raschem Tempo und zugleich wit raschem Decrescendo vorgetragen denken mub,
und bei welcher selbstverstandlich dns sprungwebe verlaufende Sinken der Tbne die Stelle jenes eigenthumlichen,
durch Noten nicht auszudriickenden allmahlichen Herabgleitens vertritt. (Was das eben erwahnte Tempo betrifft, so
bedarf es zu dessen Beurtheilung nur der Erwlgung, dare
die bier durch die Sechszehntelnote ausgedriickte Zeiteinheit die Dauer einer Schwingung des kleinen 9, also kaurn
mehr als
Sekunde bezeichnet. Man ersieht daraus zuda fur x = 100, y' nurmehr -7 0,08 gefungleich, dafs,
den worden - der Ton bereits am Ende der ersten haC
bea Sehnde seinen asylnptotischen Grundton so ziemlich
erreicht hat.)
Es erhellt aus diesem Beispiele zumal, welchc iiberaus
grofse Aehnlichkeit diese letzte Gattung von Reflexionstanen
mit denen durch Gitter entstandenen hat. Denn man wird auf
den ersten Blick erkennen, d a b die iu obiger Notenzeile
ausgedriickte n) Melodie mit der im Bande XCIV dieser
Annalen auf Seite 557 angegebenen, so ziemlich identiech
ist,
und nur ciel tiefer liegt, wie diefs deon auch bei
dem weit grafseren Abstande der parallelen Wiinde, nls
der Stabe jenes Gitters, natiirlich erscheinen mufs I ) .
-
(1
-
1) Ich kann diese Gelegenheit nicht voriiberlauen, olrna mich cines, wie
ich nun entdecke, in dem mehrfach citirten friiheren Aufsatze an der
hier rerglichenen Stelle begangenen Fehfers LU reihen, der aus cinem
gleich zn Anfange (im §. 3 derselben, S. 367) schon vorgekommcnen
und von mir leider iiberrehenen Irrthume hrrrorgegangen, jetloch gliicklicherweise auf keinen Theil d u wesentlkhen Inhaltes jener Abhandlung
von Eintlnsse gewesen ist. Da nPmlich die den Reflexionston erzcugenden Stbyse oder Echos beziiglich ihrer Wirknng anf das Ohr o h m
Zweifel einer ganren Luftschwingung (a. h. dcm Hin- und Hcrgange
cines Lufttheilchens bei gew6hnlicher Schrllencugung) entsprecben miissen, and solcher ganrcn Schwingnngea (TOU Anderen freilich Doppefrdwingungcn genannt) nach den Angaben der bureren und neueren
Akustiker, mk ich rie auch d e m gegenwsrtigen Aufsatze und ins Beson6. LU Grnnde gelegt, n i c k etwa 1024, sondern
dere der Bercchnung
nur etwa 612 auf das zweigestriehene E kommen (nach Z a m m i n e r ,
a. a. O., r. B. 623,2): so wiirde der dort besprocheneGrundton nicht
PoggendorfPa Annal. l3d. CI.
9
s.
130
Ich bemerke no&, dafs fur den an der beschriebenen
Localitiit wirklich wahrgenommenen Too eine geringe Abweichung von diesem durch Rechnung herausgefundenen
Verlaufe desselben sich einfach daraus erkllrt, dafs bei
letzterer die reflectirenden Wiinde, der Einfachheit wegen,
als wirklich parallel angenommen worden, wiihrend sie
dort, wie aiigegeben, eine merklich divergeote Lage baben.
Es ist leicht ersichtlich, dafs durch diese schwache Divergent die irnaginaren Wellencentra p , q, F
(Fig. 2 Taf. I),
nun niclit mehr in gerader Linie liegend, den am engeren
Ende stehenden Hbrer etwas nkiher riicken werden, WOdurch die Raschheif des Sinkens jener Tbue einigermafsen
genaindert (oder, falls der Hbrende am andern Ende stBnde,
vergrofsert) werden m u t . J a , es mufste auf analytischein
W e g e mbglich ( wenn auch vielleicht etwas umsthdlich )
seyn, eine Gestaltung und Lage der zwei Wiiiide zu ermitteln, fiir welche jenes Sinken ganz aufhiirte und der
eutstandene T o n , auch fur den VOUI Orte der urspriinglicheo SchaIlerregung urn eine gegebene Distant entfernten
HLbrer, eine constante Hbhe annahme;
was mich jedoch
hier ;u weit fiihren wiirde.
...
-
5.
10.
Nachtragliche Bemerkuogen.
Es liegt nun allerdings nach dem Gesagten die Frage
nahe, wie es wohl komme, dafs die so einfache und leichte
Beobachtung, oamentlich des erst beschriebenen, durch die
diesem oweigcstrirhcnm, sondern vielmelir dem dreigcstrichmcn c
(im Violinschliirrel 3bcr .den Linien steheod) rutspreehen, und darnach
ware denn die in jenem Aufsatze Bd. XCIV, S.368 stehcnds Angabe,
so wie auch die S. 587 desselben Bandes gegebene Melodic der Giuart h e zu berichtigcn, so d a t man sich die letztere gcrudc urn cine Octuwc Loher vorzustellen hitte, wras auch zu dem Eindrucke der uiflserordentlichen H&hc, den jene T h e machen, bwser atimmt. Der hier
und dort noch immer schwrokende Begriff der mgunocn Schcrtingungu,
in der Akurtik sowohl, wie in der Lehre van der Pendelbrwagung .etc.,
hat leider rchon manche derartige Verwirrung sngerichtct, die durch den
i a 5hnlicher Weise schwankeoden der Pfeifenliingen (ie nachdcm man
offene, oder gedeckte Pfeifen versteht) nor nocii vermehct wird !
131
eigenen Tritte des Wanderers zwischen parallelen W a n den geweckten , constanten Repexionstones nicht haufiger
gemacht und auch die gewifs nahe liegende Theorie desselben, meines Wissens, nicht versucbt worden. Ich selber
wunderte mich beim ersten Vernehmen jener Tone, dafs
mir Aehnliches nicht friiher aufgefallen, zumal da in unserer ziemlich winklich gebauten Stadt sowohl, als in ihrer
nachsten Umgebung, ail engen Gafschen eben kein Mangel ist.
Der Gruud mag, denke ich mir, hauptslchlich darin
liegen, dafs die engen Gassen einer Stadt zumeist der hier
allerdings nothwendigen auf ziemliche Strecken hin ununterbrochen glatten, oder wenigstens ebenen Wandungen entbehren , die Flachen der begranzenden Hauserreihen vielmehr durch Fenstcr, Thiiren, Treppen und andere Vorspriinge und Vertiefungen viel zu baufig unterbrochen
sind, als dafs durch regelmafsigen Schallreflex ein deutlicher Ton zu Stande kommen kounte; und dafs iiberdiefs
das in den Strafsen einer volkreichen, belebten Stadt fortwahrend herrschende Gerausch der mannichfachsten Art
auch dessen Wahrnehmung, falls er entstande, gar ‘leicht
etwa die Stille der ganz spaten, zum
verhindern wlirde;
Beobachten etwas unbequemen Nachtzeit ausgenommen,
welche freilich, auch bei giinstiger Localbeschaffenheit, an
sich bei weitem die geeignetste seys und ohne Zweifel
die in Rede stehenden Tdne noch weit klarer und frappanter hervortreten lassen wiirde.
( W i e sebr ins Besondere Unterbrecrhungen der Continuitgt, wenn auch nur geringe und nur bei der einen der
parallelen FlHchen, der Entstehung des Tons entgegenwirken, zeigt sein platzliches und spurloses Verschwindeu
an jener Stelle, wo, wie oben erwlbnt, die eine der zwei
W a n d e in einen, obgleich sehr dichten Lattenzann tibergeht. )
Dazu kommt ferner noch, dafs wenn der zu beobachtende Ton nicht scbon an sich, durch die gewdhnliche,
natiirliche Schalberbreitung gar zu sehr geschwlcht erschei-
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nen SOH, der Abstand der retlectirenden W a n & von einauder doch eine ziemlich eng geoogene Grgnze nicht Gberscbreiten darf. So ging ich in den letzten Tagen, in ziemlich rubiger Mittagsstunde, durch ein lhnliches Gafschen,
welches, einerseits durch eine nur gauz wenig gekrtimmte
Gartenmauer, andrerseits durch ein einfacb glattes, in der
Tiefe fensterloses Gartenhaue begriinzt, eine nicht zu verkennende Spur jenes klingenden Nacbballs meiner Tritte
vernehmen liefs;
ich schiitzte die Tonhbhe auf die des
g r o / h F oder G , wahrend die Breite des Weges (von
fast 6 Schritten), nach der oben aufgestellten Theorie in
ziemlicber Uebereinstimmung mit jener TonhOhe, etwa 13’
betrugen mocbte: doch war der Klang bereits bei diescr
Breite tiberaus undeutlich und stumpf, auch namentlich nur
von Huterst kurzer Duuer.
Eine andere Erscheinung aber, fiir welche ich bis jetzt
meines Erinnerns keine Erklarung vernommen, und die,
wie ich glaube, eirtschieden hierher gehart, will ich schliefslich nicht unerwahnt lassen. Ich meine jenen lieblich eigentliiimlichen, hbchst bestimmten musikalischen Ton, durch
welchen ja zuweilen i n der stillen Einbde eiires Waldgebirges der zwischen zerklufteten Felsblbcken hervorsprudelnde, seiner Masse nach ganz unbedeutende Wasserstrahl
eines Quellc,rens das Ohr des aufmerksamen Wanderers
fesselt. Es ist kein Rauschen, kein Lispeln, kein Rieseln,
kein PIPtschern, was er da vernimmt, sondern eher eiii leises Singen und Klingen, tiberhaupt kein consonantenbafter,
sondern ein aoculircher Laut, wenn auch bier und dort mit
einem leicbtcn, gleichsam transparenten Schleier consonantischen Gelispels umhiillt; ein in der Regel sehr hoher, zwar
nicht starker und nur dem iiiiher Tretenden 80 recht vernehmlicher, abcr an sich uberaw klangaoller Ton, dessen
H6he sich nach der Stimmgabel genau wfirde angeben Iassen, und der auch meistens, bis auf gewisse, aufserst geringe Schwankungen auf- und abwiirts (die ibn bald einem
leisell Murmeln, bald einem heimlichen , traulicben Kichern
;ihnlich machen), im Ganzeu an HOhe, wie an Intensitst
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uiid Farbung constant bleibt,
gteichsarn dierer Quelle ale
einem Individuum angehbrig. Ich erinnere mich , diese
Beobachtung an den einsamen , felsigen Waldpfaden oder
Schluchten unseres benachbarten Taunusgebirges und aucli
wohl anderwarts bfter gemacht zu haben, und trage keiii
Bedenken, diesen so charakteristischen Ton, diese lebendige
Stimme der Quellen, flir einen wahren Repexionsfon (dieser
hier besprochenen, sweiten Gattung) zu halten, der, durch
das fortwiihrende Anschlagen des diirftigen, vielleicht iiicht
einmnl continuirlichen Wasserstrahls geweckt , uud durch
dessen wiederholten Reflex an den Wandungen der den
Quell begranzenden Felsenspalte oder der uinherliegenden
Steinblbcke ausgebildet , sich ohne Zweifel bei geeigneter
Einricbtung selbst kunstlich wiirde nachabinen, und desseu
HBhe sich aus der W e i t e einer solchen Spalte,
wie uingekehrt diese aus jener, - in der oben beschriebenen
Weiee mufste berecbnen lassen.
Frankfurt a. M., Ende MIrz 1857.
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V 11. Ueber die Brechungsindices einiger wiisserigen
Salzliisungen; von A. B e e r und P. K r e m e r s .
D e r Brecbungsindex wird bekanntlich nicht lediglich durch
die Natur des Kdrpers, sondern auch durch die Farbe bestimmt. Es steht jedocb fest, dafs, wenn derselbe beim
Ilebergang von einem Kbrper aum andern fur eine bestimmte Farbe wiichst, diefs auch fiir alle andern Farben
der Fall ist. Deshalb kann derselbe, wenn man bei ein
und derselben Farbe bleibt, einzig und allein als von der
Natur des Kbrpers abbangig angesehen werdeu. Es ist
hiernach zu erwarten, dafs sicli innerhalb einer Gruppe
von Karpern, welche in Bezug auf ihre chemischen Verhiiltnisse einander nahe stehen, wie bei andern physikali-
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