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Beobachtungen ber eine neue Entstehungsweise des Tons und Versuch einer Theorie derselben.

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337
11.
Reobachtungen iibrr cine m i t e Erirslehungswrise
urirl Karsucli c i r i o . I'l,c?or.iedrrselheri ;
. vort J. J . O y y e I ,
des T o n s ,
u d . Letiwr d. Yliyrik u. Matliematik am Gymnas. zu Frankfurt a.
M.
E i n Viertelstiindchetr westwarts voii Frankfurt a. M., iiahe
bei den letzten vor dem Utiterinaintjlor gelegeueo Vitleu
uud Giirten, befindet sicli au dcr Stelle, wo die in den
vierziger Jalircn volleiidetc Main Keckar-Eisenbahn auf
eiiier besonderen , aufserdem iiur fur Futgaiiger zuglnglichen, holieii Brucke dcu Flufs iiberschreitet, uiiinittelbar
uiiterhalb dieser Br[icke auf dem rechten oder ntirdlichen
Ufer ein freier, unbebauter Plutt voii eiii paar tausend
Scbritten Laiigc, der in den letzteu Jahren lifters voii Abtheiluogeii der liier garnisoiiirenden Truppen zu militarischen Uebungeii beuutzt wird. Dieser Platz wird nach
Osten durch eiuen, die Verlhgerung der erwaboten Brlicke
bildenden Viaduct, nnch Siideii durch den Flufs, iiach
Westeu durch dic uiiter dem Namen des Grindbruiineiis.
bekaiiute Schwefelquelle und die sie umgebeiide Bauingruppe, und nach Nordeii durcli eiiien voii deui Untermairrthore iierkommeiiden , in westlicher Riclitung dein Flusse
folge~iden,mit Baumen bepflainten W e g begriinzt, ungeflhr
wie diefs die beiliegende Fig. 1 Taf. VI veranschaulicht, in
welcber der fragliclie Platz init d e f g bezeichuet ist, wahreud d g den erwdiiiteii Viaduct, dh die Eisenbahiibrilcke
uiid p q den F l u b vorstellt.
Als icli iiun im Soinmer des Jalires 1848 odcr 1849 in
der Gegend des Ufers d e voruberging, wzhrend gerade
eine kleine Trtlypenabtheiluiig auf dem beschriebenen Platze
iin Feuer csercirte, vcrnahm icli zu ibeiiiein Stauiieu uach
jcdein eiazelireii Schusse, aufser dein dtrrch die Umgebungen
hervorgebrachten rnehrfachcii Echo clcs Kiialls, einen gan5
eigenthiimlichen- schrillenden Ton, der kaum fiber eiiie Sekunde drruerii mochte, aber nicht eiue constaiite Hbhe hatte,
-
358
sondern wahrcnd seines Tonens it1 bestandigem Sinkeii
begrirfcii war und zugleicli, iii Bezug auf seine Starkc,
ein sehr regelrnGfsigcs Decrescendo zeigte. D e r T o n war
nicht jedesmal dersclhc, im Ganzen aber von sehr hedeutender Hiihe bei verlialtuifsiii8rsi,rr geringer Starke. E r
hatte in Folgc des crwfihnten Sinkens etwas eigenthiimlicli
Organisches, so zu sagen Articulirtes, so dafs er weiiiger
deli durcli cin niusikalisclies Instruinent, als den durch die
S t i m n e eines lebeiiden W e s e n s hervorgebrachten T a u e n
glicb: er klang bald mehr wie ein Klagelaut, ein Ton des
Bedauerns oder Schmcrzes, bald mehr wie ein hohnisches,
l a u g gezogeiies # ~ h n a ! ~das
, sicli iiach jedein Schusse von
d e r Gegentl der liriickc her vernchmen liefs. Ich kam
sofort auf den naheliegeiiden Gedanken, d a f s dieser Tou
seine Entstehung irgendwie ciner Re/7esion dcr Schallwellen an den Bogen oder Brustwehren dcr Briicke verdanken inoge, liatte jedoch daiuals nicht Zcit, die Sache weiter zu vcrfolgen, und auch n.icht Gelegenheit, die Beobachtung unter geeigneten IJmst$nden zu wiedcrholen.
Verwandte akustischc Uiitersiichungeii brachten inich
indessen v o r cinigen W o c h e n auf den Gegenstand zuruck,
iind ich construirte inir nun bei gcnnuerer Betrachtung
eine, wie inir scheint, im Ganzen befriedigende und durcli
demnachst z u crwabneiide Versuche hestatigte Theorie dies e r eigenthumlichen Gattung von Tolien, fiir welche ich,
zur Untersclieidung der nuf anderein W e g e entstandenen,
den Nameu Reflesionstone vorschlagen mochte.
D i e erwiihnte Eisenbahnbrficke besteht aus 9 Bogen
von je 60’ (Fraiikfurter Wcrkmaafs) Spannweite; die Pfeiler haben einc Dickc v o n lo’, so daFs der Ahstand d e r auf
d e r Mitte rler Pfeiler stehendcn Gascandelaber ( oder vielmelir ihrer Axeu ) v o n eiuantler 70’ betrsgt. Aukerdem
befindet sicli ain siidiichen Endc der Briicke eiii 30’ breiter
Durchlafs fiir Scbiffe, deren Masten die H a h e der Briicke
iibcrstei~en, welcher Uurchlafs drirch zwci stiirkere Pfeiler
von je b-,
23 Uickc bcgr%iizt ist. Der siidlichste dicser beiden Pfeiler steht aber bercits auf dcm Lande uiid tragt
8,
339
das BrIickenzoll- uud Bahnwarterhauschen. Ein ahnlicher
befiudet sicli auch ain nbrdlichen E n d c der Brucke, wo d e r
schon erw#hnte Viaduct, uiitcr welcliciii der Weg g f in
Forin cines kurzwi Tuniieli hiiidurchfuhrt, auf melireren
schmalereri Kogen ruhend, tlic niirdliche Verliingerung der
Briicke bis iiacli dem niclit n e i t entfernten Bahnhofe hin
ausmacht. Die Brustwelir der Ilriicke hildet, in ihrer gau-,
zeii Lange zwischcu den bescliriebencn dursersten dickeren
Pfeilerii (und zwar auf beideii Seiten) ein doppeltes, aus
seukrechten Eiseiistlben bestehendes Gitter, welches oliue
Zweifel dell fraglichen ' T o e erzeiigt. Die vier Gitter sind
so gestellt, dafs die je zwei iiufsersteii in einem Abstande
ron 6' das fiir F u f s g h g c r bestiinnite T r o t t o i r , die zwei
inittleren nhcr das doppelte Scliieiieiigeleise der Eisenbahn
zwischcn sicli haben. J e d e tler 9 Hauptabtlieilungeii dieser
Gitter (zw isclieti den genaiinten eisernen Laternenpfatilen)
bestelit aus je 12 (die neiintc n u r a m 11) Unterabtheilungen, uiiti jede dieser letztereii BUS je 11 in gleichern
Abstande steliendeii eisernen Stgben, so zwar, dafs je 10
derselhen vou gleicher Uicke, dcr je 11 te abcr ( d i e Uuterabtbeilungen begranzende) etwas dicker ist. Es ergiebt
sich daraus fur den Ahstand je zweier benachbarten Stabe
die Grofse von TL&,
oder voii 6,3636... Zoll hiesigen
Maafses. Die Anaahl der Stabe aber voin n6rdlichcn Endc
des Bruckengelduders bis zu dein ersten dickeren Pfeiler
am Siideiide hctragt iiacti Obigem in jedein Gitter (8.12
+- 11). 11 = 1177; doc11 ist auch dieser dickere Pfeiler
selbst, sowie der Durchlafs, init solchen Pfahlen eiiigefafst,
(lie aber aiif Ersterem niclit inehr init jeiien 1177 iii gerader
Linie stehen.
Die Entstehung dcs beschriebenen Toues ~ i u n erkllire
ich niir folgenderinafsen.
5. 1. Die durch den ScliuCs hervorgebrachte ciufache
Schallwelle breitet sich i n bcliannter Weise UUI den Puiikt
ihres Ursprungs init gleichmakiger Geschwindigkeit kreisfiirmig aus iiid errcicht bei dieser Ausbrcitung iiach eiiiein
gewissen Zeitintervall das erwahnte, aus gleichweit von ein-
360
aiider en t fer 11t en St Ziben best eh en de G i t t e r d es B r ii cli en
gel8nders. Der Puiikt desselben , bei welclrein sic zuerst
anlangt, wird ohue Zweifel derjenige seyn, der ihrein IJrsprunge am Nuchsten liegt, d. Ii. dcrjenige Punkt des Git
ters, wo dieses den sich allmalich erweiternden Wellenkreis
tangirt, oder, was dasselbe i s t , der E'ufspunkt eines V O I I
dem Orte des Schusses nus arif die gcratle Linie des Gitters
gefallten Perpendikels. W i r li8niieii iin vorliegenden Fallc
der Einfachheit wegen annehmen , dafs dieser Punkt der
Anfang (oder das n8rdliche Ende) des Gitters sey, weil
sicli der beschriebene Platz ( d e f g in Fig. 1, Taf. VI) ziemlich genau unter rechtem Winkel von dein hnfange cler
nach SUden gehenden Brucke westwsrts erstrcckt. Es wird
daher, unter dieser Voraussetzung, der erste Stab des Gitters von der entstandenen Schallwelle zuerst getroffen und, ohne Zweifel, diese voii ihm reflectirt wcrden miissen,
in der Weise, dals dicser erste Stab clas Centruin einer
neuen, freilicli vie1 schw~cherenWelle bildet, die sich roil
ihm ails gleichfalls kreisfGrinig verbreitet und von dein in
der Ntihe befindlichen Hi5rer, - ware jener Stab der einaige, - als ein schwoaches Echo des Knalls vernominen
werden wiirdc. Nun aber wird die urspriingliche, durch
den Schuls hervorgebrachte Schallwelle, einen Augenblicli
spiiter, in gleicher Weise atich bei dern aweiten Stabe des
Gitters anlangen uiid aucli an diesem einc Ihnliche Keflesioii
erleiden, also ein ahnliches Echo des Kiialls hervorbringeii,
welches aber das O h r dcs Hiirers in einem so huraen Zeit.
intervalle nach jenem ersteii treffen inufs, dafs es von ihm
nicht unterschieden werden kann uiid ohne Zweifel, wHren blofs diese zwei Stlibe vorliandeii,
nur als eine
msfsige Versturhung des ersten Eclios ersclieinen wurde.
Die unabl8ssig weitcrgchende Verbreituug der urspriinglichen Schallwelle "aber wird , gleicli darauf a i d bci den1
dritten Stabe anlangend, auch diesen wiederum zu eineui
iieuen Wellenceiitruni macheii, aucli a n diesem eiiien Widerhall erwecken, der das Ohr des H8rers abermals einen unendlicli kleiiieii Zeittlieil nach den zweiteii treffeii wird. 111
~
,
-
36 1
ganz gleicher Weisc merdeii darin, der Keihe iiacli, aucli
der viertc, fiinfte, secliste Stab des Gitters und a11miilich
allc iibrigen von der urspriingliclicn Welle des Schusses
getroffen werden, jeder derselhen wird durch Keflexion eine
iieue cinfaclie Welle liefern, und jede dieser Wellen wird
das Olir des Hiirers etuias spiiter t r e h inussell, als die
durch den vorhergegangeneii Stab hervorgerufene;
Letzteres aus dew doppelten Grunde, weil jeder folgende Stab
des Gitters TOO der priinitiveii Welle eiiieri Moment spatcr
getroffeo wird, also die von ihni ausgcgangene Welle
spater ins Daseyn tritt, wid rveil ziigleich aucli diese sp5tere Welle bis zuin Ohre des Hiirers eineii etwas weitereii
W e g zurUckzulegen hat, als die vorhergegangene.
Denn bezeichnet z. B. e in Fig. 2 , Taf. VI den Standpunkt des Schiefsenden, f den des Hiircnden, g den Aufarig
des Gitters gk,
wobei wir, der gernacliteu Voraussetzung
zufolge, den Wiukel e g k als eincn rechteiz betrarhten, uiid h , i, h. drei anfeinander folgende Stebe des Gitters,
so siiid e h , ei, e k die W e g e , w&he die ursprungliche,
von e ausgehende We l le zuriickzulegen hat, bis sic, a n
den Stliben h, i, k anlaugend, die beschriebenen reflectirten
Wellen hervorruft. I)a aber offenbar e k > e i > el& ist,
so wird die von k ausgehende reflectirte Welle spzter cntstehen, als die von i aasgeheade, uiid diese spater, als die
bei h zuriickgeworfeae. Iu gleicher Weise sind k f , i f
iind k f die W e g e , welche diese secundaren Wellen vou
ihrcin Ursprunge an zuriickzulegen haben, um i n das Ohr
des bei f stehendeii HSrers zii gelangeu; uiid da aucli hier
wiederum k f > i f > h f seyn iiiufs, so wird die i n k entstaodene Welle aus doppelteni Gruride iii f spater reriiomrneii werdeii, als die in i entstandene, und diese spater
als die von h ausgegaagene.
h e i dein geringeu Abstande der Stiibc aber rind der
sicli daraus ergebenden noch geringeren Differenz der W e g e
ek, e i , e h einerseits und der W e g e kf, if, hf audererseits,
erglichen init der nornialen Fortpflai~zungsgeschwindigkeit
des Schalles iii der Luft, wird es vollkoininen begreiflich
-
-
362
werdeii, dafs die von deli verschiedciieli Stgbeii ausgegangeiien Starse odcr Wellen voii dein i t i f hefiadliclien O h r e
uicht unterschieden, iiiclit einoeln vernontmeii werden konnen,
souderii vicliiielir i n ihin geiiau denselbeti Eindruck hervorbriiigeii iiiusscii, wie einc contiuuirlichc Keilie rasch aufeiiiniider folgendcr Stofsse, d. 11. wie die coritinuirliclie Welleiircilic eiiics nmsikalisch bestimmbareii Tones; so dafs wir
in cinem solclieib Gitter in der'That eiii Mittel habeii, eiuen
eiofacheo Schall ( odrr Knall) durch Reflexioii iii eiiieii Ton,
iiii eiigcrcii Siiiiie clieses V\-ortes, iiinzuwandeln. Hieriiach
tlurfte denii aiich tlcr rorgeschlageiic R'aine Keflexionst6iie cc
als gereclitfcrtigt erscheineti, iii eoferii er nsmlich Tone bezcicliiieii will, die (als solche) erst d w c h Refleziota (eiiies
cinfachcn Schalles ) entstanden sind.
Uie Eiriweiidiiiig, die inaii inir iiiiigliclierweisc iuacheii
kiiiiiitc, dals n;imlicli unser Olir, nach bekniliiteii akustisclieri
Griindsatzen, i i u r solche Keilieii eiofncher StUfse nls wirkliche, dcutliche l'iine ernpfinde, die sich in - wenii auch
iioch so kleiiieii - &er gleichen Zeitintervalleu folgen,
wiihreod hier sclioii nach dew Aiiblickc der Figur diese
Zcitinter;alle offeubar nicht gleich scyii kbtiiien: - diese
Einwenduiig beseitiwt sich einfach tladurch, dafs iin vvr.
?
liefienden Falle weuigstens j e zwei benachbwte Zeitintervalle nahetu gleich siiid iiiid deinnach iecht wohl deli Eindrudk cines Toiles von gewisser tliihe liervorrufen hiinnen,
weil ja die Uiigleichlieit eine regelm%fsige, nacb stctigein
Gesetzc verlaufeiitle, - dafs aber auch andererseits sclion
nach der obcii geschildertea ersteii Beobachtuiig d e r vernvininene Tori allerdings keio constanter, von bestiminter
inusikalischer Hiihe, sonderii wahrend seines Tiinens in fortwYhreiideiii Sinken bcgriffeii ist.
Gerade diese allmuhlig auftreteiide Uiigleichheit der
Schwiiiguiigeii , die allerwarts (an jeder eiozclncii Steile
des Toiles) a n Gleichheit streift, ist es oline Zweifel, die
demselbeii das beschriebene, hschst eigenthiiinliclie Geprsge
des Artikulirten oder Orgauischen verleilit, und die e r in
der T h a t init den durch inenschliclie oder tbierische Stimm-
363
organe erzeugteu Tiioen, z. B. niit den artikulirtcn T6nen
der Spmche, gemein lint, - welch letztere ja durch ganz
iihnliche Modulationen ( die sich ebcn wegen jener Biegsamkeit des Tones nie i n S o t e n setzen lassen) nicht blofs
Regungen des Gefuhls (Bedauern, Mitleid, Spott etc.), sondern auch rein logische Verhiiltnisse ( Frage, Affirmatioii
und Negation etc.) auszudriicken pflegt.
Beriicksichtigt man hierbei die angegebenen Din~ensionen,
iiainentlicli den geringen Abstand der Gitterstabe von einander und die grolse Geschwindigkeit d e r Schallverbreitung,
SO erklart sicli zugleich aufs Befriedigendste die auffallende
Hohe des vernou~nienenTones, die auch dcr iinifangreichsten Sopranstiinme kauni errcichbar seyn wurde und dadorcli uin so seltsaioer gegen den sie bervorrufenden Knall
des SchieCsgewehrs contrastirt.
$. 2. So befriedigend inir nu11 auch die angedeutete
Theorie erschien, so begnugte icli inich doch nicht init dieser allgeineinen Aufstellung derselben, soiidern unternahm
cs sofort, sic sowohl theoretisch, als ouch? w o mdglich,
experimentell noch etwas ins Einzelne zu verfolgen, [im
dadurch ihre Zulassigkeit zu priifen.
D a t zuvorderst, falls die aagegebene Vorstellung
0
von
d e r Entstehungsweise jenes Tones die richtige ist, d e r
letztere furtwuhrend im Sinken begriffen seyn miisse, ergiebt
sich leicht hei etwas gcnauerer Betracbtung der Fig. 2,
Taf. VI. Setzt inan den Abstand eg des Schiefsenden von
der Brucke =a, und den Abstand f g des Hurenden = b ;
nimmt inail ferner der Einfachheit wegen ( w i e ich in der
Folge immer thun will) als Maarseinheit, l l 3 C h wclcher diese
beiden Distanzen ausgedruckt sind, den Abstand h i oder
i k je zweier benachbarten Stabe sclbst an, und zahlt man
die Stlibe des Gitters (wie i n der Folgc gleiclifalls iininer
gcschehen soll) in der W e i s e , d a k man den am Anfange
der Reihe, bei 9, stehentlen den Oten, den folgenden den
1 ten 11. s. w. nennt, so dafs inan die Entfernung des ~ ~ n t e i i m
Stabes v o n g selbst = n setzen kanu: so ist, wenii z. B. i
diesen nten, und folglich h den (n- l ) t e n , k den ( n + l ) -
364
ten Stab vorstellt, die Eiitfernung e i = V
m
,
ek=
_ _ _ ~ _ ~ ~ _ ~~
\ ' a ' 2 + ( n + l ) 2 , e h = ~ a 2 + ( n - l ) ' , und ebenso
f i = v 6'' + n 2 , f k = v b ' + ( n + l ) ' ,
f h = v b2+(n-1)2.
Der W e g also, den der voin Stabe k aus reflectirte
Schall voin Aiigenblicke des Schusses an bis zu seinem
Horbarwerden in f zuruckzulegen hat, ist ek k f =
___.
.&(h-g)z
b?
( n I )' ; ebenso der W e g
1/ 6'
n',
des hei i reflectirten: e i + i f =
und endlicli der Weg des bei h reflectirten: e h + h f =
r/=(n--I).L
+ r/ 6' + ( n I )'. Das Zeitintemall,
um welches der in k reflectirte Schall sputer als der in i
reflectirte zu deiu Ohre gelangt, wird deinnach bestimmt
durch die Differenz der beiden ersten Wege, narnlich durch
die Differenz :
[ 1/ a ; 4-( h
1,;
1.j-2 ]
+
l'a?
+ +
+
v
m+
+
-
+
vp-+q;-+
__
-[
+ v + It 1,
+
-. .
r
n
i
b2
2
die sich aucli so sclireiben 1ZTst:
[Val.+ ( n +.1)p
-v / a 2 t i 2 ]
..___
+[1/b2+(n+1)2-v62+n2].
(a).
Bas Zeitintervall dagegen, uin welches der in i reflectirte
Theil der Welle spiiter als der in h reflectirte vernommeii
wird, bestiinmt sich durch die Differenz:
...
+ v6-
[ va'+Gi
]
.-
.
- - - -- . .
-[?'i,<
i y +)/b 2 + ( a die sich auch so schreiben laht:
[
V'a'
(n
I)' ]
p%?
__
...
+ -
+[Vb2+tn2-V62+(n-1)2].
i)'],
. . . (p).
Ua nun die voin Schalle zuruckgelegten W e g e den
dam verwendetea Zeiteii proportional siiid, so wiirde der
fragliche Tou iiur daiin ein Ton von coiistariter Iliihe seyii
kiiniien, wenn die beiden gcnannteii Wegdilferenzen ( a
und p ) einander gleich waren. Diescs sirid sie aber offenbar nicht. Vielinehr ist ohne Zweifel die erstere (cc) gro[ser als die zweitc (p), was sich leicht ergiebt, wenn man
365
die beiden Glieder, aus welchen diese Differenzen bestcticn,
einaeln betrachtet und vergleicht.
Schreibt man ndmlich, der Kurze wegen,
___.
__
V u statt V a ~ + - ( n + l > ~
V o statt V a2 + n l
- . .. . .._
..
V w statt V a* + ( n - 1 > 2
und ebeiiso:
V u’ statt V ___
b2
( n + 1) 2
_.
1/ o‘ statt 1/ b 2 n?
.___I/w’ atatt $ bz ( n - 1 ) ‘ a ,
so mufs (1/ u 1/ b) +(l/u’ - 1/ o’) >(1/ 0 -Vw) ( V b ’- 1’w’)
seyn, weil ndmlich die beidera Glieder des ersteir Ausdrucke,
(1/ u - r/ 0) und (1/ u‘ - r/ d), ciuzelii betrachtet , griifser
sind, als die entsprechenden Glieder des zweiten, (Vw --1/w)
und ( v o ’
vw‘);d. h. meil
+
+
+
-
-
+
( V 91 - V a ) > ( V 0 - V w ) ,
uiid ebenso
1/0’)> ()’b’-
(]/Id’-
1/20’),
zwei Ungleicbungeo, deren Kichtigkeit leicht nachzuweisen
ist I).
1) Sol1 namliclr
vu-vv>vv
odcr
vu+vw
s e p , so brauclit niir (quadrirt)
-vw
>2 v v
+ w +2 1’ iiw > 4 0
~
ic
eu seyn, oder, wenn man tiir die rationalen Glieder dire urspriiogliclien
Wertlie wieder einsetet:
2 ( aa+na+
oder
(12
+
n2+
I
+V G ) > 4 ( d + n ’ ) ,
1+ I’ G>2 (a? c
nl),
odcr
)’ f d fC > (aZ+
n2)
- 1;
folglicli
u w > [ ( a z + n 2 ) - I]’,
oder
[a”
(n+
J [Ia2 ( n + l )2 J > ( a2+n2)l - 2(a2+n2)
I,
oder, wenn man die Klammern heseitigt und die beiderseits iibereinstimmenden Glieder streiclrt :
+
.
+
+
2aa > - 2 2 ;
woraus sich erg;&, dafs aurli
den gr6lswen Wcrth hatie.
7.11
Anlhnge der. links strheodc Atrsdriirk
3 66
Nelimen wir beispielsweise g h = 20, also g i = 21,
g k = 28, und den Abstand g e (in derselben Einheit gemessen) = 50 an, so ist in der That
____
( y3ijqz!F -V j g a t 2 1 ' ) >( 501 +2 12 - v
oder (1/2984 -1/2941)>(1/2941
--2900);
namlich:
1/2984 = 54,62600
V2941 = 54,23098
also die erste Differenz = 0,39602;
und ferner:
1/ 291 I = 54,23098
1/ 2900 = 53,83 165
also die zweite Differenz = 0,:37933.
iind deinnach die erste Differenz die grofsere, oder e k- e i
> e i - e h ; - ganz dasselbe wurde sich auch fur die h b staiide von f ergeben, n~inlicfi f k
f i > f i - f h . Die
Wegdifferenzca des Schalles (sowohl im Hinwege voii e
iincli den1 Gitter, als iin Riickwege von da nacli f ) siud
also beim 21 steii uiid 22sten Stabe des Gitters grofser, als
beiin 20sten und 21 sten.
Uebrigeiis ist es auch ein auf eleineirtar - geoinetrischeni
W e s e leicht zu erweisender Satz, dais zwei Seiten eines
Dreiecks zusammen stets grofser sind, als das Doppelte der
nach der nlitte der dritten Seite geaogenen Transversalen,
((Ids z. B. i n Fig. 3 Taf. VI a b t b c ) 2 b d ; - denn denkt
mati sich z. R. b d urn seine eigene L h g e nach e verlangert,
so wird a b c e eiu Parallelogramin, uiid e c t b c , welches
= a b + b c , > b e , oder > 2 b d ) . Wenden wir diesen
einfachen Satz auf das Dreieck k e h i n voriger Figur an,
w+m,
v
-
so liabeii w i r
ek+ eh> e i t e i ,
otler
ek+ e i >ei - eh,
d. h. die Differenz der Wege von e nach irgend zwei benachbarten Staben des Gitters wird bei jedein folgenden Paarr!
grofser, als beim vorhergegangeoeli. Mu11 sind diefs freil i d zunaclist n u r die W e g e , die der Scliall von seiner
Entstehulig in e bis zu seiner Reflexion an den Staben des
367
Gitters zuruckzalegen hat. Uasselbe Gesetz gilt aber, hegreiflicher W e i s e , auch f u r die Ruckwege des Schalls h f ,
i f , h f : auch bei diesen werden also die Differeiizen j c
zweier aufeinander folgeuden stets griirser wid griifser mit
der wachsenden Entleruung d e r Stahe roni A l l h g c g des
Gitters. D a es nun aber iiiir die Suiiiinen dieser zusaininengehbrigen Wegdifferenzen sind, welche das Zeitintervall
zwischcn zwei benachbarten Schallreflexen bestilnlnen, so
ist auch damit e m i e s m , d a t der i n f Iibrbar wcrdende
Ton wshrend seiner ganzen Dauer ununterbrochen tiefer
und tiefer werden mufs, - wic diefs denii auch (lie ge
schilderte Beobachtuiig bestiitigt hatte.
5. 3. Hieran kniipft sich nun soglcich iioch cine weitere
Folgerung in Bezug auf die Hiihe des fraglichcii Toiles iin
Allgemeinen. Da iiknlich fiir eiiie aoch so grorse E n t fernung g k des Stabes k voin Aiifange des Gitters die
Differenz ek - e i (nach einer bekannteii Eigcnschaft des
Dreiecks) stets kleiner ist, als dic dritte Seite i k , d. 11. in
iinserem Falle ( d e r geinachten Voraussetzring geinafs) < 1,
uiid gaiiz dasselbe auch voii der Differenz des Ruckweges
( f k f i ) gilt, so wird die Summe beider I)iffcrenzen stets
<2 bleibcn miissen : sic wird, trotz ihres uuunterbrochenen
Zunehmeiis, die Zahl 2 nie erreichen kiinnen, d. I;. d e r in f
ve rnomineiie Ton wi rd, t rotz sei lies forttv I
h reii de ii Sink ens,
nie unter eine gewisse Griinte Iiinabsinken kiinneii. Und
diese G r l o z e ist nacb deiii Gesagtcn leiclit zu bcstiinincn.
Da n h ~ l i c hdas Zeitintervall zweier benaclibarteo, iin l’uiilitef
zuin O h r e driiigendcn Stiifsse oder Schallwellen nichts Andcrcs ist, als diejenige Zeitdaiier, welche der Scliall bei seiner
Fortpflanzung i i i der Luft bedarf, tiin dic beschriebene
Wegdifferenz [ii;imlich ( e k + k f ) - ( e i + i f ) , oder, was
dasselbe ist, ( e k - e i ) -+ ( k f - i f ) ] znriickzuleg-en, und
da diese Wcgdifferenz, wie so ebeii gezeigt worden, stets
kleiner ist, als der doppelte Abstand je zweier beiiaclibarteu
Stabe: so ergieht sich von selbst, dals das Zeitiiitervall zwischen zwei benachbarten Stofsen, oder die Schwingungsdauer des in f vernoinmenen Tones stets hdeiner i s t , als
-
368
.
die Zeit, welche der Schall gebraucheii wzirde, urn diesen
doppelten Abslnnd aweier Stcibe zririickaulegen; - oder, was
xiederum auf dasselbe hiiiansliiuft: die Wellenlange des
Reflexionstones bleibt stets Izleiner als der doppelte Abstand
aweier Stiibe.
W e n d e l l wir diefs iieue Gesetz auf uiisereii vorliegenden Fall an, so betragt, wie oben erwahnl, bei der Frankfurter Eisenbahnbriicke der bbstand der Stabe des Gittcrs
n u r 6,3636., Zoll, demnach der doppelte Abstaud 12,7272..
Zoll, und Letzteres wsre also zugleich das fragliche Maximu?n dcr Wellenlange des in f veriioiiiinenen Tons. Nimmt
inaii diese LHnge beikiufig = I Pariser Fufs an, ( w a s uiigefalir stiininen wird , da iiiiser hiesiges Werkinaafs etwns
kleiner ist, als das Pariser), so ware dicfs cin Ton voii
102-5 Scliwingnngcn i n der Sekuiide, also ungcf;ihr das
aweigestrichene C, welches iin Violiiischlussel durcli die iin
dritten Zwischenrauine stchcnde Note bezeichnet wird. Da
dieis aber nur die untere Griinae ist, die der fragliclie Ton
nie erreichen uiid der er uberliaupt iiur a n seiiicin Ende
wid iiur bei sehr grorser hnzahl der S t a b e nahe kommen
kann: so erklart sich daraus aufs Befriedigeiidstc die bei
der urspriinglichen Beobachtung wahrgenoinmene aurserordentliclie Hohe dieser Reflexionstone, so daCs diefs Factiiin
selbst bercits d e r aufgestellten Theorie in gewissem Grade
zur Bestatigiing dieiien kann.
Es l a k t sich dasselbe deinnach (fur deli rorlicgendeu
F a l l ) kurz so aIissprecheii: Der vernominene Ton in&
auch init scinein tiefsten Ende stets iiiiicrhalb ( o d e r oberhalb ) der azaeigestrichenen Octave bleiben ; - ein Umstaiid,
d e r , w o iniiglich, durcli wiederholte Beobachtungen zo
verificireii war. ( Natiirlich kiiniitc inan, bei Auwetiduug
cines minder dichten Gitters , auch beliebige tiefere Tijiie
auf gleiclie W e i s e hervorbringeii ).
3. 4. W a s feriier die Dauer des hcsproclirilen Toiles
betrifft, so Iafst sich diese iiach d e r aufgestellten Theorie
11uii glcichfalls cinigermafsen beurtheileo.
Da iiainlich die
Dauer einer Schwingtcng stets kleiiicr ist, nls das Zeitintervall,
.
.
369
vall, welches der Schall gebraucht, um den doppelteii hbstand zweier benachbarteii Stabe zuriickzulegen, - welches
Zeitinterrall z. B. t Sekunden betragen miige;
und da
ferner die Anzahl der Schwingungen der der Gitterstabe
entspricht, die wir n nennen wollen: so ergiebt sich fiir
die Dauer des Tones selbst eine Griifse, welche jsdenfaZZs
( n t ist. In unserem Falle nun, wo, wie oben gesagt,
die Schwingungsdauer t hochstens
Sekunde, und die
Zahl n der Gitterstabe etma 1200 betrug, ergiebt sich
hieraus eine Dauer des Tones von weniger als ;
;;;oder
ctwa 1,2 Sekunden. Es stixnmt auch diefs hinllnglich geiiau
mit der oben mitgetheilten urspriinglichen Beobachtung
iiberein.
9. 5. Endlich erklart sich auch noch eine nndere Eigenscliaft des wahrgenomoienen Tones jetzt sehr einfach: Das
oberi beschriebeiie rasche Abnelimen seiner Sturke, jeiies
deutliche Decrescendo, welches ohne Zweifel auch eiiieu
Beitrag zu dein geschilderteri eigenthiimlicheu Geprage des
Articulirten liefert, das den Ton charakterisirt.
Die Starke oder Intensitat eines Toues namlich haogt
ja, bei sonst ganz gleicher Entstehungsweise, iiur von dein
Grade dcr Ausbreitung ab, deli die erzeugende W e l l e his
zuni Ohre des Hiirers erreiclit hat, d. h. sie ist proportional
dem Quadrate des Abstaiidcs dieses Ohres vom Wellencentrum. Da uun aber im vorliegendcn Falle einerseits
die rcflectirenden Gitterstabe selbst nur VOII einem sehr
kleinen, uiid die entfernteren von eineiu stets kleineren Theile
der primitiven, einfachen Welle getroffen werden, uiid da
sic zugleich andererseits die vom Punkte f ungleich entferirten, uiid fiir jeden folgenden Stofs stets entfernteren
Wellencentra bildeii, von deuen diese reflectirtcn, scliou an
sic11 80 schr geschw8chten Wellen ausgehen: so wird hieraus
gleichzeitig sowohl die an sich so unbedeutende Sturke des
Tolles iiberhaupt, ale auch das stete, verhiiltnifsmafsig rasche
Abnehmen dieser Starke vollko~nmcnbegreiflich und sonach
auch i o diesem Piiikte die versuchte Tbeorie den Beobachtungen entsprechend erscheinen.
PoggcndorPs A n d . Bd. XCIV.
24
-
370
Das inatheinatische Gesctz dieser Abnahme wiirdc vielleicht uicht schwer zu entwickeln, aher freilich, beiin Mangel eines geeigiieten Schallstiirkemessers (nanicntlich fiir
die kurze Dauer eiiier Sekunde), wohl schwerlich durch
den Vcrsncli nachzuweisen seyn.
8. 6. Es war nun ferner bereits zu Aafaag, bei der
Schilderung des fraglicheii Ph#noniens, die freilich nur ganz
allgemein gehaltene Beobachtung crwahiit worden, dafs der
vernoinmene Toil nicht immer derselbe, d. h. dafs er bei
verschiedenen Schiissen nicht von gleicher Hiihe gewesen,
und es lafst sicli diefs, menu aiidcrs die versuchte Erklarung ilire Richtigkeit hat, auch ziiin Voraus nicht andcrs
erwarten. Es mufs n8mlich dann offcnbar die Stellung des
Horendeu sowohl wie des Schiefsendeo, gegen das reflectirende Gitter, und nanientlich die Entfernung Heider voii
deinselben, verglichen init deni Abstande der Stsbe, auf die
Hshe des entstehenden Tones voii Eiuflufs seyn, Da
fiberdiet dcr urspruiigliche, den Ton veranlassende Knall
(des Schusses), als ein einfucher, aicht ails einer regelinafsig
verlaufenden Wellenfolge 7.usaiiimeiigesetzter Schall, eigentlicli gar keine Tonhohe bat: so wird die Ursaclie der walirgenommeiieil Verschiedenheid dcr T h e sogar i n dein genannten Uinstandc alleitb zu suchen seyn.
Untersuchen wir daher zunlchst eininal die einfachsten
der hierbei inoglichen Falle etwas n”h
a er.
Vergleicht man z. B. zunachst den Fall, wo der H6rende
und der Schicfsende beide in gleicher Entfernung a voni
Anfauge der Briicke stehen, init demjrnigen, xvo zwar der
Schuf. in dcr Entfernung a erfolgt, der Horer aber am
Anfunge der Briicke selbst, iiii Dunkte g (Fig. 4, Taf. V I )
sich befindet: so ist die Linie e g (wenn wir den Schiefsendeli in e annehinen) = a, rind h g (wenn h den zuii4cllst
unter
auf g folgenden Stab des Gitters vorstellt) = 1 ;
der scbon oheii gernachteii Voraussetzung namlich, d a k wir
uns die Entfernung e g durch den Abstaiid der Stabe als
Langeueinlieit gemessen denken. F u r den in e , bei dein
Schiitzen, stebenden Harer wird sonach tIer erste vernoin-
-
-
371
mene Stofs den W e g e g t g e , der zweite den W e g e h + h e
zurlickzulcgen liabeii, und es wird also die Wegdifferena
der beiden ersten Stsfse = 2 e h - 2 e g = 2 ( e h - e g ) =
2 ( V n 2 i
a ) seyn, und diese Wegdifferenz bestimmt
die anfangliche Wellenllnge (und solnit auch die anfaagliclie HBhe ) des vernommenen Tones. Steht dagegen der
Hiirer in g , mahrend der Schiefsende iu e bleibt, so hat
der erstc von Jenem vernommene Stofs blofs den W e g eg,
der zweite den W e g e h + h g zu macheu, und die entsyrechende Wegdifferenz ist also = ( e h + h g ) - e g =
_____
Va2+l+l-a,
oder = ( Y a * + I - - ) + I .
Vergleichen wir beide Wegdifferenzen mi& einander, so ist
bekanntlich im Allgeineinen (d. h. init Ausiialiine des bier
nicht eullssigen Wcrthes a = 0 ) 'I a'2 1 < a + 1, dem-_nach auch I' a' + 1 -a < I , und folglich
2(V-i
a ) <( V
+ 1 - (I) + 1 ,
(welches j a die beiden gefundenen Wegdifferenzen wareii),
d. 11.: Es ist fur den Aufang des Tones dessen WeZZmlunge
kleiner, wenn der Hiirende iii e beim Schiefsenden, als wenn
er in g beiin Anfauge des Gitters steht: der Ton wird irn
ersten Fnlle hoher beginnen milssen, al.9 im letateren,
was
zwar bei der beschriebenen ersten Wahrnebmung des Phaiioinens nicbt beachtet, aber bei den uuteii zu besprechenden spsteren verificirt ward.
Dassclbe Resriltat liefert iibrigens auch scbon die einfache Betraclitring der Fig. 4 , Taf. VI. Denn da, wie in
jedcin Dreiecke, e h e g <g h , d. h. in unserem Falle < 1
ist, so wird auch 2 ( e h - e g ) < ( e h - e g ) + l ,
d. b.
<( e h + h g ) e g seyn inussen: die Wegdiffercnz der
beiden ersten S t a k e wird also i m ersten Falle, wo der
HBrer beiin Schiefsenden in e steht, die kleinere, und somit
die Toilhahe die grofsere seyn.
tj. 7. Denkeii wir uus nun ferner, dafs der Harer, wahrelid der Schiefsende bestandig von e aus abfeuert, allmahhlich von e bis g spaziere, so wird sich schon zum Voraus
erwarteii lassen, dafs der zu Anfange von ihm vernommene
24 *
-
+
-
-
-
-
372
hb’here Ton nicht irgendwo auf seinein W e g e ploldich in
den zuletzt veriiommenen tieferen tibergehen, sondern dafs
dieser Uebergang ein stetiger, ein allmlhlicher seyn werde,
und diefs bestatigt auch die genauere Betrachtung der
Sache. Denn ware z. B. der von e nach g wandernde
Htirer in irgend einem zwischenliegenden Punkte f (Fig. 5,
Taf. V I ) seines Weges angelangt, so betragt fur ihn nunmehr die fragliche Wegdiffereiiz der beiden ersten Stiifse
(ehthf)
( e g t g f ) , oder, wie inan aach schreiben
kann, ( e h - e g ) + ( h f - g f ) ,
d. 11. wenn man die Entfernung g f = b setzt:
(1/ a 2 4-1 a ) ( V b2 + 1 b ) . __Nun wird aber bekanntermafsen die Differenz 1/ a? + 1-(I
desto unbedeutender,
grofser a ist ’), Es wird also hier,
wo b < a ist, ohne Zweifel ( V b z 1 b ) > ( V a2 + I a )
seyn, jeder von beiden Ausdriicken aber (wic schon in tj. 6
erwahnt worden) e I . Wir haben also, wenii der Scllufs
in e stattfindet, fur die anfangliche Wellenlange des entsteheuden Reflexionstones, wie dies’er
1) i n e g e h b r t wird . . . ( T / a ~ + 1 - ~ ) + ( ~ u ’ ~ + l - u ) ,
2) in f
”
. . ( V a * + l - u ) + ( I j b-~__+ l - b ) ,
3 ) in g
”
. . .( V r n - a ) + l
Da aber die je ersten Glieder dieser drei Ausdriicke glcich
sind, und die je zweiten i n der gegebenen Reihenfolge
grorser werden : so ergiebt sich hieraus init Nothwendigkeit,
dafs fiir den von g nach e wandernden II6rer der Anfang
des vernommenen Tones desto tiefer ausfallen iniisse, jc
weiter Jener sich von e entfernt und dem Punkte 9 gentihert haben wird.
Wir haben also hiernach das neue Gesetz: Die (anfiingliche ) Hohe des Reflezionstones ninarnt, bei gleicher Eetfernung des Schusses von dem Gitter, wit der wachsenden
Entfenung des Hb’rers von demselben au; was gleichfalls
durch die spater zu erwahnendeu Versuche bestatigt ward.
-
-
- +
-
+-
-
.
-
+ -
+ -
1 ) So betrjgt E . B. 1/ 4
1 2 noch 0,236; 1/ 9
1 3 our 0,162;
25
1 5 nur 0,099; und )‘ 900
1 30 nur noch 0,016 U. s. W.
v + -
-+ -
373
W e r die rein geoinetrische Betraclitung vorzieht, kann
iibrigens auch hier dadselbe Ergebnifs bei einem Riickblicke
auf unsere vorige Figur ( 5 ) aus dieser ableiten. Denn da
eiiierseits h f < h g + g f ,
oder h f - g f < h g ,
so ist auch
(eh-eg)+ (hf-gf)<(eh-eg)+
hg, oder, wie man
dafiir ebeiiso gut schreiben kann: ( e h
hf)
( e g +g f )
<( e h h g ) - e g . Erslereu aber, namlich ( e h + h f )
( e g t g f ) , ist die anfsngliche Wellenlange des in f vernommenen, - uud Letziteres, nainlich ( e h + h g ) - e g , ist
die des iu g hbrbar werdeuden Tones: die Wellenlange des
letzteren isl also die grofsere, d. h. der Ton selbst der
tiefere.
Ebenso iEt andererseits e h ( h f + e f , oder e h - e f q h f ,
uud folglich auch e h - e f - g f < h f - g f , oder e h - e g
(hf-gf,
und demnach auch 2 ( e h - e g ) < ( e h - e g )
+( h f - g f ) , oder, wie man ebenso gut scbreiben kann:
2(eh- eg)< ( e h + h f ) - ( e y t g f ) .
Ersteres aber,
iiamlich 2( e h - e g ) , ist offenbar die anfangliche Welleulange des in e vernoinmenen, - uud Letateres, namlich
( e h +h f ) - ( e g
e f ) , die Wellenlange des in f hbrbar
werdenden Tones: die des lelzteren ist somit die grofsere,
d. h. der Ton selbst der tiefere.
Auf ahnliche Weise liifst sich leicht fiir jeden awischen
e und f liegenden Punkt zeigeii, dafs der daselbst vernehmbare Ton tiefer als der in e, abcr hoher. als der in f gehbrtc s e j n miisse, dafs iibethaupt die Tonbbhe, fur den
von e nach g wandernden Hdrer, aach einem stetigen Gesetze abninamt.
8. 8. Wir haben uns bei ErBrterung der Frage, welchen Einflufs die Stellung des HOrenden, d. h. seine Entfernung voin Gitter, auf die Hbhe des in sein Ohr dringenden Reflexionstones iibe, bisher auf die Betracbtung des
Anfangs dieses Tones beschrankt. Da aber, wie oben Bezeigt, die Hbhe desselben wahrend seines Tiinens wechselt,
so wird es sich nun zunachst fragcn, ob ein ahnliches
Gesetz auch fiir die im Verlaufe des Toues hervortretendeii
Wellenl5ngen, z. B. fiir das Ende desselben gilt.
+
+
+
-
-
374
Vefgleichen wir auch hier zunacbst, fur eine unveranderliche Entfernung ( e g z a ) des Schiersenden vou der Brucke,
die beideii Falle miteinander, wo der Hiirer gleichfalls i n e,
und wo er in g (beim Anfauge des Gitters) steht.
Nehinen wir an, der Stab i des Gitters (in Fig. 6,Taf. VI)
sey der n te (nach der oben vorausgesetzten Zghlungsweise),
uiid k der ( n + 1 ) te, so wird, fiir den ersten der geuannten Falle, die Wegdifferenz der beiden letzteu von den
Staben i und h. herruhrenden Stiifse = 2 e k - 2 e i oder
2(ek-ei)=2[vm.&TP-vui.--,]
seyn.
Fur den zweiten Fall dagegen, wo zwar der Schiefsende
uoch iu e, der HBrer aber iu g steht, wird fur dessen Ohr
die Wegdifferenz der beiden letzten Stiifsc = ( e k + k g )
-( e i+i g ) =( e k +k i +ig ) -(e i i g ) =(ek+ k i)- e i
seyn, das ist = [
m+
+.
1J l
->
1/ az +i
n 2 oder
[ V a' + ( a+ 1,2 1/ a' + n*]+ 1. Vergleicht man diese
beiden Wellenl~ugenmiteinander, namlich 2 -[.~az+(n+ 1)'
und [va'+(n+l)'
v . . G * - ~ r 6 ~ ] + 1 , SO
crgiebt sich leicht, d a t letztere'die grofsere, d. h. dafs der
Ton in g der tiefere ist, weil nainlich offenbar die Zahl 1
griifser ist , als 1/ a2 ( n t1)
, und folglich
auch noch, wenn man beide Griifsen uin die letztgenannte
aermehrt, die erste Sunime grdfser bleibeii wird, als die
letzte ').
+
-
-
- v m ]
- l'aT-+-$
+
1 ) Dafs wirkliclr 1 > aa
+( n +1>.- v 7 G
ist, beweist sicli
Ieiclrt. * Damit n h l i c h diese Uogleiclrheit stattfinde, m u b , weno man
der Kiirze wegen statt den letzteren Ausdrucks wieder IC
1/v sclireibt,
uad beiderseits quadrirt
, 1> I( +u - 2 l / u i
seyn
v , oder
zVtla>(U+W)-l,
oder
412) > ( u + v ) *
oder
+
>
-
-2(u+v)+
1,
+
2 (I'
.) ( u v y
1.
Diese lelztere Ungleiehheit findet aber in der 'Tllat statt.
zc = a2+ ( n
1)'= a a + n 2
2n+ 1
und
+
v
also
u
= a'
+n2,
+u = 2 ax -t2 2 +278 + 1
+
Denri da
375
Uebrigens ergiebt sich dieselbe Ungleicbheit auch ohne
Rechnung schon aus der Bctrachtung der Figur. Denn
da e k < k i + e i ,
oder e k - e i e k i , oder e k - e i e k g - i g
ist, so wird auch 2 ( e k - e e i ) < ( e k - e i ) + ( k g - i g ) ,
oder, wie inan auch schreibea kann, f l ( e k - e i ) < ( e k + k g )
( e i t i g ) seyn. Ersteres ist aber die V\7elleiilauge des
in e,
Letztcres die des in g liarbar werdeuden Tones.
Die letztere wird also die grb[sere, d. 11. der am Anfauge
des Gitters selbst (in g ) vernotnt~~ene
Ton wird auch bier
der tiefere seyn.
Es ergiebt sich sonach das Gesetz, dafs auf das Ende
des Toms (falls inan deii Stab k als den letzten des Gitters betrachtet), wow g aus gehort, tiefer b y e n w i r d , als
von e aus.
5. 9. Gehen wir jetzt (auch fur das Ende des Tones,
wie in 9. 7 fur dessen hnfang) zur Vergleichung des
nittleren Falles iiber, w o der Hiirer sicli weder in e beim
Schiefsenden, iioch in g beim Aufange des Gitters, soudern
in eiuem dazwischeii liegendeu Punkte f befindet (Fig. 7,
Taf. Vl), so wird sich auch hier die nahe liegcnde Erwartung rechtfertigeo, dafs der vernomlncne Ton seiner Hohe
iiacli gleichfalls owischen deli i n e und g gehilrten liegeii
werde.
Setzen wir namlich arich hier, wie abeu, die Entfcriiungcn eg = a urid f g = b, so ist dcr W e g des vorletzten
oder n ten Stokes bis zuin Ohre = e i + i f , u ~ i dder des
letzten oder ( n + 1 )ten = e k + k f , demnach die Differenz Beider = ( e k k f ) - ( e i + i f ) , oder, was dasselbe
ist, = ( e k - e i ) + ( k f - i f ) ,
d.i.:
-
-
+
und
u
--
2)
=2 I1 + I
ist, so w i d drr zur Linken bteliende Aosdruck
+
+
+
2( u a ) = 4aa 4ria 4 n f 2 ,
imd drr reclits stelieode
4 na 4-4 11 4- 2 ,
(U
a ) ’ -k 1 =
clemnaeli der erhlerc uni 4a’ grijyser, wornit die obeo beliauptele U n gleiclilieit (mit AusscliluL cles cinzigen liier unzul~srigen Werthes von
a = 0 ) erwiesen ist.
-
,
376
[V b1 + ( n + i y - ?
- t
b7+nz].
Diefs ware soiiach die Vl'cllenlaoge, welche dem in f horbar werdenden Tone an seinem Ende (falls namlich der
Stab k der letzte ist) zukommt. - Flir den iu e vernointneiien dagegeii hatteii wir in 3. 8 gefundcn:
[1/a?+(n+i)2-1/~2+nP]+
2[Vca2+(n+
I)'
- vaat.l-J,
iind fur den i n g vernommenen:
-___
[ . V a ~ ~ + ( n + I )-' V~ a ? t ] + l .
SO
Vergleichen wir diese drei Wellenkingen mit eiiiander,
zeigt sich wf ganz ahnlichc Weise, wie oben, dafs
va2+(n+l)' - I/-a?4- n z desto
kleinerwird,
jc griifscr
-.
daQ also, da b ( a ist, auch [ 1 / a z - l - ( n t I ) 2
V ~ " ~ ] + [ l / b 2 + ~ n + 1 ) 2 1 / b 2 + t l t Z ] grofser segn
muFs, als 2 [ i / a i +(n+1)2
V7u2+n2], dagegen jedenfalls kleiner als [ 1 / ~ ~ + ( n + l ) ~1/a'n"]+l.
Die Wellenl~inge des i n f vernommenen Tones wird
also (auch am Ende desselben) ihrer GrsLe nach i n der
That zwischen deli Wellenlangeii des in e urid des io 9
gehiirten liegen, d. h.: der Ton mird tiefer seyn, als der
in e , aber hiiher, als der i n g rernominene; ganz wie wir
dicfs aricli fur deli Anfang des Toiles gefunden.
A u f das namliche ErgebniCs fiihrt ubrigens auch hier
schon die blorse geometrische Betrachtung uiiserer Figur.
Da namlich cinerseits, nach eiiiein bekannten elementaren
Satze , die beideii Diagonalen eines Vierecks zusaininen
stets gr6fser sind, als je zwei gegeniiberliegende Seiten
desselben, so wird ( k f + e i ) > ( e k t i f ) , folglich auch
a ist
-
I),
-
1) So is1
-
-
-__
2.
B. ~'.5z~1~9-.~5'+9'=~125-~10B~11,180~34-
=11,66190-
= 'LOO -
v'
___
_-
V 6 ' + 10' - V 6 2 + 9 " = ~ 1 3 6 - ~ i 1 5
___ ..-__
10,81665=0,8~j25;fc:iner 1 ! 1 0 2 + 1 0 1 - ~ 1 0 ' + - 9 2
1YI = 14,14214 - 13,45362 = 0,68852; dcsgleiclien
p'2(1.=9111/5001/481=22,36068
21,93151
10,29563=0,88471;dagcgen
V2T+Xi=0,42897, u . . s.
-
w.; also iede
die zunichst ri~~Irt.rgrgai~gcne.
folgendr dieser Diflcrenzen blriner, a l s
3 it
(ek-ei),
und also auch ( e k - e i ) + ( R f - i f )
seyn: d. h. die Wegdifferenz der beiden
letzten in f vernuminenen Stbbe wird griifser seyn, als
die der in e vernommenen, oder: der in f geliilrte Ton
wird der tiefere seyn.
Und da ferner, andererseits,
( k f - i f ) < k i , oder < ( k g - i g , demnach auch (ek-ei)
-+(kf-if)<eke i ) - i - ( k g - i g ) ist, Letzteres aber
die WellenlSnge des in g , und Ersteres die des iii f vernehmbaren Tones bezeichoet: so wird dieser der hohere
seyn. Er wird also (auch an seiuem Ende) szoischen dem
in e und dem iu g gehilrten liegen.
Der ganze Gang dieser Untersuchung zeigt iibrigens,
d i n e dafs wir in weiteres Detail eii~zugeheti brauchteu,
augensclieinlich, dafs uiit dein Niiherriicken des Puuktes f
nach g hin die fragliche W e l l e n l ~ u g c stets griirser werden,
d. h. dafs fur das Ohr dcs von e nach g hin waudernden Hllrers auch das Ende des Tones stets tiefer und
tiefer klingen wird; eiae Tliatsache, die gleiclifalls, wo
iiiilglich, durch den Versuch zu besttitigeu war.
Q. 10. Wir batten im Laufe der letzteren Erilrteruogen stets angenommen, dafs der iu k stehende, ( n t l ) te
Stab (Fig. 6 und 7 Taf. VI) der letzte des Gitters sey.
Doch war von dieser Annahme nirgends ein das Eidergebuils bedingender Gebrauch gemacht worden. Alle gezogenen Schlufsfolgerungen gelten demnach auch danii noch,
wenn der Stab k nickt der letzte, sonderii nur in den verglichenen Falleu der gleichvielte, ( n + 1 te) ist, und wir
kiinnen somit das gefundene Resultat uubedenklich aiif die
ganze Dauer des Reflexionstones ausdehnen. Dieser Ton
wird also nach seiner ganzen Dauer dcsto tiefer klingen,
je weiter sich der Hbrer in der Richtung e g unserer Fip e n vom Standpunkte des Schutzen entfernt und dein
Anfange des Gitters uahert. Genauer noch liifst sich diefs
Gesetz, init Riicksicht auf die verknderliche HBhe jedcs
cinzelnen Tones, folgenderinafsen ausdruckeu. Verstehen
wir narulich unter deli entsprechendera Stellen zweier solcheu Tiine diejenigen einzelneii Stafse oder Welle~,welche
(kf-if)>
> 2( e k - e i )
-
-
1)
~t
3 78
in beideu durch denselben Stab des Gitters hervorgebracht
werden, so lsfst sich das gefundene Gesetz bestimmter so
formulircn: dals der veriionimene Reflexionston an allen
entspreclienden StelZen desto tiefer ausfallen musse, j e naher,
uiiter iibrigens gleichen Uinstiindeu, der Horer dem reflectirendeta Gilter konamt. (Diese letztere Formuliruiig schliefst
namlich riiclit aus, dafs irgend ein Theil des i n grofserer
Nabe beiin Gitter veruehmharen Tones deuiioch hoher seyn
konue, als irgend ein, iiicht entsprechender Theil des in
griifserer Ferne gehiil-ten, - was auch in der That reclit
wolil inoglicli ist. Eine aiidere Frage wurde aber freilich
die seyn , ob jeiie entqwechenden Stellen (C zweier verglicbenen Tiiiie auch diejenigen Stelleii seyeii, die voin Beginn des Tones an um gleiche Zeitiiitervalle eiitfernt liegen; - eiiie Frage, die, wie sich jetzt schoii erratben
Iafst, zu serneinen seyn wird.)
8. 11. Ein ganz ahnliches Gesetz, wie fur die Hohe
der fragliclieii Tulle, - eine iilinliclie Abhangigkeit derselbeu iijlinlich von dem Abstandc des Miircrs vom Gitter -,
ergiebt sich (wie wir liier sogleich einschalten wollen)
auch fiir die Dauer dieser Tiiue. Da iiainlich diese Dauer
offeenbar eiiigeschlossen ist zwischen detn H6rbarwerden
dcs ersten und des Zitaten Echo’s oder reflectirteu Stolses,
so wird dieselbe folgendernialsen zu bcstinimeii seyn.
Bezeicliueii wir wiederum wit e (Fig. 8 ) den Piinkt,
voii w elclrem der ursprungliche Scliall ausgeht, so erfolgt
fur den gleiclifalls in e stelieiideii Horer der erste vernehmbare Stofs, naclidem der Schall deli W e g e g + g e , - und
der letate, iiaclidein er den W e g e k + k e zuriickgelegt
hat; d. 11. h i d e St6lse werdeii fur das in e hefindlichc
Ohr tiin so vie1 Zeiteinlieiteii auseinandcr liegen, als der
Schall bei seiner regelm~fsigeiiFortpflanzung in der Luft
gebraucht , uin die Differena der beiden genannfen Wege,
die Differenz 2 e k - e g nainlich, zuruckzulegen.
Befiudet sich dagegen der Hbrer nicht in e beiiii Schiitzeii,
sondern z. B. in f , so hat der erste hier vernehmbare Stofs
den W e g e g + g f , der letate den W e g e k + k f zurlick2)
279
zulegcn, und die Dauer des ganzeu Toiles wird sonach in
Ihnlicher Weise bestimmt werden durch die Wegdifferenz
( e k + k f ) - ( e g t g f ) , odcr, was dasselbe ist, ( e k - g e )
4- ( k f - g f ) .
Steht endlich der Hirrer i n g heiin Anfange des Gitters, so hat der erste veriieliinbare Stofs iiur den W e g
e g , der letzte aber den W e g e k -+ kg zuriickzulegen, und
die Dauer des ganzeu Tones bestimmt sich iiiinlnehr durch
die Differenz ( e k t k g ) - g e , oder, was dasselbe ist,
(ek
g e -Ikg.
Vergleiclieu wir nun diese drei Wegdifferenzen initeinander, iiamlich fiir den Standpuukt:
e des Hihers . . . ( e k - g e ) + ( e k - g e ) ,
f ”
*
. . . (ek-ge)+(kf-gff),
. g ”
. (ek-ge)+kg,
so hiingt deren Grbfsenverhaltnifs, weil das erste Glied
iri alleri gemeinsam ist, nur rom aweiten Gliede ab, dessen Ungleichheit in die Augen fallt. Es ist nawlich offenbar ( e k - - y e ) < ( k f - g f ) < k g ;
- d. h. die fragliclien
Wegdifferenzen nehmen au, je nachdem die Entfernuiigeii
e g , f g , . . . des Hihers voii dem Gitter kleiner werden.
I)a aber diese Wegdiffereiizeii die Dauer des vernoininenen
Tones bestimineo, so gilt dasselbe auch von der Letateyen.
Fast noch einfacher ergiebt sicli indessen dasselbe Gesetz als eine blofse Folgerung des vorigen. Da n#mlich
die Tonhohe, sowohl am Anfange, als am Ende, und iiberhaupt an alleii J’entsprechenden Stellen des Tones desto
geringer
oder, was dasselbe hesagt, die Wellenlange
desto grofser ausfallt, je inehr sich der Hbrer den1 Gitter
iiiihert, und doch die Anaahl der Wellen oder eiiizeliieii
Stbfse in allen Fallen dieselbe bleibt, (weil ja an jedem
der Gitterstabe eine solche Welle entsteht): S O wird die
Dnuer des Toiles iin Allgerneinen der Wellenlange proportional, d. h. sie wird desto yriifser seyn iiiiisseii, je liefer
der Ton, - und folglich, j e gerilzger die Entfernztng des
Hiirers von dem Gitter ist. Auch d i e t Gesetz wiirde durch
die spiiteren Versuche bestatigt.
-
)J
,-
..
(I
380
5. 12. Keliren wir nun noch einmal zur Betrachtung
der Wdlenlange oder resp. Schwingungsgeschwindigkeit der
fraglichen Toue zuruck, so lasseu sic11 iiber dieselbe leicht
iiocli ein yaar weitere Gesetze ableiten. W i r haben bisher nur solclie Fglle besprocheu, i u welcbeu der Abstand
des Horers von dew Gitter kleiner, oder weuigsteus nicht
grufser war, als der des Schiefsenden. Betracbteu wir
nun auch den umgekehrten Fall.
Nehmen wir z. B. an, es bezeichne in Fig. 7 Taf. VI
iiicht mehr e , sondern f den Urspruug des Knalls, und
der Horende befinde sich dagegeu in e. Es wird in diesen] Falle der durch den Stab i Irervorgerufene Scballreflex im Gauzen den W e g f i + i e , der beim folgenden
Stabe k entsteliende aber den (langeren) W e g f k t k e
zuruckgelegt haben, sobald er im Olire des Hbrers aulaugt. Die Differenz dieser W e g e , welche auch hier die
Welleulange des Tones an der betreffeuden Stelle bezeichnet, wird also = ( f k + k e ) - ( f i t i e )
seyn. Fur den
uingekelirten Fall aber, wo der Schbtze in e und der Horer
in f stand, war diese Wegdifferenz oder W e l l e n l h g e
= ( e k t k f ) - ( e i + i f ) . Da aber beides offenbar dasselbe ist, so ergiebt sic11 das eitifaclie und wichtige (gleichfalls bereits durch den Versuch beststigte) Gesetz: die
Tonhohe bleibt ungeandert, wenn der Horende und der Schiefsende ihre Platze vertauschen.
3. 13. Aus diesem Gesetze crgeben sich nun sofort
iloch eioige wichtige Folgerungen.
Es war oben gezeigt worden, dafs, wenu audeis uiisere
Tlieorie uberliaupt richtig ist, fur gleichbleibende Eutfernungeii des Scliiefseudeu v01n Gitter, jede Anndherung des
Z f ~ r e r sgcgcti dasselbe ein Tieferwerden des von ihm veriioininenen Toues ( wahreud dessen ganzcr Dauer) zur
Folge liaben miisse. Nach dein soebcu gefundenen Gesetze V O I I d t r Vertauschung beider Orte abcr ergiebt sich
daraus sofort dcr weitere Sclilufs, dafs auch, bei gleichbleibender Entfernung des Horendcn von dein Gitter, jede
Annaherung des Schiefsenden gegen dasselbe von e i n m Sin-
38 1
ken des Tones begleilet seyn mq's. (Aucli liiermit zeigtcn
sich die epater angestellten Versuche fhereinstimmend.)
§. 14. Halt man endlich die beiden letzteren Satze zusammen, so folgt daraus r o i l selbst das weitere Gesctz,
dafs der vernommene Ton noch urn so tiefer erklingen
niiisse, wenn der Horende und der Schiersende sich gleichzeitig dein Gitter iiahern. Denii denkt man sich beide
Veranderungen successiv vorgenonimen, d. h. staiid z. B.
(in Fig. 6, Taf. VI) bei cinein ersten Versuche der SchieEsende und der Hbrer beisammen in e , und begiebt sich
nun Einer von Beiden nacli f , so wird schon diefs nach
den angefiihrten Gcsetzen ein Sinken des Tones zur Folge
haben; - und schreitet nuninebr auch der Andere von e
nach f vor, so wird der daselbst vernoinmene Ton abermuis tiefer werden:
d. h. die Tonhohe nazcrs, wenn der
Schiersende mit dem Horer in der Richtung e g fortschreitet,
in noch rascherem Verhallnisse abnehmen, als w e m iiur
Einer von Beiden sich dem Gitter nabert.
Dafs iibrigens diese gleichaeitige Abnahme ( der Tonh6hc
und der E n t f c r k g des Schiitzen oder Hiirers vom Gitter)
eine einfache Proportionalitiit sey , wurde naturlich hier,
wie allerwarts, ein sehr voreiliger Schlufs gewesen sryn.
3. 13. Um vielinehr das Ablrangigkeitsgesetz dieser
gleichzeitigen Abnahme nicht hlofs iin Allgemeinen beurtheilea, sondern auch, wo mbglich, experiineiitell verfolgen zu
kbiiiien, versuchte ich, die nahere Untersuchung desselben
sofort auf den rorliegenden concreten Fall, . d. ti. auf die
gegebenen Dimmsionen des Gitters an der bcschriebenen
Eisenbahnbrucke zu beziehen, beschrankte niich jedoch dabei, der Einfachheit wegen, vorerst auf den Anrang des
Tones, welche Beschrankung uin so zuliissigcr erschiea,
weil, wie bemerkt, die Tonstiirke sofort von jenein Anfaiigc
an sehr rasch abnimmt.
Ich dachte mir zu dem Ende auf der Richtung g k des
fraglichen Gitters (Fig. 9 , Taf. V I ) eine Senkrechte gw
von unbestimlnter Lkinge errichtet, welcbe die fur die Beobachtungen bestimmte S t a n d h i e vorstellt, uud auf dieser
-
'
382
.
von g aus @ich grofse Strecken g e = ee, = V W . .. a b .
geschnitten. Icli naliin ferner, w n leicht ansfulirbare Messungcn zii hnhen, jcden dieser Abschiiitte gleich einer der
9 Hauptabtheiluozgen des beschriebenen Bruckengelanders, d. h.
= 132 Stnbtlistnnzea, oder = 70' hiesigen Maafses an, wahrend h den ')erstens (auf g folgenden) Stab, also g h den
Abstnnd je zweier benachbarten Stabe vorstellte. Der Eiiifnclilieit w e g r n wurde auch hier der letztere Ahstand ( g h )
als Einheit dcs Lsugeninaafscs betraclitet, so dafs denigemafs
g e = 132, g v = 2 . 132 = 264, gw = 3 . 1 3 2 = 396
,
gesetzt ward.
So lange es sicli n u n nicht uin absolufe Tonhohen, sondern nnr a m Vcrgleicliung derselben, d. 11. urn ZntemalZe
handelt, (die jn iiberdiefs ohne Vergleich lcichter zu verificireii sintl, nls jene), ergiebt sich noch cine weitcre Vereinfachung dadurch, dafs iiian als Zeiteinheit nicht, wie bei
sonstigeii akustischen Untersuchungen , etwa die Sekunde,
sondcrn geradehin dasjenige Zeitintervall anuimmt, welches
der Schall bei nortnaler Fortpfianaung in der Luft gebraucht,
urn die' angenommene Lungeneinheit ( in unserein Falle deii
Abstaud g h ) suriickdegen. Man hat dadurch den Vortheil,
dafs inan diesetbe Zaht, die irgend cine raumlichc L s n g e
hezeichnet , geradezu aucli fur die Zeitdauer gebraiichen
kann, wahrend welcher d e r Schall diesc Lziige zurijcklegt ;
dafs also z. B. in iiiiserem Falle jeder fur die raumtiche
Wellenlange eines Tones gcfuiidene Ausdruck auch zugleich
fur dessen Schininguagsdauer gelten kanii , ( w l h r e n d die
Reductiou des Letztereti auf Sekunden u. s. R . , wo sie erfordert wcrden sollte, keine Schwierigkeit hat).
Neiint inail iiuu z. B., wie wir euch bisher getban, den
Abstand des Schiekenden von der Eiscnbahnbriicke a, (geinesscn nach der erwahnten J,iingeneinheit g h), und ehenso
den des Horenden b , so ist, wie schoii oben gezeigt, die
Wellenlunge (also untcr den gemachten Voraussetzungen
auch die Schmingungsdauer) fur deii Anfang des Tones
ausgedruckt durch die Formel :
.. .
( V a2+1
--a)
+( V bZ+l-bb),
383
wofiir mir der Kurze w e g e ~ sclireiben
~
wollen:
5
+ y.
(Vergl. oben 8. 7).
Zuni Behufc einer vorlaufigen Beurtheilung des Gesetzcs,
iiach welchem der Toil init der Zunahme von a oder b
(oder von Reiden) hillier wird, berechnete ich nriii eine
Anzahl von Wertlien der Griifseri 2 und y, und zwar i n s
Resondere ( zulii Zwecke einer experitnentelleii Controle
derselben) fur die einzelneii Abschnittspunkte e, v, 20, . .
der Standliiiie in Fig 9 Taf. VI. Bezeichne ich der Kurze
wegeii den Abstand g e ( = e v = v w . . .) init dein Buchstabcn d, (so dafs d=132), so wirtl z. Iz. fur a=d, x=
1/ 132a+ 1 - 132=0,0033, fur a = 2 d , z = \ ’ d . 1 3 P t I
- 2 . 1 3 2 = 0,0019 mid so fort, iiach folgender Zusamnienstellung:
. .
riir n (oiler
d
2d
31
4d
51
6d
‘id
8d
9d
10 d
b)
= I wild .r
1
I
i
i
i
1
!
I
I
(oiler y )
=
0,0038
0,0019
0,oo 14
0,0010
0,0008
0,0007
O,U006
0,000.5
0,0005
0,0004
Es wurden sich schon hieraus einige specielle Folgerungen ziehen lasscn. Z. n. fur a= b = d wiirde die
WellenlYnge des fragliclien Tones = 2.0,0038 = 0,0076;
fur a = b = 2d wiirde sie = 2 . 0,0019 = 0,003S, d. 11. bei
doppelter Eiitferiiung des Horenden und Schiefsenden von
dem Gitter murde der Ton eine g a m e Octase hoher begiiiiieii ti. s. w. Ebenso niiifste der Ton fur a = b = 7 d
die nuchst hiihere Quinte des fur a = b = 5 d vernoininenen
seyu. W u r d e ferner z. B. a =3 d, und b = 4 d, so wiirde
die Wellenlange m + y =0,0014 + 0,0010 =0,0024, dagegen fiir a = 5 d , und b = 10d wurde m y = 0,0008
0,0004 = 0,0012, demnach halb so grofs, als im vorigcn
+
+
384
Fallc, also die hbhere Octave des dort vernominenen Tones,
u. s. w.
Es wiirde uberhaupt leicht seyn, cine kleine Tabelle
zusamlnenzustellen, aus welcher sich das Interval1 der in
swei beziebigen Fallen entstehenden Tone, so zu sagen,
ablesen, oder wenigstens sofort beurtheilen liefse. Man
brauchte namlicli nur ein Viereck iiach Art der pythagoreischcu Tafel (des *Einmaleins~~)
etwa in 100 Felder zu
theileir, dann z. B. von der linken oberen Ecke an soivolil
die liorizontalen, als die verticalen Columnen der Keilic
iiacli mit d , 2 d , 3d, . . bis 10d zu bezeichnen, und i n
jedes der 100 Felder die Summe dejenigen awei Werthe
fur x (oder y ) einzutragen, welche den Bezeichnungen
der liorizontalen und der verticalen Columne, zu der das
Feld geliort, cntspricht: so liatte man ein Schema, aus welcliein sich die Wellenlunge des Reflexio~istonesfur beliebige
Werthe von a und b (zwischen d und loo?) ablesen, und
sonach, durch Vergleichung dcrselben, das Interoall fur je
zwei FlilIe leicfit beurtheilen liefse.
Diefs Schema wurde, wenn man der Abkiirzung wegen
iiur die vierteii Decimalen obiger Werthc als Einheit.cn
cintrligt, etwa folgendes seyrr-:
. .*
76
57
52
i
'
1
51
1
Gd
~
57
38
33
48 ' 29
46 I 27
45
2G
44
25
43
21
43
43
1
4d
24
23
I
52
33
28
21
1:
1
22
21
48
29
24
20
18
1
i22! ii21
18
17
I6 ' 15
'
44 1431
25 24
19
20
16 15
43
24
14
13
12
11
11
13
12
11
10
10
I
1
' 1213
I1
10
10
0
9
19
15
4 F
23
18
14
12
11
10
9
9
9 8
Befande sich z. B. der Schiefsende in der Eiitferniing d
und der Hqrende in der Eutfernung 4 d (= 280')
vom Anfange des Gitters, so zeigt unsere Tabelle in der
ersten, resp. 4ten Coluinne die Zahl 48, d. i. 0,0048 als
die nach Stabdistanzen gemessene anfaagliche W e l l e n l h g e
des
(=70')
383
des Tones. W S r e dagegen der Scliiefseiide uin 4 d ( =280’ )
und der Miirende iiur uin 3 d ( ~ 2 1 0 ‘ )vom Gitter entfernt,
so zeigt die Tabelle die Zahl 24, - also cineu Ton, dessen Wellenlijnge n u r die Halfte der vorigen betriige, und
der sonach die hilhere Octave bildete.
Die Uebereinstimmung der j e 8 ten und 9 ten Columne
dieses Scheuias, sowie auch das gleichinafsige Abnehineii
der Zahlen voii der 5 tell bis zur 8 ten, sirid iibrigens offenbar nur scheinbar, uud liabeii ihren Gruiid i i i der Uuzuverliissigkeit dcr letzteii I)crimalen, iiberhaupt in der Uiigeiiauigkeit der zu Griinde gelegten (inittelst siebenstelliger
Logarithineii bereclirieten) W e r t h e voii 2 und y.
W i l l maii genauere und zuverl~ssigere Resultate, so
mird man a m lhqueinsten die zu Grunde zu Jegenderi
W e r t l i e fiir 2 und y dadurrh finden, dafs man die auszuziehendeii Wurzelii
u2 + I - a oder vb”+ 1 - b )
als Kettenbriiche entwickelt. Da namlich, wie’ scboii obeii
___
beinerkt, z. 13.
+ 1 - a , (uiitcr der Veraussetzuiig
(v’
ru2
a >0 ) ,
<1
wird, so hat mail
.2:
= 2.
, \vo
a
= ____--1
- 1.’ u + 1__+ u = 2 a + ( Y ’ - u ’ +-l - u )
I’TTX - a
‘1
-2a+-
I
a
ist, so dafs
2
=1
2a+
I
2n+
I
Ti+
init deni constanten Quotienten 2 u wird, und als ersten
Naherungswcrtb
A,
als .zweiten
4aZ
2 a+ 1 ‘
Ja2+l
als dtitten 8a3+4a
u. s. w. giebt. Man kanii sich aber in unserem Falle fiiglicli init dem ersten begnugeo, der zwar etwas zu grot,
desseii Abweichung vom wahren W e r t h e aber, nach be-
lianiiten Gesetzen,
<2a.(4a2+ij
’
I’oggendorfl’s Xnnal. Dd. XCIV.
seyii inufs.
DieL giebt,
25
3%
selbst fur den kleinsten Wcrtlr v w a, dcr bci Uerccbnuiig
obiger Tabcllc vorkomiiit, iiiiinlich fur a= 132, ciiie Ab1
weichang von weniger als i6.(4.ii7i4-+
also von weni-
. .
g e l als 0,000000055 . ., die deninacl~,da sie iin scldimntsten Falle (iiiinilich fur a = b = d ) nur hi)chste~~s
wit 2
inultiplicirt vorkoinnit, unbedenklich zu vcrnachlassigcn ist.
Auf diese Wcise crhiilt uian z. B. fur n = d = 132,
l - u a z G 4 - -0,00376787, wiihreiid der durcli wirk-
Val-+
lichcs Ausziehen der Wiirzel gcfuiidciie W erth 0,00378763
liefcrt; also bis in die siebente L)ccimale genau.
Die uiiserer kleinen Tabelle zu Gruiidc zu legciiclei)
We r t h e frir z oder y gestaltell sich dann folgeiitlcnnafscli :
Fur a
( t d w
b)
=
1 wild ( x
odcr
y)=
0,0037878
0,0018959
0,00126‘26
0,0009469
d
2d
3d
4d
U,OOUi5i6
5d
Gd
‘id
8d
‘Jd
0,0006313
0,000541 I
0.0004535
0,000.1209
0,0003788
10 n
iiiicl zwar siiiniiitlicii bis aiif die lctztc Ueciuuale geiiau.
Uic obige Tabelle fur die aufianglichc Wellciil~ngcder veriioiimeiicii Tiiiic wiirde sicli dariiach Icicht airf dciiselben
Grail der Genauigkeit uiiiwandeln lasscn.
Uer Haiiptaortheil dicscr zweitcu llictliodc bestelit obey
orfeubar darin, dafs, wctiii
uiitl
-II - b=
1’ b
1
2b
inail
I
wirklicli 1’ a’l i-1 - a = -
‘La
annimint, cliesc tyertbe riir x uiid
y deli rcciproken Wertheii dcr zugehiirigcn llistanzen a
uiid b direct proportional werden. L)a iiuu die Summen
dieser Wcrthe die WeZZenEungen ausdrucken, so haben w i r
dainit ein neiies Gesett gefunden: das eiiifache Gcsetz nanilicli, dnfs, uiiter deli geuiacbterr Besclir0nliuogeii ( a und
b 5 132 >,bis auf die siebenle Deciinale genau, die anhog-
367
lichen Werthc der beiden, die gesuchte V\’cllenl~ingc Z I I saminensctzeuden Theile den aziyehiirigeii Abstiinden a rind
b verkehrt proportional sind. Ein Gesetz, welclies die
Beurtlieilung der eiiizelnen ini)glichcn Coinhinatioacn nngeinein erleichtert.
5. 16. Aus diesein Gesetze, oder auch schon aus
genauerer Bctrachtung der Tabelle 8. 15, ergebcn sich
bereits inehrcrc weitere Folgerungen. So z. B. :
a ) Weiin der Hiirer stets beim Schiersenden blcibt, so
ist die Tonliiihe direct proportional der Entfernung
Beider aom Anfange des Gitters. (nenri die Tonhirhe
i s t ja, wie die Anfangsgriinde der Akustik lehren,
der Wellenlange eines Tones, - uiid diesc selbst
wicderum, nach ohigem Gesetze, dcin Abstande Toin
Gitter umgekehrt proportional). Entfernen sicli also
Beide urn das Doypelte vow Gitter, so wird der Tori
rim eine Octaae,
entferiien sie sich iiiir urn die
Halfte ihres vorigen Ahstandes, so mird er um eine
Quinte hbher werden inussen u. s. w. Feriier
b ) Bleibt der Hiirer a n seinem Orte, w%hrend der Schie€scndc sic11 entfernt, so nimvrt die Tonliiilie in einem
langsameren Verhliltnisse zu, a h diesc Entfcrnuiig;
(man kilnnte vermuthen, im Verhiiltnisse der Quadratwurzeln dergelben, iiainentlich weiiu m a n die eiiifache
Entfernuiig i n obiger Tabcllc mit der vierfachcn vergleicht ; bei dcr Iieunfachen dagegen trifft es nirlrt zu.
Das Gcnauere hieruber soglcich).
c ) Dasselbc inufs naturlich (in Folge des in 5. 12 erwiesenen Gesetzes) aiicli stattfinden, wenn der Schiefsende seinen Platz behauptet, und hlofs . der Hiirende
sich iillni~hlicheiitfernt oder nlihert.
( I > Stchcri IIcide (Wirer riiitl Scliiitze) z. 1). i n der Eotfernaiig 3 d , so mird derselbe Ton (von der WellenIliiigc 2 . 0,0012626 = 0,0025252) zumVorschein koni11ie11,nls wenii z. n. 8er Eine u m 2 d uiid der Anderc
uni Gd voii dcni Aiifarigc des Gitters entfcrrit ist,
-
-
!I.
s. w.
25
c
*
388
D a indessen die grorsen Zahlen der z u Eudc des 8. 15
erwahnteii Tabelle deren Ueberschnulichkeit beeintrlchtigeli
und namentlich dus Vergleichen dcr einzeliien FIillc erschwercn, so wird es zu diesein Zwccke vortheilbafter
s e y n ? die betreffenden W e r t h e voii x
y (uiiter der gc-
+
inacliten Voraussetzung x
1
=2-a
-1
iind y = 26 ) allgetnein zu
berechuen. Nehinen wir z. B. a = itad und b =1n d an
( w o m und ?L
I seyn solle~i),so liaben wir fiir die zilgehorige aiifangliche Wellenlange des vernomiiicucii Tones
>
1
1
m+
+y =2yd -+ 2 n d , oder =2 ?itn d '
ti
5
- --
(i
= -162
Diefs giebt z. B. fur a = 4 d uiid b = 2 d , x + y
8
3
1
= G ; oder f i i r . a = 6 d und b = 2 d , a + y = - -2 4 d -- 3d
u. s. w.
Eine feruere Vereiufachuug ergiebt sicli iibrigens, w(:iiii
w i r statt der Wellenlaiigen sofort die Tonhiihen selbst,
d. i. die Scliwinguogszahlei~einfiilireii. Da iibmlich Letztere
den Welleiiliiiigeii umgekebrt proportional siiid, so kouueii
wir daiin ohne W e i t e r c s die Umkehrungen odcr reciproben
W e r t h c obiger Bruche (d. h., allgernein ausgedruckt, den
1
+y = F n T d ) in
U 7 e r t h -__
x
?I1 + ? l
unsere Tabellc aufiiehmen
uiid
dabei uberdiefs, weil PS sich ja zunsclist blofs urn Vergleichung der eiiizelnen W e r t h e handelt, der Kurze wegen den
geineinsamen Factor d weglassen. ( Ehenso kiinnte iintiirlich anch der geineiiischaftliclie Factor 2 im Zihler jeuer
Bruclic megbleiben, was jcdoch iiicht im Interesse der
Ueherscliaoliclikeit liegt).
Auf diese W e i s e finden wir denn fiir die nnfiinglichen
Totrhohen selbst folgende ( ihncn proportionale) W e r t b e :
Fiira=
1
d
12d
5d
-
P
I5
7
6
61
7d
1
8d
10d
I n
TT
60
1:
20
60
13
35
140
Ti
uo
T i
&!
a:
I eo
ao
10
+§
Warum diejenigen Briiche, die in einer und derselben,
von Hechts obeti nach Liuks uiiteu laufenden, Zahlenreilie
dieser Tabelle stehen , slmintlich einerlei Nenner haben
miissen, ( 2 . B. die diagonale Rcihe den Neniier 11, die voin
drittcn Felde reihts ausgeheude den Nenner -13 u. s. w.),
ergiebt sich, nebst den iibrigen aritliinetischen Eigeuschaften
der Tabclle, lcicht aus der angegebenen Construction der
Briiche, d. h. aus deren gemeinsalner Grundforln z.?!
* m+n'
fur rn =n z. B., d. h. fur a = b, liefert Letztere die Forin
_-
2 1n2
-m;
2m
daher die Werthe der von der linken oberen
Ecke ausgehenden Diagonale die Reihe der gauzen Zahlen 1 bis 10 bilden inussen. Begicbt sich also z. B. der
Horer nait dein Schiefsenden (oder Beide iu einer Person)
der Reihe nach in, die doppelte, dreifache, vierfache . .
Eutfernung von dem Gitter, so werdcii die vernommenen
T6ne (wenigstens dereu hnfange) die Reihe der sogenatinten 3) naturlichen Tonleiter 1, bildeii , 2. B. die Reihe :
. .
t
Die dritte und vierte Stufe dieser Reihe werdeu abcr
auch z. B. dann zii Geh6r kommen, wenn sich einer v o n
340
Bcitlen in die doppelte, rcsp. cli-eifuche, und der Andere
beide Male i n die sechsfuche urspriingliche Entferiiung
begiebt u. s. w. Ebenso ergiebt sich eine Anzahl vou ziemlich einfachcn Tonverli~iltnissen unmittelbar aus dem Anhlick der lctzten Tabelle. So wcisen z. R. die in der
obcrsten Zcile vorkomiiienden Briiche ;, $, :., 4 sofort
die ihnen entsprcchenden Intervnlle der Quarte, Quinte,
kleinen uiid grofsen Sexte u. s. w. nach, wenn wir sic nfmlich tnit dem tiefsten vorkominendeti Tone vergleichen, dessen Schwiagungszahl hicr = 1 gesetzt ist.
Urn nun aber auch die Verglcichung dcr verschiedencn
Tiine anter sich (nicht blofs mit janein ersten oder tiefsten) iioch weiter zn erlcichtern, kann inan die sammtlichen i n dcr Tahelle eiitlialtenen Bruche auf insglichst
kleine, i h n e ~proportionale ganze Zahlen reduciren, d. h.
man iniifste diese Briiclic auf gleicheo Nenner bringen und
daiin diesen weglasseu. I)a sie indessen sSmintlich die
Form %
!- habcn, wo m sowohl, als
nc +ti
M,
von 1 bis 10
wachscu kann, so rniifste der kleinste gemeinschaftliche
Nenner die samintlichen eiufachen Factoreu der Zahlen von
1 bis 20 enthalteii, und wiirde daher eine sehr grofse
(nffmlich 9 zifferige) Zahl werden, ein Umstand, der auch
die zugehorigcn Zahlcr wicderum i n so grofsc Zahlen ver~vandeln w&de, daCs die vergleichende Uebersicht iiicht
erleiclitert, s o n d e r ~uocli
~
erschwert ware.
Lasscn wir dahe;, nu1 zu kleineren Zahlen zu gelaiigen
uiid weiiigsteiis eiiie Anzahl iiberschaulicher, etwa durch
den Versuch zu verificirender Resultate zu erhaltcri, alle
diejenigeii Felder uiiscrer letzten Tnbelle , deren Nenner
durch verhaltnilstnZfsig grofse Primfactoren der Ueberschaulichkcit vorzugsweise hinderlicli werden, giindich unbeachtet,
so kijnnen wir RUS dcin zu bildcndeu Producte cor Allem
die Factoren 19, 17, 13 und 11, vielleicht auch noch den
Factor 7, sowie den dritten der Factoren 2, und deri zweiten der Factoren 3, weglassen. Thun wir dieb, so erhalteii
wir aus den ubrig hlcibciiden Factoren 2 . 2 . 3 . 5 die als
391
beclueme Eiiitheiluiigszahl seit Jahrtauseiideii bcriiliuitc rind
vielfach aiigewaiidtc Zalil 60, init welcher sainmtliche Bruchc
unserer Tabellc zii inultiplicireii wsren.
Dick licfcrt deiin folgende i n der That iiberscbaulicbere
Z iisa in in enst el 1ling von Ver tiji 1t ii i fsza h lcii fii r die nu faagliche
Hiilie der fraglichen Tone:
196
200
270
332
2 i i
343
386
400
43’2
450
4i2
508
4Q4
633
510
569
569
600
Uic kleiiier gedruckten Zahlcn sind nur annbheruiigsEs siiid diejenigen, welche sich in Folge
dcr erwZlinten Auslassung der Factoren 19, 17 u. s. IV.
eigeutlich niclit durch gaiizc Zalilen ausdriicken lassen. Da
sie sich indesse~i nicht uin cine halbe Einhcit voii den
richtigen Werthen entferncn, so infigen sic immerhin zri
einer ann~licrndcnBenrtheilung der l>etreffenden 1nterval.le
brauchbar seyn, und sind eben deshalb iuit aufgenoinmen
wordeii.
8. 17. Aus dieser Tabelle ergiebt sich nun cine NIenge
einfacher Tonverhiiltnisse, die, durch den Versuch hestitigt,
cine wcsentliche Stiitze unserer Theorie bilden wiirdea.
Dcr Kiirze wegen wollen wir jedocb vorerst noch eine
besondere Bezeichiiung einfuhren. Befiiidet sicli nainlich
in eiiiern Falle dcr Schiefsende in dcr Entfernung a = md,
uiid der Horeiide iu der Entfer~iungB = n d (oder umgeliehrt, was ja dcnselben Ton liefert), in einem m e i t e n Falle
der Eioe in der Entferiiuog a’= r d , und der Andere i n
der Entfernung b’= sd: so wollen wir die Vergbichicng
diescr bcitleii Fglle, resp. das baderaall der beiden zuiii
wcise richtig.
392
Vorscliein kommeuden ‘I’iine, durch dns Sylnbol !”2!
he r.9
zeichneii, (\velches also ltcineii Bruch vorstellt). So
Z-
B.
4
der Fall 3t-;
die Vergleichuug derjenigen beideii
.6
Tijne bezcichnen, welche entstehea, wenii einmnZ die Entfernungen des Schiefseuden und Hi)reiiden voin Gitter resp.
2 d und 4d, das anderemal resp. 3 d und 6 d betragen, also
derjenigen Tone, welclieii in obiger Tabelle die Zahlen 160
uud 240 entsprechen, und deren Interval1 sonach, da diese
Zalileu sich wie 2.3 verhalten, cine reine Quinte scyn
mu r d e.
Nacli dieser Bezeichnungsweise finden wir deun zum
Beispiel, zur Bestiitiguug des zu Ende von 9. 15 aufgea a 3.3 4.4
stellten Gesetzes, dafs die Falle i;4, =,i.3 u. s. w.
so11
‘)
3)
tt
reine Octaoen, die Falle
FYlle
3 3
G G
4.4’ 8.8
reiiie Quiuten, die
reine Quarten, die Falle 5
-4 8 ’ 8 roEse
5.59 ioyo g
Terzeu, die Falle
5.5
6.6
’&, ‘&,
3.3
:
-
0.5
uiid
6.6
10.10
grake Sexten, dafs feriier
.5
.8 .
eine kleine Terz, 5cine kleine Sexte, 8-ernen
8.8
9.9
groken uiid 9 . 9 einen kleinen gaiizeu Ton liefert.
Eiu meiteres Gesetz iiber diese Intervalle, welches sich
liier sofort ergiebt, ist aber folgendes. Auch wenii die
Entfernungen des Morendeii und Scbiefsendeii vom Gitter
nicht eiuauder gleich sind, sonderii iiur proportional bleibea,
so bleibt deunoch das Iiitervall dasselbe, welches durch das
Verh&ltni[s jener Eutfernringen bezeichnet wird. Oder,
bestiinmter gesagt: Auch wenii nicht (wie in obigen Fallen)
m = n und r = s , sondern die vier Grofsen rn, 78, r, s nur
proportional sind, liefert der Fall E1-Y-F
das durch den Bruch
r.8
(
f- = f
2.3
FYlle 4.6’
) bezeichnete Internall.
So liefern z. B. auch die
2 . 4 2.5 3 . 4 3.5
u.
4 . 8 ’ 4 . 1 0 ’ 6 3 ’ 6.10
~
s. w. reine Octavea,
393
ancli die Falle
2 4 2.6
4,
-,
3.6 3.9
groke Sexte, auch
4 8
5.10
4 6
6.9
3.6
5.10
:
reine
Quinten, aucli - eine
eine p o k e Terz, u. s. w.
4. 18. Besonders leicht durcli den Versuch zu con.
trolireii wiirde aber offenbar die viillige Uebereinstimmung
des Tones in zwei verschiedenen Fallen seyii, von der wir
aucli (abgesehen von dem in 3. 12 ausgesprochenen Gesetze)
.6
i n unserer Tabelle Beispiele finden; so die Falle 2 . 6 3~
3.3’ 1.4
u. s. w. Die Bedingung fur die Entstehuug eines solchen
U ~ ~ i s o nergiebt
o
sicli aus Obigeni leicht. Da n h l i c h uuter
den gernachten Voraussetzungen die anfangliclie Wellen12ng.e des entstebenden Tones (vergl.
1
+ a ist, so
9.
-
l 5 ) , 5 +y = 1
2a
liegt jene Bedingung fur den Fall ?!-f
r.8
in der
Gleichung :
oder
mnr
woraus sich s = ( m + n ) r - nin ergiebt.
2 6
So habeu wir z. B. fur den Fall 3k,
wenn er eiu
2.6.3
Unisono liefern soll, s = 8 . 3 - 2 . 6 = 3 ; oder fur den Fall
4.5
3.X
4.4.3
unter derselben Bedingung, x = 8 . 3 - 4 . 4
=6 ,
wel-
ches die beiden schou obeu beispielsweise erwahnten F3lle
sind.
- Ferner
9.5
liefert z. B. 7.2 fur den Fall eines Uni-
sonos 2 = 5,94, also fast = 6 , und in der That zeigt auch
schon unsere letzte Tabelle fur die Entfernungeu 9 d , 5 d
einerseits und 7 d, 6 d andererseits naheau gleiche Tonhohen
(namlich die Zablen 386 und 388), die h6cIist wahrscheinlich vom Unisono nicbt zu unterscheiden sind. Noch etwas
genauere ( wenn auch nicht absolute) Gleichklange liefern
auf ahnliche Weise die F#lle
610
-,
7.8
3 9
A- u.
4.5
s. w.
39 1
9.
dscr
19. Abcr aucli die ubrigcn Iiitcrvalle koii~mc~t,
iii 3. 17 angefiilirteii Fiillen, iii unserer Tabelle
itoch lnehrfach vor. So tinden wir z. I). reiiic Quinten i u
dcn bereits
den Fallen 112. 13 (und folglich, nacli deln in 9. 17 ausge2 2 3.3
I .2
sprochcncu Gesetze, auclt 2 { s , -9 u. s. w.), , . 2 (und folg2 . 4 3.6 4.8
1.1
licb auch -4-. 4 ’ 6,s’ b . 8 u ’ s w * ) y 2 3
’.’
6.10
2 8
4.5
2.10
($dr
I
5
.
j
’
’ol .$
’ feriier annaihernd reine Quintcn in h,m , 4.5,
3.4 4.8
4.5’ 7.9
8
2.5
2.6
u. 8. w.
Als allgemcine Formel fur die Aufsuchung dieses Intervalls erhalteu wir aus der nacli dein Obigeii von sclbst
verstindlichen Bediogung
1
1
-+;=
m
3
1
1
2.( T + T )
die Formel:
welche z. B. fur m =n = r die specielle Formel s =3m
liefert, die sich leicht in eine Regel ubersetzen Iafst uiid
1.1 2.2
in den oben zuerst genaniiten E’iillcu ( I .3’2 . 6 u. s. w.)
durch Beispiele belegt ist.
Reine Quarten finden sicli aufser deli scbun vorgekommenen, wie unsere Tabelle auswcist, irocb in den Fiillcu
2.6. 3 . 5
3-33’5.5 u. s. w., voii deiieii sicb z. B. gain bewilders die
drei letzten zur Verificirung durch den Versucb eignen
wurden, weil namlich bei ihnen der Hiirer (oder der Schiefsende) seinen P h t s nicht ziu oerlussen braucht. Annabenid
reiiie Quarten findeu sicli aufserdem nocli in
4.5 u. 8. w.
5.7
1 2 3.8
F8,
5.7,
(zusatnmen in inindesteus 14 Fallen). Fur die
Aufsuchung derselben ergiebt sich aus der Bedingunwgsgleicliuag
395
in ahnlicher Weisc, wie oben bei deli Quinten, die Forinel:
S=
41nnr
+n ) - 4 inn
3 r (01
u. s. w.
Die bisher angefiihrten Falle bieten bereits eiiie so
reiche Auswahl von Beispielen einfaclier Intervalle, dafs
wir die Geduld des Lesers nicht durcb Aufzalilung anderer
ermudeii wolleii. Nur das allgemeine Gesctz fur beliebige
Intervalle m8ge noch angefuhrt werden. Bezeiclinet man
nlinlich das fragliche Interval1 durch das Verhaltnifs p : q,
wo p die Schwlngungszahl des fur die Entfernungen rn
und 12,
und q diejenige des ffir die Entfernungeii r
uud s liiirbar werdenden Tones vorstelleii SOH: so ergiebt
sicli BUS der leicbt versthdlichen Grundbedingung
-
die Gleichung:
p .r s (m n) =q ma (r + s),
melcher Relation also die vier Distauzen na, n, r, s genugen
.
+
inussen, wenn das Iutervall
P
zum Vorschein komlnen soll.
Diefs liefert die allgemeine Berechnungsforlael
s=
:
g.mnr
pr(nc+n) - q m n '
von welcher die ohen angefiihrten iiur specielle Falle bilden,
und inittelst der sich fur jedes verlangte Iutervall und jede
drei gegebeueii Entfernungen die vierte berechneu lacst.
Sttindc z. B. in einern Falle dcr H h e r 4 Langeneiulieiten, der Schiefsende 6 (oder umgekehrt) vom Anfange
des Gitters entfernt, in einem auderen Falle aber der Eine
von Beiden 8 Liingeneinbeiteii:
wo iniifste d a m der
Andere stelien, daniit der veriioinrne Ton uin eine grorse
Sezte haher beginne, als im ersten Falle?
Das Verhaltnifs der grofsen Sexte ist 3 :5 ; wir haben
also in obiger Formel p = 3, q = 5 zu setzeii, wabrend
rn=.i, pt=6 uud r = 8 ist. Dick giebt sonach z =
-
396
- 8,
5. 4 6-.
. 8- - 5.4.6-
- -
;I.8 . ( 4 + 6 )
-
d. 11. der Hilreiide inuk bei deifi
Schutzen stehen , 8 Liingeneiiilieiteii voii dcin Gitter; was
denn auch iiiit iinscrer Tabellc iibcreinstirnmt, nacli welcher
288
5 gieht.
der Fall 4 6 das Scliwiii~iingsve~haltnifs
8.8
4YO
-5
5. 20. Endlich lafst sicli aucli ebcnso leicht eiiie allgeineine Berechouiigsregcl fur das aus oier gegebencn Abstanden resultirende Znteroall aufstelleii. Dciin, gesetzt
dasselbe sey 2. = x,
P
SO
haben wir nach der in
3. 19
be-
sprocheiie~lGrundformcl
p .1.s(?~+n)=q.nan(r+s-),
oder
x.rs(??atn)=mn(r+s),
uiid folglicb
cine sehr einfaclie Berechnungsforrnel, die sich auch leicht
als eiii neues Gesetz in W o r t e kIeiden lieke.
Sollte z. B. das Iiitervall der Falle
den, so kiinueii wir, dcm in
5.
4xerinittelt wer-
2.10
17 nusgesprochenen G e -
1.5
setze zufolge , statt dessen in kleiiieren ZaIiIen setzeii,
= 2 . 2 . ( 1 + 5 )-F
I .5.(2+2)
2.2
5
uiid wir haben soinit s = y
also das
Interval1 der kleinen Terz. - Oder es sollte z. B. das Interval[ gefunden werden, welclies cntstelit, wenn der HOrer in beidcn Fiillen an demselben Platze bleibt, und zwischen sich und das Gitter zwei Schiitzeii so aufstellt, d a k
die drei Abstande von dem Gitter bis zum ersteii Schiitzea,
von diesein zum zweiten uiid voii diesein zum Hilrer einunder gleich werden. Setzt mau hier cinen dieser Abstande
= 1, so haben wir in einfachster Gestalt den Fall 1 . 3
-
2.3'
*3'(2+3)
2 also das Interval1 der
rind sornit x=
2.3.(1+3)8'
kleinen Sexte.
Zum Schlusse noch ein Beispiel:
397
Der Hiirer will, stets an derselben Stelle bleibeiid,
S Schiitaen so aufstelleii, dafs dieselben, indem sie nach
einander abfeuern, die 8 Tiine einer gewohnlichen diatonischen Durscale hervorbringen, so zwar, &fs der zuerst
Schiefsende diclit beiin Hiirer stehe : in wclclie Eiitfernung
inussen die iihrigen gestellt werden?
M'enden wir die ani Schlussc voii tj. 19 aufgestellte
Forinel
a11,
so haben wir iiacli dcrselbeii "den F a l l
I 1
L - n
1.x
fur die sieben Intervalle $, (Sekunde), ; (Terz), Quarte),
4 (Quinte), (Sexte), ;s (Septime) und 4 (Octave) aufzuloseii. Da aber bier, nach d e r geiiiachten Voraussetzuiig,
rn = n = = 1 ist, so gestaltet sirh jene Forinel eiufuchcr so:
und liefert deinnach
fur die Sekunde:
Teri:
Quarte:
Quinte:
Sexte:
Septiine:
uiid
u
Octave:
1)
JJ
)J
JJ
$1
)J
1)
IJ
IJ
BJ
3)
x =
2
=
a:=;=
1;
1;
= 2
x:={-=
3
x=;.=
5
x = '-, -15
z = $- = Q).
x =
-
Das Letztere Iieifst demiiach : Es ist iiberhaupt unmogZich eiiien zwciteii Scbutzen so weit wegzustelleii, dafs
der von dein (an seinein Platze verliarrendcnj- HOrer wahrgenoininene Ton eine ganae Octaoe liiiber klange, als der
durcli einen bei ilm stehenden Scliiitzeii hervorgebrachte;
(wie deiin diefs auch in der Natur der Saclie liegt und
sich sogar schon bei aufincrksainer Betrachtung dcr Fig. 5
Taf. VI VOIA selbst ergiebt ).
Wollte inan den letztercii Vorsucli z. B. nur fur die
6 ersten Tiine der Scale ausfiihren iind dabei die gefiindeneii Entfernuugen (iiiit Hucksiclit arif die inelirerm~linte
Bcdingung der Zulassigkcit uiiserer Forineln uberhaiipt)
in gnnaen ZahZen ausdrucken, so kihinte etwa die des er-
398
sten Schiitzcil (und des Hiirers) 105’, und deingcmafs dic
der folgenden der Reihc nach 135’, 175’, 210’, 315‘ und
5.25’ roin Gittec betrageu, falls iiiinlich die Stiibe des letztcren nicht iiber 1’ vou ciiiander abstelien.
(Sclilufs
in1
n~iclistciiH e f t )
111. Iinter.~uchungenan Mineralien der Snmrnlurrg
ties Hrn. Dr. K r a n t z in Bonn;
oori H. D a u b e r .
(Fortsetzung zu
Bd. XCII, S. 23T dieser Anrraltm.)
6. p a j s b e r g i t , ein in Ilegleitung von Magncteiscnstein, Graiiat uiid Chlorit auf Pajsbergs E i s c n p b e zii
Filipstad in Schwedeii vorgekoiniiienes Kicseliiianganerz ist
iiach einer schoii im Jalire 1851 veriiffentlichten Aiialyse
v o n I g e l s t r i i m l ) gleich deli iibrigen bisher bekaunt gewordencn spsthigen Varietaten dieser Gattung clielniscli
nls ein Augit zu betrachteu. Eine krystallographisclie Hestiinmung des durch seine schdne Farbc, vollkoinnienc
Durchsichtigkeit, Glaiiz uiid Theilbnrkeit so ausgezeichneten Miuerals ist auffallender Weisc bisher uiiterblicben,
iiidein man aus den Resultaten der clieinischeii Untersuchung und der Aiialogie init solchen i\langansilicatcn, a n
welcben a t d m der gleichen atoinistischen Zusainmensetzung
angeblich a i d die Blatterdurchg%ngedes Augit beobaclitct
wordeu sirid, als selbst~~erst~ndlicli
die Isoinorphie iiiit deiiiselbeii gefolgert zu haben scheint. Wenu man indefs
Gelegeiiheit hat ringsurn ausgebildete Krystallc zu scheri,
v i e solclie in einem die obengeo&inten Mineralien durchsetzendea brauiischwarzen aiiiorpheii Eisenoxyclsilicat inituiiter eiiigewachsen vorkoinmen, so ist es niclit scliwcr ails
dem gZnzlichen Rlangel a i l Syminetrir, aus dcr ringlcichen
1) R a m m e l s l c r g Hnntlwiirtrrbtlcl~tler clrrni. n l i n . V. Suppl. 59. E r d m n n r i ’ s J01irii. l i r ~INCI. Cliem. LLV, 190.
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