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Beobachtungen und Theorie ber die Beugung von stark gedmpften elektrischen Schwingungen.

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a
1909,
7.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE. BAND 29.
1. Beobachtungen u n d Theor6e iiber die
Beugung von stark gedampften elektrCschem
8chw6ngungen ;
von O s k a r Bartenste.lm.’)
Einleitung.
Seit den Versuchen von H e i n r i c h Hertzz) im Jahre 1888
iiber St.rahlen elektrischer Krsft, die fur den Fortschritt der
Physik und Technik von so au6erordentlicher Bedeutung waren,
ist auf diesem Gebiete von vielen weitergearbeitet worden. Es
gelang, fast alle Erscheinungen der Optik auf das Gebiet der
elektrischen Wellen zu iibertragen. Auch Beugungserscheinungen wurden beobachtet, die besonders von R i g h i 3),
Lebedew4), L a m p a s ) und Bosee) genauer untersucht wurden.
Zweck der vorliegenden Arbeit ist, quantitative Messungen
iiber Beugung elektrischer Wellen anzustellen und zu erortern,
welchen Einflu6 die Dampfung elektrischer Wellen auf die
einfachsten Beugungserscheinungen ausiibt.
Die folgende Arbeit gliedert sich in nachstehender Weise :
5 1. Dor Oszillator. - 8 2. Der Resonator. - fj3. Das Galvanometer. - § 4. Allgemeine Bemerkungen. - 8 5. Die ersten Versuchsresultate. - 8 6. Zur Theorie der Beugung elektrischer Wellen. ifber
Interferenzen gediimpfter Schwingungen. - 0 7. Beugung ungedampfter
Wellen. - 9 8. Beugung gedampfter Schwingungen. - 8 9. Beugung
gedampfcer Wellen unter besonderer Beriicksiehtigung des Anfangszustandes. - 8 10. Priifung der Theorie durch Beobachtungen. 5 11. Beugung durch Gitter. - 0 12. Nachweis der ersten Oberschwingung. - § 13. Abhllngigkeit der Dampfung elektrischer Schwin1) Dissertation, Jena 1909.
2) H. H e r t z Ausbreitung der elektrisehen Kraft 1894.
3) A. R i g h i , Optik der elektrisehen Schwingungen, Leipzig 1898
und A. R i g h i - D e s s a u , Die Telegraphie ohne Draht, Braunschweig 1903.
4) P. L e b e d e w , Wied. Ann. 66. p. 1. 1895.
5) A. L a m p a , Wiener Sitzungsber. 108. p. 587 u. 786. 1899.
6) J. Ch. Bose, Proc. Roy. SOC.60. p. 167; 1896.
,
Annalen der Physik. 1V.Folge. 29.
14
202
0. Bartenstein.
gungen yon der Ordnungszahl der Oberschwingung , der Funkenllnge
und dem Material der Elektroden. - S 14. Zusammenfassung der Ergebnisse.
1. Der Oszillator.
Zur Erzeugung der elektrischen Schwingungen diente ein
Righischer Erreger]), der nur unwesentlich von der urspriinglichen Form abwich. In zwei Metallstucke A A war ein Glasrohr B von etwa 4 cm Durchmesser mit Schellack eirrgekittet.
Fig. 1.
Die eigentlichen Erregerkugeln waren a m Ende zweier Glasrohren D D' ebenfalls mit Schellack befestjgt. Die GlnsrShreri
wieder waren eingekittet in kurze Metallrohren B , die mit
einem angeloteten Metallring P durch Schraubeu dicht an die
Platten A gepreBt werden konnten. Die Regulierung der
Funkenstreckc geschah durch die Stellschraube G , rnit der
sich zugleidi das Glasrohr U' verschieben lieB. Diese Anordnung gestattete eine leichte Regulierung der Funkenstrecke
und vor allem ein leichtes Auswechseln der Elelrtroden , was,
wie sich im Verlauf der Untersuchungen herausstellte, sehr
oft geschehen muBte, Tim die Kugeliz und GlasrShren zu
reinigen. Der ganzo Errcger war mit Petroleum gefiillt, einmal, um das Oxydieren der Zinkkugeln zu vernieiclen, und
dann, urn den Kugeln ein hoheres Ladepotential geben zu
konnen, das ja naturgemrih die Energie des Oszillators vermehrt. P i e Stromzufuhrung wurde wie bci R i g h i , L e b e d e w
und anderen vermittelt durch in die Glasrohren hineinrugende
Drrihte mit Kugeln H am Ende, von deneii der Funke durch
Luft auf die Oszillatorkugeln iiberspringen konnte. Gespeist
wurde der Oszillator von einem kleinen Teslatransformstor,
1) A. R i g h i ,
I.
c.
Bevgung von stark yedampften elcktr. Schwingungen.
203
der seinerseits durch ein Induktorium ?on ca. 10 cm Schlagmeite betrieben wurde.
Der ganze Erreger hing an zwei zu Haken gebogenen
Glasrobren im Brennpunkte eines Metallkugelspiegels von
64 cm Offnung. Zu den Beobachtungen murden nur die vom
Spiegel reflektierten parallelen Strahlen benutzt. Damit die
vom Erreger direkt ausgehenden divergenten Strahlen die Erscheinungen nicht storten, wurde die dem Spalt oder Gitter
zugewandte Halfte mit Stanniol belegt, so da6 die direkten
Strahlen nicht nur abgeblendet , sondern durch Reflexion in
sich selbst zu Parallelstrahlen umgewandelt wurden.
Der Teil des Zimmers, in dem der Erreger mit dem Hohlspiegel aufgestellt war, war durch eine mit Stanniol iiberzogene
Pappwand von dem Empfanger getrennt, so da6 die elektrischen
Strahlen nur durch eine kreisrunde Offnung in derselben yon
der BroSe des verwendeten Spiegels nach dem Beobachtungsraum gelangen konnten. Stijrende Reflexionen an Gas- und
elektrischen Leitungen waren durch diese VorsichtsmaBregel
so gut wie vollstandig vermieden.
s?. Der Resonator.
Die Parallelstrahlen fielen, nachdem sie durch einen Spalt
oder durch ein Gitter, das vor die Wandoffnung gehangt
werden konnte, gebeugt worden waren, auf eine groBe Glaslinse, die sie in ihrem Brennpunkte auf den Empfanger konzentrierte. Die Linse war natiirlich so aufgestellt, daB ihre
fur elcktrische Wellen bedeutende spharische Aberration den
kleinsten Wert hatte, d. h. die konvexe Seite war dem Spalt,
die Planseite dem Ernpfanger zugekehrt. Der Ernpfanger war
nach den Angaben von L e b e d e w l ) konstruiert: die beiden
Halften des geradlinigen Resonators waren durch ein Thermoelementa) aus sehr feinen Drahten verbunden. Die im Resonator induzierten Schmingungen rufen infolge J o u 1 e scher
Warmeentwickelung eine Temperaturstejgerung der einen Lotstelle hervor, die ihrerseits durch den entstehenden Thermostrom gemessen wurde. Der ganze Resonator befand sich
1) P. Lebedcw, Wied. Ann. 66. p. 1. 1895.
2) I. KlemenEiB, Wied. Ann. 42. p. 416. 1891.
14*
204
0.Bartenstein.
genau wie die Elektroden des Erregers in der Achse eines
kleinen Zylinderspiegels , der a.uf seiner Vorderseite durcli
eine Gtasplatte verschlossen wax.
Empfanger und Linse waren fest auf einem kleinen Wagen
aufgestellt , der durch eine urn einen ' Punkt drehbare Holzplatte gezwungen wurde, auf einem Kreis sich zu verschieben.
Die Verschiebung wurde an einer Qradeinteilung auf der
Tischplatte abgelesen. Die schematische Darstellung wird
leicht die Versuchsanordnung erkennen lassen :
J = Induktorium.
T = Teslatransformator.
Sp = Hohlspiegel.
E = Erreger.
Lf = Gitter.
L = Linse.
= Resonator.
= Kreieteilung.
W = Wagen.
V = Galvanometer.
R
IL'
Sui = Stanniolwand.
Fig. 2.
Q 3. Das Galvanometer.
Die Thermostrijme wurden durch Spiegel und Skala gemessen mit einem D u b ois - R u b e n s schen Panzergalvanometer,
dessen Schwingungsdauer auf 9-10 Sek. gebracht wurde. Das
Induktorium wurde so gestellt, da6 sein magnetisches Streuungsfeld keine Wirkung auf das Galvanometer ausiibte. Zur Verringerung des Galvanometerwiderstandes waren beide Rollen
parallel geschaltet. Da auch der Widerstand des Empfangers
klein war, machten sich Thermostrome infolge Luftzuges und
hierdurch bewirkten Temperaturanderungen an Klemmen und
Lotstellen sehr stark bemerkbar , so daB Resonator, Galvano-
Beugung von stayk gedampften elektr. Xchwingungen.
205
meter usw. usw. gut mit Watte verpackt und auch wahrend
der Beobachtung vor Luftbewegungen miiglichst geschiitzt
werden muken. Wahrend hierdurch unregelmaBige, plotzliche
Schwankungen viillig beseitigt wurden , blieben doch noch
kleine , langsame Verschiebungen der Ruhelage bestehen, die
durch die Anderung der Zimmertemperatur verursacht wurden,
die aber die Messungen in keiner Weise ungunstig beeinfluBten.
Fur manche Messungen machte sich eine Verringerung der
Empfindlichkeit des Galvanometers niitig , die durch Parallelschaltung eines kleinen Widerstandes leicht herbeigefuhrt
werden konnte. Hierbei zeigte sich nun folgendes:
Durch das Thermoelement wurde bei der empfindlichen
Schaltung des Galvanometers ein Ausschlag ul hervorgerufen,
bei parallel geschaltetem Widerstand ein Ausschlag 4,wobei
etwa al : a2= 6 : 1 war.
+v
+jz--q+
@
Fig. 3.
Fig. 4.
Wurde ein Strom durch das Galvanometer geschickt, der
von zwei Stellen A und B eines stromdurchflossenen Widerstandes abgenommen wurde, und durch einen im Vergleich
zum Galvanometer grogen Widerstand W gehen muBte, so
ergab sich fur die beiden Ausschlaige u3 und u4 hei den zwei
verschiedenen Empfindlichkeiten dns Verhaltnis us:u4 = 15 : 1.
Fig. 5 .
Fig. 6.
Wir miissen ja in unserem Falle Spannungsmessungen
des Thermoelementes ausfuhren. Es fragt sich hierbei nur:
mit welcher Zahl miissen wir den Ausschlag a, des unempfindlichen Galvanometers multiplizieren, um den ihm entsprechenden
Ausschlag des empfindlichen Galvanometers zu erhalten?
0. Bartenstein.
206
W ir wollen zu dieser Untersuchung folgende Bezeichnung
durchfuhren :
= Ausschkge des Galvanometers bei Schaltung 1, 2, 3, 1.
,i mit Index iw, i,,, iwt= Stromstarke im Widerstand U’, ws, wt
a1 ay us al
Es bedcuten ferner:
wt = Widerstand des Thermoelementes.
tug = Widerstand des Galvanometers.
20s = der dem Galvanometer parallel geschaltete Widerstand.
W = der dcm Galvanometer vorgeschaltete groEe Widerstand.
e, = Spannung des Thermoelementos in 1 und 2.
e,, = Spannungsunterschied zwisehen A und B in 3 und 4.
Es ist nun, weil wg und
werden konnen :
10s
gegeniiber W vermachlassigt
Durch Subtraktion findet man:
oder wenn wir in Gleichung (2) den Wert aus Gleichung (1)
= i w g 42
. einsetzen, erhalten wir:
i
ws 3
a4
.
a8 - u4
m!,
iWs4
= t w g 4 .a4
7
~
a3
- .
a8 - m4
- zwg4 . c
(
(
oder
Andererseits ist nach dem Ohmschen Gesetz:
(3)
Bei Schaltung 1 und 2 sind die Widerstande wf, ws, wg
von gleicher GrtiBenordnung; wir diirfen hier also keine Vernachlassigungen eintreten lassen. Der Gesamtwiderstand in
Schaltung 1 ist demnach = w t
+ w.9 = iq,
Beuguny von stark gedampften elektr. Schwingungen.
201
Die Stromstarken siud demnach bei gleicher Spannung des
Thermoelementes in
11
2:
oder es verhalt sich:
-i,= - -WP
i2
2u1
-
zlcg 1
“3
- ff4
=-,
zwv 1
.
cis
es ist also:
Der Ausschlag in Schaltung 1 ist a,, der Ausschlag in
Schaltnng 2 bei gleichem Widerstand wie in 1 sei a,. Wir
erhalten:
e1
zc,
es verhalt sicli also
.
= as,
ztcg1
~
.
as
.-
“4
iws 1 entspricht dem Ausschlag el,iwsadem Ausschlng cc2.
ergibt sich dernnach:
Es
d. h. wir mussen den mit parallel geschaltetem Widerstand
gemessenen Ausschlag a2 mit dem Faktor a,/a4 multiplizieren,
urn el mit a2 direkt vergleichen zu konnen.
Am Ende der Versuche wurde zur Priifung dieser Rechnung zur Verringerung der Galvanometerausschlage ein Widerstand dern Galvanometer vorgeschaltet, und mit der neuen
Anordnung eine Beobachtungsreihe ausgefuhrt. Es zeigte sich
hierbei eine gute Ubereinstimmung der umgerechneten Werte,
gefunden mit der friiheren Qalvanometerschaltung, rnit den
zuletzt beobachteten Werten. Die Verwendung des parallel
0. Bartenstein.
208
geschalteten Widerstandes hatte , wie sich allerdings erst bei
den letzten Versuchen herausstellte, den Vorteil, daB die
Dampfung des Galvanometers infolge des kleinen auBeren
Widerstandes bedeutend starker war, als wenn durch den Qorschaltwiderstand der Gesamtwiderstand des Stromkreises auf
etwa das Zehnfache seines urspriinglichen Wertes gebracht
wurde Zur Aufnahme einer Beobachtungsreihe war mit der
ersten Schaltung nur ungefahr die Halfte der Zeit notig als mit
der zweiten, was bei einer grofien Zahl Einzelbeobachtungen
immerhin eine nicht zu verachtende Zeitersparnis bedeutet.
Bei den Beobachtungen wurde der erste Ausschlag des
Galvanometers abgelesen, da eine konstante Einstellung nicht
z u erreichen war. Die Ursache hierzu ist wohl darin zu
suchen, daB die Unterbrechungen am Induktorium nicht regelma@ genug vor sich gingen. Kann man nun ohne weiteres
die ersten Ausschlage proportional den sie hervorrufenden
konstanten Stromen setzen? Zur Entscheidung dieser Frage
wurde die in Figg. 5 und 6 angegebene Schaltung benutzt.
Es wurden die ersten Ausschlage gemessen, wenn zwischen
den Punkten A B 1, 2, 3, 5, 10 S.-E. lagen. Dann sind die
Stromstarken im Galvanometerstromkreis proportional diesen
Widerstgnden, und man kann die Ausschlage direkt mit den
Stromen vergleichen. Die Ergebnisse sind in folgender Tabelle
zusammengestellt.
T a b e l l e I.
Berechneter Beobachtet
Sirom- Mittlerer
beobachteter Ausschlag
minus
stgrirke
Ausschlag
1
2
3
5
10
20
50
berechnet
Fehler
in
Proz.
Bemerkungen
11,13
22,26
35,43
57,90
11,52
23,04
34,56
57,60
- 0,39
- 0,78
:::: 1
+0,30
0,52
8,lO
16,36
8,29
16,58
- 0,19
- 0,22
41,83
41,45
+0,38
2,29
1,33
0,92
+ 0,87
2752
1
I
Bei voller
Empfindliclikeit
Bei parallel
geschaltetem
Widerstand
Bet~yungvon sturk gedarnpften elektr. Schwingungen.
209
Beobachtungen in dem Interval1 gemacht wurden, in welchem
Proportionalitat zwischen Strom und Ausschlag besteht.
8 4. Allgemeine Bemerkungen.
Mit dem Thermoelement im Resonator ist man imstande,
genau wie mit einem Bolometer eine der auffallenden Energie
proportionale GroSe zu messen. Treten aber im Resonator nicht
auch Verluste auf, die eventuell die Messungen beeinffussen
ktinnten? Fragen wir uns also nach der Natur dieser Verluste:
Der Resonator, der zu den Messungen benutzt wurde, ist
j a ‘im Grunde genommen weiter nichts als ein geradliniger
Leiter, in welchem durch die ihn schneidenden elektromagnetischen Kraftlinien Schwingungen rterselben Periode wie im
Oszillator erregt werden. Er mid3 also genau wie ein H e r t z scher Erreger wirken, d. h. selbst wieder Energie durch Strahlung verlieren. Da aber, wie A b r a h a m l) theoretisch erwiesen
hat) der Strahlungsverlust eines derartigen Korpers nur von
seinen Dimensionen abhangig ist, wird die vom Resonator ausgestrahlte Energie direkt proportional sein der auffallenden
Energie. Von letzterer wird demnach nur ein fur jeden Resonator hestimmter Prozentsatz in Warme verwandelt, die aber
ein MaB ftir die Gesamtenergie gibt.
Von dieser Warme geht aber wiederum ein Teil durch
Strahlung und Leitung verloren. Da es sich in unserem Falle
nur um sehr kleine Temperaturdifferenzen handelt, wird man
nach dem Newt on schen Abkuhlungsgesetz die Strahlungsanderung proportional der Temperaturanderung setzen konnen.
Die WBrmeleitung, die j a hier bloB vom Temperaturgefalle abhangig ist, wird auch nur einen Verlust verursachen,
der proportional der Gesamtenergie ist. Alle diese Verluste
bewirken wohl eine Energieverringerung, die sich aber fur alle
Fiille prozentual gleich bleibt, welche also die doch nur relativen Messungen nicht weiter beeintrachtigt.
Uber die VorsichtsmaBregeln, die bei den Versuchen zu
beachten waren, sowie tiber die Zuverlassigkeit der Methode
ist nur noch wenig zu sagen. Vie1 Zeit und Miihe beanspruchte jedesinal die Einstellung der Apparate. Der Oszil1) M. Abraham, Wied. Ann. 66. p. 435. 1898.
210
0.Bartenstein.
lator wurde in dem Brennpunkt des Hohlspiegels aufgestellt,
dessen Brennweite sich j a leicht aus dor Kriimmung berechnen
1aBt. Die Bestimmung der Brennweite der Linse lie6 sich
rechnerisch nicht durchfuhren, da der Brechungsexponent fur
die benutzten langwelligen Strahlen nicht bekannt war. Die
Lage des Brennpunktes muBte deshalb auf folgende Weise
ermittelt werden: die Linse wurde so aufgestellt, daB ihre
Achse mit der Spiegelachse zusammenfiel. Die vom Erreger
ausgehenden Strnhlen trafen als Parallelstrahlen auf die Linse,
die sie in ihrem Brennpunkte vereinigte. Der Resonator wurde
nun in der Achse so lange verschoben, bis der Ausschlag, des
Galvanometers ein Maximum wurde. Der Brennpunkt der
Linse war sehr gut ausgebildet, so dntl eine Verschiebung des
Resonators um 2-3 mm eine starke Verkleinerung des Ausschlages verursachte. Im Laufe der Untersuchungen stellte
sich heraus, da8 eine genaue Einstellung unbedingt erforderlich war. Denn eine kleine Unsymmetrie bewirkte eine gro6e
Verschiedenheit in der Energieverteilung rechts und links der
hellen Mitte. Ganz lieBen sich solche UnregelmaBigkeiten
nicht vermeiden, doch wurde diesem Umstande dadurch Rechnung getragen, da8 immer Mittelwerte berechnet wurden aus
den Beobachtungen, die um gleiche Winkel von der hellen
Mitte rechts und links seitwarts abliegen. Punkt fur Punkt
in den gezeichneten Kurven wurde auf diese Weise bestimmt.
Alle Kurven geben auBerdem den Mittelwert von 3-4 Einzelkurven, so da6 zur Bestimmung eines Kurvenpunktes 6-8
Beobachtungen verwendet wurden. Es sei gleich hier erwahnt,
daS die Kurven durch samtliche berechnete Punkte hindurchgezogen sind, was eine besondere Einzeichnung dieser Punkte,
die stets urn 2O voneinander abliegen, iiberflussig und die
Zeichungen ubersichtlicher macht.
Uber die Konstanz der Ausschlage, hervorgerufen durch
die Einwirkung der Schwingungen auf den Resonator, und
iiber die damit unmittelbar im Zusammenhang stehende Genauigkeit der Methode, wird uns folgende Tabelle am besten
AufschluB geben. Die Werte sind spateren Beobachtungen
beliebig entnommen, wobei die Anderung der Intensitat der
Strahlung durch Veranderung der Breite des beugenden Spaltes
bewirkt wurde.
Beuguny von stark gedampften elektr. Schwingungen. 21 1
T a b e l l e 11.
Beobachteter
Ausschlag
Spalt
breite
Berechneter
Ausschlag
Beobachtet
minus
bc,reclinet
Bbweichungen
vom Mittel
in Proz.
I
149
148
145
145
152
147
152
105
109
10s
106
149,14
-0,14
--0,14
- 3,14
- 3,14
3,86
- 1,14
3,86
+
+
- 1,43
+ 2,57
0,095
0,095
2,12
2,12
2,G I
0,77
2,61
1,36
2,42
+1,57
1,47
- 0,43
- 1,43
- 1,43
+0,57
0,40
1,36
1,3G
0,54
- 1,28
0,72
1,72
- 1,28
- 1,28
- 1,28
+2,72
1,83
1,15
2,4 5
1,83
1,83
1,R3
3,88
070
40
0,oo
- l,o
- l,o
030
2,o
39
37
-1,o
106,43
I05
105
107
69
+
+
71
72
69
70,28
69
69
73
38
37
37
38
38,O
+
+ I,O
2,63
2,63
070
5,27
2,63
2,63
Man sieht, daB die Ubereinstimmung der einzelnen beobachteten Werte eine ziemlich gute und oine Abweichung von
5 Proz. vom Mittelwert nur in einem einzigen Falle zu verzeichnen ist. Es ist leicht erklkirlich, dal3 die Genauigkeit
keine gro6ere ist; denn die Vorgauge im Erreger sind sehr komplizierter Natur und von vielen Zufalligkeiten abhangig. Dazu
kommt noch die UnregelmaBiglreit, mit der der W e h n e 1t sche
212
0. Bartenstein.
Unterbrecher im Primarstromkreis des Induktoriums arbeitet,
und ferner die zweite Transformation des Ladestromes im
Teslatransformator.
Zur Erzielung guter Resultate muBte auf peinlichste
Sauberkeit des Erregers geachtet werden. Deshalb wurde
nach je zwei oder drei Beobachtungsreihen der Erreger auseinandergenommen , von den Kohleteilchen gereinigt, die sich
aus dem Petroleum beim Funkendurchgang ausscheiden , die
Elektroden mit feinstem Schmirgelpapier geglattet und der Erreger nach dem Zusammensetzen mit neuem Petroleum gefiillt.
$ 5. Die ersten Versuchsresultate.
Die ersten Versuche beschrankten sich darauf, zu untersuchen, ob wirklich die elektrischen Strahlen, die vom Erreger ausgesandt wurden, Beugung erkennen lietlen, und ob
auch diese Erscheinungen einer genaueren Messung zuganglich seien. Die Parallelstrahlen traten durch einen Spalt hindurch, an dem die Beugung stattfinden sollte, und es wurden
die Ausschlage gemessen bei den verschiedenen Stellungen des
Empfiingers. Es wurde hierbei festgestellt, daB in der Symmetrieebene der ganzen Aufstellung die Ausschlage des Galvanometers am gro6ten waren, wie man auch von vornherein
erwarten muBte. Nach der Seite zu nahmen die Ausschlage
rasch ab, stiegen dann bis zu einem Maximum wieder an, erreichten ein zweites Minimum und auch ein zweites Maximum.
Beugung war dadurch einwandfrei konstatiert. Die Ausschlage
waren in der Mitte so groB, daD die Skala nicht ausreichte.
Bei diesen Messungen wurde deshalb der oben erwahnte Nebenschluf3 am Galvanometer benutzt. Die Grof3e des Ausschlages
brachte auch den Nachweis, daB auf die angegebene Art genauere Messungen der Energieverteilung moglich sind. E s
zeigte sich auch, da5 die Lage der Beugungsmaxima abhangig
war von der Spaltbreite, und da6 die Verschiebung in dem
Sinne erfolgte, wie die Theorie fur die Beugung. des Lichtes
an einem Spalt erwarten lie5. Es miigen hier in einer Tabelle
die Werte angegeben werden, wie sie bei einer Spaltbreite
von 38 cm direkt beobachtet wurden, mit der Bemerkung, daB
alle Werte sich auf gleiche Empfindlichkeit des Galvanometers
beziehen.
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingunyefz. 2 13
T a b e l l e 111.
A
~
Ausschlag
Winkcl
Auaschlag
Winkel
1
l
l
0
11
10401~968
11
47
I
1 3
1 4
1 5
I I I I I
26
1 6
926
~ 1831 ~1740 I632
g 1460
I 12 I 13 I 14 I 15 I 16
22 I 2 3
8
1 2
20
18
I 24 I 25
20
117
1 8
I I
323
1'3
224 I138
I 18 I 19
110
I
81
120
I 21
12
I I I I
23
20
16
128 1 2 9
I 30
131
7,5
8
7,s
24 I 2 5
I26 I27
1 7
I
I I I I I I I I I I
6
4
3,5
4,5
5
6
Tragt man die Winkel als Abszissen und die Ausschlage
als Ordinaten auf Koordinatenpapier auf und verbindet samtliche Punkte durch eine Kurve, so zeigt dieselbe ohne kunstliche Nachhilfe ein schones glattes Aussehen, was gut stimmende
Beobachtungen voraussetzt.
Das erste Minimum liegt also, wie man der Tabelle entnehmen kann, um 14O von der Mitte aus gerechnet seitlich.
Rechnen wir nun nach den Formeln, die fur die Beugung
durch einen Ypalt gelten, die Wellenlange der Schwingung
aus, so erhalten wir: A = 9,2 cm. Denn es ist h/a = sincp
fur das erste Minimum, wobei a die Spaltbreite, 4p der in der
Tabelle angegebene Winkel ist. Fur das erste Maximum gilt
die Beziehung: a.sin y = 1,43. A. Fur 1 den eben gefundenen
Wert eingesetzt, ergibt sich cp = 20,3O. Vergleichen wir die
so berechnete Lage des Maximums mit der in der Tabelle
angegebenen, so zeigt sich, daB beide um mehr als 3O voneinander differieren.
Die elektrischen Wellen scheinen also doch nicht ganz
denselben Gesetzen zu folgen, durch die sich die Beugung der
Lichtwellen exakt darstellen la&. Worauf diese Verschiedenheit zuriickzufuhren ist, und wie man die Abweichungen theoretisch fassen kann, sol1 uns der nachste Abschnitt zeigen.
§ 6. Zur Theorie der Beugung elektrischer Wellen.
tfber Interferenzen gediimpfter Schwingungen.
Der wesentliche Unterschied zwischen elektrischen Wellen
und Lichtwellen besteht wohl darin, da6 erstere, soweit sie
yon einem Hertzschen Erreger auagesendet werden, stark
0.Bartenstein.
21 4
gedHmpft sind. Dadurch werden alle Erscheinungen der Optik,
die suf die Wellennatur des Iichtes zuriickzufuhren sind, bei
ihrer Uber tragung auf das Gebiet der elelitrischen Schwingungen weseutlich modifiziert werden. Vor allem gilt dies
bei Interferenz und Beugung.
LaBt man zwei Sinusschwingungen von verschiedener
Amplitude und Phase, aber gleicher Wellenlange miteinander
interferieren, so IaBt sich immer die Summe der beiden Wellenziige darstellen als eine reine Sinusmelle, deren Amplitude und
Phase mit den Amplituden und Phasen der beiden urspriinglichen Wellen in ganz bestimmtem Zupammenhange stehen.
Es fragt sich nun, ob dieser Zusammenhang auch bei der
lnterferenz gedampfter Wellen bestehen bleibt. Nehmen wir
als Gleichung einer gedampften Schwingung an :
y = a . e-pt sin
2nt
(T
+p),
wobei a die Amplitude zur Zeit t = 0 bedeutet, 9 gleich ist
der Schwingungsdnuer und p die Phase bezeichnet, dann wird
die lnterferenz sich als Summe zweier solcher Gleichungeii
darstellen lassen :
Das Dampfungsglied p ist in beiden Fallen nls gleich vorausgesetzt, da nur koharente Wellen interferieren. Auch konneii
wir die Amplituden a, und a, gleich setzen, da man wohl
ohne weiteres annehmen mu8, da6 eiu Hertzscher Erreger
zu gleicher Zeit nach benachbarten Richtungen Wellenziige
mit gleicher Amplitude aussenden wird. Wir batten also die
Analog der Formel
sin ‘p + sin
laBt sich schreiben:
= 2 sin
9
CQS
2
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingungen. 2 15
Die GroBen
cos
~
und
p2
sind Konstanten, also ist auch
@' konstant. Wir erhalten also:
2'
y = const. a . e-l't sin
81
$-
w
,
d. h. der resultierende Wellenzug ist ebenfalls ein gedampfter.
Das Dampfungsglied ist dasselbe geblieben , nur die Amplitude und Phase hat sich geandert. Jedenfalls zeigt die Rechnung, da6 man immer zwei gleich stark gedampfte Wellen
als cine einzige gleich stark gedampfte Welle auffassen kann.
Gilt die Betraclitung fur zwei Wellenzuge, dann gilt sie naturgem55 auch fur jede beliebige Zahl unter der selbstverstiindlichen Voraussetzung, da8 alle Wellen gleich stark gedampft
sind. Dies Resultat ist fur die folgcnde Rechnung von Wichtigkei t.
S 7. Beugung ungedampfter Wellen.
Bevor wir die Beugung gedPmpfter Wellenziige durch einen
Spalt untersuchen, sei das Hauptsaichlichste uber die Beugung
ungediirnpfter Wellen vorausgeschickt. Die Rechnung ist ausgefiihrt u. a. in W i n k e l m a n n , Handbuch der Physik Bd. VI.
p. 1070. 1906 und i n C h w o l s o n , Lehrbuch der Physik Bd. 11.
p. 520. 1904. Die Beugung durch einen Spalt fiihrt zu einer
Ausgangsgleichung von der Form :
aus wolcher sich durch einfache Rechnung ergibt:
Hierbei ist u durch die Beziehung:
bestimmt. x ist ein Proportionalititsfaktor , A die Amplitude
der einfallenden Welle, f die Spaltbreite, A die Wellenlange
und A I 2 die Energie der unter dem Winkel 9 vom Spalt ausgehenden Welle.
0.Bartenstein.
216
Durch diese Gleichung ist eine Abhangigkeit zwischen A12,
d. h. zwischen der Energie der neuen Schwingung und der
GrijBe 'a gegeben. Da u selbst unmittelbar mit dem Winkel rp
zusammenhangt, gehijrt zu jedem cp ein bestimmtes A I 2 . Rechnet
man einzelne Werte von AI2 fur cp
aus, tragt die Winkel u als Abszissen und die zugehorigen A x 2 als
Ordinaten in einem Koordinatensystem ein, so erhalt man ungefahr
folgende Kurve.
u
.
Die Kurve zeigt abwechselncl
Maxima und Minima. Letztere Iiegen
Fig. 7.
alle gleich weit voneinander und
reiclien bis auf die Abszisaenachse herab. Die Maxima nehmen
nach beiden Seiten hin in dem Verhiiltnis:
L
I:-:--:-.
1
20
1
56
..
1
ab.
110
8. Beugung gediimpfter Schwingungen.
Da meines Wissens die gleiche Rechnung fur gedampfte
Schwingungen noch nicht durchgefuhrt ist, wollen wir jetzt
unter Berucksichtigung der Dampfung eine Formel fur die
Beugung durch einen Spalt abzuleiten versuchen. Die Ausgangsgleichung wird sich nur insofern von der vorigen unterscheiden, als die rechte Seite noch
mit dem Faktor e - p t multipliziert
ist, Wir kiinnen annehmen, da6
die Interferenz stattfindet in der
Ebene BC. Der Strahl, der von
dem Element d y ausgeht, wird eine
Fig. 8.
Phasendifferenz von 2 nsin cplh gegen
den Strahl B zeigen. E r wird auch zu einer anderen Zeit aus
der Ebene A B ausgetreten sein, und zwar ist die Zeitdifferenz gleich
@yD)
ysincp
-z:-
xT
0
V
wobei v die Fortpfianzungsgeschwindigkeit der Welle bedeutet ;
Beugi~ngvon stark gedampfien elektr. Schwingungen.
21 7
wir haben also in e - p t das t zu ersetzen durch ysinrplv.
Wir erhalten demnacb als Ausgangsgleichung:
Wie wir gesehen haben, resultiert hieraus wieder eine
gedgmpfte Schwingung mit gleicher Dampfung, deren Gleichung
wir annehmen konnen zu
(2)
G- - @).
Y=Ale-ptsin2n
Wenn wir den Sinus in (2) auflosen und den Wert von Y
aus (2) in (1) einsetzen, ergibt sich:
A, . e - p f sin T cos 2 n @
2n2
~
- A, e--p
t
2nt
cos __ sin 2 TC @
T
Durch Vergleichung der Faktoren gleicher Glieder auf beiden
Seiten erhalt man:
0
s
c
Ale-ptsin2n(I,= x A
0
Annaleo der Physik. IV. Folge. 29.
e
pysinv
--
0
.sin
2nysincp
I
dy.
15
0. Bartenstein.
218
Man quadriert und addiert beide Gleichungen :
Fuhrt man die Integration &us, so erhtilt man:
psincp
(- 2,
--
pysin
~ , 2 . e - 2 ~ =t x 2 A ?
+xZA2
r
e
+ 2 nsin
I.
Q
cos
fp
~
p z sins cp
&2
2nysinrp
A
sin
+
Q
.
A
j:l
4 n2 sin2 cp
I2
sin
-~p y s i n
2 n y sinq)
2
A
- ___
cos
I
p e sin2fp
v2
4 nesin2rp
+--
A=
I
Man klammert sin2y aus und setzt die Grenzen ein:
Beide Briiche auf der rechten Seite haben gleichen Nenner
und einen gleichen Faktor. Wir konnen also die Zahler in den
Klammern vorlliufig allein weiter entwickeln. Bezeichnen wir :
Beugung uon stark gedampften e b k t r . Schroingungen.
219
dann erhiilt man fur die erste Klammer:
(- a e x
+ b e y + a)2
= e 2 a 2 x z - 2 e 2 u 6 ~ ~ - 2 e ~ ~ x + e z ~ ~ ~ 2 + ~ e a ~ ~ +
fiir die zweite Klammer:
(- e a y
e b y b)?
=eZa2y2+2e2abxy- 2 e a ~ ~ + e 2 ~ z ~ ~ - 2 . e ~ z x + ~
-
+
Man addiert:
+ y2) + e z b z ( x 2 + y2)- 2 e x ( a 2+ bZ) + (a2+ P),
x = cos, y = sin ist, so ergibt sich x2 + y2 = 1.
= e2u2(xp
da
Man erhalt demnach weiter :
+ e 2 b 2 - 2 e x ( a 2 + P)+ (a2+ b2)
= e 2 ( d + ha) + (a2+ b2)(1 - 2 e x )
= (a2 + b2)(e2 - 2 e x + 1).
e2a2
oder
Setzen wir jetzt fur e, a, 6, x , y die eigentlichen Werte wieder
ein, so geht Qleichung (3) iiber in folgende:
Benutzen wir die Beziehung:
c o s 2 u = 1 - 2sin2cc,
15 *
220
0.Bartenstein.
dann erhttlten wir :
Fuhren wir wie bei den ungedampften Schwingungen ein
nfsincp
-- 1L ,
I
dann folgt:
siny
211
=I
-
.f
ul
und feinrp = -.n
Diese Werte in die letz te Gleichung eingesetzt, ergibt:
Etwas iibersichtlicher geschrieben lautet diese Gleichung:
1' I1 1
(4)
AI2.,e-2pf
x2A2./2
=
2
P
71
1,
[ ( e - ~- 1) + 4 e
I 2 p2
u2
-4-4
n2 2:2
Dies ist die zur Diskussion geeignetste Form der Gleichung.
Setzt man das Dampfungsglied p gleich Null, so mu5, falls
richtig gerechnet ist, der obige Ausdruck in die einfachen
Formeln fir ungedampfte Schwingungen iibergehen. Wir erhalten :
x 2 AS f 4
= % 2 A 2 f 2 sin2 u
A,Z = 01-4.
212
'
d. h. genau denselben Ausdruck wie auf p. 215 (I).
Wir mussen jetzt untersuchen, ob Gleichung (4) auch
noch brauchbar bleibt fur T 0. Dann wird nach der oben
eingefiihrten Beziehung
5:
u=-
n f sin cp
A
such
Gleichung (4) geht dann iiber in:
u = 0.
Beugung von stark gedampften eleklr. Schwingungen.
22 1
d. h. die rechte Seite hat den unbestimmten Wert 010. Der
von dem Glied sin u / u fur u = 0 unbestimmte Ausdruck hat,
wie bekannt, den endlichen Wert 1. Betrachten wir nun den
Wert:
p
(e-;-l]
It
1.
-
2pul
-~
zu
-2e
p zcl
-~
JTV
+ 1
- -.0
0
2 2
Wir differentiieren Zahler und Nenner einzeln nach u:
Wir differentiieren nochmals:
Fur
u =0
geht der Ausdruck iiber in:
-.2m?p 9 A2
v2
pz 2 2
1 - -. I = -.pzla
e.4 n 2
'.2 n'
Dies ist der Wert des unbestimmten Ausdruckes.
in Gleichung (4) ergibt:
Eingesetzt
d. h einen endlichen Wert.
Es fragt sich weiter, was das Exponentialglied auf der
linken Seite der Gleichung (4) bedeutet. Wir haben vorausgesetzt, da6 nach jeder Richtung vom Spalt aus aieder eine
gedampfte Schwingung ausgeht, deren Anfangsamplitude A, ist,
deren DImpfung gleich der der einfallenden Welle ist. Nach
Verlauf einer bestimmten Zeit t wird die Amplitude auf den
Wert A , . e - p t gesunken sein. Wir wollen aber nicht wissen,
wie sich die Amplitude eines Strahles in einer bestimmteii
Richtung zeitlich andert , sondern wollen die Amplituden von
Strahlen in verschiedener Richtung untersuchen. Das diirfen
wir aber nur immer zur gleichen Zeit t nach dem Einsetzen
der Welle, und es ist gleich, welchen Zeitpunkt wir wahlen.
Wahlen wir t = 0 , so vergleichen wir die Ankngsamplituden
222
0.Bartenstein.
der vom Spalt ausgehenden Strahlen. Da die Dampfung aller
Wellen gleich ist, ist such die Intensitat des ganzen Schwingungsverlaufes nur von der Anfangsamplitude abhiingig. Wir
konnen also das Glied e - p t in Gleichung (4) streichen, und
hiitten jetzt den Verlauf der Funktion:
P U l
A I 2=
+
xzAPf2 [ ( e - y - l ]
4e
i2
P2
=+4
zu untersuchen. Das Qlied vor der Klammer besteht nur aus
Konstanten, wird also auf die Form der durch diese Gleichung
dargestellten Kurve ohne EinfluS sein. Die ganze Funktion A, a
besteht aus zwei Einzelfunktionen, die additiv miteinander veibunden sind. Es sind dies die beiden Briiche in der Klammer,
die ja beide mit demselben Faktor multipliziert sind. Wir
konnen also den Verlauf der Funktionen:
- -P U . 4
und
4.e
nv
sine u
u?
einzeln untersuchen und spiiter die zusarnmengehorigen Ordinaten addieren. Der Weri:
(e-yI]
PUL.
ist stets positiv, da wir ein vollstiindiges Quadrat vor uns
haben. Urn zu bestimmen, ob mit wachsendem u der Wert
des Quadrates zu- oder abnimmt, bilden wir den Differentialquotienten nach u :
*:
- --y
d (e
d u
IL
1
--I
n0
-
+-
7CV
ti"
Dieser komplizierte Ausdruck la& sich durch geeignetes Zusammenfassen auf die Form bringen :
f
I - -
p u l
\%
Beuyung uon stark gedampften elektr. Schwingungen.
223
wenn man mit C den Bruch p l l n v bezeichnet. C ist eine
positive Konstante , u kann jeden positiven Wert annehmen,
folglich auch C . u. Wir wollen untersuchen, welches Qorzeichen der Differentialquotient hat und fragen zunachst: wo
wechselt der Differentialquotient sein Vorzeichen? E r kann
es nur dort wechseln, wo er selbst den Wert Null annimmt.
Fur jeden endlichen Wert yon u hat dieser Differentialquotient
auch einen endlichen Wert. E r konnte den Wert Null annehmen hochstens fur u = 0, da wir fur u = 0 wieder einen
unbestimmten Ausdruck erhalten. Die Hauptsache ist die, daB
der Differentialquotient innerhalb des Intervalles u = 0 bis
u = + co sein Zeichen nicht wechselt, d. h. das Qorzeichen
fur einen bestimmten Wert u gilt fur das ganze oben angegebene Intervall. Setzen wir in unserem Ausdruck:
2
-[e-C*L
u3
Cu = 1
, dann
- 11. [ e - C * ' ( -
Czi - 1) + 13
erhalten wir:
2
,.[e-'
- l].[e-'(-
1 - 1)
+ 11.
I n der ersten Klammer ist e-' = 1 / e ein positiver, echter
Bruch, 1 I e - 1 ist demnach stets negativ. In der zweiten
Klammer erhalten wir
2 / e 1. Da
e > 2 , ist
2 / e ein negativer echter
2 / e + 1 ist daher positiv. Da u
Bruch,
stets positiv ist, ist das Vorzeichen des
ganzen Differentialquotienten fur alle positiven Werte von C u negativ, d. h. die zuFig. 9.
w
gehorige Kurve fallt mit wachsendem u.
Die Kurve wird ungefahr nebenstehendes
Aussehen haben.
Betrachten wir jetzt weiter, was uns der zweite Ausdruck:
-
-
-
+
I_
in Gleichung (4) ergibt. In dem Bruch sin2zi/u2 stimmt er
mit der Funktion uberein, die fur ungedampfte Wellen die
0. Bartenstein.
224
Intensitatskurve darstellt. Jeder Wert ist noch mit dem
Faktor 4 . e - - p u i / a v multipliziert, der mit wachsendem u abnimmt. Wir werden also nicht die Kiirre I1 erhalten, die fur
ungedampfte Wellen gelten mbge, sondern die Kurve I, die
ein vie1 schnelleres Abnehmen der Maxima
zeigt. Der Faktor 4 hat hierbei nichts zu
sagen, da vor der Klammer in Gleichung (4)
im Nenner ebenfalls eine Zahl 4 vorkommt, zu der noch eine positive Zahl
',
hinzukommt.
'. .-.\
__ 'w
Addieren wir jetzt die Ordinaten der
Kurve in Fig. 9 zu den Ordinaten der
Fig. 10.
Kurve I in Fig. 10, so erhalten wir den
tatsachlichen Verlauf der Intensitatskurve fur die Beugung
gedampfter Wellen durch einen einzigen Spalt (Fig. 11).
LA-,
Fig. 11.
Fig. 12.
Uber die Lage der Minima la& sich noch etwas Genaueres
sagen: die Kurve I wird die Kurve I1 in den Werten von u
tangieren, fiir welcbe sie in Fig. 10 ein Minimum aufweist,
d. h. fur u = m, 2 TC,3 TC usw. Sie wird also, da (Fig. 12) die
Kurve I1 fallt, selbst auch noch fallen, d. h. die Minima liegen
nicht mehr bei den Werten u = m, 2m, 3 w , sondern sind etwas
nach rechts verschoben.
Hingegen sind die Maxima nach links verschoben, weil
in e - p U ~ l ~ v s i n 2in
u der Nahe des Maximums das Exponentialglied schneller abnimmt, als der Sinus zunimmt.
Im folgenden seien nochmals die wesentlichen Unterschiede
zwischen der Intensitatskurve fur gedampfte und der fur ungedampfte Schwingungen zusammengestellt.
Beugung von stark gedampften elektr. Schzoingungen.
Ungedampfte Wellen
1. Die Minima gehen bis auf die
u-Achse herab.
2. Die Minima liegen bei u = ml
2 m 1 3n usw.
3. Die Maxima ragen iiber die
Minima im Verhgltnis von
'Iss usw. der ,,hellen Mitte"
her vor.
225
GedBmpfte Wellen
Die Minima haben immer einen
endlichcn positiven Wert, der
jedoch mit der Ordnungszahl des
Minimums abnimmt.
Die Minima sind stcts von den
Stcllen u = m , 2n1 3n UBW. nach
Stellen u > n , 2 n usw. verschoben.
Die Maxima eracheinen stark abgeflacht. Die Abflachung nitnmt
mit der Ordnungseahl des Maximums m. Die GrijBe der Abflachung ist direkt abhlngig YOU
der Stlrke der Dsmpfung. AuBerdem sind sie nach kleineren u
zn verschoben.
0 9. Beugung gediimpfter Wellen
unter beeonderer Beruckeichtigung dea Anfangszustandea.
Alle diese Beziehungen haben wir abgeleitet unter der
Voraussetzung , daB die Schwingung schon eine Zeitlang besteht, daB samtliche Strahlen, die die Ebene B B senkrecht
schneiden, zur Interferenz kommen, oder daB wir das Einsetzen der Schwingung nicht zu beriicksichtigen brauchen.
Durfen wir das bei unseren stark gedampften elektrischen
Schwingungen vernachlassigen , ohne einen groBen Fehler zu
begehen? DaB das Einsetzen der
Welle auf die ganze Erscheinung
einen EinfluB haben muB, sieht man
aus folgender kurzen Uberlegung.
Trifft ein gedampfter Wellenzug
auf die Spaltebene CB, dann gehen
Fig. 13.
nach dem Huygensschen Prinzip
von jedem Punkte zwischon C und B Kugelwellen aus. Nach
einer kurzen Zeit wird der Schnitt der Wellentlache mit der
Papierebene so verlaufen, wie die Kurve I in der Skizze angibt. Die elektrische Erregung wird sich bis zu diesem Zeitmoment nur in der schraffierten Flache ausgebildet haben. In
226
0. Bartenstein.
der Richtung D E sei die Erregung bis zum Punkte B gelangt.
Die Energie, die wir in der Richtung D B und in der Ebene A B
messen, wird in dem Augenblick, wo B erregt wird, nur von
dem Strahl B B herruhren, der durch keine Interferenz geschwacht ist, d a zu diesem Zeitmoment noch kein anderer
Strahl bis zur Ebene A B fortgeschritten ist. Im nachsten
Augenblick werdea bloS die Strahlen D B und der ihm benachbarte B'B', die sich nur unendlich wenig in ihrer Phase
unterscheiden, interferieren. Allgemein gesagt wird die Energie.
iibertragung vor dem Zeitpunkte, in welchem alle Strahlen der
Richtung B E interferieren, nach einem anderen Geaetz vor
sich gehen, als nach diesem Zeitmoment. Da nun bei stark
gedampften Wellenziigen ein grol3er Teil der Gesamtenergie
der Schwingung in den ersten Zeitmomenten iibertragen wird,
diirfen wir in unserem Falle nicht ohne weiteres den Anfangszustand vernachlassigen.
I n Fig. 14 stelle die Kurve die zeitliche Anderung des Stromes im Oszillator
dar. Der gro6ten Stromanderung am Anfang der Schwingung des Oszillators wird
auch eine fortschreitende Schwingung mit
groBer Amplitude entsprechen. Nach einer
bestimmten Zeit ist die Amplitude im Erreger kleiner geworden, kleiner ist also
Pig. 14.
auch die Amplitude der ausgesendeten
\ L _______
uoms=
Fig. 15.
Schwingung. Da die letztere zu einer spateren Zeit vom
Oszillator ausgegangen ist, wird sie srtlich hinter dem Wellenstiick mit der groBten Amplitude zuruckgeblieben sein. Da
der Oszillator erst wieder zum Schwingen angeregt wird,
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingungen.
221
wenn seine fruhere Schwingung' abgeklungen ist, wird die
Erregung des Athers zu einer bestimmten Zeit innerhalb
des Parallelstrahlenbundels durch Fig. 15 dargestellt werden
konnen. Mit jeder neuen Entladung des Erregers wird sich
auch ein neuer gedampfter Wellenzug sozusagen vom Oszillator
loslosen, der eben durch sein plotzliches Einsetzen die Beugungserscheinungen in der angegebenen Weise beein3ussen w i d .
Man wird voraussehen, da6 bei Berucksichtigung dieses
Umstandes eine zweimalige Integration nach Zeit und Ort
sich natig machen wird, die die Rechnung natiirlich wesentlich
kompliziert. Wir werden versuchen , im folgenden diese genauere Rechnung durchzufuhren.
Als Anfangszeit t = 0 wahlen wir den Zeitmoment, in
wclchem der Schwingungsanfang durch den Spalt A B tritt,
und lassen zunachst in der Ebene H J alle Strahlen interferieren. Damit der Strahl B E
f
bis zum Punkte H vorrucken
3.... ...
konne, brauche er die Zeit t.
Der Parallelstrahl2: G legt einen
Weg zuriick, der um die Strecke
AD kurzer ist als der Weg AH.
Er wird also AD/w Sekunden
weniger brauchen a19 A H . Da
Fig. 16.
er aber in J seine Bewegung
zu derselben Zeit beginnt als A& in A, so wird er A 4 urn die
Phase AD/w vorausgeeilt sein; seine Phase wird also sein:
T
(t+?)
Es ist ferner:
A D = A L s i n y =(AB-ABL)siny =(f-y)sinrp
oder
wenn f die Spaltbreite, v die Fortpflanzungsgeschwindigkeit
und y die Entfernung LB bedeutet. y muB von B aus gerechnet werden, wenn wir den Winkel rp positiv annehmen
wollen. Die Amplitude z im Punkte G ist demnach gegeben
durch:
228
0.Bartenstein.
Um die Amplitude des Strahles, der sich aus allen unter dem
Winkel rp aus dem Spalt austretenden Strahlen zusammensetzt,
in der Ebene B J zu bestimmen, mussen wir alle z fir die
Werte y = 0 bis y = f summieren. Wir erhalten demnach:
-.(t+
( f - y ) sin rp
) .sin * ( t +
T
( f - y) sin p
V
) dY.
0
Die Energie des Strahles zu der Zeit, in der er mit dieser
Amplitude die Ebene H J durchlauft, ist proportional dem
Quadrat der augenblicklichen Amplitude, also :
r
f
1 2
Die Energie des Strahles wahrend des Verlaufes der vollstandigen Schwingung erhalten wir, wenn wir das eben abgeleitete Quadrat nochmals nach der Zeit integrieren. Als
Integrationsgrenzen ware der Zeitmoment zu wahlen, zu dem
der Strahl den Spalt verlal3t; also t = 0, und in dem er erlischt, was bei einer gedampften Schwingung zur Zeit t = 03
erfolgt. E s ergibt sich also:
1 2
Behandeln wir jetzt nur das Integral in der Klammer
weiter:
0
.sin(%
+ 2%fTsinv - 2n yTVsin
ip
0
Fuhren wir ein:
a=
p sin
~
,
2 n sin cp
c = -~T a
dann erhalten wir:
f
7
p f sin p
b=-pt-
1
2,
d=-
'Lnfsing:
2nt
T
+
T f f '
'p
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingungen. 229
wenn der Sinus als Exponential funktion eingefiihrt wird:
f
Durch Multiplikation ergibt sich :
f
f
0
0
Wir kdnnen die Integration nach komplexen Variabeln ebenso
ausfiihren wie die Integration nach reellen und erhalten:
2i
Die Grenzen eingesetzt und auf gleichen Nenner gebracht,
ergibt:
c i ) e f ( u + ci) + b + d i - ( a - c i)e b
di
-(a+ci)ef!a-ci)+b--i +(n+ci)eb-di
+
=
-.Z i
1
+
a2 cp
Wir trennen reelle und imaginare Exponenten und klammern gleiche Exponentidfunktionen a m :
,fa + h [(a--c ,j),(fe+d) i - (a + c i)
- --.
1
+e'[-
ai
(a-ci)edi
ap i- c2
,-tf
e + d ) i]
+ (a+oi)e-"]
Wir trennen reellen und imaginaren Teil:
=-.{
1
a2 + c2
efa+a.
[
n
e(fc+d)i
- e-
(fe+d)i
ai
,tf
c+d) i +
- c
,di
+
,-
(fe+d) i
2
,-di
-a
2i
Fuhrt man wieder trigonometrische Funktionen ein, so erhlilt man :
1
=-@P + c%j e f a + b [a sin ( f c + d ) - c cos ( f c
43
+ eb [ c cos d - a sin d ] )
+
I
Dies ist der Wert des Integrals in der Klammer, der ins
Quadrat erhoben werden muB:
230
0. Bartenstein.
[ {...
2
dy
=
-.
( e z ( f a + b )[us sin2 ( f c +
1
d ) - 2 a c sin ( f c + d )
cos(fc+d) + c2cos2(fc+d)]
+ 2efn+25 A[-azsin (fc + d )sin d+ a c sin ( f c d)cos d
+ a c COB (f’c + d)sin d- c2cos(f c + (I)cos 4
+ e2 I, [azsin2d - 2 a c sin d cos d + c2 cos2d ] ] .
+
Aus den Substitutionen folgt:
2 f p sin cp
2fa+2b =
V
f P sin cp
fa+2b =
-2pt-
2 fpsincp = -
-2pt-
2fpsincp -
V
2pt,
_ _ 2pt----pfsinp,
,
V
2,
2b=
--2pt-
2 p fsin cp
‘F
2nfsincp
fc+d=-
2nt
2nfsincp
‘7’
Tv
Tv
d=
’
2nt
- T ’
2nt
=-+
T
27cfsin9
Tv
’
p sin
a=
=-’
c=
=:-
2,
2 7~ sin cp
Tv
Wir fiihren neue Substitutionen ein:
g = - p sin cp
V
a = - 2Tn
’
b=-
)
7t
h=--
2 n sin cp
Tv
d=-
f sin 9
Tv
und erhalten als Integral iiber die Zeit:
)
&’=---xB A2
f
(g2+hqi.
fe-2pt.
’
pfsincp
2,
~~zsin2at-2ghsinatcosat+h2~~~2~t]
0
+ 2 e+
[ -gZsin a tsin ( a t + 2 b) + g iisin at cosfa t4-2 b)
+ g h sin (at+ 2 b) cos (at)-h2 cos (at+ 2 b) cos a t ]
t - - 2 d . [g2 sin2( a t + 2b) - 2 y h sin (at+2b) cos (at+ 2 4
+ h 2 c o s 2 ( a t+ 2 b)])d t .
217t--d.
e--28
Bei den nun folgenden Integrationen wurde stets der
folgende Weg eingeschlagen: Die trigonometrischen Funk-
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingungen.
23 1
tionen wurden in Exponentialfunktionen verwandelt, nach der
Integration die Grenzen eingesetzt , gleiche Exponentialfunktionen ausgeklammert , in der Klammer reelle und imaginare
Glieder getrennt und wieder trigonometrische Funktionen eingefiihrt. Die Werte der auftretenden Integrale sind tabellarisch zusammengestellt.
m
.(-pasin26 - a2cos2b),
2gh.~e-?pi-dsinatcos(at+ 2b)dt = Z g h e - d
4 W + P a2)
0
.(pacos2b
W
2ghJe-gpt-dsin(at+
0
- a2sin26),
2 bjcosatdt=
2ghe-d
4 (p3 + p a?)
.((az+ 2pz)sin2 b + p a cos 2 b ] ,
M
U
. [- p2cos 4 b + pasin 4 b + p 2 + u'] ,
232
0. Bartenstein.
Unser Doppelintegral hat demnach den Wert:
E=
A2
-S g h a p + hZ(2p2+a9)]
(sin 2 b [ - y a p a - g h a2 + g h (2y3+ uz) + /&2pa]
f COS 2 b [ -9' a'
2 9 h p U - hZ( d p 2+ U'J])
xe
(92
+ h?)?4 ( p * + p
+ 2 e--d
9 u2
1[9
a2)
+ e - 2 d (sin46 [ - g 2 p 2 -
+
2ghp2-h2pa]
cos4b[-g"p"-22ghpa
Pp']
+
+ [g(PZ+ a2)+ h2(PZ+ a"])]
*
Die Summen in den sechs eckigen Klammern wollen wir
bezeichnen mit 2,
. . . z"', deren Werte wir erhalten, wenn
wir die urspriinglichen Ausdriicke fur a, y, g, h uaw. einsetzen. Wenn wir das logarithmische Dekrement 6 definieren
ale den natiirlichen Logarithmus des Verhaltnisses zweier
Amplituden, die urn eine ganze Periode T auseinanderliegen,
dann ist die Gro8e p bestimmt durch die Beziehung p =: I~/T.~)
Dieser Wert wird im folgenden iiberall eingefiihrt. Wir erhalten :
- -___.
+ 2Ssincp
v l
4n?
z' - Psin2rp
v"9
T'
i
s
2 nsincp
-
oT
2% d
.--.II'
T
Wir wollen schreiben :
%I=
.
sin2
9 zl,wobei z1 = 20 Sz7c2
D!& 1 ' 4
+ 1 6 n4 ist.
Ebenso finden wir:
z3 = 84
- 12 62 nz,
1) C h w o l s o n , Lehrbuch d. Phys. 1. p. 158.
Beugung von stark gedampften elektr. Schwingungen.
Da alle QroBen z' bis
enthalten, kiinnen wir ihn
Ausdruck fur die Energie
schweiften Klammer nimmt
233
zvl denselben Faktor sin2y/vaT4
vor die groBe Klammer in dem
ziehen. Der Bruch vor der gedann folgenden Wert an :
der sich reduziert auf:
x2 A2va T eT
4
s (68 + 4 rials sine rp '
Der Wert fur die Energie wird dam, wenn man v T=il setzt:
fzl+ 2 e- d [za sin 2 6 - z1cos 2 bl
+c2
d . [ - r, sin 4 b - z3 cos 4 b + z1 + z 3 ] f .
Fuhren wir wieder wie bei der vorigen Rechnung ein:
E=
xe
"
4 d ( b l + 4 nY8 sin2'p
n f sin
_
I_'p_
- u=h6,
Es ist dann:
+ 2e
-n
--
[z2sin 2 u
- z1 COB 2 u]
26U
IIl)
sin 4 u + z3 cos 4
.
Die Ausdriicke in den eckigen Klarnmern wollen wir nun noch
durch eine Funktion des einfachen Winkels u ausdriicken.
Setzen wir :
z, sin 2 u - z1 cos 2 u = x .
Wir dividieren durch zl und setzen. zJzl = t g y , . Dann erhalten wir nach kurzer goniometrischer Umformung :
-e
n
[z,
Aus y = z2 sin 4 u + zg cos 4 u erhalten wir durch Division mit z3
nach analoger Rechnung, wenn wir setzen za/z3 = tg q2:
Annalen der Physik. IY.Folge. 29.
16
234
0. Bartenstein.
Wir setzen die R e r t e fur z und y ein:
- -d U
+ e
" ''3(8sin2(u-F)
cosy/,
--sin4
Als Endformel erhalten wir daraus:
E=
xZA2dfaT
*o'(,J'+4n2)3
,212
1
[
dU
-
22, e
'1
Was la& sich nun aus diesem recht komplizierten Ausdruck
herauslesen? Qualitativ alles das, was wir aus der Endformel
der vorigen Theorie gefunden haben. Vergleichen wir zu
diesem Zweck obige Formel mit der friiher gefundenen, in
welcher wir auch statt der GroBe p das logarithmische Dekremeiit 6 einfiihren :
Die GriiBen, die nicht mit einem Sinus multipliziert sind,
stimmen bis auf Zahlenfaktoren iiberein, deren wichtigster z1 in
Gleichung (1) in allen drei Faktoren enthalten ist. z1 hat
nach seiner Definition, wenn man 6 = 1,0 annimmt, den
Wert 1755, wogegen z3 = 117 und z,lcos y2 = 258 keine
wesentliche Rolle spielen. Da yl= 7 O 3 0 ist, wird auch der
1
=--nicht vie1 andern. Im Ganzen wird
Faktor cosy1
0,991
also die Summe
-
A
11
-
Beuyung von stark gedampften elektr. Schwingungen. 235
eine Kurve von ganz ahnlicher Gestalt darstellen wie die durch
den Ausdruck
(1
-2
Bu
e 7
+e
26u
- 7 )
definierte, d. h. die Minima der Gleichung (1) reichen nicht
bis auf die Abszissenachse herab, sondern haben stets einen
positiven endlichen Wert. Dieser Kurve ist auch in unserer
neuen Gleichung eine Sinusfunktion ubergelagert , die auch
mit z1 multipliziert ist, also in dem gleichen MaBstab aufgetragen ist wie die Exponentialkurve.
Wir hntten fruher gesehen, dal3 im Beugungsbild der gedgimpften Wellen Maxima und Minima verschoben sind gegenuber der Beugungsfigur fur ungediimpfte Schwingungen. Dasselbe zeigt sich auch bier und zwar in vie1 deutlicherem Ma6e.
Denn wir haben als Argument des Sinus den Winkel u + q1,/2,
wobei y 1 nur von der Dampfung abhangig ist. Das Maximum
wird also nicht erreicht werden fur u = ul? sondern naherungsweise fur u = ul - y112, wenn u1 den Winkel bezeichnet, fur
welchen ungedampfte Wellen ein Maximum liefern.
Die Formel (1) gestattet uns nicht, zur Grenze 6=0 (ungedampfte Schwingung) uberzugehen, denn sie gibt uns die
gesamte Energie, die wahrend der Zeit t = O bis t = m in
irgend einer Richtung ubertragen wird. Formell druckt sich
das dadurch aus, da6 in (1) der Faktor 1/S vorkommt, der
fur S = O einen unendlichen Wert annimmt. I n der fruheren
Rechnung machte sich diese Schwierigkeit nicht geltend, weil
dort durch drts Gleichsetzen der Faktoren gleicher Glieder
die ZeitgroBen ganz aus der Rechnung verschwanden.
Das letzte Glied in (1) wird im allgemeinen nur als kleine
Korrektion zu bezeichnen sein, da sein Wert mit wachsendem u
infolge des Exponenten - (26u/n) sehr rasch abnimmt. Es
bewirkt hauptsachlich folgendes : Wenn das Glied
den Wert 0 annimmt, dann wird das letzte Glied noch einen
endlichen Wert haben, weil ja das Argument des Sinus ein
anderes ist (yJ4 ist fur a = 1,0 etwa gleich IS0). Das Minimum
der Gesamtkurve wird also hierdurch etwas tiefer gelegt.
16*
0. Bartenstein.
236
Zum SchluB wollen wir noch untersuchen, welchen Wert
Gleichung (1) fur u = 0, d. h. rp = 0 annimmt. Geeigneter
hierzu ist die Form von p. 233
-e
2 811
y [z, sin 4 u
+ z3 cos 4 ul)
Wie sich leicht verifizieren la&, wird dieser Ausdruck fur
= 0 unbestimmt. Wir differentiieren daher zweimal Zahler
und Nenner einzeln nach u und setzen u = 0. Dann ergibt sich
IL
Fur z1 t2 z3 die Werte eingesetzt, ergibt als Endresultat
= 8 a4
+ 100 J'Tc' + 6 4 TC'.
Zusammenfassend kann man sagen, da8 die letzte Gleichung dieselben Verschiedenheiten gegeniiber ungedampften
Schwingungen zeigt wie die friiher gefundene, da8 sie aber
alle Unterschiede scharfer hervortreten la&.
Wir wollen jetzt dam iibergehen , zu erortern : wieweit
stimmen Theorie und Beobachtung der Beugung stark gedampfter Wellen durch einen Spalt iiberein.
§ 10. Prufung der Theorie durch Beobachtungen.
Zur Priifung dieser eben abgeleiteten Theorie wurden die
in dem friiheren Abschnitt ,,Die ersten Versuchsresultate" ausgefuhrten Beobachtungen etwas sorgfaltiger wiederholt. Urn
Maxima und Minima weiter voneinander zu entfernen , wurde
aber nicht ein Spalt von 38 cm Breite, sondern ein solcher von
nur 30 cm Breite verwendet. Aus fiinf auf die oben angegebene
Weise beobachteten Kurven wurden Mittelwerte bestimmt und
so umgerechnet, da8 das mittlere Maximum den Wert 5000
erreichte. Diese Kurve ist in Fig. 1 7 mit I V bezeichnet, wobei
die Kreischen die beobachteten bzw. umgerechneten Werte
angeben.
Der besseren Ubersicht wegen und um zu zeigen, wie gro6
die Abweichungen der Beugungsfigur elektrischer Wellen vora
Beitping von stark gedampflen elektr. Schiuin,qungen. 237
der Beugungsfigur der Lichtwellen sind, wurde letztere als
Kurve I in die gleiche Figur eingezeichnet. Die Kurve I1
Intensitiitslcztrnen bei Beupnq durcla einen Spalt won 30 em Breite und
8,66 c r n Wellenlange.
Kurve I: Beugungsbild ungedlmpfter Schwingungen berechnet.
Kurve 11: Beugungsbild gedampfter Schwingungen B = 1 berechnet nach
der ersten Theorie.
Kurve 111: Beugungsbild gedampfter Schwingungen 8 = 1 berechnet nach
der genaueren Theorie.
Kurve IV: Benbachtetes Beugungsbild. Die beobachteten Punkte sind
durch Kreischen markiert.
Fig. 17.
und die Kurve 111 derselben Figur wurden berechnet nach den
Formeln, die sich aus der ersten und zweiteii Theorie ergaben.
238
0.Bartenstein.
Die willkurlichen Konstanten der zweiten Theorie: Faktor vor
der Klammer, Wellenlange und logarithmisches Dekrement
wurden durch Probieren so bestimmt, da8 das mittlere Maximum
5000 wurde, und die Abszissen des ersten Minimums und
Maximums in Rechnung und Beobachtung iibereinstimmten.
Die Wellenlange wurde so zu A = €466 cm und das logarithmische Dekrement zu 6 = 1 bestimmt. Durch die Wahl dieselGroBen ist dann die Kurve in ihrem ganzen Verlauf eindeutig
festgelegt. Die Zeichnung la8t erkennen, da8 die erste Theorie
die Beobachtungen weit besser wiedergibt als die Theorie fur
ungedampfte Schwingungen. In der Nahe des ersten Minimums
stimmen sogar Beobachtung und Theorie sehr gut miteinander
uberein.
Die Kurve 111, die nach der zweiten Theorie berechnet ist,
nahert sich von etwa y = 20° der beobachteten Kurve am
besten an, auch zwischen y = 18O bis 20° ist die Ubereinstimmung nicht schlecht. Mit Ausnahme der nachsten Umgebung der hellen Mitte, die zum Vergleich wegen des steilen
hbfalles der Kurven wenig geeignet ist , scheint die zweite
Theorie die Beobachtungen am besten wiederzugeben. Man
kann daraus , jedoch nicht mit Sicherheit, schlieBen, da8
das Einsetzen der Welle , wie fruher hervorgehoben wurde,
die Beugungserscheinungen in meBbarer Weise modifiziert.
Die Abweichungen zwischen der Kurve I11 und Kurve I V
lassen sich wohl auch durch die theoretisch und experimentell
erwiesene Tatsache erklaren, daB yon einem H e r t z schen Erreger nach verschiedenen Richtungen Strahlen verschiedener
Intensitat ausgesandt werden. In der Rechnung war aber
vorausgesetzt, da8 die Intensitaten im Parallelstrahlenbiinclel
an jedem Ort gleich seien. Ferner wird die spharische
Aberration der Linse und des Hohlspiegels zum Teil die Abweichungen erklarlich finden lassen.
I n dem Faktor vor der Klammer ist das Quadrat der
Spaltbreite enthalten. Die helle Mitte mu8 also, da durch
Veranderung der Spaltbreite keine Verschiebung derselben
eintritt, proportional dem Quadrat der Spaltbreite sein. Die
experimentelle Priifung dieses Satzes hatte folgendes Ergebnis :
Beiigung von stark gedampften elektr. Schwingungen.
239
T a b e l l e IV.
30 cm
148,14
900
0,1648
25
106;43
625
0,1704
20
70,28
400
0,1755
15
38,OO
225
0,1708
I
0,17037
-0,00557
3,27
+0,00003
0,017
+0,00513
3,Ol
+ 0,00043
0,253
Das oben erwahnte Gesetz diirfte demnach mit genugender
Genauigkeit bestatigt sein.
Aus alledem kann man wohl erkennen, daB die aufgestellte
Rechnung die Beobachtungen verhLltnismBBig gut wiedergibt.
Aus der Rechnung folgt, daB bei wachsender Dampfung das
erste Minimum hoher liegt, das erste Maximum hingegen ab1. Maximum
geflacht erscheint. Das Verhaltnis 1. Minimum wird uns also
ein MaB fur die GrGBe der Dampfung geben konnen. I)er
funktionale Zusammenhang ist allerdings nicht direkt eu-finden,
man erkennt aber sofort, daB die Dampfung zunimmt, wenn
der WeTt des P'erhaltnisses abnimmt. Diese Beziehung wird
spaiterhin weitere Verwendung finden.
§ 11. Beugung durch Gitter.
Bei allen folgenden Untersuchungen wurden die Beugungserscheinungen durch ganze Gitter hervorgerufen. Die Gitter
bestanden aus gleichbreiten Pappstreifen , die mit Stanniol
uberzogen und in gleichen Abstanden auf Holzleisten befestigt
waren. Die Gitterkonstante betrug 10, 8 und 6 cm. Brachte
man diese Gitter vor die Offnung in der Stanniolwand, dann
wurde eine Energieverteilung beobachtet, die dargestellt ist
durch die in Fig. 18 gezeichneten Kurven. Helle Mitte und
erstes Maximum treten stark hervor. Die Lage des ersten
Maximums ist auch, wie es die elementare Theorie fordert,
von der Gitterkonstanten abhangig. AuBer der hellen Mitte
und dem ersten Maximum treten noch Nebenmaxima auf, die
jedoch nicht, wie es scheinen kBnnte, Zufalligkeiten sind,
240
0.Bartenstein.
sondern deren Existenz sehr wohl berechtigt ist. Auch bei
der Beugung des Lichtes treten solche Nebenmaxima auf und
zwar d a m , wenn die Zahl der Spalte, durch die das Gitter
gebildet wird, klein ist. Die Anzahl der Nebenmaxima ist
abhBngig von der Zahl der Spalte und wachst mit derselben,
wie die Rechnung ergibt. Da nun bei unseren Beobachtungen
alle drei Gitter dieselbe Flache bedeckten, mu6 bei den Gittern
Orundsckwingung.
Beugung durch eim cfitter. Spaltbreite gleieh Sfabbreite.
Kurve I: Gitterkonstante = 10 cm.
Kurve 11: Gitterkonstante = 8 cm.
Kurve 111: Gitterkonstante = 6 cm.
Fig. 18.
mit kleinerer Gitterkonstanten eine grijDere Anzahl Spalte,
also auch eine gr6Bere Anzahl Nebenmaxima vorhanden sein,
eine Erscheinung, die durch vorliegende Kurven bestatigt wird.
AuBer dem stark hervortretenden ersten Maximum laBC
die Kurve I auch noch das zweite Beugungsmaximum erkennen, das zwischen den Winkeln 40 und 48O liegt. Sehr
scharf ausgepragt ist es gerade nicht, wahrscheinlich aus dem
Grunde, da6 bei einem Gitter, dessen Stabbreite gleich seiner
Beugung won stark gedampfien elebtr. Schwingungen.
24 1
Spaltbreite ist, ein zweites Maximum nicht auftreten kann,
soweit ungedampfte Schwingungen zur Interferenz kommen.
Denn ist a = Stabbreite, b = Spaltbreite, so gibt der Bruch
(a
b ) / a die Ordnungszahl des Maximums an, das durch Interferenz vernichtet wird. F u r unser Gitter ist a = b, also wird
+
f b- -a -
a
2a
a
- 2.
Das zweite Maximum miiBte hiernach verschwinden, und es
ist nur durch die Dampfung der interferierenden Wellenzuge
moglich, da6 ein Maximum an dieser Stelle zustande kommt.
Es miiBte jedoch deutlicher hervortreten, wenn das Verhaltnis
von a zu b ein anderes a19 1 zu 1 wurde. Tatsachlich ergab
die Beobachtung mit einem Gitter, bei welchem a = 7 cm und
b = 3 cm, also die Gitterkonstante g auch 10 cm betrug, ein
besser ausgepragtes zweites Maximum, wie sich aus folgender
Tabelle entnehmen la&.
T a b e l l e V.
Winkel
I
I
0
2
I
4
I
I
6
8
I
10
I
12
I
Intensitat
I
400
I
350
I
280
I
199
I
123
I
80,5
I
71,5
I
Winkel
I
18
I
20
I
22
I
24
I
26
I
28
I
30
I
14
I
72
I
71,5
32
I
34
Intensitlt
I
77
I
82,5
I
82,5
I
83,5
I
86,5
I
87,5
I
86,5
I
72
I
Winkel
I
36
I
38
I
40
I
42
I
44
I
46
I
48
I
50
I
Intensitat
I
48
I
38
I
40,5
7
v
2. Minimum
I
44
I I I
50.5
48
41
I
16
34
55
I
2. Maximum
Wahrend dort das Maximum um etwa 4 mm uber das
Minimum hinausragt, ist hier der Unterschied 12,5 mm.
Uber die Wellenlange der diesen Kurven zugrunde liegenden Schwingungen wird man ohne groBe Rechnungen nichts
Genaueres aussagen kiinnen, da eine Verschiebung der Maxima
aller Voraussicht nach eintreten mug, die die berechneten
Wellenlangen nich t ganz genau ausfallen 1aBt. Immerhin kann
man prufen, wie die aus den verschiedenen Beugungskurven
und entsprechenden Gitterbonstanten berechneten Wellenlangen
242
0. Bartenstein.
untereinander ubereinstimmen. Die Abweichungen sind nicht
groB, wie folgende Tabelle erkennen 1iiBt.
T a b e l l e VI.
Bemerkungen
10 em
8
21"
26
+0,Ol
3,58 cm
3,51
- 0,OG
-I-0,03
6
10
Beugungsbild
I. Ordnung
46
+ 0,OZ
3,59
Beugungsbild
11. Ordnung
Die Wellerilange kann man aber auch aus den Dimensionen des Erregers bestimmen. Abraham1) ha,t in einer
groBeren Abhandlung die hierauf beziiglichen Rechnungen
durchgefiihrt und zwar fur den Fall stabfiirmiger Erreger. Er
findet, dab die Wellenlange gleich ist der doppelten Erregerlange, der noch eine GroBe C.E= hinzuzufugen ist. Der
numerische Wert von c ist von A b r a h a m zu 5,6 berechnet,
wahrend 6 durch die Erregerdimensionen gegeben ist:
€ =
1
4 log nat
2 )
b
worin b die in Bruchteilen der halben Erregerliinge gemessene
Dicke des Erregers bedeutet. Die so berechnete Wellenlange
ist noch mit der Wurzel aus der Dielektrizitatskonstanten des
den Erreger umgebenden Mediums zu multiplizieren , um die
Wellenlange in Luft zu erhalten.
In unserer Anordnung bestand nun der Erreger aus zwei
Zinkzylinderchen von j e 5 mm Lange und 1,8 mm Dicke. Die
aus diesen Dimensionen nach obiger Formel berechnete Wellenlange ergibt sich zu nahezu 3,l cm. Hierbei ist aber nicht
berucksichtigt die Lange der Funkenstrecke, die ungefahr
0,5 mm betrug. Dadurch wurde die Erregerlange um 5 Proz.
vergrobert, was auch eine 5 proz. Verlangerung der Wellenlange
1) M. Abraham, Wied. Ann. 66. p. 435. 1898.
Beugung von stark gedampfien elektr. Schwingungen.
243
bedingt. Wir werden also die berechnete Wellenlange zu
ca. 3,25 cm annehmen mussen, ein Wert, der nicht nur der
GroBenordnung nach, sondern auch zahlenmaBig mit der beobachteten Wellenlange von 3 3 7 cm ganz gut ubereinstimmt.
§ 12. Nachweis der eraten Oberschwingung.
A b r a h a m kommt in derselben Arbeit zu dem weiteren
Resultat, daB die Maxwellsche Theorie eine unendliche Anzahl nahezu harmonischer Oberschwingungen fur einen stabfiirmigen Erreger zulaBt , wie anderweitig auch schon experimentell nachgewiesen wurde. l ) Es wurde nun versucht , ob
diese Oberschwingungen aueh durch Beugungserscheinungen
nachzuweisen sind. Es gelang dadurch, daB bei den Untersuchungen iiber die Beugung durch einen Spalt der Empfanger
auf die Halfte seiner GroBe reduziert wurde. Er miiBte dann
auf die ,,hohere Oktave" der Grundschwingung ansprechen,
was dadurch zum Ausdruck kommt, da6 das erste Beugungsmaximum etwa um die Halfte naher an die helle Mitte riickt.
Das Geforderte wurde auch 'beobachtet, jedoch nicht so sicher,
daB es als Bestatigung der Existenz yon Oberschwingungen
gelten konnte. Infolgedessen wurde der entgegengesetzte Weg
eingeschlagen und statt Verkleinerung des Empfangers eine
VergroBerung des Erregers vorgenommen. Da sich nach
A b r a h a m die Wellenlangen geometrisch ahnlicher Erreger
verhalten wie entsprechende Langen, wurde ein neuer Erreger
hergestellt mit doppelten Dimensionen des oben verwendeten
Erregers. Er muBte also als Grundschwingung die ,,tiefere
Oktave", als erste Oberschwingung den gleichen ,,Ton" geben
wie der zuletzt benutzte Erreger. Der Empfanger war der
gleiche geblieben, muBte also auf die erste Oberschwingung
des neuen Erregers ansprechen. Die mit dieser neuen Anordnung angestellten Versuche ergeben auch sehr scharf hervortretende Beugungsmaxima, die bis auf ganz geringfugige Verschiebungen mit den fruheren Maxima zusammenfallen. Die
hierzu gehorigen Beobachtungen sind auf Fig. 19 wiedergegeben.
Das Bestehen der ersten Oberschwingung durfte durch diese
Beobachtungen als erwiesen gelten.
I) L a m o t t e , Wied. Ann. 66. p. 92. 1898.
244
0.Bartenstein.
Da es die GriiBenverhaltnisse des ganzen Oszillators nicht
ratsam ersclieinen lieBen, die Grundschwingung zwecka Reobachtung hoherer Oberschwingungen noch mehr zu vergrogern,
750
720
?OO
50
~2 48 44 40 36 32 28 24 20 ?6 72 8 4 0 4 8
12
6 20 24 28
37
36 -40 44 48 5.2
Erste Oberschwiiagung.
Beuguiig durcli ein Qiiter. Spnltbreite gleiclt. StcLbbreitc.
Kurve I : Gitterkonstante = 10 em.
Burve 11: Gitterkonstante = 8 cm.
ICurve 111: Gitterkonstnnte == 6 cm.
Fig. 19.
wurden nach dieser Richtnng hin keine weiteren Versuche
an gestell t.
$ 13. AbhLngigkeit der Dampfung elektrischer Schwingungen
von der Ordnungszahl der Oberschwingung, der Funkenllinge
und dem Material der Elektroden.
Wir waren friiher zu dem Resultat gekommen, da8 man
den Bruch: 1. Maximum durch 1. Minimum als Ma6 der
Dampfung derjenigen Schwingung auffassen kann, die vom
Erreger ausgesandt wird. Theoretisch erwiesen wurde diese
Beziehung allerdings nur fur die Beugung durch einen Spalt.
Man wird aber auch ohne Redenken diesen Satz anwenden
Beugung von stark gedampften elektr. Schioingungen.
245
konnen auf die Beugungserscheinungen, die ein Gitter hervorruft, da ja ein Gitter eine Summe von Spalten darstellt. Vergleichen wir daraufhin die Kurven miteinander, die sich auf
Figg. 18 und 19 finden. Der Wert dieses Bruches ist fur die
Beugung der Grundschwingung ungefahr gleich 2, wahrend
er fur die Oberschwingung den Wert 4 annimmt. Daraus
folgt, daB die Grundschwingung starker gedampft ist als die
erste Oberschwingung, was ebenfalls mit der Abrahamschen
Theorie ubereinstimmt , nach welcher eine Abnahme der
Dampfung mit wachsender Ordnungszahl der harmonischen
Schwingungen gefordert wird.
Weil infolge ihrer geringeren Dampfung die erste Oberschwingung des Erregers scharfer hervortretende Beugungsmaxima zeigt, wurden slle spateren Versuche nicht mit der
Grundschwingung, sondern mit der Oberschwingung ausgefuhrt.
Bei den ersten Versuchen iiber Beugung durch einen Spalt
zeigte sich, da% bei verschiedenen Funkenlangen auch dss
Beugungsbild ein anderes wurde. Diese Erscheinung wurde
mit der letzten Anordnung etwas genauer verfolgt, wobei sich
folgendes herausstellte:
Der Rruch
1. Maximum
1. Minimum
wurde mit
wachsender Funkenlange grtiEer, erreichte einen groBten Wert,
um von nun an rascher abzunehmen. Die aus einer ganzen
Reihe von Beobachtungen gefundenen Zahlenwerte waren
folgende:
T a b e l l e VII.
Funkenlange Mittelwert des Mittelwert des
in mm
Maximums
Minimums
Maxi mum
Minimum
81
116
189
293
363
3 44
313
22,5
52
3,60
3,63
49
3,86
3,86
0,05
0,l
0,15
0,20
0,25
0,30
0,32
76
90
94
93
4,03
3,66
3,40
Bekannt ist ferner, da8 die Dampfung elektrischer Schwingungen stark von dem Elektrodenmaterial abhangig ist, zwischen
246
0. Barte~~stein.
denen der Funkenubergang stattfindet. Urn zu priifen, ob
sich dies Phanomen auch in der Beugungsfigur erkennen lafit,
wurde an Stelle des Zinkerregers ein in nllen Dimensionen
gleicher Oszillator aus Kupfer hergestellt, und mit diesem die
letzte Versuchsreihe wiederholt. Zum Vergleiche sind zwei
Kurven in Fig. 20 gezeichnet, von denen die Kurve I mit
Zinkelektroden, die Kurve I1 mit Kupferelektroden beobachtet
750
NO
100
50
50
52 M 44 10 36 A? 28 24 20 16 12 N 4
0
4 8 12 /6 20 24 28 32 35 40 44 4R iX
Erste Oberscfuingung.
Beirgung durch ein Gitter. Spaltbreite gleich Stabbreite.
Gilterkonstante = 10 om.
Kurve I: Erreger aus Zink.
Kurve 11: Erreger aus Kupfer.
Fig. 20.
wurde. Da aber die Unterschiede zwischen beiden Kurven
nicht sehr grol3 sind und miiglicherweise durch zufallig sehr
verschiedene Funkenlangen hervorgerufen sein konnten, wurde
auch bier das Verhaltnis
Max.
fur
Min.
verschiedene Funkenlangen
bestimmt, wobei sich folgende Werte ergaben.
Beuguny von stark gedampften elektr. Schwingungen.
247
T a b e l l e VIII.
Funkenlange Mittelwert des dittelwert des
in mm
Maximums
Minimuin s
Minimum
40,5
96
152
207
236
247
2,62
3,05
3,17
3,21
3,25
3,25
0,lO
0,15
0,20
0,25
0,30
0,32
15,5
31,5
45
64,s
72
76
Maximum
Auch in dieser Tabelle hat das Verhaltnis ein Maximum,
welches aber nicht bis an die Werte heranreicht, die mit
Zinkelektroden erhalten wurden. GroSere oder kleinere Funkenlangen konnten nicht benutzt werden, da bei allen auBerhalb
der angegebenen Werte liegenden Funkenlangen eine Wirkung
auf den Resonator ganz ausblieb oder so klein wurde, daB
keine Messungen angestellt werden konnten.
Es ist also durch das Beugungsbild festgestellt, daB die
Dampfung der elektrischen Schwingungen nicht allein herriihrt
von der Strahlung des schwingenden Systems, sondern daB
auch Funkenlange und Elektrodenmaterial die Dampfung beeinflussen. Da diese Erscheinungen, die schon langst bekannt
waren, in der Praxis fur die drahtlose Telegraphie von Wichtigkeit sind, waren auf ganz anderem Wege von verschiedener
Seite Beobachtungen angestellt worden, die qualitativ zu demselben Ergebnis gefiihrt hatten. l) Es sollten diese letzten
Versuche nur dazu dienen, die Empfindlichkeit der verwendeten
Methode zu illustrieren.
5
14. Zueammenfassung der Ergebnisse.
I n vorliegender Arbeit handelt es sich darum, die Beugung
elektromagnetischer Wellen genauer zu untersuchen. Die Anordnung der hierzu benutzten Apparate war im groflen ganzen
dieselbe, wie sie L e b e de w zum Nachweise seiner elektrooptischen Erscheinungen verwendete.
1) Zum Beispiel: Jacob, uber die Funkenverluete in einem geschlossenen Schwingungskreiae, Dissert. Jena 1905.
248
0. BaTtensteiir.
Beuguny usw.
Es bestiitigte sich, daB tatsachlich Beugung sich beobachten Ia6t, indem deutlich ausgepragte Minima und Maxima
der Intensitat neben der hellen Mitte vorhanden waren.
Bei der Beugung elektrischer Wellen durch einen Spalt
ergab sich, da6 die Beugungskurve nicht mehr durch die einfache Theorie, die Verwendung findet bei der Beugung des
Lichtes, darstellen laBt, und daB die Abweichungen der Dampfung
der elektrischen Wellen zuzuschreiben sind.
Es wurde deshalb der Versuch gemacht, eine Theorie der
Beugung gedampfter Wellenzuge aufzustellen , wobei auoh in
einer zweiten Rechnung die Anfangsbedingungen plotzlich einsetzender Wellen beriicksichtigt wurden. Die abweichenden
Ergebnisse der Rechnung von der Beugung ungedampfter Wellen
wurden experimentell bestatigt ; auBerdem fand sich in dem
Verhaltnis
1. Maximum
1,
R.linimum
ein Ma6 fur die Gr6Be der Dampfung.
Ferner wurde die Beugung elektrischer Strahlen durch
Gitter und der EinfluB der Gitterkonstanten aiif die Lage der
Maxima untersucht. Die aus der Beugungskurve berechnete
Wellenlange stimmte verhaltnismaBig gut iiberein mit der
Wellenrange, die nach der Abrahamschen Theorie aus den
Dimensionen des Erregers berechnet wurde.
Durch Beobachtungen der Beugungsfigur und Veranderung
der Erregerdimensionen ergab sich die Existenz von Oberschwingungen, deren Dampfung kleiner als die der Grundschwingung gefunden wurde, wie es ebenfalls die Theorie verlangt.
Endlich wurden noch Messungen daruber angestellt, wie
sich die Diimpfung der Schwingungen Bndert mit der Funkenlange und mit dem Material der Elektroden, zwischen denen
der Funkenubergang stattfindet. Die Resultate dieser Messungen
stimmten uberein mit Beobachtungen, die von anderer Seite
hieruber ausgefuhrt worden waren.
J e n a , Physikalisches Institut, Xarz 1909.
(Eingegangen 5. Marz 1909.)
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