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Berechnung der elektronenoptischen Abbildung durch drei typische starke Magnetlinsen und ihr Zusammenhang mit der gewhnlichen Linsengleichung.

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Berechnung der elektronenopfischen A bbildung
durch drei typische, starke Magnetlinsen und iht Zusammenhang
mit der gewiihnlichen Linsengleichung
Von Walter Glaser und Friedrich L e n z
(Mit 16 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
+
Fur drei typische magnetische Abbildungsfelder B, = B,/(l
(z/u)$)@,
fur p = 1 und ,u = 2 und B, = B,, e-(zla)' wird die Zuordnung von Ding- und Bildort
sowie die VergroBerung aus numerisch berechneten Elektronenbahnen fur verschiedene Werte des Parameters J2/U* exakt bestimmt. Der Zusammenhang
rnit der gewohnlichea Linsengleichung ergibt, sich durch Berechnung der oskulierenden N e w t onschen Kardinalelemente fur die angefuhrten Felder.
Die wichtigsten Abbildungseigenschaften einer Elektronenlinse sind durch den
Zusammenhang von Ding- und Bildort miteinander und mit der VergroSerung
gegeben. Diese Zusammenhange sind im allgemeinen nicht durch einfache analytische Funktionen in geschlossener Form auszudriicken. Man ist daher auf nunierische Methoden angewiesen.
Fur den Achsenabstand einer achsennahen Elektronenbahn y (z) in einem rotationssymmetrischen magnetischen Feld, dessen FluSdichte BG( z ) langs der
Achse gegeben ist, gilt die Differentialgleichurig
wenn elmo die spezifische Elektronenladung und U* die relativistisch korrigierte
Beschleunigungsspannung der Elektronen
-)=
+
U (1 0,97 -10- V )
U* = U p + eU
(2)
bedeutet.
Wir wollen annehnien, daS e (2) eine Losung der Differentialgleichung (1) isf;,
welche in z = z, verschwindet. Die weiteren Nullstellen von ~ ( z seien
)
z,, z,, . . .
Es gelte also
e ( z 0 ) = 0, e(z1) = 0 , . *
(3)
-
1st v ( z ) eine weitere von e(z) unahhangige Losung der Differentialgl. (l),60 mu0
jede Elektronenbahn, welche durch den Dingpunkt z = z, und y = yo geht, als
Linearkombination in der Gestalt
20
Annulen der Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
darstellbar sein. Die Bedeutung der Konstanten B ergibt sich aus (4)fur z = z,,
mit Riicksicht auf (3) zu
Das vom Dingpunkt z
= zo, y =
yo ausgehende Elektronenbiindel ist daher durch
gegeben. Jedem Wert der Konstanten A entspricht eine andere Elektronenbahn
und daher im allgemeinen auch ein anderer DurchstoBpunkt jj1 in einer Auffangebene z = Zl. Wahlen wir aber z = zl, so wird e(zl)= 0 und wir erhalten fur alle
Bahnen den gleichen Vereinigungspunkt z = zl,y = y1 in der Ebene z = z1
Die GroBe
1st u ( z ) eine ebenf& willkiirliche von w(z) unabhangige Losung der Differentialgl. (l),so kann e ( z ) als Linearkombination von u und v in der Gestalt
e (2) = u (20) v (2) - (4 (20)
dargestellt werden. Die ,,Bildebene" z = z1 bestimmt sich daraus durch
e @I)
= u (20)
(ZJ
-u (21)
2! ( 2 0 ) =
(9)
0.
welche man mit (8) in der Gestalt
zusammenfassen kann. GI. (11) nennen wir die allgemeine elektronenoptische Abbildungsgleichung. Sind also (etwa durch numerische Integration) zwei linear
unabhangige Losungen u ( z ) und v(z) der Differentialgl. (1) bekannt, so konnen
wir daraus nach (10) bzw. (11) den Zusammenhang zwischen Ding- und Bildort
und die VergroBerung numerisch bestimmen und in Tabellen wiedergeben.
Der Feldverlauf in magnetischen Elektronenlinsen la& sich oft mit guter
Naherung durch einen Ausdruck der Gestalt')
,
wiedergeben. Fur ,u = 00 haben wir etwa die Feldform, welche in ungesattigten
Linsen entsteht, wenn die Polschuhspaltbreite gleich dem Polschuh-Bohrungsdurchmesser, fur = 3 diejenige, wenn die Spaltbreite klein gegen den Bohrungsdurchmesser ist und fur ,u = 1 die in stark gesattigten Polschuhen. Zur Kennzeichnung der Linsenstarke scheint uns am geeignetsten der nur von Gesamtdurchflutung I und Beschleunigungsspannung U abhangige Parameter
g2,-.e iP
1701t 12
-- 0,00352 __ 8n2 mo U+
1)
~
W. Glaser, Z. Physik 117, 285 (1941).
Amp2 U*
W . Glaser u. F. Lenz: Berechnung der elektronenoptisehen Abbildung
21
zu sein, welcher die Kenntnis der Halbwertsbreite des Linsenfeldes nicht voraugsetzt2). ,u, ist hierbei die magnetische Konstante und hat den Wert 1,256 Gcm/Amp.
Fiir den Speziallfall des Feldes (12) mit,u = 1 hat Glaser’) dieDifferentialg1. (1)
schon fruher in geschlossener Form gelost und gezeigt, dafl in diesem Fall der Zusammenhang zwischen Dingort, Bildort und Vergroflerung durch eine N e w t o n sche Abbildungsgleichung, d. h. eine Gleichung der Form
..
.
rnit k o n s t a n t e n fo, f l , z f o , z j l wiedergegeben werden kann, und zwar wird in
diesem Fall
Zf
“Id = -Zf Jd
= cotg
n
vm.
~
Der von Glaser in der zitierten Arbeit eingefuhrte Parameter k 2 ist fur ,u = 1
mit unserem Parameter g2 identisch.
1 ist, ist numerische Rechnung notwendig. Wir
Fur alle Felder, bei denen ,u
haben die numerische Berechnung des Zusammenhanges zwischen Dingort, Bildort und Vergroflerung fur die
Felder der Form (12) mit p = 2
und ,u = 00 durchgefiihrt und
dabei den Parameter g2 in
Schritten von 0,5 variiert. Zu
den Werten g2 = 0,5; 1; 1,5; 2
gehoren P / U * = 142, 285,427,
569Amp2/V. Da wir uns auf
den Fall beschranken wollen,
in welchem nur e i n Bildort
existiert, durfen wir mit der
Linsenstarke den Wert nicht
uberschreiten, fur welchen zum
ersten Male zu einem Dingort Abb. 1. Zusammenhang zwischen Dingort, Bildort
zwei Bildorte entstehen konnen; und,VergroBerung fiir das Feld (12) niit p = 2
dies ist fur u
, = 1 bei g2 = 3,
fur .u = 2 bei g2 = 2,06 und fur
,u = 00 bei g2 = 1,70 der Fall.
Da die Felder der Form (12)
symmetrisch in z sind, braucht
man hier nur e i n e Elektronenbahn zu integrieren, da mit u ( z )
auch
+
V ( Z ) = u (-2)
(17)
eine im allgemeinen von U ( Z )
linear unabhangige Losung von
(1) ist.
*) F. L e n z , Z. angew. Phys.
2, 337440 (1950).
Abb. 2. Zusammenhang zwischen Dingort, Bildort
und VergroBerung fiir das Feld (12) mit p = 00
22
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 9. 1951
Die Ergebnisse unserer Rechnung f i i i die beiden Felder der Form (12) mit
1 und 2 graphisch dargestellt, und zwar ist zur Vereinfachung der Darstellung die VergroBerung 1 V 1 als Ordinate gewahlt, wahrend
z, (00) und 2, = 2,- z, (0)
in Abszissenrichtung die positiven GroBen 2, = - z,
aufgetragen sind. Hierbei bedeutet z, (00) den zur VergroBerung 00 gehorigen
Dingort und xl(0) den zur VergroBerung Null gehorigen Bildort. Fur symmetrische Felder, also z. B. die der Form (12), ist z, (00) = -x, (0).
Wegen der Symmetrie des Linsenfeldes konnten wir auBerdem die Kurvendarstellungen in Abb. 1 und 2 auf den VergroBerungsbereich 1 5 I V I < 00 beschranken. Wenn wir uns namlich fur VergroBerungen im Bereich 0 < I V \ < 1
(also eigentlich Verkleinerungen) interessieren, konnen wir die zugehorigen Abbildungseigenschaften auch aus dieser Darstellung ablesen, indem wir namlich
I 7 durch 1/1 V I ersetzen und gleichzeitig 2, mit 2, vertauschen. Die graphische Darstellung ware also dadurch auf den ganzen Vergroflerungsbereich
,u = 2 u n d p = 00 sind in Abb.
+
~
I
Abb. 3. Zur Ableitung von GI. (21)
Abb. 4. Zur Ableitung von G1. (23)
0iIVI
00 zu erweitern, daB man sie an der Geraden I V I = 1 spiegelt.
Man sieht aus Abb. 1 und 2, daB furZ,> d die Kurven in Gerade der Steigung
1
also in Kurven der Form
I V I = B,/const.
(18)
+
ubergehen, wahrend fur 2, <d
Form
der asymptotische Verlauf durch Gerade der
I V 1 = const./Z,
(19)
rnit derse2ben Konstanten wie in G1. (18) gegeben ist. Man kann sich an Hand der
Abb. 3 und 4 unmittelbar uberlegen, daB die asymptotischen Ausdriicke fur eine
sehr hohe VergroBerung V nicht bloB auf die betrachteten speziellen Feldformen
beschrankt sind, sondern allgemein gelten. D a fur zwei beliebige Losungen von
(1) die Beziehung
e v r - e r v = const
(20)
gilt, ergibt sich daraus, wenn man sie fur Ding- und Bildpunkt anschreibt mit
Riicksicht auf (3)
Wenn man zur Grenze z1--f 00 ubergeht, wird f$ mit der ,,Brennweite fo im ublichen Sinne" identisch und man erhalt
lim ~ = - - IlV l > > 1 .
fo
(22)
D a der Achsenschnittpunkt jeder Elektronenbahn im Magnetfeld nach (1) stets
ein Wendepunkt ist, konnen, wir fur Dingpunkte in unmittelbarer Nahe dieses
W . Ghser u. F. Lenz: Berechnung der elektronemptiachen Abbilduq
23
Achsenschnittpunktes nach Abb. 4 schreiben
lim
v z ~Yo ' = f r I-V I > > 1 .
20
(25)
Wir wollen die nach Abb. 4 definierte GroDe to,mittels deren nach (22) und (23)
die VergroBerung fur sehr hohe Werte angenahert bestimmt werden kann, die
,,dingseitige Grenz-Brennweite' '
nennen *). Analog ist die ,,bildseitige Grenz-Brennweite" definiert. Die Achsenpunkte Z,(OO)
und z1(0), denen die VergroBerungen Unendlich und Null
entsprechen, sollen sinngemad
,,dingseitiger und bildseitiger
Grenz-Brennpunkt" heiben.
Galte eine Newtonsche Abbildungsgleichung streng, so
waren die Kurven in Abb. 1
und 2 in ihrem ganzenverlauf Abb. 5. Zusammenhang zwischen Dingort, Bildort
streng durch (18) und (19) ge- und VergroBerung fiir das Newtonsohe Feld (12)
mit p = 1
geben, waren also in der doppeltlogarithmischen Darstellung Gerade rnit der Steigung f 1.
In diesem Fall durften wir die
Konstante in (18) und (19) als
,,Brennweite" bezekhnen, was
bei nicht-Newtonschen Abbildungsverhaltnissen nur unter
Vorbehalten moglich ist. Zum
Vergleich ist eine den Abb. 1
und 2 entsprechende Darstellung fur ein Peld mit N e w t o n scher Abbildungsgleichung [(12)
mit ,u = 11 in Abb. 5 wiedergegeben.
Um die Abb. 1 , 2 und 5 verwenden zu konnen, ist noch die
Kenntnis der GroIJen z, (0) =
-z, (00) erforderlich. Die Abhangigkeit dieser GroBen von ga Abb. 6. Lage der ,,Grenz-Brennpunkte" i n Abist in Abb. 6 fur die Peld- hilngigkeit von der Linsenstiirke fiir Felder vom
verliiufe (12) wiedergegeben. erweiterten Glockenfeldtyp (12) mit p = 1, p = 2,
p=oo
Obgleich im allgemeinen
bei Draktisch vorkommenden
Feldverteilungen die Abbildungsgleichung (10) keine Newtonsche, d. h. nicht
von der Form (14) sein wird, kann man, wie in einer Arbeit von Glaser und
B e r g m a n n s ) gezeigt wird, eine ,,oskulierende N e w t onsche Abbildung" einfuhren,
*)
3)
Nach einem Vorschlag von B. v. B o r r i e s .
W. Glaser u. 0.Bergmann, ZAMP 1,363 (1960).
24
Annalen der Physik. 6. Fo2ge. Band 9. 1951
welche in der Umgebung zweier einander als Ding- und Bildort zugeordneter
Punkte die tatsachliche elektronenoptische Abbildung bis zu Gliedern 4. Ordnung
annahert. Diese oskulierende Newt onsche Abbildungsgleichung hat zwar auch
Abb. 8. Ziir Berechnung der oskulierenden Kardinalelemente
Abb. 7. Zur Berechnung der oskuliere nde n Kardinaleleme nte
-
0
as !-
I
-'-
01
iai
0.1
1
10
/v/-
6
100
Abb. 10. Auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve hezogene Brennweiten f/d
in Abhangigkeit von der VergroSerung fur das Feld (12) mit p = 00
die Form (14), es ist hierbei aber zu beachten, da13 fo, f1, z f o , z f l (die oskulierenden Kardinalelemente) k e i n e Konstanten zu sein brauchen, sondern fur jedes
einander zugeordnete Punktepaar z,, z, verschiedene Werte annehmen konnen.
1st einer der konjugierten Punkte z,, oder x, der unendlich ferne Punkt, d a m
W . Olaser u. F . Lenz: Berechnung der elektronenoptischen Abbildung
25
stimmen die ,,oskulierenden Kardinalelemente" mit den ,,Grenz-Brennweiten"
und ,,Grenz-Brennpunkten" uberein.
Die Berechnung diescr oskulierenden Kardinalelemente geht nun in folgender
Weise vor sich (Abb. 7): Wir bilden diejenige Linearkombination (4), welche fur
41+10
%?l
d +P8
-1I
3$$42 Amp%
"
'
"061 +---
-0183
,0738
*at-
-0731
4 6-
-01 -
-02 -01 -04 2
81
%01
mu
10
1
-
/VI
Abb. 11. Auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene oskulierende Brennpunktslagen zt/d in Abhiingigkeit von der Vergrokrung fur das Feld (12) mit p = 2
i
-%
0.1
1
10
/v/-
1RO
Abb. 12. Auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene oskulierende Brennpunktslagen z,/d i n Abhangigkeit von der VergroBerung fiir das Fled (12) mit p = 00
z = zo den Wert Eins und die Steigung Null hat. Es sol1 also, wenn wir diese Linearkombination s ( z ) nennen,
s(z0) = 1; s'(zo) = 0 ;
(24)
sein. Aus dieser Forderung ergeben sich die zugehorigen Koeffizienten A und B
aus G1. (4) so, da13
wird. Man kann sich davon uberzeugen, da13 in der Tat die Forderungen (24) erfiillt sind, wenn man in GI. (25) und in ihre Ableitung nach z fur z den Wert z,
einsetzt.
Wir verfolgen nun diese Losung bis z = zl. Aus (11) und (25) folgt dann
zunachst, daB s(zJ = V wird. Wir Iegen nun an der Stell.: z = z, die Tangente
26
Annakn &r Physik. 6 . Folge. Band 9. 1951
an die Kurve .(z) und bringen sie rnit der z-Achse zum Schnitt. Den Schnittpunkt nennen wir zfl und den Retrag der reziproken Steigung der Tangente fi.
Dann liest man aus Abb. 7 unmittelbar ab, daB
'v = (zl- z,l):fl.
(26)
Wenn wir in entsprechender Weise (Abb. 8) diejenige Linearkombination t (2)
bilden, fiir welche analog zu (24)
t ( q ) = 1 ; t'(z,) = 0
(27)
d
+IO-
$1
3;". = 285 Amp?"
.cs -
3$,* = CZ? Amp?"
d
0.1
1
D
I
/v/-
100
Abb. 14. Auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene oskulierende Brennpunktslagen z,/d i n Abhiingigkeit von der VergroBerung fur das Newtonsche Feld (12)
rnit p = 1
wird, diese Losung bis zum Punkte z = z, verfolgen, dort die Tangente legen und
und f o entsprechend definieren, erhalten wir
z,,
1/v = (zfo-zo):fo.
(28)
Wir erhalten also auf diese Weise durch Zusammenfassung von (26) und (28)
formal genau die Newtonsche Abbildungsgl. (14). Die oskulierenden Kardina.1elemente berechnen sich (Abb. 7 und 8) atis
W. Ghaer u. F. Lenz: Berechnung der elektronenqthchen Abbildung
27
Da s(z) und t ( z ) Losungen von (1) sind, gilt
d(z) t(z)--.t’(z) s ( z ) = const,.
(30)
also auch
8‘
(4t (4- 1’ (%I s (4= 8’ (21)t (21) --
(311
t’ (21) s (21)
oder unter Berucksichtigung von (24), (27) und (29)
f o = f l = f.
(32)
In Abb. 9 und 10 ist die auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene
oskulierende Brennweite f,/d in Abha,ngigkeit von der VergroBerung dargestellt,
d d
Abb. 16. Zusammenhang zwischen Dingort, Bildort und Vergrohrung fiir das Feld (12)
mit p =
(Kreisstromfeld)
$01
’
$1
1
10
100
-1VJ
Abb. 16. Auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene oskulierende Brennweiten f/d und Brennpunktslagen zf/d fur das Feld (12) mit p = Y2, (Kreisstromfeld)
wieder fur Felder der Porm (12) mit p = 2 und p = 00 und fiir die Werte gz =
0,5:1; 1,5; 2. Man sieht, dal3 die entstehenden Kurven, wenn V I im logarithmischen MaBsbab aufgetragen wird, symmetrisch zur senkrechten Geraden I Tt = 1
verlaufen. Dies ist wieder eine Folge der Symmetrie der Felder (12).
In -4bb. 11 und 12 iut die auf die halbe Halbwertbreite d der Feldkurve bezogene
oskulierende Brennpunktslage z,Jd in Abhangigkeit von der VergroBerung fur
dieselben Felder und Linsenstarken dargestellt. Die oskulierende Brennpunkts-
I
I
28
Annubn der Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
lage z j 0 kann denselben Abbildungen entnommen werden, wenn man bedenkt,
da13 wegen der Feldsymmetrie z f , ( V ) = -- zfl(l/V) ist. Man sieht aus den Abbildungeii 9 bis 12, daB die Abweichungen von horizontalen Geraden (also von
N e w t onschen Abbildungsverhaltnissen) mit steigender Linsenstarke zunehmen.
Fur 'F I = 1 haben die Kurven der Abb. 9 bis 12 Extrema. Zum Vergleich sind
in Abb. 13 und 14 die (oskulierenden) Karclinalelemente fur das Newtonsche
Feld mit ,u = 1 dargestellt.
Da in der Literatur4) die Ansicht vertreten worderi ist, da13 das Kreisstromfeld, welches dem Exponenten p = 3/2 entspricht, zur Klasse der Newtonschen
Felder gehort, haben wir im folgenden die oskulierenden Kardinalelemente des
Kreisstromfeldes bestimmt. Als Parameterwerte wurden g2 = 2, d. h. k2 = 2,90
und P / U * = 569 A2/V gewahlt. Fur g2 = 2,26 wurde der erste teleskopische
Strahlengang entstehen. I n Abb. 15 ist der elektronenoptische Zusammenhang
zwischen Ding- und Bildort und der VergroBerung dargestellt. Die Tatsache, da13
die gezeichneten Kurven von ihren Asymptoten, welche gleichfalls eingetragen
worden sind, abweichen, beweist unmittelbar, da13 es sich beim Kreisstromfeld
um kein Newtonsches Abbildungsfeld handeln kann. Abb. 16 stellt den Verlauf der oskulierenden Brennweite und Brennpunktlage als Funktion der Verqroflerung dar. Man erkennt, da13 diese Kurven keinesfalls fur die angegebene
Linsenstarke durch horizontale Gerade dargestellt werden, wie dies fur eine
Newtonsche Abbildung der Fall sein mul3te.
I
_
_
~
R. G . E. H u t t e r , J. Appl. Phys. 16, 670 (1945); A. A. Rusterholz, Elektronenopt& Bd. I. Birkhauser, Basel, 1950.
4,
W i e n , Inst. f. angew. Phys. der Technischen Hochschule, B e r l i n , Abt. f. Elektronenoptik der Siemens & Halske A. G. und D ii s s e l d o r f , Rhein.-Westf.
Inst. f. Ubermikroskopie.
(Bei der Redaktion eingegangen am 29. November 1950.)
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