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Berechnung der elektronenoptischen Kenngren eines speziellen magnetischen Linsenfeldes ohne numerische Bahnintegrationen.

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Berechnang der elektronenoptischen Kenngrcflen eines speziellen
magnetischen Linsenfeldes ohne numerische Bahnintegrationen
Von Friedrich Lenz
(Mit 7 Abbildungen)
Inhaltsiibersicht
Die Losung der Differentialgleichung der achsennahen Elektronenbahnen ist
fur eine Feldverteilung der Form
H = - El,
&of
;
streng moglich, und zwar ergibt sich als allgemeine Losung
wobei P, und
und v durch
QY
die Losungen der Legendreschen Differentialgleichung sind
e& J2
v (v + 1 ) = ge = 8n2
-~
nz, u*
definiert ist. Aus der Kenntnis der Elektronenbahnen kann der Verlauf der elektronenoptischen KenngroBen in Abhangigkeit von der Linsenstarke abgeleitet
werden. Die angefuhrte Feldverteilung ist typisch fur schwach gesattigte Polschuhlinsen und klingt, wie es in allen Polschuhlinsen mit zylindrischer Bohrung
der Fall ist, exponentiell ab.
1. Einleitung
Die Differentialgleichung der achsennahen Elektronenbahnen in rotationssymmetrischen Magnetfeldern lautet
wenn H ( z ) die magnetische Feldstarke auf der als z-Achse gewahlten Symmetrieachse des Feldes, r ( z ) der Achsenabstand einer Elektronenbahn, e die Elektronenladung, m, die Elektronenruhmasse und U* die relativistisch korrigierte Beschleunigungsspannung bedeutet, welche sich aus der Beschleunigungsspannung
U nach
berechnet. Fur die in der Praxis (z. B. in den Elektronenlinsen der Ubermikroskopie)
vorkommenden Feldverteilungen H ( z ) wird sich die Differentialgleichung (1) im
allgemeinen nicht streng losen lassen. Tragt man die Feldverteilung H ( z ) einer
Ann. Physik.
6. Folge, Bd. 9
17
246
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
solchen Linse uber z auf, so erhalt man im allgemeinen eine Kurve mit einem Maximum H , und zwei Wendepunkten, welche fur grof3e positive un$ negative z gegen
Null geht (Glockenkurve). Wir wollen den Nullpunkt der z-Achse in den Ort des
Maximums legen und als ,,Linsenmitte" bezeichnen. Glaser') hat fur eine Funktion dieser Gestalt
welche manche Feldverteilungen (insbesondere solche in stark gesattigten Polschuhlinsen) gut annahert, die Differentialgleichung (1) streng gelost und a u s
dieser Losung wichtige elektronenoptische KenngroBen wie Brennweite, Vergrollerungsweite, Brennpunktslage, Farb- und Offnungsfehlerkonstante streng
berechnet. Eine strenge Losung der Differentialgleichung (1) ist ferner fur ein
stiickweise homogenes Feld moglich. Eine solche Losung hat aber keine physikalische Bedeutung. Der Einwand, daB eine derartige Feldverteilung nicht die
Potentialgleichung befriedigen kann, lieBe sich zwar dadurch abschwachen, da13
sich jede Achsenfeldverteilung beliebig genau durch eine streng mit der Potentialgleichung vertragliche annahern la13 tz). AuBerdem wurde dieser Einwand ja
auch die durchaus sinnvolle Berechnung von KenngroBen in aus zwei oder mehr
stetig aneinander anschlieBenden Feldkurventeilen treffen, wie sie z. B. G l a s e r l )
und D o s s e 3) bei der Elektronenoptik des unsymmetrischen Glockenfeldes durchgefuhrt haben. Entscheidend fur die physikalische Sinnlosigkeit einer Losung
mit stuckweise homogenem Feld scheint uns vielmehr die Tatsache, daB selbst
bei der Annaherung durch ein stetiges Peld mit zunehmender Genauigkeit dieser
Annaherung die Offnungsfehlerkonstante uber alle Grenzen wachst 4), daB also
eine Pokussierung selbst beliebig achsennaher Strahlen nicht mehr eintritt.
I n den praktisch vorkomrnenden Linsenfeldern ist nun je nach den geometrischen
Abmessungen der Polschuhe und je nach den Sattigungsverhaltnissen die Annaherung durch das Glasersche Glockenfeld (3) mehr oder weniger genau. In
Fallen, in denen die Genauigkeit dieser Annaherung nicht mehr ausreicht, ist
man a u f numerische Methoden, z. B. numerische Integration der Differentialgleichung (1) angewiesen. Mehrere Ergebnisse solcher Integrationen liegen vor,
z. B. 5 ) und 6)) insbesondere fur den in der praktischen Obermikroskopie interessanten Bereich zwischen verschwindender und erster teleskopischer Linsenstarke.
Die in diesem Bereich durchgefuhrten Integrationen fur eine Anzahl diskreter
LinsenstaTken erlauben durch Interpolation die Bestimmung der funktionellen
Abhangigkeit der elektronenoptischen KenngroBen von der Linsenstarke.
1) W.
Glaser, Strenge Berechnung magnetischer LinRen der Feldforrn
H = HJ3. 4Z . Phvsik 117. 285-315 (1941).
. lz/uY.
~,
2, F. Berz, Note on 3otentiaG Derived from Axial Values in Elactron Optics, Philos.
Mag. 41, 209-220 (1950).
3) J. Dosse, Strenge Berechnung magnetischer Linsen mit unsymmetrischer Feldform nach H = H o / l (z/u)2, Z. Physik 117, 316-321 (1941).
41 F. Len z Berechnuna oDtischer KennaroPJen maanetischer Elektronenlinsen aus
Polschuhabmessungen und getkebsdaten, Z. lngew. PhGik 2, 448-453 (1950).
6) M. v. Ments u. J. R. Le Poole, Numerical Computation of the Constants of
Magnetic Electron Lenses, Appl. Sci. Res., B. 1, 3-17 (1947).
6) F. Len z , Berechnung optischer KenngroDen magnetkcher Elektronenlinsen vom
erweit,erten Glockenfeldtyp, Z. angew. Physik 2 337-340 (1950).
I
.
.
+
F . Lenz: Berechnung der elektronemptischen' Kenngrcpen eines Linsenfeldes
2. Die Feldverteilung H = H&of
24 7
ax
Hier sol1 nun darauf hingewiesen werden, daD es auder dem Glaserschen
Glockenfeld noch ein weiteres gibt, fur welches die Differentialgleichung (1)
streng gelost, die Gleichung der allgemeinen achsennahen Elektronenbahn also
in geschlossener Form angegeben werden kann, und zwar fur eine Feldverteilung
der Form
Diese Feldverteilung fallt fur grolje z exponentiell a%, ein Verhalten, welches allen
Polschuhlinsen mit zylindrischer Bohrung eigen ist 7). a ist hierbei eine charakteristische Lange, welche mit der Halbwertbreite d der Peldverteilung nach
d = a %r 6oi 2
(5)
zusammenhangt. Der Formfaktor I / H , d (Gesamtdurchflutung dufch Produkt
aus Maximal-Achsenfeldstarke und Halbwertbreite) betragt fur die Feldverteilung (4)
I n ungesattigten Polschuhlinsen kommen Formfaktoren zwischen 2,OO und
2,31 vors), wahrend der Formfaktor des Glaserschen Glockenfeldes (3) den
Wert n = 3,14 hat. Wir
t
haben es also bei (4) mit
Hd
einer Feldverteilung zu tun,
3
wie sie in schwach gesattigten Polschuhlinsen auftreten
kann. Zur Veranschaulichung
des Formfaktors moge Abb. 1
dienen, in welcher drei verschiedene Feldverteilungen
mit gleicher Halbwertbreite d
derart aufgetragen sind, da13
das Integral unter allen Kurven denselben Wert an- .? -6 -5 .,, -3 .z -I
i
641/d
nimmt. Der Scheitelwert der
- 1. Drei typische Feldformen in magnetischen
Feldkurven in dieser D ~ ~Abb.
Linsen. Die Kurven sind bei gleicher Halbwertbreite
stellungsweise kt gleich dem so gezeichnet, daS der Flacheninhalt unter allen drei
Kehrwert des Pormfaktors.
Kurven denselben Wert Eins hat
Wir setzen die Feldverteilung (4)in die Differentialgleichung (1) ein und erhalten
a%-
-+
dz2
8 "0
ePv%_r=
u* 40ja ;
0;
(7)
') F. Len z , Annaherung yon rotationeaymmetrischen Potentialfeldern mit zylindrischen Aquipotentialflachen durch eine analytische Funktion, Ann. Physik (6) 8, 124
bis 128 (1950).
8 ) F. Len z , Berechnung der Feldverteilung Iangs der Achse magnetischer Elektronenlinsen aus Polschuhabmessungen und Durchflutung. Optik 7, 243-253 (1950).
~
--
248
Annalen der Physik. 6. Folge. B a d 9. 1951
Wir setzen z/u = z und berucksichtigen, da13 nach (5) und (6)
J=nH,a.
(8)
Dann lautet die Differentialgleichung
Setzen wir weiter
-Sgx=u
und
e pi J2
8x2 rno
u* = '(' f
(10)
') = g2,
so erhalten wir
d2r
(1 - u2)$d-&-
dr
- 2 udu
+ Y(Y + 1)r = 0.
(11)
Dies ist die Legendresche Differentialgleichung, deren allgemeine Losung
r=AP&)
+B&,(u)=BP,(-Zg~)+BQ,(-29~)
(12)
geschrieben werden kann. Die spezielle Losung, welche zur Berechnung der Kenngroflen benotigt wird, ist diejenige, welchs im Achsenabstand Eins achsenparallel
aus dem feldfreien R i u m in
die Linse einfalt. Diese spezielle Losung ( 2 ) lautet hier
e
e ( 4 = P , ( - 2 9 );
Abb. 2. Die Funktionen P
..
0 , 2 ; . 1,O. Sie stellen den Achsenabstand achsenparallel in die Linse einfallender Elektronenstrahlen
bei verschiedener Linsenstarke dar
P*(1 - 2 k2) =
*
(13)
Man findet diese Funktionen P, fur ganzzahlige
Y = 1, 2, 3 . . : als Kugelfunktionen tabuliertu), wahrend fur halbzahlige Y =
312 . . . ein einfacher
Zusammenhang mit den
ebenfalls tabulierten 9) vollstandigen elliptischen Integralen besteht.
Es ist
niimlich
5 ( 2 E ( k )- K ( k ) )
0
2
P-, (1 - 2 k2) = --K(k),
x
(14)
(15)
wovon man sich leicht uberzeugt, wenn man beide Seiten der Gln. (14) und (15)
als hypergeometrische Reihen schreibt. Es ist namlic h10)
P, (1 - 2 k2) = 2Fl(-v, Y -11; 1; k2)
(16)
2
--E(k) = 2F1(-- '/2, '12; 1;k Z )
(17)
?c
2
--K(k)
=
z
('/2,
'/2;
1; k 2 ) .
(18)
Keiichi H a y a s h i , Funfstellige Funktionentafeln, Springer, Berlin 1930.
W. Magnus u. F. Oberhettinger, Formeln und Satze fur die speziellen Funktionen der inathematischen Physik, Springer, Berlin 1943.
D,
lo)
F. Lenz: Berdnung der elektroneqtden RenngriiPen einea Linaenfdde-s
249
Die ubrigen Pv mit halbzahligem v findet man aus (14)und (15) leicht unter
Benutzung der bekannten Rekursionsformell o )
(2 v
+ 1)u P. (4
= (v
+ 1)P’+1(4 + v
p.-1
(u).
I n Abb. 2 ist die Funktion P , ( - B g t ) fur v = 0; 0,l; 0,2;.
(19)
. . 1,O dargestellt.
3. Allgemeines uber die Berechnung der elektronenoptischen KenngrgBen
Als elektronenoptische KenngroBen wollen wir die Brennweite f, die VergroBerungsweite v, die Brennpunktslage z,, die Farb- und offnungsfehlerkonstante C p und Co bezeichnen, so wie sie bei Glaserl) definiert sind, und zwar
werden wir uns auf den in der Elektronenmikroskopie besonders interessierenden
Fall hoher VergroBerung beschranken. AuBerdem werden wir noch eine weitere
KenngroBe c einfuhren und berechnen. Es wird sich zeigen, daB wir die funktionelle
Abhangigkeit der Kenngroljen von der Linsenstarke nicht in allen Fallen als eine
geschlossene ctnalytische Funktion der Linsenstarke angeben k8nnen. Dies
gelingt nur fur die VergroBerungsweite und die KenngroBe c durch eine Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von P , (- SQx) fur x -+ 00. Wir konnen
aber die Werte der KenngroBen und (mit Hilfe einer Storungsrechnung) ihre Ableitung nach der Linsenstarke fur alle ganzzahligen v streng berechnen. AuDerdem werden wir das Verhalten samtlicher Kenngroljen fur die Grenzfalle v + 0
und v --too streng angeben konnen. Wir kennen somit in der graphischen Darstellung der KenngroBen nicht nur eine Folge diskreter Kurvenpunkte, sondern
auch die Tangenten in diesen Punkten und die dsymptoten an beiden Enden der
Kurve. Dies genugt aber, um die Kurven mit grol3er Genauigkeit zeichnen zu
konnen.
4. Das asymptotische Verhalten der Lilsungen P,(-So
2) fur
x +00
Wir gehen aus von der Integraldarstellung 11)
welche im Bereich - 1< v < 0 gilt. Wir werden in GI. (20) cos6 durch --Bg x
ersetzen und im Verlaufe der Rechnung spater den Grenziibergang x -+ 00 durchfuhren. Nach Beendigung dieser Rechnung werden wir zeigen, daB das Ergebnis
nicht nur im Bereich -1 < v < 0 gilt, sondern fiir alle reellen v.
Wir gehen also aus von der Identitat
m
sinn v
PJ- sg z)= - n
0
u’ du
1- 2u so x
+ u2
11) H. Buchholz, Die Bewegung elektromagnetischer Wellen in einem kegelformigen
Horn, Ann. Physik (5) 37, Anhang 215-225 (1940).
250
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 9. 1951
Wir substituieren im ersten Integral
u=(1-8)Sgx;
dann wird
du=-&Sgx
und
1
1-2uUgx+u2=
+
82
Bin2 z
QofZ
x
*
Wir substituieren im zweiten Integral
u=(l+t)Sgx;
dann wird
du=fdtSgx
und
1
1-2uSgx+u2=
+ tZ Gin2 z
4op 5
*
Wir erhalten dann
P,(--sg
2) = -
So’s (1
~
n
0
Sayz Gin z * 2ds
1/1 82 Bin2 z
+
0
sinnv
/
+ t)’ Bin z d t
1/1+ t~ Bin2 z
n
0
%ay z Bin z [(I -8)”
1/1+
S.Z
- 11 ds
Bin2 z
(22)
0
n
0
1
Das erste dieser vier Integrale konnen wir durch die Substitution 8 Gin x =
losen, bei den ubrigen fuhren wir nun den Grenzubergang x +oo
durch, indem wir Sg x durch 1 ersetzen, die Wurzeln im Nenner nach Potenzen
Gin z bequem
van--?entwickeln und alle Glieder, die Gin x im Nenner enthalten, fortlassen.
Btn x
So erhalten wir
Wir untersuchendie auftretenden Integrale einzeln; mit der Substitution 1 -8 = e-t
wird aus dem ersten Integral
Die rechte Seite von (24)ist aber gerade eine Integraldarstellung fur die Funktion 12)
12)
1950.
E. Madelung, Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers, Springer, Berlin
F. Lenz: Berechnung der elektroneqtiachen KenngriiPen eines Linaenfeldes
wobei
d
y ( 4 =& l n w
+ 1)
.
und y = 0,577216.. . die Eulersche Konstante ist.
Im zweiten Integral wahlen wir die Substitution 1
s
In 2
0
+ 8 = et; damit wird
e"+ 1)6 - 1
j-
at=
0
251
e' - 1
(27)
at-ln2.
0
Im dritten Integral erhalten wir mit derselben Substitution
Setzen wir (24) bis (28) in (23) ein, so erhalten wir
sinnv
sinnv
Pv(- 5 g 2 ) -+ - 2 5 ld
+y(Y(v)
-f
sinnv
+r>+
1 -e('+')'
et-1
at
(29)
0
oder, unter nochmaliger Beriicksichtigung von (25),
P,(- sg 2)
--f
- 2 x sni n n v + yeinnv
(y(4+y(-----)
Aus (26) folgt nun wegen F(-v)I'(v
d
~ ( v-)y(- v - 1) = - - I n r ( v
dv
+ 1)= -&
+2y).
la)
+ 1)I'(- y ) = dva In (-
->
n
s1nlCv
= n cotgn Y. (31)
Damit erhalten wir fur das asymptotische Verhalten unserer Losung (13)
P.(-Xg 2)-+ - 2 2- sinnv cosnv 2 s i n n v (Y (4
n
(30)
+
+
~
n
+ r).
(32)
Bisher haben wir dieses Ergebnis aber nur fur - 1 < v < 0 bewiesen, da wir ja
bei G1. (20) diese Einschrankung machen mul3ten. Wir wollen den Gultigkeitsbereich von (32) nun erweitern. Allgemein gilt 10)
Setzen wir nun wieder wie bei GI. (10) u = - 5 6 2, so erhalten wir aus (33)
1 d
Pv + 1 (- %
2)
.
I = - sg 2 Pv (- sg 2 ) v(34)
+ l dz P,(- Sg 2).
Beim Grenzubergang 2 +co wird hieraus fur - 1 < v < 0 wegen (32)
+
.~
wenn man berucksichtigt, daB12)
Y(Y
+ 1)
=y(v)
1
+ v-+1 .
(36)
252
Annukn der Phyaik. 6.Folge. Band 9. 1951
+
Das asymptotische Verhalten (32) ist also auch im Bereich 0 < v < 1
richtig, ja wir konnen sogar mit Hilfe von (35) und (36) auf die Gultigkeit irn
Bereich n < v < n 1 schlieBen, wenn sie im Bereich n - 1 < v < n bereits
bewiesen ist. Da (32) und die Rekursionsformel (34) auch fur v = 0 und demit
fur alle ganzen Zahlen richtig sind, und fur v < - 1 die Beziehung P,= P-v.-l
gilt, ist also (32) fur alle reellen v gultig.
+
6. Die VergroBerungsweite und die KenngroBe c
I n Abb. 3 ist diejenige Losung e ( z ) der Differentialgleichung der achsennahen
Elektronenbahnen (1) aufgetragen, fur welche
lirn e(z) = 1
und
2+--00
b
(37)
lim e ' ( z ) = 0
2+--03
ist. Wenn die Feldverteilung langs der Linsenachse fur groBe z hinreichend stark
hat diese Losung auch eine geradlinige Ausfallsasymptote, deren Gleiabfallt 9,
chung wir mit den konstanten GroBen v
und c
-'
L
)=c-c
%
V
schreiben konnen. Fur das Feld (4)
konnen wir nach (13) und (32) die Abhangigkeit der KenngroBen v und c von
der Linsenetarke in mathematisch geschlossener Form angeben. Es ist namlich
Abb. 3. Zur Definition der VergroBe.
rungsweite und der KenngroBe c
und
c=cos7cGy+----
(38)
(39)
2 sinny
n
(Y (4
+ r>.
I n Abb. 4 sind a/v und c uber der Linsenstarke g2 = v(v + 1) aufgetragen.
v ist die ,,VergroBerungsweite" 14).
tI
Abb. 4. Die Abhangigkeit der VergroBerungsweite v = a n/2 sin z v und der KenngroBe
2
ep:Ja
c = cos x Y
sin n Y (y(v) y ) von der Linsenstarke g2 = Y (Y
1) =
+x
+
+
8nam, U*
W. Glaser u. 0.Bergmann, Uber die Tragweite der Begriffe ,,Brennpunkte"
und .,Brennweite" in der Elektronenoptik und die starken Elektronenlinsen init Newton scher Abbildungsgleichung, Z A M P , 1, 363-379 (1950), Anhang I.
la) E. Ruska. aber den Bau und die Beniessung von Polschuhlinsen fur hochauflosende Elektronenmikroskope, Arch. Elektrot. 38, 102-130 (1944).
13)
F. Lenz: Berechnung der elektronenoptischen Kenngr8/t?en e i w Linsenfeldes
253
6. Das Verhalten der KenngriiSen iiir Y +O
Fur sehr schwache Linsen (Y << 1) kann man die Brennweite f , VergroBerungsweite v , Brennpunktslage z, und Farbfehlerkonstante CF nach der Brennweitenformel von Busch’6)
e& $ Hadr
-00
naherungsweise berechnen. Setzt man hierin
1
I7 nach (4) ein, so erhalt man
a
f , v, zf, C p m 2g*
-a = B v ( v + l ) ’
Eine noch etwas bessere Naherung fur f und z, erhalt man, wenn man fur
schwache Linsen
und
Zf %
vc
(44)
benutzt. Diese Naherungsformeln (43) und (44)erhalt man, wenn man annimmt,
da13 der Brennpunkt so weit aul3erhalb des Feldes liegt, daB die Elektronenbahn
dort bereits geradlinig verlauft und infolgedessen durch ihre Ausfallsasymptote
ersetzt werden kann.
Entsprechend der BrennweitenformeI von B u s c h kann man auch die. offnungsfehlerkonstante fur schwache Linsen naherungsweise berechnen, indem man
im offnungsfeh1erintegra1l6)
e4
durch 1 ersetzt und von -co bis +co integriert. Es ergibt sich fur das Feld (4)
Glaser’) auBert starke Rritik an dieser Art der Offnungsfehlerberechnung.
Diese Kritik ist insbesondere dann berechtigt, wenn man von dem auf diese Weise
berechneten Ausdruck fur die Offnungsfehlerkonstante nur das Glied von
1
hochster Ordnung beriicksichtigt, von GI. (46) also beispielsweise nur 48 vs .
Es scheint uns aber durchaus sinnvoll, auch die anderen Glieder noch mitzunehmen. Glaser zeigt in seiner Arbeitl), daB das gro13te Glied der offnungsfehkrkonstante im Feld (3)
Qb-
a
2 lautet und da13 diese Naherung schon
n3k6
fiir k2 = 0,4 einen Fehler von 69% ergibt. Nimmt man aber das zweite Glied der
16) H. B u s ch, Berechnung der Bahn von Kathodenstrahlen im axialeymmetrischen
elektromagnetischenFelde, Ann. Physik 81, 974-993 (1926).
16) W. Glaser, uber ein von spharischer Aberration freies Magnefleld, Z. Physik
116, 19-33 (1940).
25 4
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 9. 1951
Entwicklung, welches sich bei dem hier besprochenen Naherungsverfahren ergibt, noch mit, schreibt also fur das Feld (3)
10
n3ke
a
so betragt der Fehler bei k2 = 0,4 nur noch 29%. Auch dieser Fehler ist noch betrachtlich, so da13 G l a s e r s Bedenken berechtigt bleiben. Immerhin werden wir
G1. (46) zur Berechnung des asymptotischen Verhaltens der offnungsfehlerkonstante im Feld (4) fur v -+ 0 verwenden. Hier liegen die Verhaltnisse aber noch
aus einem anderen Grunde wesentlich giinstiger als beim Glaserschen Glockenfeld
(3), da wir ja bei der Ableitung von (46) eine bessere Naherung fur f als die nach (41)
a
verwandt haben. Wir haben namlich in Anlehnung a n (43) f M - anStellevon(42)
2v
a
gewahlt. I n der Tat ergibt G1. (46) selbst fur v = 1 einen Fehler
f
2 v (v $- 1)
von nur 19%. Dies ist aber bereits die zum ersten teleskopischen Strahlengang,
also zu einer ungewohnlich starken Linse, gehorige Linsenstarke.
7. Das Verhalten der KenngrGBen fur v + c o
Bei hohen Linsenstarken (Y> 1) wird die durch (37) definierte Losung e ( z )
die Achse schon ein oder mehrere Male weit vor der Feldmitte schneiden, d. h.
in einem Bereich, in welchem die Feldverteilung (4) durch
H = 2 Ho ezla;
(z
< 0)
(48)
gut angenahert werden kann. Dort wird die Elektronenbahn also der Differentialgleichung
gehorchen, welche die Losung")
e ( z ) = Jo(2 g ezla)
(50)
besitzt. J,, ist hierbei die Besselsche Funktion nullter Ordnung. Die Nullstellen
dieser Funktion liegen bei
z , = u l n2 g~ ,
(51)
(an)=0
(52)
wenn an die durch
Jo
definierten Nullstellen von
J,,sind. Die Brennweite errechnet sich aus
(53)
zu
(54)
17) R. Rebsc h , Das theoretische Auflosungsvermogen des Elektronenmikroskops,
Ann. Physik ( 5 ) 31, 551-560 (1938).
F. Lenz: Berechnung der elektmnoptkxhen Kenngroben einea finaen/eldea
255
Auch das affnungsfehlerintegral (45) liiDt sich fur die Feldverteilung (48) und
die Elektronenbahn (50) streng berechnen zu
Fur n = 1 hat Rebsch") diesen Wert bereits (vermutlich auf Grund numerischer Rechnung) zu 0,252 angegeben.
Bemerkenswert an diesem Ergebnis ist, dad Ca fiir alle n (d. h. fur alle Brennpunkte 2,) gegen denselben von n unabhangigen Grenzwert geht, wahrend f mit
1
wachsendem n etwa wie - abnimmt.
G
Das Farbfehlerintegralla)
-m
lafit sich ebenfalls streng Itisen. Wenn man namlich (50) und (54) in (56) einsetzt,
erhalt man
8. Die KenngriiSen in der Umgebung ganzzahliger v
In der Umgebung ganzzahliger Y ist die Berechnung der KenngroBen mit Hilfe
einer Storungsrechnung moglich. Als Beispiel SOU hier die Berechnung der Brennweite fur gz = 2 E ( E << 1) durchgefuhrt werden. Die Differentialgleichung (9)
lautet in diesem Fall
E
d2r
2
-p.=---(58)
ixoy z r.
ds2 + (sop x
+
Fur
E
= 0 wird die Gleichung streng durch
r = A P,(-sg
2)
+ BQ, (-sg 2)= - A
sg 2 + B (1 - z s g 2)
(59)
gelost (s. Q 2). G1. (58) ladt sich also fur die spezielle Losung e(s) in die Integralgleichung
umformen, welche in erster Naherung
e(z)=-sgx+S(zgzln(~ +ez~~)-1-~gz)+0(&2)
(61)
W. Glasem, Die Farbabweichung bei Elektronenlinsen, Z. Physik 116, 66-67
lP)
(1940).
256
Annakn der Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
liefert. Die Untersuchung der
in der Nahe von x = O gelegenen Nullstelle dieser Funktion (61) liefert
(62)
f = 1 - 5 (1 - ln 2) O ( & S )
+
3
a
und
Z ' = ~ + O ( E ~ ) . (63)
a
Abb. 5. Die Abhangigkeit der Brennpunktslage Z,
von der Linsenstarke fur die ersten vier Brennpunkte
3
Das Verhalten der Fehlerkonstanten in der Umgebung
von v = 1 erhalten wir dann,
indem wir in die Fehlerintegrale fur die Linsenstarke
42 = 2
E und fur die Elektronenbahn den Ausdruck (61)
einsetzen und Glieder von
zweiter und hoherer Ordnung
in E vernachlassigen. So ergibt sich
+
Abb. 6. Die Abhangigkeit der Brennweite f von
der Linsenstarke fur die ersten funf Brennpunkte
und
-'F-_
a
l9
1~2).
3 ( i 8 - ~
'&
3
(65)
Wir kennen nun also das
Verhalten unserer KenngroBen
fur v < l , v m 1 und v>> 1.
Wo dies zur Kurvendarstellung
in Abhangigkeit von der
Linsenstarke noch nicht ausreiclite, wurden noch die Werte
cler KenngroBen fur v =
2,
3 usw. berechnet. Das Ergebnis ist in den Abbildungen 5,
6 und 7 graphisch dargestellt.
C, und CF sind hierbei nur
fur die ersten Schnittpunkte
der Elektronenbahn r ( z ) mit
der Achse wiedergegeben.
I
I
I
4 9 2 100
Abb. 7. Die Abhangigkeit der Farb- und Offnungsfehlerkonstanten von der Linsenstarke fur den Fall
hoher Vergroberung
0.1
1
10
9. Weiter,es iiber die
HenngroBe c
Wir hatten die KenngroBe
durch G1. (38)definiert, urn die
F. Lenz: Berechnung der e l e k t r m q t k h e n Kenngroben e & - s Liwenfeldea
257
Asymptote der durch (37) definierten Elektronenbahn e(z) angeben zu konnen. Die
Kenntnis der Konstanten c und v in G1. (38) genugt aber sogar, umzu j e d e r beliebigen Einfallsasymptote die zugehorige Ausfallsasymptote streng angeben zu
konnen. 1st namlich e(z) eine Losung der Differentialgleichung (1) in einem symmetrischen Feld (d. h. einem solchen, in welchem H ( z ) = H ( - z) ist), so ist e(- z )
auch eine Losung. Diese beiden Losungen sind linear unabhangig, wenn nicht
gerade ein teleskopischer Strahlengang vorliegt, welcher dadurch gekennzeichnet
ist, dafl 'v= & 00 und C = & 1 ist. Diesen teleskopischen Fall wollen wir im
folgenden zunachst ausschliefien.
Die allgemeine Losung T ( z ) der Differentialgleichung (1) lautet also
T(4
Gibt man nun fur z + -00
=A
ek)
+ Be(--z).
eine beliebige Einfallsasymptote
T ( Z ) -+Do
+ 6, *
vor, so bestimmen sich hierhus die Konstanten A und B der G1. (66) zu
A=D,+S,VC
B= - 6 , ~
und die Ausfallsasymptote (z -+ -t-
00)
wird
Y ( Z ) +D1
wobei
-16, Z,
Dl = Doc + v 6, (1 -c2)
6, = c 6,.;- DO
Dies Ergebnis kann man durch einen Grenzubergang auf die teleskopischen
Stralilengange erweitern. Beim ubergang zum ?&-tenteleskopischen Strahlengang
geht v +00, c -+ (- l ) n und der Ausdruck v (1-- c2) gegen einen festen endlichen
Grenzwert. Man erhalt dann
D, = (-
l ) n Do
+ 6, lim
v (1 - c2)
-+
v
6, = (- 1)n 6,.
(73)
$1
(74)
Diese Betrachtungen lassen sich ohne weiteres auf unsymmetrische Peldverteilungen erweitern. Man mu0 dann nur die dingseitigen Groflen v, und c, von den
bildseitigen v1 und c1 unterscheiden.
Die Kenngrofle c hangt ferner mit der Projektivvergroflerung V zusammen,
welche sich in erster Naherung bekanntlich a m der Vergroflerungsweite v und der
von der Linsenmitte aus gezahlten Bildweite b nach
V = b/v
(75)
258
Annalen der Physik. 6.Folge. Band 9. 1951
berechnen lal3t. Fur schwache Linsen kann man etwas genauer
V = b/v - 1
(76)
schreiben. Ganz genau ist aber auch fur starke Linsen
V,-- b
C.
D u s s e l d o r f , Rheinisch-Westfalisches Institut fur ubermikroskopie.
(Rei der Redaktion eingegangen am 18. Juni 1951.)
(77)
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