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Berechnung der Linienform fr den dynamischen Starkeffekt bei Einstrahlung eines optischen Resonanzfeldes.

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A N N A L E N D E R PHYSIK
~
7. F O L G E
*
B A N D 22,
HEFT3/4
1969
Berechnung der Linienform
fur den dynamisthen Starkeffekt bei Einrtrahlung
eines optischen Resonanzfeldes
Von H. STEUDEL
Mit 2 Abbildungen
Abstract
As known a spontaneously emitted optical line may be splitted by an inoident resonant
laser radiation.!& line shape of the reeultingdoubletis calculated independenceon the relaxation constants and on the beam intensity. Furthermore there is a remarkable dependence
on the initial state. The line shape may be interpreted aa the result of the interference of two
LORENTZ
lines. Appropriate intensity of the incident beam gives rise to a GOLDBWCEB-WATSON
double pole.
1. Einleitung
Wenn bei einem Atom oder Molekul an das Ausgangs- oder Endniveau eines
spontanen Obergangs ein induzierter Obergang (zu einem dritten Niveau) angekoppelt wird, so zeigt die spontan emittierte Linie bekanntlich eine Aufspaltung
in zwei Komponenten. Diese Erscheinung, die wir kiirz ,,dynamischer Starkeffekt" nennen wollen, wurde fiir optische Frequenzen im Rahmen der Lasertheorie von BRIJNNER,PAUL,
RIOHTER
und STEUDEL
[l]behandelt. Im Bereiche
der Mikrowellen wurde diese Aufspaltung bereits von AUTLERund TOWNES
[2]
berechnet und experimentell bestiitigt. Die Rechnung in [2] ist langwierig, weil
auch die Antiresonanzterme beriicksichtigt werden, die bei Mikrowellen noch
merkbare Korrekturen liefern. Im optischen Gebiet, auf das wir uns hier vorwiegend beziehen wollen, sind sie sicher nicht wesentlich. Eine kurze und durchsichtige Berechnung der Ailfspaltung findet sich in [l].
JAVAN[3] berechnete in seiner Theorie eines 3-Niveau-Masersdie Linienform
unter Bedingungen, die den unseren Lhnlich sind. Hierbei ging er aus von einem
durch St6Be bewirkten Relaxationsmechanismus. Wir m6chten dagegen gerade
den im optischen Bereich besonders wichtigen Fall ins Auge fassen, daB die
StoBzeit groD gegenuber der Lebensdauer der angeregten Atome ist.
Es ist das Ziel der vorliegenden Arbeit, fiir das unter den geschilderten Umstiinden erhaltene Dublett die Linienform in Abhingigkeit von den Rehxationskonstanten der beteiligten Niveaus (ohne iiuDere Storung) zu ermitteln. Dabei
werden zwei Fiille unterschieden, je nachdem, ob sich das Atom anfangs auf dem
Niveau 1oder 2 befindet (8. Abb. 1).Von besonderem Interesse ist der erste dieser
beiden Fiille, in dem die Auflosung der beiden Komponenten durch einen Interf erenzeffekt beg iinstigt wird.
Die experimentelle Auflosung der Dublettkomponenten stoI3t bisher noch
auf Schwierigkeiten, wed unter den ublichen Versuchsbedingungen die Aufspal8 Ann.Physlk. 7.Folge, Bd.22
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Band 22, Heft 314
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tung durch eine gro13ere Dopplerverbreitemg iiberdeckt wird und sich somit
nur als eine VergrijBerung der Linienbreite bemerkbar macht. Doch konnte die
auf solche Weise bewirkte Verbreiterung der emittierten Lmie kiirzlich gemessen
werden [4].
2. Berechnnng der Linienform
Wir betrachten ein Atom mit den drei Energieniveaus h a , > fiw, > ha,,
(a. Abb. 1)unter der Einwirkung einer eingestrahlten elektromagnetischen Welle
(Laserstrahl), deren Frequenz bis auf eine kleine Verstimmung A mit dem Uber-
Abb. 1. Termschema. Zwieohen den Niveaus 2 und 1 erfolgt ein induzierter ubergang, von 1 nach 0 ein spontmer. An 2 und 1 sind zueiitzlichever0 luste angekoppelt
gang 1++ 2 in Resonanz sei. An das Niveau 2 mogen noch irreversible ubergiinge
angekoppelt sein, die wir summaIisch durch Hinzufiigen eines imaginiiren Anteils - i y z zur Energie berucksichtigen. Die entsprechende Relaxationskonstant,e
71 = Ylo
il
(1)
des Niveaus 1 setzt sich zusammen aus einem Anted ylo, der vom ubergang
1 --f 0 herruhrt und aus einem Rest fl. Die Wechselwirkung mit dem eingest,rahlten Feld wird als Kopplung an eine mit N Photonen besetzte Mode behandelt (vgl. PAUL
[ 71). Es interessieren die folgenden Zustan.de
+
+
+
12, N ) , 11,
1)s 10, N
171).
N bzw. N
1 ist die Besetzungszahl der Mode des eingestrahlten Feldes.
A bezeichnet die Mode, in die das beim Vbergang 1+ 0 ausgestrahlte Photon
iibergeht. Den betrachteten Zustanden haben wir - unter Weglassung einer
+
gemeinsamen additiven Konstanten - in obiger Reihenfolge die Energien
- A - iy,, -if1, w,4 = d)
- (q- ao)
zu zuschreiben.
Die von Null verschiedenen ubergangselemente des HAMILTON-Operators
sind
h R 3 (2, N H I 1, N
l),
(2)
hkAE(1,N
11H 10, N + 1 , A )
+
+
und die dazu Transponierten. Wir setzen voraus, daB die Phasen der Zustllnde
so fixiert seien, da13 K und kA reel1 werden. Der Ansatz
(v)= Cz 1 2,
N)
+
c1
I 1, N
+ 1) + 2a coa 10, N + 1, A)
(3)
H. STEUDEL:Berechnung der Linienform fur den dynamischen Starkeffekt
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fiihrt uns dann mit Hilfe der SCHR~DINOER-Gleichung
zu dem folgenden Gleichungssystem :
..
ZC2
..
=
+ i y z ) c, + K c ,
-(A
ocl =
Kc, - if1cl-f
..
+
Bcol
I
-
(4)
0 co, =
B c , UACO,
Wt dem gleichen Recht, mit dem wir oben komplexe Energien eingefiihrt haben,
kiinnen wir' in der zweiten G1. (4) die Summe iiber A weglassen und stattdessen
9l durch y1 = ylo f 1 ersetzen. Dann haben wir
..
zcl = K C , - dy1cl.
(4')
Wir stellen die Anfangsbedingung
+
I Y ( ~ = 0)) = a I 1, N
+
+ 1) + b I 2, N ) ,
(5)
lap
p 1 2 = 1,
wobei uns insbesondere die Fiille 1. a = 1, b = 0 und 2. a = 0, b = 1 interessieren. Die Realisierung dieser Spezialfiille hat man sich etwa so vorzustellen, daI3
das Atom auf ein viertes Niveau gepumpt wird, von dem aus ubergiinge nur zu
einem der beiden Niveaus 1 oder 2 moglich sind.
Nach e h e r LAPLACE-Transformation
W
~,.(ia=
)
J
c,(t) e - u t h
(6)
0
erhalten wir das folgende algebraische Gleichungssystem ( i s
-(A
+ iya +
2)
c.q+ KC1
+
=
= z) :
-ib,
2) c1
= -%a,
(7)
kAC1
(UA - Z) Co, = 0.
Die ersten beiden Gleichungen bilden fiir sich ein System mit der Determinante
KC, - (iy1
+
+ + iya) + i y J - K 2 .
= - @ / 2 + iy,) & [K2+ ( 4 2 +
Pa(z) = (z
(2
(8)
Pa hat die Nullstellen
z1/2
mit
iy-1211'2
(9)
1
Y* = s (Yl f"/s).
Die Aufliisung des Systems (7) liefert
i k , o(z + A + i y , )
COA(4 =
PdZ)
+ bK
I
woraus durch Umkehrung der Lmuca-Transformation folgt :
>
Uns interessiert GO, nur fiir Zeiten t 7;'. Die Nullstellen vonPahaben negative
Imaginlirteile und liefern bei der Integration exponentiell abklingende Beitrlige.
8*
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7. Folge
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Band 22, Heft 314
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Urn die gesuchte Spektralverteilung zu erhalten, bilden wir das A bsolutquadrat
und mitteln uber alle Moden gleicher (oder fast gleicher) Frequenz. Dann geht
k1 uber in k ( q 0 u), eine schwach veranderliche Funktion, die durch den
lionstantmenWert. k = k ( s , ) ersetzt wird. 1st schlieBlich e die spektrale Zustmdsdichte des gedachten Hohlraumes bei o = ole, SO erhalten wir im Falle 1.
(a, = 1, b = 0) fur die spektrale Photonendichte*)
+
+ +
k2e "u
yH1 IP2(4
und im Falle 2. (a = 0, b = 1)
w ~ ( u=
) k2eK2IP2(u)1-2.
Im folgenden sol1 stets genaue Resonanz A
werden. Dann wird
Wl(4 =
=
0 und K 2 > yZ angenommen
Im lnteresse der Vollstiindigkeit ware noch der Fall zu betrachten, daB der stijrende induzierte Ubergang a n dem u n t e r e n Niveau der spontanen Emission angreift. Daa bringt keine
grundsiitzlichen Schwierigkeiten mit sich. Es ist aber zu beachten, daB der oben benutzte
Grenziibergang 1 3 00 nicht sinnvoll durchfiihrbar iet, wenn alle beteiligten Niveaus zerfallen.
Man muB zusatzliche spontane ffbergange in stabile Endniveaus einfiihren und iiber die entsprechenden Frequenzen integrieren. So wird die Rechnung komplizierter und daa Endergebnis
weniger durchsichtig, weshalb hier darauf verzichtet wird. Eine Dublettaufspaltung ergibt
sich fiir dieaen Fall natiirlich auch.
3. Die Linienform als Ergebnis der Interferenz zweier Lommz-Linien
1st K
y+, so gleichen sich w 1und w 2insofern, als beide Funktionen Maxima
dicht bei u = fK aufweisen. Beide Linien unterscheiden sich aber durch ihr
Verhalten fur Iu I K, namlich w 1 N u - ~
und w2-u4. Kommt K in die Gr6Renordnung von y+ , so unterscheiden sich w 1 und wa auch hinsichtlich der Lage
ihrer Maxima und in dem dazwischen liegenden Bereich wesentlich voneinander.
w1 enthalt im Vergleich zu w 2 (auBer einem konstanten Faktor) den Faktor
>>
>
*) Nach Fertigstellung des Manuskripts wurde Verf. aufmerksam auf eine Arbeit von
NOTKIN,
RAUTIAN
und FEOKTISTOW
[Sh. exp. teor. Fis. 52 (1967) 16731, in der daa (im wesentlichen) gleiche Problem im Rahmen eines sehr allgemeinen, dafiir aber verhaltnismaDig komplizierten Formalismus behandelt w-ird. Diese Arbeit unterscheidet sich von unserer nicht nur
in der mathematischen Methode sondern insbesondere in der Behandlung des eingestrahlten
Stiirfeldes. Wahrend wir mit einem Zustand scharfer Photonenzahl rechnen, wird dort das
eingestrahlte Feld als klaasische Sinuswelle behandelt. Um so intereasanter ist der Vergleich
der Ergebnisse: Durch Umfonnung und Spezialisierung von G1. (4.1)der zitierten Arbeit laDt
sich Ubereinstimmung mit unseren Gln. (13)nachweisen.
Bemerkenswert ist, daD nach den genannten Autoren unter geeigneten experimentellen
Bedingungen (monochromatische Einstrahlung, Anregung von Niveau 1 - in unserer Bezeichnungsweise - und Beobachtung in Richtung dea Laserstrahls oder entgegengesetzt) die
Aufspaltung der emittierten h i e selbst im Grenzfall aehr groDer Dopplemerbreiterung nicht
vollig venvaschen wird. Vielmehr bleibt ein Einschnitt in Linienmitte, der nicht ausschlieBlirh durch ,,hole burning" zu erklaren ist.
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H. STEUDEL:
Berechnung der Linienform fur den dynamischen Starkeffekt
+
u2 yif, der ein Minimum bei u = 0 hat. E r verstarkt somit die Einsattelung
zwischen den beiden Maxima und vergroI3ert auI3erdem ihren Abstand. 1st speziell ya = 0,so geht wl (u)in der X e n m i t t e u = 0 auf Null herab. Beide Linienkomponenten erhalten dadurch einen asymmetrischen Verlauf, wie aus Abb. 2
ersichtlich ist.
Abb. 2.
Linienform. w, bzw. wB ist die spektrale
Intensitiit der spontan emittierten Linie
1 3 0,wenn 1 bzw. 2 Ausgangsniveau kt
und die Niveaua 1und 2 durch ein eingestrahltes Reaonanzfeld gekoppelt aind.
u E w - wl0. Die Lommz-Linien a und
b, die um fR gegenuber der Linienmitte
u = 0 verschoben shd, erzeugen durch
Interferenz je nach ihrer relativen Phaae
in dem einen Fall wl, im anderen Fall la,.
Zum Vergleich ist noch die Linie (gestrichelt) eingezeichnet, die sich durch Addition der Intensitaten von a und b ergeben
wiirde. Parameter: K = f i R , y1 = 2R,
Yz = 0
Diese merkwiirdige Erscheinung ist als ein Interferenzeffekt zwischen den
Flanken der beiden Dublettkomponenten zu verstehen. (Auf eine Interferenz
zwischen den Komponenten eines unter iihnlichen Bedingungen erhaltenen
Dubletts hat bereits JAVAN
[El] hingewiesen.) Tatsachlich kann man die aus
G1. (12) zu entnehmende Amplitude fiir beliebige Werte a, b als Summe zweier
LoRENTz-hplituden darstellen, wenn man
R - iyL.9
iy,
-k
R iy+
(U + R + dy+) (u - R + iy+)
+
+ +
(16b)
beachtet. In Abb. 2 sind fur die Parameterwahl K = 1/2R, y1 = 2R, ya = 0 die
beiden LORENTZ-kien (a,b) und die daraus durch Interferenz resultierenden
Linien wl/2= 1 c1/2l2 dargestellt, ebenso die Linie (gestrichelt), die man durch
Addition der Intensitiiten der LORENTZ-Linien erhalten wiirde. Fur die gewiihlten Parameterwerte sind bei w2(u)beide Maxima bereits zu einem zusammengewachsen.
Das Ergebnis 1aBt sich kurz so zusammenfassen: In jedem Fall liiBt sich die
Enienform a h Interferenzergebnis zweier LORENTZ-kien mit den Zentren bei
& R auffassen. I m Fall 1. schwiichen sich beide Linien in dem mittleren Bereich
! u I < R , wiihrend sich die iiuI3eren Flanken verstiirken. Im Falle 2. ist es umgekehrt.
Stellt man sich die Aufgabe, die berechnete Linienaufspaltung experimentell
nachzuweisen, AO ist die dem Fall 1. entsprechende experimentelle Situation
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giinstiger. Ist, allerdings das eingestrahlte Resonanzfeld so stark, daB K
y+
ist, so verwischt sich der Unterschied. Eine Interferenz zwischen Flanken, die
sich praktisch nicht mehr uberlappen, ist naturlich uninteressant.
4. Realisierung OiIIeS GOLDBERQER-WATSON-DOppdpOlS
Die durch die Gln. (16) definierten Funktionen cl(u)und C2(u)stellen (bis
auf einen gemeinsamen konstanten Faktor) die Amplitudenfunktionen fiir die
von uns betrachteten Spezialflille 1. und 2. dar. Setzt man R = 0, so bekommt
man dort einen Pol zweiter Ordnung. Die Zerlegung in zwei LoRENTz-hplituden versagt dann. Fur R -+0 werden diese Teilamplituden unendlich groB, wahrend ihr Abstand gegen Null geht. Man beachte, dal3 w l ( u ) auch fur R = 0 noch
eine Aufspaltung aufweist ! Das Verschwinden von R ist nach G1. (15) als eine
Bedingung fur K a und damit fiir die Intensitlit des eingestrahlten Resonanzfeldes
zu lesen.
Bei dem eben diskutierten Spezialfall handelt es sich um eine Realisierung
der von GOLDBEROER
und WATSON
[6] eingefuhrten ,,Doppelpol-". Solche Doppelpole konnten bisher in der Resonanzfluoreszenz [7] und fiir ein modifiziertea
Lee-Modell[8] aufgezeigt werden. Weiterhin wurde kunlich [ 91 vorgeschlagen,
das A,-Meson als Doppelpol zu deuten. Danach wlire die dem A,-Meson zuzuscbreibende Resonanzlinie gerade unsere Funktion w1(u)mit yz = A = 0 und u
als Energievariabler. Eine vieldiskutierte FoIge des Vorhandenseins eines Doppelpols ist das damit verbundene Zerfallgesetz von der Form (1 - at - bta) e-IY.
Herrn Prof. Dr. RICHTER,Herrn Dr. PAUL,
Herrn Dr. BRUNNER
und Herrn
Dr. WOHLRAB
danke ich fiir wertvolle Hinweise und Diskussionen.
Literaturverzeichnis
BRUNNER,
W., H. PAUL,G. RICHTERu. H. STEUDEL,
Ann. Physik 21 (1968) 187.
AUTLER,
S. H., u. C. H. TOWNES,
Phys. Rev. 100 (1965) 703.
JAVAN,
A., Phys. Rev. 107 (1957) 1679.
H. PAUL,G. RICHTERu. H. STEUDEL,
Phya.
HERTZ,J. H., K. H o m m , W. BRUNNER,
Letters 26A (1968) 156.
PAUL,
H., Ann. Physik 11 (1963) 411.
GOLDBEROER,
M.L., u. K. M. WATSON,Phys. Rev. 186 (1964) B 1472.
Phys. Rev. Letters 17 (1966) 490.
LASSILA,K. E., u. V. RUUSKANEN,
BELL,J. S., u. C. J. GOEBEL,
Phys. Rev. 188 (1966) B 1198.
CRIROVANI,G. et a]., Phys. Letters 26B (1967) 44.
B e r l i n - Adlershof , Deutsche Akademie der Wissenschaften zii Berlin, Institut fur spezielle Probleme der theoretischen Physik.
Bei der Redaktion eingegangen am 20. Dezember 1967.
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