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Berechnung der optischen Konstanten starker magnetischer Elektronenlinsen.

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Be;echnung der optischen Konstanten starker magnetischer
Elektronenlinsen
Von W a l t e r G l a s e r
Inhaltsiibersicht
Formeln fiir die Brennweite, die Brennpunktslagen, die ProjektiwergroOeng,
die Farbabweichung und den offnungsfehler der starken Magnetlinsen des ubermikroskops als Funktion dsr Linsenstiirke bzw. der Spulenerregung, Beschleunigungsspannung und Polschuhparameter werden angegeben. Das gegebene Polschuhfeld wird dazu durch ein ,,Newtonsches Abbildungsfeld", in denen allein der
Begriff der Brennweite sinnvoll definiert werden hnn, moglichst gut approximiert und ein Verfahren zur direkten Berechnung der optischen Konstanten wird
als Eigenwertproblem entwickelt.
Zur Erreichung der hohen Vergrofierungen im ubermikroskop, muD das Objekt sehr nahe an das Objektiv herangebracht werden. Es befindet sich daher
bereits in Gebieten sehr starker magnetischer FeldstZirke und die bekannte Formell)
fiir die Brennweite schwacher Linsen
+m
kann deshalb nicht mehr verwendet werden. Wir haben daher in einer friiheren
Arbeita) strenge Formeln fiir die optischen Konstanten fiir ein tppisches magnetisches Abbildungsfeld der Gestalt
wie es in den magnetischen Objektiven des tfbermiboskops angeniihert verwirklicht ist, angegeben.
Im Folgenden wollen wir zeigen, wie man die gefundenen Ergebnisse zur Bestimmung der optischen Konstanten empirisch ausgemessener Polschuhfelder verwenden kann. Zur Frage der Feldausmessung vergleiche man die &beiten von
0. Klemperer und H. Millers), L. Marton'), J. Dosseb) und die in letzter
Zeit angegebene Methode von M. v. Ments und J. B. Le PooIe*).
1)
2)
3)
4)
6)
6)
H. Busch, Arch. Elektrotechn. 18, 563 (1927).
W.Glsser, Z. Physik 117,285 (1941).
0.Klemperer u. H. Miller, J. ad. Instrum. XVI (1921) 1939.
L. Edarton, Physic. Rev. 66,762 (1939).
J. Dosse, Z. Physik 117,437 (1941).
Ed. v.Mente u. J. B. Le PooIe, Appl. Sci. Research. Val. B. 1947.
214
AlMlalen da Phyaik. S.F&e.
B a d 7 . 1950
Die Differentialgleichung der achsennahen Bahnen
dsr
@
e
+B;
8mU
(2)
r =0
(3)
schreiben wir in dimensionsloser Gestalt
d%
dt'
k'F(2) r = 0
wobei
+
(4)
gesetzt worden ist. a bedeutet eine charakteristische Lange des Magnetfeldes. Wir
wollen im folgenden dafiir - so wie fruher die rechte Halbwertsbreite des Magnetfeldes B, (z) wiihlen. B,, ist der Maximalwert des Feldes, dessen Abszisse wir als
Anfangspunkt fiir die Zahlung von z wahlen wollen. Der dimensionslose Parameter ka bestimmt die ,,Linsenstarke" d. h. die Starke des Feldeinflusses auf die
Elektronenbahn, deren Kriimmung ihm nach (4) proportional ist. Auch anschaulich ist klar, daS man die ,,Linsenstarke" durch diesen Parameter zu kennzeichnen
hat. Denn der Feldeinflul auf gleich dchnelle Elektronen d. h. gleichen U-Wertes
und bei gleicher Feldbreite a wird um so groDer sein je groler Bo ist. Ferner bei
gleicbem B,, und a um so kleiner je groI3er U ist, denn einerseits ist der Strahl
,,steifer" andererseits eind die Elektronen nur kiirzere Zeit dem Felde ausgesetzt.
Von zwei Feldern mit gleichen B,-Werten werden gleich schnelle Elektronen von
dem Felde starker beeinflu& werden, das die grolere Halbwertsbreite besitzt, denn
der Einwirkung dieses Feldes sind sie liinger ausgesetzt. Aus dimensionellen
Griinden folgt daher, da13 man die ,,Linsenstarke" (bis auf den belanglosen Faktor
I/*) durch i9 in (5) zu definieren hat. Bei sehr hohen Elektronengeschwindigkeiten
(z. B. U > 100 kV),mu13 man die relativistische Massenveranderlichkeit beriicksichtigen. Man erhalt so fiir (5)
-
Jede Losung von (4) wird
als Parameter enthalten:
r = r (5,k2).
(7)
Es sei (7) gerade jene Elektronenbahn, welche achsenparallel in der Einfalbhohe 1 von rechts einfalle. 'Die Nullstelle xF
r (ZF,kz) = 0
(8)
bestimmt dann den dingseitigen Brennpunkt, mit welchem im tfbermikroskop
praktisch die Dinglage zusammenfallt. Die Brennweite ist nach der bekannteii
Konstruktion durch
1
= r' (ZF,k2)
(9)
k2
f
gegeben .
Entwickelt man (7) nach dem Parameter k2der Linsenstarke, so erhalt man, da
fiit k* = 0, r = 1 wird')
r = 1 - karl(x) ~4 r , ( ~-) PT,(Z)
. ( 10)
+
+ -
') Die wechselnden Vorzeichen wurden aus formalen Griinden gewiihlt, damit sicli
im Folgenden fiir die Funktionen TU giinstigcre Voneichen ergeben.
W. Qlaeer: Berechnungder optiden Kcmatantem elarb map&iecher Elektrowdinaen
215
und fur die Brechkraft ergibt sich
1
-=-k*r:(zF)+k*~~(zF)-kdr~(~F)+
f
.--
(11)
Der nachdiegende Weg einer wirklichen Berechnung dt?r Bmchkraft l/f beateht
nun darin, da13 man nach(10) die Entwicklungskoeffizienten r, in
W
c
r = v - 0 (- 1)’kS’ r&),
r, = 1
(12)
aus der Differentialgleichung bestimmt. Wir setzen dam wie in einer friiheren
Arbeita) (12) in (4) ein und erhalten durch Vergleich gleich hoher Potenzen von ka
oder
Damit kann im Prinzip aus r, = 1 und B (z)die Funktion r,, aus dieser r, usw. beatimmt werden.
Man findet so z. B. fiir r,
/
z
2
r:= / B ( O d L
TI=
m
€
J dE .f BcnK.
w
o
o
(15)
Nimmt man an, da13 der Brennpunkt bereits aul3erhalb des Feldes liegt, so da13 fiir
alle Werte z < zF die-Funktion B (2)praktisch bereits Null ist, so kann man fiir
(11) auch schreiben
1
f
-==a
+W
J
B(5)dz
-m
+.*-
(16)
Das erste Glied dieser Reihe stimmt aber gerade mit (1) uberein, wenn man hier
nach (5) k4 einfiihrt. Man sieht aho, daD (1)das erste Glied in der Entwicklung der
Linsenbrechkraft nach der Linsenstiirke ks darstellt. Die Formel (I) gilt somit
n u fiir schwache Linsen ka<<1. Da man in der ubermikroskopie mit k*-Werten
arbeitet, welche zwischen 1 und 2 liegen, kann somit die Formel (1) zur Berechnung der Brennweite nicht verwendet werden. Man mu13 also auch die hoheren
Potenzen der Linsenstiirke k* berucksichtigen und ale obere Grenze in den auftretenden Integralen xF und nicht - 00 wiihlen.
Dieses Verfahren - das insbesondere von M. v. Ments und J. B. Le Poole
verwendet wird - erfordert jedoch einen gro13en Rechenaufwand. Aus (10) mu13
,die erste Nullstelle 5 = zF bestimmt werden. Dies ist, WeM man sich k* vorgibt
sehr langwierig, weil es die Auswertung und Tabellierung der Funktionen r,(z)
fiir beliebige 2-Werte verlangt. Aber such die umgekehrte Aufgabe der Bestirnmung der zu einer vorgegebenen Brennpunktslage xF erforderlichen Linsenstlirke k’,
verlangt die Ermittlung der Nullstellen kz der Funktion
-
+
+
5 (ZF,
k:) = 1 k: r l ( 5 ~ ) kt Tr (ZF)- k: rs ( 5 ~ ) * * = 0,
(17)
was bei Beriicksichtigung nur der angeschriebenen Glieder bereits einen relativ
groflen Arbeitsaufwand erfordert, auch wenn man in Betracht zieht, dal3 im a11.gemeinen die Glieder r, mit ateigendem Index v rasch abnehmen. SchlieDlich ist
W. Glaser, Z. Physik 81, 451 (1933).
216
A n n a h de* Phy8ik. 6. Foolge. Band 7. 1950
das ganze Verfahren grundsatzlichen Bedenken ausgesetzt, worauf am SchluB
dieser Arbeit eingegangen wird.
Was man fiir die praktische fibermikroskopie braucht, sind handliche, geschlossene Formeln, die ohne nennenswerten Rechenaufwand die optischen Konstanten
als Funktion der Polschuhdaten, der Amperewindungszahl und der Beschleanigungsspannung zu bestimmen gestatten. Dabei zerlegt man sich die Aufgabe
zweckmafligerweise in zwei Teilaufgaben. Man gibt zunachst die optischen Konstanten z. B. x, und f als Funktion der Linsenstarke ka an. Dieser Parameter geht
ja allein in die Differentialgleichung der Elektronenbahnen ein. Nachtraglich bestimmt man den Zusaminenhana zwischen La und den anderen Daten. Fur
wobei p eine dimensionslose, allein von den Verhaltnissen der Polschuhdimensionen
abhangige Grol3e ist. Wir nennen sie die ,,Gestaltsfunktian"B). Sie kann als
Funktion ,der Langenverhdtsisse durch Messungen von zusammengehorigen
Werten von B,,a und des von der Feldkurve eingeschlossenen Flacheninhaltes fiir
jeden Polschuhtypus bestimmt werden 10). Auf Grund des Ampereschen Gesetzes
ist nun
wobei n I die Zahl der Amperewindungen der Magnetlinse bedeuten. Wenn wir
dies in (18) einsetzen, erhalten wir entgultig fiir die Linsenstarke
wobei dl, dr, . . . die Langenverhaltnisse sind, welche die Polschuhdimensionen
kennzeichnen. Wenn wir praktische Einheiten einsetzen, ergibt sich
E' = 0,276
wobei wir zur Abkiirzung
n2la
--
u, '
U , = U (1 + 0,98 * 10-6 U )
gesetzt haben. Es bedeutet U, die infolge der relativistischen Massenveranderlichkeit an Stelle von U einzusetzende Beschleunigungsspannung.
Der Feldverlauf
B ( 4 =- B; 4
(23)
sei nun entweder auf Grund von Feldmessungen tabellarisch, zeichnerisch oder als
analytischer Ausdruck gegeben. Um das game von -cm bis 00 fiir z in Betracht
+
*) Eine analoge ,,Gestaltsfunktion" (,,Spdenformkomtante") ist auch in der
Arbeit von E. R u s k a 'und M. K n o l l , Z. t e c h . Phys. 19, Nr. 8, 389 (1933) eingefiihrt worden. Vgl. hierzu auch M. v. Ments u. J. R. l e Poole, 1. c.
10) Die Gestaltafunktionen
(6) fiir bestimmte Pohchuhtypen sind von W o l f
und Miiller in der Abt. f. Ele%tronenoptik der Siemens & Halske A. U. in BerlinSiemensstadt bestimmt worden. Diese Ergebnisse sollen bei anderer Gelegenheit
veriiffentlicht werden. (Zusatz bei der Korrektur.)
W.Gheer: Berdnung der optieehen Komtunten starker magnetkcher Elektrollentnaen 817
kommende Interval1 auf ein endliches Intervall zu reduzieren, fiihren wir durch
(24)
x=uctgqJ
einen Hilfswinkel g, ein. Diese Substitution wird sich such in anderer Hinsicht als
sehr zweckmiiDig erweisen. Die Konstante u lassen wir zunachst noch offen. Wenn
wir (24) in die Differentialgleichung (4)einsetzen, ergibt sich
Setzt man
- urn die erste
Ableitung - wegzuschaffen,
0%
dP,
so erhalt man
Aus dieser Gleichung erkennen wir zunachst folgendes: fiir die Feldform
(uctg q ~ )= sin4q~
(28)
kann (27) unmittelbar integriert werden. Setzt man auSerdem u = 1, so besitzt
sie in diesem Falle die beiden Losungen
Fuhrt man in (28) statt des Hilfswinkels q~ wieder die Koordinate z ein, so ergibt
sich
und man erkennt, daD das entsprechende Feld mit dem bereits friiher behandelten
Glockenfeld (2) iibereinstimmt. Fiir die in der Einfallshohe 1 von rechts achsenparallel einfailende Elektronenbahn, erhalten wir aus (29) und (26)
Die Nullstelle ergibt sich zu
und die Brennpunktslage ist daher durch
ZF = a ctg
32
-__
w
(33)
gegeben. Fiir die Brennweite f folgt aus (9), (31) und (32)
Das Feld (2) mit den optischen Konstanten (33) und (34) stellt den tatsiichlicben
Feldverlauf in Polschnhlinsen insbesondere im Sattigungsgebiet in den meisten
Fallen mit geniigender Genauigkeit darll). Im allgemeinen aber haben die ver11)
E. Ruska, Arch. Elektrochem. 88, 102 (1944).
218
AmraIen der Phyaik. 6. F o b . Band Y. 1950
wendeten magnetischen Abbildungsfelder einen steileren Abfall als er durch (30)
gegeben ist. So entspricht z. B. dem Kreisstromfeld
p (ctg F)= sin6y ,
(36)
v
so da13 im Unendlichen d. h. fiir 40 die Funktion /3 (ctg 9) wie @ gegen Null
geht. Der Abfall empirisch ausgemessener Felder erfolgt gewohnlich noch raA?her,
wenn man in einern Feldstarkehereich arbeitet, der von der Sattigung der Polschuhe noch entsprechend entfernt ist la).
Nun ist das Gebiet des starksten Feldeinflusses ahf die Elektronenbahn wohl
7c
das in der Umgebung des Feldmaximums fiir x = 0 d. 6. fiir g, = Durch
2
eine entsprechende Wahl der Konstanten u in (24) konnen wir nun gerade in diesel11
entscheidenden Feldgebiet, das empirische Feld durch ein Glockenfeld vom Typns
(30) bis auf Glieder vierter Ordnung in z approximieren. Da z = 0 den Ort des
Feldmaximums bedeutet und das Feld ah symmetrisch um z = 0 vorausgesetzt
werde, hat /?(z) die Entwicklung
.
wobei durch die Punkte Glieder vierter Ordnung angedeutet sind. Setzt man nun
80
wird
/3(actgg,) = 1 - 2 ctglg, + . . =
.
1
(1
+ ctga
+ . .. = sin4g,+ . .
*
rp)2
*
(40)
Damit erhalt man fur die Differentialgleichung (27)
w"(g,)+ [ 1 + k a a 2 + * . . ] v ( g , ) = o .
(41)
Wenn wir daher, die durch die Glieder vierter Ordnung bedingte Korrektur beiseite lassen, erhalten wir die beiden Losungen
___-
+
u (p) = cos 1/1
kaa2 +g,
g,,
(42)
und die \-on rechts achsenparallel in der Einfallshohe 1 einfallende Elektronenbahn
ist durch
w (g,) = sin 1/1+
~
2
gegeben. Fur die optischen Konstanten erhalt man daraus in Analogie zu (33)
und (34)
x
z, = a a ctg=..(44)
)/1
I*)
J. Dosse, Z. Pbysik 117, 722 (1941)
+ k2aa
und
Die Groh u ist dabei augemein durch (39)aus dem Feldverlauf bestimmt. Ist 8
die kleinste Stufe der Abszisse, welche man bei der punktweisen Ausmemung des
Magnetfeldes langs der Feldachse erreicht, so ergibt sich nach (38)
woraus sich CT zu
I
bestimmt. Wenn die Funktion B (z) tabellarisch gegeben ist, bedeutet also @ (6)
den Funktionswert fiir die kleinste Abszisse.
1
Auch am der Kriimmung - der Feldkurve B (z) im Scheitel kann u entnommen
e
werden. Wegen /3' (0) = 0 ist
1
- = -/3"(0) > O ,
e
4e.
GI.=
(4.8)
Zur Bestimmung von u zeichne man sich auf durchsichtigem Papier eine Schar von
Kreisen, die alle durch den gleicben Punkt gehen und deren Mittelpunkt auf einer
Geraden G liegen. Zu den einzelnen Kreisen denke man sich die Grolle u = 2 ve
angeschrieben. Legt man den Punkt P in den Scheitel von P ( X ) und lallt die
,Grade f3mit der Ordinatenachse zusammenfallen, so hat m a n jenen 6-Wert zu
wahlen, dessen Kreis sich am besten der Feldkurve /I(%)
im Scheitel anschmiegt.
A u h r den beiden angegebenen.optischen Konstanten (45)und (46)spielt noch
die P r o j ek t i w e r grohrg eine wichtige Rolle. Bei dieser in der letzten Stufe erfolgenden VergroBerung handelt es sich um keine eigentliche Abbildmg, sondern
um eine optische Projektion, so wie etwa bei der ,,Abbildung" eines Gegenstandes
inittels einer punktformigen Lichtquelle im Schattenbild. De infolge der hohen
Vergrobrung die Elektronenstrahlen praktisch achsenparallel in die Ebene des
Zwischenbildes eintreten, baben wir die von links achsenparallel in das Projektiv
eintretenden Elektronenbahnen zu betrachten und ihren Achsenabstand in der
Ebene des Bilhchirmes zu bestimmen. 1st g die Einfallshohe dieses Strahles d. h.
die ,,&genstandsgroBe" auf dem Zwischenbildschirm, so lautet die gesuchte
Elektronenbahn
--
v
?-=
g
m
ein1/1
+ &ua(?c--e
sin 9
(49)
Man geht unmittelbar, daB fiir z = - 00 d. h. tp = 1~ die Funktion r den Wert g
.annimmt und man k a sich
~ auch leicht iiberzeugen, da13 hier die Ableitung nach z
verschwindet, die Bahn also tatsachlich achsenparalle~ist. Bedeutet Zp die Entfernung des Endschirmes von der Projektivmitte also zugleich die Abszisse
z,=a p otg p], des Leuchtschirmes, so gilt
220
A m a h der Phyeik. S.Fo&e. Band7. 1950
Fiir die ProjektiwergroBarung V p = G/g (G = r(v8))erhalt man aus (49)
CJ
1
sin
(n - 9,)
-
v,=-=g
v
v
m
m
7
sin pa
(51)
oder wenn man bedenkt, daI3 b,>> a p also y8 praktisch gleich Null gesetzt werden
kann und sin qa aus (50) ersetzt
tP sin viTi&3
=
__-~
(5%
v,
a p u 1/1+G02
Hierbei bedeutet u p die Halbwertsbreite des Projektivfeldes und k> und 0 beziehen
sich - wie alle in diesem Absatz verwendeten GroBen - gleichfalls auf das Projektivfeld.
Der Radius des auf die Dingebeae bezogenen Offnungsfehlerscheibchens wird
durch
8, = C , d
(53)
gegeben, wenn 01 die Strahlapertur und C, die Offnungsfehlerkonstante bedeutet.
Fiir C , ergibt sich in Analogie z u der in der angefiihrten Arbeit gefundenen Forniel:
Hierbei ist eine hohe VergroBerung vorausgesetzt, bei welcher das Objekt
praktisch irn dingseitigen Brennpunkt angenommen werden kann. Auch den Ausdruck fiir den Farbfehler konnen wir auf den betrachteten allgemeineren Fall erweitern. Fiir das auf die Dingebene bezogene Farbfehlerscheibcben ergab sich
wenn AU den Spielraum der Voltgeschwindigkeit bedeutet. Fiir die Farbfehlerkonstante erbalten wir
In Tabelk 1 haben wir die numerischen Werte der optischen Konstanten in Abhangigkeit von den maBgebenden Parametern zusammengestellt. Dabei haben
wir der Vollstandigkeit halber auch die dingseitigeHauptpunkt,s-Abszisse
angefiihrt.
\Venn wir aus (48) fiir u einsetzen, erhalten wjr z. B. fur die Brennweite den vollstandigen Ausdruck
-a= v'1 - - m s i n _____II
(57)
.
~
f
dfi-
fl
+ i!ffpj
k2
Wir wollen davon absehen die Lntsprechenden Ausdrucke auch fur die andereii
optischen GroBen explizit anzufiihren.
Wenn das empirische Feld z. B. durch einen analytischen Ausdruck der Gestalt ls)
3:)
VgI. z. B. Ful3not.e 2, auf S . 213.
bli
-3,563
-1,890
-1,292
-0,970
-0,760
-0,609
-4,492
-0,396
-0,316
-0,248
-0,181
-4,134
-0,085
-0,041
0,000
‘Fla
C,lb
0,270
0,467
0,612
0,718
0,769
0,854
0,897
0,920
0,953
0,970
0,988
0,991
0,996
0,999
1,000
3.251
1,734
1,246
1,012
0,876
0,792
0,734
0,694
0,664
0,641
0,625
0,612
0,602
0,598
0,589
0,138
0,249
0,311
0,422
0,495
0,662
0,626
0,679
0,732
0,782
0,830
0,875
0,918
0,959
1,000
bli
’
~
‘PIa
~~
~~
0,999
0,995
0,994
0,990
0,986
0,981
0,976
0,070
0,964
0,958
0,927
0,896
0,866
0,837
0,811
0,038
0,073
0,106
0,737
0,167
0,195
0,222
0,249
0,273
0,297
0,404
0,496
0,577
0,652
0,719
~
15,024
3,308
1,571
0,999
0,735
0,591
0,502
0,442
0,401
0,370
0,347
0,329
0,312
0,305
0,294
c61a
~~
0,584
0,581
0,879
0,578
0,577
0,577
0,578
0,579
0,580
0,581
0,592
0,605
0,621
0,637
0,653
1,039
1,075
1,113
1,147
1,182
1,214
1,247
1,278
1,309
1,340
1,481
1,613
1,734
1,843
1,954
0,287
0,286
0,275
0,271
0,267
0,264
0,262
0,260
0 258
0 257
0 253
0,262
0,256
0,267
0,261
Die optkchen Konstanten der magnetischen Abbildungsfelder als Funktion der
.
-I
[B;(O) bedeutet die zweite Ableitung
charakteriatischen Liinge b = a u =
e 3: be
von B, ( z ) nach z fiir z = 01 und des Parameters k2 u2 = 8 m U , ’ C, und Ca beziehen
sich auf h o b Vergrobrung.
~
dargestellt werden kann, erhalt man die entsprechenden optkchen Konstanten
folgendermaDen. Fiihren wir zunachst die Halbwertsbreiten a gemaB
a =b V & -1
ein, so wird nach ( 5 )
B: (a 4
/I(%)
= B’=
0
[1$.
und hieraus folgt
B”(0) = - 4p (2:
(59)
1
(e: JT
-
- I),
222
Anah
&Y
P h y ~ k .6. F o b . Band 7. 1950
so da13 sich nach (39) fiir a ergibt :
Die beiden optischen Konstanten (44) und (45) erhalten damit die Gestalt
und
Q
i =
l i p (G-
x
1)sin-
V+m
k'
(64)
Analoge Ausdriicke ergeben sich fiir die anderen Grohn. Diese Erweiterungen
uneerer Formeln auf die steiler abfallenden Feldtypen (58) sind im wesentlichen
bereits von K. SIEGBAHN
im Jahre 1943 angegeben worden"). Fiir den Grenzfall p 00 wird
--f
1
-
1
2'-1=e'
In2
- 1 = - l n12 +
e . . ,
P
(65)
wobei die Punkte Glieder hoherer Ordnung in l/p andeuten. (60) erhiilt die Gestalt
#
Fiir das Abbildungsfeld vom Tppus einer Gausschen Glockenkurve
B,(r) = B,e
-(+la
ergibt sich somit fur u nach (66)
p+wfF)
-'m
u = lim
1
-
1
p 2"-1
und die optischen Konstanten (44), (45) und (52) erhalten die Gestalt
und
und
1.)
K. Siegbahn, Arkiv f. Mat. Bstr. och Fysik 80,1 (1944).
W.Qlaaer: Berdnung der optiden gonetantendarker m q m d d e r E U W i n a e n
223
Die Lange b hangt dabei mit der Halbwertsbreite a durch die Gleichung
zusammen.
Wie die Erfahrung zeigt, sind die Werte der optischen Konstanten zumal die
der . Gaussschen Dioptrik gegen kleine Abanderungen der Funktion p (5) nicht
sehr empfindlich. Die Formeln (44), (45) und (52) werden also in den meisten
Fallen fiir die Prads bei Dimensionierungsfragen ausreichen. Trotzdem wollen
wir im folgenden noch eine rechnerisch relativ einfache Korrektur &ran angeben, welche die Abweichungen der empirkchen Feldkurve von dem zugrunde
gelegten approximierenden Glockenfeld auch in grol3erer Entfernung vom Scheitel
erfa0t. Dam setzen wir in der Differentialgleichung (4)
x=at
(73)
und erhalten
wahlen wir a so, daB
TB"(o) = - 2
a2
gilt, so konnen wir schreiben
wobei die Punkte Glieder vierter Ordnung bedeuten. Nun schreiben wir statt (74)
Die Funktion auf der echten Seite von (79), welche wir mit uak*x(t)also
x(t)=--(1 + E * ) Z
B (at)
(79)
bezeichnen wollen, beginnt mit der Entwicklung
x ( t ) = x o t'
+
*
'
* Y
(80)
so daB in der Nahe von 5 = 0 d. h. im Gebiet des starksten Feldeinflusses ~ ( 5
als klein von vierter Ordnung aufgefadt werden kann. Fiir groSe Werte von 5'
wird x ( t ) wiederum Null. Wir werden daher x(t)lediglich ah eine $3torungsfunktion in der Differentialgleichung fiir die Elektronenbahnen
aufmfassen habenl'). Analog zu einem friiher behandelten Fall konnen wir daher
die Losung mittels Variation der .Konstanten bestimmen. Zwei unabhbgige LoIs) tfber die Zuriiclifiihrung dieser Differentidgleichunga d eine Integralgleichung
und ihre Ltkiung fur Feldtypen (68) vgl. J. S c h l o g l , Wiener Ber. 167, 287 (1949).
)
224
Annakn
der Phyeik. 6 . F o e . Band?’. 1950
aungen des ungestorten Problems sind
wobei
1
w=
+ h?aZ
und
&=ctgrp
gesetzt worden ist. u ist dabei &e in der Einfallshohe 1 von rechts achsenparallel
einfallende Elektronenbahn. Die Losung von (81), welche den gleichen Anfangsbedinpngen geniigt, lautet,
wenn wir E (9) und y (rp) durch rp
und
definieren. Die zum Brennpunkt gehorende GroBe rp, = rpF bestimmt sich nach
(84) aus der Gleichung
[I
+
J sin o r p ~ y ( p ~cos
)
E (pp)
v p = 0.
(87)
Die wste Naherung crgibt sich, wenn man ~ ( p pund
) y(pp) vernachlassigt, zu
in die GI. (87) einsetzt und konsequenter Weise Glieder hoherer Ordnung in
vernachlassigt, erhalt man
+ o 6 ) = -y);( z
6 = I!
oder
sin (n
x
(90)
ko daB sich fiir die Brennpunktskoordinate ZF = a u ctg rpF
ZF = aactg-
Jc
+
Y1
..
w
ergibt. Fiir die Brennweite folgt aus
f
mit (84) der Ausdruck
t3,_,,=
= (1
Die Funktion
x
+
&J
(92)
sin
nf7J1*
f
w
ist in Abhangigkeit vom Hilfswinkel OL durch
~
%(a) = sin4ac-p(octga)
(93)
(94)
dargestellt. Die beiden Korrektionsgr6Ben y1 und c1 bestimmen sich nach (85)
und (86) durch
und
an den optischen
Die Grzjse u ist durch (39) gegeben. Die durch yl und
Konstanten bewirkte Korrektur wird im allgemeinen nur gering win. Man wird
die beiden Integrale (95) und '(96) graphisch oder numerisch bestimmen, indem
man sich die Funktion
B (0ctg a )
(97)
sin4a
bzw. die Integranden VOD (95) und (96) t,abuliert.
ZweclnniiDiger noch als das angewandte Storungsverfahren zur Berechnung
der korrigierten Werte der optischen Konstanten erscheint uns die folgende Methode.
Sie ist im wesentlichen mit der Raleighschen Methode zur geniiherten Berechnung der Eigenwerte eines Eigenwertproblems gleichbedeutend. Wir schreiben
d a m die Differentialgleichung (27) ui der Gestalt
(98)
wobei wir F gleich
(99)
(v)
gesetzt haben. Wir verlangen, daB die Losung v
in q = yound 91 = ql verschwinde
V ( % ) = 0, V ( % ) = 0
(loo)
also Z, = a r~ ctg qo und Z, = a Q ctg q1 einander wie Ding und Bild entsprecben
mogen. Multipliziert man (98) mit v und integriert die erhaltene Gleichung
zwischen pound yl, so ergibt sich wegen (100) ruittels prtrtieller Integration
91
I v'* (-b
A="-*
PI
(101)
IFb2dpl
PO
Hiitte man eine strenge Losung v ( q ) von (98), fiir welche die Randbedingungen
erfiillt sind, so ergiibe sich daraus der Eigenwert A. Seth man in .(101) fiir v ( q )
eine angenaherte, die Randbedingungen erfiillende Losung e h , so ergibt sich
nach RaIeigh der Eigenwert A trotzdem mit einer bemerkenswerten Genauigkeit und zwar steta als zu grol3. Nun ist
v = sin@@ -yo)
(102)
eine angenaherte Losung von (98) fiir 3, = 1, die den Randbedingungen geniigt,
n
gewiihlt wird.'Und zwar ist 02 als Funktion von k'aa durch (83)
wenno=v1- vo
gegeben, wenn man die Glieder vierter Ordnung in F nicht in Betracht zieht. In
diesem Falle ware (101) streng gultig. Setzen wir daher fiir ~ ( qaus
) (102) in
15
A m . Physik. 6. Folge, Bd. 7
226
.4nmlen der Physik. 6.Fobe. Barul7. 1950
(101) ein, erhalten wir:
PI
$
w2
1=
C082
w ('p - 'po) d v
9 0 '
91
J F sin2w
('p
(103)
- qo)&Q
9 0
Nun wollen wir insbesondere die Abbildung des unendlich ferneii Pullktes auf den
?c
. Dainit ergibt sich
Brennpunkt betrachten. Wir wahlen dazu vo= 0 und q~1 -- 0
u, n
-
''
nlw
$ Fsin2wwp,clp,
0
Dime Gleichung gibt uns den gesuchten Zusanimenhang zwischez ke a2 und co
Durch Einsetzen erhalt illan
n
0
(c
Wir sehen, da13 fur das approxinlierende Glockenfeld, fiir welchcs
P ( 0 ctg):
sin4 f
=1
ist, coz durch (83) gegeben wird. Allgemein konnen wir schreiben
mit
1
0
Diese Gleichungen konnen wir nun durch sukzessive Approximation losen. Fur
das approxiniierende Glockenfeld ist g ( 0 )= 1. Wir setzeil daher als erste Losung
0=1/1+kW
in die rechte Seite von (106) und erhalten
(108)
0~=l+k2u2g(1/1+1;2u2)
(109)
auf diese Weise konnte inan fortfahren. Es wird aber iin allgemeinen bercits der
erste Schritt genugen. Damit erhalt man
mit
W.Glaser: Bereehnung der optkchen Konatunten starker magnetischer Eleklronenlinaen
227
Die optischen Konstanten sind dann durch
n
ZF = a a c t g - ,
W
a -1
_
.
z
/-asin -w
dargestellt, wo a durch (39) bzw. b = u o durch b =
I/$$$
definiert ist.
Wir wollen hier ausdriicklich benierken, dnB den Formeln (112) eine grundsatzliche Bedeutung zukomnit. Denn diese Gestalt haben ganz allgemein die
Ausdrucke fur Brennpunktslage und Brechkraft in den elcktrisch-magnetischen
Abbildungsfeldern in denen, die gewohnliche Linsengleichung fur beliebige Linsenstarke gilt. I n diesen Feldern - die wir ,,Ne wtonsche Abbildungsfelder" genannt
haben - ist es allein sinnvoll von einer Brennweite zu sprechen. Gehort das verwendete Abbildungsfeld nicht zur bcsonderen Klasse der Ne wtonschen Felde;,
bo
kommt der nach dem Verfahren von GI. (11) berechneten GroBe
f
keine physi-
kalische Bedeutung zu, sie ist eine reinc RechengroBe. Denn diese GroBe erhiilt
ja nur dadurch ihren besonderen praktischen Wert, daS sie die VergroSerung und
den Zusammenhang zwischen Ding- und Bildort zu bestimmen gestattet, wenn
die gewobnliche Linsengleichung gilt. Die Bcrechnuiigsniethode durch numerische
Integration der Elektronenbahn liefert also im physikalischen Sinne die BrennweitelB)nur ebenso in einem angenahertein Sinnc, als sich das zur Abbildung praktisch verweiidete Polschuhfeld durch ein ,,N e wtonsches Abbildungsfeld" approximieren 1aBt. Die Formeln (44),(45) und (52) haben wir erhalten, indeni wir das
empirische Feld durch das einfachstc Ne wtonsche Abbildungsfeld moglichst gut
darstellten. Man kann sich fragcn : LaSt sich die Annaherung eines vorgegebeneii
empirischen Feldcs durch kompliziertere New tonsche Abbildungsfelder nicht
vielleicht noch weiter treiben 1 Da die optischen Konstanten aller N e wtonscher
Felder die Gestalt (112) mit zunachst unbestimmtem o haben, kommt praktisoh
die Frage darauf hinsus, den Zusammenhang zwischen VJ. und den das empirische
Feld kennzeichnenden Daten (2.B. k2, 0 usw.) fur das best-approximierende N e w t o n sche Abbildungsfeld zu bestimmen. Die obigc Methode der Eigenwertbestimmung nach R a l e i g h , die aus der grol;lcn Zahl der hekannten Verfahren") verwendet worden ist, gibt xielleicht eiuen crsten Ansatz dazu, wie die Berechnung von
(11 aus dcm vorgegebenen Feld ganz allgemein zu erfolgeh hat.
Verf. dankt der Vereinigung osterr. Industrieller fur die Forderung seiner
Arbeiten.
le) Die Tragweite des Brennpunktsbegriffes und einige hierher gehorigen &'ragen
werden in einergeineinsam mit 0. Bergniann verfal3ten Arbeit brhandelt,,die sich bei der
Zeitschrift ,,ZAhIP" in Druck bafindet.
)'1 Vgl. hierzu z. 13. L. Collatz, Z. angew. Math.Mech. 19, H. 4 u. 5 (1939). Die Anwendung der vcrschiedenen Verfahren der Egenwertbcrcchnung auf die Bestimmung
der elektronenoptischen Konstanten sol1 von einem Mitarheitcr behandelt werden. vgl.
hierzu auch P. Funk u. W. Glaser, Z. Physik 102, 603 (l!f3G).
W i e n , Institut fur angewandte Physik der Technischen Hochschule und B e r l i 11 ,
Abt. f. Elektronenoptik der Siemens & Halske ,4. G .
(Bei der Fkdaktion eingegangen aui 1. Februar 1950.)
15*
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