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Berechnung der Schalldichte in einem kugelfrmigen Raume.

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N e r e c h H w ng der Sch all r7.ich t e i w e inern
hmgdf6rrnigen Rrruma
Tom K . S c h u s t e r
I n der vorstehenden Arbeit ,,Uber den Nachhall in geschlossenen Raumen'r von K. S c h u s t e r und E. W a e t z m a n n
wurde versucht, die Formel fiir die Nachhalldauer aus einer
Randwertaufgabe abzuleiten. Auger dieser Formel spiclt in
der Raumakustik auch die Beziehung zwischen der Leistung
der Schallquelle L und der sich im stationaren Zustande einstellenden Energiedichte Bo eine wichtige Ro1le.l) Die Formel
fur Eo sol1 an dem mathematisch einfachsten Fall abgeleitet
werden, namlich fiir einen kugelformigen Raum, in dessen
Zentrum sich eine punktfijrmige Schallquelle befindet. Der
Einfachheit wegen wollen wir uns dabei nur auf radiale Schwingungen beschranken. 1st y das Gewhwindigkeitspotential, so
ist der Momentanwert der pro Sekunde durch die Wande nach
auBen abwandernden Energie
wobei p die Dichte der Luft ist; d f ist ein Oberflachenelement
der Kugeloberfiache, uber die das Integral zu erstrecken ist.
Uns interessiert dabei Bur der zeitliche Mittelwert L. Im
stationaren Zustaade, in dem von der Schallquelle ebensoviel
Energie nachgeliefert werden muB, wie nach auBen abwandert,
ist L zugleich die Leistung der Schallquelle.
Die mittlere Energiedichte 3, wird man zunachst derart
zu bilden suchen, dal3 man den zeitlichen Mittelwert der im
Kugelraum vorhandenen Gesamtenergie durch das Kugelvolumen
dividiert; man wird also setzen:
F+ u
E, = I7
'
1) Vgl. die vorstehende Arbeit, Gleichung (1).
Berechnung der Schalldichte in einem hu.qtdfGrmigen, Raume 697
wenn T und U kiqetische und potentielle Energie im Gesamtraume und Y das Gesamtvolumen darstellen. 2' und U werden
durch die Raumintegrale gegeben:
wobei c die Schallgeschwindigkeit ist. I m Laufe der Rechnung
wird sich jedoch zeigen, daB die kinetische Energie im Kugelraume unendlich groB ist , weil die Geschwindigkeit -?!E
ar
an der Schallquelle selbst (fur r = 0) unendlich groB wird.
Man mu6 daher die unmittelbare Umgebung der punktformigen
Schallquelle von der Betrachtung ausschlieBen, indem man urn
die Schallquelle eine ,,Sicherheitskugel" vom Radius R, legt.
Physikalisch werden wir besser von dem Ersatz der punktformigen Schallquelle durch eine pulsierende Kugel sprechen.
Dis Eoergiedichte E, ist dann so zu bilden, daB die Integrale T und U nur uber den Kugelschalraum zwischen R, und
R erstreckt werden und an Stelle von P das Volumen dieser
Kugelvchale genoinmen wird. F u r das Qeschwindigkeitspotential y machen wir den Ansatz:
y = eiw"v(r)
~ . ~ - i k+r ~
Y (4 =
r
-
~
f
i
h
~
9
ist die vorgegebene Kreisfrequenz der Schallquelle, R die
Wellenzahl o / c . Datl (3eschwindigkeitRpotential stellt einfach
zwei Kugelwellen, eine divergente und eine konvergente, dar.
Der akustische Widerstand an der Kugeloberfiache sei
rein reell. Dann lautet die Randbedingung:
(0
Daraus ergibt sich das Verhaltnis AIB, wenn wir k R
nehmen zu
>I
an-
K. Schuster
698
Daraus folgt (bis auf einen konstanten Faktor):
(4)
{
7p
= -.{(?(>
1
= v1
+ c g ) . e + i k ( R - - ~+) ( 7 0 - cg).e-ik(R-r) 1
+ iyz.
Infolgedessen wird
y = iz-1-(yl coswt - v2sinwt) + N.(tp, sinwt + tp2 cosot),
und es wird bis auf einen konstanten Faktor
ist und die Querstriche die zeitliche Mittelwertbildung andeuten.
Die drei gesuchten Integrale lauten jetzt
-
L = -Q@
p’[Yl y2’
1
3
-
v
2 1!1’]~=
R
R
F = n p ~ ~ P d r . ( ~+tp\’)
;,z
Ro
R
g = nykz-Jrzdr*(y12 + yZ2),
RBI
wenn P die Kugeloberfliiche bedeutet.
Nun ist nach Gleichung (4)
r 2 y I 2= ~ w ~ c o s ~ r~) ( R
r 2 y Z=
2 4 ( c ~ ) ~ s i n ~k (rR) .
Also
4 w 2cos2 k ( R - r)
T Z q p ; d = 4w2R2sin2k(R - T ) + -~
-
ra
8 w 2 k s i n k ( R - r).cosk(R
r
- r)
Berechnung der Schalldichte in einem kugelfiirmigen Raume 699
Dann ergibt sich
-
k2 @
L = 2 c Pa w c (1 * 2
(5)
+ ('P)'*l1
R
$-
sin 2 k ( R - €2,)
2/c(R - R,)
2 sina k (R- R,)
$- 1; ( R - h',)./c B F ] }
.
Nehmen wir an, da6
k ( R - R,)> 1
und kR, mindestens von der Gr6Benordnung 1 ist, so wird
u= ~=2neka.(R-RR,)~(w2+c2g2).
Endlich ist
Y = Q R * (R3 - H,3).
Unter der weiteren Annahme, da8 R, gegen R zu vernachlassigen ist, wird dann
Jetzt bilden wir aus Gleichung (6) und (5) das Verhaltnis E,,/L:
_- _ 3_ .
2rF
z(:Z
3- c2g2
u c g
___.,
Nun ist')
1) Vgl. die vorstehende Arbeit Gleichung (6 a) ff.
Vgl. auch A . D . F o k k e r , Physica4. S. 262. 1924. Hi*.F o k k e r
hat dort die Gleichung (7) auf einem anderen Wege abgeleitet.
2)
700
K. Schuster. Berechnuny der Schalldichte
Nehmen wir an, da8 a2
wsw.
< 1, so wird
und wir erhalten
E
(8)
0
6 L
---.
- c a‘ E’
I m 5 4 der vorstehenden Arbeit war erwiihnt worden, daB
die Abkiingezeit fur die Energie in dem Kugelr?um betragt:
6 V
-216- _
.
-_
ca’F
Die entsprechenden S a bineschen Formeln lauten:
r4o 1
_
23
4z
c a’
B
rr
- ___
4
. ~
.
- CU‘P
Die stationare Schalldichte Bo und die Abklingezeit 1 / 2 8 im
Kugelraum unterscheiden sich also um den gleichen Faktor
von den entsprechenden Sabineschen Ausdrucken. Das ist
auch zu erwarten; denn die Energiebilanz im stationaren Zustand liefert die Beziehung
E
=
7.E o * 2 s .
B r e s l a u , Physikalisches Institut der Techn. Hochschule,
den 17. Januar 1929.
(Eingegangen 20. Januar 1929)
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