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Berechnung der Seitenversetzung des totalreflektierten Strahles.

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Berechnung der Seitenverse fzung des totalreflektierten Strahles
Von K u r t A r t r n n n n
(Mit 2 Ahbildungen)
Inhaltsiibersicht
Zur Erklarung des Versuches von Ci 0 0 s und H I n c h e n l ) werden die
Beugungserscheinungen berechnet, die bci der Totalreflexion einer durch eine
Blende begrenzt,en Lichtwelle am diinne.reii Medium eint,reten. Bezeichnen 1,
die Wellenlange im dichteren Medium, 6, den Einfallswinkel und p = p (Oe)
die bei der Totalreflexion auft,retende Phasen~ersc,hiehnng,so wird gezeigt, da13
der totalreflektierte St'rahl eine Versetzung
senkrecht zur Strahlricht,ung gegenuher einem Strahl erfa,hren mu13, der statt
dessen an einer Silberschicht, reflektiert, a i d . Set'zt man hierin fur dp/d6, die
aus den F r e s n c l s c h e n Formeln I~ekannfrenWerte ein, so ergibt sich fur die
Strahlversetzung
(n, bzw. n, -- Brechim~sexponentdeh clichteren hzw. des dunneren Mediums,
der Totalreflexion), je iirtchdeni der Vektor iE der elektrischen
oder dei rnagnetischen Feldstarke @ drr cinfallenden Lichtwellt. in der ebenen
Treiinflache tlcr beiden Metlien liept.
= Greirzwinkel
Tcil I: Elementare Betraclitungen
$ 1. Experimentelle und theoretische Gmdlagen
F.
(400s und H. H a n c hen1) haben in ciner kurzlich erschienenen Arbeit,
von welcher der Verfasser in dankensmrter Weise vor der Veroffentlichung
Kenntnis erhielt, die Versetzung D ausgcinessen, die ein am diinneren Medium
totalreflektierter Lichtst'rahl (gbh. 1 ; ausgezogene Linie) senkrecht zur Strahlrichtung gegeniiher den1 Fall erfahrt, da13 die Reflexion an einer (vollkommen reflektierend gedachten) ebenen Silberschicht gesschieht (Ahb. 1 ; gestrichelte Linie).
Es seien 1, und n, Wellenlange und Brechungsexponent im dichteren Medium
(Glas) und I,, und n, die entsprechendeii GroBen im dunneren Medium (Luft);
l ) B. Goos nnd H. H i i n c h e n , Ann. Physik ( G ) 1, 333 (1947); i
m folgenden als
G. und H. zitiert.
88
Annulen der Physik. 6 . Folge. Band 2. 1948
ferner sei 6, der (gegen die Normale gemessene) Einfallswinkela). Dann erwies
sich die Strahlversetzung nach G. und H. proportional der Eindringtiefe ins diinnere
Medium, so daB
gesetzt werden konnte. Hierin bedeutcn
sin 9,= n,: n1
(1>2)
den Sinus dea Grenzwinkels dcr Totalreflexion und x eine von G. und H. mit k
bezeichnete dimensionslose lionstante, deren Wert experimentell zu
’
11 = 0,52
(1>3)
gefunden wurde.
Die Vorgange, die bei der Totalreflexion ciner seit,lich bcgrenzten Welle an der
ebenen Trennflache zweier Medien auftrekn, sind crstmalig von Pi c h t 3 ) reclue-
Ahb. 1. Die Strahlversetzung D bei Totalreflexion am dunnercn Medium. Die beiden an der Silberschicht reflektiert gedachten Strahlen (geometrisch optiache Schatkngrenzen) sind gestrichelt gezeichnet
risch behandelt und spater roil N o e t ~ h e r d )cingehender diskutiert worden. Da
bei P i c h t und N o e t h c r jedoch nicht die Frage nach-der Strahlversetzung angeschnittcn wird, und auBerdem ausschlieBlich die Wellenvorgange in unmittelbarer Nahe der Trennflachc untersucht werden, so konnen diese Rechnungen
nicht auf den Versuch von G. und H. angewendet wcrden, bei dem der totalreflektierte Strahl in groBer Entfernung von der Trennflache (- 10 cm) beobachtet wurde.
Aus diesem Grunde sol1 cliese Strahlversetzung D im Teil I1 dieser Arbeit
wellenoptisch berechnet werden. Um auch dein mathematisch weniger geschulteil
2, Bei G . und H wurde dicsw Einfilllswinkel nicht mit 6,,aondern initqbczeichnet.
(vgl.
Der Buchstabe (D wird hier in anderer Hedeutung, niiinlich als Phasenvcrschiebung~.
9: 2) verwendet.
3) J. P i c h t , Ann. Physik ( 5 ) 3, 433 (19”)).
a) l!’. S o e t h e r , Ann. Physik ( 5 ) 11, 1-11 (1931).
Leser eincn Einblick in die physikalischen Vorgange bei der Strahlversetzung zu
vermitt,elti. sollen die wesentlichen Gedankengange und Ergebnisse dieaer Rechnung schon im folgenden § 2 des Teiles T i n eleinentarer Weise wicdergcgeben
werdcn.
8 0. Allgerueine elementare Theorie der Versetzong tles totalreflektierten Strahles
Auf d i p Blrnde falle c,iric. ebene unendlirh ausgedehnte Lichtwelle unter dem
Winkel 6, rnit, clcr WellciilBnge 1, und Iritetisit,it, 1 auf (Abb. 1). Wir drnken u n s
dcti Vtskt.(.)rdcr clekt,rischcti bzw. inagnetischeti Feldstarke dieser Einfallswelle
i n einc Ronipoiietite senkrecht und eine Komponcnt.e i n der Trennflache der beiden
Medieti zerlegt. tlcren jedc twkanntlich wie cinc s k a l a r e Welle hehandelt werdeu
kann. Die, BlendcnBffnutig 2 H , die als sehr groW gcgcin die Wellenlange 1, vorausgesetzt wrrdcn aoll, bcwirkt Beugung am Rande der Welle, so da13 diese iiach
Durchst:tzvri tlvr Hleridc~tiicht, triehr dit: Ttit.rnsit%t 1 oder 0 besitzt., jc nachdem
man sich itufjc~rhalhoder itinerhalb des in Abb. 1 gc’zeichneten geometrischen
Schat.tetis der H l c m k befindct.
Ohrie auf die I~c.uguiigYersctieiiiiingc~tiii11 tlvr Schat.tengrenze in1 cbinzelnen
cirizugeht.ri. wits erst, bri der rechnerischcti Durchfiihrung im Teil I1 geschehen
soll, kiitin die durch die B h d e drirchgtyatigene Einfallswelle bekanntlich als.
Superposition unendlich vieler, unendlic?h ;tiispcdehnt,er ebeiier U‘rlleri gleicher
Rellenlinge 1,, uher verschicderier Fortschreitu~ip~richt.ungen
6 aufgefaat werden.
Dies? (~i~ietidlichaiisgcdehnten) Wellen sollrti E le m e n t8ar w e 11en genannt
werdcn, R i c . dicse Superposition dcr Elemcnt,arwellen ini einzelticri gewhehen
SOH, bedarf eines im Teil I1 noch zu crbringcnden rechnerischen Nachweises
Formel (1. 5)]. Es sol1 hirr nur vorweg httnicrkt wcrden, da13 die Fortschreitungsrichtungcii 6 dicscr uriendlich vielen Elcinentarwellen einem sehr c n g e n in der
Xahe der St,ellc 6 = 6,. gclegenen Winkelbereich nngchoren, sofcrn. wie bei G.
und H., die Blrridcriijffnung 2 H >> ;I,ist..
Jedt. dicser Elcrrictntarwelleii wird nacti d c n i Rcfl~~xioiisgesetz
der geonietrischen
Optik (Eitifallswiiikel = Reflexionswinkel) :in dclr t!bonen Trcnnfliichc rcflektiert.
Hierbti triiigc: clir reflcktiert,e Welle i t i i allgriiieintw eine vom Einfallswinkel 6
abhaiigigts Phaseiiv(~rsctiic~~)utigp,
(6) grgenuber der einfalleriden Welle erfahren.
Wie soglrich gczeigt, werden soll, s p i c l t , d i c s e P h a s e n \ . e r s c h i e b u n g p, (6)
eitit: ( ~ n t s ( ~ h o i d e i i dReo l l ( %i n d v r T h e o r i e d c r S t . r s h l v ( , r s c t , z u n g . fjber
das Verhaltcn tier Welle ini diinnereii (zweiten) Medium brauchcn bei allen Betrachtutigen keinerlei Voraussetzungen gciniacht, zu werden. Wir hctrachten nun
den Schnitt. dtar aus lautcr Elementarwcllcu nufgebauten Einfalls- uiid Reflexionswelle mit der cbencn Trennfliiche der bc!ideti Mcdien. Der Schnitt einer einzelnen
dieaer RI~~meritarwelleii,
deren Fort,schI1,itiitipsricht.uIlg den Wirikel 6 niit der
Trennflachc hi!dct., ergibt ersicht.Iich citw ( i l l x-Ric,htung fortschrcit.c;ide) Welle
der M’ellenlangt ;,/sin 6 , d . 11. der Wellt~tizahl
Entsprechend df.11 verschiedenen Fort,schreitllnasrichtungen 6 der verschiedenen
Elenicnt~arwellcti kann dcr Schnitt sowohl d c r durch die Blende eingeengten
Einfallsw;t~llrals auc~htler Schnitt deren Reflexio~is.veIleals Superposition ebener
(in z-Richt,ung rcrlaufcnder) Rellcn v e r s c h i c d e r e r Wellenlangen ,&/sin6 aufgcfa13t. wcrdc.ii.
90
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 2. 1948
Um das Wesen dieses Superpositioiisvorganges auf nioglichst einfache Weise
verstehen zu konnen, greifen wir zuniichst nur je z wei dieaer Elementarwellen
heraus. (Die Superposition u n e n d l i c h vieler Elenientarwellen wird qualitativ
zum SchluB dieses Paragraphen und quantitativ im Teil IT behandelt). f i r denken
uns also der Einfachheit halber sowohl die Einfalls- als auch die Reflexionswelle
durch Superposition von nur je z w e i Eleriicntar~velleiider 1ntensit.at I entstanden.
Die erste dieser von der Trennflache geschnittenen Elementar-Einfallswelle aei e i k z z .
D a bei der Totalreflexion eine Phaseiiverschi~,buiigpauftritt, so ist ihre von der
Trennflache geschnittene Reflexionswelle
e i ( bc.
+ P) .
(292)
Die zweite dieser geschnittenen F,iiifalls-Elementarwelleii, die einer benachbarten
Fortschreitutigsrichtullg 6 A 6 cntspricht, also zufolge (2, 1 ) einer bcnachbarten
Wcllenzahl k,
Ak, entspricht, ist ei(P, + A k , ) x . Die Phasenverschiebung der
zugehorigen (von der Trennflache geschnittcnen) Reflexions-Elementarwelle ist
nicht niehr p,sondern p
.&, so <la13 die geschnittme Reflexions-Elenientarwelle
+
+
+
&i!(k,
+ &)r + 9 + 4;
(2,3)
ist,. Durch Superposition der heiden Wellen (2, 2) und (2, 3) ent.steht die gesanite
von der Trennflache geschnittenrn Reflexionswelle
y = e i ( k z ~ + ~+
) ~ i [ ( k z + ~ P z ) ~ + ~= +e iA( k~z l~ + p . ) . ( 1 + e f ( d l . , r + d ~ ) ) ~ (2, 4 )
I
wenn wir der Einfachheit halber nur zwei Elenientarwellen beriicksichtigen.
Die { ] ist wegen der k l e i n e n Differenz dk, cine in 2 l a n g s a m vcranderliche
Funktion. D u r c h ' S u p e r p o s i t i o n d e r be i d e n ge s c h n i t t e n e n E 1e 111 e n t a r wctllen i s t a l s o n a c h ( 2 , 4) a u f d e r T r e n n f l i i c h e e i n e r i i u n i l i c h c S c h w e b u n g e n t s t a n d e n , deren Maxima ersicht.lich an den Stellen
+
d k , ~ dg:
2nv
(V
ganzj
liegen. Denkt 1ii;tii sich andererseits den socbcii geschildcrten Reflexionsvorgang
an einein vollkommcn reflektierenden Silberspiegcl ablaufend, bei welchem die
Phasenverschiebung p unabhangig voni Einfallswinkel6 (d. h. unabhangig voii k,)
ists), also d p = 0 ist, so ist die Tiage Z S l l b e r ( h e r Schwebungsmaxima auf den1
Silbcrspiegel gegehcn durch
dk, . Z S I I I , =
~~2 . z ~
(Y 6,211z).
Durch Subtrakt,ion der let,zt.en beiden Gleichungen folgt, fur die Verscliiebung X
der am diinneren Medium ent.standenen gcschnittenen Reflexionswelle gegenuber
der am Silber entstttndrnen geschnittcncn Reflexionswclle :
(2,ri)
I m Grenzfall, daB die Wellcnzahlen k, und Phasensprunge p der beiden willkiirlich herausgcgriffcnen Eleinentarwellen sich nur uin u n e n d l i c h kleine Betrage unterscheiden, hat man in ( 2 , 5) die Diffcrenzcn dk, und dp durch die
Differentiale dk;, urid dp z u ersetzcn, so da13 die Verschiebung in r-Richtung:
~~
6 , Namlich v = 0 oder z, je nachclem dcr Vektor der magnetischen oder der elektrisehen Feldst.arke der einfallcnden N'cllc parallel zur Trennfliiche schwingt.
K .Artmann : Berechnung der Seilenversdzung dea lolalref leklierton Slrahlea
91
wird. Da, wie gesagt, der Bereich der Einfallswinkel6 der Elementarwellen ein
sehr enger in der Nahe von 6 = 6, gelegener ist, so sind diese Differentiale dk,, G+I
an der Stelle des Einfallswiukels 6 = 6e der auf die Blende auffallenden Welle
zu nehmen. Da die GroBe der Verschiebung x'nach (2, 6) von der Koordinate z
der Schnittebene unabhangig ist, so tritt auf jeder hierzu parallelen Ebene, speziell
der Plattenebene, die Verschiebung (2, 6) auf.
Durch Bildung des Quadrates des Absolutbetrages beider Seiten von (2,4)
erhielte man fur die Intensitat des Schnitts der Reflexionswelle als Funktion
von
2
den ,Wert 4 * cosz
, d. h. eine sich bis
2
& 00 erstreckende
:
periodische Intensitlitsverteilung. Dagegen lehrt jedoch schon die Anschauung,
daB die Intensitiit des Schnitts der Reflexionswelle auflerhalb der geometrischoptischen Schattengrenzen rasch auf Null abfallt.
Dime Diskrepanz ruhrt daher, daB in (2,4) der Schnitt der Reflexionswelle
der Einfachheit halber a1s Superposition von nur z wei Elementarwellen aufgebaut
gedacbt war, da13 in Wahrheit aber unendlich viele Elementarwellen superponiert werden mussen. Wie im Teil I1 rechnerisch gezeigt werden wird, geschieht
diese Superposition dernrtig, daB sich dime unendlich vielen Elementarwellen
auderhalb der geometrisch optischen Schattengrenzen durch Interferenz gegenseitig vernichten (wenn von einer kleinen Umgebung der beiden geometrischoptischen Schattengrenzen abgesehen wird, wo F r e s nelsche Beugungserscheinungen auftreten).
Da G. und H. die Strahlversetzung D nicht in s-Richtung, sondern senkrecht
zur Strahlrichtung maBen, so ist ersichtlich D = X cos ae,so daB die Theorie
nach ( 2 , 6 ) fur die Strahlversetzung
D=-cos~
dp,
--dk,
ergibt. Druckt man die Wellenzahl k, mittels der Gleichung (2, 1) wiederum
durch die Wellenlange I , im dichteren Medium und den Einfallswinkel6, aus, so
geht (2,7) iiber in
CzI
D=---
2n d 6 ,
(2,8)
Die vorangegangenen Uberlegungen bleiben ersichtlich auch dann gultig,
wenn die betrachteten Wellen keine Lichtwellen mehr sind, sondern Wellen
beliebiger Art (z. B. Wamerwellen). Deshalb gilt die Formel (2, 8) fur die
Strahlversetzung auch fiir Wellen beliebiger Art. Im folgenden spezialisieren
wir nns jedoch auf Lichtwellen.
Nach der Ma.xwellschen Theories) betragt die Phasenverschiebung F g bei
der Totalreflexion von Licht am dunneren Medium
falls der Vektor (3 der elektrischen Feldstiirke in der Trennflache liegt.
Im umgekehrkn Polarisationsfall, da13 der Vekor @ der magnetischen Feldstiirke in der Trennflache liegt, ist die Phasenverschiebung
hiervon verschieden
') Vgl. etwa G . J o o s , Lehrbuch der theoretischen Physik. 6. Aufl. Leipzig 1943.
S.314, Formeln (73) und (70).
92
Anna& der Phydk. 6.Folge. Band 2. 1948
und gleich
p's, = - 2 arc tg
[ y j x T - (122'nl)ZI
(R2i7tl)'
'
COR
B,
.
(2, 1 0 )
Durch Einset.zen voii (2, 9) i n (2, 8) erhiilt. Inail untcr Beacht.ung von ( 1 , 2)
f u r die Strahlverset,zung D,, falls Q i r i d e r Trciinflache liegt:
D
-
"1
-1
'
sin 8,
.
- ~ ~ - - t i i ; z ~
Da bei dcn Versucheri von G . und H. i?e-6, war, so darf man im Ziihler sin 6,
d i m h sin 6, = n2/nlersetzeri; wid soinit. wird dic theoretische Strahlvcrsetzung,
falls Q in der Trennflachc licgt
Im anderen Polarisat.ionsfalI, daB der Vekor der magnetischen Fcldstarke .6,
in der Trennflache liegt, erhalt man entsprechend durch Einset.zen v011 (2, 10)
in (2, 8) fiir die Strahlversetzung D,
n* ' A ,
z)h
I sin'
8, - Bin2 0 ,
(2, 12)
-411s (2, l l ) , (2, 12) folgt, (la0 im Grenzfalle 0, = 6, sowohl DG als auch DO
gegeu uriendlich gehen. In dieseru Grenzfall sind unsere Formeln (2, 8 ) , (2. l l ) ,
(2, 12) fiir dic St.rahlversetzung nicht mehr brauchbar. Denn bei der Herleit,ung
der Forrnel (2, 8) wurde stillschweigend vorausgesetzt, da13 eine k lei n e Knderung
der GroDe k, (d. h. eine k l e i u e dnderung 46des Einfallswinkels6) auch nur cine
k l e i u e h d e r u n g dp. des Phasensprungmq! bcwirkt. DR diest Voraussetzung irn
G
Grenzfalle 6, = 6,,
i n welchcm nach (2, 9), ( 2 , 10) die Ableitungen *hzw. dT0
d 8,
d 8"
uneudlich werden, n i c h t mehr erfullt ist, so diirfcn alle Formcln fur die St.rahlversetzung nicht inehr auf dicsen Grenzfall 77, = 6, und auf Eirifallswinkel 6,,
die dem Grenzwinkel6, der Tot.alreflexion sehr benachbart sind, mgewendet.
werden.
Wie eirie im Teil 11. 5 6, zu erhringende Rcchnung zeigen wird, niu0. damit. die
vorangegangenen Bet.racht,ungen bpi den Versuchen von G. und H. ihre Giiltigkeit, behalten, der EinfalIswinke1.9, \'om GrenzwinkrlO, urn eiiien Betrag@,- 0,; -0,3"
verschieden scin. hlit. Ausnahme des einen Versuches, bei welchein d i r e k t. auf dcn
Grenzwirikel 1'3~ eingcstellt mirde, war diesc Bediiigung bei den Versuchen von
G. und H. stets erfullt.
Ein Verglcich von ( 2 , l l ) w i t (2, 12) Ichrt,, tlaB
Q-(:;y
r)
-
-
.I), 3.
n,
( 2 , 13)
iRt, daB also d i e G r o B c d c r S t . r a h l v e r s c t z u n g n a c h d e r s o c b e n e l i t . w i c k e 1 t e i i T h e o r i e pols r i s;i t'i oil s a b h a n g i g s c i ri s o 1 I t e .
Q 3. Vargleirh mit der Erfahruog
Demgcgenuber stellten G. und H.keinerlei .il)hangigkcit der Stra1ilverset.zuiig D
von der Polarisationsrichtuog (leu eiiifalleiideri Lichtes fest.. Sieht nian zungchst
von dieser Diskrepanz ab, die sogleich eingehender cliskutiert. Ferdrn soll, so cr-
I(. Arlmnnn: Berednung akr Seitenverselzung dea Wrefkktierten 8trW
93
geben die theoretischen Endfonneln (2, l l ) ,(2,12) bis auf einen konstanten Faktor
dasselbe Gesetz fur die Strahlversetzung D wie das Experiment [vgl. (1, l)],
niimlich cine dcr Eindringtiefe proportionale Strahlversetzung.
Ini Falle daB der Vrktor Q der elektrischen Feldstiirke in der Trennfliiche
Iiegt, sollte iiacli (1, I ) , (2, 11) die Goosschv Koiistaiite x :
x = x E = - nn,
sein, wbhrcnd
ini
aiidcren Polarisationsfalle iiavh ( 1 , I ) ,
x =-"0
(a?12)
71,
(3,2)
sein solltc.
Mit. den numerischen Werten n, = 1,52 fur Glas und n, = 1 fur Luft ergiibe
sich aus (3, 1 ) bzm. (3, 2) fur die Goossche Konstante x der theoretische nurnerische
We& :
x g = 0.21 I ) Z W y . x.0 =. 0.18:
(393)
n>;
d. h. x sol1t.o n a c h u n s c r e r T h e o r i c :thhiiiigig von d e r P o l a r i s a t i o n d e s
e i n f a l l c i i d e n L i c h t e s s e i n , w a h r e n d s i r h l ) e i C:. urid H. d i c K o n s t a n t e
x = 0.52 [vgl. ( I , 3)J a l s ~ ~ o l a r i s a t . i o n s t i i i a l ~ l i a vrwics.
ii~ig
Obmohl dem Verfasser eine rcstlosr Aiifklaruiig dieser Urist,iminigkeit zwischen
Experinient und Theorio Iiicht gelungiw ist., sol1 cliese Frage iin folgenden kurz
erortert aerrlen : Dit. nachstliegende A i i i i d i i i i e . vitir diiniie Schicht eines 3. Mediums
{z. B. Wasser), das sich auf der Trt:nnfIlche dor beiden Medien (Luft-Glas) befunden hat, fur diesr Diskrepanz verantwortlich zu ~iiachen,t.rifft sicher riicht zu.
Denn crstens ist. dcr bei der Totalreflexiori ;iuftrctende Phasensprung Q: und somib
nach (2$8) die St'rahlversetzung D auch hrini Vorharideiisein einer dunnen Oberfliichenschicht, polnriHatioiisabhan,aie, wic tlic Theorie von Drude7) lehrt. Zweitens haben h i den Versuchen von G. u t i t l H. al1c.r Wahrscheinlichkeit nac,h auch
keinerlei Obrrflbchenschichtcri vorgelegeii. Uciiii ritic iiachtriigliche Ausrnesaung
der Phascndifferenz Q'Q -pQ voii clekt,rischer und inagnetischer Feldstarke des
refIekt,iert.cn Strahles als Funktioii des Einf;illswinkels 6, tuit Hilfc eines Ha b i n e t schen Kompensat.ors ergab vollige ifhcrt~iiisti~uuiungniit den Fresnelschen
Formehi ( 2 , 9), (2, lo), bei tlerieii I)ckaiint,lich keiuerlei Oberflachenschichten
vorausgesetzt wrrden.
Der Verfasser vermutc.t, daB die unt~erscliiedlicheiiErgehnisse von Experiment
und Theorie folgeiidc Ursache htlhen :
In dieser Arbeit wird ciurchgehend die ubliche hnnahme der K i r c h h o f f s c h e n
B e u g u ngs t.heo r i e grinacht, niimlich, da13 die einfallende Welle die Blendenoffnung u n g t s t o r t durchsetzt. Diese K i r c h hoffsche Voraussetzung ist. aber
in der Praxis nicht i n aller Strenge erfullt. Denn die Strahlen, die in der Nahe des
Randes durch die Blende hindurchtretcn, wcdeii voii der Blende beeinfluat. Da
die St.r;ihlvc.rsr.tzuiigD bcim Versuch von G. und H. durch Messung der Schattengrenzt: der I<lende (nach Totalreflexion ani tliiiiiierrn Medium) bestimmt wurde,
so w u r d e y o n G . u n d H. alleiii (lit, W i r k u n g d e r R a n d s t r a h l c n b e o b a c h t e t . Da die Wirkung dieser Randstrahlcii durch die Kirchhoffsche Annahine bei uiis nur unvollkornnien i n Rcchnung gestellt wird, so s c h e i n t den1
V e r f a s se r d i t' n i c h t v 611i g z u t,rt; f f tt 11d e K i rc h h o f f s c h e A n n a h me
7,
\'gL r1a.n W. KUnig, Handbuch t l t ~Physik. X S . Bd., S. 2'24 (1928).
94
Annalen der Phyak. 6. Folge. Band 2. 1948
der Grund f u r die Diskrepanz zwischen Experiment u n d Theorie
zu sein. Erst wenn der EinfluS des Blendenrandes auf die Randstrahlen theoretiech vollstandig in Rechnung gestellt ist, kann auch der Goossche Versuch
theoretisch v o l l k o m m e n behandelt werden. Da dies ein sehr vcrwickeltes
mathematisches Problem ist, dessen Losung dem Verfasser nicht gelungen ist, so
miissen wir uns in dieser Arbeit n i t der Kirchhoffschen Annahme begnugen.
Teil 11: Reehneriseho Durchfiihrung
$4. Aufsbllung der Grundtormeln
Zur analytischen Begrundung der elementaren Betrachhngen des Teiles I
sol1 nunmehr die Versetzung D ,die eine scitlich begrenzt,e Welle bei der Totalreflexion an der Grenze zweier Medien erfahrt, wellenoptisch berechnet werden.
Es seien z = 0 bzw. z = zT > 0 die Blendcnebene bzw. Trennflache der beiden
Medien. Die Rander der Blende sollen an den Stellen z = fH liegen (Abb. 1).
Ferner sei A, = 2 z / k die Wellenlange im 1. Medium. Wahlt man als Einfallsebene der unendlich ausgedehnten, auf, die Blende auffallenden Primarwelle die
(z, 2)-Ebene, und bezeichne6, den Winkel, den die Fort,schreitungsrichtung dieser
Welle mit der Normalcn auf der Trennflache einschliek, so ist die Amplitude der
Primarwelle
7ppr1m
=e
i($’X
+ k;’*)
,
(z
< 0);
(431)
wobci
k‘,)=k.sin$l,;
kbe)=k.cos6,;
~ ~ ) ’ - t - ~ ~ ) * =(kf’,
~ ~ ;i f ’ > O ) .
(4,2)
Da die Blende in y-Riclitung unendlich ausgedrlint vorausgesctzt wird, so sind
alle durch die Primarwelle und die Blende hervorgerufenen Wellenvorgange von y
unabhangig. Bezeichnet dahcr A (k,) eine belicbige Funktion der Variablen k,,
so kann die Amplitudey der Einfallswelle hint,er der Blende im 1. Medium clargestellt werden durch das Integral
_._.
. .
yetnr =
L4 ( k )
. ,i(kzs ( 5 )\ k a - k z c z )
dk,;
z>
0;
(4>3)
-W
d. h. durch Superposition unendlich vieler unendlich ausgedehnter ebener Wellen
(= Elementarwellen) der ‘gleichcn Wellenlange i,
= 2 n/k, aber aller moglicher
Fortschreitungsrichtungen, wie im 9 2 bereit,s benutzt wurde. Die Fortschreitungsrichtung einer einzelnen dieser Elementarwellen bildet einen Winkel 6 mit dcr
z-Achse, der sich rnt?prechend (4, 2) ergibt aus
I;, = I; . sin 23 ,
.
-
I;, = )/p-_ I;’. =.:
I; . (.os 6.
(4,
a)
Wlr behalten i r n folgenden in (4,3 ) nur das p o s i t i v e Zeichen vor der Wurzel
bei. Das bedeutet., dall (4,3) die e i n f a l l e n d e Welle darstellt., die sich hinter dcr
Blende ausbreit.et, falls sich das erste (dicht.ere) Medium bis z = 00 erstreckm
wiirde, d. h. falls keine Trennflache gegen das zweite Medium vorhandm ware.
Zur Berechnung der Funktion A (k,), welche die Vertcilung der verschiedcnen
Elementar-Einfallswellen auf die verschiedenen Fortschreitungsrichtungen rtngibt,
machen wir die sogleich noch naher zu diskutierende Annahme, daB die Amplitude
(4,3) der einfallenden Welle in der Blendenebene (2 = 0) identisch gleich Null fiir
IzI > H (d. h. auf den1 Blendenschirm) sein SOH, wahrend die Amplitude (4, 3) in
K . Artmnn : BerecAnung der 8eiknwradzun.g & Ida2refkktkrtm &r&
95
der Blendenebene (z = 0) fur 1x1 < H(d. h. in clw Blendenoffnung) identisch m i t
der ungrstorten einfalleiiden Priniarwelle (4,1 ) sein soll. Aus dieser Porderung
berechnet sich die Funktiori -4 (k,) in bekannt.er Weise mit,tels des F o u r i e r s c h e n
Integralt1irorriri.r xu:
Die btBi & I H(~rleit.~ing
von (4>5) btLliutztc’ A l i t ~ i ~ h da13
~ ~ i die
~ , Primiirwc~llein
dcr Bleticlcriijfftiuti~ viillip u n g c s t i i r t ist. trifft zwar in Wahrhcit, n u r i n sehr
guter Niiheriirig zu untl k t . wic ini fj 3 grzcigt n u r c l t , in d e r Niihc des Blendenr a n d e s Iiicht t i w l i r vrfiillt. Trotzdeiri n c l i i i ~ ~ ~wir
t i i n 1 folgtnden init. K i r c h h o f f
an, da13 dir rinfallendc IVelle ungrstort rlurcli die Hlcnde hindurchgeht: weil wir
tnit niat,heinat.isch ciiifach(~iiMitt.clti nicht t)ewa.ltigen
sonst das Beii~urigs~)rol)let~i
kijtint,cn (vgl. d c s t i letzteti AlJsatz des fj 3 ) .
Dn div B1endcnbrcit.c 2 . H groB gegeii d i c t Welletiliinge 2, vorausgesetzt wird,
d. 11. k , H ;>? 1 w i t i soll: so ist. A (k,jeilir Frinktioti. dica i i u r verschicdw voii Null
fur k,.- X ,( 2 ) 1st. (I. 11. u w h (4,2), (4,4 ) fiir Fort.scIircit.uripsrichtutigrn 6 : (lit. dtr
Port,?chrcit,ungsricht.utip,fie der Primiirwtbllc (4,1 ) etig henachhart, sirid, wie bereits
im Tcil T beniitzt wiird(>. Fur (lie folgcndc 12echiiutig einpfichlt es sich, in (4,5 )
die Intrgriition iiher dx i i i c h t explizit auszufiihrcri. s o n d t t ~ ~das
i Integral unveriindert. st.ehc:n zu lassen.
Fiihrt mati mi St.clle Y O I I k,r niittc*l.s
1
11 :
cine
ti(’iic’
(;i,iiJh
7
(.ill.
so
-
k,,,
k!,!
geht (4, 5) i i l w i ,
*.I (krj
’
(4: 6)
it1
1
/”
U ( y j . ?>.
?I
v-fy‘
rl.1
(.{, 7)
J
-II
Sctzt ~ L I rlicscri
I
IVcart, i t i (4: 3 ) ( s i n u t i c l tlriickt a n W r d e n i i n (4, 3 ) die I n t.egratioiisvari~cbl1.k, tnittvls (1,6 ) durch y aiis. RO grht. (4: 3 ) u n k r dcr Beachtung
der 2. G I ~ ~ i c h i i(4,
n ~4 ) ul-wr i n
(4, 8) sttsllt. c l i c k l?itifallswcllc hinter dcr 1 3 1 1 ~ 1 i t l 1 - i ~ l sSrilicrposit.ion voii unendlich
vielen ~ l e m t n t i i r w c ~ l l ~ilar.
ii
Jcdciri Werttr 7) t*iitsl)riclit tiach (4,6), (4, 4) dic
Fort~schrc~itr~~ips~ic-ht.uiif;
0 riner Eletii~~ntnrwt~llc~.
h i d e n elenient.areri RtAt.rac:htutigen tlcs ‘I’csilcsr uurd(3Ii Iiur z w e i cliesrr (utit~tidlii-~h
vielcxii) Elementarwcllen
Iieraiisgegriffcii. (1. h. die Int,egrat,ioti iihcr tly (lurch die Suniniat,ion uber zwei
Glieder isrset.zt.
Null w:tr (1:~s (rrstc, cliohterc) Mediutii hinter t1i.r 13lende beini Versuch voti
G . untl H. nicht untmllic~hausgedehnt;, s o t i d t ~ r i iw i i r d ( ~(lurch die ebene Trennflachc
t = coilst, grgt’ii das tiiiniiere (zweitc) M ( 4 i u i i i I)t.grciiet. (iibb. 1). ,Jede dcr in
(4,3) hzw. (:$, 8 ) auft,rct~enderi Elrrtit~titar~~ellcti
wird deshalb nacti detn Reflexioiisgtwtz tlcr gtoinetrischen Optili ail der c~bcncri Trennfllichc reflekbiert
(Einfallswinkcl - Heflcxionswinkel, vgl. fj 2j. E;s lwzeic.:hnc I R ( y )/ * den Absolut-
96
Annalen der Physik. 6. Poke. Band 2. 1948
betrag der reflektierten Intensitlit eincr einzelnen Elementarwelle der Intensitat 1
und y ( y ) die bei dieser Rcflexion auftretende Phasenvorschiebung zwischen cinfallender und reflektiertcr Elemrntarwelle. I R ( y )12 u n d y ( y ) hangen von y , d. h.
nach (4,4), (4,6) vom Winkel 6 dcr Fortschreitungsrichtu~~g
der einfallenden
Elementarwelle ab.
ilus jeder der im Integrandcn von (4,s)stehcnden ElemeIitar-Einfallswellerl
geht die zugehorige Elementar-Reflrxioiiswelle d a m rerhnerisch durch Multiplikation mit der komplexen Zahl
und durch Umkehrung des Vorzeichens der JVurzel hervor. (Einfallswinkel =Reflexionswinkel: Erhaltung d r r s-Koniponentt, Wmkehr der z-Komponente des
langs des Weges 2 z T , d. h. Iangs des Hin- und Herwegs zwischen Blendenebene z = 0 und der cbcnen Trcniifllche z = z T . In] hier allein interessierenden
Bereich der Totalreflexion (6 > 6,) ist, i R ( y )I = 1, so daB hier dic Forrriel(4, I))
Daher lautet die Reflexioiis~cllc
LaBt inan die durch die Blende eint.ret.tnde Welle nicht. nur cininal an der
Trennflache dcr beiden Medien rcflektieren, sondern, wie es bei G . uiid H. der
Fall war, N ma1 ( N = 66 bzw. 133), so erhalt man ersichtlich fur die Amplitude
der so entstandenen Reflcxionswelle einen Ausdruvk, der aus (4, 11) dadurch hervorgeht., daB q ( y ) durch N * p ( y )ersetzt wird. Fiihrt man daher die Abkurzung
+",
u =2nl /
-03
+ll
e
i
['i(z--n)
+
(0ZT- ;) + )(;,
L
+3
.p ( y ) ]
d!x.dy ( 4 , 1 2 )
-I1
ein, so geht (4,8) iibcr in
i (kk"'5-k;)Z)
Hierin atellt e
die ungestorte Primarwelle (4, 1) nach Heflexion
an der Blendcnebene (kz' durch -. kz' erset.zt.) dar. Dcr in (4,12) aiigegebelle
Faktor U ist, die Amplit,ude der Reflexionswelle als Furiktion von x und Z , die
im folgenden Paragraphen berechnet werden soll. In (4, 12) bedeutet 2 z T - den
U'eg, den das Licht beim Reflexionsvorgang i n z - R i c h t u q von der Blende bis ~ u r
Aufnahrneplatte durchlaufen hatte.
K . Artmann : Ber&mng'der Seitenverselzung dea tdreflektiertcn 8t&
97
Q 6. Egplrzlte Berechnung der Intensitjitsvertellung IU 1' der Reflerlomwelle
mittels der PaB-Methode
Zur Auswertung von (4, 12) fuhrt iiian (lie ill)kurzung
_ .
E ( y , a ) = -~ ( J - , ( Y ) + v i F ) ? - 2 k i f . ' j i -J;>(?:~.-:)
i - k F ) z j - ~ . v ( ~( 5) , 1)
ein. Dann kann (4,12) in der Form geschrichen werden
l)a die Integrationsveranderliche a in (5, 1) iiur in dem Gliede y . ~x vorkonimt,
so kann (5, 1 ) nach Einfuhrung der nur von y ahhiingigen Funktion F ( y ) :
in d er Form gcschrieben w r d e n
E ( y ,a) = - y . , \ -t F ( y ) .
(5,4)
Rei der Auswertung des Integrales ( 5 , 2 )ist zii I)tacht.en, daB der Weg 2 zT - z ,
den das Licht beim Reflexionsvorgang in z-Ricbturig von der Blende bis ziu Aufnehmplatte durchlauft, beim Goosschcn Versuch N 10 crn betrug. Da ferner
die Wureel in ( 5 , 1 ) bzw. (5. 3) die GriiSenordnung k
2z
L-
N
1.
106
ciii-1
besitzt,
so ist der Terru vky)*- ' k 2 ' y - ifz(2 zT- z )
106.
Aus diedein Grunde iat
die in (5, 2) auftretende Exponentialfunkt~ioii cine sehr r a s c h o s z i l l i e r e n d e
Funktion der beiden Varictblen y und iy mit Ausnahrne der Stelle (*/m, N ~ ) an
,
welcher die Funktion E ( y ,a ) ein Extremum lwsit,zt. Auv (5, 3), (5, 4)erhalt, man
durch Nullsetzen der partiellen dbleitungen E y ulid E, fur die Koordinatcn ynL,a,
dieses Ext.remunis :
1,,) =-: F' (0).
(5,5)
y ,,, = 0 .
Hierbti und im folgcndcn bcdeubrn St.ric-ho die Ableit.ungen von F nach y.
Entwickelt, man den Exponenten E ( y n) am Ext.reniurn, so erhiilt. man fur die mit
der 3. Potenz ahgebrochenc Taylor-Ent,ffickliinlr IT)II E ( y , a):
Y
K(y..\)
1-=
F ( 0 ) -f ' - y 2 F " ( 0 ) - - y (.I
2
+
1
F'(0)) -Fy3P"'(0).
(5, 6)
Die Auswert,ung des Megrales (5?2) geschieht iiuu lriittels der P a B - M e t h o d e :
Wegen der raschcn Oszillat,ionen der Exponentialfunktion E (7, a ) ergibt die
Integration in (5, 2 ) ubcrall praktisch Null mit Ausnahnie der Umgebung dea
Extremurns (5, 5 ) voii E ( y , n ) . Setzt man dcshalb fur E ( y ,a ) in der Nahe des
Extremums (5,s)die Taylor-Entwicklung (5, 6) in ( 5 , 2) ein. die wir uns aber
jetzt schon niit c h i quadrat,ischen Glicd abgcbrochen denken :
so laBt sich d & Tnt,egration uber dy sofort ausfuhrcn uiid crgibt
-n
Ann. Phyaik.
6 . Folge,
Ud. 2
98
Annalen der P h p i k . 6. Folge. Band 2. 1948
Die Integration uber dy in ( 5 , 7 ) ware eigentlich nur in der Nahe der Stelle y = 0
auszufiihren, weil nur dort die Taylor-Entwicklung (5, 6) Gultigkcit besitzt.
1
Da der Integrand von ( 5 , 7 ) aber fur Tyzl F”(0)I > -
7 ~
rasch oszilliert und dort
praktisch keinen Beitrag mehr zum Integral (8,8) liefert, so darf man in (5, 7 )
als Integrationsgrenzen f00 nchmen. Das ist allerdings nur dann statthaft, falls
1
das in (5, 7) fortgelassene Glied dritter Ordnung -yY3P”’(O) [vgl. ( 5 , 7 ) ] innerhnlh
des kleinen y-Intervalles Iy I
<
-1/‘-
6
-
.. -
:$-,
IE (0)I
i$ y’P’(0)
in welchem die Funktion e
nicht rasch oszilliert, gegen das davorstehendc Glied zweiter Ordnung $ y 2 P ” ( 0 ) ,
2
d. h. gegen - n gestrichcn werden darf. Dies crgibt als Bedingung fur den Gultigkeitsbereicb unseres Integrationsverfahrens (PaB-Methodc), daB das Verhaltnis
.
. . .
sein mu&. Diese Bedingung war, wie die Diskussion im Q 6 zeigen wird, bei den
Versuchen vort G. und H. mit einer einzigen Ausnahme erfullt.
Wir setzen nunmehr die Berechnung des Ausdruckes (5, 8)‘ fort, indem wir
mittels
a - B’(0)
‘1’
r/ -n F” (Gj
an Stelle von oc eine neue Integrationsvariable 17 einfuhren und somit schliedlich
fur U den folgenden Ausdruck erhalten:
-
[H--P’ (0 )] / v- n p” (0)
Spaltet man die rechte Seite von (5,lO) in die Differenz zweier Integrale auf, von
denen das eine von - 00 his [ H P’(O)]/l/--nF” (0) und das zweite von - 00
bis [-a P ’ ( O ) ] / V - m erstrcckt wird, so liidt sich U als die Differenz
zweier Fresnelscher Integrale V-W darstellen:
+
mit
+
7J = V - W ;
[H+ F’ (0 )I,! i-
( 5 , 11)
--
x P” ( 0 )
-CO
Die Freenelschen Integrale lassen sich nicht durch elementare Funktionen ausdriicken, sondern mussen bekanntlich mit Hilfe der Cornuschen Spirale graphisch
ausgewertet werden.
K . Artmnnn: Berechmmg der Sei&ntn~&zung &a tdalrejlektiertm &ahlea
99
Mittels (5, 3 ) , (4, 2) lassen sich die in (5, 12, ( 5 , 13) auftretenden Auadrkke
F(O),F' (0), 3'"(0) folgendermaflen explizit ausdriicken
F ( 0 )= 2 kzyv ('0s 6,-1 Nv(O),
F ' ( 0 )= t 7- (2- 2 + ) . tail, 4-,YP;'(O),
F " ( 0 ) = ( : - 2 ' ~ - , ) k - ' ( ~ ) s - 3 1 9 , +Np"(O),
80
da13 die Formeln ( 5 , 12), (5,13) nach Einfuhrung der A b h z u n g e n
-W
Die Endformel fur die Intensitat der totalreflektierten Welle erhalt man nach
allem Vorangegangenen dadurch, daB inan die Wert,e 7, W ( 5 , 16), (5, 17) mit
den in (5, la), ( 5 , 15), angegebenen obereii Integrat,ionsgrenzen rie, 7, in (5, 11)
einsetzt und diesen W'ert wiederum in (4, 13) subst,it,uiert,.
9 6. Disknssion der Ergebnisse
Denkt man sich den Reflexionsvorgang an Stelle an der ebenen Trennflache der
beiden Medien an einer vollkommen reflekticrendrn Silberschicht abspielen, an
- dla,
welcher die Phaseriverschiebung p von y unabhingig ist, d. h. dp,
--- 0 ist,
dr
dY8
erhalt man fur die Amplitude U , = Ti8 = W , der zugehorigen Reflexionswelle
zwei Ausdriicke Ti, W , , die aus (5,16), (5,17) untcr Beachtung von (5, 14), (5,15)
)
Null und ~ ( 0durch
)
&ilbr8)
dadurch hervorgehen, dafl p'(0) und ~ " ( 0 durch
ersetzt wird:
80
.i"'
4
~[ar..coa%+RV$O:lbe,]
17
=:
i--l'
. [ e '
dq,
(6, 1)
ist 0 oder n, je nachdem der Vektor der magnetkchen oder der elek8,
trischen Fcldstiirke in der T r e d a c h e schwingt.
'7
100
Annnlen der Phyeik. 6.Folge. Band 2. I948
wobei
rI8) =
X - H + (~-2zr)tg6,
-.
I/n(2,2 - 2) k-1 Cora 6,
.
(692‘)
Die in (6, l‘),(6,2’) auftretenden heiden oberen Integrationsgrenzen 7:’ bzw. 7:)
besitzen eine Nullstelle fur
x = -H - (2- 2 zT)tg6, bzw. x = H - (2- 2 zT)tg 6,,
d. h. an den beiden geometrisch optischen Schattengrenzen (Abb. 1 ;
gestrichelt). Die P orme l n (6, l),(6, 1‘)bzw. (6, 2), (6, 2‘) sind, wie es sein muB,
id ent i s ch m i t den wohlbekannten Forme ln bei d e r Beugung a m S p a l t ,
wenn von dem unwesentlicheu Phasenfaktor e
wird.
1‘[2kz,c0sBe +Np.&,]
Das Quadrat des Absolutbetrages der Gr6rje =
1/22
is
-
e
nbgesehen
qs
dq als Funktion
-ca
der oberen Integrationgrenze q,. ist in Abb. 2 aufgezeichnet und ergibt den bekannt,en Intensit,atsverlauf bei der Beugung am Spalt, der vom Werte 0 weit links
1‘“
Abb. 2.
i
Die Funktion f (q)= 1* I
2 1
%
.I
?*
dq
I(
als Funktion der oberen
1-
Integrations,mnze q,
von der geometrisch optischen Schattengrenze q+ = 0 in Gestait von immer
flacher werdenden Beugungsmaxima und Minima asymptotisch sich dem Werte 1
weit rechts von der geometrisch optischen Schattengrenze nahert.
Die F o r m el n (5,16), (5,17) f u r die I n t e n s i t a t bei d e r Totalref rexion
a n d e r Trenhflache d e r beiden Medien unt erscheiden sich w e g e n d e r
Bedeu t u n g ( 5 ,1 4 ),(5, 15) bzw.(6, l’), (6,2’)fur d i e O b e r e n I n t e g r a t i o n s g r e n z e n 7, ,T~bzw. $’, $) v o n den F o r m eln (6,1), (6,2) ( B e u g u n g a m Sp a 1t )
alle i n d u r c h d en W e r t d e r oberen Inte gra tionsgr enzen.
Um die Formeln (6, l), (6,2) bzw. (6, l‘),(6,2’) fur die Beugung am Spalt
mit den entsprechenden Formeln (5, 17), (5, 18) bzw. (5,14), (5,15) fur die Totalreflexion an der ebenen Trennflache zu vergleichen, beschranken wir uns zunachst
auf den Fall, darj 6,-6, > N 0 , 5 O ist, d. h. auf den Fall, darj man nicht ganz
an den Grenzwinkel der Totalreflexion herangeht. Dann darf, wie sogleich gezeigt
werden soll, bei den Goosschen Versuchen im Nenner von (5, la), (5, 15) die
Grorje Ncp” (0) gegen (2 zT -z) k-1 cos -3 6, gestrichen werden, so darj dann die
Nenner von (5, 14), (5,15) mit den Nennern von (6,1’), (6, 2‘) ubereinstimmen.
Dann gehen die Tntegrationsgrenzen (5, la), (5,15) bei der Totalreflexion aus den
entsprechenden Integrationsgrenzen (6, l’), (6, 2’) bei der Beugung a m Spalt
dadurch hervor, da13 z durch x Nrp‘(0) ersetzt wird. D.. h. es t r i t t b e i d e r
T o t a l r e f € e x i o n a m d u n i i e r e n M e d i u m e i n e S t r a h l v e r s e t z u n g i n 2R i c h t u n g uni e i n e n B e t r a g -N.rp’(O) g e g e n u b e r d e r R e f l e x i o n a m
S i l b e r s p i e g e l ein. Da nach ( 6 , 9 ) dy = dlc, ist, so ist d i e s e S t r a h l v e r s e t z u n g m i t dein b e r e i t s i n (2, 6) a n g e g e b e n e i i W e r t e - dP i d e n t i s c h , wenn
dlc,
in (5, 14), (5, 15) die Anzahl der Reflexioneii X = 1 geset’zt wird. Der Faktor N
vor dem Term ~ ’ ( 0in) (5, 14), (5, 15) sagt danii aus, daB N-fache Reflexion eine
A‘-fache Strahlversetzung bedingt. -4uf diese Weise sind die elementaren Betxachtungen des § 2 durch Rechnungen gestut’zt worden.
Nunmehr diskutiere.n wir den soeben ausgeschlossenen Winkelbereich O < 19,-8~
<-0,5”,
also den Bereich, der unmittelbar an den Grenzwinkel der Totalreflexion anschlie13t. Hier darf nach den sogleich durchzufiihrenden Rechnungen
hei den Goosschen Versuchen das in1 Neniier von (5, 14), (5, 15) auftretende Glied
Xp“(0) nicht. mehr gegen (2 zT- z ) k-l (TK:~ 8,~gestzichen
werden. D a m be~~______~
[2
- z ) k-l cos-3 8’,- ATv” (O)] bzw.
deutet
die Versdiiedenheit. der Neniier
______.
vjz (2 zTq- z ) L1c o g 38,in (5, 14) bzw. (6, l‘)>
dalj auder der soeben geschilderten
Parallelverschiebung in x-Richtung der Intensitatwerlauf (5, 16), (5, 17) (Totalreflexion an dunneren Medium) aus dein Int,ensitatsverlauf (6, l ) , (6, 1‘) (Reflexion a m Silberspiegel) durch eine A h iilic h k e i t . s t r a n sf o r ni a t i o n um den
Faktor
i’L = v1 - Xp’’(0) ’ A” . cos3 0,/(2 zT2)
(693)
+
v&- g,
~~
~
~~~~
~
von der versetzten gconietrisch optischen Schat’tengrenze aus gerechnet in xRichtung hervorgeht. Da der Fnktor p nach der sogleich folgenden Forinel ( 6 , 7 )
kleiner als 1 ist und mit kleiner werdender Winkeldifferenz fallt,, so rucken die einzelnen Bcugungs~nasiniarnit kleincr werderider Winkcldifferenz 6, -8,, also bei
Annaherung an den Grcnzwinkel der Totalreflcxion, immer mehr zusainnien.
Es verbleiben uns nun iioch zwei riufgaben : Erstenv mu13 der Gultigkeitsbereich unseies Naheruiigsrerfahrens (Palj-Met>hode) beim Goo s schen Versuch
angegeben werden; d. h. es mu13 das in (5, 9) clefinierte VerhBlt,nis v , das ja uber
die Giiltigkeit. unseres Naherungsverfahreiis eiitscheidet, als Funktion des Einfallswinkels 6, berechnet werden. Und zweitciis niu13 das in ( 6 , 3 ) definierte. Verkleinerungsverhahis ,L/, a.ls Fuiikbion voii 8 , berechnet werden. Wir beschranken
uns hierbei auf den Fall: daB der magnetische Vektor in der Trrnnfliiche liegt
(p=rp6). (Der andere Polarisationsfa.11 erledigt sich gain ent,sprechcnd.) Ferner
spezialisieren wir uns auf den bei Goos vorliegenclen Fall, da13 die Winkel8 bzw. 6,
der Elementarwellen nahe beini Grenzwinkel der Totalreflexion 6, liegen, set’zen
1 als klein gegen 1 voraus. Ferner setzen wir n2= 1.
also /6-196,]bzw. /6,-8,,
Setzt man danii den Fresnelschen Wert (2, 10)fur die Phasenverschiebungrp “ ~ 0
in (5, 3) ein, so erhiilt inan fur die Grolje (5, 9) nach element.aren Zwischenrechiiungen :
Y -==
-
:i
1
1 f ~1 ~.)-~
~
k’” ~ z r - - z j ” z
7~’”
18“’ (0) 1
ili.,;(G)3
(nf- 1)’’’ 1-
.,p 2 Ly,jL,(Ilf
- 1)’/4 .k-i (2zT1 .-
64)
~ ~ ~ ~ ( 7 ~ ~ - l ) ’ / ~ . ~ - l ~ ~ ~ ~ - z ) - l ( ~ ~ -
zj-i (?ye-
B,)-a,,lS,,
102
Annalen der Phyaik. 6.Folge. Band 2. 1948
Und fur das Verkleinenmgsverhaltnis p ergibt sich durch Einsetzen von (2,lO) in
(623):
Die in (6,4) bzw. (6,5) auftretenden GroBen (6,-@,)-'/a
und (6,
fallen
nur fiir 6,> 6,, d. h. im Gebiete der Totalreflexion reell aus. Aber dieser Fall
lag ja gerade bei den Goosschen Versuchen vor. Mit den Goosschen numerischen
Werten 2 zT - z = 10 cm, k = 2 z/A = 106 cm-l; n, = 1,52 gehen (6,4) und (6,5)
uber in
-
Da die GroBe v nach (6,6) nur im Winkelbereich 6,-G6, > 0,3" klein
gegen 1 ist, so besitzt die von uns benutzte PaB-Methode zur Auswertung des
Integrals (5, 2) nur in diesem Winkelbereich Giiltigkeit, wie im Q 2 bereits bemerkt war. Abgesehen von dem einen Versuch, bei dem direkt auf den Grenzwinkel der Totalreflexion eingestellt war, lag dieser Fall bei den Go osschen
Versuchen stets vor. - Da ferner nach ( 6 , 7 ) der Verkleinerungsfaktor p der d h n lichkeitstransformation [vgl. (6,3)] im Winkelbereich 6, -6, > 0,5" nur
unwesentlich von 1 abweicht, so darf das Zusammenriicken der Beugungsmaxima
urn den Faktorp, von dem auf S. 101 die Rede war, im Winkelbereich6, - 6, > 0,5"
praktisch vernachlassigt werden. Erst wenn die Winkeldifferenz 6, - 19,kleiner
als -0,5" wird, fallt p wesentlich kleiner als 1 aus. Daher t r i t t auch erst im
Winkelbereich 6,-6, < N 0,5" ein merkliches Zusammenriicken der Bcugungs<< 1 [vgl. (6,6)] sehr bald aus
maxima ein. Aber dann kommt man wegcn v
dem Giiltigkeitsbereich unseres Naherungsverf;ihrens heraus. Daher ist im
Giiltigkeitsbereich unseres Naherungsverfahrens [Y << 1 ,vgl. (5, 9)] das Verkleinerungsverhaltnisp praktisch stcts gleich 1, so daB also hier ein Zusammenrucken der Beugungsmaxinia praktisch nicht stattfindct.
-
+
Herrn Professor
W.L e n z sage ich an dieser Stelle meinen herzlichsten Dank
fiir eine Reihe wertvoller Ratschlage.
.-I
H a m b u r g , Institut fur Theoretische Physik der Universitat.
(Eei der Redaktion cingcgangen am 22. 7. 1944.)
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