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Berechnung der Vibrationen einer Saite mit Rcksicht auf den Biegungswiderstand.

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hier bereclineten Form auszufiihreii. Tiebi igeiis witcl die
GrlJfsenor tliiuiig des Unterscliiedes zwischeii dciii 15 irklichen
rind statischcn Driiche, nucli weiiii man statt des cirifachen
cylindrischen Gcfafses eineii init eiiicm Cylinder verbundeiieu Recipienten hat, keiiie andcre werden. Nur ist zu bemerben, (Ids der Quersclinitt dcr Verbindung iiicht zu hlein
seyii daif. Aiii wcnigsten ist die hnsicht K iirz's gerechtfertigt, dafs tlas Gas nicht nrbcite und dic Theorie die
Temperaturveranderuiig desselhen iibcrliaiipt liiugue. Der
in der inechanischcii W#ruiethcoi ie vorausgesetzte Fall, dafs
dvr DI uch iminer i;leich deiii GegeiidrricLe sey, tritt allerdings iiur be1 iiiiendlicli hiigsauicr Ikwegung dcs Kulhens
riu; abcr cs war Zweck der gegcnwiiitigeii Abhaiidluiig
durch vollstaiidigc Durchfiihrmg der lhhniiiig wenigstciis
i i i eineln speciellen Fallc zu zcigeii, wie wenig sich bcide
riiiterscheiden, wenn 1itir die Kolbengc~scliwindigheit hlein
gegcn die Scliallgescliwilldightiit ist, was iihii p s auch durch
die verli~l~~iifssmafssig
Lleine Sesclileuiiipiig des Kolbeiis (diearlbe ist ja die 1)iffcreuz voii D r d uiid Gegcntlruck, wenn
iiian die Reibung uiid deli UrricL der lland mit cinbezieht)
bezeugt a ird.
Graz, im Novembcr 1869.
j'vird
_'' _ bis
It-u
eiue homogene clastische Saite von der Lange
aiif die 1,lnge a aasgedehnt, an ihren Eiitlcli so
befestigt, dak ilire Endrichtungen in einer gcradeii Liiiie zu
blciben gcniithiFt siiid , iind zwischeii beitlcii belicbig ti niisvtmal verschoben, so werdcn in jedeni Qocrschnitt longitudinale Spannungen erregt , welche sich auf eine tangential
colllraliirende Krafi im Schwcrpunl, t iiiid auf c x i n tlcn Qiierschnitt um eine transversale Axe dreliendes Kriiftepaar (Bic-
264
gungsmament) reduciren. Aos beiden) einbeln resrrltirea, mit
AbeeHen von longitudmalen Componehten , zwei TranwersalkrWe, die demnach mit der Siinime ihrer Intensitaten
den vktschobenea Punkt in seine Ruhelage zurtickzufiihfen
streben.
Die Adsdtiicke ftir beide Intensitat en sind hinllinglich
bekaunt. N i m d man die Axe der Saite in ihrer Ruhelage
zur Axe der 5, die y normal d a m in der Richtung der
hdsweichullg, bezeichnet E die Elasticitiit, f den Quersehnitt,
b f dessen Triigheitsmotnent flir die kiegungsare, so sind
dieselbkn, entsprechend der Volnmeinheit der Saite,
crstere herrtihrend VOD der Coniractionskraft , letztere voin
Biegungsmoment. 1st D die urspriingliche Dichtigkeit , also
l f a
die der gespannten Saite, so wird ihre Bewegung
durch die Gleichung bestimrnt:
0 -9'y - E u 9
'Y
8
'y
---,; - E b (1 + u )
32.
1
+
2)
i )t'
ax
-
Urn den Fall einer eintiinigen Vibration 2u betrachten,
setzen wir
y = usin CC t
wo n =
&
die Anzahl der volleii Schwingungen in der
Zeiteinheit ausdruckt, und aufserdern zur Vereinfachung
d a m ergiebt sich zur Bestirnlnung des Ion t unabhangigen u :
Dkser %l&ichungsowohl a h den v h Granzbedingungen,
dafs
?c
und
b 1l
an beiden Endeii der Saite, d. i. fiir z = 0
rind s = ( I , veri+chwinderi, i PII gl der Werth
265
--r x
wenn gleicbzeitig zwischen c mid 7 die Relation besteht:
Letztere bestimmt den Werth VOII a. Hier braucht
man der willhtirlichen Zalil m 11w die Wcrthe 0 und 1 zu
ertheilen, und kann p stets zwiscbeii 0 und
i,y zwiscben
0 und 5 nehmen.
2
Zur numeriscben Auflirsung der vorstehenden Gleichung
trallsformiren wir dieselbe folgendermaafsen. Sey
- _c1- e
cf = __
cosy
4)
-_
C
11-e
ens y
dann erbiilt man :
c'=
-
das kt, entsprechchd m
-
tp(y+/9)tge'zgy
0 und rn = I ,
woraus unter gemeinsamer Form :
ctgl,=km+2arctg
rirl y
.,(- 11,
~
5)
Mittelst dieser Gleichung ist es nun Iricht, fur jedes
das etttsprechende c eu finden, ued so eiue Tabelle der
266
Function zu entwerfen. Denn ftir nicht allzugroke y kommt
c' der Einheit so nalie, dafs es sich als Factor vernachbssi
geii Itifst; fur gr6fsere y kann man das so gefundene c in
Gleichung 4 ) einfiihren, und durcli das daraus erhaltene c'
corrigiren.
Fur k = 0 bat die Gleichung keine Wurzel; daber entspricht dew Grundton k = 1, den Obertdnen der Reihe nach
k = 2 , 3, 4,
Die folgende Tabelle giebt die Werthe von logsiny bis
ziim vierten Oberlon fiir einen Umfang der Werthe vou c,
welcher wobl vorzugsweise in Hetracht kommen mag.
...
I
<'
20
40
60
80
100
120
140
160
1
1
180
200
2
3
4
5
9,51423
9,66014
9,Jso52
11,20488
9,07890
H,'JSO95
8,90097
5,83336
8,77482
8,72333
8,6771 1
9,74978
9,49526
9,32529
9,20132
9,10433
9,02481
8,95749
8,89916
8,84769
5,80166
9,50914
9,57981
9,41654
9,2!)505
9,19!12 I
9,12032
9,0533s
9,99525
9,94398
9,89507
k=l
9,23423
8,91577
8,73305
5,60469
8,50569
5,325 11
8,35715
5,29540
8,24662
5,20013
23; 1204
9,03208
5,90462
8,80603
5,72657
8,65754
S,59917
8,54748
8.50129
Hieraus lindet man die Schwingungszahlen gemafs den
Gleichungen I ) (lurch die Formel
n=
~-
c sin y
f E y (1
+J)
n '
2 n a cos2y
Dem Falle eines unendlich hleinen Rirgungswiderstandes
eiitspreclreit ein unendlich kleines b und ein unendlich
grofses c , und zwar hat man alsdann nach Gleichung (5):
c tgIl= k m .
Uemnacb ist die Schwingungszahl ohne Biegungswitlerstand
(l+a)
ri=
f Ev
___
n
2n
'
woraus:
11
c sin y
=---
11'
kn
ros' y'
h i e folgende Tabclle giebt die daraus hervorgehende
267
Erhbhung jedes Toiles in Folge d w 8ie~ringswi~crs1a1ldcs
in balben Tbnen an.
C
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
k=l
2,0358
0,9420
0,6111
0,4184
0,3584
0,2966
0,2531
0,2214
0,1945
0,1755
2,6358
1,1006
0,6821
0,4s 11
0,3839
OJ1.17
0,2667
0,2312
0,2041
0,1826
3,5383
1,3593
0,7997
0,5585
0,421i9
0,3444
0,2886
0,2483
0,2173
0,1933
4
5
4,6417
1,7069
0,961 1
5,5615
2,1327
1,1308
0,7677
0,5617
0,4355
0,8578
0,3010
0,2591
0,2272
0,(:506
0,4861
0,3s59
0,3189
0.2711
0,2356
0,2081
Aus den Werthen von c folpt mit Zuziebung der Heziehung der Beschaffenheit der Saile die Dehuung
das spannende Gewicht
p=Efo
und die Schwingungszahl n’. 1st (in Milliineterii und Kilogrammeu) die Lsnge der Saite = 1000, der Durclirnesser
=2, also b = 1, das Material Stahl mit dem specitischen
Gewiclrt 7,8 und der Elasticitat E = 20000, woraus, weun
das Gewicbt der Masseneinheit g = 9812,7 ist,
D=-
78
98127000000’
so ergeben sich fdgende Werthe, welche sich d a m leicbt
auf andere Dimensionen rind Ma teriale fiberhagen lassen :
c
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1000 a
P
0,100
0,400
0,901
1,603
2,506
3,613
4,924
6,441
8,166
10,101
1,5709
6,’2857
14,1491
25,1730
39,3683
56,7530
77,3480
101,1785
128,2735
158,6663
If’
12,541
25,028
37,637
50,201
62,778
75,377
67,997
100,644
113,321
126,033
Zur Berecbnung der Knoten dient Gleichwg a), WQ
Da m + k 1 stets eine gerade Zahl
(k + 1) fiir m scbreiben, und mit Anwendung der Relation 3) jene Gleicbung nun in folgender
Form aufstellen:
+
u = 0 zu setzen ist.
ist, so kann man
-
=2cospsin*l(+-k)ctgy
-k i
Zunachst bemerkt man leicht, d d s sie durch $ = f a fur
allc geradeu R genau erfullt wird, d a t also bei ungerader
Kuotenzahl immer in der Mitte der Saite ein Knoten ist.
Mit einer fiir gewtihnliche Falle aiisreichenden Genauigheit (im Bereich der Tabelle mindesteus bis ziir achten Decimalstelle) kann man G’ = I , also
ctgy = k n
2p
setzeu ; dann wird
+
sin
ctg y -k n
(
7
+p)
= sinp.
_____
BCOSP
Ferner seg
5=-
h
+x’
wo h die Ordnungszahl der Kuoten ausdriickt, und
-XI’
- (h - h)n
so dak nach E‘limination von x hervorgeht:
d a m wird die Gleichung
= (-
sinz”.
Fur einigermaafsen grbfsere c ist 5’’unmerklich, und
Gleichiuig ti) giebt ohne weiteres die Verschiebung des
KHOWBS
nabh der Mitk hh. zlhn )sic, wo hGthig, zu corriigiren, setze inan den angendorten Werth on id, welcher
z'' ==4) emprich, in #die detzte Glcichung ~4n,arrd ziebe
daraus den ziw genmern 13erechnang voii E' elrlorderlidren
Werth von x". In der folgenden Tabelle war die Correctioa nur ikiir c = 20 rmgebba. Sie enthtih die Y m h i e bungen der Knoten d, welche slmlnlich vom Ende nach
der Mitte bin zu recbnen sind, in Theileu der ganzen S aile
Die vorstebenden Resultate lndern sich wesentlich, wenn
die Befestigiing der Saite eine andere ist. Betrachten wir
den Fall, wo ihre 'JhdridHtbngen vollkommen frei sind so
w#deh die Grtrh&ledin'gnngen
I
1
und diesen entspricbt:
u = Csin
knr
ctgy = kn
worans :
biek giebt z.'B. h r c = 20 folgende Tonerhdhungeu in
balben T h e n :
270
Der EinfluCs des Biegungswiderstands a d den Grundton
ist demnach hier vie1 geringer, dagegen die Unreinheit der
Int ervalle von da nach den ersten Obertanen bin weit gr6Cser als irn ersten Falle. Die Knoten tbeilen die Saite
gleich.
1st einr Endricbtiing der Saite fest, die andere frei, so
erfiillt
verbunden mit der Relation
2c
e
c-
rns y
2r
erosi’
die Bedingring, dafs
82 It
cf2
18
- 1 -- tg(ctgy)
rill
y
+1
(3 ti
an beiden Enden, xr fiir x = 0 iind
fur m = a verschwindet.
Aus letzlerer erhalt man:
ctgy = k m +arctg(c”sin~)
eine Reziehiing, die nrir in geriiigem MaaCse von der Relation 5 ) abweicht, wenii man daselbst go, 2 k fur c, k substiluirt, wo sie laofet:
Hieraus ergiebt sich das Gesetz, dafs der kte Ton einer
in einer Endricbtriug fwten Saite mit dem 2kten Tone einer
vierinal so stark gedelinten, in beiden Endrichtungen festen,
sonst gleich beschaffenen Saite stinimt, so ntimlich, daft? sie
die doypelte nntere Octave davon angiebt.
Berechnet man die Knoten in gleicher Weise wie im
ersten Falle, so erhslt man:
27 I
Die Knoten finden sich demgemat nach dem beweglichen
Ende hin urn Stucke verschoben, welche in arithmetisrher
Progression abnehmen.
Offenbar ist es nur der erste der drei F#lle, dessen Redingungen sicb herstellen lassen ; auch wird derselbe der
Lage der Saiten auf musihalischen Instriiinenten am nachsten
entsprechen, wofern namlich keine Vibration normal zii
einem Steg stattfindet, so dafs das schon in der Ruhelage
daselbst vorhandene Biegungsmolnent aufser Wirkung bleibt.
VI.
ileber Aetz&ursn vtnd die Erscheinungen
des dsterisnms an Krystallen ;
von Dr. f l e i n r i c h R a u m h aue r.
B e i der Untersnchung ’) der durch verdunnte Sariren auf
den Hauptrhomboederflachen des Kalkspaths erzeugten Aetzfigiiren hatte ich gefunden, dafs die dabei aoftretenden dreiseitigen mit einer Ecke den Scheitel des Krystalls zugekebrten Vertiefungen entweder einzeln oder diclit neben
einander grrippirt erscheinen. Es lassen sich dadurch auf
verschiedenen Fliichen oder auch auf derselben Flache zwei
Structuren deutlich unterscheiden , r o i l deneu freilich die
letztere , welche ziisammengelaSerte Rbomboeder darstellt,
niir als einc vollkomtnenere Ausbildung der ersteren zii betrachten ist. Ihbei durchwachsen sich gleichsam die eiuzelnen Vertiefiingen , so dafs umgekehrie Erhbhungen entstehen. Fig. 5 Taf. II veranschaulicht dieses Verhtiltnifs,
1 ) S. diese Annalen, Bd. 138, S. 563 und Bd. 139, S. 349.
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