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Berechnung des Wirkungsgrades eines optischparametrischen Oszillators mit Resonanz nur bei einer der erzeugten Wellen.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 27. Heft 1,1971, S. 101-106
J. A. Barth, Leipzig
Berechnung des Wirkungsgrades eines optischparametrischen Oszillators mit Resonanz nur bei einer
der erzeugten Wellen
Von R. FISCHER
Mit 1Abbildiing
Inha ltsiibcrsicht
Ausgehend von den Liisungen der MnxweLL-Gleichungen fur einen halbunendlichen.
optisch eiimchsigen, quadratisch nichtlinearen Kristall werden rnit der ,,Methode der aufeinanderfolgenden Schritte" die stationaren Amplituden tier drei in einem optisch parametrischen Oszillator wechselwirkenden Wellen berechnet. Der untersuchte Oszilhtor
zeichnet sich dadurch aus, daB in ihm Resonanz nur fur eine der erzrugten Wellen vorliegt.
Betrachtet wird der Entartungsfall der erzeugten Frequenzen, fur den eine Phasenanpassung
fuI die Erzeugung der Subharmonischen unherschiedlicher Polarisation angenomnien wird.
Die Schwellintensitat der Pumpwelle ist proportional der Transmission der Spiegel,
der maximal errcichbare Wirkungsgrad betragt 100%. Es werden der Wirkungsgrad als
Pnnktion tier SchwelluberhShung und die SchwelluberhShung fur maximalen Wirkungsgrad als Funktion des Reflektionskoeffizienten der Spiegel berechnet,.
I . Einleitung
I n den meisten der bisher verwirklichten optisch-parametrischen Oszillatoren (s. z.R. [I]) befjndet sich der optisch nichtlineare Bristall zwischen zwei
Spiegeln, die ein hohes Reflexionsvermogen fiir die beiden erzeugten Frequenzen
besitzen, fur die Frequenz der eingestrahlten Pumpwelle jedoch ein mogliclist
hohes Transmissionsverinogen aufweisen. Derartige Oszillatoren haben ini
Wesentlichen zwei Nachteile : Einmal betragt der theoretisch maximal erreichbare Wirkungsgrad wegen der Erzeugung der Pumpwelle im Rucklauf nur [2]
50%, und z ~ i mandesen sind die Frequenzen nicht kontinuierlich abstirnmbar, es
treten sog. ,,cluster" auf [3, 41, sofern die durch die Phasenanpassungsbedingung
bestirnmkn Frequenzen nicht Eigenschwingungen des Resonators sind (dies ist
bei gleichcr Polarisation der erzeugten Wellen auBerhalb des Entartungsbereiches, bei unterschiedlicher Polarisation jedoch auch im Entartungsbereich
moglich).
I n Ringrcsonatoraufbnuten ist theoretisch ein Wirkungsgrad von 100
moglich [5] und wurden auch berejts experimentell [ C ; ] Wirkungsgrade uber 50%
erreicht,. Von besonderem Interesse sind auch Oszillatoren, in denen die Spiegel
nur fur eine der erzeugten Frequenzen ejn hohes Reflexionsvermogen haben. I m
Spektrum djescr Oszjllatorcn treten lceine ,,cluster" auf [4]. AuBerdem betrlgh,
wie unten gezeigt werdcn wisd, dcr maximal errcichbare Wirkungsgrad 1000/, .
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 27, Heft 1 * 1971
Wir werden zunachst die stationaren Amplituden der in einem solchen Oszillator wechselwirkenden Wellen nach der zuerst von ACHMANOV
u.a. [7] in der
Theorie optisch-parametrischer Oszillatoren verwendeten ,,Methode der aufeinanderfolgenden Schritte" berechnen und unter Verwendung dieser Ergebnisse dann den Wirkungsgrad als Funktion der Schwelliiberhohung (d.h. des
Verhaltnisses von eingestrahlter Pumpwellenintensitat zur notwendigen
Schwellintensitat der Pumpwelle) bestimmen.
2. Ilerechnung der Schwellintensitat
Wir betrachten den Fall der Erzeugung der Subharmonjschen (Freyuenzen
o, = w 2 = o) unterschiedlicher Polarisation fur den Fall exakter Phasenanpassungl). Die Kreisfrequenz der Pumpwelle ist o, = o, o2= 2 o . Unter
Vernachlassigung von Beugungs- und Apertureffekten erhalt man nach [S]
als Losungen der Wellengleichung fur die reellen, langsam veriinderlichen Amplituden A , (i = 1, 2, 3 ) fur ein halbunendliches Medium bei Vorgabe der Werte
der Amplituden bei z = 0 (z-Koordinate senkrecht zur Grenzflache) A , ( z = 0)=
A,,, A 3 ( 0 )= A,,, A,(O) = 0 die G1. (1...3 ) .
+
sn u
A , ( z ) = kA,,-d n u '
en u
A,(%)= A3,-.dn
u'
mit
UZ
u = -A,.
k
{
k = 1
+ 2 (%j2}-1'z.
x
I n (6) sind der Tensor der quadrat,ischen Suszeptibilitat, n der Brechungsindex,
e , die Polarisationsvektoren. (1... 3 ) erhalt man aus den in [S] angegebenen
Losungen unter Verwendung bekannter Additionstheoreme fur die elliptischen
Funktionen (8. z.B. [9]).
Der nichtlineare Kristall der Lange I befindet sich zwischen zwei ebenen
Spiegeln mit den Reflexionskoeffizienten R(o,) = R, R ( w 2 )= R ( 0 3 )= 02).
Zur Berechnung der Schwellamplitude A der Pumpwelle betrachtet man einen
vollen Umlauf der Welle 1 im Resonator. I n der Nahe der Schwelle kann man
--f
I) Bei normaler Dispersion ist in negativ einachsigen Kristallen eine Phasenanpassung
roglich im ProzeB e + eo und i n positiv einachsigen Kristallen im Proze5 o + eo. Hierbei
charakterisieren o und e die Polarisation der wechselwirkenden Wellen, o = ordentliche,
e = aufierordentliche Welle.
2) Mit R bezeichnen wir den Reflexionskoeffizienten fur die Amplitude. Experimentell
1aBt sich diese Situation auch fur o1= w 2 = o bei unterschiedlicher Polarisationder Subharmonischen z. B. durch Einbringen eines zusatzlichen Elementes i n den Resonator verwirklichen, das die Welle 1 ungehindert passieren 16Bt, die Welle 2 hingegen aus dem
Resonator leitet.
R.FISCHER
: Rereclln~mgdes Wirkungsgrades eines Oszillators nlit Resonanz
103
hierbei wegen A , , < A,, die Anderung der Amplitude der Puinpwelle vernachlassigen. Aus (1)erhalt man fur die Schwellamplitude wegen k m 1
R 2 = dn u t m (cosh wt)-l,
d. h.
,4
1
-- 01
arcosh R-,.
(7)
Bei hohen Reflexionskoeffizienten gilt
arcosh R-,
(1 -
R4)]",
und die Schwellamplitude kann in diesem Fall nach
A,
=
1
[&(I + R 2 ) ] 1 / 2
(7a)
berechnet werden. In ( 7 a ) ist F = 1 - R2das Transmissionsvermogen der Spiegel. Nach (7a) ist die Schwellintensitat des hier betxachteten Oszillators mit
hoher als
Resonanz nur bei einer der erzeugten Wellen uin einen Faktor 2
die Schwellintensitaten von Oszillatoren mit Doppelresonanz oder mit Ringresonator [a, 51.
8. Borechnung des Wirkungsgrades
Die stationaren Amplituden werden gemaR [7] mit Hilfe der Losungen
(1. .. 3 ) fur das halbunendliche Medium berechnet. Ausgehend von der Anfangsamplitude A,, werden aufeinanderfolgende Reflexionen betrachtJet.I m stationaren Zustand sind die Amplituden von der Zahl der Durchlaufe unabhangig.
Als Ergebnis erhalt man fur die Leistungsdichten P , im stationaren Zustand die
folgenden Beziehungen :
mit
I n (13) wurde (7) berucksichtigt. Die Leistungsdichte der in Richtung der
Pumpwelle laufenden Welle 1 wurde mit Pi+), die der ihr entgegengesetzt
laufenden Welle rnit P i - ) bezeichnet ; es sind PiL) bzw. P\-) die Intensitaten
innerhalb des Resonators bei z = 1 bzw. z = 0. P, bzw. P, sind die Intensitaten
der Wellen 2 bzw. 3 bei z = 1. P3, ist die konstante Pumpwellenintensitat bei
z = 0.
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Fur die Leistungsdichte der nicht in Resonanz befindlichen Subharmonischen
2 kann man wegen dn2 U R
&I sn2 u~ = 1 und (8) auch schreiben
+
P, = (1 - R‘) P i - ) = ~ (+1 R2)Pi+).
(14)
Bei z = 0 bzw. z = I verlaBt die Welle 1 den Resonator rnit den Intensitaten
E P $ ~bza-.
)
€Pi-) = R 2 ~ P , ( & ) ,
(15)
c1.h. es gilt
P, = &(Pi-) P\-)).
Aus dem Energiesatz oder direkt aus (8) erhalt man
+
sn2un = k i 2 E ( 1
+ 2).
Mit (1 7) kann der Wirkungsgrad
als Funktion der Schwelluberhohuno p3,
- berechnet werden. Die Ergebnisse der
pt
Rechnungen fur R2 = 0,95 sind in Abb. 1 dargestellt. %urnVergleich wurde die
entsprechende Abhangigkeit fur einen Ringresonatoraufbau eingezeichnet, fur
den bei hohen Reflexionskoeffizienten nach [51
(Pi = Schwellintensitat fur den Ringresonatoraufbau) gilt. Aus (17) mit (18)
kann man bestimmen, bei welchen Schwelluberhohungen der Wirkungsgrad
maximal ist. Man erhalt
sn2 u R , ~ =
, ~1
~
(20)
mit
Ul(,nia\ =
p3,1,n,ax
l’’ arcosh
(7,
(1:
R-2
&4)1/2 *
b
10 08 -
*lQ??
06-
04 02 .I
0
7
I
I
3
25 4fO
P30,maw
Pf
I
I
I
77
73
‘’&
I +
pf
Abb. 1. Abhangigkeit des Wirkungsgrades (18) von der Schwelluberhohung nach (17) fur R2 = 0,96.
Zum Vergleich ist die Abhangigkeit
fur einen Ringresonatoraufbau angegeben (gestricheltc Kurve nacli
(19))
R. PISCHER
: Berechnung des Wirkungsgrades eines Oszillators mit Resonanz
Der maximale Wirkungsgrad betriigt
1OOyo.Each
105
(20) gilt in diesem Fall
mit
( K ( k )= vollstandiges elliptisches Integral). Bei hohen Reflexionskoeffizienten
ist (I - R4)arcosh--2 Rp2 5 1, k n ,,,,
0, d. h. K ( k R,,,,iLx)N
.z
und damit
(23)
GI. (23) wurde auch von KREUZER
(zitiert in [lo]) erhalten (im Fall kleiner Verluste entart,en die ellipt'ischen Punktionen in trigonomet,rische Funktionen).
4. Zusammcnfassiing
Der betrachtete parametrische Oszillatoi- mit Resonanz nur bei einer der
erzeugten Wellen ist interessant vor allem im Hinblick auf seine bessere Durchstimmbarkeit .
Berechnet wurden die Schwellintensitat des Oszillators und sein Wirkungsgrad. Die Schwellintensitat fiir die Pumpwelle ist direkt proportional den1
Trmsmissionsvermogen der Spiegel. Der maximal erreichbare Wirkungsgrad
betragt IOOyo. Bei hohen Reflexionskoeffizicnten wird dieser Wert bei einer
SchwelluberhZihung von
Pm,max
~
P,
~~
~-
( T ) erreicht.
Die abgeleiteten Beziehungen erlauben die Bestinimung der Abhgngigkeit
der Schwelliiberhohung fur maximelen Wirkungsgrad vom Reflexionsvermogen
uiid des Wirkungsgrades als Funktion der Schwelliiberhohung fur beliebige
Reflexionskoeffizienten.
Bet,rachtet wurde der Fall der Erzeugung der Subharmonischen. Eine Verallgemeinernng der gewonnenen Ergebnisse fur den Fall unterschiedlicher Frequenzen von Signal- und Idlcrwelle ist jedoch ohne Schwierigkeiten moglich.
Die angegebenen Resultate wurden unter der Voraussetzung einer cinheitlichen Amplitudenverteilung der Pumpwello uber den Querschnitt erhalten.
Eine nichteinheitliche z. R. GAusssche Verteilung kann einen wesentlichen Einflu0 auf den Wirkungsgrad haben. Rieruber wird spater berichtet werden.
Herrn Dr. 1,.A. OSTROVSKI
vain Rndiophysikalischen Piistitut dcr Universitat Gorki
darike ich fur den Hinweis. claR das Problem des Oszillators mit einer Resonanz auch von
W. M. FORTUS
und G. I. FREIDMAN
(Radiofisika 15 (1969) 850) diskutiert wurde. I n s besondere erhalt man aus G1. (1.14) dieser Arbeit dieselbe Schwellintensitat, wie sie aus
unserer GI. (7) folpt.
Litcraturverzricliriis
[l] ACIIMANOV.
S. A., and R. V. CIIocmov, Vsp. F i z . Nauk 88 (1966) 430.
[a] SIEGMAN,A . E., Appl. Optics 1 (1962) 127.
[3] GIORDMAINE,
J. A.. and R. C. MILLEE,in Phys. of Quantum Electr., McGraw Hill
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TV. a.NORDLAXD.
dppl. Phps. Letters 10 (1967) 53; KREUZER,
L. B., Appl. Phys.
Letters 10 (1967) 336.
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 27, Heft 1 * 1971
[4] BJORKHOLM,
J. E., Appl. Phys. Letters 13 (1968) 53; Appl. Phys. Letters 13 (1968)
399.
[5] BJORKHOLM,
J. E., IEEE J. Quant. Electr. QE-5 (1969) 293.
[6] BYER,R. L., and S. E. HARRIS,Appl. Phys. Letters 15 (1969) 136.
[7] ACHMANOV,
S. A., V'. G. DMITRIEV,
W. P. MODENOV
u. W. W. FADEEV,Radiotech.
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[8] ACHMANOV,
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r91 DWIGHT.H. B.. Tables of integrals. and other mathematical data, The Mcmillan Co,
New York 1961.
[lo] HARRIS,S. E., Proc. IEEE 57 (1969) 2096.
L
>
y
,
B e r l i n - A d l e r s h o f , Zentralinstitut fur Optikund Spektroskopie der Deutschen Akademie der Wissenschaften.
Bei der Redaktion eingegangen am 9. Oktober 1970.
Anschr. d. Verf.: Dr. R. FISCHER,Zentralinst. f. Optik und Spektroskopie der DAM7
DDR-1199 Berlin-Adlershof. Rudower Chaussee 6
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