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Berechnung von Elektronenbeweglichkeiten in Cadmiumsulfid-Einkristallen aus Wechsellichtmessungen.

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Berechnung von Elektronenbeweglichkeiten in
Cadmiumsulfid-Einkristallen aus Weahselliahtmessungen
Von J . Fassbender und H . L e h m a n n
(Mit 4 Abbildungen)
H a x u. L a u e zum 70. Geburtstag gewidmet
Inhaltsiibrrsicht
Die Photoleitfahigkeit r o n synthetisch hergestellten CdS-Einkristallen wurde
in Abhangigkeit von der Modulationsfrequenz, der Intensitat und der Wellenlange des eingestrahlten Lichts gelilessen. Auf der Grundlage des Energiebandermodells werden Leitfihigkeit und Modulationsgrad, naherungsweise berechnet.
Die MeBergebnivse werden durch die abgeleiteten Beziehungen befriedigend wiedergegeben. Die quantitative Auswertung ermoglicht eine gr6BenordnungsniaBige
Bestimmung der Beweglichkeit und Konzentration der Leitungselektronen sowie
des Rekombinationskoeffizienten.
Die lichtelektrischen Eigenschaften von synthetisch hergestellten Cadmiumsulfid-Einkristallen wnrden ertmals r o n F r e r i c h s nntersuchtl), nachdem diesem
die Darstellung brauchbarer Kristalle gelungen war. Eingehende Messungen zeigteii,
daB niittels der Begriffe des Energiebanderniodells eineBeschreibung und naherungsweise rechnerische Behandlung der aufgefundenen Erscheinungen moglich ist 2).
Eine Zusalnmenfassung dieser Vorstellungen, die dein Folgenden zugrunde liegen,
findet sich weiter unten.
Ini Rahmen der crwahnten Theorie sind die auftretexiden Photostronie durch
die Beweglichkeit ( b ) der Elektronen irn Leitfahigkeitsband und durch deren
Konzentration (n) bestininit. Letztere hangt ihrerseits wieder \-on der absorbierten Lichtenergie und voin Rekonibinationskoeffizienten (a)ab, der die Zahl
der ubergange aus dern L2itfiihigkeitsband charakterisiert.
und n treten ebenfalls in der Thcorie der Luminophore auf,
Die GroBen
und man hat in diesem Zusamnlenharlg versucht, ihre GroBenordnuiig ahzuschatzen. D e Groot3) be'stimmte x bei Zinksulfid aus den An- und Abklingvorgiiigen der Lumineszenz. B 1o c h in ze w 4 ) gelangte auf Grund quantenmechanischer Uberlegungen zu gewissen Aussagen iiber den Rekombinationskoeffizienten.
Die GroBenorduung der angegebenen M'erte fur LY schwankt zwischen
uud
10-16. Unter bestilnnlteli Voraussetzungen iiber den Leuchtniechanismus Ia13t sich
R. Frerichs, Natunviss. 33, 281 (1946); Physic. Rev. 53, 594 (194'7),
J. Fassbender, Ann. Physik (6) 3, 33 (1949).
s, W. de Groot, Physica 1'1, 275 (1939).
4, D. Blochinzew, Physik. Z. d. Sowj. Uu. 12, 586 (1937).
1)
2)
216
Annaltn der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
bei Kerintnis voii LY auch die Elektronenkonzentratioii n ermitteln ; Abschatzungen
dieser Art sind von d e Groot3) und von Moglich und Rompe5) durchgefuhrt
worden. Auf die prinzipielle Unsicherheit eines solclien Verfahrens hat vor allem
S c h o t t k y e ) hingewiesen; er erhalt auf Grund seiner Voranlageruiigst~eorieerheblich kleinere Werte fur die Konzent,ration der Leit,ungselektronen.
Die vorliegeiide Arbeit befaBt sich niit der Bestinimung der Werte r o n n , b
und R auf der Grundlage von Messungeii der Photoleitfahigkeit bei Anregung niit
Wechsellicht,. Letzteres ist erforderlich, da inan iin Gleichlichtfalle nur das Produkt
aus Elekt,ronenkonzentration und Beweglichkeit erhalt.
Weitere Moglichkeiten zur Ermittluiig der gesuchten GroBen bestehen einmal
in der oszillographischeii Aufriahme von An- und Abklingkurven des Phot.jst.roms
und deren Analyse. Eine quantitative Auswertung ist jedoch recht umstandlich,
uncl die erforderlichen Hilfsrnittel standen nicht zur Verfugung. Zuin nndern gestatten Halleffekt-Messurlgen eine sichere Bestinimung von Elekt.rolienkonzentration und Beweglichkeit. Sie bereiten jedoch bei den verwendeten Krist,alleii
erhebliche experimentelle Schwierigkeiten, die teils in den geornet,riochen Abmessungea, teils in der ortlicheii und zeitlichen Inkonstanz der Leitfihigkeit begriindet sind.
Iiii folgenden sind zunachst die experimentelle Anordnung und die MeBresultate
angegeben. I m AnschluB damn werden die fiir die Auswertung wesentlichen theoretischen Gesichtspunkte erortert, und es wird die Berechnung der oben erwahnten
GroBen aus den experimentellen Ergebnisseii vorgeiiomineii.
I. Durehfiihrung der Messlingen
Die verwendeten Cd8-Kristalle sind iiach einem roil F r e r i c h s ' ) angegebenen
Verfahreri hergestellt,. Ihre Lirige betriigt, einige nim, Breite etwa 1 nim, ihre
Dicke liegt zwischen 5 urid 20 p. Sie sind einseitig rnit aufgedampften A41uniiiiiunielektrodeii versehen, dic einen Spalt von ungefihr 50 p Breite freilassen, durch den
das aufgestralilte Licht eintrit,t,. Den Elektroden wird durch zw-ei Kontakte eine
Spannung von 20-30 Volt zugefuhrt. Diese erzeugt. eiii Feld, das quer ziir Richtung des einfallenden Lichts verliiuft wid wegeii der geringen Dicke der Kristalle
anniihernd homogen ist.
Untersucht wurde das photoelektrische Verhalten dieser CdS-Zelleii bei Einstrahlung voii nionochroniatischeni Licht, dessen Intensitit mit Frequenzen von
5 Hz bis 10000 Hz anniiheriid sinuaforniig moduliert ist. Der ausgeloste Photofitroni ist fur groBere Frequenzen negen der Triigheit des Effekts nicht mehr voll
durchmoduliert, so da13 sich folgendes Bild ergibt (Abb. 1) :
Die Lichtintensitat und der Phot,ost,roin schwariken init eiiier Kreisfrequenz 0).
Bei zeitlicher Mittelung gilt
= I:;+ ITT.;hierbei ist In der Gleichstrommittelder Effektivnert des Wechselstroms ,&ax -.Sn,in.
Die Bewert,, I , =
stinimung von I0 und Ilrals Funktion vori o bildete das Ziel der experimentellen
Untersuchung ; auBerdem i1iuBt.e die Intensitat des anregenden Lichtes gemessen
werden.
Als Lichtquelle fand cine Quecksilberhochstdrucklanipe Tom Typ HBO 500
Verwendung, deren Licht durch eine Linse parallel gemacht wurde. Nach Filterung und Modulation irn parallelen Biindel wurde das Licht durch eine zweite
l3z
5,
F. Mogliih u. R.Rompe, Physik. Z . 41, 236 (1940).
") W. S c h o t t k y , ZWB, Forsch. Ber. Nr. 1972/2 (unver6ffentlicht).
J . Fassbender u. H . Lehmunn: Berechnung vim Elektronenbezvegliehkeiten
217
Linse auf den Spalt einer CdS-Zelle rereinigt. Die Messungen wurden bei zwei
Wellenlangen durchgefuhrt : einnial im Gebiet der Grundgitterabsorption (A =
4100 A), zum andern im sogenannten .4uslaufergebiet (2 = 5600 A). Das erforderliche annahernd monochromatische Licht wurde aus deni Spektruni der Hg-Lampe
herausgefiltert. Ini ersten Fall diente hierzu folgende Kombination von S c h o t t Farbglasern: BG 12, UG 3, GG 13. I m Auslaufergebiet : OG 1 und BG 18. Zur
Absorption von Ultrarot befand sich eirie Kuvette mit Kupfersulfatlosung ini
Strahlengang. Die Lichtintensitat wurde durch vorgeschaltete Graufilter variiert.
Die Modulation des Lichtes erfolgte fur Frequenzen von 5 bis 100 Hz mit, einer
Drehscheibe, deren Rand in Form einer Sinuskurve ausgearbeitet war, in Verbindung mit einer Spaltblende. Fur groBere Frequenzen fand eine Lochsirerie zusammen mit einer entsprechenden BIeiide Verwendung. Die hiermit erzielte
Ahb. la.
Zeitlicher Verlauf der Liclitintensit iit
Abb. 1 b.
Zeitlichcr Ver:auf des Photostroms
Schwankung der Iritensitat ist iiicht genau sinusforinig. Eine Durchrechiiung
zeigt, da13 der A4nteil der Oberschwiriguiigeii einem Klirrfaktor yon 15% entspricht. Indessen tragen diese Oberfrequerizen wegen des Tragheitseffekts nur
aenig zuni Photostrom bei, so daB der resultierende Fehler nicht iiber 5% liegt.
Zur Iiitensitatsinessuiig wurde eine Fperrschichtphotozelle in das parallele
Bundel geschwenkt, die durch Vergleich niit einem Thennoelement geeicht war.
Erfordeflich war ein einmaliger Vergleich der Lichtintensitat am Ort der Photozelle im parallelen Bundel mit der auf den Kristallspdt auftreffenden Energie.
Hierzu wurde die CdS-Zelle durch einen optischen Spalt von gleichen Alrmessungen
ersetzt, und die Intensitaten im parallelen Biindel und hinter dem Spalt gemessen.
Fur die spatere Buswertung beniitigt man die pro sec und crn2 in den Kristallspalt eindringende Quantenzahl a [cm-2 . sec-l]. Hierzu muB der am Kristall
reflektierte Anteil abgezogen werden. Fur 3, = 4100 A ist der Reflektionskoeffizient, M 0,3 (nach Iiistitutsrnessungen). Im Auslaufergebiet ist die Absorptioii n u r
gering, so da13 niehrfache Reflektion an beiden Grenzflachen des Kristalls stattf indet. Die in eiiier bestimmten Schicht zur Absorption gelangende Quantenzahl
wird also einerseits durch Reflektion an der Vorderseite des Kristalls vermilidert,
nndererseits dadurch rergroflert, da13 ein Teil der Lichtintensitilt die betreffende
Schicht niehrnials durchsetzt und zur Absorption beitragt. Eirie nahere Betrachtung zeigt, da13 diese beiden Effekte sich annaheriid ausgleichen: Es ist p D < 1
( p = Absorptionskoeffizient; D = Kristalldicke). Die- in der Eindringtiefe z
von einer Schicht der Dicke dz und 1 cni2 Querschliitt absorbierte Qnaiitenzahl
ist a p e - p z dz M a p dz. Hierbei ist a die gesamte diese Schicht durchsetzende
Quantenzahl, die sich wie folgt berechnen la&: E s sei R = Reflektiollskoeff.,
218
Annakn der Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
a, die eingestrahlte Quantenzahl; a t = (1 - R ) a,; a: die nach v-maligem Durchdringen des Kristalls wieder in diesen reflektierte Quantenzahl. Dami gilt
a,* = (1- R ) Rve-vPDoO a
03
= (1 - R ) a,
a,
a =cay*;
0
Mittels der bekannten Abniessungeii des Kristallspalts 1aBt sich demnach die
Quantenzahl a aus dem geniessenen Strom der Sperrschichtphotozelle berechnen.
Weiterhin mu13 fur die Auswertung der Absorptionskoeffizient p bekannt sein.
I m Grundgittergebiet liegen hierfiir Nessungen r o n Mo 11wo an Aufdampfschichten
vor 7). Demnach ist p = 1,5 lo5cni-l fur A = 4100 A. Ini Auslaufergebiet wird p
durch den Grad der Selbstaktivierung bestimnit, so daB nur Messungen a n deu
benutzten Kristallen selbst Aufsclilusse geben. Eine derartige Messung ist jedoch
wegen der geringen Dicke
der Kristalle schwierig
und wurde bisher nicht
durchgefuhrt. Eine Auswertung ist also in diesem
u Gebiet nur unter Annahme eines bestimmten
Wertes fur p moglich.
Abb. 2. MeOanordnung
Die Bestirnmung des
durch
die CdS-Zelle
flieoenden Photostroms geschah in der Weise, daB der Gleichstrommittelwert
a m MeBinstrument A abgelesen wurde (9. Abb. 2), wahrend der Wechselstrom I,,
aus dem Spannungsabfall an einem geeignet dimensionierten Widerstand R errechiiet wurde. Die 'Il'echselspannung wurde nach Verstarkung ( V ) mit einem
Rohrenvoltmeter U gernessen (AH). 2).
-
11. Mellergebnisso
Es wurden Messungeii an drei Kristallen durchgefiihrt und in jedeni Fall die
Werte von I G und I,, fiir etwa 20 Frequenzen bei drei verschiedenen Lichtintensitaten (1, 2, 3) iin Grundgittergebiet und bei zwei Intensitaten (4, 5) im Auslaufergebiet bestimmt. Die Duiikelstronie der Zellen lagen stets unterhalb 5 * lO-'
Amp., so daB sie bei den benutzten Intensitaten rernachlassigt werden konnten.
Die qualitatiren Ergebiiisse, insbesondere der Frequenzgang von IG und I,
sowie deren Ahhangigkeit r o n der anregenden Intaisitat stirnmen fur alle Kristalle uberein. Die Unterschiede in der Lichtempfindlichkeit der Kristalle waren
gering, so daB auch die zahlenniaBigeii Resultate nur unerheblich ron einander
abweichen. I m folgenden sind die bei eineni Kristall erzielten Ergebnisse aiigegeben :
Der Spalt wies folgende Abmessungen auf :
Lange = 0,285 cm;
-
Breite = 5,2 10-3 cni;
-
Dicke = 5,7 10-4 cin.
Der Gleichstrommittelwert ist nahezu frequenzunabhangig ; er nimnit mit
wachsender Modulationsfrequenz um wenige % zu. Die angefiihrten Zahlen stellen
den Mininialwert (Y = 7 Hz) und den Maxinialwert (v = 10000 Hz) dnr.
7)
Mollwo, Reichsber. f. Pliysik 1, 1 (1944).
J . Faasbender u. H . Lehmann: Berechnung wn Elektronenbeweglichkiten
Lichbiritensitat
reihen :
a
19 0
44
(0.)
219
und Gleichstzom (Ig) bet,rugen bei den eiiizelnen Me&
(1)
2,5 * 10''
102(h-11.10
(2)
6 . 10'3
43346.1
(3)
3,5 * 10la
34,3--37,3
(4)
2,5 . 10"
119-128
(5)
40
*
lOI6
33,O-35,2
Die genaue b d e r u n g von 1~mit der Mod.-Frequenz zeigt Abb. 3 fur eine Me5reihe. In Abh. 4 ist die Freaueuzabhlngigkeit des Wechselstroins I , in eiiier
doppelt logarithrnischen Darstellung wiedergegeben (die gest,richelten Kurven entsprecheu
einer Aiiregung im AuslauferAbb. 3. Frequenzsbhilngigkeit des Gleichstroms I ,
gehiet).
JW
111.Auswwtung der Messungen
im Rahmen des Bandermodells
E s sol1 nunmehr der Fall
einer Anregurig mit Wechsel70 -4
licht mit den Ansatzen behandelt werden, die sich auf der
Grundlage des Eiiergiebandermodells machen lassen. Hierbei
werdeli die Rechriungen so
10-5
durchgefuhrt, da8 die gesuchteii
U'erte der Elektronenkonzentration und Beweglichkeit, sowie der Rekonibinationskoeffi10-6
zierit sich aus den genlesseneii
GroDen ergeben. Zunachst seieti
die zu diesem Zweck riotwendigen theoretischen Voraussetzungen zusanimengestellt *). 10-7
Danach stellt sich der Mechanismus der Photoleituilg fol- N i b . 4. Freq~enzabhiingig~cit
des Wechselstroms I,,
gendermafie11 dar :
1. I m Grundgittegebiet werden bei Einstrahlung von Licht Elektronen aus
dern gefullten Valerizbaiid ( V-Band) in das leere Leitfahigkeitsbaiid (L-Band)
gehobeu. Sie rekolnbinieren nach einern bimolekularen Gesetz, evtl. nachdem sie
vorubergeheiid in den Haftstellen ( H ) angelagert .und wieder abgelost wurden.
Die Locher im V-Band Kerden zunkchst durch obergange aus den Aktivatortermen (.4) besetzt, so d a 8 die Rekombination aus den1 L-Band irn wesentlichen
in die Aktivatoratoine fuhrt. Dies bewirkt eine Lokalisierung der positiveri Ladungen, so da5 bei Anlegen eiiies au5eren Feldes ein Stromtrsnsport in erster
Naherung nur durch die Elektronen des L-Bandes stattfindet, die im Feld eiue
gerichtete Geschwindigkeit erlangen.
2. I m Busliufergebiet erfolgt die diiregu~lgnus den Aktivatoratoinen in das
L-Band oder aus dem V-Bancl in die Haftstellen. I n beiden Fallen ist die positive
Ladung nach kurzer Zeit lokalisiert.
Annalen der Z'hysik. 6. Folge. Band 6 . 1949
220
3. Bei Vorliegen eines PuBereIi Feldes wird durch die unbewegliche positive
Rauinladung ein tfbertritt r o n Elelitroriell aus der Kathode ins L-Band des Kristalls ernioglicht, so daB die Neutralitat gewahrt bleibt. Diese Aiinahme wird
durch die Giiltigkeit des Ohnischen Gesetzes in eineni weiten Bereich gestiitzt
und ermtiglicht eine Deutung des ,,Verstiirkungsfaktors".
4. Die obigen Gesichtspurlkte ermoglichen eine naherungsweise rechnerische
Behandlung der Photoleitfahigkeit. Die Beweglichkeit der Locher wird gleich
Null gesetzt. Diffusionsvorgange und der EinfluI3 der Haftstellen werden nicht
beriicksichtigt. Das auDere Feld mird homogeii angenommen. Es sei :
n = Konzentration der L-Elektronen (cn1r3)
= Koiizentration der unbesetzten Akt.-Btome
=Rekoinhinationskoeffizient
p = Ahsorptionskoef f izient (cni-1)
b = Beweglichkeit der L-Elektrolien (cm . sec-'/Volt
Feldstarke = V / B ;V = Zellenspannung
E' = auI3ere
..
e = Elenientarladung
n = anregende Quantenzahl (cn-2 * sec-1)
L, B, D = Laiige, Hreite, Dicke des Spalts
z = Schichttiefe (0 I
z < D).
(Y
*
cn1-l)
Fur die L-Elektroiien ergibt sich die Bilanz:
dn (2)
-~
= (Y
pe-Pz -a n2.
tit
Fur den Strom "
gilt:
D
I=eELJb-n-clz.
(2)
0
>
I m Grundgittergebiet ist p D
1 ; n fallt exponentiell init, der Schichttiefe ab.
Iin Auslaufergebiet kann (wegen EL D << 1) n als unabhangig von z betrachtet
werden.
5. Hei Gleichlichterregung sollte (nach Erreichen des stationaren Zustandes)
n N a l l z sein. Experimentell findet man I
(17. y hat fur jedeii Kristall einen
bestimmten R e r t , wobei ini nllgenieinen 0,5 < y < 1. Bei groI3en Intensitaten
beobachtet irian eine zienilich msche Xnderung des Exponenten, und bei weiterer
Steigerung der Einstrahlung ist daiin I
uY1; y1 < y .
Eine Deiitung dieses Verhaltens ist inoglich durch
a) Abweichungen vom himolekularen Rekombinations\rerlauf clurch deli Einflu13 der Haftstellen,
b) Abhangigkeit der Beweglichkeit voii der Konzentration der L-Elektronen.
Dn in unsereni Fall die obigen Vorstellungen zur Erlangung quantitativer Aussagen verwendet werdeii sollen, ist es erforderlich, bestimmt,e Annalimen iiber den
Vorgang zu machen, der die unt,er (5) erwiihnte Abhangigkeit 1
a7 zur Folge
bat. E s ist selhstverstandlich iiicht ausgeschlosssen, daB diese auf eineni Effekt
beruht,, der nicht in deli Rahmen der bisherigen Theorie fallt,, und eiiie Modifikatiorl
derselben erforderlich niachen konnte. E s wurde bereits erwahnt, da8 sich niit
Hilfe des Bandermodells zwei illoglichkeiten zur Deubung der Beziehuiig I N a7
bieten. Diese sind:
a) In der Differentialgleichung (1) stellt a wegen der Mitwirkung der Haftstellen nicht uniiiittelbar die Wahrscheinlichkeit des ubergangs 6 - 4 dar, sondern
-
-
-
J . Fassbender u. H . Lehmann: Berechnung
Ton
Elekfronenbeweglichkeife?2
2 21
es konimt ihm iiur forniale Bedentung zu, uiid seine Grolle wircl roni Einflu8 der
Haft,stellen auf die Rekouibination abhangen. Dieser EiiifluD richtet sich nach
der Zahl der besetzten Haftstellen, und da letztere voii n abhangt, wird inan erwart,en, dall cx ebenfalls koiizentrationsabhangig ist. Uber die Art der Beziehuiig
zwischen a und n wircl inaii aus der Theorie heraus nur Aussagen inacheii koniieii,
wenn die energetkche Verteilurig der Haftstellen bekaiiiit ist. Hiiigegen ist s als
Funktion von 72 iin Gleichlichtfall experimentell gegeben, werin inan anniinint, da13
U Y auf variablein cx beruht. Bei Wechsellicht wircl 01 deii Schwandie Beziehung I
kungen VOB n nicht, nionientan folgen. Da die Abhangigkeit fi (n)durch die Anderuiig der Haftstellenbesetzung niit n bewirkt wird, sollte sich die Tragheit des
Effekts bemerkbar niachen, wenn der reziproke Wert der Modulationsfrequenz
niit der niittleren Lebensdauer eines L-Elektrons bis zur Ai&gerung an eine Haftstelle vergleichbar wird; d. h. fur groBe Frequenzen sollte y sich dein Wert
nahern.
11) Eine Abhangigkeit der Beweglichkeit der L-Elektronen von cleren Iioiizentrat,ioii diirfte in eineni Idealkristall nicht vorliegen, solaiige cliese Iionzent,ratioii
nicht Werte erreicht, die eine Eiitartung zur Folge habeii. I n uiiserein Fall liegt
im wesentlichen eine Bo1tzi:iaiiii-Verteilung \-or. Die Zahl der L-Elektronen init
der Energie E’ ist n ( E )= n f ( E )und die mittlere Beweglichkeit, b = J b (3)
f ( E )dE
ist unabhangig voii n. Anders liegeii die Verhalt,nisse jedoch, wenn die L-Elekbronen
durch voriibergeheiide Lokalisatioii in den Hsft,stelleii in ihrer Bemegung in Feldrichtuiig beeirifluflt werden. Da die Wechselwirkunp niit deli Haftstelleii konzeiitrationsabhangig ist, wird man dies auch fur die Beweglichkeit erwart,en. Uber
die Art der Beziehung b = b ( 7 . ) gilt entsprechendes wie iiii Pall (a).
Die beiden besprochenen Moglichkeiten solleii hinsichtlich der .Wechsellichtanreguiig getrennt uiitersucht werden, d a sich zunichst nicht angebeii lafit, welche
von ihnen den gr6Beren Beitrag liefert. Es wird sich zeigen, daB die Werte 7’011 n ,
b, uiid s iiur weiiig davon abharigen, welche der heiden Aniiahnlen geinacht wird,
wid daQ auch der IVert, des Exponeriteii y auf die GroBenordnung keinen EinfluB
ausiibt. Wir werden uiis bei der Rechiiuiig auf groBere Modulatioiisfrequenzea
beschraiikeii; gennuer auf Frequenzeli fiir die 1= I G / I >
~ 10. Dies ist iiach den
Resultaten der Messung fiir v > 1500 Hz stets erfiillt. Uiiter dieser Vorausset,zung
erhalt niaii einfache Naheruiigsausdriicke fur die gesuchbeii GroBen.
-
-
a) Berechnurig yon ZG und IR. fur den Pall koilstanter Beweglichkrit
1
b = const; - = j3 (1< /3<
Y
Bei Gleichlichtariregulig ist im Ausliiufergebiet
Es sei
OL = cx ( 1 2 ) ;
2).
I = e . E . L D b .n = const (13’; n =
da y ini Grundgittergebiet denselhen Wert hat, setzen wir allgeniein
Hiermit ist die Art der dbhaiigigkeit LZ- ( n ) festgelegt. Die Konstante X-, ist als
RechengroBe zu betrachten, die spater eliininiert wird. Da die Beziehung (4)
Annalen deer Physik. 6. Folge. Band 6. 1949
222
auch im Wechsellichtfall gelteri soll, folgt fur dieseu
Eiiie exakte Losuiig dieser Different,ialgleichiing ist nicht nioglich. Die uns interessiereiicle Losuiig n ( t ) wird (abgesehen voii Aiililiiigvorgangeri) periodisch mit
2 n/w sein. Zur Gewinnung eiiier Naherungslosung wird n als Fourierreihe angesetzt.
n =A,
+ 2 ( A , cos v t + B,sin vco I) = A , + 2 c, cos
Q
v
V
(Y ro t-cp,)
(6)
nfi erhalt man durch Reiheiientwicklung aus (6). Diese Ausdrucke werdeii in (5)
eingesetzt,, und die Fourierkoeffizieiiten A,, A,, B, approxiniativ so bestinimt,
da13 die Gruiidschwiiigung der Differentialgleichung geniigt,. A,, B, usw. konnen
daiin sukzessiv angenahert werden. Dies Verfnhreii setzt voraus, daD die Oberschwinguiigeii in 1. Naherung veriiachlassigt werden konnen. Eiiie Berechtigung
hierfiir 1a13t sich in der folgenderi Weise geben: Der Fehler wird fur /3 = 2 ain
groBten sein, denn im linearen Fall j3 = 1 sind iiberhaupt keiiie Oberschwingungen
vorhanden ; ihr Anteil wird also mit wachsender Abweichuiig von der Linearitat
zunehmen. Fur w + 0 1a13t sich die genaue Losung der Diff.-GI. aiigeben, da dann
n den Schwankungen der Intensitat tragheitslos folgt,. Durch Entwicklung dieser
Funktion n = k, { a p (1 cos m t ) } ” ~ ;(j3 = 2) ergeben sich die exakteii Werte
der Fourierkoeffizient.en a,, n,, 6, usw. Diese seien niit den Naherungswerten
rerglichen, die man iiach dem geschilderteii Verfahreri fur w + 0 erhalt (z = 0
gesetzt) :
a, =
0,9 k, (a,LL)”~ A , = 0,916 k , (a , u ) ’ / 2
+
A , = 0,575 k, (a p)’/a
b, = 0
B,= 0
a, = - 0,12 k, (ap)’/aA , = - 0,093 k , (a ,u)’/s
b, = 0
B,= 0
01
=
0,6 kl (a, ~ ) ‘ / a
Der Fehler ist also fur w -+ 0 klein, und iiimint mit wachsendem o weiter ab,
2
da dann der Anteil der Oberwelleii noch geringer ist. So findet nian fur w = - (arc)‘1%
kl
A , = 0,97 k, (a, ~ r ) ’ / z A , = 0,013 k, (ap ) ’ / a
A , = 0,25 k, ( a , ~ ) ” . B, = - 0,007 k, (a./ ( ) ‘ / a
B, = 0,26 k, (a p ) ’ / s .
+
Ein w-eiterer Fehler eiihteht durch die fur p
2 notwendige Reihenentwickc
L2
)einlung fur n. Uiiter Berucksichtigurig roii Gliedern der Grooenordnung (
\A,
schlieDlich erhalt man
Nach den Meflergebnisseu ist die Voraussetzung
(2)’
M
(z>’<
1bereits fur
Frequenzen voii eiiiigeii hundert Hert#zerfiillt. Durch Eiiisetzeii von (6) und ( 7 )
J . Fassbender u. H . Lehmnn: Berechnung von Elektro~iibezcelrli-hEeitei~
Dcr Gleichstroni
ist fur 5
,
p =2
sinkt er
fiir w +m.
Wenn?! , =j= 2 ist die Frequenzabhangigkeit iioch geringer. Es ist daher erlaubt,
diesen Hochstwert zu beriutzen, weiiii I@ nls Faktor auftritt.
1. I m ,4uslaufergebiet &id alle GroScii unabhkngig \-on z. Es gilt:
IG
=
1 frequenzunabhangig. Fur
223
(s. oben) fur o + 0 uin etwa 10% gegenuber seinem Hiichstwert
I = e E . L .D b n ;
I,=
eELDbA,;
L D b .2-'18
Aus (8) folgt
IT
=eE
-
uiiter Benutzung dieses Wertes fur
ist
fur groI3ere Frequelizen also:
I,
Im
= e E L D b X',(ap)Y;
e E L D b a ,u
=
p
w
(14)
(16)
'
Weiin 1 = IL./I, = 10 ist der durch Benutzung von (15) an Stelle von (13)
entstehende Fehler kleiner als 4%.
2. I m Qrundgittergebiet i s t (N = J n dz).
I = e E L b N ; I.= lh+ I s = ( e E L b ) 2 @
N = J A , dz + L { cos v w t J A , dz sin v co t l B: dz}
V
+
224
Annalen der Phyaik. 6. Folge. Band 6. 1949
bei Vernachlassigung der Oberfrequellzen also
aus den Gln. (6) his (10) folgt
daraus fur grol3ere Frequenzen
D a m liefert also A , nur einen unbedeutenden Anteil zum Wechselstroni
(Phasenverschiebung + 90”). Die hierzu notweiidige Bediiigung wurde bereits
oben benutzt. Von ihreni Zutreffen fiir 3, > 10 iiberzeugt man sich durch Integration
der urspriinglichen Ausdriicke fiir A , und B, bei vorgegebenen Werten von p. Es
ist also
IG = e
E L 6 .8. ~ , C Z ~ / { Y - ’ ;
I,.
=
eELbu
___.
(16)
)’i! w
Die erhaltenen Ausdrucke fur 1, und Ill/gestatteii eine Berechnung von n,
b utid a.
b) Berechnung yon IG unil I IimFalle
~
eines konstanten Rckombinationskoeffizienten
b = 6 ( 7 1 ) ; LX = coast.
I m Auslaufergebiet ist bei Gleichlichtanregung
I
=e
E L D b n = coilstay,
wir setzen daher allgeniein
b(z) .n(z)= k ,
(“st)‘
~
,-v/[Z
= X. n ( z ) ~ ) ‘ ; I = e E L E ,
D
J n2ydzz,
(17)
0
hierbei bestiinint sich n(z) aus der Differentialgleichung
)*
dt
= a 1‘1 (1
+ cos w z )
e-12Z-a
n2
fur deren naherungsweise Losung das unter (a) erwahnte Verfahreti benutzt wird.
+ 2 (a, cos v w t + B, sin v co tz).
n ( z ) = 8,
Durch Entwicklung folgt
n2y((2)=~;’/+y
(2y-11),4;(v-11
+ 2 y A;
y
-
1
r$e-p.-~;,
. s c, cos (v u t - pJ,
J . Fassbcnder u.H . Lehmmin: Berechnung von EleX-f~onenbezi~egliciiX-eiten 225
R U ~(8)
erhalt man
ay (5)M
("y
e-
I ' /' z
cc
I
1'-
le-E'Z
17,
?(.lanpe-"'+
cu?)~
3
so da13 fir grol3ere Frequeiizen
,4;Y ( 2 )
= (a!l)Ye-wr
n
.
Demnach gilt fur IG (deeseii Frequenzabhangigkeit wieder geriug ist) und fur I ,
n
fiir groBere Freqnenzen also
und schliel3lich nach Einsetzen voii k, atis (17)
(31)
226
Annalm der Physik. 6. Folge. Band 6 . 1949
IV. Disknssion dcr Ergebnisse
Die niit dell Ansatzen (a) uiid (b) geworlllelien Resultate, sowie eiriige weitere
Beziehungen, die sich uninittelbar aus illlien ergeben, sind iin folgenden zusamniengestellt :
Auslaufergebiet:
(a)
(b)
)’2 0 I , ,
b=
B 0 IWb=
e E L a (L D
1/2 e E L n p
D
G r u 11 d g i t t e r g e b i e t :
n (0) = n fur z = 0; entsprechend 6 (0) urid a (0)
A= pipwk,
(a p ) ’ - Y
@/lw
.
- ___.{u,Ia[o)p’
-
A=
P (P + 2) w
$11
(a ( I a)‘/~ ‘
Es zeigt sich also, daB die nnch (a) und (b) erhaltenen Ausdrucke nur unerheblich
voneiriaiider abaeichen. Fiir /j’ = 2 sind sie natiirlicli identisch, aher auch in dem
extremen Fall = 1 unterscheiden sie sich im Grundgittergebiet lediglich U ~
einen Faktor 1,33 fur n und b (1,75 fur 0);in1 Auslaufergebiet uin einen Faktor 2
(bzw. 4 fur a).
Eiii Vergleich der ails den t,heoretischen Vorstelluiigen abgeleiteten Beziehuiigen
fur die Photostrome la und I , niit den MeBresultaten zeigt, daB eiiie Ubereinst,imniung besteht, deren Grad man angesiclit,s des Naherungscharakters 7’011 Ansatz.und Losung wohl als befriedigencl bezeichnen kana. In1 einzeliieii sei hierzu
folgeiides angefuhrt.:
1. Fur den Gleichstroimnittelwert ergiht sich nach der Theorie eine griiige
Frequeiizabhangigkeit derart, daS init wachseiider Wrequenz eiiie Zunahnie von
einigeii Prozeiit erfolgen soll. Dies wird durch die Messungen beatitigt.
2. Der Wechselstrom jst fur groBere Frequenzen iiach beiden Ansatzen unigekehrt proport~ionalzur Frequenz (uiiabhiingig voni Expoiieiiteii /j’). In eiiier doppelt
logarit,hniischen Darst,elluiig sollten die Frequenzkurven (fur 1 > 10) Geraden
sein, die unter 45” abfallen. Eiii Vergleich niit. Abb. 4 zeigt, daB der Abfnll meist
etwas schwacher ist, doch siiid die Abweichungen gering.
I
J . Fassbender
11.
H . Lehmann: Berechnung eon Eleklronenbeweglichkeiten
3. I m Fall (a) ist bei fest,er Frequeiiz
fw
-aY-t'Jr.
I,
-
227
a,; iiri Fall (b) ist bei fester Frequenz
Der Exponent y wurde bei den1 verwendeteii Iiristall durch Gleichlichtmessungen zu 0,85 bestiinnit,. Fur Elektronenkonzentrationen, die bei den angegebeiien
Spaltabniessungen Photostroine > 0,7 111-4 bewirken, ist y = 0,55. Die beobacht,ete Intensitatsabhangigkeit ist beiin Vergleich cler Mel3reihen 1: 2 iiahezu
Iw - a . Zwischen den MeRreiheii 2:3 wird sie hiiigegeii besser durch Iw N a1,3
wiedergegeben. Dies laBt sich durch die verschiedeiieii Exponenten deuten, und
wurde fur eiiie konzent,rationsabhangige Beweglichkeit sprecheii. Die beideii aiideren uiit,ersuchteii Kristalle zeigeii ein ahnliches Verhalten. Indessen durfteii
nur ausgedehntere Messuiigen hieruber endgultige Aussagen gestatten.
4. Iin Falle (a) erhalt inan bei festem u) gleiche Wechselstronie irn Grundgitterund Auslaufergebiet, weiiii fur die anregenden Intensitaten a, = a, p, D gilt.
I m FalIe (b) ergibt die gleiche Bedingung (,xa,R~ s. unten):
Mit den geinessenen Werten \.on I , und a folgt hieraus fur p bei 5600
a:
(a) / L P3 2 c111-1
(11) p w 20 cni-1.
Ejiie direkte Bestiminung des Absorptioiiskoeffizienten sollte deshalb eine
Klarung der Frage ermoglichen, welcher der beiden Falle uberwiegt.
5 . Abb. 4 zeigt in Verbindung niit den aiigegebenen Ig-Rerten, daR fur gleiche
Wechselstronie iin Grundgitter- uiid Auslaufergebiet bei festenl OJ : Ig/Ia M 2.
Die ubrigen Kristalle verhalten sich ahnlich. Dies bedeutet bei eiiiem Zutreffen
der theoretischeii Vorstellungen, da13 der Rekoinbiiiatioiiskoeffizient iiii Grundgitter- bei gleichen n-Werten eirie andere GroRe hat als in1 Auslaufergebiet.
Genauer ist iin Fall (a):
6. Die inittlere Lebeiisclauer der Elektronin iiii L-Band la13t sich in eiiifacliet
Weise anpehen :
Nach (a) rekouibinieren pro sec (n/X.,)P Elektroiieii ; dies eiitspricht eiiier inittlereii Lebensdauer z = X f / E f i - 1 fiir dcii zeitlichen Mittelwert Z. Moduliert man
das aiiregeiide Licht niit einer Frequenz 1'" = l/z, so erhalt man nach (13) 3, ~3 9.
Fur den Fall (b) findet man aiif annloge Weise fur yo = 1/r: lbw 4,6 . p . Die
M'erte fur z kann man also den Rlel3ergebnissen entnehnien. Demnnch ist
z = 2 . 10-3 bis 5 * 10-4 sec.
l2*
228
Annnleii der Physik. 6. Folge. Bund 6. 19$9
7. Ejiie Berechiiiing der Elektroiieiikoiizciitratioii, Bemeglichkeit uiid des Rekombiiiatioiisltoeffizienteii nach deii angegebeiieii Foriiielii liefert folgeiide Ergebnisse :
Heveglichkeit (cni . we-1 /Volt
22
26
29,2
3-46
3'3
38
1250
2000
3333
6000
so00
100OlJ
. ciii-1)
13,2
13,4
12,O
11,5
9,6
30
34,2
39
44
46,5
46,5
40,4
48
43
40,5
42
3G
38
41
43
43,s
Die ini Ausliiufergebiet (4 uiid 5) angegebeiieii Werte beziehen sich auf einen
Absorptioiiskoeffizieiiten. !i = 2 en-1; (1. h. sie entsprecheii der Aiiiiahnie kon= 20 ci1i-l wid die Beweglichstaiiter Beweglichkeit. Iiii aiiclereii Fall ware ,i~
lieiten in dieseiii Gebiet ergeheii sich iini eiiie GroBenordiiuiig kleiner. Die iiiit OJ
etwas aiisteigeiideii b-Werte driickeii die Tatsache aus, daB Iw init der Frequenz
iiicht ganz so stark abfiillt, \vie es theoretisch zu erwarteii ware. Die Werte fur n
uiid cx s c l i ~ ~ a n b eehenfalls
n
etwas iiiit der Frcqueiiz. Fiir Y = 5000 Hz findet inan:
2,2 . 1016
8 . lo-"
n (0)
Lx
(1')
7,4 * 10'9
1,7 *
2
.1015
1,3 .
7 1012
l , 2 . 10-1'
2 , 5 . 1013
8 . 10-11
GroBeiiordiiuiigeniaBig ergibt sic11 ale0 folgeiides Bild:
1. Iiii Gruiidgittergebiet fiir eine Lichtinteiisit6t a M 1 0 1 4
71
(0)M
1010;
o
20-40;
0L
w 10-13.
2. Iin Auslaufergehiet ist (fur n m 2%je i i x h deiii aiigeiioiniiieiieii~i-Wert:
(a) p = 2 cm-1; 71
2.1013; b % 30--40;
10-10
(11) /" = 20 cni-1; ?L M 3 * 10"; b w 2-3; 31 % 3 * 10-12,
Die aiigefiihrteii Zahleii koniieii sel~Jstverstaiidlichkeineii Siispruch auf iiiehr
als groBeiiordnuiipsinaBige Geriauigkeit erhebeii. Dies liegt darin begrundet, daB
die theoretischen Vorst,elluiigen iu quaiititativer Hiiisicht sicher iiur eine erate Naherung darstellen. Iiniiierhiii wird niaii eine weitere Stiit,ze fiir die qualitative
Rklitigbeit des zugrundegelegteii Modells in der Tatsache seheii diirfeu, daB sich
fur die erinit,telteii GroBen durcliaus plausible Werte ergebeii. Diese stiimnen
liiiisiclit,lich dcr Elelitroneiikonzeiitrntioii uiid des Rekonibiiiatioiiskoeffizieiiten
iiiit den Aussageii der Theorie der Phosphore iibereiii. Die Elekt,roiieiil)e\~eglichkeit
eiitspricht etwa der voii Metallen. Sic liegt zwischeii deii Wertcii, die fur die Beweglichkeit in polareii ICrist,alleiiuiid in hornoopolareii Kristalleii angegebeii werden
Dies steht iii Eiiiklang dainit, daB C'adniiumsulfid hiiisichtlich seiner Binduiigsverhaltnisse sicherlich zwischeii polareii uricl homoopolareii Substaiizeii rangiert.
B e r l i n - B u c h , Iiistitut fiir Festkorperforschung der Deutscheii Akademie der
~~7isseiischafteii
zu Berlin.
(Bei der Rcdnktioii ehigegangen am PO. Juli 1949.)
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