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Berechnung von Feldern in Dielektrika.

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G. ROPKEu. A. ZEHE: Berechnung von Feldern in Dielektrika
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Berechnung von Feldern in Dielektrika
Von G. R ~ P K und
E A.
ZEHE
Mit 3 Abbildungen
Abstract
A method is given for the approximate calculation of the internal field of dielectrics.
The applicability is proved for a cylindrical dielectric by measuring the resonant frequency
shift occuring, when the samples are inserted into a region of maximum electric field of a
cavity resonator.
~~
1. Bisheriger Stand
Nur in ganz wenigen Fallen liiI3t sich das elektrische Feld Q(t) bei Anwesenheit eines KBrpers mit der Dielektrizitiitskonstanten E berechnen (siehe z. B.
[l, 21). Man betrachtet KBrper von ganz spezieller Form, die in ein spezielles
elektrisches Feld E0(K)gebracht werden. Fur einen geschickten Ansatz ld3t sich
dann zeigen, daD an der Oberfliiche des Dielektrikums die Grenzbedingungen der
Felder erfiillt werden.
Analog dazu ist die Berechnung des magnetischen Feldes B (t)bei Anwesenheit eines Korpers mit der Permeabilitiitskonstanten ,u ein ungelostes Problem
der Potentialtheorie. Nur fur das Ellipsoid und seine entarteten Formen, im
Grenzfall p 4 1 und bei einigen zweidimensionalen Problemen in der Grenze
,U -+ 00 lassen sich LBsungen angeben ( [ 3 . . . 6 ] ) . Schon in dem fur die Praxis
wichtigen Fall des zylindrischen oder quaderformigen Stabes kann der Entmagnetisierungsfaktor kaum berechnet werden, man ist auf ein Rotationsellipsoid
als Niiherung angewiesen. Es ist aber nicht genau klar, welche Form dieses Rotationsellipsoid haben sol1 und welches die nachste Niiherung ist.
Hier sol1 ein Niiherungsverfahren zur Berechnung des Feldes E (K)angegeben
werden, welches entsteht, wenn ein beliebig geformter Korper der relativen Di(r) gebracht wird.
elektrizitatskonstanten E in ein beliebiges Feld
2. Naherungsmethode
Das zu behandelnde Problem liil3t sich folgendermaflen formulieren : Das
innere Feld E i ( r ) erzeugt eine Polarisation b = E ~ ( E- 1)Qj. Diese Polarisation
erzeugt auf dem Oberfllchenelement A 3 des Dielektrikums eine Polarisationsladung Aq = opal AF = !$ * A S . Diese Polarisationsladungen wiederum erzeugen nach dem ConLoMBschen Gesetz zusammen mit Eo(t)das innere Feld
-
(1)
Die Integration erstreckt sich uber die Oberfliiche des Dielektrikums, d’& zeigt
nach auBen, t,, zeigt vom Aufpunkt r, zum Integrationselement z2.Der Zusam-
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 22, Heft 1/2
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1968
menhang von @, (r) und Gi(r) ist linear :
'p(r) = E ~ ( E- 1) &(t) = E ~ ( E- 1)a ( r ) Eo(r).
(2)
Die GroDe a ( r ) ist, im allgemeinen ein Tensor ((3, braucht nicht in der gleichen
Richtung zu liegen wie @,) und hBngt vom 01%
ab (die entelektrisierende Wirkung der Polarisat,ionsladungen ist an den einzelnen Punkten verschieden).
Urn b (2) bzw. Q(r) aus den Gln. (1)und (2) zu bestimmen, machen wir zwei
Niiherungsannahmen: Wenn der dielektrische Korper in das Feld $(r) gebracht
wird, stellt sich eine Polarisation ein, indem die Ladungen dem Feld folgen.
Wegen der Oberfliichenladungen, die dabei entstehen, folgen die Ladungen nicht
ganz dem Felde Go,sondern nur in einem gewissen Grade. Wir nehmen als Naherung an, daI3 die Ladungen im ganzen Korper im gleichen Grade dem Feld &,
folgen, d. h. OL = const. Weiterhin nehmen wir an, daB die Polarisation des Dielektrikums angeniihert in Richtung von $(r) erfolgt, wir betrachten also die
Projektion des Zusatzfeldes von den Polarisationsladungen auf die Richtung von
60b).
b1,Auf
der Oberfliiche des Dielektrikums erzeugt QlLadungen, die ein Zusatzfeld im
Dielektrikum liefern. Ware das Gesamtfeld im Dielektrikum uberall gleich
6,= ' $ l / ~ o ( ~ - l), so ware das Problem schon gelost. Im allgemeinen wird die
Polarisation der ersten Nliherung noch nicht das Problem losen, es wird ein Feld
GeiiiaB diesem a1 betrachten wir eine erste Niiherung der Polarisat,ion
weiterhin auf den Kijrper wirken und eine zusatzliche Polarisation Q2(r) erzeugen, welche sich aus (3, (r)berechnet wie bl aus $, usw. Die Frage nach der Konvergenz des Verfahrens kann hier nicht behandelt werden.
3. Einfaehe Beispiele
Wir wollen uns zuniichst einige Beispiele amsehen, bei denen man die exakte
Losung (mit OL = const) schon kennt. In diesen einfachen Fiillen fuhrt bereits
die erste Naherung zum Ziele. Fur den unendlich diinnen Draht, die unendlich
ausgedehnte Scheibe und die Kugel im homogenen Feld laBt sich das Oberflachenintegral in OL ohne weiteres ausrechnen. Als spezielles Beispiel sei das Rotationsellipsoid im homogenen Feld angefiihrt (Abb. 1,Aufpunkt im Mittelpunkt) :
tg6'
=
a2
-b2t g 6 ,
7
8' 8
sin B d B
J GiqF-86)
'
2n
0
'I:
:.-:
Fo(&
- 1)
1 ($0 '
C08
cos
63
G . R ~ P K Eu . A. ZERE: Berechnung von Feldern in Dielektrika
Ebenfalls einfach ist die Behandlung einer Punktladung vor einem dielektrischen
Halbraum, als Aufpunkt rl kann man z. B. den Spiegelpunkt oder den Punkt
direkt hinter der Grenzebene wiihlen. Es ergibt sich
Es ist naturlich keineswegs iiberraschend, daR hier schon in der ersten Naherung
das richtige Ergebnis herauskommt. Bekanntlich ist fur das Ellipsoid im homogenen Feld und fur die Punktladung vor einem dielektrischen Halbraum die
Niiherungsannahme exakt richtig, u(r) = a1 = const. Dagegen wird fur einen
komplizierteren K6rper in einem komplizierteren Feld LY (r) nicht mehr ortsunabhangig sein, deshalb niiissen dort weitere Niiherungen mit den entsprechenden
aI,a2,. . . berechnet werden.
Im
2L
I
2R
Abb. 1. Rotationsellipsoid
Abb. 2. Zylinder
4. Dielektrischer Stab
Etwas schwieriger zu behandeln ist der dielektrische Zylinder im homogenen
Feld. Fur die erste Niiherung legen wir den Aufpunkt in den Mittelpunkt z = 0,
tlamit aie in mBglichst groRem Gebiet schon recht gut wird, und erhalten (Abb. 2) :
Diese homogene Polarisation ist nur die erste Niiherung. Bei unserer Wahl des
-4ufpunktes wird das Feld, das sie liefert, in der Ebene z = 0 nach auBen etwas
zu schwach und auf der z-Achse a n den Enden zu stark, um die Polarisation aufrechtzuerhalten. Es bleibt ein Feld El(4) ubrig, welches in der niichsten Niiherung die Entelektrisierung an den Enden des Zylinders liefert.
Die Integrationen, die bei der nachsten Nliherung vorkommen, sollen hier
nicht exakt, ausgewertet, sondern nur iiberschlagen werden. Urn das u p fur die
Gchste NBherung zu berechnen, legen wir den Aufpunkt, rl in die Mitte einer
Stimflache, da hier Q, noch groB ist, d. h. unsere Naherung war hier noch schlecht.
Die zur Oberflache senkrecht,e Komponente von Elwird niiherungsweise so be-
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Annalen der Physik
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7. Folge
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Band 22, Heft 112
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1968
rechnet, indem die Ladung einer Stirnflache, Dicbte a, = i $' ,I
im Mittelpunkt
vereinigt wird. (Die exakte Feldstiirke ist etwas groBer, dafiir aber auch stiirker
gegen die Oberfliiche geneigt.) So wirkt die andere Stirnfliiche an r, fur LIR
1
nach dem CouLoMsschen Gesetz wie eine im Mittelpunkt vereinigte Ladung :
n R2a,/4n&,* 4 L2,dagegen fiir LIR Q 1wie eine unendlich ausgedehnte Schicht :
u , / ~ E ,Insgesamt
.
IiiiBt sich das Feld etwa durch ?L
I
interpolieren. Die
>
1
2e0 1
+ 8L2/Rz
Normalkomponente des Feldes der eigenen Stirnflache a n rl ist a,/2~,.Somit ergibt sich eine Normalkomponente von (3, auf den Stirnflachen
Die Normalkomponente von
rJlla,
auf der Mantelfliiche wird anniihernd
nR_
Z a ,_
.R ~-- - - n R 2 a , . R
=
_
~
_ ~
_
_
4ne0 l/Rz + ( L - z ) ~ * 4 n ~]hz
,
(L
-
+
+3'
So erhiilt das Oberflachenintegral von a2fur unser r1 die Reitrage : von der eigenen Stirnflache 2 n, von der Gegenstirnfliiche
von der Mantelfliiche
Der erst,e Teil des Integrsls fuhrt zu
der zweite Teil liiBt sich fur LIR
>> 1 genahect. auswert.en (Abb. 3 )
zii
2L
Abb. 3. Langer Stab
<<
fur LIR
1 geht der Beitrag der Mantelfliiche gegen 0 mit L2/R2.Insgesamt
geht das Oberfliichenintegral fur LIR Q 1 gegen 4n, fur LIR
1 gegen
9
11 RZ
7
1
-- n - - x - : das wird einigermaRen approximiert durch 4n - - x -4
32 L2
1 1 + 1.1 HZ'
-.
>
56 I,?
G. ROPKE11. A. ZEHE:Berechnung von Peldern in Dielektrika
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Damit ergibt sich eine Oberflachenladungsdichte o, = eO(e - 1)
die zu
oIhinzukommt. Die Enden werden nicht so stark wie ursprunglich mit Flichenladungen belegt, dafur aber die Mantelflache in der Niihe der Enden. So errechnet, sich das Dipolmoment des Zylinders in 2. Nilherung zu:
L
I +WR~
RZ
+ 2Lz
+ 1/p +
4L2
-
Rl
(7)
Der erste Term beschreibt eine homogene Polarisation, bei der die Polarisationsladungen auf den Endfliichen beriicksicht,igt,wurden, die iibrigen die Entelektrisierung an den Stabenden.
5. MeEcrgcbnissc
Das Ergebnis des vorigen Abschnittes wurde gepriift, indem das Dipolmoment eines zylinderformigen Dielektrikums im homogenen Feld errechnet und
gemessen wurde. Dazu wurde die h d e r u n g der Resonanzfrequenz eines HI&Resonators im X-Band bei Einbringen von Proben aus Sinterkorund a n die
Stelle maximalen elektrischen Feldes ermittelt. I n der 1. Ordnung der Stiirungstheorie errechnet sich das Dipolmoment der eingebrachten Probe aus
ist die Anderung der Resonanzfrequenz, vo = 9 351 MHz die Resonanzfrequenz des leeren Resonators, V , = 2,579 * lo4 mm3 das Resonatorvolumen. Fur
eine zylinderformige Probe aus Sinterkorund E = 7,44 f 1%, 2L = 4,76 mm,
2 R = 1,225 mm wurde ein dv = 19,4 MHz f 1%gemessen. Daraus ergibt sich
ein reduziertes Dipolmoment \pl/eoEo= 2C,,75 mm3 1%.
Seine Berechnung nach (7) liefert 1pl/soE0 = 29,67 mm3 - 2,80 mm3
:
26,87 mm3. Der erste Term kommt von der 1. Niiherung, der zweite von der
2. Naherung. Die Korrektur infolge der Entelektrisierung der Enden betriigt in
unserem Falle etwa 10%. Das Ergebnis stimmt innerhalb des MeBfehlers rnit
dem experimentellen Wert uberein.
Ziim Vergleich erhalt man, wenn man wie ublich den Zylinder durch ein
b
R
volumengleiches Rotationsellipsoid mit dem Achsenverhiltnis a = anniihert ,
cine homogene Polarisation im Inneren gemal) (5). Sie ergibt eine reduzierte Polarisation 1 p I/eo E, = 2 4 , l mm3. Dieser Wert ist wesentlich zu klein, er liegt weit
auBerhalb des MeBfehlers. Resonders schlecht wird die Niiherung durch ein
Ellipsoid fiir L w R.
Ail
-
6. Weitere Anwendungen
Diese Messungen wurden auch fur eine quaderformige Probe aus Sinterkorund durchgefuhrt und ergaben innerhalb der MeBgenauigkeit nbereinstimmung mit dem niiherungsweise dafiir berechneten Ergebnis. Man konnte aucli
,j Anri. Physik. 7. Folge, Bd. 29
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Annalen der Physik
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Band 22, Heft lp2
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zumindest durch numerische Verfahren einen Faktor berechnen, der dss Verhalt,nis des Dipolmomentes, z. B. eines Wurfels zu dem einer Kugel, angibt.
Es sol1 noch darauf hingewiesen werden, daB die hier dargestellte Methode
der Berechnung von Feldern in Dielektrika auch das Feld auBerhelb des Dielektrikums liefert. Sie kann deshalb fur die Berechnung von Feldern aul3erhalb von
Leitern benutzt werden, es ist dabei E = 00 zu setzen. Statt LY betrachtet man
zweckmtiBigerweise die endliche GroBe ( E - 1) a.
Weiterhin l&Btsich fur die Berechnung des Feldes eines beliebigen geladenen
Leiters ein iihnliches Ntiherungsverfahren angeben. Dabei geht man von einer
FlLchenladungsdichte a,, entsprechend der Gesamtladung auf dem Leiter aus.
Man kann diese moglichst geschickt ansetzen und dann iiber die Berechnung des
Feldes iterativ verbessern (siehe auch [7]).
-
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D r e s d e n , Institut fur Theoretische Physik der TU und
Lei pzig , Physikalisches Institut der Karl-Marx-Universitiit.
Bei dcr Redakt.ion eingegangen am 20. Miliirz 1968.
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