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Berechnung von Kupffer's Beobachtungen ber die Elasticitt schwerer Metallstbe.

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219
IJ.
Berechnung von Kupffe r ' s Beobachtungen
uber die Elasticitat schmerer Xetallstabe;
won K a r l Z o p p r i t a .
J l i e in dein friiheren Aufsatz
dargelegte Tlieorie
will ich benutzen , uui eine Reihe hiiclist 'ausgezeichneter
Beohachturigeii vou K u p f f e I' zu berechrien. Dieselbcn finder) sic11 niedergelegt in dein W e r h e : Recherches expdrimentales sur 1'6lasticite des rnitaux par Th. K u p f f e r ,
S t . Petersbourg 1860 '). Mdn hanil wohl sagen, dals aul
dem Gebiete dcr Elasticitat noch niernals Beobachtungen
mit einem solrlien Itohen Aufwmd von Mittelu und Sorgfalt angestellt siud, als die in dem erwihnteli W e r k e mitgetheilten. Uiiisomehr ist es zu bedauern, dafs aus diesem
kostbaren Material wegeii Mangels einer strengen Tbeorie
hislier noch nicht so sichere Resultate haben gezogen werden konnen, wie es der Vorzuglichkeit der angewandten
Instruinente und Methoden eutsprechend ware.
Die Scbwierigkeit bei der Berechnung jener Versuche
liegt hauptsachlich in dein sehr inerklicheil Ei~iflufs der
eigenen Schwere der Stabe. Diese besitzen nBmlich Langen voii 25 bis 50 Zoll bei einer Breite von 1 Zoll und
einer Dicke von his 2 Linien, so dafs ihre Gewichte
von f Pfund his 4 Pfund (beim Gold) variiren.
Die Metalle, welche untersucht wurdeu, siud : Mcssing
( Cuivre jaune) worauf sich die rneisten IJeobachtungen
heziphen, Stahl, Eisen, Kupfer; und zwar wurden dime
vier Metalle in rerschredenen Zubereitungsarten und Zustanden untersucht. Dazu koinmen noch Beobachtungen voii
Zink, Silber, Gold urid Platin. Die Stabe aus diesen Metallen siud grol'stentheils von R e p s o l d gearbeitet init Verwendung der aufsersten Sorgfalt auf Homogenitit uod
strerig geometrische G'estalt. W a s die Methoden der Beobachtung betrifft, so mufs ich auf das W e r k selbst rerwei1 ) Diese Ann. Bd 128, S. 139.
a d K r i i n i g ' s Journal liir Physik des
2)
huslaodes
Bd.3, S . 3'25,
220
sen, wo die Instrumentc usw. aufs Vollstandigste beschrieben siod.
K u p f f e r legte den Schwerpuukt seiner Untersuchungen
in die Beobachtung der Schwingungen am Ende belasteter
Stabe, ein Verfahren, welches ails dem Grunde eingehalten
wurde, um die Schwingungsdauern griifser und soinit leichter zahlbar zu niachen. Indem nun mit deinselben Stab
bei derselben Lange und deinselben angehangten Gewichte
je zwei correspondirende Beobachtungen, einmal bei Gewicht oben, eiumal bei Gewicht uriten angestellt wurden,
glaubte K u 1) f f e r ' durch deren Combination die eigene
Schwere des Stabes und das angehangte Gewicht eliminiren
zu konnen. Dieb Verfahren, auf welches ich am Schlusse
kurz zurockkornmen werde, enthalt eine Voraussetzung,
wovon inan auf den ersteri Blick einsieht, dafs sie niqht
erfullt seyn kann: die Voraussetzung, d a k der Stab dieselbe Kruinmung annimmt, einerlei ob das Gewicht unteii
(wie beim Pendel) liengt oder bei aufrecht emporstehendem Stab aoi oberen Ende festgekleinmt ist. Man sieht
aber von vornherein, dars im letzteren Falle, wo das Gewicht vou oben driickt, der Stab eine vie1 starkere Kriimmung annehmen wird, als im ersteren, wo das Gewicht
ihn gerade zu ziehen strebt.
Ich habe in meiner oben schon citirten Habilitationssclirift ' ) gezeigt, dak die Schwingungen belasteter Stabe
dur'chaus keine so einfachen Endforineln ergeben, urn die
von K u p f f e r aiigewaudte Cornbination erfolgreich zu machen, dafs diesclbe jedoch richtige Kesultate zu liefern
vermag bei uiibelasteten Staben. Auch fur diese Letzteren
wird jene Combination uberflussig, weil man nach meiner
in der obigen Abhandlung auseinander gesetzten Theorie
aus jeder einzelnen Beobachtuug eiu selbstandiges richtiges
Resultat ziehen kann.
Nach dieser Theorie siod nun im Folgenden alle die1) Z Bp p r i t z ,
Theorie der Querschwingungen eioes elastischen, am Ende
belasteten Stabs ( I n Comm. bei Schubart'und S e i d e l in Kanigsberg).
221
jenigen von K u p f f e r mitgetheilten Beobachtungen berechnet, bei welchen der Stab f u r sich, ohne angehaugtes Gewicht schwang. Die Theorie der Schwingungen schwerer
belasteter Stabe Iafst sich auf die der Schwingungen schwerloser belastetcr nach denselben Prinripieu aufbaueu, wie
das Problem des schweren unbelasteten Stabs auf das gew t h l i c h e Stabproblern. Da aber der schwerlose belastete
Stab in der citirten Schrift vollstdndig crledigt ist, so war
es mir auch moglich, dicse Zuriickfuhrung auszufuhren und
die transsceridente Gleichung aufzustellen, welche der Gleichiing ( 2 1) der vorigen Abhandlung entspricht. Dicse
Arbeit ist indesscn cine wegen der algebraischen Rechnung
adserst miihselige und zeitraobende und die Endform der
Gleichung so complicirt, dars ich inich bisjetzt norh nicht
zu einer Berechnung der Kupffer’schen Beobachtungen
danach habe entscliliefsen konnen untl solnit der griifste
Theil dieses ausgezeicbrieteu Rlaterials noch unvollkommen
benritzt liegen bleibt.
Die Bcobaclitungen beziehcn sich auf die Schwingungsdauern. AUS diesen sol1 der Elasticit~tsmodul bestimlnt
werden. Diefs kann nun sehr leiclit vermoge der Formel (30)
der vorhergchenden Abhandluiig geschehen. Es ist:
Es war friiher abkiirzend a 1 = il gesetzt worden worin
a: den W e r t h ( IS) hatte.
7.c
Da nun m = - so wird:
T’
wenn bei der Erhebung auf die viertc Potenz die hoheren
Poteuzcn der kleinen ncben der Einlieit etehenden GriiLe
vcrnachlassigt werden. In dieser Gleichung ist b2 die zu
bestimuiende Unbekannte. Dieselbe kommt rechts in einer
selir kleinen G d f s e vor. Lasse ich letztere weg, so erhalte ich einen augendherten W e r t h von bZ durch die
Gleichung:
222
namlich:
1
1; T 2
-=-14
b2
nz*
I
Setzt inan diesen in der kleinen Grofse oberi fur ein,
b’
so crhalt map his auf Grofseri erster Ordnung incl. genau:
woraus :
Setzt man fur b2 seinen W e r t h ( 5 ) oder ( 6 ) , ,so. erbllt
man fur einen rechteckigen Querschnitt von den Seiten a, h:
oder mit (28) und (29):
M=
- 1,57368 f 1
PZ3
--
(A)
Fur einen krcisf6rmigen Querschnitt vom Radius 4 wird:
oder
Andere Stebe als von rccbteckigem oder kreisfisrmigem
Querschnitt hat K u p f f e r nicht angewairdt.
Die Maafse in dem Kupffer’schen W e r k e sipd ausgedriickt in russischen (engl. ) Zollen. Hierin ausgedruckt
ist die Schwerbraft:
= 3 ~ 1 , ~log g = 2,58723.
Das Gewicht ist das russische Pfund =409,512 Grm.
K u p f f e r hat nicht den Elasticitiitsmodul, sondern des1
Sen reciproken Werth 6 = ,w berechnet, d. h. diejenige
Uilatation, wclche die Langeneinhcit einer Faser des bctreffenden Stoffs voii dcr Einbeit des Querschnitts diirch
die Gewichtseinbeit = 1 Pfd. erfihrt.
223
I
StHhe von recliterkigem Qnerschaitt.
In deli folgenden Tabellen, welche die Beobachtungen
a n prismatischen Stahen nach Forinel (A) berccliuet ent-
halten, stebt in der Ueberschrift die Numnier dcs VOQ K u pf f e r angewandt1.n Stabs und die Seitrnzahl seines Werks,
wo die Beobachtung daran cerzeichnet ist. Die Hezrichnungeti sind :
P das Gewicht des schwingenden Theils des Stnbcs in
Pfunden,
I die Lange des schwingenden Theils des Stabes in
Zollen,
a seine Breite in Zollen,
h seine Dicke
T die Schwingungsdauer in Sccunden hei fieiem Ende
unten,
T, die Schwingungsdauer in Srcunden bei freieoi Ende
oben.
)J
JJ
M der Elnsticitatsmodul, na = n
In der letzten Zeile steht jedesmal der Mittelwerth
von na aus den correspondirenden Beobachtungen, daneben
I
das zugehiirige S = - und dann die Abweichung der zwei
M
Einzelwerthe vom Mittel, ausgedruckt in Theilen des ganzen Werthes.
In drr Zahl fur 6 steht die eiugeklammerte ( 7 ) an
Stelle volt 7 Nullen, so dafs z. B.
0,(7)77 49.5 = 0,000000077495,
Messiogstab So. 4,
S. 135.
12891
P = 2,96847 1-= 47,4712 T 10,20200
a = 0,99917 h= 0,19029 TI= 0,31625
m=l12914
Mittelweftla: ME 12902; 6 = 0,(7)77495; Abw.=&&,G.
Messingstab, 50.2
S. 147.
P = 1,55186 I = 48,209 T = 0,48725
=f 1 3868
a = 0,99729 h= 0,09642 TI= 0,77917
. 1383 I
iljittelwerth: na= 13639; S = 0,(7)72206; ~bw.=&&,.
224
Derselbe S.
148.
P = 1,12210 1= 35,548 T = 0,2960
13528
“=113m
a = 0,96729 h= 0,09642 TI= 0,3550
Mittelwerth: na= 13320; 6 = 0,(7)73965; Abw.=&&p
1
Messingstab No. 1, S. 156.
m = 17628
P = 1,6871 1 1 = 47,9775 T = 0,4475
17631
a = 0,99742 h= 0,09713 T,= 0,6422
Mittelwerth: rn= 17629; 6 =0,(7)56723; Abw.=*i&p
1
Derselbe S. 158.
P=
m= 17586
1,16484 I = 35,2125 T = 0,2625
17601
u = 0,99742 h= 0,097 13 Tl= 0,3015
Mittelwerth: m= 17595; 6 = 0,(7)56843; Abw.=*&p
Messingptab No. 7, S. 172.
3,0089 1 = 47,837 T = 0,2640
m=115101
15399
a = 0,99137 h= 0,19109 Tl= 0,2915
Mittelwerth: m= 15400; 6 = 0,(7)64937; Abw.=&-L l 5 0 m
P=
Messingstab No. 8, S . 178.
m,l18063
P = 3,11815 2 = 47,831 T = 0,2495
18068
u =0,99137 h= 0,19109 Tl= 0,27225
Mittelwerth: m= 18066: 6 = 0,(7)55354; Abw.==k7&.
Messingstab KO. 9, S. 182.
3,10918 1= 47,781 T = 0,2555
Q = 0,99137 h= 0,19109 Tl= 0,2800
Mittelwerth: m= 17035; 6 =0,(7)58702;
P=
Messingstab No. 5,
m=l
17026
17045
m=l
16754
16737
Abw.= *&a.
S. 189.
P = 2,98808 1 = 48,935 T = 0,27893
Q = 0,98954 h= 0,18224 T,= 0,31126
Mittelwerth: m= 16746; 6 = 0,(7)59716; Abw.=*&+
Messingstab No.
6, S. 192
P = 1,52058 1 = 48,933 T = 0,48350
=I’”
16751
u = 0,98100 h= 0,09332 Tl= 0,75275
Mittelwerth: m= 16731; IS = 0,(7)59760; Abw.=*-’ 906‘
225
Derselbe S. 193.
P = 1,19455 1 = 38,4415 T = 0,32250
a =0,98100 h = 0,09332 Tl= 0,40025
16901
m'[16551
Mittelwerth: m = 16726; S = 0,(7)59795; Abw.=-C&.
Mit dem Messingstab No. 3 sind leider keine Versuche
ohne angehiingtes Gewicht angestellt.
Stahlstab No. 5 , S . 196.
P = 1,52809 1 = 47,8845 T =0,3210
=I32942
a =0,99885 h = 0,10208 Tl= 0,3740
33016
Mittelwerth: m = 32980; 6 = 0,(7)30322; Abw.=&&.
Derselbe urngekehrt, S. 210.
P = 1,58051 1 = 49,5204 T = 0,3398
TI= 0,4018
Mittelwerth:
(33202
m-is3304
m =33253; 6 = 0,(7)30073; Abw.=&&.
Derselbe S. 211.
P = 1,58481 1 = 49,662 T = 0,3406
Mittelwerth:
33434
"=I33292
m =33363; 6 = 0(7)29973; Abw.=-C m
P = 1,27919
1 = 40,085
Tl= 0,4045
Derselbe S. 213.
Mittelwertli:
T = 0,2315
=]32902
TI= 0,2535
32866
pn = 32884; S = 0,(7)30410; Abw.=+&.
Derselbe S. 215..
P = 1,54199 1 = 48,320 T = 0,3260
33007
TI= 0,3798 m'1333~9
Mittelwerth: m =33158; 6 = 0,(7)30159; Abw.=*&
Stahlstab KO.6, S . 219.
"
P = 1,45680 1 = 48,930 T = 0,3523
=132858
a = 0,99430 h = 0,09683 T,= 0,4245
329 14
Mittelwerth: m = 32886; S = 0(7)30408; A ~ W . = = ! = & ~ .
~
I
No. 17, S . 385.
T = 0,2585
3288 1
u = 0,83358 h= 0,11220 T,= 0,2860 "=I32952
Mittelwerth: rn = 32917; 6 = 0,(7)30380; Abw.=-I-&,.
PoggendorFs A n d . Bd. CXXIX.
16
Slablstab
P = 1,302675 1 = 44,533
226
Derselbe, umgekehrt, S. 393.
T = 0,26675
33378
=I33316
Tl= 0,28425
Mittelwerth: m =33347; 5 =0,(7)29988; Abw.=-C nm
’
P, 1, a, h wie zuvor
Stahlstab No. 19, S 397.
P = 1,09378 1 = 44,533 T = 0,30125
a = 0,534125 h= 0,093934 Tl= 0,34600 ,_133358
33360
Mittelwerth: m = 33369; 6 = 0,(7)29968; AbW.==k&,,,.
Mit den iibrigen Stahlstiiben sind Srhwingungsbeobachtungen nur irn belasteten Zustande angestellt worden.
Eiaenslab
P =0,67660 1 = 32,8457
a = 0,98637 h= 0,06810
Mittelwerth: rn = 33261 ;
KO.I , S. 235.
T = 0,2275
33209
Tl= 0,2530 m=/33313
6 =0,(7)30066; Abw.=&&
Eisenstab KO. 2, S. 238.
P = 0,67179 1 = 32,6975
a = 0,98675 h= 0,06768
Mittelwerth: m= 30326;
T = 0,2365 m=]3’1°1
T,= 0,2640
30551
6 = 0,(7)32977 ; Abw.=A=&.
Eisedstab No. 8, S. 240.
P = 1,53783 1 = 49,067
T = 0,33550 m=131612
h= 0,102896 Tl= 0,39625
31600
Mittelwerth: m= 31606; 6 = 0,(7)31640; Abw.=&J{06
& = 0,98728
Eisenstab No. 11, S. 249.
P = 1,54305 1 = 48,602 T =0,3275
33 106
a = 0,99607 h= 0,10236 TI= 0,3835 m’t33156
Mittelwerth: rn= 33131 ; 6 = 0,(7)30183; Abw.==kiJm
(GUTS-)
Eisentab No. 3, S. 277.
1;s;‘;
P = 1,4394 ,1= 47,935 T = 0,3875
a = 0,99708 h= 0,10612 T,= 0,4935 m =
Mittelwerth: m= 17750; S = 0,(7)56339; Abw.=&&.
Die iibrigen Eisenstabe mirdeo DYLT im belasteten Zusdande beobachtet.
227
Silberbarre, S. 258.
P = 1,91465
u = 0,895
Mittelwerth:
1 =44,5384
h= 0,114
m = 12192,
T =0,4375
T,= 0,6340
12113
12241
d = 0,(7)82023; Abw.==t&.
m-I
Dierelbe S. 261.
P = 1,91756
Mittelwerth:
1 =44,6059
T = 0,43631
12313
T,= 0,63228 m = t 12352
9 = 0,(7)81092; A b w . d & .
m = 12333;
Dieselbe S. 262.
P = 1,8932
T = 0,4287
1 = 45,040
=I
. 12216
12212
Tl= 0,6154
Mittelwerth: rta- 12214:
3' = 0,(7)51874; Abw.=+&&
Bei dieser Beobachtung steht bei K 11 p f f e I' 1 = 40,040;
jedenfalls ein Druckfehler statt 44,04(t, rvie a m allen anderen Urnstiindeii sich ergicbt.
G o l d h r e , S. 263
P = 2,6984
= 45,730
T = 0,59 15 n a A 11477
h= 0,1042 Tl= 2,1570
t I I876
Mitteltoerth: m= 11677; 8 = 0,(7)85665; Abw.=&J- 58'
Bei dem grotsen Gewichte dicses Stabs ist es iiicfit zu
verwundern, wenn die Resultate weniger gut iibereinstimmen, als bei leichteretl Stabcn. Dic Theoric ist hier schon
an der Granze ihrer Leistunssfahigkeit, iiideiii die Voraus&
!I
= I,tl085
setzung der Kleinheit von
{ =p
nicht nichr so vollstandig
er fW Ct.
Zinkstab, S. 265.
T = 0,3819
1.5178
a =0,99144 h= 0,09913 T,= 0,4926 m=/15280
Mittelwerth: m= 15229; 6 = 0,(7)65665; Abw.==!=&.
P = 1,25231 I = 44,500
NO.2, S.400.
T = 0,3880
20256
a = 0,99889 h= 0,09172 T,= 0,5105 m'/20295
Mittelwerth : m = 20276; 6 = 0,(7)49320 ; Abw.==kX,$,.
15 *
Kuprerstab
P = 1,43380
1 = 43,782
228
Derselbe umgckelirt,
S. 405.
T = 0,3890
20124
P, I, a, h, wie zuvor
TI= 0,5125 "=12Ol6O
Mittelwerth: m= 20142; S =0,(7)49621; Abw.=+&,.
Kupferstnb
No. 4, S 410.
P = 1,59307 1 = 43,782 T = 0,3555
=y o 4
a = 0,99882 h= 0,10256 T,= 0,443.5
19963
Mittelwerth: m= 19984; 6 = 0,(7)50041; Abw.--mjj6'
-+
Derselbe urngckehrt,
1
S. 413.
T =0,3665
19867
TI= 0,4450
Mittelwerth: na= 19863; 6 = 0,(7)50344; A ~ W . = = ! = & ~ ~
P, 1,
a, h wie
ZUVO~
11. StBhe von kreisf6rmigem Qiterschnitt.
Die Beobachtungsobjecte sind Messing - und StahlDrahte. Die Bezeichnungen sind dieselben wie bisher;
Q ist der Halbmesser des Drahtes.
Von deln Messingdraht No. 2 sind funf Stiicke untersucht. Das erste nennt K u p f f e r un bout du.mdme fil
qui avait servi etc., es ist also wahrscheinlich ein ubrig
gebliebenes Stiick des Drahtes, das sonst noch keinen Beobachtungen unterworfeii war. Es giebt einen etwas kleineren Elasticitatsmodul, als die iibrigen vier Stiicke, welche
Theile eines Drahtes sind, der bereits zur Beobachtung von
drehenden Schwingungen verwandt worden war. Das Gewicht der Langeneinheit, also die Dichte dieses Stucks ist
aufserdem merklich kleiner als bei den andern. Jedenfalls
steht fest, dafs dieses Stuck eine andere innere Beschaffenheit als die anderen hat und deshalb auch nicht ohne Weiteres mit ibnen zusammengestellt werden darf,
Messingdraht No. 2 (Endstuck), S . 269.
P = 0,28326 J = 42,6
Q = 0,080703
16:";
T = 0,27475
na =
TI= 0,309875
16020; 6 =0,(7)62424; Abw.=&?it6.
Mittelwerth: na=
Bei den Gewichtsaugaben der folgenden vier Stucke
kommen bei K u p f Cer zwei falsche Angaben vor, entweder
229
Druck- oder Rechenfehler. Da die vier Stucke aus demselben Drahte geschnitten sind, so mufs bei allen der QUOtient aus den) Gewichte und der Lange derselbe seyn.
Diese Redingung zeigt, dafs in dem ersten Stuckc das Gewicht = 0,31719 seyn mufs, 6eirn zweiten = 0,311607,
wshrend in dern Kupffer'schen Werke die Zahlen 0,31769
nnd 0,315607 stehn. W c n n diefs corrigirt wird, kommen
die Resultate in die beste Uebereinstimmuog.
Messiogdraht
No. 2, l o , s.270.
P = 0,31719 1 = 46,550
Q = 0,080703
Mittelwerth: m= 16453;
T = 0,3240
1626s
T,= 0,37625 m=116637
6 = 0,(7)60839; Abw.=+&.
Die erste Schwingungsdauer T ist ohne Zweifel zu
grofs angegeben, daher die sehr abweichenden Resultate.
Vergleicht man den Gang von T und TI in dieser und
den drei folgenden Beobachtungen mit einander, so zeigt
sich, dafs T = 0,3240 eine bedeutende Abweichung von
diesem regelmafsigen Gaqge ist. Ich bin daher der Ansicht, dafs bei der Beobachtung oder bei der Berechnung
von T aus der Beobachtung ein Fehler vorgefallen ist und
dab es T=0,3210 heifsen mu&. Unter dieser Voraussetzung erhalte ich:
T =E 0,3210
Mittel: na = 16630 (-C a&a).
TI= 0,37625 m=l
also Resultate, die unter sich und, wie man sehen wird,
mit den folgenden vortrefflich ubereinstimmen.
El
Derselbe, 2',
S.271.
*
T=0,31100
=11661
TI= 0,36075
16685
Mittelwerth: na= 16648; 6 =0,(7)60068; Abw.=&&.
P=0,311607 1 =45,73
Derselbe, 3', S. 272.
P = 0,312559 I = 45,87
T = 0,3120
16698
TI= 0,3630 m=116105
Mittelwerth: na= 16702; 6 =0,(7)59874; Abw.=*--l- 4580'
Bei K u p f f e r steht T=0,3100; jedenfalls ein Druck-
250
fehler wie der Vergleich mit K u p f f e r ' s eigener Rechnririg
zeigt, worin T = 0,3120 gebraucht ist.
Derselbe, 4", S. 273.
T= 0,3120
P =0,311779 1 = 45,76
m=I
16531
T,= 0,36 15
16667
6 = 0,(7)60245; Abw.+:,.
Mittelwerth: m= 16599;
Der Messingdraht No. 6 hatte eiiien Radius:
Q = 0,063274.
Es wurden davon drei Stucke, a, b, c untersucht.
Messingdralit No.
P = 0,196690
1 = 46,36
Mittelwerth:
6,
U,
S . 277.
T =0,3945
16385
m = 16487; 6 = 0,(7)60657; Abw.==!=&.
Derselbe, b, S. 278.
P =0,193856
T = 0,3965
16214
1 = 45,69
TI= 0,4985 mw116299
Mittelwerth:
m= 16256; 6 = 0,(7)61514; Abw.=&&.
Derselbe, c, S. 2713.
P=0,181595
T = 0,3#Q
16343
i =~ 2 , ~ s
T,= 0,4230 m=116389
Mittelwerth:
na= 16366; 6 = 0,(7)611O$; Abw.=+&.
Der Stahldraht No. 10 hat den Radius:
e =0,07271.
Dafs Pei der angeucaqdten DFaQtlange yon iibpr 6; Fufs
die Resultate yeit weniger iibereinstiqqqes, bgt nichts Auffallendes; die Metbode nahert sich da schoii den Granzen
ibrer Brauchbarkeit.
Stahldraht No.
P= 0,40777
1 = 79,840
10, l o S.288.
T = 0,6475
Mittelwerth: tn = 31121;
31497
TI= 1,1150 m=130,45
6 = 0,(7)32138; Abw.=-C
Derselbe, 2" S . 289.
P = 0,27758
= 54,360
T = 0,3465
TI= 0,4030
30572
Mittelwerth: -m= 30370; 6 = 0,(7)36929; Abw.=*&
1
'
83'
Irn Folgeiiden stellte ich nun alje Resultate zusammen,
indem ich bei jedem Stab die Zubereitungs- und Beerbeitungsart zufiige.
M e s s i 0 g.
Stab 2.
Gegossen
.
.
tn
s
m
6
1 . VerS. 13849 0,(7)72206 13685 0,(7)73085
2.
.
13520 0,(7)539651
1)
.
.
Gegossen . . .
. . .
. . . 12905 0,(7)77495
Stab 7. MessingguL aus der Pahrik der Gebr. H e s s e
in Libeck; 2 Thle. Kupfer 11. I T h . %ok
. . . 15400 0,(7)64937
1. Vers. 17629 0,(7)56723 17611 o,(7)56783
Stab 1. Geh5mmert
' 2. Vers. 17593 0,(7)568431
Stab 5. Englisches Messing, stark gewalzt
. . 16746 0,(?)59716
..
Stab 6.
dql.
l o . 16734 0,(7)59760 16730 o,(i)59577
2O. 16726 O,(i)69i95j
Stab 8. Dasselbe Metall wie No. 7, stark gehjrnrnert 18066 0,(7)55354
Stab 9. Dasselbe Metall, stark gewalzt . .
li035 0(7)58702
Dralit No. 2. Endstiick .
. , .
. . 16020 0(7)62424
Desselben Haupttheil
1. Sttick 16630 0,(7)60133
Stab 4.
.
. .
. . .
..
. .
i
16648 0,(7)60068
16702 0,(7)59874 16645 02(7)60080
1)
16599 0,(7)60245
SLiick u 16487 O,(i)60657
M
b 16256 0,(7)61514
c 16366 0,(5)61104
2.
3.
4.
Draht No. 6.
D
))
3)
Stahl.
l a .32980 0,(7)30322
2". 33253 0,(7)30053
3O. 33.363 0,(7)?99j3 33128 0,(7)30187
4 O . 3'2884 0,(7)30410
6'. 33158 Q,(7)30169
Stab 6. (i&tahl,
weich . . .
.
. .
32886 0,(7)30408
Stab 17. Stalrl von Bemscheid l a . 32915 0(7)30380 a;rl3z o,(7130184
20. 33347 o ( ~ ) ~ w B \
Stab 19. Desgl.
.
. . .
. . .
33369 0,(7)29968
Draht No. 10. @Die erste Beobachtung woggejyssen) 30370 0,(7)32829
Stab 5.
W e i c h , gewalzt;
.
.
.
. .
.
i
. .
.
Eisen.
Stab 1.
Stab 2.
Stab 3.
Stab 8.
St& 11.
Eisenblech, parallel der Walzenaxe gescicnitten 33261 0,(7)30066
Dqsselbe, senkrecht zur Walzenare
. . 30326 0,(7)32977
GuGgisen ,
. . . . . , 17750 0,(7)56339
Englisches Schmiedeeisen
, 31606 0,(7)31640
Schwedisches Schmiedeeisen .
. . . . 33131 0,(7)30183
. .
.
.
.
.... . .
.
.
232
S i 1 b er.
Barre ails der kaiserl. M i k e 1’. 12192 0,(7)82023
2u Petersburg, rnbglichst rein 2’. 12333 0,(7)81092 12246 0,(7)81663
3’. 12214 0,(7)81874
I
Gold.
Barrc pus d. kaiserl. Miinze, m6glichst rein
Zink.
Stab 10. Stark gewalzt aus Liittich
. . .
. . .
11677 0,(7)85665
...
15229 0,(7)65665
K u p fer.
Stab 2. Ausgegliiht, sehr weich 1’. 20276 0,(7)49320 20209 o,(7)494i2
2O. 20142 0,(7)496241
Stab 4. Stark gewalrt
. lo. 19984 0,(7)50041 ,9923 o,(7)50,93
2’. 19863 0,(5)503441
. .
Diesen Angaben liegen die russischen Maafse zu Grunde,
d. h. der Elasticitatsmodul M = 1000 m bezeichnet den in
russischen Pfunden ausgedriickten Zug, welcher auf einen
russischen Quadratzoll des Querschnitts wirken mufs, damit
die Lsngeneinheit urn sich selbst verlangert wird. Rezieht
man Alles auf neufranzbsisches Maafs, so $at man obige
Zabl zu multipliciren mit dem Verhaltnils von:
-I pfd’ - 0,6095 I .
1 Kgr.
und zu dividiren durch das Quadrat des Verhaltnisses von:
1”
__
1-
=25,400
und erhalt dann die Grofse, welche von den franzbsischen
Physikern gewohnlich Coifficienb delasticitt genannt wird
(c’est le poids qui doublerait la longueur d’une oerge Bun
milZimLtre carre de section). Man erhalt die iieue Grbfse:
M = 0,00063473 M = 0,63473m
Die folgende Tabelle e n t b l t eine Zusammenstellu~ig
der Resultate in dem neuen Maafse, wobei aber aus den
M7erthen, die sich auf gleich zubereitete Stabe beziehen,
die Mittel genolnmen sind. Die Klammer (5, 6, 9 ) bedeutet, dafs die folgende Zahl das Mittel aus den fur die
S a b e 5, 6 und 9 gefundeneu Werthen ist. Die beiden
letzten Columnen enthalten zur Vergleichung die von
233
W e r t h e i m (Ann. de chimie et de phys. SOr. ZZZ, T. 12)
erhaltenen Werthe, sowie die von alteren Beobachterii gefundenen, die zusammeugestellt sind von P o n c e l e t in
htroduction c i la Mdcanique industrielle p. 342 ff. Die
Beobachter sind durch ihre Anfangsbuchstaben hezeichnet :
Es sind: Ardant, D u l e a u , Lagerhjelm, R o n d e l e t ,
S a v a r t , Tredgold. Wo unter W e r t h e i m zwei Sahlen
angegeben sind, ist die erste aus Verlangerung, die zweite
aus Transversalschwingungen abgeleitet.
Wertheim
*II
Gegossen
do.
v.
(2’4)
(7)
(5, 6, 9)
Hesse
6
Gewalzt
Gehammert
Dralit
-
Gdsstahl (6)
Gewalzt, wcich
(I&
(6)
8439
8543
9555
10685
11327
10375 9005-10348
20854 19881-20698
21027 18809-20514
21
(Fer du Berry)
Zint, gewalzt,
Silber, Barre
Gold, Barre
6450? T
lOOOOA, 9600 S
20400 T (gekhmiedet. weich)
(17,19) 21100
19276
19549
Blech parall. ( I )
21112
do. senkr. (2)
19249
Engl. Schmiede (8)
20061 20869-18547
von Rcmscheid
Draht (10)
Schwed. do.
Gufs (3)
Aeltere Beob-
(11)
21029
11267
9666
7773
7412
8800-9600
7358-7820
8132-8645.
19000A,20000 S
1
20680L
20000D, T
20750 L
9840R, 12000 T
9600 T
,
W e r t h e i m hat seine Beobacbtungen fast alle an Drabten oder gezogenen Steben angestellt, ebenso Savart. Sehr
auffallend ist die groke Differenz bei Gold. Hier sch-eint
die Zubereitungsart von dem grafsten Einflufs zu seyn,
denn aus W e r t h e i m ’ s BeoGachtungen (lc. S. 414) zeigt
sicb, dafs der Elasticitat’scogfficient eines Golddrahtes durch
Ausgliihen von 8135 auf 5585 herabsinkt. Ueberdiefs hatte
W e r t h e i m ’ s Gold das specifische Gewicht = 18,5, K o pffer’s Gold = 18,3.
Icb kann den Gegenstand nicht verlassen , ohne noch
4
234
etwas iiber die VOB K u p f f e r sekbst abgeleiteteii Resultate
und seine Bereehnengsmethode zozufiigen.
K u p f f c r ’ s Werthe fur 6 sind fast durohweg kleiner
als die meinigeq. Bei den Messiugstaben 1, 2, 4, 5, 8 betragen die Abweichungen nu€ & bis & vdes ganzen W e r thes und steigen bei No. 6 auf 2%negativ. Bei Stahl ist
die Abweichung nur hiichat unbedeutend negativ, ebenso
bei den meisten Eisenstaben.
Bei den Eisenbleohstreifen 1 und 2 sind aber K u p f f e r ’ s Werthe um ein volles Zehntel zu grok. Bedeutendere Abweichungen zeigcn auch Gold A, Zink & und Remscheid-Stahl No. 57
ebenfalls &. Die Wertlie, welche K u p f f e r aus den Versuchen ohne angehangtes Gewicht berechnet hat, kommen
den meinigen im Allgemeinen vie1 naher, manche fallen innerhalb der FehlergrUnzen mit h e n zusammen; leider
aber hat K u p f f e r gerade diese Beobachtungen verworfen,
weil ibm ibre Resultate zu schlecbt mit den iibrigen, bei
angehangtem Gewicht angestellten , ubereinptimmten.
Die Formel, wonach K u p f I e r seine Beobachtungen
berechnete, hat er der Form nach auf gewisse theoretische Ueberlegungen begriindet, dann aber durch V w
gleich mit den Beobachtungen soweit modificirt und zurechtgelegt, dafs sie seiiie Beobachtungen (namentlich die
bei belasteden Staben) ziemlich gut darstellt. Der leitende
Gedanke war, von vornherein die Combination der Beobachtungen bei Gewicht oben mit denen bei Gewicht unten
moglichst auszwiutzen. Dieser Gedanke riihrt, wie K u p f f e r
in einer friiberen Plotizl) mittheilt, von G a u f s her. Durch
folgende Betrachtung glaubte K u p f f e r das ‘Problem des
sehweren, bela&eten Stabs auf das des schwerlosen unbelasteten zurhkfuhren zu k8nnen.
Er betrachtet den belasteten Stab wie ein zusammengesetztes Pendel, wofiir, wenn S das statisehe, J das Tdgheits-Moment ist:
19 K r i i a i g , 3ouraal f. Physik d. Auslaades, Bd. 3, S. 358.
235
Wmn atin aufserdem noch die Elasticitat wirkt, SO,
meint Kupfber, habe man nur zu dem statischen Momente S
noch eine Groke E zu addiren, welche er das elastische
Moment nennt, die aber ohne weitere Defiuition bleibt.
Man erhielte dadurcb:
n? _
gP--
E+S
J
wenn die Elasticifat in demselben und:
n2
_
-
gt;
-
E
~-+ S
J
wenn sie im entgegengesetaten Sinne wirkte, wie 'die Schwere;
Ersteres ware der Fall bei Gewicht unten, Letzteres bei
Gewicht oben.
Die Pendelformel kann nun aber keineswegs so ohne
Weikres vecallgemeinert werden. Allerdings kano map,
wie ich in meiner schon mehrfach citirten Schrift gezeigt
habe, d p Ausdruck
$ unter der Form
g
vorstebender Glei-
chnngen darstellen, indessen haben schon die den S und J
entsprechenden Graken eine etwas geanderte Bedeutung,
namentlich aber zeigt sich, dafs die Grsfse E vor Allem
von der Kriimmung des Stabs abhangig wird, also bei
Oe-wicht oben eiFe grtsz andere ist, als hei Gewicht unten.
KRpffer's ganze weitere Betrachtung stiitzt sich aber
wesentlich auf die Annahme, dars E in heiden Fallen das
nlimliche sey. Diese Anaahme gestattete ihln d a m leicht
abzuleiten , welches die Schwingungsdauer T seyn wiirde,
W ~ B UE allein uad welches 8 sie seya wiirde, wenn S
allein wirkte. Man Pbersieht leickt, dab denn:
6
'
t: + t'
_T
i ---
seyn wiirde, woain man nun 19 durch die L&nge des iaochronen einfachen Pendels ausdriicken kann, welches z. B.
irn Falle dea unbelastetea Stabs = 3 Z seyn wurde. Die
so gefundene Grofse T halt K u p f f e r fur die SchwingungsdaueF eiaes gleichlangen Stabs, auf den nur die Elasticitat wirke. Demgewgfs mill er diesen Werth in die-
236
jenige Formel einsetzen, welche beim gewbhnlichen Stabproblem die Relation zwischen Elasticitstsmodul, Schwingungsdauer und den Stabdimensionen ausdruckt. Leider
hat er aber gar nicht die richtige E u l er’sche Formel benutzt, sondern eine aus sehr fruhen Arbeiten E u l e r ’ s entnommen, die nur eine erste Annaherung an die richtige
Formel ist. Schon E u l e r selbst hat die bessere gegeben ’),
die seitdem haufig reproducirt ist ’). Nach unseren . Bezeichnungen ist:
wo 1 eine Wurzel der transscendenten Gleichung ist :
Die erste and einzig hier in Betracht kommende Wurzel iat
A= 1,87511 ”, so dals
-12- 1,03015
14
wird und demnach:
Dieser Zahlenfactor fehlt bei K u p f f e r und er hat sich
alle erdenkliche Miibe gegeben, ihn durch empirisch zugefugte Factoren zu ersetzen.
Fur den Fall des unbelasteten Stabs ist die Annahme,
dafs E bei freiem Ende unten und bei freiem Ende oben
dasselbe sey, gestattet und die Kupffer’scbe Methode hatte
deshalb hier dieselben Resultate ergeben miissen, wie ich
sie oben fur die Mittelwerthe je zweier zusammengehoriger
Beobacbtungen erhalten habe und wie sie sich auch aus den
Formeln meiner alteren Abhandlung fiir den Fall des un1) Acta Petropol. I, 1779, S. 109, 135.
2) Z. B. bei Poisson, Trait6 de Micanique, 2”‘ Cdition, No. 627,
et 520.
3) Bei Poisson 1. c. S. 390 steht als Dmchfehler: 1,87011.
237
belasteten Stabs ergeben miissen ').
FormeI giebt fur diesen Fall:
Denn die betreffende
I
Dieselbe Forinel ergiebt sicb aber auch aus uiiseren
obigen Gleichungen (A), wenn wir die beiden in (A) entbaltenen (die mit dem positiven und die mit dem negativen Zeichen) addiren.
Dafs K u p f f e r 's Werthe doch anders ausgefallen sind,
liegt eben daran, dafs ihm der Factor
'
1,03u15
dafs er an seine Stelle einen variablen Factor
fehlt und
-
1/+
setzt,
1
welcher z. B. fur den Stahlstab No. 5 =i,a wird. Demnach m u k sein M zu grofs, sein d zu kleiu werden. Trotzdem stimmen die von K u p f f e r fur unbelastete Stabe gefundenen Werthe noch am besten init den nach meirier
Theorie berechneteri iiberein, dagegeri weichen sie baufig
stark von seinen iibrigen Resultaten ab, weshalb er sie
meist comme peu emzctes oder unter ahnlichen Bemerkungen verworfen hat.
Tubingen, Januar 1866.
als Reispiel den Eisenstab KO.1, bereclnet. In der Berechnung des ersten Palls (abne Gewicht) rteckt jedoch ein Rechenfeltler, desren Berichtigung 6 = 0,(7)30066 ergiebr , in Uebereinstimmung mit dem in vnrliegender Abhandlung gefundenen. D i e t Resultat
stimmt d a m auch vie1 besser mit den dort aur den Gewichtsbeobachtungen berechneten Werthen, deren Mittel 6 0,(7)29362 ergab.
1 ) Iclr liabe dort
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