Berechnung von Mischfarben.

11. Berechnung von HGschfmrben;
von E. LornrneZ.
(Aus den Abhandl. der k. bayer. Acad. d. Wiss. 11. C1. 17. Bd. 111. Abth.
mitgetheilt vorn Hm. Verf.)
Bis in die neueste Zeit hat man, urn den Farbenton
einer Mischung beliebig gegebener einfacher Farben zu berechnen, sich der Newton’schen Regel bedient. Diese Regel
besteht bekanntlich in Folgendem. Der Umfang eines Kreises
vom Radius 1 v i r d in sieben Theile getheilt, welche den
I/],,, l I I 6 , ’19 proportional sind, und
Zahlen 119, 1/16, l/lo,
in dieser Reihenfolge den sieben Hauptfarben Roth, Orange,
Gelb, Griin, Blau, Indigo, Violett des prismatischen Spectrums entsprechen, mit allen ihren Uebergangen vom Roth
bis zum Violett. Man sucht sodann fur jeden dieser sieben
Kreisbogen den Schwerpunkt, und denkt sich in demselben
das Gewicht des zugehorigen Bogens angebracht. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller Bogen oder des ganzen
Kreisumfangs ist der Mittelpunkt des Kreises, und diesem
Punkt entspricht als Mischfarbe aller Spectralfarben das
reiae Weiss. Sind die einfachen Farben in anderen Verhaltnissen gemischt als im weissen Sonnenlicht, so hat man
die Gewichte in den einzelnen Schwerpunkten mit den zugehorigen Verhaltnisszahlen zu multipliciren. Sucht man
jetzt den gemeinschaftlichen Schwerpunkt, so wird er im
allgemeinen nicht in das Centrum des Kreises fallen, sondern
excentrisch in einer Entfernung r vom Mittelpunkte liegen.
Die Mischung h a t alsdann den Farbenton, welchen der
Radius, der durch diesen Schwerpunkt geht, auf dem Kreisumfange angibt, und die gesuchte Mischfarbe ist aquivalent
der Mischung aus einer Menge T der entsprechenden homogenen Spectralfarbe und aus einer Menge 1 - r von Weise.
Die Zahl r gibt sonach den Sattigungegrad der Mischfarbe an.
Wenn nun auch die Eintheilung des Newton’schen
Farhenkreises aus einer nicht haltbaren Vergleichung der
4 74
E. Lomnzel.
Farbenreihe des Spectrums mit der musikalischen (phrygischen) Tonleiter entsprungen ist, so gibt dieses Verfahren
doch gute Resultate, und war lnnge Zeit das einzige Hiilfsmittel, urn Mischfzrben durch Rechnung zu bestimmen.
B i o t ' ) , F r e s n e l Z ) , A b r i a 3 ) , J a m i n * ) u. A. haben dasselbe
rnit Erfolg hierzu angewendet. Jedenfalls sind die Voraussetzungen, auf welchen das N e w ton'sche Verfahren beruht, namlich dass jede Mischfarhe als eine Mischung einer
gesattigten Farbe mit Weiss angesehen, und dass diese Farbe
durch eine Schwerpunktsconstruction gefunden werden konne,
theoretisch nicht anfechtbar, wie G r a s s m a n n 5 ) gezeigt hat,
und die RUS diesen Voraussetzungen gezogenen Folgerungen
stehen mit den Thatsachen im Einklange.
I n neuerer Zeit hat M a x w e l l s ) im Anschluss an die
Y o u n g'sche Vorstellung von n u r drei physiologischen Grundempfindungen, vermtige welcher jede einfache oder zusammengeaetzte F a r b e durch eine lineare Function dreier Grundfarben ausgedruckt werden kann, durch Versuche die Coefficienten b ~ t i m i n t , mit welchen man die Quantitaten der
Grundfarben multipliciren muss, urn die verschiedenen einfachen Furben zu erhalten. I n der Farbentafel nehmen die
von N a x w e l l gewiihlten drei Grundfarben, namlich 110th
von der Wellenlange 630 Milliontel-Millimeter, Griin 528
und Blau 457 die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks ein,
und der Ort einer jeclen F a r b e wird gefunden a19 Schwerpunkt dreier in den Eckpunkten des Parbendreiecks angebrachter Gewichte, deren Grosse proportional ist den relativen
Mengen der drei Grundfarben, welche nijthig sind, um diese
Fltrbe hervorzubringen. D e r O r t des reinen Weiss ist der
Schwerpunkt, der sich ergibt, wenn man die Ecken des Drei1) B i o t , Trait4 de Physique, 4. p. 68. 1816.
2) F r e s n e l , nameritlich in seinern MBmoire sur le calcul des teintes
des lames cristallis6es, Ouevres, 1. p. 609. 1821.
3) A b r i a , Snr la diffraction de la lumikre, Journal de Math. de
Liouville, 4. p. 248. 1838.
4) J a m i n , M8moire SUP la couleur des rnittaus, Ann. de chim. et de
Phys. (3) 22. p. 322. 1848.
5) G r a s s m a r i n , Pogg. Ann. 89. p. 69. 1853,
6) M a x w e l l , Phil. Trans. L. R. Y. p. 57. 1860.
iVischfurlen.
475
ecks mit Gewichten im Verhiltniss von 3,973 - 6,520 - 6,460
belaste t.
Auf Grund der Maxwell’schen Daten hat in neuester
Zeit L o r d R a y l e i g h l ) die Farben diinner Blattchen berechnet. Es geschah dies mit Hulie umfangreicher Zahlentabellen, und da eine grosse Anzahl von Punkten bestimmt
werden muss, so nahmen die Rechnungen eine grosse Ausdehnung an.
Bei diesen Methoden ist das Resultat der Rechnung,
welches den Ort der Mischfarbe in der Farbentafel angibt,
ein rein numerisches. Weder das eine noch das andere
Verfahren ist fahig, einen analytischen Ausdruck zu liefern,
der z. B. fur die Farben dunner Blattchen oder diejenigen
der Beugungsfransen das Gesetz der Farbenfolge als Eunction der Dicke des Blattchens oder des Beugungswinkels
anggbe.
Das mir ofters Suhlbar gewordene Bedurfniss, die Reihe
der mannigfdtigen Mischfarben, welche die mit weissem
Lichte hervorgebrachten Interferenzerscheinungen zeigen, in
eine ubersichtliche Formel zusammengefasst zu sehen, gab
Veranlassung zu vorliegender Arbeit,. Die Aufgabe, die wir
uns stellen, ist hiernach die folgende: Wenn fur irgend eine
Lichterscheinung der Intensitatsausdruck fur jede homogene
Fnrbe als Function der Wellenlange gegeben ist, aus diesem
Ausdruck Formeln herzuleiten, welche bei Anwendung einer
weissen Lichtquelle die Wellenlange des Farbentons der
Mischfarbe, deren SattigungsverhBltniss und Helligkeit darstellen, als Functionen derjenigen Veranderlichen, die in
jedem Falle die Verschiedenheit der Farbenmischung bedingen.
Als Begrenzung der Farbentafel behalten wir die New
ton’sche Kreislinie bei, und denken uns langs ihres Umfangs
das ,,ideale Spectrum“ L i s t i n g ’ s 2 ) aufgetragen, in welchem
die Farben nach den Differenzen ihrer Schwingungszahlen
angeordnet sind. Auch v o n Bezold3) ist in seiner Abhand-
-
1) L o r d B a y l e i g h , Trans. of the Royal SOC. of Edinburgh, 33.
Part I. p. 157. 1886.
2) L i s t i n g , Pogg. Ann. 131. p. 564. 1867.
3) v. Bezold, Pogg. Ann. 150. p. 241. 1873.
E. Lommel.
4 76
lung: .,Veber das Gesetz der Farbenmischung und die physiologischen Grundfarben" zu dieser Eintheilung der Farbentafel gelangt, welche bei grosser Einfachheit eine gute Uebereinstinimung mit den Beobachtungen darbietet.
Bezeichnet man nun mit y die von irgend einem
Anfangspunkte gezahlte Bogenlange dieses Farbenkreises, so
besteht zwischen der Wellenlange 1 und der ihr anzuweisenden Stelle auf dem Kreisumfang die Beziehung:
1
b
-I. = = + f y ,
wo a und b noch zu bestimmende Constante sind.
Sind auf diese Weise die homogenen Farben des Spectrums, mit den Intensit'ktsverhaltnissen, mit welchen sie fur
jede Ychwingungszahl im Sonnenlicht vertreten sind, langs
des Kreisumfanges aufgetragen, so betrachten wir diesen als
ringsum gleichmiissig belastet. Alsdann fallt der Schwerpunkt sammtlicher Farben in den Mittelpunkt des Kreises,
welcher sonach den Ort des Weiss darstellt; auf jedem
Radius des Kreises herrscht die Farbe, welche dem Punkte
des Umfanges zugehort, nach welchem der Radius gezogen
ist, und zwar um so gesattigter, je mehr man sich auf dem
Badius vom Xittelpunkt nach aussen gehend dem Umfange
nahert.
Nehmen wir die Intensitat des Weiss im Mittelpunkt
als Einheit der Lichtstarke an, so ist, wenn auch der Radius
des Kreises gleich 1 gesetzt wird, die Lichtstarke fur die
Einheit der Bogenlange 1 / 2 n , und d y / 2 n fur ein Bogenelement d y .
Gemass dieser Annahmen uber Vertheilung und Intensit a t der Farben mussen je zwei homogene Farben, welche
an den Endpunkten eines Durchmessers liegen, zueinander
complementar sein, da ihr Schwerpunkt in den Mittelpunkt
des Kreises fallt.
Kennt man daher aus der Erfahrung die Wellenlangen
zweier complementarer homogener Farben , so ist hkrdurch
die Constante 6 in obigem Ausdruck bestimmt.
Bezeichnen wir namlich mit A, und A, die Wellenlangen
zweier complementarer einfacher Farben, so muss:
Misehfarben.
und sonach:
477
-1,l _ - -1,l - 2b
sein. Bei der angenommenen Mslasseinheit fur die Lichtmengen
rerschiedenfarbigen Lichtes, nach welcher solche Mengen,
welche gemischt Weiss geben, als gleich angesehen aerden,
wurde also fur complementare homogene Farbenpaare das
einfache Gesetz gelten, dass die DifTerenz ihrer Schwingungszahlen constant ist.
Zur numerischen Bestimmung der Constanten b wahlen
wir zwei complementare einfitche Farben, welche unserem
Auge beim Hetrachten des Spectrums nahczu gleich hell
erscheinen, und zwar wahlen w i r aus den Beobachtungen
von H e l m h o l t z ’ ) das Roth 1 = 656.2 und das Blaugriin
1. = 492,1, und finden hieraus:
b = 0,001 016 36, log b = 7,007 0490 - 10.
Die Constante a , von deren Wahl die Lage des Anfttngspunkles der Bogenzahlung auf dem Kreisumfange abhangt, wird in der Folge ebenfalls aus Beobachtungsdaten
bestimmt werden.
Bei der angenommenen Earbenvertheilung miissen ferner
je drei, vier, fiinf u. s. f. einfache Farben, welche in den
Eckpunkten eines dem Kreise eingeschriebenen regelmassigen
Drei-, Vier-, Fiinfecks u. s. f. liegen, zusanimen Weiss geben.
1st nun irgend ein Intensitatsausdruck, z. B. fur eine
Interferenzerscheinung, als Function f ( l / A ) der Wellenlange
oder der Schwingungszahl gegeben, so hat man, u m die drei
Merkmale Farbanton, Sattigung und Lichtstarke der Mischfarbe zu finden, die Mittelkraft und deren Angriffspunkt fur
die rings am Kreisumfang angreifenden parallelen Krafte:
zu bestimmen. Die Mittelkraft $1 oder die Lichtstarke der
Mischung ergibt sich, wenn man vorstehenden Ausdruck
iiber den qanzen Kreisumfang (von 0 bis an) integrirt:
1) H e l m h o l t z , Hnndb. der physiolog. Optik, p. 277. Leipzig, 1867.
478
€3. Lommel.
und die Coordinaten x und y ihres Angriffspunktes (Schwerpunktes) ergeben sich am den Formeln:
Der Winkel y des Radius, auf welchem dieser Punkt
liegt, mit dem Anfangsradius, oder das Azimuth des Farbentons der Mischung wird alsdann bestimmt durch die Gleichung:
2n
p(.+ &
Y ) sin y dY
_.___-
0
wodurch vermoge der Beziehung:
auch sofort die Wellenlange dieses Farbentons bekannt ist.
Die Strecke T endlich, um welche der Schwerpunkt von dem
Centrum des Kreises absteht, oder das Sattigungsverhaltniss
wird gegeben durch:
Als nachstliegendes Beispiel mijgen die Farben dunner
KrystallbIiittchen dienen. Der Intensitatsausdruck ist in
diesem Falle bei gekreuzten Polsrisationsehenen, wenn von
der Dispersion abgesehen wird :
.
sin
2nd
A.
und bei parallelen Polnrisationsebenen :
d
cos i-?
479
Mischfarben.
wenn unter d die Dicke der Luftschicht verstanden wird,
welche der durch den Krystall hervorgebrachten Verzagerung
entspricht. Dieselben Ausdriicke gelten ubrigens angenahert
auch fur die Farben dunner isotroper Blattchen resp. im
reflectirten und im durchgelassenen Licht , also fur die
N e w t on'schen Farbenrioge.
I m erstercn Falle hat man:
2Z
M = -2n
1I s i n % n d ( a + b y ) . dfp
0
2n
=
1 - c o s 2 m d ( a + i bn y ) ) d ~
kJ(
0
sin2nd (a + b ) - s i n 2 n d a
2nbd
111 = 4 (1
oder :
- cos nd ( 2 a + L) sinn bn db d )
'
Es ist ferner :
2R
=
-&J[cos
(2 n da -( 1--6 d )fp) + cos (2 m d a +(1+ b d ) $0) 3 d $0
0
sin (2 n d (a+ b)-2 n)-sin 2 n d-a sin ( 2 nd (a + b) + 2n)-sin2nd u
1-bd
1+bd
= - 1- ( s i n 2 ; z d ( a + b ) - - i n a n d a ) ( ~1 ~ 87z
1
=- cos n d (2 a
2%
-
+ -6) sin n b d .
Itbd
bd
m
2
Berechnet man in lihnlicher Weise M y , so hat man
schliesslich:
dl,l:=
My =
1
bd
-2 n~ o s m d ( 2 a + b ) s i n n - 6 d ~ ~ ~ i
- -- sin n d ( 2 a + b)sinnb3*m2*1
-7z
E. Lommel.
480
Das Azimuth cp der Mischfarbe wird demnach gegeben
durch die Gleichung :
tgrp = - tg n d ( 2 a + b) ,
bd
F u r die complementare Erscheinung bei parallelen
Pdarisationsebenen hat man, wenn man die analogen Grossen
mit Accenten bezeichnet. sugenscheinlich:
M ‘ = 1 - M, iV’i-’= - M . r ?
Wy’= - M y ,
sin
y’
=
sin
cp
,
cos
y’= - cos y .
tg 9‘= tgr 9 ?
Durch diese Gleichungen und insbesondere durch die
einfache Formel:
t g y = - tgrrdi2af b)
-
6d
ist nun das Gesetz der Farbenfolge ausgedruckt.
Fasst man zunachst den Fall gekreuzter Polarisationsebenen in’s Auge, so erkennt man, class das Azimuth y der
Mischfarbe von einem Grenzwerthe y o fiir d = O , der durch
die Gleichung:
tg fpo= - m. 2 a f b
6
bestimmt wird, und in den vierten Quadranten des Farbenkreises Eallt (da, wie wir spater zeigen werden, cos yo positiv,
sin y o negativ istj, bei wachsendern d nbnimmt, und Null
wird, wenn :
n ll(2 / I + 6) = 2 7d
geworden ist. T o n hier an kehren die Earbentone, abgesehen yon Sattigung nnd Lichtstiirke , in derselben Ordnung
wieder und clnrchlaufen die game Farbenscala jedesmal, wenn
nd(2a
b) um 2n wachst, und ,jede solche Farbenreihe oder
,,OrdnungbLendigt mit dem namlichen dem Azimuthe Null
zugehtirigen Farbenton. Bezeichnen wir den Werth von d,
welcher der vorstehenden Gleichung geniigt, mit 2 S, so tritt
dieser Farbenton, mit welcheni jede Farbenordnung schliesst
und die folgende beginnt, ein fur d = Z S , 46, 6 6 . . ., und
der complementiire im Azimuthe cp = n wiederholt sich jedesmal, wenn d = a, 38, 5 S . . wird. Ebenso wiederholt sich
die dem Azimuth Q = 9 ZI entsprechende Farbe bei d = $ S ,
3 8 , !j S . . und die zugehiirige Erghzungsfarbe im Azimuthe
( p = ; ; t , wenn d = : S , ZS, 12s . . . wird.
+
.
..
48 1
Mischfarben.
Die Grosse 26 ist hiernach diejenige Dicke der Luftschicht, mit welcher die Reihe der Farben erster Ordnung
endigt und diejenige zweiter Ordnung beginnt. Diese Luftdicke ist aber aus der Erfahrung bekannt; sie betrkgt 550,6 pp,
und ist gleich der Wellenlange derjenigen Stelle im Spectrum,
welche unserem Auge am hellsten erscheint.
Hierdurch ist aber die bisher unbestimmt gelassene Constante a ebenfalls gegeben, denn nach obiger Gleichung muss:
1
d
Za+b=-=---
1
275,3
- 0,003 632 4
und demnach, da 6 = 0,001 016 36 bereits gefunden ist:
a = 0,001 3080
sein.
Nachdem nun in der Gleichung:
-1= a + - b
2ny
1
A
a
760,4
718,3
C
C86,7
656,2
589,6
B
D
2'
29
52
76
137
31'
49
30
28
2s
E
a
F
G
H
526,9
518,3
486,l
430,7
396,s
208O
220
265
3590
360°+69
57'
40
24
3
20
E. Lommel.
482
Farbentone Platz zu finden haben, welche zu den gegeniiberliegenden griinen complementar sind. Ergibt sich bei Berechnung eines Farbengemisches ein in diese Region fallendes
Azimuth, so ist diese Mischfarbe als Purpur zu bezeichnen.
Will man den Farbenkreis in Sectoren theilen, welche
den Farbeneindrucken auf unser Auge entsprechen, so diirfte
die folgende Eintheilung die pzssendste sein, welche mit der
von v. B e z o l d l ) gewahlten sowohl in der Benennung der
Farben als auch in der Breite der zugehorigen Sectoren
iibereinstimmt.
v
1
Purpurviolett
PU~~U
. T.
Carmiu . .
Hochroth .
. .
.
.
. . .
.
.
.
.
Orange
Gelb . .
Gelbgrun
Grun
Blaugrun
Cyanblau
Ultramarin
Blauviolett
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
Oo- 20°
20 - 38
33 - 58
6S - SO
YO -10s
103 -140
140 -IS0
180 -238
238 -278
278 -310
310 -333
338 -360
165-733:
733-707;
707--679;
679-652
662-620
620-597
557-551
551-505
505-418
478-438
448-44'2
442-430
430-420
420-411
411-402
Den Purpurtonen (Purpurviolett, Yurpur? Carmin), welclien in unserem Farbenkreis je zwei Wellenlangen (Roth
und Violett) entsprechen, liegt das complementare Griin diametral gegeniiber. Statt der N e w ton'schen Bezeichnung
,,Indigo" ist die Benennung ,,Ultramarin" gewahlt, nach dem
Farbstoff, welcher den in dieser Region herrschenden F'arbent o n am richtigsten wiedergibt. Selbstverstandlich konnen die
angenommenen Farbengrenzen nicht als absolut feste angesehen werden, d a die Farben allmahlich in einander iibergehen, und unser Urtheil namentlich a n den Grenzeii unsicher
ist und ausserdem noch von der Helligkeit beeinflusst wird.
F u r eine bestimmte mittlere Helligkeit aber diirfte die Eintheilung angenahert richtig sein.
Fiihren wir in unsere Formeln die Grosse b ein, d. i.
die halbe Wellenlange der hellsten Stelle des Spectrums, so
lauten dieselben (fur gekreuzte Polarisationsebenen) :
1) v. B e z o l d , 1.
C.
p. 241.
Misschfarben.
ivy =
1
2;'
483
nd
1
sin - d- sin n b d .
Die Coordinaten s und y entsprechen den Punkten einer
Curve, die in ihrem Verlaufe auf der Farbentafel die Farbenfolge versinnlicht, indem ihr Radiusvector:
nd
,*= .- . 1 - b2d?'
~
1--0s-
nd
S
3
. - --.
bd
Sill 7l
'
--
nhd
welcher vermoge der Gleichung:
tgnd3-1
tgcp = - ~Id -
als Function des Polarwinkels q anzusehen ist, bei wachsender Dicke (d) der Luftschicht in rucklaufiger Bewegung
den Umkreis dnrchlauft, durch seine Richtung den Farbenton, durcli seine Lange den Sattigungsgrad der Mischfarbe
angibt, und fur d = 2 4 4 4 6 3 . . . im Azimuthe 9 = 0 jedesma1 die Grenze einer Farbenordnung iiberschreitet.
F u r d = ( 2 n + 1 ) / 2 . S ist stets M = ! und x = O , das
Azimuth yn sonach i n oder 3~ je nachdem y positiv oder
negativ ist. Da in diesem Falle wegen M = M auch y'= - y
und r'= r ist, so sind hier die complementken Parbentone
bei gleicher Lichtstgrke auch von gleicher Sattigung.
Wird die Dicke d oder der Gangunterschied unendlich
klein, so verschwindet zwar die Lichtst'irke M und wird
Null fur d -- 0; die Farbe nber nahert sich einer bestimmten
Urenze, und erreicht dieselbe, wie oben bereits erwahnt
wurde, in dem Azimuth:
tgyo=
- 6dn '
indem die Coordinaten und der Radiusvector fur d = 0 die
Grenzwerthe :
annehmen. Von diesem Punkte, welcher, da q, positiv, yo
negativ ist, im vierten Quadranten liegt, geht die Farbencurve ans.
31*
E. Lommel.
484
F u r die von uns angenommenen Werthe der Constanten b und 13 ergibt sich:
r0 = 0,015 462,
yo=
0,173 599, ro = 0,174 286,
yo = 360' - 84' 54' 37"
und als Wellenlange der Grenzfarbe:
1, = 479,7 (Cyanblau) ,
statt welcher jedoch, d a die Lichtstarke M = O ist, Schwarz
gesehen wird.
Bei der complementaren Erscheinung nahert sich mit
verschwindendem d das Azimuth dem von dem vorigen urn
180' verschiedenen Grenzwerth:
yo'= 180' - 84'54' 37"
und der Farbenton dem complementaren Orange von der
Wellenlange :
a; = 634,4,
welche Farbe jedoch ebenfalls nicht gesehen wird. Denn da
jetzt 2' = 0, y' = 0 und M' = 1 ist, SO wird die Mischfarbe
bei voller LichtstBrke reines Weiss, und die complementare
Farbencurve beginnt im Mittelpunkte des Kreises.
Wenn n b d = 275 3n, 4 n . , . oder d = 216, 316, 4/21..
wird, so verchwinden x und 9 gleichzeitig, und die Lichtstiirken M und M werden gleich t; die Curve geht alsdann
in beiden Fallen durch den Mittelpunkt des Kreises oder
durch Weiss.
1st 6 d = l oder d = l / b , so wird zwar ebenfalls M=M'=&,
dagegen hat man jetzt, weil fur b d = 1
-
.
sin n b d
I--had2 =
TZ
ist:
= - - -2- )
3h
und numerisch, da:
5 = 11,22780 = 4 n - 76O41'40"
y = 76O 41' 40",
ist:
3, = 656 (Hochroth bei C)
485
Mischfarben,
und fur die complementare Erscheinung:
cp'= 2560 41'40, A'= 492 (Blaugrun).
Mit unbegrenzt wachsender Dicke nahert sich die Lichtstarke dem Werthe 1, mit immer kleiner werdenden Schwankungen ober- und unterhalb dieses Werthes, und der Farbenton nahert sich dem Weiss, da ersichtlich sowohl x und y
mit zunehmendem d gegen Null riicken.
Die Geschwindigkeit, mit welcher bei gleichmassigem
Anwachsen der Dicke d des Blattchens der Parbenton sich
andert, wird ausgedriickt durch den Differentialquotienten:
4 sin2nd4-'
.
+=Sd
'*
sin e n d 4 - I
+ b a d 2cos
n d 4-'
Hieraus ergibt sich in den Hauptazimuthen y = 0, in,
und in Zahlen:
4s
-0,001597
S
44
$4
0,004790
0,007 983
2S
$S
0,011 176
46
3S
-0,040784
0,020392
0,013 595
0,010196
s = - 0,020 625.
2
bd
Urn unsere Theorie mit den Beobachtungen zu vergleichen, berechnen wir die Farbenscala, welche von B i l l e t l)
nach Beobachtungen von B r u c k e 2, zusammengestellt warden ist.
Die Rechnung nimmt dahei folgenden Gang. Aus der
Gleichung :
t g y =- tgnas-’
a2
--
bestimmt sich sofort fur jede gegebene Luftdicke d das Azimut y, welches auf dem Farbenkreise (falls man nur noch
die Ieicht ersichtlichen Vorzeichen von x und y berucksichtigt) die zugehiirige Mischfarbe unmittelbar angibt.. Will
man daher blos den Farbenton der Mischung finden, so geniigt diese einzige Gleichung, welche eine fast muhelose
Rechnung gestattet. Hiermit ist das anmutliige Farbenspiel
der Seifenblasen in die knappe Formel eines einfachen Gesetzes gefasst.
Die der Mischfarbe zugehorige Wellenlange ergibt sich
alsdann aus der Gleichung:
1
-- = C l +
1.
b
y.
Setzt man nun,behufs bequemer logarithmischer Rechnung:
so ist die Lichtstarke: N = sin”?p
und der Sattigungsgrad 7’ bestimnit sich mittels der Gleichung:
Hierdurch sind aber auch die entsprechenden Grossen
fur die complementare Erscheinung sofort gegeben; denn
man hat:
l
l
b
y’= y r t a , 7 = 7 * y ,
ill’=1 - 111 = cos2&lp,
W r ‘ = J I T oder r‘= T tg24 i p .
1) B i l l e t , Trait6 d’0pticlue 1. p. 490. 1868.
2) B r u c k e , Pogg. Ann. 74. p. 552. 1848.
,Vischfar ben .
487
Die bei der Rechnung zu benutzenden Constanten sind,
wie oben bereits angegeben:
CI = 0,001 308 0 ,
t = 0,001 016 4, 3' = 275,3.
Die Ergebnisse der Rechnung sind in der am Schlusse
folgenclen Tabelle zusammengestellt. Die Ueberschriften
,,Anfang schwarzLiund ,,Anfang weissLi entsprechen resp. der
Erscheinung bei gekreuzten und bei parallelen Polarisationsebenen, oder den Farbenringen mit schwarzer und mit weisser
Uitte. Die Columne d enthalt die gemessenen Werthe der
Luftdicke oder des Gangunterschiedes, wobei noch die Vielfachen der Grosse 6, die in der Anordnung der Farbenreihe
eine so wichtiqe Rolle spielt, angegeben sind, die Columnen
,,Farbe beobachtet" enthalten die zugehorigen von Brii c k e I)
beobachteten Farbentone. Unter y steht, fiir die erste Erscheinung, das berechnete Azimuth der Mischfarbe; das Azimuth y' fur die complementtire Erscheinung ist nicht angestets um n unterscheidet und somit
geben, d a es sich von
durch die Angabe von 'p bereits bestimmt ist. Die Columnen
il und I' enthalten die berechneten Wellenlangen der Mischfarben. Die Lichtstarken M und M' und die Sattigungsverhaltnisse r und 1'' sind in Procenten angegeben, d. i. auf
100 als Einheit bezogen. Die Rubriken ,,Farbe berechnet"
benennen die Parben nach ihrer Lage auf unserem Farbenkreiae, ohne Rucksicht auf Lichtstarke und Sattigung, welche
beiden Umstande noch mitberucksichtigt werden miissen,
wenn der wirklich wahrgenommene Farbenton beurtheilt
werden soll. So ist z. B. fur c l = o der Lichteindruck in
Wirklichkeit nicht Griinblau (die oben berechnete Grenzfarbe),
sondern Schwarz, weil die Lichtstarke M = o ist, una fur die
complementare Erscheinung nicht Orange, sondern Weiss,
weil die Sattigung r = a ist. Ebenso ist fiir d = 234 die
1) Von den Fnrbenbenennungen B i l l e t ' s habe ich nur eine abgeaudert , beziehungsweise nach B r u c k e ' s Beobachtungcn richtig gestellt.
In der Farbenreihe mit weissem Anfang ist namlich bei d = 259 in der
Billet'schen Tabelle ,,Rouge clair" oder ,,Hellroth" angegeben. B r i i c k e
hat abcr an dieser Stelle nur durikelrothe Farbentone beobachtet. Dass
letztere Angabe richtig ist, zeigt ein Blick in den Polarisationsapparat
auf eine keilformige Gypsplatte. Auch das darauffolgende ,,Carminroth"
ist sehr dunkel.
488
E. Loinnid.
Mischfarbe ihrem Orte in der Farbentafel nach Grun, jedoch
von geringer Skttigung (T = 6 Proc.) und grosser Lichtstirke
( M =91 Proc.). Die hierzu complementare Farbe ist nach
ihrer Lage im Farbenkreise Hochroth, jedoch von geringer
Lichtstarke (PI'= 9,5 Procent) und hohem Sattigungsgrad
61 Proc.). Die Rechnung stimmt sonacb auch hier mit
der Erfahrung vollkommen uberein, denn das schwachgesattigte lichtstarke Griin ist in der That ,,Griinlichweiss",
und das stark gesattigte lichtschwache Roth ist ,,Braun", wie
die Beobachtung fordert. Beriicksichtigt man in dieser Weise
zu jeder berechneten Farbe die zugehorige Intensitat und
Sattigung, so ergibt sich eine sehr befriedigende Uebereinstimmung zwischen Beobachtung und Rechnung. Insbesondere
stimmen auch die von B r u c k e beobachteten Maxima der
Lichtstarke mit den Maximis unseres Ausdruckes M genau
uberein. Derselbe findet namlich die hellste Stelle in der
ersten Farbenordnung (Anfang Schwarz) bei dem Uebergang
des Weiss zum blassen Strohgelb, und die hellste Stelle der
zweiten Ordnung beim Uebergang des Hellgrun zum Gelblichgrun.
I n der Fig. 1 sind die beiden Farbencurven mit den
Radienvectoren r und r' nach den Daten dieser Tabelle in
den Farbenkreis eingezeichnet; diejenige fur gekreuzte Polarisationsebenen ist ausgezogen, die complementare fur parallele
Polarisationsebenen punktirt. Am Rande des Farbenkreises
sind die Bezeichnungen der Farbensectoren nach v. B e z o l d
und die Lagen der F r a u u h o f e r ' schen Linien angegeben.
Die Azimuthe der zueinander complementaren Grenzfarben
Orange und Griinlich -Blau werden durch den punktirten
Durchmesser angezeigt.
Auf diesem Durchmesser liegt, nahe der Grenze zwischen
Blaugriin und Cyanblau, der oben bestimmte Punkt, von welchem die erstere Curve ausgeht, wenn der Gangunterschied
von Null an zunimmt. Sie naihert sich von hier aus fast
geradlinig dem Weiss, und geht auf der griinen Seite sehr
nahe daran voruber; das Weiss erster Ordnung erscheint in
der That sehr schwach griinlich. Die Curve geht sodann
mit rasch wachsender Siittigung durch Gelb, Orange und
Roth und erreicht i m Carmin den hochsten Sattigungsgrad,
(TI=
Mischfirben.
489
worauf sie rasch durch Purpur und die erste Uebergangsfarbe hindurch das Ende der ersten Farbenordnung erreicht.
In der zweiten Ordnung geht die Curve bald durch ein stark
gesattigtes Blau, im Griin jedoch wird die Farbe wieder
schlechter, das Griin zweiter Ordnung ist matt; dafiir aber
ubertrifft das Gelb zweiter Ordnung dasjenige der ersten an
Reinheit, wogegen die rothen Farbentone hier hinter denjenigen der ersten Ordnung an Tiefe der Sattigung zuriickbleiben. Die Curve gelangt sodann durch die zweite Uebergangsfarbe hindurch zum Ende der zweiten Farbenordnung.
Fig. 1.
Das Blau der dritten Ordnung ist vie1 matter als dasjenige
zweiter, die Farbe bessert sich schon im Blaugriin, und erreicht ihre hochste Reinheit im Griin, welches dem Griin
zweiter Ordnung an Schonheit weit iiberlegen ist. Dagegen
490
E. Lornmel.
ist das Gelb dritter Ordnung nicht so rein wie dasjenige
erster und zweiter Ordnung; die Sattigung nimmt noch a b
im Roth, wird aber im Purpur gegen Ende der Ordnung
wieder etwas vollkommener. I n der vierten Ordnung nahert
sich die Curve, nachdem sie mit abnehmender Farbung Blau
und Grun durchlaufen, rasch Clem Weiss.
Die Curve gibt nur den Sattigungsgrad der Mischfarben
an, nicht aber ihre Lichtstarke, auf welche doch, wie oben
bereits gezeigt worde, bei Beurtheilung des Farbentons ebenfalls Rucksicht zu nehmen ist. Man konnte sich, urn das
Diagramm nach dieser Richtung zu vervollstlindigen , d i e
Intensitiit als dritte Coordinate in dem zugehorigen Curvenpunkte auf der Ebene der Farbentafel senkrecht errichtet
denken, und dieselbe etwa durch Schattenconstruction in derselben Zeichnung ersichtlich machen, welche hierdurch freilich sehr verwickelt wurde. Man kann aber auch die Lichtstarke
als zum Polarwinkel y gehorigen Radiusvector
auffassen, und den Gang der Intensitit wie jenen der Sattigung durch eine in dem Farbenkreise verlaufende Curve
veranschaulichen, wie dies in Fig. 2 geschehen ist, wo die
ausgezogene Curve fur die Lichtstarke bei gekreuzten, die
punktirte bei parallelen Schwingungsebenen gilt.
Unter Mitberucksichtigung der Intensitat ergibt sicb
z. B., dass das Roth erster Ordnung, obwohl gesattigter als
das Roth der zweiten Ordnung, dennoch wegen seiner geringen Lichtstirke im Vergleich mit letzterem ziemlich unscheinbar sein muss. Blau und Gelb der zweiten Ordnung
und Griin der dritten Ordnung vereinigen einen betrachtlichen
Sattigungsgrad mit grosser Lichtstarke, und erscheinen daher
als reine und gknzende Farben.
Die mit Weiss im Mittelpnnkte des Kreises beginnende
Farbencurve der complementaren Erscheinung geht zuerst
mit geringer Sattigung und grosser Lichtstarkc durch die
Grenzfarbe Orange rasch in Roth iiber; auch hier zeigt sich
das Roth erster Ordnung gesattigter als dasjenige zweiter,
und ubertrifft hierin sogar noch das Roth der ersten Ordnung im vorigen Fall, bleibt jedoch wegen sehr geringer
Lichtstarke an Glanz hinter dem Roth zweiter Ordnung
zuriick, welches bei etwas geringerer Reinheit hinreichende
Miscl$arbeiz
I
49 1
Intensitat besitzt. Das Blau zweiter Ordnung ist stark gesattigt, aber vie1 dunkler als das schijne Blau der dritten
Ordnung, und das Griin letzterer Ordnung wetteifert a n
Lichtstarke und Reinheit mit dem Griin gleicher Ordnung
im vorigen Fall. Durch Reinheit zeichnen sich noch aus Gelb
und Orange der zweiten, und das Griin der vierten Ordnung,
welcbes der entsprechenden Farbe der vorigen Reihe iiberlegen ist. Tm Ganzen zeigt iibrigens diese Parbenfolge einen
ahnlichen Verlauf wie die vorige.
Fig. 2.
Bemerkenswerth sind noch die Durchschnittspunkte einer
jeden der beiden Farbencurven, welche zeigen, dass man
denselben Farbenton von gleicher Sattigung bei zwei verschiedeneo Gangunterschieden erhalten kann. Bei der ersteren
Curve gehijrt der erste Durchschnittspunkt, nehe der Grenze
E. Lorn inel.
492
zwischen Roth und Orange, der ersten und zweiten Farbenordnung an; ein Hick auf die Fig. 2 ergibt, dass diese Farbe
in der zweiten Ordnung heller ist. Die zweite und dritte
Ordnung zeigen zwei solche Durchschnittspunkte, den einen
im Blau, den anderen im Gelbgriin, mit geringem Unterschied in der Helligkeit. Bei der zweiten Farbencurve liegt
ein den beiden ersten Ordnungen gemeinsamer Punkt im
Roth, mit grosserer Lichtstarke in der zweiten Ordnung. In
der zweiten und dritten Ordnung finden sich zwei Durchschnittspunkte, im Blau, dunkler in der zweiten, hell in der
dritten, und im Gelb, hell in der zweiten, dunkler in der
dritten Ordnung; ferner gibt es noch zwei der zweiten und
der vierten Ordnung gemeinschaftliche Punkte im Blaugriin
und Gelbgrun, beide mit grosserer Lichtstarke in der zweiten
Ordnung.
Derselbe Gang der Rechnung und Discussion findet
Anwendung auf jede Lichterscheinung, fur welche der Intensitatsausdruck als Function der Wellenlange gegeben ist;
nur werden die Integrationen nicht immer so einfach auszufiihren sein, wie in dem mitgetheilten Beispiel der E’arben
diinner Blittchen. Fur die Beugungserscheinung eines engen
Spaltes z. B. hat man:
wenn p die Breite des Spaltes, x den Beugungswinkel, folglich /?sin x = d den Gangunterschied der Randstrahlen bezeichnet.
Die Integrale:
b
M= 0
493
i7lischfarlen.
fuhren dsdann auf die transcendenten Functionen Integralsinus und Integralcosinus, und lassen sich mit Hiilfe von
Tabellen dieser Functionen leicht berechnen. Ohne fur jetzt
auf diese Rechnungen ausfuhrlich einzugehen, beschriinken
wir uns darauf, die Misclifarbe zu ermitteln fur den Fall,
dass n d sehr klein ist. Entwickelt man den Intensitatsausdruck in eine convergente nach Potenzen von d fortschreitende Reihe und bleibt bei der zweiten Potenz von d stehen,
so wird:
Da nun:
an
~
0
2n
2X
2x
O
q Sd q = 0, Jrp cos y d e = 0,
0
=
4n,
0
Z?Z
Jsin q d y = 0, [ysin rpdy =
0
JyZcos ydrp
0
- 2n,
2%
Jyz sin y d y
=-4n2
0
ist, so ergibt sich:
M y = 47thd2(2a+ 6)
=---a
nbd'
66
Demnach nahert sich das Azimuth der Mischfarbe mit
verschwindendem Qangunterschied, d. h. wenn entweder der
Beugungswinkel oder die Breite des Spaltes immer kleiner
wird, einem Grenzwerthe y o , welcher durch dieselbe Gleichung :
n
tgy, = - hd
bestimmt wird, welche wir bei den Farben dunner Blattchen
bereits gefunden haben. Da x unmittelbar vor dem Verschwinden von d negativ, y positiv ist, so ist diese Grenzfarbe das oben schon erwahnte Orange A = 634. F u r d = 0
E. Loinmel.
494
selbst wird sowohl c als y und somit auch die Sattigung
Null, und M = 1; es herrscht also in der Mitte der Erscheinung reines Weiss mit voller Lichtstkrke, welches nach beiden
Seiten hin in das Grenzorange iibergeht.
Es leuchtct iibrigens ein, dass dieselbe Grenzfarbe jedesma1 nuftreten muss, wenn der Intensitiitsausdruck sic5 in
eine Reihe von der Form:
f
(t)
d'
=1
d4
-A + B -.
I
-
entwickeln Iasst, wo A , B u. s. f. positive Constante sind.
Dcnn man hat alsdann:
J!!
= 1 - a d ? (a'+ u b
+ 4 F )= 1 - 1233 (b262 + 3),
Nimmt dagegen der Intensitiitsausdruck, i n eine Reihe nstch
steigenden- P o tenzen des Gangunterschiedes entwickelt, die
Form:
1
(2'
d'
f ( - T )= A , , - B 1., +
a ' .
a n , so findet man:
M=
Ad2
-
13
s
(b'JS'?+ 3),
&IS
Ab'tl'
= __
2 7z2
,
My=----A b d ' .
2nS
'
in allen diesen Fallen also erlischt die Lichtstarke M mit
verschwindendem Gangunterschied, die Coordinaten x und y
aber und mit ihnen die Sattigung r convergiren gegen dieselben oben bereits gefundenen Grenzen:
und die Grenzfarbe ist jetzt, da xo positiv und yo negativ
ist, das zu jenem Orange complementare Cyanblau I = 480.
Die beiden complementaren Grenzfarben bilden demnach eine Erscheinung von grosser Allgemeinheit welche
unter den verschiedensten Umstanden immer in derselben
Weise auftritt.
,
Misclfwben.
495
Insbesondere diirften auch die Farben triiber Nittel,
d a s Blau im auffallenden, das Orange im durchfallenden
Licht, die ,,Orundphanomene'L der Go e t h e 'when Farbenlehre, unseren beiden Grenzfitrben entsprechen.
Nach der Theorie von C l a u s i u s ' ) ware das Blau des
Himmels nichts anderes als die Grenzfarbe Cyanblau mit
d e r Wellenlange 480, und nach meiner z, Theorie der Abendrothe, welche dieselbe als Beugungserscheinung erklart, entspricht die Grenzfarbe Orange mit der Wellenlii?zge 634 der
Earbe des Abendroths.
M i i n c h e n , im December 1890.
1) C l a u s i u s , Die Lichterscheinungen der Atmosphare (Grunert,
Beitrage zur meteorologischen Optik), Leipzig, 1850.
2 ) L o m m e l , Grunert's Archiv. 36. 1561. Pogg. Ann. 131. 1867.
Griinlichblau
Grunlicbblau
Grunlichblau
Grunlichblau
Blaugriin
Blaugriin
Griin
Griin-Gelbgriin
Gelbgrun
Grungelb
Gelb
Gelb
Orange
Carmin
Purpur
Purpurviolett
Blauviolett
Blauviolett
Ultramarin
Cyanblau
Blaugrun
Griin
Gelbgrun
Strohgelb
Hellgelb
Glanzcndeelb
Orangegdb
Rothlichorange
Warmes Roth
Dunkleres Roth
Purpur
Violett
Indigo
Himmelblau
Griinlichblau
Griin
Hellgriin
281
306
332
430
505
536
2 S 551
565
575
589
664
728
747
35 826
S
-
____--
~-
Schwarz
Eisengan
Lavendelgrau
Blaugrau
Hellgrau
Griinlichweiss
Fast rein weiss
Gelblichweiss
Strohgclb, blass
Farbc berechnet
.- ~ ~_ ._ _
_
__
Farbe
beobachtet
A n f a n g sahwarz.
0
40
97
158
218
234
259
267
275
d
-~___
480
480
481
484
494
500
522
535
551
17,4
17,t
15,7
12.6
7:9
6,3
4.3
319
4,O
~
I l r
n
2n-16
6
2~-26 4
2~-38 3
2n-79
9
n + 7 0 10
n f 5 8 57
439
444
451
476
496
58,2 23,4
59,O 24,7
60,l 27,l
54,9 44,5
43,l 56,9
58,9
59,2
~
76,6
75,3
72,9
55,5
43,l
41,l
40,s
6,5
10,2
17,2
56,9
76,9
78,5
77,9
17,s
19,4
22,3
44,O
56,s
57,4
53,5
60,6
64,s
60,2
33,4
18,7
16,l
16,3
__
0
0,9
691
19,7
50,6
60,6
63,8
61,3
60,l
~
M' r'
__
__
___
0
100
94,s
572
72,O
28,O
61,O
39,O
13,4
86,6
90,5
975
93,7
673
94,O
670
93,s
6,2
M
n-12 51 562 4,2 93,5
n-49
36 597 7,3 89,8
n-65
56 613 112,5 82,s
85 5 646 44,l 43,l
48 9 693 62,5 23,l
17 9 737 58,6 21,5
765 57,s 22,l
0
7c
55'
16
11
50
52
59
34
18
___
2n-84'
276-55
2%-87
zf87
z+73
zt64
zt35
Zfl9
~
Q,
__ __
- --
565
574
585
628
664
678
765
437
458
468
486
512
536
551
635
637
643
659
671
710
734
765
634
Braunlichweiss
Gelbbraun
Braun
Dunkelroth
Carminroth
Braunr.,fast schw.
Dunkelviole tt
Indigo
I Blau
Grunlichblau
Blaulicbgrun
Blassgriin
Gelblichgriin
Hellgrun
Griinlicbgelh
Lebhaft gelb
Orange
Braunlichorange
Hellcarminroth
Purpur
Blauviolett
Ultramarin
Cyanblau
Griinblau
Grun-Blaugrun
Griin
Gelbgriin
Gelbgrun
Gelbgrun
Gelbgriin-Gelb
Orange
Hochroth
Hochroth-Carm.
Purpurviolett
Farbe
beobachtet
Orange
Orangeroth
Roth
Carmin
Purpur
Purpurviolett
~-
i' Farbe berechnet
-
A n f a n g weiss.
Die Parben dunner Bllttchen.
rp
2
.-
3
b
oa
CD
1.3
w
7
3
e
3
p
0
c
~
948
Orange
Orange
Blaugrau
Hell Grunlichbl.
Blklichgrun
Schon Eiellgriin
Hell Graugrun
~-
56,O
52,3
50,3
50,3
55,2
n-23
n-71
70
12
0
52
44
40
12
37
21
14
33
~
46,7 40,8
26,2 47,7
21,7 52,3
22,6 58,l
21,4 58,O
437 l8,9 56,9
443 15,6 155,2
455 11,4 52,9
500 7,O 1 49,O
551 3,O 48,9
57 2
619
664
744
765
2n-15 24 438 15,6 55,9
2%-28 38 446 44,2 55,8
n f 7 4 9 494 41,4 47,9
n f 2 1 14 533 54,O 40,7
n
55 1 56,4 39,2
1
-r
.____
__
-n-12O 59' 562 38,8
n-29
14 577 12,o
n-57
4 604 48,O
n-80
12 629 50,4
67 11 668 49,5
0
7 65 46,7
9
Blauviolett
2n-11
Ultramarin
2n-21
U1trani.-Cyanbl. 2n-44
B1augr.-Griin
n+65
Gelbgriin
n
Gelbgrun
Orange
Hochroth
Purpurviolett
Purpurviole tt
Grunlichgelb
Fleischfarbe
Carrninroth
Matt Purpur
Violettgrau
1426
1495
1534
1621
6 8 1652
1682
1711
1744
1811
78 1927
Blauviolett
Ultramarin
Blaugriin
Griin
Gelbgriin
Hell blaulichv.
Indigo
Grunlichblau
Meergriin
Glanzend. Griin
Purpurviolett
4 s 1101
1128
1151
1258
1334
5 8 1376
Dunkel violettr.
998 Lebh. rothlichor. Hochroth
__
I Farbe berechnet
843 G e l b l i c h a Gelbgriin
866 Grunlichgelb
I Gelbgriin
Gelb
910 Reines Gelb
______
Farbe
beobachtet
I'
-
32,2
23,9
23,7
31,4
29,6
57,8
55,9
38,O
37,O
36,3
53,4
53,4
52,7
51,l
50,O
57,6
______
Farbe berechnet
~
I
beobaehtet
Farbe
Dunkelblau
I
_
_
._-
Graublau
MeergrIin
Schon Griin
Matt Meergriin
Gelblicbgriin
Ultramarin
C anb1.-Blaugr.
Bfaugriin
Griin
Gelbgrun
443
47 1
496
540
551
Griinlichgelb
Gelbgrau
Mrtlvenroth
Carminroth
Grauroth
Gelblichgrun
Unreines Gelb
Fleischfarbe
Roth
Violett
Gelbgriin
Gelbgrun-Belb
Hochroth
Purpur
Purpurviolett
564
576
659
731
765
499 B1augr.-Cy anbl. Griinlichblau
Griin
551 Gelbgriin
477 Cyanblau
137 B1auv.-Purpurv. Violettpurpur
446 U1tram.-Blauv. Violett
462 Cyanb1.-Ultrain. Indigo
-~
__
'.9
__
--
Anfa.ng weiss.
(Fortsetzung.)
43,l 25,O 561 Gelbgrun
44,8 19,2 573 Gelbgrun-Gelb
47,l 12,8 592 Gelb
51,O 6,7 670 Hochroth
51,l 2,s 765 Purpurviolett
59,2
52,3
47,7
41,9
42,O
44,l
44,2
52,l
59,3
60,8
44,O
47,4
49,7
49,7
44,s
D i e F a r b e n d u n n e r Bliittchen.
A n f a n g schwarz.
4
W
l
b