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Berechnungen der Intensitt und Phasenanomalie im Bildraum von Mikrowellenlinsen.

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A N N A L E N D E R PHYSIK
7.FOLGE
*
BAND 15.
HEFT 5-6
*
1965
Berechnungen der Intensitat und Phasenanomalie
im Bildraum von Mikrowellenlinsen *I
Von HORSTGRUBER
Mit 5 Abbildungen
Inhaltsiibersicht
.
Mit Hilfe der skalaren I(IRCHH0FFschen und der vektoriellen SEvERIwschen Beugungatheorie wird die Feldverteilung im Bildraum verschiedener Linsen und Blenden berechnet.
Damit kann ebenfalls die Verteilung der Intensitat und der Phasenanomalie angegeben
werden.
1. Einleitung
I n den letzten Jahrzehnten gewannen die Beugungsphanomene im Gebiete
der Mikrowellen technisches Interesse. Fur die Berechnung von Mikrowellenantennen der Nachrichten- und Radartechnik konnten die Beziehungen der
Beugungstheorien des Lichtes nicht mehr ohne weiteres angewandt werden, da
man bei der Ableitung solcher Beziehungen im allgemeinen voraussetzt, daI3 die
Wellenlange klein gegeniiber den geometrischen Abmessungen ist. I m Bereiche
der Mikrowellen trifft dies jedoch nicht zu. Es interessiert namentlich auch die
Feldverteilung in nachster Umgebung des Hindernisses. Die Naherungen der
klassischen Optik versagen daher.
Im letzten Jahrzehnt selbst gewann die Untersuchung der Pha sen- und
Intensitatsbeziehungen im Brennraum von Mikrowellenlinsen an Bedeutung, da
solche Linsen mit Erfolg in Antennensystemen der Nachrichten- und Radartechnik eingesetzt werden und auch fur Belange der Hochfrequenz-Teleskopie
von Interesse sein konnen. Sie konnten auch zum Zwecke der Energiekonzentration verwendet werden. Bei solchen Untersuchungen interessiert auch die
Phasenanderung, die eine Welle beim Durchgang durch einen Brennpunkt oder
eine Brennlinie erleidet . Die vorliegende Arbeit sol1 ihr besonderes Augenmerk
auf diesen Effekt richten.
Die Phasenanomalieerscheinungen im Brennraum konvergenter Wellen wurden im Jahre 1890 von GOUYentdeckt. Untersuchungen iiber die Gouvsche
[2].
Phasenanomalie im optischen Bereich wurden von GOUY[l], JOUBIN
FABRY
[3], ZEEMANN
[4], SAGNAC
[5], STREHL[el, REICHE[7], DEBYE[81,
MOBIUS [9), FISCHER
[lo], PICHT
[ll] und BREUNINGER
[12] sowie vor alleni
von RUBINOWICZ
[13] angestellt. Das Prinzip aller dieser Versuche laBt sich wie
folgt kurz zusammenfassen.
*) Auszug aus der Dissertation Nr. 10/1963 der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen
Fakultat der Karl-Marx-UniversitatLeipzig.
1 5 Ann. Physik. 7. Folge, Bd. 15
226
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 15. 1965
Man iiberlagert einer zu untersuchenden Kugelwelle eine koharente ebene
Welle oder man iiberlagert ihr eine andere koharente Kugelwelle. Man beobachtet die Interferenzerscheinungen. Sind die Zentren der Intreferenzerscheinungen vor dem Brennpunkt hell, so sind sie hinter dem Brennpunkt dunkel.
Eine Erklarung findet dieses Experiment durch die Annahme, daB sich die
Phase der Welle beim Durchgang durch ihren Brennpunkt urn 180" andert. Eine
konvergente Kugelwelle zeigt die Erscheinung der Phasenanomalie.
Auf diese Art bewiesen die oben genannten Autoren im Bereiche der Optik,
daB sich die Phase im Bildraum von spharischen wie auch Zylinderlinsen stetig
andert .
Theoretische Erklarungen des Phasenanomalieeffektes wurden ausgehend
von der skalaren KIRCHHoFFschon Theorie oder direkt von der Wellengleichung
aus gegeben. Alle diese Rechnungen wurden in optischer Naherung ausgefiihrt.
Das heiBt, mannahm an, daB die Wellenlange viel kleiner als die Apparatedimensionen sei. Eine weitere Voraussetzung war die Annahme, daB die Bildweite viel
groBer als der Blenden- ode] Linsenradius sein moge. RUBINOWICZ
[13], 1141
und BOUWKAMP
[I57 dagegen gelang die Umformung des zweifachen KIRCHHoFFschen Flachenintegrals in ein Linienintegral iiber die Berandung ohne
Vernachlassigungen und damit eine exakte Berechnung der Phasenanomalie. Die
Gesamtwelle kann als Summe der geometrischen Welle und der Beugungswelle
dargestellt werden.
Allgemein 1aBt sich das Ergebnis dieser experiinentellen und theoretischen
Betrachtungen wie folgt zusammenf assen :
1. Die Behandlung der Phasenanomalie als Beugungserscheinung macht sich
notwendig, weil die Erzeugung konvergenter Kugelwellen immer von einem
Beugungsvorgang begleitet wird.
2. Dieser Beugungsvorgang bewirkt die Endlichkeit der Intensitat im
Punkte der geometrischen Strahlenvereinigung und die stetige Bnderung der
Phase.
3. Die Gesamtphasenanderung im optischen Bereich betragt bei Kugelwellen
18O0, bei Zylinderwellen 90".
Untersuchungen im Bildraum von Mikrotvellenlinsen wurden im letzten
Jahrzehnt veroffentlicht. Solche Arbeiten liegen von BACHYNSKI
und BEKEFI
[16, 171, MATTHEWS
und CULLEN [lS] sowie vor allem von FARNELL
[19, 20, 21,
221 vor. In diesen Arbeiten wurden experimentell die Intensitiit und die Phasenanomalie im Bildraum spharischer Linsen, die aus massivem Djelektrikum bestanden, untersucht. Die Berechnung der Intensitat und der Phasenanomalie
stiitzte sich in allen Fallen auf die skalare KIRCHHOFFsche Theorie. Diese Untersuchungen hatten folgende Ergebnisse :
1. Der GouY-Effekt im Mikrowellenbereich konnte bestatigt werden.
2. Durch punktweise Messung mit Punktabstanden weit kleiner als die
WellenlLnge wurde wesentlich genauer als im optischen Bereich der stetige
Verlauf der Phasenanomalie nachgewiesen.
3. Die vektorielle Struktur der elektromagnetischen FeldgroBen fand keine
Beriicksichtigung, da alle Berechnungen von der skalaren KIRcHHoFFschen
Theorie ausgingen.
4. Experimentelle oder theoretische Untersuchungen an Zylinderlinsen im
Mikrowellenbereich liegen nicht vor.
H. GRUBER:Berechnungen der Intensitiit und der Phasenanomalie
227
Daraus ergab sich sinngemail3 als Aufgabe fur die eigene Arbeit die Berechnung des Phasen- und Intensitatsverhaltens im Bildraum von Mikrowellenlinsen
nach einer vektoriellen Theorie und ein Vergleich mit entsprechenden Messungen.
Die Argumente, die fur die Anwendung der vektoriellen Theorie sprechen,
seien kurz zusanimengefal3t.
1. Die Verwendung der vektoriellen Theorie macht sich deshalb notwendig,
weil die elektromagnetischen FeldgroBen vektorielle Struktur besitzen. Der
Wert des vektoriellen Verfahrens zeigt sich schon beim Ansatz der ausleuchtenden
magnetischen Feldstarke, deren Richtung eben auch beachtet wird.
2. Unentbehrlich ist die vektorielle Darstellung bei der Betrachtung auil3eraxialer Aufpunkte unter Beriicksichtigung der Polarisation, weil eine skalare
Theorie Polarisationsverhaltnisse nicht liefern kann.
3. Die Ergebnisse der vektoriellen Theorie stimmen mit denjenigen der
skalaren Theorie iiberein, wenn die Bedingungen erfullt sind : Wellenlange
R Q Bildweite R, und Blenderadius eo Bildweite R, (s. auch Abb. 4 und
Abb. 5). Dies ist als Ergebnis der vorliegenden Arbeit zu werten.
4. Wie weit die Abweichungen der vektoriellen von der skalaren Theorie
gehen, ist theoretisch nicht zu entscheiden. Das Experiment mu13 zu einer solchen
Entscheidung herangezogen werden. Hierzu konnen geeignete Abmessungen und
Brennweiten der Linsen Verwendung finden, bei denen Abweichungen auftreten.
2. tfber grundlegende Formeln der Beugungstheorie
<
In einem kurzen AbriS werden die hier zur Anwendung gelangenden Formeln
erlautert. Diese Ausfuhrungen lehnen sich a n eine Darstellung von SEVERIN[23]
an.
Bekanntlich erhalt man durch Umformung einer GREENschen Formel die
&RCHHOFFSChe Formel der skalaren Beugungstheorie
n ist die nach aul3en gerichtete Normale, fur k gilt
k
2n
= -und die GroBe r ergibt
A
sich aus Abb. 1 als der Abstand PQ zu
+
+
o~.
r = )’(z - t12 (Y - 1 1 ) ~ (2 P ( x ;y ; z) ist hierbei der Aufpunkt
___---I
und Q ( 5 ;7 ; () der Integrationspunkt.
I
Die skalare KIRCHHOFFsche Formel,
die ihrer Natur nach Problemen der
Akustik angepaBt ist, gibt also den
im Inneren
Wert einer Funktion u (P)
sc -z F .Q (f,p , Cl
eines Bereichs G entsprechend Abb. 1
an, wenn auf der Berandungsfkche F
des Bereichs G die Funktion u ( Q )
a
und ihre Ableitung
u (Q) bekannt
(eltend) I - _ _ _ _ _ -
an
sind. Die entscheidende mathematische Schwierigkeit bei der An15*
(2.2)
-- - - .
(voz$en- - -
,
\
\
1
/
/
/
,/
/
.--,
/
abb. 1. Zur Anwendung der vektoriellen
SEVERINSChen Formeln
228
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 16. 1965
wendung der skalaren KmCmOFFschen Theorie besteht nun darin, daD man
a
u(&)und - u(&) nicht unabhiingig voneinander vorgeben kann. Schon durch
an
Wahl einer dieser beiden GrdDen ist u im gesamten Integrationsbereich festgelegt und damit auch auf der Berandung. Die Losungsfunktio?, die die KIRCHHoFFsche Formel liefert, genugt bei unabhiingiger Vorgabe der Randbedingungen den urspriinglich angenommenen nicht, obwohl sie die Wellengleichung
erfiillt.
Bekanntlich kann man durch Einfiihrung GREENscher Funktionen e k e
LBsung erlangen, die diese Schwierigkeit nicht enthiilt. Dies sind die SOMMERFELDschen Formeln der skalaren Beugungstheorie.
Eine iihnliche Problematik ergibt sich nun auch bei der Anwendung der
Formeln der vektoriellen Beugungstheorie.
Die bekannten vektoriellen Formeln von KOTTLER
liefern die Werte der elektrischen Feldstirke Q (P)und der magnetischen Feldstiirke $j(P)
im Inneren e k e s Bereichs G, w e m 6(&)und Q (&) a d der Berandungsfliiche F bekannt sind. Man darf also Q ( & ) und
nicht unabhiingig
voneinander vorgeben, Tut man dies jedoch trotzdem, so kommt man zu einer
mathematischen Diskrepanz, ihnlich wie bei der skalaren KIRCHHoFFschen
Beugungstheorie. KOTTLEB
[24] erhielt seine Formeln els Losung e k e s Sprungwertproblems. SEVERIN[23] leitete sie als Losung eines Randwertproblems unter
der Voraussetzung eines vollkonimen leitenden und reflektierenden Schirms her.
Er nahm dabei einen abgeschlossenen Bereich G an. Entaprechend Abb. 1denkt
man sich den Schirm unendlich ausgedehnt, um Randeffekte auszuschlienen.
Setzt man die Integrationsfliiche als eben voraus, so gelangt man nach [23] durch
Einfiihrung vektorieller GREENScher Funktionen zu den SEvERINschen Formeln
der vektoriellen Beugungstheorie
a(&)
E(P)und Q ( P )im Bereichsinneren sind also durch 6(&)oder Q(&) auf der Berandung berechenbar. Es liegen zwei Formelsysteme 1 und 2 vor. Eine mathemetische Diskrepanz ist nicht m6glich, die Randwerte reproduzieren sich. Die
KoTTLERschen und die SEVERmschen Formeln sind iibrigens durch folgende
H. GRUBER:Berechnungen der Intensitiit und der Phasenanomalie
229
Beziehungen miteinander verkniipft :
(2.10)
Fur die weitere Anwendung der SEvERINschen Formeln und damit die Wahl der
Randbedingung gilt folgende f’berlegung. In einer Offnung eines vollkommen
leitenden Schirms ist die magnetische Feldstarke gleich der der einfallenden
Welle. Zur Anwendung gelangt daher Formelsystem 1. Diese f’berlegung gilt,
wenn die geometrischen Abmessungen nicht wesentlich kleiner als eine Wellenlange sind.
3. Bereehnung des Verhaltens von Phase und Intensitat im Bildraum von Mikrowellenlinsen und Blenden
3.1. Allgemeines
Die Berechnung der Feldverteilung und damit der Phasen- und Intensitatsbeziehungen im Bildraum von Mikrowellenlinsen la& sich auf direktem Wege
kaum durchfiihren. Der physikalische Gesamtvorgang bei der Abbildung durch
eine Linse, der sich aus Brechung und
Beugung zusammensetzt, lal3t sich schwerlich in einer geschlossenen Formel erfassen. Urn die Berechnung trotzdem
durchfiihren zu konnen, denkt man sich
statt desvorgangs mit Linse der Abb. 2
einen Beugungsvorgang wie er in Abb. 3
gezeigt ist. Mit diesem Ersatzbild sind
also die in Abb. 2 auftretenden Beugungsen Feldverteivorgange der einfallenden divergierenden
oder ebenen Welle an der Blende der
Lime ersetzt worden durch die Beugung einer konvergierenden Kugelwelle a n
derselben Blende (Abb. 3).
Fur den Fall der Ausleuchtung einer kreisformigen Blende durch eine ebene
WeIle wurde von ANDREJEWSKI
[25] eine exakte Losung angegeben. Des grol3en
Aufwandes wegen konnen Probleme wie die Berechnung der Feldverteilung von
Linsen kaum auf diese Art
durchgefiihrt werden.
Fur die nachfolgende Berechnung der Verhaltnisse von
Abb. 3 nach der skalaren
KIRCHHoFFschen Theorie ent-’-’
sprechend der Formel (2.1)
sowie nach der vektoriellen
SEvRRINschen Theorie entsprechend den Formeln (2.5; 6)
seien in Abb.
das
Abb. 3. Ersatzbild fur die Berechnung der Feldvernatensystem und alle wichteilung im Bildraum von Linsen
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 15. 1965
230
tigen Bezeichnungen fiir eine spharische Linse angegeben; Abb. 5 zeigt dasselbe fur eine Zylinderlinse. Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im
geometrischen Bildpunkt bzw . im Symmetriepunkt der Bildlinie.
Die optische Achse ist mit der x-Achse identisch. Der Metallschirm sei eben.
Er befindet sich im Abstand R, links vom Bildpunkt bzw. der Bildlinie; R , r b
ist also die Bildweite. Ein Punkt der Schirmoffnung hat die Koordinaten
Q = (6;q; () mit f = -&,, der Aufpunkt die Koordinaten P = (x; y; x ) . Die
Koordinaten des geometrischen Bildpunktes sind B = (0; 0 ; 0) bzw. die Koordinaten der Brennlinie der Zylinderlinse Br = (0; 0 ; 2 ) .
Abb. 4. Koordinatensystem im Bildraum einer sphiirischen Linse
t
s
Abb. 5. Koordinatensystem im Bildraum einer Zylinderlinse
Wichtige GroBen, die in den nachfolgenden Abschnitten dieses Kapitels
wiederholt gebraucht werden und die aus Abb. 4 und Abb. 5 direkt ablesbar
sind, seien im folgenden aufgefuhrt.
Es ist der Abstand PQ allgemein
____
7 = v t x - Q2
(Y - rY
( z - Q2 = c/cx
(F17)2 ( 2 - 02.
+
+
+
+
+
(3.1)
Fur axiale Punkte P ( x ;y = 0 ; z = 0) gilt
H. GRUBER:Berechnungen der Intensitat und der Phasenanomalie
Der Abstand axialer Aufpunkte P ( x , y = 0 ; z
randes (Blendenradius Po) ist gegeben durch
=
0) von Punkten des Blenden-
r1 = v ( x + R,)2 + e6.
Es ist der Abstand BQ fur spharische Linsen
+
231
(3.3)
+
Rs, =
q2 t- C2 = 1/RB e2.
(3.4)
Fur axiale Punkte Q(5 = - R,; 71 = 0 ; = 0) ist RSp = R,.
Fur Punkte des Blendenrandes (Blendenradius Po) ist>der Abstand BQ gegeben durch folgenden Ausdruck
-,
( :3.5)
RSp(e
Po) = ro = 1/J3
Es ist der Abstand BrQ fur Zylinderlinsen
<
+
1
+
136 + e2
C O S ~y .
(3.6)
0) gilt R,, = R,.
Der Meridianwinkel (Kugelkoordinate in Abb. 4 und Abb. 5) kann berechnet werden durch
Rzy = 1/R$ q z =
Fur axiale Punkte Q([ = - R,; r/ = 0 ;
=
(3.7)
Der Einheitsvekt’or in Richtung des Polarwinkels wird folgendermal3en dargestellt
ep = - sinpe, f c o s p e , .
(3.8)
Das Flachenelement auf dem Schirm S . dessen Flachennormale nach aufien
(vom Bildraum her gesehen) gerichtet ist, ergibt sich durch den Ausdruck
d f = - a q . a [ . e, = - eavaee,.
(3.9)
Die Integrationsgrenzen der Kreisblende sind folgende :
(3.10)
y = 0 bis y = Zz,
e =0
bis
e =eo.
(3.11)
Die Integrationsgrenzen der Rechteckblende sind gegeben durch
q=-b
bisq=+b,
= - a bis i = + a .
(3.12)
(3.13)
Um eine beliebige in x-Richtung fortschreitende Welle mit beliebigem Intensitatsverhalten und beliebiger Phasenanomalie mit einer ebenen Welle zu vergleichen und ihr Intensitats- und Phasenverhalten zahlenmaaig erfassen zu
konnen, wurde fur die elektrische Peldstarke, die im allgemeinen komplex ist,
folgende Darstellung gewahlt
(3.14)
& = &, [ X + i y ] = @, . R . e-ia . e--ihz e i w l .
X ist hierbei der Realteil. Y der Imaginarteil der Feldstarke. @, ist ein Einheitsvektor.
Die Gro13e
(3.13)
R = l/X2 Y2
+
charakterisiert das Intensitatsverhalten der Welle. Die Intensitat J wurde durch
die Formel definiert
R
(3.16)
J = 20 log
= 20 log[dB].
-el-IE
Illlax
RM~X
Annalen der Physik. 7. Folge. 3and 15. 1965
232
Hier ist R , der Maximalwert von R.
Die Gro13e
6 = arctg
(3.17)
[GY1
-
-
ist die (nicht normierte) Phasenanomalie. Als Phasenanomalie selbst wird die
GroBe bezeichnet
(3.18)
Z = 6 - So = arctg
- arctg
LY1
~
Es ist hierbei
so = 6 .(
~
[-iYlx=0
(3.19)
= 0).
3.2. Die Bereehnung der Feldverteilung einer spharischen Linse nach der skalaren
Theorie
Die Ausleuchtung einer Kreisblende nach Abb. 4 durch eine skalare Kugelwelle wird durch folgende Funktion gegeben :
etk%
(3.20)
u ( Q ) = u Q = A __ .
Rs,
A ist ein Dimensionsfaktor.
Setzt man die Funktion (3.20) in die Formel (2.1) ein, so erhalt man fur beliebige Aufpunkte P ( x ;y ; Z )
UP==
--A(x+R,)
-___
4n
lei;;;;
f*
___
(dk ++)@
d@d y
(3.21)
c=O e=O
- A R,
___
4n
/ 1
eo
2n
eWh-r)
~(ik--;)edodY.
c=O e = O
Fur axiale Aufpunkte P (x;y
=
0 ; z = 0) ergibt sich
(3.22)
Man ken4 leicht zeigen, daR diese Formel identisch mit der von FARNELL [20]
(unter der Nummer 1)angegeben ist, wenn man die dort in der Form eciot definierte Zeitabhangigkeit beriicksichtigt . Die Ableitung der FARNELLschen Formel
erfolgte (s. Einleitung) durch Umformung des Flachenintegrals in ein Integral
iiber die Berandung (MAGGI-Transformation),also auf anderem Wege als eben
gezeigt wurde. Fur die weitere zahlenmaaige Auswertung wurde (3.22) mit Hilfe
der Eumxschen Formel umgeformt. Fur die interessierenden GroBen (3.14),
(3.15) und (3.17) ergab sich
u p = A &kx
eiot
+ is]= A e-ikx . eimt . R .
(3.23)
,
[r
I
= arctg
[?-I
R
=
-
--s
= arctg
I/gz+ Fz,
(3.24)
sin k(ro fx
~
rob1
2rlrO
-
rl)
- cos k(r,
+ + Box
+ x - rl)
(3.25)
-
T = -1 X
(3.27)
H. GRUBER: Berechnungen der IiitensitLt und der Phasenanomalie
233
Fur den geometrischen Bildpunkt B (2; y = 0; z = 0), der mit dem Koordinaten-Ursprungspunkt identisch ist, erhalt man durch Anwendung der Regel von
DE H HOSPITAL
8(z = 0) = 6, = 90" und
(3.28)
R ( z = O ) = / S ( z =O ) ] = - - k
(1 - 3r,) .
(3.29)
Naeh Formel (3.18) ergibt sich dann die Phasenanomalie
Z= 6
-
So
=
[z]
arctg =- - arctg
[--~
::Io))] [g]
=
arctg
90".
(3.30)
Da der Maximalwert von R nicht bekannt war, wurde eine GroBe J' unter Bezugnahme auf (3.29) mit dem elektronischen Rechenautomaten ermittelt
J'
=
20 log
R
R ( z = 0)
(3.31)
.
Graphisch findet man aus der GroRe J' nach (3.31) dann die Intensitat J nach
Formel (3.16)
(3.32)
Fur die Gesamt-Phasenanomalie
Zgim gesamten Bildraum mu13 gelten
zg= Z(z = - R,) - Z(z300).
(3.33)
Man benotigt dazu die GroBe 6 fur x + 00. Sie ergibt sich durch approximative
Entwicklung aus (3.25; 26; 27) und man findet schlie13lich
8 (z -+00)
=
arctg
sin k(r, - Bo)
~
2 r,
r,+R,
.
(3.34)
- - _ _ ~
- cos k ( r , - R,)
Unterzieht man die Formel (3.26) und (3.27) einer Reihenentwicklung unter der
Bedingung Po 4 R,,so erhalt man die Naherungsformeln
-1
rl
- ro
(3.35)
'1'
(3.36)
Diese Entwicklungen gelten nicht fur Aufpunkte in Schirmnahe.
3.3. Die Berechnung der Feldverteilung einer Zylinderlinse nach der skalaren Theorie
Die Ausleuchtung einer Rechteckblende der Abb. 5 wird im Falle einer Zylinderlinse durch folgende Funktion gegeben
(3.37)
Annalen der Physik. '7. Folge. Band 15. 1965
234
Setzt man die Funktion (3.37) in die Formel (2.1), so erhalt man fur beliebige
Aufpunkte P ( 2 ;y ; z )
Fur axiale Aufpunkte P
( 2 ;y ; =
0; z
=
0) gilt (3.38) zusammen mit (3.2).
3.4. Die Bereohnung der Feldverteilung einer spharisohen Lime naoh der vektoriellen
Theorie bei Ausleuohtung der Blende mit einer Hugelwelle
Die Ausleuchtung einer Kreisblende der Abb. 4 durch eine periphere magne-
tische Feldstarke einer Kugelwelle wird durch folgende Funktion gegeben
e'kfisP
=
8Q= A
(3.39)
RSD e g .
Setzt man (3.39) in die Formel (2.5) ein, so erhalt man fur die elektrische Feldstarke an beliebigen Aufpunkten P (x;y ; z )
@ ( P ) = @p
71
-AR,
2nik
-
~ = 0 p=O
+
R,, . r5
eW%p-r)
VR; +
e2 C O S p
~
+
x { ~ ( x Bo) (2 - 5) e,
S(Y - q) (2 - 5 ) e,
wobei u und V durch (3.41) und (3.42) gegeben sind:
ii = - k 2 r 2 3 i k r
3
v
=
Fur axiale Aufpunkte P (z;y
kZr4
=
+
+
-ik9
- r2.
+
e dy de
-
(3.40)
+ 91 e,},
(3.41)
(3.42)
0 ; z = 0) erhalt man
2n
sin y cos y dy
(3.43)
c'=O
Wie man sieht, ist eine elementare Losung dieser Integrale nicht moglich, man
erhglt bei der p-Integration elliptische Funktionen. Eine elementare Losung
erfordert die Entwicklung des Wurzelausdrucks
(3.44)
H. GRUBER: Berechnungen der Intensitat und der Phasenanomalie
235
Setzt man diese Entwicklung (3.44) in (3.43) ein, so 1aBt sich die y-Integration
ausfiihren und man erhalt
Die Ausfiihrung der @-Integrationergibt schlieBlich nach einigen Umformungen
Hierbei wurden folgende Abkiirzungen gebraucht :
Q = m sinkx[Cikx - C i k ( r , - r,)] - rn cos k x [ S i k x - S i k ( r , - r , ) ] , (3.47)
~
- No + N 1 c o s k ( r , + 5
-
rl)
+ H,sink(ro + x - r , ) ,
~
P
=
- m c o s k x [ C i k x - C i k ( r , - r , ) ] - ms in k z [ S i k x - S i k ( r l - r o ) ]
(3.48)
+ No - M , cosk(r, + x - r l ) + N , sink(r, + - r , ) ,
m = 3k4x4 + 12k4x2R6+ 1 2 k 4 x 3 R 0 + 8 k 2 x 2 + 1 G k 2 x R O + 8 0 k 2 ~ ~ + 8 ,(3.49)
(3.50)
M , = 10 - 3 k 2 ( 5 + 230)' - F
8 RO( x
+ 9RJ,
No = 2 k -~ 8 k R o - 7 2 k4
T + ~Px+
( x2.R0)2,
(3.51)
I(:
X
(3.52)
N,
=
10kr, - Zkr,
x
%fro
-
r:
~~
+ 3k3x(x + 2B0)( r , +
T,)
- 8k(x
7 2 k R i ( x + R,,)2 .
+ J?,,)~
(3.,53)
r?(r1 - ro)
Nach Formel (3.18) erhalt man dann die Phasenanomalie
,Z
=
6 - 6,
= arctg
[T]--
arctg
%[$I
.
(3.54)
Nach Formel (3.16) ergibt sich die Intensitat J
(3.55)
Eine weitere Auswertung der Formeln (3.54) und (3.55) wurde bisher nicht vorgenommen.
3.6. Die Bereehnung der Feldyerteilung einer sphiirisehen Linse nach der vektoriellen
Theorie bei Ausleuohtung der Blende mit einer ,,Pseudo-Kugelwelle"
Urn ohne Reihenentwicklung (s. Kap. 3.4.) eine Losung der Formel (2.5) zu
erhalten, wurde fur die Ausleuchtung der Kreisblende der Linse der Ansatz
einer ,,Kugelwelle" gemacht, deren magnetische Feldsttirke y-Richtung (hori-
236
-innden der Physik. 7. Folge. BtLnd 16. 1965
zontal in der Ebene des Metallschirmes) hatte
(9.
Abb. 4) :
p B l D
fjQ
= -A-
(3.56)
e,.
R#D
Durch Einset,zen von (3.56) in die Formel (2.5) erhalt man fur die elektrische
Feldstarke an einem beliebigen Aufpunkt P ( x ;y ; Z )
(3.57)
x
+
{ ~ ( x Ro) (z - 5) e,
+~
( -y I)'
(2
- 5 ) e,
+ e, [a( - + 4}.
wobei u und ij durch (3.41) und (3.42) gegeben Bind. Fiir axiale Aufpunkte
P (5; y = 0;z = 0 ) la& sich die y-Integration durchfiihren und man erhiilt
(3.58)
Diese Formel ergibt sich iibrigens auch nach Kap. 3.4., wenn man in der Entwicklung (3.44) nur die GrBBe 1in der eckigen Klammer beriicksichtigt!
Die Integration ergibt schlieI3lich
Q -A k e e-ikz ,$lot [H + .&]= :4 e, e-ikz . &Jt. R . e-id
(3.59)
p2 e
2
wobei gilt
a= sin k x [ C i k x - C i k ( r l - r O ) ]- Po + F ,
k x [ S i k x - S i k ( r l - fo)]
(3.60)
E, sin k ( r o x - T ; ) ,
COB
+ x - r1) +
cos k ( r O
+
-
G = - COB k x [ C i k x - C i k ( r , - r O ) ]- sin k s [ S i k z - S i k ( 7 , - rO)]
+ Eo - El cos k(rO+ z - rl) + PIsin k ( r o + x - r,) .
(3.61)
Hierbei wurden die Abkurzungen gebraucht
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
(3.66)
-
=
arctg
--If
(3.67)
H. GRUBER:Berechnungen der Intensitat und der Phasenanoinalie
237
Wie im Abschnitt 3.2. erhalt man fur den geometrischen Bildpunkt
-
H ( z = 0)
=
-e%
kr,5 '
(3.68)
~~
(3.69)
Die Phasenanomalie 2 ergibt sich dann nach (3.18) aus der Kenntnis der GroBe
6, = 6 ( x = 0), die ungefahr 90" ist,:
Z
=
6 - 6,
= arctg
[21
-
arctg
[ ;r==;)
1.
(3.70)
Die Intensitat, J wird nach der Formel (3.16) errechnet
(3.71)
Die zahlenmaBige Berechnung von J wurde nach dem unter 3.2. beschriebenen
Verfahren vorgenommen.
Unterzieht man die nicht elementaren Funktionen in den Formeln (3.60)
und (3.61) einer approsimativen Entwicklung unter der Bedingung kx
I, so
erhalt man
P4cos k ( r , + z - r l ) + Elsin k ( r , + z - r l ) ,
G, = E, - P4 sin k ( r , + z - r l ) - E , cos k ( r , + z - r J .
H,
= P, -
(3.72)
(3.73)
Hierbei wurden die Abkiirzungen gebraucht
(3.74)
(3.76)
Um die Gesamt-Phasenanomalie Zgnach (3.33) zu berechnen, benotigt man die
GroI3e 6 fur z + 00 (9. auch (3.17)). Eine approximative Entwicklung (z --f a)
von (3.72, 73) ergibt schlieRlich
b(z-+m)=
k
-,(r0-Ro)f90"~n.180";
(3.76)
wobei fur 6 gilt
sin k(r,
-
R,)
I. Quadrant
2 0 IV. Quadrant.
Unterzieht man die Formeln (3.72) und (3.73) einer Entwicklung unter den Bedingungen A < R,;e,
R,, so erhalt man die Naherungsformeln
<
-
G,
und
=
-2
(1 k ( r , - ro)
&)sink(r, + x
- rl)
(3.77)
238
Annalen der Physik. 7. Folge. Band 15. 1965
Man sieht, daB Obereinstimmung zwischen den Entwicklungen der vektoriellen
Formeln (3.77; 78) und den Entwicklungen der skalaren Formeln (3.35; 36)
unter den dort eingegangenen Voraussetzungen besteht.
3.6. Die Berechnung der Feldverteilung einer Zylinderlinse nach der vektoriellen Theorie
Die Ausleuchtung einer Rechteckblende nach Abb. b durch eine periphere
magnetische Feldstarke im Fall einer Zylinderlinse wird durch folgende Funktion
gegeben ( A ist ein Dimensionsfaktor)
(3.79)
Durch Einsetzen von (3.79) in die Formel (2.5) erhalt man fur die elektrische
Feldstarke an beliebigen Aufpunkten P ( x ;y; z )
(3.80)
+
+
+
R,) (2 - 5 ) e,
~ ( -y q ) ( 2 - 5 ) e,
e,[a(z
x {wobei u und V durch (3.41) und (3.42) gegeben sind.
Fur axiale Aufpunkte P (x;y = 0; z = 0) gilt schliel3lich
x {-
U(B
- U2
+ 51),
+ R,)r e , + aqCee,+ [at2 + @I eJ,
wobei (3.2) zu beachten ist.
3.7. Die Berechnung der Feldverteilung einer Hreisblende nach der vektoriellen Theorie
bei Ausleuchtung der Blende mit einer ebenen Welle
Die ausleuchtende magnetische Feldstarke hat in einem solchen Fall die einfache Form
,fjQ = A' eikRo e,
.
(3.82)
A' ist hierbei ein Dimensionsfaktor. Mittels G1. (2.5) erhalt man aus (3.82) die
gesuchte elektrische Feldstarke. SEVERIN[257 hat diese Berechnung ausgefuhrt.
Ausgehend von seinen Formeln kann man fur Aufpunkte der optischen Achse
in der Darstellung nach Formel (3.14) folgendes Ergebnis erhalten
mit den Abkiirzungen :
-
D =2
+ kr? sin k(x + R, - r l ) - I1 +
-@
cos k ( x
+ R, - r J ,
(3.84)
(3.85)
Die auf den Koordinatenursprungspunkt bezogene Phasenanomalie betragt
1= 8
-
6,
=
arctg
[g]
- arctg
-C(z
= 0)
D ( r = 0)
1.
(3.86)
H. GRUBER
: Berechnungen der Intensitat und der Phasenanomalie
239
Die Intensitat J berechnet sich zu
(3.87)
Die zahlenmaflige Berechnung von J wurde nach dem unter 3.2. beschriebenen
Verfahren vorgenommen. Urn die Gesamt-Phasenanomalie Zgnach (3.33) zu
berechnen, benotigt man die GroBe 6 fur x -+ 00. Man erhalt dann schliei3lich
S ( x -+ G o ) = - 90".
(3.88)
3.8. Die Bereehnung der Feldverteilung einer Rechteekblende bei Ausleuchtung der
Blende mit einer ebenen Welle
Auf eine Darstellung dieser Rechnungen sol1 hier verzichtet werden, da
hieriiber bereits von SEVERIN
und KORPER[2G] eine ausfiihrliche Arbeit existiert.
Eine Anwendung der im Rahmen dieser Arbeit abgeleiteten Formeln fur die Berechnung der Intensitiit und der Phasenanomalie sowie einen Vergleich mit experimentellen Ergebnissen findet der Leser in1 folgenden Aufsatz.
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27) SEVERIN,
Leipzi g, Physikalisches Inst.itut der Karl-Marx-Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 19. Mai 1964
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