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Berichtigung der von Rudberg berechneten Axenwinkel der zweiaxigen Krystalle.

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225
R u d b e r g berechneten
Axenwinkel tlrr zweiaxigen Klysialle;
con E. W i l r l e .
1V. Bi>rictttigung der
con
Hauptsiichiich in der Absicbt, die Fresnel'sche Tbeorie
der doppelten Brechung zu priifen, bat R u d b e r g bekanntlich ffir einige zweiaxige Krystalle die Winkel, die von
den beiden optischen Axen gebildet werden, nach dieser
Theorie berecbnet, und die Resultate der Rechnung mit
seinei: Messungen verglichen I ) . Bei dem Arragonit findet
er aber zwiscben der Recbnung und Beobachtuug eine Differenz von 2", und bei dem farblosen Topas sogar eine
Differenz von mehr a16 8'. R u d b e r g sucht zwsr diese
so bedeutenden Differenzen, beiin Arragonit wenigstens, daraus zu erkllren, dafs bei den Messungen die Stellen der
beiden Axenpole sich nicht genau erkennen lassen; mau
wurde indefs, wenn die F r e s n e 1 'sche Theorie durchgiingig und bei allen Krystallen Febler von solcber GrbCse
zuliefse, nicbt jeden Zweifel an ihrer Webrheit unterdrficken
k6nuen. So verhlllt es sich aber nicht, sondern R o d b e r g
hat hier vielmebr die F r e s n el'scbe Tbeorie nicbt in ibrem
wahren Sinne sosewandt.
Werden mit u und u' die Fortptlanzungegescbwindigbeiten der beiden, senkrecht auf einander polarisirten Strahlen von beliebiger Richtung bezeichnet, in welche sich eiu
einfallender bei seiuem Eintritte in die zweiaxigen Krystalle
spaltet, und sind e nod 6' die Winkel zwiscben diesen
Strahleu und den optiscben Axen, so bat man, sagt R u d berg, in, Skns der Emanationstheorie fur die Geschwindigkeit des einen Strahles die Gleichung:
(I)
oz==A+Bsin2;(e-e'),
in welcher A urid B Coustante sind, und fur die des anderen die Gleichung:
I ) Diere Annalea Bd. 17, S. 1.
PoggendorlPs Annrl. Bd. LXXX.
15
226
(2) d 7=A+Bsiii';(a+e'),
in Folge dcr F r e s n e l ' s c h e u Theorie zu nehmen. W o l l e
mati aber die Geschwindigkeiteu im Sinne der Undtilations1
theorie b'erechueu, so mlisse mau iu dieseii Formelu p
1
rind 7 slalt u aud
0'
setzeu.
Weil sie jedoch, im Siiiuc
der Einanatioustheorie augewandt, eiufacher siud, uud weil
daun zugleich die Geschwiudigkeiteu der Strahlen in deli
Krystalleu durcli die Brecbungsexpouenten selbst angegebeu werden, sobald ihre Geschwiudigkeit in der Luft zur
Eiulieit genolnmeu ist: so wolle er seine Recbuiiogen lieber fur die Elnauatioustbeoric durchftihrcu.
R i i d b e r g hatte, uin die zur Berechnuug des Axeuwiukels erforderlicheu Brechungsexponeiitei~zii bestimineu, drei
Arlen voii Prisinen aus dem Arragouit schleifen Iasseu. I11
der eiuen Art, welche ich das Prisina P neuueu will, war
die Kaiite des brecheuden Wiiikels parallel mit der N i t telliirie (Fig. 1. Taf. IV.) dd', welclie deli spitzeu Wiukel
xcy=a der beideu optischen Axeu x w uud ys halbirt.
l u dcr audereu Art, die das P r i m a Q heifseu soll, war
die brechcucle Kaute parallel iiiit der Liuie f f ' , die seukrccht stelit niif der Mittelliuie dd'. In der drittcu Art eudlich, welcbe ich has Drisina R neuuen mill, war die brecheiide Kaute parallel mit eiuer Linie, die mau scnkrecht
auf der Ebciic der Axen (der Ebeue der Zeichnuug) in c
zu dcuken hat.
Fur das Prislna P, desseu brechende Kaute parallel mit
der Mittelliuic dd' ist, stellt f f ' den Durchschnitt der auf
der Ebene der Zeichnuiig seuhrechteu Uurcbgaugsebeue dcr
beiden gebrocbenen Stralileii vor, und es ist iu diescln
Falle jedcsmal die Summe dcr Vl'iukel e t a ' = 19O". Ileiiu
ist s c die Hiclituiig des eiiieu oder auderen Strahles iu der
durcii f f ' i;eliciitlcii uud auf dcr Zciciiuuiig selibrechteu
Ebene, siud also die Bogcu s z uiid sy die M a a t e dcr
Winkel a' uiid a, so ist, wenn man den Bogen a urn den
Bogen sz, zit 180" crgluzt, dcr Bogeii sx so grofs, als 8s.
III den beideu spharischcn Dreiecken c f s x und c f s z ist
227
ngmlich der Winkel rcf derselbe, ferner der Winkel f c x
und der Neigungswinkel der Ebene c f s
gegen die Ebene der Axen in beiden Dreiecken ein rechter. Man hat also a+sl;= 180°=&+rs=6+
B', folglich B -d=lSOo -2d, uud aus (1) und (2):
(3) u ? = A + B c o s ? d
( 4 ) u"=A+B,
so dafs u' in diesem Falle constant ist.
F[ir das Prisma Q, in welcbem die brecbende Kante
parallel mit ff ist, und die Durcbgangsebene der gebrocbeneii Strahlen durch die Mittellinie dd geht, siud offenbar die beiden Winkel E ond 6' jedesmel gleich. Es ist
dnher fur diefs Prisma:
(5) BZ=A
( 6 ) dz=A+Bsin2 E',
in diesem Falle also die Geschwiudigkeit 0 constant.
FUr das Prisma R endlich, in welcherii die hrechends
Kante senkrecht auf der Ebene der Aren steht, die auf
dieser Kante senkrecbte Durcbgangsebene der gebrochenen
Strahlen also in die Ebene der Axen filllt, ist jedesmal
&=&'+a, folglich &-$=a, und a+e'=2ef+a,
mithin
=f'cy=fca,
(7)
u9=A+Bsin7
(8) u'*=A+Bsin'
" ;I ,
E + -
und in diesem Falle, wie im zweiten, die Gescbwindigkeit B constant, weil der Axenwinkel cc einen constanten
W e r t h bat.
In einem der beiden Spectra haben also fur jedes der
drei Prismen die Strablen eine constanle Geschwiodigkeit,
rind zwar sind i n Folge der F r e s n e l ' s c h e n Theorie diese
Strablen von constanter Geschwindigkeit jedesmal dicjenigen, in denen die Aethervibrationen parallel mit der jedesiiialigen brechenden Kante erfolgeu. R u d b e r g konute
dahcr diefs Spectrum v'on dem anderen mit verlnderlicher Geschwiudigkeit der Strablen durch eine Turmalin15
*
228
platte, die vor das Ocular des Ferurohres gebracht war,
durch welches die Farben der Spectra betraclitet wurden,
leicht unterscheiden , da eine solclic Plnttc bekanntlich
nur die rnit ihrer Axe parallelen Aethervibrationcn durch18lst. Das Spectrum, welches sichtbar blieb, wenn die
Axe des Turmalins parallel mit .der brecheudeu Kantc gclialten wurdc, entstand nlmlicb jedesmal durch Stralilcn
vou constanter Geschwiudigkeit.
Mit seiner unfibertroffeneu Sorgfalt bestilnmte nun R u tlb e r g dic Brecliutigsexponenten fur die Strahlen von constauter Geschwindigkeit in jedeiii dcr drei Arragonityrismen
P, Q, R uach derselben Methode, nach welcher er aiich die
Brechuugsexponenten des Kalkspatlis und Hergkrystalls gcfundeii hatte, fur jedc der siebeii F r a 11 n h o f e r’sclien Liaien
besonders, und erhielt z. B. fiir die Liaicu H, E, D, B die
Wcrtlie SO, wie sie in folgender Tabelle angegeben siud:
Arragonit.
Brechungsexponenten der Ytrahlen von constmter
Gescliwindigkeit
Bezeichnet man mit R u d b e r g den Brechungsexpouenten fiir das erste P r i m a und fijr die gelbeu Stralilen, die
zur Linie D geharen, lnit n’, fiir das zweite lnit n’“, uud
fiir das dritte mit n”, so hat man also im Sinne der Emunationstheorie aus ( 5 ) :
n”’*=1,6858g2=2,84222 = A ,
ferner ails ( 4):
n’z
1,530132=2,3.1129=A-t-B,
woraus
B-,,’Z - nlf12
0,50093,
I
-
--
endlich aus ( 5 ) :
n”*=1,68157* =2,82768=A+Bsiu2
p,
229
so d a b
und der ganze Axenwiukel a= 1 9 O 36'. Werden die Axeuwinkel aucb fur die anderen F r a u n h o f e r ' s c h e n Liuieu
i n derselbeu Wcise berechuet , so betommt inaii folgende
Tnbelle:
Stralil.
Rcrrcliacte walire Axenwinkel d u
Arragooitr.
19 53
19 36
19 44
A o eiuer Arragonilplatle, dereu parallele Oberfliiclieu
(Fig. 2. Taf. IV.) A B uiid a b senkrecht gegeu die Ebeue
dcr opfischen Axen P Q uiid p q gescliliffeu waren, faiid
iiuu R u d b e r g durch wiederholte Messuugen den scheinbnren Winkel p h P = P der optischen Axen (den Winkel,
den die i n der Richtung der Axen durch deu Krystall gehendeu Strohleu uach ibrer Brecbung iu die Luft init eiuauder bildcn) uogefijlir 32'. Es inub sicb also, wenn die
Messuiigcn niit der Tbeorie Bbereiustimmen, aus deu vorsteheudeu wahren Axeuwiiikelu p c P = a (die vou deu Axeu
im Krystall wirklich gebildet werdcn) ebeu dieser scheinbare Winkel ergeben.
Die Geschwiudigkeiten der beiden Strahleu, die in der
Richtuug einer jedeu der bcideu Axeu den Krystall durcbdringen, siud uicbt blofs coustant, sondern aucb gleicb,
indein danu aus (1) und ( 2 ) fur e'=O und & = a :
w?=w'*
=A+Bsiu2
.;
Diese beideu Strahleu, die hngs jeder Axe eben deshalb
ungetrennt fortgeho, weil ibre Gescbwiodigkeit eiue gleiche
ist, spalten sich jedoch bei ihrein Austritte in die Luft iu
P und p , uud cs befolgt nur dcr eiue von h e n , desseii
Vibrationen der brcchendeu Ksute parallel siud, das Gesetz des S ii c I1 i us. Da die Durchgaugsebene beider Strah-
Strahl.
Bcreclinetc sclieinbarc Areowinkel des
Arrrgooitr.
33 21
so dafs der Mittelwertb uugefalir
34" betragt, uud die Beobacbtung VOD der Recbuuug uin etwa 2" abweicht.
R u d b e r g , der als den Gruud dieser Differeuz die Uasicberbeit aosieht, die von der Messuiig der scbeiubaren
Axenwinkel uutreniibar ist, sricbt die Ursacbe dieser Un-'
sicherheit besouders dariu, d a b die beidru Strableo, die in
den Krystallen Iiiugs 'jeder .Axe sich uugespalten fortbewegeo, bci dew Austritte in die Luft sich trennen. So berecliiiet er fiir die Stelle H des Spectrum deu Wiukel,
tiui deu sie beim Arragonit getreunt werden, auf 2" 7'20".
J3ei deu Messuugeu werden aber die Axenpole in der Mitte
der weiten, vou farbigen Ringeu umgebeneu Curveu geuoulmen, uud bier wiirde inan die Axeupole auch wirklich
sehu, wenu die beideu Straldeu, die aiigetrennt liiugs jeder Axe durch deu Krystall gingen, in Richtuugeii, die delieu der einfalleaden parallel siiid , austreteu wlirdcn. Da
aber die auslreteudea Stralileu divergiren, so eutslebe ebeu
hierdurch die grofse Uiigeunuigkeit iu der Bestim~nung der
scheiubareu Axeun iukel.
In derselbeii Weise, \vie bei deiii ArIagonit, bestiuimte
H u d b e r g mittelst der Prismen P, Q, R aucb die Brechuugs-
231
cxpotientcu fiir deli farbloseii TopaB, uud fautl ftir diesclben folgeade Werlbe :
Topas.
hechitogaexponenten der Strnbleo voo coostaoter
Geschrviodigkeit
wor;ius sich die Axetiwinkel far cben diese Stralilcti crge-
beti, wie folgt:
A,ls Mittelwerth erlidlt innu also 56". B r e r v s t e r aber hat
deli walireii Wiokel der optischen Axen im Topas = 6 5 O ,
und R i o t ihn = 6 1 O 14' gefunden, so d a b die Differenz
bier 8 bis 9 Grade betragt.
Da es lnir nicht wrnbrscheinlich schien, dafs der von
R u d b e r g angegebene Grund so grofse Differeuzen ia deli
berechneteu und beobachteten Axenwinbela zur Folge habeu k6une, so unterwwf iclr die vorstehenden Recbnungen
einer geuauereu PrUfung, und Ubeneugle micb durch dieselbc, dafs H u d b e r g die Fresnel'schen Gleichungeti
nicht i u ibrer wabreu Bedeutuag genointnen babe, dnfs aber,
weiiii diefs geschieht, die Theorie iin Einklaoge init deli
Ueobachtuiigen ist, wic aus detn hier Folgenden hervorgelin wird,
F r es ti c 1 , dcr seiuc Thcoric der doppelten Brechiitig
riiclit iiti Siuue der Etoanatious-, sotidern vielmtlir i u tleiit
tlcr Uudulatioustbcoric durchgefulwt hat, giebt , wctiii t l i c
~ ~ ~ ~ c l ~0s,~d,a &,l c E't ~die vorige Redeututig behaltcti, fiit-
232
die Fortpflaiizungsgeschwindigkeiteu der beiden entgegengesetzt polarisirteu Strahlen, in welche sich eiu einfallender
in den zweiaxigen Krptallen spaltet, die Ausdriicke an I ) :
( 9 ) u7=bS+(az-bb")siul~(e-~e3
(10) u'?=b* +(a* -b2)sinz ;(e+e'),
die zugleich die Geschwindigkeileu -der beiden entgegengesctzt polarisirten Strahlen in den eiuasigeu Krystalleu umfassen.
Fur die einuxigen Krjstalle fallen niinilich die beiden
Axeu, auf welche sich diese Gleichungen beziehen, in eine
einzige, folglich auch die beideii Wiukel E und e' i n einen
gleichen Werth y zusainlnen, uud so gelien die Gleichuiigen in diesepl Falle in die Formen ubcr:
(11) u'=bZ
(12) u'*=b*+(a~-b~)siii*rp,
so dafs a = b die in alleu I)urchgaiigsriclitun~cn durch die
Krystalle stets gleicli bleibeude Geschwindigkcit der sogenannten gmohnlichen (ordinuren), und u' die in verschiedencn Richtungen veriinderliche Geschwindigkeit der ungmohnlichen (atraordiniiren) Strahlcn ist. Die Gescbwindigkeit dieser lelzteren hat in den negaticen einaxigeu Krystallen, fur welche im Sinne der Undulationstheorie a > b,
ihr IIlaxiinuin a fur rp=90", wenn also die Strahleu in
einer gegen die Axe senkrechlen Hichtuag durch den Krystall gehen, ihr Minimum b aber fur y = O o , wean die
Hichtiing der Strahleu h i t der Axe ,zusaminenfiillt. In deli
positiaen einaxigen Krystalleu dagegen, f[ir welche in der
Bedeutung der Undulationstheorie a < b , wird aus dern
Maximum das Minimuin uud umgekehrt.
Bckanntlich stehen im Sinne der Emanationstheorie die
Geschwindigkeiten der Lichtstrahleu in der Luft und in einein anderen brechenden Mittel im ulngekehrteu Verhlltuifs
I ) 3 I h . de l i c n d . drs sciences de 1'Znst. de Piimcr; 1825.
tvm.
VII.
pog. 45 in dcm Dlim. sur III doubIe rgruction. Ferncr kf2nwnts
de phys. expCrirnentidr pnr Puirillr t , trois. M i t . turri. 11 pitg. 341.
Diese Annaleo Bd. 23, S. 37%.
233
ihrer Brechung in diesen beiden Mitteln, im Sinne der Uudulationstheorie aber im geradeu VerhSltnifs der Brechung,
wetin iii beiden Fallen ihre Geschnindigkeit in der Luft
zur Eiuheit getlommen wird. So verhtilt sich die Geschwindigkeit des Lichtes in der Luft zu der im Wasser fur die
Emanationstheorie wie 3 : 4 , so daL
(der gerade Brechungsexpouent) seine Geschwindigkeit im Wasser ist; fiir
die Utidulntionstheorie abcr ist diese letzterc = 3 (der utngckehrte Brechungsexpooent ).
Urn diefs auf den Kalkspath anzuwenden, so f a i d M a l u s I ) mittclst eines Prisma aus diesem Krystalle, in we!cliem die brecliende Koiite der Axe parallel war, den fur
alle Durchgntigsrichtungcn constant en Brechungsexyoti en tell
der gewbhnlichen Strahlen =1,6343, und den kleimten Brechungsexponcnten der ungewbhnlichen, wenn aie irn Krystalle
eine gegen die Axe senkrechte Richtung hatten, =1,4833 *).
FUr die Emanationstheorie ist also 'aach die constante Gcschwindigkeit der gew6hnlichen Strahlen im Kalkspatb B'=
1,6543, und die kleinste der ungew6hnlichen, weun sie
eiiie gegen die Axe seukrechte Richtuag liaben, a'= 1,4833;
ffir die Undulatioustheorie dagegen ist die coostante Ge-
+
schwindigkeit der gewbhnlichen Strahlen b= 1=0,604465,
b'
und die grafste Geschwindigkeit der ungewthlichen, wenu
sie eine gegen die Axe seukrechte Richtung liaben, a=-
1
a'
=0,674172, welche W'erthe auch mit ibrern schon v o n
H u y g e i i s 3, besliminten Vethlltuisse 0,93610: 1,03032 ziemlich genau Ubereiustirnmen.
Uin aus diesen Constanten fur jede andere Richtung
1') llidvrie de frr dvcibfe r4:jinction de fu fumiirr.
pug.
Puris,
If310
199.
2 ) Nacli R u d b e r g ' s geoaueren Uestimmungen enlspreehen diese Brecliungsexpoocmtcn einer zwiselien B uod C lirgendrn Slelle des SpccFiir die Linien D ond E , wclchc dem gelben Liclrte aogelrfireo, rand er die Brccbungscxponentcn der grw6Lnlieheo Slralilen 1,6585
uml 1,6636, und die der ungew8Loliclren 1,4863 und 1,4887. l)icssc
truios.
h n n a l c i r Bd. 14, S. 51.
3) Trucfutus dc fumirrr, cup. V
234
der Lichtstrahleu ihre Geschwiudigkeit ableiteu zu kUuneu,
diirfe man zwar fiir die Emanatioustheorie, sagt R u d b e r g ,
die Gleichuugeu ( 9 ) bia ( 12) uugeandert beibehalteu, fiir
die Uudulatioostheorie aber lniisse man 1 uud -1i statt v
a
0
uud v' nehmeu, und er wolle daher die Recbuuiigeii in
ihrer eiufachereu Form fiir die Einntiationstheorie durchfiihreu.
R u d b e r g scheint also vorausgesefat au haben, d a b
beide Theorieen ou denselben Resultaten fiihren, wie sich
Cliefs doch keinesweges so oerhalt, woau noch kommt, dars
auch die grorsere Einfachheit der Forineln in der Emanafionstheorie #ur fur einen einaelnen Lichtstrahl behauptet
werden kann. Denn oersteht man unter der Geschwindigkeit des Lichtes nicht sowohl die eines einselnen wirkungslosen Elementars frahles, sondem snit grurserem Rechfe die
G'eschwindigkeit der Lichtwelle, die sich aus diesem Strahle
und den in seiaer unmittelbaren Nahe bepndlichen ousamtnensefat: so darf man fur die Undulationsfheorie nicht die
ganaen rechten Seiten jener Gleichungen umkehren, sondern
nur die umgekehrfen Brechungsexponenfen staft der Consfanten in denselben nehmen, wodurch sie fur die e k e Theorie
durchaus nicht einfacher, als fur die andere werden.
Nimint man ii~mlicli im Si'iiiie der Uiidulatioustheorie
die Geschwiudigkeit b=0,6')4483 des hugs der optischeu
Axe des Kalkspaths sich fortbewegeudeu Strahles zu der
eiueu Halbaxe (Fig. 3 Taf. IV.) c g , die Gescbwiudigkeit
ac=0,674172 des iu senkrecbter Richtuug gegeu die Axe
sich bewegeudeu Strables aber zor auderen Halbaxe cd
eiiier Ellipse, uiid denkt inau dicsclbc uiii die kleiiic Axe
g1=2.cg gedrelit, um das sogeuaiiute Spharoid der doppelten Brechung fur deu Kalkspath zu erhalteu: so ist, weuu
der Wiukel f c g , deli der Radius c f = r mil der Halbaxe
cg bildet, mit Q bezeichuet, uiid a u s f die Ordiuate f m = y
sciikrecbt auf die grofse Axe gefsllt wird, uacli der Gleicliuug der Ellipse:
235
ba
fmz =rz cosz 'p= a1
- (a? -cmz)
= - (1'a *
-r7siu?cp), woraus
a'
a' b'
(13)
r*=
_1 --- cosacp
bl =
+
,. sia'q
b'2
f'
oder
+blsi-'
a'eorlcp
+(dZ-b") sinz y.
Es stilnlnt also dieser Ausdruck mit dem von
0'' iu (12)
iiberein, und es ist daher im S h e der Emenationstheorie,
fur welche a' und b' die geraden Wertbe der Brechuugsexpoiieuteu bedeuten, die Geschwindigkeit eines gegen die
optische Axe des Kalkspaths uuter dem Winkel 'p geneigfen Lichtstrahks nichts anderes, als der umgekehrte Werth
des zugebbrigen Radius c f in dem Spharoid der doppelten
Brechung. Fiir die Undulationstheorie iet folglich die Geschrviudigkeit eben dieses Strahler der Radius selbst , weil
die Strablgesclwindigkeiten in der einen Theorie die UUIgekehrteo Wertbe von denen iu der anderen sind.
Man hat aber aucb, wenu die Tangeute kf an deu
Puokt f gezogen wird, fur cm=x die Subtongente m k =
-2 , folglich
X
nl
aa
ck=-, X
und, da die Tangeute die mittlere Proportionale zwiscbeu
der Subtangelite oud der Sulnine der Subuorinale ba.x
- und
a'
Subtaugente ist:
-2')
(a'
kfL --
[a'
-( a'-
V)x']
9
aax2
folglich, weuii aus c das Loth cn auf die Tangente gefallt,
uud tier Winkel ncg=ckn, tleu diefs Loth lnit der optischeu Axe c g oder die Taugente mit dcr Axe der x bildet,
init I!) bezeichuet wird:
fmnl = - (baa 2
'
a
--z':)=kp
-(a' - 2)[a' -(az~~
dX'
.siii2 I/)
V )2)sin' ~p
, woraus
a'siu' tp=-z7 [b' +(a? --lz)siu? tpJ,
236
so dafs
cnz=ck2.siii2q=
a'sin'7
-=b'+(a2-b2)sin*q,
Xa
Es slimint also auclr dieser Ausdruck, in welcliein u und b
die ulngekehrten Brechungsexponenten sind, init dein in
(12) iiberein, mit dem Uiiterschiede jedoch, dafs hier das
Zeichen 7p iiicht die Neigung der optischen Axe gegen deu
Lichtntrabl cf, sondern viellnehr den Winkel der optischen
h e mit der Richtung c n bedeutet, die senkrccht ist gegen die Frontebene k n der Lichtwelle, die sich aus den
zii of und zu den nahe gelegeiicn Strableu gehhigeii Eleiueiitarwellen zusaininensetzt. So darf inau also statt der
Coiistauteii in der Gleichung (12) nur die umgekehrten
llrechungsexponenlen nehnieii , dainit sie in diesein Siniie
fur die Uiidulationstheorie die Quadrate dcr Geschwiiidig .
keitcu der uugew8hiiliden Strahleii aiigebe. _.
U m diefs durch eiii Beispiel noch mehr zu erl%iiterii,
so hat inaii filr die Einauationstheorie b" =2,'736708 und
a'* =2,200178, folglich fiir cp =30", weiiii die Geschwiiidigkeit in der Luft zur Eiiiheit geiiolnineii wird:
~ ' ~ = b " ~ + (-b"~)siii73Oo=2,60237,
u'~
uud aus (13) fur b 2 =0,363402 uiid a* =0,454305:
cf
!
=r?=0,38623= 2,6025i
-I
'
so dafs hier die Geschwindigkeit das Umgekehrte des Ra-
dius ist. Fur diesen Werth von cp hat inan aber auch
c m = x = r s i n 30n=O,m993 und xz =0,09606, folglich
tangy=
b.r
-- ---
flit
Em
a(a2-za,t
-O,4641583=tang24"53',
iii i t hi n
c n ' = b z t ( a ' --b')sin? 21"53'=0,38118,
uiid es ist dieser Werth irn Siune der Undulationstlieorie
zwar nicht geuau das Quadrat der Geschwindigkeit (0,38423),
uiit welcher sich der Strahl cf im Kryslalle bewegt, wohl
aber der genaiic Ausdruck fur das Quadrat der Geschwiudigkeit, mit welcher die zu diesein Stralrle geharige Licht-
237
welle in einer gegen ihre eigene Froutebene k n seukrechtell Richtuiig c n im Kryatalle sich fortpflanzt.
Unter der opthchen Axe, die in deu einaxigen Krystalleti jcdesinal auch die krystuflograpkische ist, hat man
daher nicht sowobl die Richtung zu verstehn, in welcher
cin gewfihulicher uud ungewohulicher Elementarstralil eiue
gleiche Geschwiodigkeit haben, sonderu vieltnehr die Riclituug, in der sich die Froutebeuen der zu diesen Strahlcll gebfirigeu Lichtrvelleu mit glcicher Geschwiudigkeit bcwegcn.
Werden in eben dieser Bedeutuug fur die Uudulntionsthcoric die Gleichun'gcti (9) und ( l o ) aucli far clic aweimigen Krgstalle augewaudt, - bci deneir iiiau der vorigcu
Entwickluug gemiifs utiter deli beideu optiscken Asen tlic
Hiclitungeu zu verstehcu hat, in deneti die Froutcbeeen
dcr zu beiderlei Strahleu gehbrigeu Lichtwellcu eirie gleiche
Geschwiudigkeit babeu
uiid die Pristneii P, Q,R in dem
vorigen Sinne genomruen: so ist fiir das Pristna P, in nelchem die Kante dea brecheuden Winkels parallel ist mit
dcr Mittelhie (Fig. 1. Taf. IV.) dd', und die Suuime der
Winkel e+e'=180°,
folglich E - e'=180°-2&':
-
(14)
(13)
o2 = b i +(az
o'%a*,
- b2)c0s76'
a. also die fur alle Durchgaiigsrichtungea constante Geschwiiidigkeit des eincu StrahlenbUodels in deui auf dcr
Mittelliuie scnkrechten Schuitte f f . Uie veranderliclie Gcschwindigkeit des anderen Biindels dagegcn kaiiii, wetin
a wieder den Wiukel der optischen Axeu bedeutet, vou
&'=go" bis &'=go"--
U
2
variiren, so dafs mail a = b als
I'
das Miuimutn, und e= [ b 2 + ( a ? - b z ) s i i i 2 ~ Tats dasMa-
xilnuin der Geschwiudigkeit dieses BUndels in dcin Sehnitte
f f ' erll8lt, weun a>b. 1st aber a < b , so wird aus dew
BIaxiinuin das Miiiinium wid uingekehrt.
Fur das Prisma Q, in welchem die breclrenclc Kante pa-
rallel mit f f ' ist, und die auf f f ' seukrechte Durchgaugs-
ebene der gebrocbenen Strahlen durch die Mittelliuie d 6
gebt, sind die beiden Winkel E und e' gleicb. Es ist daher far diefs Prisma:
(16) w z = b 2
b* (az b Z )sin 6 =a?-(a'
b 2 )COS' e,
(17)
und b die fiir allc Durchgangsrichtungen constante Geschwindigkeit in dem durch die Mittelliuie gehenden, und
auf f f senkrecbfen Scbnitte. Die veriinderliche Gescbwindig-
+ -
-
keit dagegen kann vou &=go0 bis
a
a variireu, so d a b
man w'=a als das Maximum, und ~ ' = [ a ~ - ( u * - b * ) c o s ~7'~
&=-
*I
als das Minimum erhalt, wenn a>b. 1st aber u < b , so
wird auch hier aus dem Masiinum ein Minilnuin und umgek ehrt.
Die Maxima und Miuinia der vertinderlichen Gescliwiiidigkeiten 0 und 0' treten also iu diesem Falle und dem
vorigen enlweder danri eiu, wenn die zugehbrigen Strahlenbiindel durch die Ebene der Axen geheu, oder ~ e n n
sie eine gegen diem Ebeue senkrechte Kichtung habcn.
Fiir das dritte Prisina R, iu welchem die auf dcr brechenden Kaute senkrechte Durchgangsebeoe der Strahlen
in die Ebene der Axen fdllt, so d a t &=&'+a, folglich
&-&'=a uud c + E ' = ~ & ' + c c ;
wird
(18)
wq=b'+(a?
(19)
u'*=b'+(a7-b2)sin2
-b*)sin2%
,
(E '+T;>
und in diesem Falle die Geschwindigkeit o constant.
Die
verauderliche Geschwindigkeit a' kann dagegen von e'=
a
-2
a
bis &'=goo-- 2 variiren, so daCs mail n'=b als das Miiiimuin und d=a als das Maxiinum erbiilt, me11i1 u>b.
Fur a < b wird arich hier aus dein Maximum das Minilnuin
und umgekehrt.
Werden nun diese irn Sinne der Undulationstheorie gciio~nmeilen Gleichungen zur Berechuung des Axenwinkels
239
ita Arragooit aogewandt, so bat man in Folge der Tabelle
Seite 228 fur den Strabl D aus (15):
a2
'
= 1,530 13' -0,42713,
~
feriier aus (16):
~7=b*---
- J,6&5&9'-0,35183,
folglich aus (18):
0 2
- -=0,35364=b2
+(a7
-b7)si1l21,
a
1,68157'
\v oraus
urid a=l7050'. Berecbaet man eben so nocb die Axenwiiikel fur die Strablen H , E iind B , so erhglt man folgeiide Tabelle:
Strahl.
R
E
D
B
Berechnete
wallre
Axenwinkel ales
Arregonits.
IS0 26'
18 2
17 50
17 58
a m der sich der Axenwinkel in seinem Mittelwertbe fiir
die zu E iind D gebarigeii gelbeii Strablen = 15" 56' ergiebt. Es hat aber B r e w s t e r ' ) mittelst des voii ibm
selbst bestimmten Brecbungsexpooenten 1,693 den Axenwinkel im Arragonit = 18" 18', mittelst des R u d b e r g ' schen Exponeliten aber diesen Wiiikel = 17O33' gefunden. Da nun der hier berechnete Werth voii 17" 56' genail iii der Mitte zwischen diesen beideii, von B r e w s t e r
bestiinmtcii liegt, so kann mau sagen, dafs beim Arrugonit
die Theorie mit den Beobachtungen ubereirrstimmt.
In der vorstehenden Tabelle ist es zugleich unverkeiinbar, dafs die Axenwinkel roil dem violetten Eude H des
Spectrums nach dcm rotbeii B bin kleiner werden, iudem
die Abweicbung von diesem Gesetze bei B ohoe Zweifel
1 ) Dicte Annalen Bd. 27, S. 504.
240
niir in einer weniger genaueu Besliminung der zu diesem
Strahle gehorigcu Erponenten ihren Grund hat.
SprPcheii nicht tauseud andere Grtinde gegen die Emsiintionslheorie, so wiirden schon Rechnuogen, wie dimC,
fiir die allcinige Wahrlieit der Undulationstheorie zeiigen
k h n e u . Werden die F r e s n el'schen Gleichungen in dein
Sinne der ersteren verstanden, so gebcu sie Resnllate, dencn die Natur widerstrebt; dieselben Gleichungen abcr,
fiir die Uiidulatioiistlieorie genomlnen , sind iu vollkomlueueui Eiuklauge mit der Natur.
Werden die Gleichungen ( 9 ) und (10) fur dic UnduIntionstheorie auch auf den Topas angewandt, so findet mau
folgeude Axenwinkel:
Strrlil.
Bereelmete walirc Axenwinkel dcs
Vropas.
550 10'
56 58
56 58
56 6
-I-/
B
so dnrs inan als Axcuwiiikel fiir die gelben Strahlen etwa
57" bckoiulnt. Es weicht dieser Winkel von Biot's Messungen also immer noch um 7" ab, die Differenz ist aber
doch um l o geriuger, als sie sich nach R u d b e r g ' s Rechnungen herausstellt.
R u d b e r g selbst macht darauf aufinerksain , dafs dcr
Gruud, aus welcbeln er die fehlencle Uebereiustimmiing zwisclieu der Theorie ulid den Beobachtungeii beiin Arragonit
erklaren zu kOunen glaubte, bei einer so grofsen Differeuz,
wie sie hier beim Topas gefunden ist, nicht ausreichend
sey. Es geht diefs ja aucli schou daraus hervor, weil sonst
beim Arragonit, wo der Trennungswinkel der beiden austrctcnden Strahlenbundel nnch R u d b e r g ' s Rechnungen
inehr als 2 O betragt, diese Differenz grbrser seyn miifste,
als beiin Topas, fiir welchen der Trennungswiukel iiach
R u d b erg's Angabe nur 21' hat, wllireod doch gerade
uulgekehrt beiln Arragonit die Theorie mit den Messungcn
iiber-
24 1
iibereinstimmt. Aucb der Urnstand, dafs die Axenwinkel
der verschiedenen Farben verschieden siud, kann zur Erklarung einer so grofsen Differenz nicbt ausreichen, weil
sonst dasselbe auch beitn Arragonit stattfinden mtifste. Es
bleibt vielmehr nur der schon von H u d b e r g behauptete,
iind von B r e w s t e r durch seine Beobachtungen an dem
brasilianischen Topas bestatigte Grund tibrig, dafs die Axenwinkel in =verschiedeoen Individuen des Topas cine verschiedeoe Gral'se haben, .wie diel's ja auch bei anderen
Krystallen, z. B. dem Glimmer, der Fall ist, desseu Axenminkel von 6" bis zu 4 5 O variirend gefunden wird.
Dafs die Axenwinkel sicb in1 Topas gerade umgekeltrt,
wie im Arragouit verlialten, dafs sic vou deui violctteii
nnch dein rolheu Ende liin zunehineu, ist aus der vorstehendcn Tabelle offenbar, indein auch bier die Abweicliung
von diesetn Gesetze bei B gewifs nur durch die nicht genaue Bestiminung der zugeh8rigen Exponeuten entstandeu ist.
Da R u d b e r g ' s Abhaudlung, die aiich ins F I X I I ~ ~ ~ S ~ S C ~ C
und Englische tibersetzt ist, bei ilirer allgemeinen Verbreitung in den optischen Schriften oft angefiihrt wird, so liabe
ich die Verdffentlichung der vorstelienden Bericlitiguiig der
H u d h erg'sclieu Rechnungen fur eioe der Walirlieit schulclige Pflicht nin so niehr Iiillten nilissen, da der Uiiterschied
cler fiir die Geschwindigkcit des Lichtes in beiden Theorieen gultigen Fortnelri, wie i h n K rid b e r g feststellt, auch
in anderen Gebictcn der Oplik, nainentlicli in der Theorie
der chronintisclieo Polarisation zu utindthigen Weithufiglieiten leicht verleiten k8nute.
1ti
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