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Bestimmung der Elasticittsconstanten von Beryll Bergkrystall.

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474
w. Voigl.
VIII. Best%mmzozg der ~lust%c%tittsconstantelz
von B e r y l l und B e r g k r y s t a l l ;
von W. V o i g t ,
(Aus h'r. 3 des Jahrgangs 1886 der Gott. Nachr. auszugsweise niitgetheilt
vom Hrn. Verf.)
(Ilierzu Taf. IY PIg. 14-1a.)
-
_ - .
E i n 1 c i t u n g.
Die Beobachtungen, welche ich im Folgenden mittheile,
zerfallen in drei Theile: die Bestimmung der Dimensionen
der benutzten Krystallstiibchen, die Messung ihrer Biegungen und die ihrer Drillungen bei bekannter mechanischer
Einwirkung.
Die Dicken und Breiten wurden mittelst eines Spharometers beobachtet , welches analog den gewohnlichen von
H e r m a n n und P f i s t e r in Bern gefertigten construirt war,
mit dem einzigen Unterschied, dass an Stelle der Wasserwage,
deren Ausschlag die erfolgte Beruhrung des Messungsobjectes
anzeigt, ein Hebel angebracht war, der in einem bestimmten
Augenblicke die Schliessung eines Telephons unterbrach. So
war es moglich, ohne eine feste Aufstellung zu arbeiten und
die Beobachtung sehr wenig anstrengend zu machen.
Theoretisch wird die Messung mit dem Spharometer von
dem Drucke abhangig, mit welchem der obere bewegliche
Theil des Sphilrometers auf dem Messungsobject in dem
Augenblicke lastet, wo die Wasserwage oder das Telephon
das Signal gibt; denn jener auf die tiusserst kleine BerUhrungsstelle concentrirte Druck erzeugt daselbst eine Vertiefung, welche je nach der Elasticitit der gedruckten Substanz
eine verschiedene Grosse besitzt und einen Fehler der Messung verursacht, wenn die Elasticitat der Substanz sich von
derjenigen des stahlernen Tellers des Spharometers unterscheidet.
Es wurde durch besondere Beobachtungen constatirt,
dass der hierdurch entstehende Fehler innerhalb der Grenze
der Beobachtungsfehler blieb.
Bei den Messungen der Dimensionen wurden die Krystallstabchen liings eines auf dein Tischchen des Sphlrometers
Elasticitat von Beryl2 und Bergkrystall.
475
befestigten, in Millimeter getheilten Lineals hingeschoben,
um die Messungen in constanten Entfernungen von den
Kanten und in gleich weit voneinander abstehenden (n + 1)Punlrten vorzunehmen. Bei den Dickemessungen wurden
zwei Beobachtungsreihen bei feststehendem Lineal niichst
der Mittellinie des Stilbchens angestellt und zwischen ihnen
das Stabchen um die Langsrichtung gedreht. Das Mittel
Bus bsiden gibt dann sehr nahe die Dicken in der Mittellinie
selbst; zwei andere Reihen von Messungen wurden in 11, der
Breite Abstand von den Seitenkanten gemacht.
Das Mittel der vier auf einen Querschnitt beziiglichen
Messungen ist als mittlere Dicke des Querschnittes selbst
betrachtet. Diese Zahlen stellen sich sehr genau durch die
Formel dar:
D = Do + D,z+ Ds"2;
t1)
es ist daher angenommen, dass dies das wahre Gesetz der
Dicke ist, und die Berechnung demgemass angestellt.
Die Theorie ergibt, dass dann bei den Biegungsbeobachtungen eine mittlere Dicke (D) in Rechnung zu ziehen ist,
gegeben durch:
hingegen bei der Drillung der arithmetische Mittelwerth aller
Messungen.
Die Beobachtungen der Breiten sind auf den Mitten der
Schmalseiten angestellt in zwei entgegengesetzten Lagen der
Stabchen. Bei den Bergkrystallstilbchen variirten die Breiten
theilweise erheblich; sie sind daher fiir diese ebenfalls nach
der Formel:
B = I3, B,z + B2x2
(3)
berechnet wie die Dicken. Bei den Biegungen ist dann die
in Rechnung zu ziehende Breite ( B ) gegeben durch:
+
bei der Drillung wiederum durch den Mittelwerth.
Die Biegungen der Stlbchen habe ich mittelst eines
neuen Apparates beobachtet , der hauptsiichlich construirt
476
w. voigt.
wurde, um das sehr anstrengende Messen von Grossen, die
nur wenige Hundertelmillimeter betrugen , mit dem Mikrometermikroskop zu umgehen, und um Beobachtungen bei
wechselnder Temperatur anstellen zu konnen. I)
Das StBbchen liegt, wie gewohnlich, auf zwei Schneiden;
die Belastung greift auf einem kleinen Stahlcylinder an, der
quer iiber die Mitte des Stabchens hinweggelegt wird; durch
ein doppeltes Gelenk wird vermieden, dass die Belastung ein
Drehungsmoment um die T h g s a x e des Stabchens ausiibt.
Etwa 10 cm iiber dem Stibchen befinden sich zwei sehr
leicht gearbei tete, parallele, horizontale Stahlaxen, die sich
zwischen Spitzen drehen und je eine kleine Rolle und einen
Planspiegel tragen, Ein ganz feiner Platindraht ist mit seiner
Mitte in eine fiache Rinne des eben erwahnten Stahlcylinders
gelegt, sodass er fast genau auf dem Stabchen aufliegt, und
schlingt sich mit seinen beiden Enden um jene RGllchen;
kleine Gewichte von circa 8 g an beiden Enden spannen ihn
straff. Bei einer Biegung des Stiibchens senkt sich also der
kleine Stahlcylinder, der Platindraht wird herabgezogen, die
Rollchen drehen sich ein wenig; diese Drehung wird an den
Spiegeln mit Fernrohr und Scala abgelesen und gibt das
Naass der erfolgten Biegung.
Beide Spiegel drehen sich in e n t g e g e n g e s e t z t e r Richtung ; dadurch wird jede Verschiebung oder Erschiitterung
des ganzen Apparates oder des Fernrohres mit S c d a unschadlich, wenn man die Summe der an beiden Spiegeln beobachteten Drehungen der Rechnung zu Qrunde legt.
Die Reibung der Spiegelaxen in den Spitzen ist schr
gering und constant, da stets derselbe Druck auf sie ausgeiibt
wird. Man kann sie fast vollstandig zum Verschwinden
bringen, wenn man bei jeder Ablesung den ganaen Apparat
durch leise Schlage an den ihn tragenden Wandtisch er1) Den sinnreichen Apparat von K o c h (Wied. Ann. 5. p. 261. 1878)
habe ich deshalb nicht benutzt, weil ich es zuin Theil mit so grossen
Biegungen zu thun hatte, dass die Beobachtung nuf bequemere Weise
inoglich war, und weil fur die Messung der Drillungen die Einrichtung
zur Ablesung mit Fernrohr und Scala einmal getroffen und sogleich z u
benutzen war.
Elasticitat von Beryl1 und Berghrystall.
47 7
schuttert; indess habe ich es praktischer gefunden, die Reibung dadurch zu eliminiren , dass ich , unter moglichster
Vermeidung von Erschiitterungen, bei der Belastung zuntichst
den gewiinschten Werth etwas iiberschritt und die definitive
Stellung durch Entlastung erreichte, also die Einstellung bei
Belastung und Entlastung von hoheren Zahlen her vornahm.
Die Differenz beider Ablesungen ist von der Reibung frei,
wenn diese als constant an beiden Stellen angesehen werden
kann. Hierfiir ergab sich die Priifung dadurch, dass man
eine beliebige Einstellung erst von grosseren, dann von kleineren Zahlen aus vornahm; die dann stattfindende Differenz
i3t direct die Wirkung der Reibung. Sie wechselte von Tag
zu Tag etwas an Grosse, vielleicht infolge der Schwankungen
der Temperatur, hielt sich aber wahrend einer Beobachtungsreihe merklich constant.
Die Temperatur wirkt auf die Ablesung an dem Apparate nicht, wenn sie nur in der Zeit von Belastung bis Entlastung constant bleibt.
Die Auswerthung seiner Angaben geschah direct dadurch,
dass zwei recht grosse Biegungen bei moglichst gleichen
Umstilnden an demselben Apparate erst mit dem Mikroinetermikroskop , dann mit Fernrolir und Scala bestimmt
wurden.
Die Biegungen q sind im Folgenden in Millimetern (p)
der Beobachtungsscala angegeben und bei jeder Reihe bemerkt (da dieselben unter verschiedenen UmsUnden beobachtet sind) , welcher Bruchtheil eines Millimeters dieser
Grosse entspricht.
Die direct beobachteten Biegungen sind noch mit einem
Fehler behaftet, der von der Eindriickung der messingenen
Lagerschneiden durch die Belastung herrilhrt. Da die Einrichtung des Apparates sehr dicke Stabe aufzulegen nicht
gestattete, bei welchen die Biegung unmerklich gewesen ware,
und die Beobachtung jenen Fehler fast rein ergeben hatte,
so habe ich einmal dasselbe Stllbchen in sehr verschiedenen
Langen beobachtet und durch die Combination den Pehler
bestimmt, ferner aber auch durch einen kleinen Hiilfsapparat
die Belastung nicht auf die Mitte des Stabchens, sondern
w. VoiiJt.
478
direct auf seine unterstutzten Enden wirken lassen und dadurch die Eindriickung der Lager rein erhalten. Hierbei
ergab sich , dass keine merkliche Zusammendruckung der
ganzea Unterlage, sondern nur eine Eindrtickung des direct
unter den Stabchen liegenden Theiles der Schneide stattfand.
Diese oft wiederholten Beobachtungen ergaben keine sehr
gute Uebereinstimmung, sondern wichen bis zu 1 p der Scala
voneinander ab, was wahrscheinlich in der Unregelmassigkeit
der Lztgerschneiden, sowie der Oberfllche der Stiibchen seinen
Grund hat.
Der jeder Beobachtung entsprechende Werth der Eindriickung, der rnit der Substanz der Stabchen und fiagerschneiden, mit der Breite der Stabchen und der Grosse der
Belastung variirte, ist in den folgenden Tafeln unter 7’ angegeben und von der direct beobachteten Biegung r in Abzug
zu bringen.
Die Durchdrtickung der Lagerschneiden halte ich fur
eine der unangenehmsten Fehlerquellen bei den Biegungsbeobachtungen an sehr kurzen Stiibchen und kenne kein
Mittel, sie rnit voller Zuverlassigkeit zu eliminiren, d% man
nicht sicher sein kann, ob sie auf dasselbe Stibchen nicht
j e nach dem verschiedenen Auflegen verschieden wirken kann.
Die Drillungen wurden mittelst des an anderer Stelle
beschriebenen l) Torsionsapparates beobachtet. Hier war die
Reibung in den Axen grosser, mit der Belastung und auch
mit der Stellung der Rollen variabel; es war also nicht angangig, in derselben einfachen Weise, wie bei den Biegungen
zu verfahren, sondern es musste das complicirtere, friiher
beschriebene Verfahren zur Elimination angewandt werden,
darin bestehend, dass die Stellung wiihrend der Belastung
durch das Mittel aus zwei Einstellungen bestimmt wurde, die
ein Ma1 von grasseren, das andere Ma1 um ebenso vie1 von
kleineren Belastungen her erreicht wurden. Die Stellung im
entlasteten Zustande wurde durch die Ablesung nur bis auf
einen constanten Fehler, die hier, als am selben Ort und bei
derselben Belastung, constante Reibung, bestimmt und dieser
__
--
I) W. Voigt, Pogg. Ann. Ergbd. 7. p. 185. 1875.
2) W. Voigt, 1. c. p. 189.
Elmticitlit von Beryll und Bergkrystall.
479
unbekannte Fehler durch die Combination mehrerer Beobachtungen mit verschiedenen Belastungen eliminirt. Als
kleinste Belastung wurde die je nach Umstanden passend
beschwerte Wagschale benntzt; ihr Gewicht G ist gleichfalls
als unbekannt beibehalten, da es bei der Elimination des
genannten Fehlers von selbst heraushllt. Die einer Belastung P entsprechende Drehung, gemessen durch die Differenz der Bewegungen der um L voneinander entfernt auf
dem Stilbchen befestigten Spiegel ist nach angebrachter Reduction von der Tangente auf den Bogen unter GP angegeben;
p ist die an dem beweglichen Spiegel beobachtete Gr6sse der
Reibung, d. h. dio Differenz der von oben und von unten
erhaltenen Einstellung. Die Scala befand sich in zwei Perioden um A=5163, resp. 5176 mm von den Spiegeln ehtfernt;
ihre Angaben mussten corrigirt werden, da die Vergleichung
m i t dem Normalmeter die Scala als beim Aufkleben zwar
gleichmiissig, aber bedeutend gedehnt erwies. 1~ der Scala
fand sich um:
0,00374 mm
zu lang.
Die mittlere Liinge des Hebelarmes, an welchem die
drillende Kraft wirkte, betrug:
36,79 mm.
Bei allen Beobachtungen hat mir Hr. Dr. H e n n i g vielfache Hulfe geleistet.
I. B e r y l l .
1.
Formeln far das hexagonale System.
Was die Berechnung der Elasticitatsconstanten aus den
Beobachtungen betrifft, so definiren wir dieselben fur das
hexagonale System unter der Voraussetzung, dasa die ZCoordinatenaxe in die krystallographische Hauptaxe, die X in eine Nebenaxe fall$ durch die Formeln:
-Lx7z
+
+
= ~ 1 1 ' ~ s clzyy
= c12xa Cllyy
- yJ'
- 2, = C 1 3 2 ,
+
+
- Y, = ~
clszz,
- za = c44zsv
+ C,$yy+ c33%.)
Bezeichnet man mit:
-
~ 1 3 ~ 2 ,
- x,=
4 4 ~ 2 2
2
XY*
480
W. Voiyt.
'12
'13
l
'1'2
'11
'13
I
'18
S = ' O
'13
0
'$8
0
c44
0
1 0
0
0
0
c'4
0
0
1 0
0
0
0
0
c5c.%
I
I
I
(6)
I
I
I
2
i
die Determinante des Systems Coefficienten Chk und mit $,,k
den Coefficienten des h. Elementes der h. Reihe dieser Determinante (oder umgekehrt), so gelten die Relationen :
81,= s,,, 81,= s23, 8 4 4 = s,,, Sf38 = 2 (%- S1J;
sammtliche Is;, flir die h s k und h hZ5 verschwinden mit
Ausnahme von
In diesen Grossen gibt sich der Coefficient der linearen
Dilatation E in einer durch die Richtungscosinus a, p, y
gegen dies Coordinatensystem gegebenen Richtung durch
die Formel:
+
(7)
+ S3,y4 + (S4, + 2S,,)y2(1- 7,);
SI.:= sll(1 - Y ' ) ~
derselbe ist also rings um die krystallographische Hauptaxe
constant.
Von dem reciproken Werthe 1 /E = E, den man gewbhnlich den Elasticitatscoefficienten nennt, hangt dann die Biegung eines rechtwinkligen Prismas von der Lange L, Breite B,
Dicke D nach der Formel ab:
1st das Stabchen nach den Gesetzen (1) und (3) von der
prismatischen Form abweichend, so sind hier die Werthe (0)
und (B) nach (2) und (4) einzusetzen.
Die Drillung eines rechteckigen Prismas hangt aicht
durch einen einzigen Coefficienten mit den Elasticitatsconstanten zusammen. Dieselben iiben ihren grossten Einfluss
auf jene indessen durch einen constanten Factor, den man
81s Coefficienten der Drillung T bezeichnen kann, welcher wieder durch die Relation 1 IT= T mit dem gewohnlichen Torsionscoefficienten zusammenhangt.
Dieser Coefficient der Drillung ist in den obigen Grossen
bestimmt durch die Relation:
Elasticitat von Beryl2 und Berykrystall.
+
+
481
+
Ya Y~',
(9) S T = s,, (2(sl1-%
)-s,,) 4 ( 8, S3,-s4,-2 4,)
worin y , y l , ya, resp. die Cosinus der Winkel bezeichnen,
welche die Drillungsaxe, die griissere und die kleinere Querdimension mit der krystallographischen Hauptaxe bilden; T
ist also wie E rings um die Hauptaxe constant.
Sind diese sammtlichen drei Richtungen krystallographische Symmetrieaxen, d. (h. Normale zu Symmetrieebenen,
BO bestimmt sich der Drillungswinkel t, der bei der Wirkung
eines Drehungsmomentes N auftritt, aus der Formel:
Hierin ist T der Werth, welcher aus T wird durch
Vertauschung von y1 und y z , il eine complicirte E'unction
des Argumentes Dl B .V v F ' , welche indess fur Werthe
desselben, die
nicht ubersteigen, merklich constant gleich
3,361 ist.
1st der gedrillte Kiirper nicht streng prismatisch, so hat
man an Stelle von D und B in der vorstehenden Formel (10)
einfach das arithmetische Mittel der Dicken und Breiten auf
dem beobachteten Langenstiick einzufiihren.
Die im Folgenden beobachteten Sthbchen sind folgender
massen gegen die Krystallaxen orientirt.
Die mit ( O O ) bezeichnete Gattung fallt rnit der Langsrichtung in die krystallographische Hauptaxe. Die Lage der
Querrichtungen ist hier ohne Einfluss. Es entspricht dieser
Gattung der Werth:
(11)
S E , = S33, ST, = S4,%.
Die mit (45O) bezeichnete Gattung liegt mit der Langsrichtung um 45O gegen die Hauptaxe geneigt, die kleinere
Querdimension fallt in den Hauptschnitt. Demgemass ist:
(12)
SE,, = t cs,, 8 3 , 8 4 4 2 4 3 , .
Die rnit (90,) bezeichneten Stabchen liegen mit der
Langsrichtung normal zur Hauptaxe; je nachdem die Bezeichnung A oder B zugefiigt ist, liegt die kleinere oder die
grossere Querdimension parallel der Hauptaxe. Es gilt dann
fur A und B:
+ + +
Ann. d. Phye. u. Chem. N. F. EXXI.
51
w.voat.
402
(13)
{
SE,,
=
81,
,
ST,, = 2(S11- S,,),
ST’,,= S4&.
fiir A :
fiir B :
Die Beobachtung der Drillung an der Gattung (goo) B
gibt also keinen anderen Coefficienten, als die der Gattung
(0O), indessen geniigen auch die anderen fiinf Bestimmungen
,
Anzahl j a hochzur Berechnung aller Constanten. c ~ deren
stens ftinf ist und sich, wenn die Voraussetzung zutrit€t, dass
die Moleciile nach allen Richtungen hin in gleicher Weise
aufeinander einwirken, gar auf drei reducirt.
In dem letzteren Falle gelten niimlich nach P o i s 8 0 n t 8
Rechnung l) .die Relationen :
C12 = %-=!?=
d. h. cll = 3c,,.
C13 = CO4,
(14)
2
Zur Berechnung der allgemeinsten fihf Elasticititsconstanten cI1, c12, c13,
cq4 aus den fiinf Determinantenverhaltnissen:
hat man die folgenden fiinf Qleichungen:
(15)
1
a)
b,
c,
d)
+ +
+
+ =
+ +
~ 1 1 * ~ 1 1 clas12
‘13’13
= 1t
ClaSll
c13s13
= O,
2c13s13
~12(s11
C11s12f
‘33’33
$12)
‘33‘13
e) c . s44
~ ~= 1.
Aus Gleichung c) und d) folgt:
. -- . - _ _
= O!
1) Ich bin fruher der Meinung gewesen und habe mich in meiner
ersten Arbeit iiber Krystallelasticitht demgembs ausgesprochen (Pogg.
Ann. Ergbd. 7. p. 3. 1875), dass diese und tihnliche Relationen Folgen
der a l l g e m e i n s t e n Theorie seien, welch P o i s s o n fiir die Elmticittit
von Krystallen gegeben hat. Auch die von Hm. 0. E. M e y e r besorgto
Ausgabe der Vorlesungen dea Hm. Geh. Rath F. E. Neumann iiber
Elasticitiit begiinstigt diese Auffassung - wie ich erfahren habe, g e g e n
die Absicht des Herawgebers. Indessen hat P o i s s o n in seiner letzten,
unvollendeten Arbeit (MBm. de l’Ac. 18. p. 3. 1842) von der Hypothese
ausgehend, daas die Molecule nach verschiedenen Richtungen mit verschiedener S t h k e wirken, allgemeinere Formeln, wennschon nicht fiir
alle Krystallsysteme, entwickelt , welche jene Relationen zwischen den
Elasticittitscorntanten nicht ergeben.
Elasticitat von Beryl1 und Berykrystall.
- 81s
c13
=
838(811
+
512)
811
- 2818' '
=
c33
83s (Sll
+
483
*,
- 2SIS
+ 312
S12)
das erstere in a) und b) gesetzt, gestattet zu bestimmen :
c11
(16)
=
s1149
(811
- 812)
,
- fils2
(SQS (611
+
SIP)
- 2S1s2)
S1a2 - S12S-38
- s12) (S85(Sll + SI2) - 2S1s2)
endlich gibt c) direct:
CI2
=--
1
(811
1
c1.4= 841
Dabei ist nach Obigem:
(17)
{
sll
9
S1B=E90
-l'r90
9
s13 = 2 E4,
s~~ = KO,
-4
sq4 = To.
+
EO+'rO),
Diese Determinantenverhaltnisse shk bestimmen nicht nur
Dehnung und Drillung, sondern auch andere elastische Deformation in vie1 einfacherer Weise als die eigentlichen
Elasticitiitsconstanten.
Setzt man ein beliebiges Stuck eines hexagonalen Krystalles einem allseitig gleichen Drucke p aus, so nehmen die
Dilatationen parallel den Hauptaxen xz, y, t, und die Aenderungen der Winkel zwischen den Axen yz, zx, xy die folgenden Werthe an:
2 x = - p(s1,
512
s13) = Y,,
(18)
{
+ +
+
= -p(2S13
ss3),
y, = zx = xy = 0.
ZZ
Die Coefficienten von p in den Formeln fur xX, y, und z,
wird h a n als Compressionscoefficienten bei allseitigem Druck
normal und parallel zur Hauptaxe besonders bezeichnen
konnen; wir setzen:
A, = 2s13 833.
(19)
A90 = ~ 1 1 812
s13,
Der Coefficient der c u b i s c h e n Compression ist dann:
M = A o + 2Ago = sy3 2(s,, q,) 4s13.
(20)
Zwei Ebenen, deren Normalen die Richtungscosinus 4,
pl, y1 und a2,p2, y2 gegen die Hauptaxen haben und miteinander den Winkel x einschliessen , erleiden bei allseitig
31 *
+ +
+
+
+ +
w. voigt.
484
gleichem Drucke p eine Aenderung dieses Winkels S x , die
gegeben ist durch:
(21)
+
sinX= -P ('13
'33'11 - '12) ( 2 Y , Y2-(ylaf
72') cOsX)'
Sie hangt also nur von dem einen Coefficienten:
I3 = sl9 s33- sll - sla ab.
*
+
W a r der Winkel y ein rechter, so folgt einfacher:
(22)
6% = - p2Ry1y2.
6% ist dann also = 0, wenn eine der beiden Mormalen senkrecht zur Hauptaxe liegt, ein Maximum findet statt, wenn
beide 45O mit der Hauptaxe einschliessen; dies Maximum
ist = -pB.
Liisst man auf einen mit seiner Axe der Hauptaxe des
Krystalls parallel gelegton Cylinder von beliebigem Querschnitt auf die GrundflBchen den normalen Druck p,, auf
die Mantelflache den normalen (constanten) Druck p1 wirken,
so erhlllt man:
(23)
[
+
+
xl:= - (Pl(s11
'12)
P o 4 = YY
z, = - (PI2 813
Po s33) 7
yy = z, = xy = 0.
+
9
E r w k m t man einen hexagonalen Krystall gleichformig
um 9 Grade, so gilt:
(24)
{
xz
=
' 2
=
yY -- 2
+ '(ql
+
z
'(91
('11
+
2slS
=xy=o.
'12)
+
+
90'13)
= YY7
qOS33),
Hierin geben die qo und q1 das Maass der Warmeabstossung parallel und senkrecht der Hauptaxe. Kennt man
die Grosee der thermischen lineiiren Dilatation parallel und
senkrecht zur Hauptaxe a, und a,, und sind die slK durch
Elasticitatsbeobachtungen bestimmt, so folgen BUS:
(25)
+
+
+
= 91 2s13
q0'33 7
al = ql('11
'1%)
qOs13
die Werthe qo und q1 fiir die betreffende Substanz. FBnden
sich dieselben einander gleich, so wurde die Wtirmeabstossung
nach allen Bichtungen die gleiche und die durch eine gleichformige Abkuhlung hervorgebrachte Deformation der durch
einen allseitig gleichen Druck erzeugten vollstilndig gleich sein.
Elasticitat von Beryl1 und Beykrystnll.
485
2. Beobachtungen a m Beryll.
Das Beobachtungsmaterial lieferte ein prachtvolles slulenformiges Fragment eines grossen Krystalles aus dem Ural,
welches parallel der Hauptaxe circa 50 mm, parallel den
Nebenaxen circa 20 mm mass. Ich verdanke dasselbe meinem
verehrten Collegen Prof. C. K l e i n und benutze die Gelegenheit, um ihm fur die grossartige Liberalitat, mit welcher er
dies dem Mineralogen hochst werthvolle Stiick der physikalischen Untersuchung geopfert hat, den allerwbrmsten Dank
auszusprechen.
Der Beryll ist ein so besonders gunstiges, j a unvergleichliches Object fur Elasticititsbeobachtungen, weil er nur in
holoiidrischen Formen und nie verzwillingt beobachtet ist,
also mit Sicherheit a19 Reprasentant des einfachen hexagonalen Systems hingestellt werden kann.
Das schone Krystallfragment, welches ich benutzen durfte,
war von fast regelmassig sechsseitigem Querschnitt, auf den
Flachen wie gewohnlich parallel der Hauptaxe gestreift. Dieser
Streifung enhprachen im Innern zahlreiche rohrenartige mehr
oder weniger feine Langsspalten, welche bei der Zerlegung
des Krystalls in Stabchen sorgfiltig vermieden werden mussten. Um dies leichter zu konnen, wurden soviel a19 moglich
die Breitseiten der Stabchen parallel der Hauptaxe gelegt;
offenbar war dadurch die Moglichkeit vergrossert, storungsfreie Praparate zu erzielen. Wie itus dem Vorstehenden sich
ergibt , war indessen zur Bestimmung a l l e r Constanten die
Beobachtung der Drillung von Staben, deren Liings- u n d
Breitenrichtungen senkrecht zur Hauptaxe lagen (Gattung
90" A), nicht zu umgehen; diese Gattung zeigte demgemlss
die zahlreichsten kleinen , die Stabchen ganz durchsetzenden
Spriinge, und eine ziemliche Anzahl ist bei der Herstellung,
bei der Einspannung und schliesslich noch bei der Drillung
bei massigen Belastungen zerbrochen. Die erst bei den Beobachtungen gesprungenen ergaben unverhaltnissmassig kleine
Werthe der Torsionsconstanten T (d. h. geringen Widerstand
gegen die Torsion) und durften, da offenbar eben jene Spriinge
die Ursache der Abweichung waren, von der Schlussberech-
W. Jroigt.
486
nung ausgeschlossen werden. Bei dieser unangenehmen Eigenschaft jener Gattung Stabchen mussten schliesslich alle sprungfreien kurzen Stiickchen ausgenutzt werden, und durch einige
Vorsicht sind noch bei Langen von nur etwa 1 0 m m gute
und sichere Resultate erreicht worden, wenn gleich natiirlich
den ungiinstigeren Umstanden entsprechend der wahrscheinliche Fehler der Endresultate hier grosser ist, als bei den
iibrigen Gattungen.
D a die klar ausgepragte Krystallform des Berylls die
Bestimmung der Orientirung der Stabchen noch weiter durchzufuhren gestattete, als nach ihrem optischen Verhalten allein
moglich gewesen wiire, so habe ich die giinst,ige Gelegenheit
benutzt, um ausser der Bestimmung der Constanten auch
nooh eine andere Aufgabe zu losen.
Die Theorie ergibt, wie ich schon fruher gezeigt babel), das
Resultat, dass bei holoedrischen hexagonalen Krystallen Richtungen, die durch Drehung um die Hauptaxe zur Deckung
gebracht werden konnen, elastisch gleichwerthig sind. Dieses
mit dem mineralogischen Verhalten des Systems in so eigenthtimlichem Widerspruch stehende Resultat konnte am Beryl1
gepruft werden. Die zunachst fiir die Biegungsbeobachtungen
bestimmten Stabchen normal zur Hauptaxe, welche, wie oben
ausgefiihrt , ihre Breitenseiten parallel der Hauptaxe hatten,
sind zum Theil so geschnitten, dass die Langsrichtung in
eine krystallographische Nebenaxe (Gattung 90° B I) fAllt,
zum Theil so, dass sie den Winkel zwischen zweien halbirt
(Gattung 90 O B 11). Die hiermit angestellten Beobachtungen
sind unten mitgetheilt.
Ferner ergibt die Theorie das Resultat, dass die Torsionscoefficienten der beiden Gattungen 90° B I und I1 nicht nur
untereinander, sondern auch mit dem an der Oattung O o
erhaltenen iibereinstimmen sollen ; auch dieser Punkt liess
sich durch die Beobachtung priifen.
I m Folgenden sind nur die letzten Beobachtungsresultate
mitgetheilt ; hinsichtlich des Details der Messungen muss auf
die Originalbeobachtungstafeln verwiesen werden. Die Be-
1) W. V o i g t , Wied. Ann. 1G. p. 408, 421 u. 427. 1882.
Elasticitat von Beryl1 uad Bergkrystall.
487
zeichnung ist im wesentlichen in der Einleitung erklirt ; hier
sei nur wiederholt, dass L, B, D die in Formel (8) und (10)
einzusetzende Lange, Breite und Dicke des Stibchens bezeichnen. Die Einheiten von L sind Millimeter, die von B
und D 1/992,7 mm, von 11 0,000 249 mm. P ist die Belastung
in Grammen, 9. die Beobachtungstemperaturin Celsius-Graden ;
A bezeichnet bei den Drillungsbeobachtungen den Abstand
zwischen Spiegeln und Beobachtungsscala; E ist der Dehnungscoefficient nach Formel (7). T der Drillungscoefficient
nach (9); E = 1/E und T = 1 / T ; die Einheiten sind Gramm
und Millimeter.
Bi e gu n gen.
Oo
Nr. 1. L=34,4,
B=4036,
D=516,0,
P=60,
4 = 1 6 , 5 , '1'=3,0.
E = 21 670,000.
P=60,
4=17,
9'=3,0.
E = 21 710 000.
'I = 201,'L
h'r. 2. L=34,4,
B=4026,5 D=516,8,
:7 = 200,4
D = 511,6, P = 6 0 , 4 = 16,1, 7'=3,0.
E = 21 820 000.
p = 205,l
L = 34,03, B = 3910, D = 526,3, P = 60, 4= 18, t]'=2,4.
7 = 189,4
E = 21 680 000.
Nr. 3. L = 34,4, B=4033,
Nr. 4.
Mr. 5. L=34,03, B=3960,
D=513,4,
P=60,
'1 = 202,3
Gesammtmittel E, = 21 660 000,
Wahrscheinlicher Fehler
45' E'r. 1. L = 30,4, B = 3912,
f 40000,
a = 19,
I)'=
2,4.
E = 21 470 000.
E, = 4,619, 10W8.
f 0,0085.
P= 60, 4 = 16,5, '1'=!3,0.
E = 1 7 700 000.
D = 524,5, P = 60, 8 = 18, ?'=3,0.
D=536,2,
71
= 153,3
q
Nr. 3. L = 30,4, B = 3926,4
7
Nr.4. L=30,03, B=3958,
= 160,3
h'r; 2. L = 30,4, B = 3920,
E = 18 020 000.
D - 511,5, P= 60, 8 = 18, 7'=3,0.
= 171,4
E = 18 130 000.
D==525,1,
P=60,
= 153,6
Gesammtmittel E4s= 17 960 000,
Wahrscheinlicher Fehler 3~62000,
71
4=18,
7'=2,4.
E = 18 010 000.
E,, = 6,668.
*0,019.
9O0BI. Nr.1. L=22,35, B=4067,7, D=462,0, P=60 , 8 = 1 9 , '1'=3,0.
7 = 72,9
E = 23 300 000.
Nr.2. L = 18,4, B=4076, D=457,1, P=70 , 4=17,2, ~ ' = 3 , 4 .
'I = 52,2
E = 22 860 000.
Wegen der Belastung mit 70 g ist 7' urn 0,4 vergrossert.
w.voigt.
488
90OBII.Nr.1. L=22,4,
B==3897, D=450,5, P=60, 8=21,5, q’=3,0.
7 = 87,3
( E = 21 890 000.)
Nr.2. L=22,4,
B = 3 9 0 1 , D=460,4, P = 6 0 , 4=21,5, q’=3,0.
7 = 77,4
E’ = 23 210 000.
Nr.3. L=20,4,
B=3895,
D=468,7, P = 6 0 , 4=21,8, 7’=3,0.
E = 23 100 000.
q = 60,2
Das Stibchen 90° B Nr. 1 war von der Seite her eingesprungen; man bemerkt, wie dadurch der Werth von E
herabgedriickt ist. Die beziigliche Beobachtung ist demgemass von der Berechnung auszuschliessen.
Die iibrigen Resultate zeigen die vollstandigste Uebereinstimmung der Dehnungscoefficienten E fur die Gattungen
90° B I und 11. Entsinnt man sich dessen, dass die erste
parallel einer krystallographischen Nebenaxe, die letztere
normal dam (also in der Halbirungslinie des Winkels zweier
Nebenaxen) liegt , so erweisen die vorstehenden Beobachtungen die Unterschiedslosiglreit dieser Richtungen in elastischer Hinsicht und bestatigen das beziigliche oben ausgesprochene Resultat der Theorie.
Man erhalt fur alle Stabchen der Gattung 90° B die
Werthe :
Qesammtmittel Ego= 23 120 000, E,, = 4,326.
* 66000
Wahrscheinlicher Fehler
*0,012.
Nach diesem Zahlenwerth besitzt Beryl1 in der Richtung
normal zur Hnuptaxe den grijssten bisher beobachteten Elasticitatscoefficienten, tibertrifft darin nicht unerheblich den
Stahl, welcher bisher mit E = 21 000 000 in erster Linie stand.
D ri l l u n g en.
0” Nr. 1. L = 24,32, B = 4044,3, D = 516,2, A = 5163, 4 = 18,5.
u,,,= 78,6
T = 6 671 000.
Oo Sr. 2.
OD
1; = 27,53, B =4040,
D = 517,0, A = 5163, Y = 16,5.
ul0= 88,3
T = 6 707 000.
Nr. 3. L = 28,0,
B = 4044,
’
Oo
D = 513,4, A = 5163, 4 = l?,?.
ulo= 91,55
Nr. 4. I, = 30,08, B = 3910,
T = 6 710 000.
D = 527,0, A = 5163, Y = 18,O.
u16= 91,55
T = 6 608 000.
Elasticitat von BeTyll und Ber:gkrystall.
Oo S r . 5.
489
D = 514,3, A = 5163, 4 = 17,8.
ulo= 100,35
T = 6 632 000.
Gesommtmittel To= 6 666 000, To= 16,000.10-8.
Wahrscheinlicher Fehler
14000
f 0,036.
L = 29,80, B = 3960,
*
D = 680,8, A = 5163, 3 = 19.
T = 8 960 000.
ul0= 19,32
Da dieses Stibchen das beste dieser gefahrlichen Gattung war, ist es noch einmal mit anderer Belastung und in
anderer Lange beobachtet worden.
90° A. Nr. 1. L = 16,94,
B = 3907,
L = 16,30, 3 = 18,5.
To,,
= 8 980 000.
u16= 27,85
Die vollkommene Uebereinstimmung dieses Werthes mit
dem vorhergehenden weist darauf hin, dass die Unsicherheit
der Resultate nicht in den elastischen Beobachtungen , sondern in den Dimensionenbestimmungen und der Ungleichheit
des Materials begriindet ist.
90° A. Nr. 2. L = 12,54, B = 3950, D = 675,2, A = 5163, 4 = 18,s.
T = 8 700 000.
= 679,8, A = 5163, 8 = 16.
ul,, = 19,50 (zerbrochen!) (T=8 400 000)').
90' A. Nr. 4. L = 10,36, B = 3917, D = 695,O A = 5163, a = 18.
u16= 16,98
T = 8 810 000.
90' A. Nr. 5. L = 14,0, B = 3908, D = 678,8, A = 5163, 8 = 19.
ul0 = 17,45 (zerbroclien!) (T = 8 280 000) 1).
90° A. Nr. 6. L = 11,20, B = 3902, D = 687,4, A = 5163, Y = 18.
u16 = 19,25
T = 8 710 000.
Gesammtmittel T = 8 850 000, Too= 11,325.
Wahrscheinlicher Fehler
rt40000,
f0,052.
ul0 = 14,92
90' A.
SOo
Nr.3. L = 16,16, B = 3954, D
B I . Nr.2. L = 14,9,
B = 4077, D
ug = 40,3O.
=
457,2 A = 5163, B = t7,5.
Te6'=
6 706 000.
goo BII. Nr.4. L = 10,85, 13 = 3898, D = 473,4 d = 5163, 4 = 18.
0 1 0 = 45,7
To0'=6770 000.
Wie oben erwahnt, sol1 die Gattung B I und I1 den
gleichen Torsionscoefficienten ergeben, wie die Gattung 00.
Die Beobachtung bestatigt dies auf das Vollkommenste, Man
konnte also mit Stabchen senlrrecht zur Axe allein diese
- .
.
-
1) Von der Berechnung aua dein oben erorterten Grunde ausge-
schlossen.
w.Voigt.
490
zwei TorsionscoEfficienten bestimmen. Vorstehende letzte
Beobachtungen sind bei der folgenden Berechnung nicht
beriicksichtigt, sie wiirden den Mittelwerth To nur um einige
Tausendtheile vergrossern, also die Resultate nur unmerklich
alteriren.
3. R e s u l t a t e .
Aus den oben gefundenen Werthen:
= 15,000. 10-8 (f0,036)~
E, = 4,619.10-8 (& o,oog),
E,, = 5,568.10-8 (ho,oig), 'r,, = ii,32tifio-8 (f0,052),
Ego= 4.325. lo-' (& 0,012)
folgen nach den Formeln (17) p. 483 sogleich die Determinantenverhaltnisse S,,, / S = shk, namlich:
s13 = - 0,836. lo-',
s]?,= - 1,338. lo-',
s11 = 4,325. lo-',
(*0,012)
(*0,029)
( f 0,043)
~ ~15,000. lo-'.
sg3 = 4,619. low8, s , =
(& 0,009)
(+ 0,036)
Dabei ist der wahrscheinliche Fehler jeder Zahl gleich
der Wurzel aus der Summe der Quadrate der wahrscheinlichen Fehler ihrer Theile nach den Formeln (17) gesetzt.
Durch Einsetzung dieser Werthe ergibt sich der allgemeine Werth des Dehnungs- oder Biegungscoefficienten in
einer Richtung, die den Winkel cp gegen die Hauptaxe macht,
nach Formel (9):
E, = 4,325, sin4? + 4,619 ,cos4q + 13,328.sin2rp.cos2rp.
Ein Maximum oder Minimum hat dieser CoEfficient fur
die erflillen :
Richtungen
'r,
6,
f??
dcp
= 0 = 2 sin (p cos
-
6(8,650sin2y - 9,238 cos2&
+ 13,328 (cos $ - sin2G)),
-
d. h. fur (p = 0, cp = 90, uod ein
tg2cp = 4,090
4,678
90, fiir welches gilt:
d. h. fiir
@ = 43O 5' ca.
Die zugehorigen Werthe Bind:
E, = 4,619, E,, = 5,573, Ego= 4,325.
Die fiir 11, aufgestellte Formel gestattet auch, zu beurtheilen, wie gross der Einfluss einer nicht vollstandig rich-
Elasticitat von Beryll und Bergkrystall.
401
tigen Orientirung auf den Werth des beobachteten E ist.
Man erkennt, dass fur die Gattungen (OO) und (goo) der Einfluss mit a l l e r S t r e n g e nur zweiter Ordnung wird (also
bei Fehlern, welche innerhalb 2 O bleiben, etwa 1 I1000 betrllgt)
bei der Gattung (45O) aber tiusserst nahe zu, da diese Richtung fast genau mit derjenigen des Maximums fiir E iibereinstimmt. Hr. H e n n i g hat an einer grosseren Zahl von
Beryllstabchen die Orientirung aus der Schwingungsebene
des durch die Schmal- und Breitseiten hindurchgegangenen
Lichtes bestimmt und die Abweichungen von der geforderten Richtung stets kleiner als 2O, meist unter 1/20 liegend
gefunden:
Die als Coefficient der Drillung bezeichnete Function
lautet fiir Beryll:
T, = 15,000 - 3,675 COS' y2- 17,536. COS' rp , COS'
'pl.
Hierin bezeichnen rp, y l , y z die Winkel der Langs-, Breitenund Dickenrichtung gegen die Hauptaxe. Dieser Coefficient
bestimmt ganz nllein die Abhingigkeit der Drillung von der
Orientirung, wenn die Dicke des Prismas sehr klein gegen
seine Breite ist. Insofern ist seine Discussion ebenfalls von
Interesse.
Liisst man die Breitseite des Stabchens im Hauptschnitt
liegen, so ist y2 = i n zu setzen rpl= an + y , also:
T
,, = 18,OO - 17,536 sin2cp cos2y.
( 9 2 = 7 )
Man erhalt dann ein Minimum T=10,616 fur rp=45O. Liegt
die Schmalseite im Hauptschnitt, so ist: y2= In + y , y1= an,
also :
T
I
= 15,OO - 3,675 sina y
(Q1z-i.)
.
Hier liegt das Minimum T = 11,325 bei 'p =..4
Auch der Fehler des Drillungscoefficienten, der durch
fehlerhafte Orientirung der Stabchen entsteht, ist hiernach
zweiter Ordnung.
Die obigen Werthe der Determinantenverhaltnisse S1,k
bestimmen nach dem frtiher Gesagten die Grossen jeder A r t
w. Vo'gl.
492
von elastischer Deformation bei gegebenen Kraften auf sehr
einfache Weise.
Bei allseitig gleichem Druck p findet eine Compression
parallel der Hauptaxe statt, welche nach Pormel (18) gegeben
ist durch:
2s = - P A , ,
A, = 2 ~ 1 , ~ 3 3 ,
normal dazu:
+
+ +
-p&o,
As,= 81, s12
dazu eine cubische Compression :
6= -~ ( 4+
, 2ASJ = - pM.
Nach den obigen Werthen ist:
5%
A,
= yy =
= 2,947.10-8,
A,,
= 2,154. lo-',
M
=
$1,;
7,255.10-8.
M ist das Maass der cubischen Compressibilitat; fur
Wasser findet sich dasselbe in unseren Einheiten (Gramm
und Qundratmillimeter) rund 5.10-O; der Werth fiir Beryll
ist hiervon nur der 70. Theil.
Die Winkelanderung, die zwei Ebenen innerhalb des
Krystalles durch allseitig gleichen Druck erleiden , ist nach
(21) gemessen dnrch die Constante:
B = 833
+
-~
~ 1 s
-
1 1 Sla;
ihr Werth ist fur Beryll B = 0,796.
Misst man den
Druck in Atmospharen, so wird (B) = 8,22.
Bildeten
die Ebenen urspriinglich einen rechten Winkel, so ist die
bei einem Drucke von 100 Atmospharen unter giinstigen Umstanden eintretende Winkelanderung 4 2 2 . lO-O, d. h. immer
noch nicht zwei Bogensecunden. Es ergibt sich hieraus, dass
Beobachtungen dieser Winkelanderung , um eine Gleichung
fur die Elasticitatsconstanten zu erhalten, bei Beryll fast
nnmoglich waren und somit auch bei anderen Substanzen
desselben Systems nicht sehr aussichtsvoll sind.
Die thermischen linearen Ausdehnungscoefficienten (pro
loC.) des Berylls (Smaragd) sind nach F i z e a u :
a, = - 1,06. lo-',
a1 =
+ 1:37 . lo-'.
Setzt man diese Werthe mit denen der
chungen (25) ein, so erhalt man:
Shk
in die Glei-
Elasticitat von Beryll und Berghrystall.
493
- 1,06 = - q1 .0,0167 + qo 0,0462,
+ 1,37 =
q1 .0,0299 - go 0,00836,
und hieraus :
go = - 7,10,
q1 = Jr 43,9.
Dies Resultat, welches parallel der Axe keine Warmea b s t o s s u n g , sondern eine W a r m e a n z i e h u n g ergibt, ist im
hohen Grade uberraschend und folgt keineswegs mit Nothwendigkeit aus der parallel der Axe stattfindenden Zusammenziehung bei einer Erwilrmung, denn bei anderen Werthen
der Elasticitatsconstanten wurde das Entgegengesetzte eintreten konnen.
Schliesslich sind noch nach den Formeln (16) die Elasticitiitsconstanten des Berylls wirklich zu berechnen; die Rechnung ergibt:
cll = 0,2746. lo+’,
cla = 0,0980. lo+’,
c13 = 0,0674.
cQ3= 0,2409. lW’,
L ‘ . , ~= 0,0666. 10-t’.
Diese Werthe zeigen, dass diejenigen Relationen, welche
aus der P o isson’schen Theorie sich unter der Voraussetzung
ergeben, dass die Molecularwirkung nach allen Richtungen
die gleiche ist, fur Beryll nahezu erfullt sind. E s ist c13 so
genau = cj4, dass man eine strenge Gleichheit annehmen
kann; statt cll= 3 . c12findet sich cll = 2,8. cI2, also immerhin
eine bemerkenswerthe Annaherung an das theoretische Verhhltniss. Man darf demnach den Schluss ziehen, dass bei
Beryll die Polaritat der Moleciile nur s c h w a c h ist, und man
eine bedeutende Annaherung an die Wirklichkeit erhalt, wenn
man sie vollig ignorirt.
E s ist von Interesse, zu untersuchen, wie sich die Werthe
der Constanten ergeben, wenn man diese Poisson’sche Relationen als streng gultig ansieht. Die demgemass geanderten Werthe s und c seien durch den oberen Index ‘ unterschieden. Die Bedingungen :
Cll’ = 3 . c;l,
c13‘ = c4gl
drucken sich in den Grossen sh; aus:
+
+
0 = s ~(sI1’
~ ’ sy12’)
‘13’ (S.~; - 2s13’),
0 = 4S13‘2 - (Sll’ + 3s1,’)SQ3’,
w. Voigt.
494
oder auch, indem man aus beiden durch Elimination von sl l f
eine neue bildet:
Bezeichnet man dann die direct durch die Beobachtung
bestimmten Werthe wie bisher mit S h k , so erhiilt man zur
Bestimmung der drei Unbekannten s , ~ ' , s l S f , s33' die fiinf
Gleichungen:
Dieselben sind durch Einfuhrung der Niiherungswerthe :
$2
+
'121
1
;'
= '13
+
'131
'33'=
'33
+
linear zu machen und lauten d a m :
0 = S12, 0 =
0 = SS3.
Die AuflSsung ergibt nach der Methode der kleinsten Quadrate:
S13= - 0,025,
= - 0,017,
8,,= + 0,092,
und hiernach, sowie nach den Formeln (26), die folgenden
Werthe der S h i :
~,,'=4,382, s,;= - 1,246, slB'= - 0,86 1 ,
s ~ ~ ' =+ 4,602,
s,~'= + 16,042.
Stellt man hierzu die direct beobachteten Werthe, ferner
ihre wahrscheinlichen Fehler d h k und die Abweichungen
s h i - Shk = & k , so erhillt man das System:
sll = 4,325, s12= - 1,338, s13=
0,836,
s , ~= + 4,619,
s~~= + 15,OO;
A,, = f0,012, A,, = f0,029, A,, = f 0,043,
A,, = & 0,009, A,, = f 0,036;
a,, = + 0,057, a12= + 0,092, a13 = - 0,025,
a, = - 0,017, S,, =: + 0,042.
+
Elasticitat von Beryl1 und Berykystall.
496
Dasselbe zeigt, dass die Abweichungen 6 zweimal e r h e b l i c h
den wahrscheinlichen Fehler tiberschreiten, namentlich ist d,,
sehr bedeutend. Daher ist es als u n w a h r s c h e i n l i c h zu
bezeichnen, dass die Beryllmolecule s t r e n g keine Polaritat
besitzen; - ein Resultat, das j a an sich plausibel ist, da
ohne Polaritit der Process des Aufbaues eines Krystalles
nicht wohl zu erklaren ist.
Immerhin ist die nahe Uebereinstimmung mit den theoretischen Resultaten dieser Annahme so merkwiirdig, dass
es lohnt, auch die Werthe der Constanten c u t zu bestimmen,
wie sie sich aus diesen s h i nach (16) ergeben. Man erhiilt:
cll' = 0,2666.10+',
c3; = 0,2422.
c,~"= 0,0665.10+8,
c , ~=
' c4[ = 0,06651 .
= fell' = 0,0889 .
Dagegen fanden sich ohne Voraussetzung der Poisson'schen Resultate die Werthe:
cll = 0,2746.10+8,
cgY = 0,2409
c4* = 0,0666.
c13
=
0,0674.
c12 = 0,0980.10+e,
Diese Zusammenstellung zeigt die grosse Empfindlichkeit
der Constanten Chk gegeniiber den Aenderungen der Grossen S h k )
welche ihre Bestimmung aus Beobachtungen iiberhaupt unsicher
macht. Indess ist dies fur die Anwendungen ohne Belang,
da fiir diese stets die genauer zu bestimmenden shk benutzt
werden, auch beurtheilt sich die Giiltigkeit der Relationen (14)
ebenso gut an diesen, wie an den eigentlichen Elasticitiitsconstanten.
11. B e r g k r y s t a 11.
.
1. F o r m e l n f u r das rhomboadrirrcbe System.
Wir definiren die Elasticititsconstanten chk fiir das rhomboedrische System durch die folgenden Formeln, bei welchen
vorausgesetzt ist, dass die 2-Axe die krystallographische
Hauptaxe, die YZEbene die krystallographische Symmetrieebene der Form ist; die + Y-Axe trete aus einer der RhomboGderfliichen + R aus, welche urn die 3-2-Axe herum liegen:
- x Z = c ] 1xZ f cl$y y 3- c 1 3 z Z ' 1 4 ? / Z , - ='14 (zZ -!/Y) 3- ' 4 4 ! / % ,
+
-q
= C ~ ~ x 2 + c ~ ~ ~ Y + C ~ 3 Z 2 + C-zZ
~ ~ ~=c44zZ
2 ,
-z
=c]g 22
fc,3yy+
c33z2,
-xy-c11--19
+clJ"v,
xyfc14Za.
W . Voigt.
496
Dabei sei wieder gesetzt die Determinante dieser Coefficienten :
,
'=I
(28)
1
c11
c12
CIS
'IZ
'I1
cIS-c14
'14
: :
0
%:
c142
I
'38
'13
'18
0
'44
c14Ac14
c11-
ClS
1
I
und hierin der Coefficient des h. Elementes der K . Columne
(oder umgekehrt) gleich s h k .
Es gelten dann die Relationen:
q 1 =
s22,
s13=s231
sM=s56I
s,, = -
LYt4
%3=2('1rS12)1
= bS,,;
ausser den hierin enthaltenen s h k ist nur noch SS3von Null
verschieden; wir behalten als voneinander unabhangig bei:
'Ill
'12,
781'
,41'
'331
'44'
I n diesen Grossen gibt sich der Coefficient der linearen
Dilatation E in einer durch die Richtungscosinus u, ,dl 7 gegen
die Coordinatenaxen bestimmten Richtung durch:
(29) \
+ + +
+ 2 s,,pY(3E12- p).
SE = $1,(l - y2)'
'33y4
('kd
'18)y2('
-7')
Durch dies E oder das reciproke E = 11E bestimmt
sich die Biegung eines rechteckigen Prismas von den Dimensionen L , B , 1) durch die Wirkung einer in der Mitte angreifenden Belastung P nach der bekannten Formel:
Hinsichtlich der Drillung liegen beim rhomboedrischen
System die Verhaltnisse complicirter, als bei dem hexagonalen, weil es hier keinerlei Orientirungen der Prismen gibt,
bei welchen alle drei Kanten in die Richtungen von krystallographischen Symmetrieaxen. fallen. Es kommen also hier die
allgemeinen Formeln zur Anwendung, die ich fiir die Drillung
eines rechteckigen Prismas aus beliebiger krystallinischer
Substanz entwickelt habe. l)
Nach denselben gibt sich der Drillungswinkel z eines
1) W. Voigt, Wied. Ann. 29. p. 604. 1886.
Elasticitlit von Beryl1 iind Ber&?/stall.
497
Prismas von der LSlnge L , der grasseren Querdimension B,
der kleineren D, durch ein Drehungsmoment N durch die
Formel:
Hierin ist T der Drillungs-, E der Dehnungscoefficient,
welcher schon durch Formel (29) definirt ist; GJ‘ und 8” sind
zwei ahnliche Punctionen der Richtungscosinus a, 8. y, a ] ,
pl, y l , u 2 , P2, y 2 , welche die Lagen von L, B nnd D gegen
die Krystallaxen bestimmen. Es gilt niimlich:
(32)
Die Grosse f ist eine Function des Verhaltnisses B j D ,
welche bei Werthen desselben, welche 3 ubersteigen, als
merklich constant angesehen und demnach durch Combination
von Beobachtungen eliminirt werden kann.
Die Orientirungen der Prismen, far welche @‘= O”= 0
ist sind fur die Beobachtung am geeignetsten, einmal weil
sie nach der Theorie eine Drillung ohne Biegung gestatten,
was in technischer Hinsicht erwunscht ist, andererseits, weil
fiir sie die obige Formel sich sehr einfach a u f
(33)
r =-
- -’-l V-L--T -
- -
reducirt.
Diese ganz allgemeinen Pormeln (29) und (33) sollen nun
fur die speciellen Orientirungen der verschiedenen fur die
Beobachtung geeigneten Prismen angewandt werden.
Fallt die Langsrichtung in die krystallographische HauptAiin. d. Phys. u. Chem. N.
F. XXXI.
32
W. Vuigt.
498
axe - Gattung ( O O ) - so wird y = 1, y1 = y z = ac = p = 0
sein, daher:
(34) SEo= S,,,
ST, = S44, S@,'= 0, S @ / = 0.
E s gilt also fur die Torsion die einfachere Formel (33);
die sie enthaltende (nahe constante) Function f muss durch
die Beobachtung bestimmt werden. Die Lage der Querdimensionen kann einzig auf ihren Werth influiren, im ubrigen ist sie gleichgultig.
Liegt die Langsrichtung in der Symmetrieebene 1-2in1
ersten oder dritten Quadranten, und schliesst sie mit der Hauptaxe den Winkel 45O ein, und fAllt die griissere Querdimension
( B ) in die X-(Symmetrie-)Axe, so sol1 die Gattung Prismen
mit (+ 45O) bezeichnet werden. Hier ist y = 13 = 1/l&,
y z = F IS, = l/Vii, u l = l , a=ac2=p1=jll=0, also:
*
SE+45
1
= $ (sll
f s33 f
s,, +
CS13
*-
slJ)),
S@"= (S,, - s,,+ S,,),
S'1'445=d(S,&4+a(S,1812)
4Si.g).
Dass 63" von Null verschieden ist, lasst die Formel fur
die Torsion unbequem cornplicirt sein; man wird diese Gattung Prismen daher nicht gern zu Drillungsbeobachtungen
benutzen.
Die Gattung (- 45O) unterscheidet sich von der vorigen
nur dadurch, dass die Langsrichtung im zweiten Quadrant
liegt, y = - p = l / V 2 ist. Hier gilt:
SE-45 = 4 (q,
Is,
S,, 2
+'S,*))
(3G)
S T - 4 5 = 4 (SG4 2 (S,, - SI2;
- 4 8,J.
Liegt die Langsrichtung des Prismas normal zur Hauptaxe, d. h. in der Ebene der Nebenaxen, 80 hat man y = 0.
also fiir die Gattung (goo):
(35)
S(9'= 0 ,
{
+
+ + +
+
(byl,
8 Ego = S,, ,
(37)
wie auch immer die Orientirung im iibrigen sei. Dies Resultat ist analog dem bei hexagonalen Krystallen gefundenen.
Ferner ist unter der gleichen Voraussetzung:
+
IW,,= S4,+ (2(S,,- SI2)
- S,,) yZZ 4 s;4[p~1
(3aac,-PP1) - p2u2j,
S'lgo
= S1,y1,4(3u2- p),
SO9:=
S14y,/3(3a2- p2).
Unterscheiden wir wie beim Beryl1 zwei Gattungen (90OA)
499
Elasticiliit von Beryl1 und Beryhrystall.
und (90° B) jenachdem die kleinere oder grossere Querdimension in die Haiiptaxe fallt, d. h. y 2 oder y1 = 1 ist, so erhalt
man fur die Gattung (90OA):
(35) s'l,o,= 2(811-810,), 8 8 9 6 =~O , $@,;~=h'l,/3(3n~-P')
liingegen fur die Gattung (900 B):
(39) S ' r ! H B = 8 A z & 1 h ' @ & B = $1,P(3C4'-P2):
804B=0.
Es sind hiernach fur die beiden Gattungen die Torsionscoefficienten rings um die Hauptaxe her constant, nicht aber
die gleichen Bedingungen entsprechenden Torsionswinkel, denn
in Formel (31) variiren die 0' und 0" mit cc und $, aucli
istf wechselnd. Da aber diese Ausdriicke in Gleichung (31)
sammtlich in Potenzen von D IB multiplicirt auftreten, so
ist eine starke Abhhgigkeit der Torsion yon der Lage
der Prismenaxe in der Ebene der Xebenaxen nicht zu erwarten; besonders findet dies statt bei der Gattung (90° A),
da fur diese W = 0 ist, welches nach Formel (31) in das
grosste variable Glied multiplicirt ist.
Die Orientirung der Prismenaxe normal zu der krystallographischen Symmetrieebene hat die besondere Wichtigkeit,
daas ftir sie die bisher als unbekannt benutzte Function j '
sich theoretisch bestimmen lasst.
Wir haben als die Guttung (90O.A) oben diejenige hezeichnet, fur welche die Langsrichtung und die Breitenrichtung normal zur Hauptaxe steht; wir wollen die Benennung
(90" A I ) specie11 fur Stabchen normal zur Symmetrieebene
einfuhren, wenn fur sie :
= p1 = j r 2 = 1 , & = yl = 0 ist.
F u r diese Gattung gibt die Theoriel) neben:
Die Gattung (9OOBI) ist analog gegeben durch:
a = p 2 = y l = 1, PI = y:! = 0;
____
1) 1. c
p. 616. Dort ist in Formel (331 einzufiihren:
S5,'= P(S,, - s,,,, s,4'= s,,, s,5'= 2 4 , .
32 *
500
W. Voigt.
fiir sie gibt sich analog’):
Sind nun aus den Beobachtungen nach den vorstehen
den Formeln die sechs unabhkngigen Determinantenverhaltnisse :
\
S’JS = S l l ,
S,,:S = S12, Sl3/S= S 1 3 ,
S14iS= S 1 4 ) s33;s
= SS3,
s4,js
= sg4
berechnet, so bestimmen sich aus ihnen die sechs Elasticitatsconstanten :
‘111
5 2 ,
c139
c141
c339
c44
durch die folgenden Gleichungen:
Aus c) und d) folgt:
Ia t s e) und f ) :
Unter diesen Constanten bestehen nach der Po i s s on’schen Theorie, wenn vorausgesetzt wird, dass die Molecule
1) ibid.
I11
Formel (35) zu setzen:
s=
;, 2(Sll - S,,),
Sss’=
s,,,
&‘ = 2S14.
Elasticitat von Beryl1 und Berghrystall.
501
der Substanz keine Polaritat besitzen, dieselben heiden Relationen, die fur das hexagonale System gelten, namlich :
(44)
cI3=cqj,
cI1 = 3c1,.
Bus den Verhdtnissen Shk bestimmt sich wiederum die
Deformation eines rhomboedrischen Krystalles bei anderen
als den oben vorausgesetzten Umstanden.
1st ein beliebig gestaltetes Stuck einem allseitig gleichen
Druck ausgesetzt, so folgt genau, wie fur das hexagonale
System gefunden :
‘33)r
(45) 52 = - p (‘11 f ‘12 f ‘13) = ?/Y9 ‘2 = - p (2s,3
y. = zz = zy = 0.
Die Compressionscoefficienten parallel und normal zur
Hauptaxe werden daher auch:
A, = 2s,, s 3 3 ,
A,, = s11 s12 ‘13,
(46) der cubische Compressionscoefficient:
M = 833 2 (‘11 812) 4 s 1 3 Ebenso f d g t fiir die Aenderung des Winkels x zwischen
zwei Ebenen, deren Normale durch die Richtungscosinus
al,PI, y1 und a2, PZ, yz gegen die Krystallaxen bestimmt
sind, dieselbe Formel:
{
+
+
+ +
+ + +
{
(47) ‘XsinX=
- ~ ( ‘13+ s33- 8~ 1- s1~ ) ( 2~ ~ ~~- ( ~12f ~~2) C0s~)
mit dem charakteristischen Coefficienten:
= ‘13
+
’33
- ’11 - ‘12.
Auch bei einseitigem Druck auf die Basis oder Mantelflilche verhalt sich ein Cylinder aus einem rhomboedrischen
Krystall einem hexagonalen gleich, falls seine Axe in die
krystallographische Hauptaxe fallt, nicht hingegen bei anderer Orientirung. Man kann daher fiir rhomboedrische Krystalle aus den thermischen Ausdehnungscoefficienten a, und al
parallel und normal zur Hauptaxe ebenfalls die Grosse der
Warmeabstossung, gemessen durch go und q l , bestimmen wie
fur hexagonale durch die Formeln:
(48)
= 912s13
+
90533,
.al
= !?I
(‘11
f
‘12)
(Fortsetzung im iiiichsten Heft.)
+
qOs13’
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