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Bestimmung der Elastizittskonstanten von Aragonit.

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290
5. BestirnWLurzg
d e r E ~ a s t i ~ i t a t s ~ o n s t a nuon
t e n Aragonit ;
vow w. V o i g t .
(Aus den Nachr. der kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Giittingcn.
Msth.-physik. K1. 1907.)
Fur eine molekulare Theorie der Materie bietet die Kenntnis des mechanischen Verhaltens verschiedener Modifikationen
einer und derselben Substanz unzweifelhaft ein besonderes wichtiges Hilfsmittel. Aus diesem Grunde habe ich gleich nach
Durchfuhrung meiner Untersuchungen l) der Elastizitatsverhaltnisse des Kalkspats mit dem Sammeln yon Material fur eine
spatere Behandlung des Aragonits, der sich j a bei Rotglut in
Kalkspat umwandelt, begonnen. Die in den letzten Wochen
vollendeten Beobachtungen am Aragonit, bei denen ich mich
der finanziellen Unterstutzung der kgl. Qesellschaft der Wissenschaften zu erfreuen hatte, haben zu den nachstehend mitgeteilten Resultaten gefuhrt.
Dns Beobachtungsmaterial. Fur die Bestimmung der Elastizitatskonstanten kommen nur die bohmischen Aragonite in
Betracht, von denen Kristalle mit den beilaufigen Dimensionen
1,5 x 1 x 3 cm unschwer zu erhalten sind. Schwierigkeiten
bei ihrer Verwendung bieten die geringen Querdimensionen
dieser Vorkommen und fast noch mehr die in ihnen so haufig
auftretenden Zwillingslamellen.
I n erster Hinsicht bot Hilfe ein (im ganzen unregelmafiig
ausgebildeter) groBerer Kristall, in dem sich eine einzelne
Schicht normal zur c-Achse in Querdimensionen yon rund
2 cm zur Herstellung einiger Stabchen normal zur c-Richtung
brauchbar erwies. AuBerdem lieBen sich in gegen die c-Achse
geneigten Richtungen der ac- und bc-Ebene aus den dunneren
Kristallen langere Stabchen dadurch gewinnen, dafi dieselbcn
1) W. Voigt, Gott. Nachr. 1889. Nr. 1 9 ; Wied.Ann. 39. p. 412. 1890.
Bestimmung der hkstizitatskonstanten von Aragonit.
291
nicht (wie z. B. fruher bei Topas) unter 45O, sondern unter 30°
gegen die c-Achse geneigt hergestellt wurden.
Zwillingslamellen sind im allgemeinen dadurch ganz vermieden worden, da6 mit dern Material Luxus getrieben, z. B.
zur Herstellung von ein oder zwei Stiibchen parallel der c-Achse
ein ganzer Kristall geopfert wurde. Fur einzelne Orientierungen
lieB sich indessen keine Lage des Stabchens finden, die ausschlieplich ungestortes Material beruhrte; in diesen Fallen ist
Sorge getragen, daB die (stets sehr feinen) Lamellen die StLbchen
nahe deren Enden durchsetzten.
Die ganz seitlich liegenden Stabteile werden j a bekanntlich bei Biegungen durch Belastung der Mitte iiur sehr wenig
in Anspruch genommen; es kommen demgemal3 die in ihnen
liegenden Stijrungen kaum merklich zur Wirkung. Bei den
Drillungen sind die auBersten 2-3 nim der Lange durch die
Einkittung der Stabchen gleichfalls unwirksam; laufen uberdies die Lamellen vom Ende des Stabchens aus gegen eine
so kommenI
sie deshalb kaum
)
zur
Schmalseite (
Geltung, weil die Schmalseiten bekanntlich bei der Torsion
sehr wenig gespannt sind. Ich glaube nicht, da5 bei den von
mir benutzten Praparaten ein EinfluB der Zwillingslamellen
ubrig geblieben ist, der die GroBe der Beobachtungsfehler
ubertrifft.
Die Formeln f u r das rhombische Kristallsystem. Von den
im allgemeinen 2 1 Elastizitatskonstanten chk und -moduln shk
bleiben im rhombischen System nur die neun mit den Indizes
(111, ( 2 2 ) , (331, (‘441, (551, (661, (231, (311, (12)
ubrig.
Bezeichnet man die Richtungskosinus einer Richtung gegen
die Kristallachsen durch a, 8,y, so bestimmt-sich der dieser
Richtung zugehorige Uehnungsmodul E, das Reziproke des sogenannten Elastizitatskoeffizienten oder Dehnullgswiderstands E,
durch die Formel
(1)
{
E = 1 / E = sI1u4
+
+ sZz/3’ + s337‘ + + 2s.J p2y 2
+ 2 y2 a2+ + 2
p2
(s44
(SS5
SQ1)
(S66
SI2) cCo
Die Bieyuny 1 eines beiderseitig unterstiitzten Stabes von der
Lange A , der Breite B , der Dicke D bei der zentralen Be20 *
N: Yoigt.
292
lastung Y ergibt sich, wenn A in die oben eingefiihrte Richtung
fallt, zu
-.E P L S
=
(2)
41: D3
Biegungsbeobachtungen gestatten soiiach die sechs Aggregate der shk in (1) zu bestimmen, wozu sechs geeignet gewahlte
Stabchen zu benutzen sind. Ich habe die folgenden angewendet,
die nachstehend durch ihre weiter gefuhrten Gattungsnummern
und die dazu gesetzten Werte der Richtungswinkel von 5
charakterisiert sind.
I (0,900, 900);
It (900, 0,900);
111 (900, 900,O)i
(3)
IV (goo, 60", 30°); v (60°, 90°, 30');
V I (5S05', 31°55', 90').
Die Qattung VI liegt parallel den Zwillingslamellen, welche
letztere auf diese Weise am einfachsten zu vermeiden waren.
Im ubrigen zeigten feine Lamellen nahe den Enden nur die
Gattungen I und VI.
UemaB obigeii Orientierungen wird nun
{
E, = sll,
I
E,
(4)
E,
I E,
Ez = s
~
~E3, = s ~ ~ ,
& (9 s~~ + + 3 (s4,
= r'c- (9 833 + 811 + 3 (*%5
=
*qZ2
+ 2 -~,,)),
+2
S,J)
7
+ 0,519 sz2 + 0,2014 (see+ 2 sl2),
s33, s4p+ 2 sZ3, s55 + 2 sQ1, sS6 + 2 s12 leicht
= 0,0781 sI1
woraus sich sI1, sz2,
berechnen.
Um die neun snk gesondert zu erhalten, sind .Drillmyen
von drei geeignet orientierten Stabchen heranzuziehen. Es
empfehlen sich drei von denjenigen (sechs) Orientierungen, wo
L, R, D' den Kristallachsen parallel sind. Hier driicken sich
die Drillungswinkel z einfach durch ein von mir als Drillungsmodul T bezeichnetes Aggregat am, das als das Reziproke des
Drillungswiderstandes T aufzufassen ist und gegeben wird durch
die Formel
IT = 1 / T = 4(sll
szZpap: s~~7'~:)
15)
{
+2
+4
+
s23)
BB, YY1 + (s44
$-
('66
+
+4
+
S8l) Y Y l
'12)
(Pzy : + y 2 @:) f s , , (7' a: + ac2 Y:)-kSf36
bezeichnen a, p: y die Richtungskosinus
+
in ihr
K"4.1
'44
pp11
p: +Bz @:);
(@2
der Lange L ,
Bestimmung der Elastizitatskonstanten von Arayonit.
293
aber ccl, PI, y1 diejenigen cler grofieren Querdimension B des
Stabchens.
Charakterisiert man die Richtung von L durch den ersten,
die von B durch den zweiten Index von T, so erhalt man
aus (5)
T, = Tcb= sCj, T, = Ta c = ' 6 5 1 T a b = T b a = ' 6 6 .
Ton den SYabchen ( g o o , 90°,0) hatte der eine Teil, der
weiter die Bezeichnung I11 behdten soll, die Richtung B in
cler a-Achse, der andere, der mit III' bezeichnet werden soll,
in der 6-Achse. Die Stabchen I (0,90°, 90") hatten die
B-Richtung in der b-Achse.
Die Drillung z eines Stabes von den Dimensionen L, B, B
bei Einwirkung eines Momentes N um die Langsrichtung h h g t
dann je von den beiden auf dieselbe Richtung von L bezuglichen Moduln T ab. Es gilt namlich, wenn man t mit den
analogen Indizes versieht, wie T,
(6)
Hierin ist h eine Funktion von DIB,die fur BIB < Q merklich konstant gleich 3,361 ist.
Das zweite Glied der Klammern im Nenner ist klein
neben Eins, daher wird man die Berechnung der Moduln T
aus den Beobachtungen durch sukzessive Annaherung ausfiihren.
Bestimrnuny der Dimensionen. Die der Messung unterzogenen Praparate hat die Firma Dr. S t e e g & E e u t e r , Bad
Homburg, in gewohnter Vortreff lichkeit hergestellt ; in der Tat
genugte die RegelmaBigkeit der prismatischen Form weitgehenden Anspriichen.
Die Dicken wurden an 15 bzw. (bei den kurzesten Stabchen) an neun Stellen gemessen, die sich in gleicher Zahl auf
die Mittellinie und auf zwei um ca. 1 mm von den beiden
Randern abliegende Gerade verteilten ; die drei demselben
Querschnitt entsprechenden Zahlen weichen nur selten um
294
w.Poipt.
0,003 mm voneinander ab, und die in der Langsrichtung stattfindenden Variationen sind kaum gr6Ber. Die Breiten sind
an drei Stellen gemessen.
Die Bieyunysbeobachtungen. Uber die Methode, nach der
die Riegungsbeobachtungen ausgefuhrt sind, ist an anderer
Stelle l) ausfuhrlich berichtet worden. Hier mag nur wiederholt werden, daB die meisten Stabchen in zwei verschiedenen
(wirksamen) Langen zur Messung gelangten, um durch Kombination der Resultate die Eindriickung der Lager- und Belastungsschneiden zu eliminieren. Diese storenden Einfliisse
gewinnen bei den kurzen Stabchen eine groBe Bedeutung und
es ist nicht angangig, ihre Werte von einer Gattung Stabchen
auf die anderen zu iibertragen, d a neben der Gestalt und dem
Oberflachenzustand (Politur) der aufliegenden Flachen auch
die Orientierung des Stabchens gegen die Kristallachsen fur
jene GrijBen merklich maBgebend ist. Bei der im allgemeinen
stattfindenden sehr geringen Gr6Se der (ohne zu groBe Gefahrdung der Stabchen) erzielbaren Biegungen war ein BuWerst
sorgsames Operieren natjg, um eine befriedigende Ubereinstimmung der Resultate zu erzielen; wiederholtes Abwaschen
der Stiibcben mit absolutem Alkohol, Beseitigung etwaiger
StBubchen von den Auflageflachen mittels eines Pinsels , Vermeidnng der Beriihrung mit der Hand und dergl. war zu beachten, urn StBrungen auszuschlieflen.
Die nachstehende Tabelle enthalt fur jedes Stabchen die
Dimensionen B, B, 1; in Millimetern, die Belastung in Grammen
(S das Gewicht der Wagschale = 11,42), sodann die beobachteten Senkungen 6 in Millimetern der Skala, die je einem
wirklichen Senkungswert von 0,0006793 mm entsprechen. Jede
angegebene Zahl ist das Mittel aus 3-4 Ablesungen hei einer
bestimrn ten Anordnung, bezieht sich also auf eine vollstiindige
Beobachtungsreihe; die nebeneinandw stehenden Zahlen sind
hintereinander bei urngekehrten Lagen der Stabchen gewonnen.
Weiter folgt die ans den 6 herechnete Eindruckung o,, der
Schneiden und die mit ihrer Hilfe gewonnene ekfektivc Biegung 8.
Da alle E’ehlerquellen dahin wirken, die Biegungen zu
1) W. V o i g t , Giitt. Nachr. 18.56. Nr. 3 ; Wied. Ann. 31. p. 474. 1357.
295
Bestimmung dey Elastizitatskonstanten von Bragonit.
grop erscheinen zu lassen, so ist bei allen zum Zweck der
Berechnung von q niitigen Mittelwertbildungen aus zwei Resultaten dem kleineren das doppelte Qewicht beigelegt.
Endlich folgt der Dehnungsmodul E, nach Formel (2) berechnet, wobei Gramme und Millimeter als Einheiten benutzt
sind. Am SchluB der auf eine Stabchengattung bezuglichen
Zahlen ist der Mittelwert aller E fur die betreffende Gattung
aufgefuhrt, daneben E = 1/E der Dehnungswiderstand.
Die Messungen waren am schwierigsten bei den Stabchen
der Gattungen I1 und V, wegen deren sehr geringen Langen;
es ist ein gliicklicher Umstand, daB den betreffenden Orientierungen bei Aragonit ein relativ kleiner Biegungswiderstand
entspricht - so sind die fur sie erhaltenen Zahlen nicht merklich unsicherer als die librigen.
I. Nr.1
L = 241
u
B iegungen.
B = 4,99
D = 0,4875
= 21,9 21,4
L = 13,l
22,6, 22,4,
7 = 20,s
uo = 1,l
Nr.2
L = 21,l
B
=
5,OO
D
u = 21,9, 22,05
22,5
0,481
L = 13,l
=
22,3
7 = 20,9,
u o = 1,16
P = S+ 40
u = 6,O 6,l
6,2 6,2
El = 6,7,.lo-'
P=S+40
u = 6,O 6,3
6,2 6,2
El = 6,&. lo-'
B = 4,92, D = 0,490 P=S+40 bzw. S+50
u = 12,9 13,3
L = 13,l
u = 5,8 5,9
7 = 12,2,
E, = 6,8@.lo-'
uo= 0,8
L = 17,6
u = 15,5 15,8
L L= 13,t
u = 7,O 7,l
7 E 14,55
E, = 6,8,.lo-'
uo= 1,06
El = 14,6.
Im Mittel E, = 6,84.lo-'
Nr. 3
L = 17,6
Bei Berechnung dieser Mittelwerte sind die beiden auf
Nr. 3 beziiglichen Beobachtungen nur als eine gerechnet.
P = S + 40 bzw. S + 50
B = 4,97, D = 0,490
11. Nr.1
L = 18,l
u = 26,8 26,7
L = 13,l
u = 11,4 lo,%
L = 18,l
Nr. 2
L = 14,6
26,1, 26,7,
u& = 1,65
u = 31,O 31,6
u,, = 1,5
B = 4,975
16.7 16,7
1,5
u =
u0 =
7 = 24,8,
L = 13,l
7 = 29,7
U
=
0,491
'1 = 15,2
.
E, = 12,9,, lo-"
u = 12,G 12,9
E, = 12,g7.
lo-'
P - S+50
E, = 12,7!, . lo-'
JK Y
oi't.
296
Nr. 3
L = 15,6
B = 5,13
u =
21,s
D = 0,473
P=S+50
22,l
0, = 1,s
7 = 20,4
E, = 12,9,. lo-'
I m Mittel E, = 12,S9. loBs
El = 7,76. lo6
-
u = 4,92
111. Nr. 1
L
= 28,l
u = 37,7 38,2
uo = 0,95
Nr. 2
L = 24,l
B = 5,38
u = 34,9 34,7
D
Nr. 3
B = 5,39
u = 34,7 34,s
U, = 0,80
= 24,l
111'. Nr. 1
L = 28,l
B
(F
u0
1'.
= 0,473
L = 13,l
7 = 33,F15
Y=S+20
u = 6,3
6,2
E, = 1llg6
D
= 0,474
P=S+20
L = 33,l
Nr. 2
L = 21,l
7 = 3G,2,
u = 4,s 4,7
E, = 11,79
3,= 8,3,. 106
7 = 58,5
D
13 = 4,91
u0= 0,7O
B = 4,91
uo =
7 = 40,10
D
28,s
1700
= 0,480
L = 13,l
7 = 27,8,
P=S+30
u = 7,6, 7,5,
E, = 11,14. lo-'
E4= 8,9, . 106
L
D = 0,486,
P=S
L = 13,l
B = 4,96,
u = 30,0
30,s
7 = 28,6,
u0 = 1,60
u = 37,2 36,9
= 18,l
L = 13,l
36,6 35,6
U~ = 1,76
Nr. 2
L = 17,l
B = 5,40
u = 29,3
11
D
Nr. 3
B = 3,80
u = 27,3
29,4
= 13,l
7 = 27,3,
D = 0,4745
u = 4 0 ,l
+ 40
bzw. S
+ 50
u = 12,3 12,s
E, = 14,5,. lo-*
u = l5,Z
15,5
15,2 14,6
E, = 14,7,.
P=S+50
L
P=S
u = 14,3
E,
f 10
14,4
= 14,14. lo-*
bzw. S + 20
27,8
uo = 0,9
L = 21,l
= 34,56
= 0,476,
uo = 2,0
L = 21,l
+- 20
u = 5,g6 5,7,
E, = l l , l l .
P =S
= 0,4875
L = 13,l
Im Mittel E, = 11,1,.
V. Nr. 1
L = 18,l
P=S+IO
L = 13,l
u = 40,6, 41,16
u = 28,8
s+
P=
10
u = 4,3 4,5
E, = 13,00
Il = 0,474
u = 59,s 59,5
uo = 1,1,
Im Mittel E, = 1l,g7 .
IV. Nr. 1
L = 26,l
E, = 12,06
7 = 33,9,
I) = 0,490,
L = 13,l
37,l
B = 5,41
3
u = 4,7,
4,6,
E, = 12,0a
D
= 4,OZ
= 36,9
= 0,7,
P = S + 1 0
= 13,l
7 = 36,g0
uo = O,So
L
= 0,488,
IJ
39,6
u o = l,lo
Im Mittel E, = 14,49. 10-8
E, = 14,5*.
u = 10,3 10,4
E, = 14,45. lo-'
E5= 6,9,. 106
7 = 26,55
= 13,l
7 = 38,6,
L
Bestimmung der BZustizitiitskonstanten von Bragonit.
VI. Nr. 1
B = 4,90
L = 26,l
u = 38,7, 38,3,
D
uo = 1,0,
Nr. 2
L = 26,l
B = 4,89
u = 38,35 39,2, I)
uo = l,oo
I m Mittel E, = 10,66.
P=
st-
L = 13,l
20
u = 5,68 5,66
p = 37,36
E, = 10,6,.
= 0,493
D = 0,491,
L = 13,l
tj
29 7
P = S + 20
u = 5,76 5,76
E, =
A; = 9,38 106
= 37,6$
.
Aus diesen Werten folgt gemaB (4)
(8)
1
12,8,. lo-*, s~~= 11,9,. lo-',
s~~ + 2 ~ , ,= 1 9 , l 6 ' lo-',
sC5
2 ~ , ,= 39,0,. lo-',
2 s , ~= 16,9,, lo-'.
.qI1
= 6,84. lo-',
s~~ =
+
+
Mit Hilfe dieser Parameter berechnet sich das Gesetz des
allgemeinen Dehuungsmoduls E nach Formel (1). Zu seiner
Veranschaulichung sind in Fig. 1 die Hauptschnittkurven der
Fig. 1.
Oberflache, die entstehen, wenn man E als Vektor Torn Koordinatenanfang auftragt , wiedergegeben. Die Koordinatenachsen X , J', Z entsprechen dabei den Kristallachsen a, 6 , c.
Die Kurve in der YZ-Ebene zeigt Maxima von E in den
Koordinatenachsen, Minima in Richtungen, die mit der j= YAchse die Winkel von (rund) k49O40' einschlieBen; die entsprechenden Minimalwerte von E sind etwa gleich 10,9,. lo-'.
Die Kurve in der ZX-Ebene ergibt in der Richtung der
Koordinatenachsen Minima fur E; die Maxima von der un1) Der abnorm groBe (wiederholt verifizierte) Wert war ersichtlich
durch eine UnregelmaEigkeit in der Gestalt der einen Auflageaiiche des
Stsbchens nahe dessen Ende bedingt.
K Yoigt.
298
gefahren Gr06e 14,8, .
schlieBen mit der fZ- Achse die
Winkel von etwa 37O40' ein.
Die Kurve in der XY-Ebene ergibt ein Minimum fur E
in der X-,ein Maximum in der Y-Achse; dazwischen liegt
kein Extremwert. Es sind dieselben drei Typen von Schnittkurven, die auch Baryt geliefert hat.l)
In den Mittellinien der Oktanten (ct= f1/13, ,d= f
y=+
besitzt E den Wert ll,t3,. 10-8, aus dem zu
schlieBen ist, daB innerhalb der Oktanten absolute Maxima
und Minima von E nicht liegen.
Die Drilhngsbeobachtungen. Auch iiber die Methode der
Drillungsbeobachtungen 1st an anderer Stelle ausfuhrlich berichtet worden. Die Versuche waren nicht ohne Schwierigkeit
infolge der leichten Zerbrechlichkeit der Praparate. Die
Kristallstabchen von noch nicht 0,5 mm Dicke mu6ten eingespannt und zentriert werden; daraufwaren die Spiegelfassungen
auf den Stabchen festzuklemmen. Namentlich die Stabchen
der Gattungen I und I1 erwiesen sich a19 auBerst hinfallig;
da die Gattung I1 aber nach (6) und (3) mit 111' ubereinstimmende Drillungsmoduln T liefert, so konnte von ihrer Verwendung schlieBlich abgesehen werden. Die Stabchen I gestatteten trotz ihrer geringen Lange (die durch Abspringen
von Stiicken an den Enden zum Teil noch reduziert wurde)
schlieBlich doch einige gute Beobachtungsreihen; ihr Resultat
ist ein Wert fur T1, dessen Sicherheit nicht allzu stark hinter
denjenigen der leichter zu beobachtenden T, und T,' zuriicksteht.
In der folgenden Zusammenstellung bezeiehnen B, B, L
wie oben die Dimensionen des beobachteten Stabchens; P ist
das drillende Gewicht in Grammen, S das Gewicht der Schale
dabei = 11,52. Die Zahlen r geben die GroBen der beob.
achteten Drillungen in Millimetern der Skala, die 220cm von
der Drehachse entfernt war; je eine bezieht sich auf eine
Drehung des rechten, eine auf eine Drehung des linken
Stiibchenendes , wahrend das andere festgehalten war, und
bildet den Mittelwert aus 3-4 sehr genau iibereinstimmenden
l/lq
1) W.Voigt, Gott. Nachr. 1887. Nr. 19; Wied. Ann.
2) W. V o i g t , Pogg. Ann. Ergbd. 7. p. 189. 1875.
1/13,
34. p. 981.
1888.
Bestimmuny der Elustizitatskonstanten von Bragonit.
299
Ablesungen. Bei diesen beiden Beobachtungen war der Hebelarm, an dem P wirkte, nicht genau gleich, und darauf beruht
ein Teil der Abweichung der beiden Zahlen; der mittlere
Wert des Hebels war 36,9 mm.
Drillungen.
I. Nr. 1
B = 4,99
D = 0,487,
L = 11,24
P=S
T = 26,8, 27,10
T, = 22,65. lo-'
T, = 22,53.
P = S $- 5
r = 38,40 38,5,
Nr. 2
B = 5,OO
P=S
T
D = 0,488
L = 14,25
= 35,4, 35,5,,
TI = 23,6,. low8
B
= 4,925
D = 0,490
= 11,79
T = 28,s
T, = 23,0,. lo-*
T = 41,4, 41,0,
T, = 22,9,.
5
T = 4,36. 106
Tm Mittcl TI = 22,9,.
Nr. 3
P=S
P=S
,
+
Der fur Nr. 2 gefundene Wert T, ist auffallend grod, so
dad man an Storungen der Beobachtung denken mochta. Leider
zerbrach das Stabchen hei dem Versuch, die Messung zu
wiederholen. Da mit Nr. 1 und 3 j e zwei Beobachtungen
durchfuhrbar waren, so kommt Nr. 2 beim Nelimen des Mittels
von selbst zu geringerem EinfluB.
111. Nr. 1
P=S
B = 4,92
Nr. 2
B = 5,38
P= S
T =
95,6
r = 81,7
D
95,3
L = 24,22
T, = 3S,08. lo-*
= 0,488,
L = 20,70
T, = 38,35. lo-'
U = 0,473
82,6
Nr. 3
B = 5,39
D = 0,474
L = 19,24
P=S
T = 75,G 75,6
T, = 38,30. lo-'
Im Mittel T, = 35,2,.
T = 2,61 . lo6.
111'. Nr. 1
P=S
P = -!-5
B = 4,92
T =
58,7
z = 84,l
U = 0,4905
L = 23,12
58,3
T,'= 23,g5. lo-'
82,s
T8'= 23,7,. lo-'
Nr. 2
B = 5,41
D = 0,475,
L = 16,50
T = 41,3, 40,s
T3'= 23,8,. lo-'
P=S
t = 58,5, 58,2
T=
;
23,6,. lo-'
P=S+5
Z'?' = 4," . lo6.
Im Mittel T,'= 23,8, . lovs
Da T, Fit T a b ,T, mit T,, T,' niit T, identisch ist, sa
ergeben die vorstehenden Zahlen unmittelbar auch sd4,
sBB!
w; Koigt.
300
und die Kombination dieser Resultate mit denen der Biegungsbeobachtungen (8) liefern das folgende vollstandige System von
Elastizitatsmoduln des Aragonits
(9)
{
sI1= 6,8,.10-',
s4, = 23,8,.10-',
sZ2= 12,8,.10-s,
s~~ = 38,2,.10-',
sZ3= -2,3,.1OP8,
sgl = +0,4,.10-',
s~~ = 11,97.10-8,
22,9,.10--',
sI2= -2,98.10-8.
,vG6 =
Das positive Vorzeichen von sQ1 hat die Bedeutung, daB
ein parallel der X - oder der Z-Achse geschnittener Zylinder
sich bei einer Langsdehnung nach der Richtung der Z- oder
X-Achse (suer) nicht Irontrahiert, sondern dilatiert. Dies Resultat
geht den bei Pyrit l) und Natriumchlorat 2, gefundenen einigermaBen parallel; indessen sind hier die in den genannten Anordnungen nach der Y-Richtung stattfindenden Kontrahtionen
so bedeutend , da8 der Gesamtquerschnitt bei Langsdehnung
doch verkleinert wird.
Das allgemeine Gesetz (5) von T IaBt sich, als zwei Richtungen enthaltend, nicht durch eine Oberflache veranschaulichen;
dies geht indessen beziiglich des Torsionsmoduls To fiir eirien
Kreiszylinder, der mit den Richtungskosinus der Zylinderachse
durch die Formel verbnnden ist:
T"
(10)
i
= a2(Sg5
f "66)
$44)
@2('06
Y2('4d
+ 4 p Z y Z ( S 2 2 + .s33 - .v44 - 2
+ 4 y 2 u2(s3, + SI1 - s5B- 2 f3])
+
'65)
SZS)
+'
a2p2(s11
+
'2%
- '66 -
'12).
Nach den obigen Zahlwerten nimmt dieselbe die Form an:
(11)
{
T o = 61,2. u Z+ 46,8. p z + 62,O y 2
+ 23,8p2y2 8 l : l . y 2 a z + ll,OU~(82,
-
oder auch mit (1) konform:
(12)
{
+
+
T o = 61,2a4 46,8/3* 62,0y4
131,7P2ya 42,l y 2 u z 119,0a2P2.
+
+
+
Die Schnittkurven der To-Oberflache mit den Koordinaten1) W. Voigt, Wied. Ann. 36. p. 649. 1888.
2) W.Voigt, 1. c. 49. p. 719. 1893.
Bestimmung der Elastizitatshonstanten von idragonit.
301
ebenen sind in Fig. 2 dargestellt; der MaBstab ist 115 desjenigen von Fig. 1.
Fig. 2.
Einige Folgerungen. Bei allseitig gleichem Druck p = 1 g
pro mm2 kontrahieren sich die LBngeneinheiten parallel den
Koordinateriachsen um
{
+
+ +
f '13 7 A, = '21
8,= s31 *e3, s 3 3 ;
die Volumeneinheit verkleinert sich um
(131
1'
= '11
ik! = 811
14)
Bei Aragonit ist
(15)
{ A,
= 4,2,.
'22
'23
+ + +2 + +
~ 1 %* )
lo-',
'12
+ +
~ 2 2
A,
,933
(~23
831
7,5*. lo-*,
&! = 21,9,. lo-';
=
9
8, = 10,0,. lo-*,
die Unterschiede der A, sind sehr bedeutend, demgem%%werden
sich auch die Winkel eines Aragonitkristalles bei allseitig
gleichem Druck erheblich andern.
Die Modulwerte des Aragonits lassen sich mit denen des
Kalkspats l) nicht direkt vergleichen, da beide Kristalle rerschiedenen Systemen angehoren; immerhin ist eine Zusammenstellung der oben gegebenen Zahlen mit den fiir Kalkspat
gultigen nicht ganz ohne Interesse. Ich fand fur Kalkspat
s11
= 11,14.. lo-'
s , ~= 17,13. lo-',
= s,,,
s~~ = 39,52. 10-8 = sS5,
sZ3=
- 4,24. lo-'
= sSl
,
= 2 (sI1- slB)= 49,62. lo-',
sIa = - 3,67.
lo-'.
1) W. Voigt, G6tt. Nachr. 1889, Nr. 19; Wied. Ann. 39. p. 412. 1890.
302
I K Foigt.
Naturlich ist es zunachst willkurlich, irgendwelche Koordinatenachsen beider Korper in Beziehung zueinander zu setzen ; doch
knnn man uach der GroBenfolge der Moduln beilaufig X, U, 2
bei Kalkspat dem X, 2, Y bei Aragonit zuordnen. Es sind
dann alle Mocluln bei Kalkspat etwas gro5er, als die entsprechenden bei Aragonit; Kalkspat hat also kleinere elastische
Widerstande , als Aragonit, was einigermaBen uberraschend
wirkt, da Kalkspat als die bei gewohnlicher Temperatur stabile
Modifikation gilt. Mit dem kleineren elastischen Widerstand
besitzt Kalkspat ubrigens auch das kleinere spezifische Gewicht; fur ihn wird 2,714, fur Aragonit 2,936 als normaler
Wert betrachtet. Auch die Harte ist bei Aragonit etwas groBer
a19 bei Kallcspat.
Eine theoretische Verwertung der Modulzahlen beider
Kristalle setzt vor allen Dingen die Kenntnis des physikalischen
Zusammenhanges der Richtungen in beiden Kristallen voraus,
bzw. - was auf dasselbe hinauskommt - diejenige des
Rfechanismus der Umwandlung der einen Modifikation in die
andere, - ahnlich wie man die geometrischen Verhiiltnisse
bei den Schiebungen nach Gleitflachen kennt. Vorlaufig weiB
man dariiber, soweit mir bekannt, nichts. DaB sich aber, wie
oben beilaufig angenommen ist, in W irklichkeit die Koordinatenachsen in beiden Kristallen einander physikalisch entsprgchen,
darf als ausgeschlossen betrachtet werden. Der nachstliegende
Zusammenhang, auf den die Gegeniiberstellung eines rhombischen und eines rhomboedrischen Baumgitters hinweist, ist
offenbar der, daB die Kanten des einen zu Kanten des anderen
werden.
F u r die ~laslizitatskonstanten eines rhombischen Kristalles
gelten folgende Formeln, wobei
gesetzt ist:
Bestimmung der E~astiz.itiitskonstanlenzlon drugonit.
303
Hieraus folgen fir Aragonit die folgenden Konstantenwerte
cI1 = 16,3 .lo‘, cZ2 = 8,9 . l o G , cQ3= 8,6,. lo‘,
(17) cd4 = 4,3,. lo’, cse = 2,6,. l o G , css = 4,2,. lo6,
c~~ = 1,6,. lo6, cQ1= 0,1,. lo‘, c12 = 3,8,. 10‘.
{
Die sogenannte Poissonsche Relation, die aus der Annahme
flieBt, dal3 zwischen den Molekiilen Zentralkrafte wirken, die
nur Funktionen der Entfernung sind, verlangt, daB
‘44
= ‘23
7
‘55
= ‘31
7
‘66
= ‘12
ist; ihre Nichterfullung zeigt, daB auch bei Aragonit die
Molekule stark polure Krafte aufeinander ausuben.
Alle tag, c31, clZ sind positiv, trotz des positiven sS1; das
elastische Verhalten des Aragonits erscheint also als vollig
normal, wenn schon die augerordentliche Kleinheit von cQ1
auffallend ist. Einige weitere Resultate ergeben sich aus der Kombination
der vorstehenden Konstantenwerte mit den von F i z e a u fur
Aragonit erhaltenen GroBen der thermischen Dilatationskoeffizienten parallel den Hauptachsen, welche bei 20 O C. lauten
U,
= 10,0.10-‘,
az = 16,4.10-G, u3 = 34,0.10-‘.
Aus ihnen bestimmen sich namlich die Drucke ql, q z , q3,
welche auf 1 mmz normal zu den Hauptachsen normal ausgeiibt werden miissen, urn die bei einer Temperatursteigerung
urn 1 C. eintretenden Dilatationen aufzuheben, gemaB den
Formeln
91
=
‘11
+
a2 ‘12,
+ a3
‘13 7
+
92
= ‘1 ‘21
+
*2 ‘22
a3 ‘Z3 7
f u3 ‘33 *
Die Berechnung liefert fur Aragonit
ql = 231, g2 = 239, q3 = 222 g pro mmz,
d. h. also bzw. 23,1, 23,9 und 22,2 Atm. Die Zahlen liegen
den fur Topas geltenden sehr nalie und ubersteigen weit die
Kalkspat zugehorigen q1 = q2 = 20, q3 = 163. Sehr bemerkenswert ist, da6 sie (im Gegensatz zu dem bei Kalkspat geltenden) sich sehr wenig voneinander unteracheiden; es latlt sich
also bei Aragonit die thermische Deformation sehr vollstiinclig
durch einen allseitig gleichen Druck kompensieren.
q3
= ‘1 ‘31
a2 ‘3%
304
W. Tbiyt. Bestimmung der EZastizitutskonstanten etc.
SchlieBlich sei noch daran erinnert, da6 die vorstehenden
Zahlen auch die adiabatischen Elastizitatskonstanten yhlcund
-moduln chkzu berechnen gestatten; fur diese gilt namlich,
wenn 0 die absolute Temperatur, A das mechanische Warmeaquivalent, E die Dichte, c die (gewiihnliche) spezifische Warme
des Kristalles bedeutet,
Zugleich bestimmt sich die Differenz der spezifischen
Warmen bei konstanten Spannungen und bei konstanten Deformationen zu
cp
0
- cd = --25’qhah.
Ae
Die Angabe der fur Aragonit hieraus folgenden Zahlen mag
indessen unterbleiben.
G o t t i n g e n , iin IvTarz 1907.
(Eingegangen 30. September 1907.)
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