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Bestimmung der Reibung von Flssigkeiten nach der Methode Maxwell.

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Th. S. Schmidt.
633
E s ist ersichtlich, dass aus Gleichung (VI) die untere,
aus (V) aber die obere Grenze abgeleitet wird, denn meine
Theorie setzt den Effect der Reibung zu gross an, also muss
sich die gesuchte Entfernung zu klein ergeben; umgekehrt
ist es mit jener in (V) verkorperten Rechnungsweise. D a
ferner meine Formeln genauere Werthe liefern, so liegt die
untere Grenze nliher, F u r meinen Apparat wurde also fur
die Luft H = 20 mm, fur Wasser aber H = 11 mm sein; darnach wurde sich die Bewegung im Wasser ungefahr einhalbmal
so weit fortpflanzen wie in der Luft. <JeneEntfernungen H
sind aber jedenfalls bis zu einem gewissen Grade abhangig
von den Constanten des Apparats.
VII. Best4,rnmumg der Reibuny von 3'liissigkeiten
nach der Methode urn itfaxwell;
urn T h e o d o r S i e g f r i e d S c h m i d t aus Breslau.
(Hiereu TsP. V Fig. 4.)
6 1. Der erste, welcher die Abnahme der Amplituden
einer innerhalb einer Fliissigkeit schwingenden Scheibe dazu
benutzte, den Reibungswiderstand der Flussigkeit zu bestimmen, war Cou1omb.l) Auf F. Neumann's Anregung nahm
0. E. Mey e r diese Untersuchungen auf und fuhrte das Experiment theoretisch durchS2) Er nahm die Tiefe der Flussigkeit, in welcher die Scheibe ihre Schwingungen ausfuhrte,
so gross an, dass sie in der Rechnung gleich nnendlich gesetzt werden durfte, und leitete unter dieser Voraussetzung
Formeln ab, welche es gestatteten, den Reibungscoefficienten
einer Flussigkeit in absolutem Maasse zu berechnen. Nach
den von ihm entwickelten Formeln ist eine grosse Anzahl
von Experimenten uber Flussigkeiten und Gase ausgerechnet
worden. Zur Bestimmung des Reibungscoefficienten der
Gase hat J. C l e r k Maxwells) das Experiment wesentlich
1) C o u l o m b , Mkm. de l'Inst. nat.
3. an 9. p. 246.
2) 0. E. M e y e r , Crelle's Journ. 59. p.229. 1861 u. 62. 11.201. l b 6 3 .
3) Maxwell, Phil. Trans. 156. p. 249. 1866.
Th. S. Schmidt.
634
abgeandert. Er liess ein System von drei Scheiben zwischen
vier festen Scheiben schwingen und brachte die Entfernung
der schwingenden und festen Scheiben, welche sehr klein angenommen wurde , in Rechnung. Unter gewissen Voraussetzungen gestaltete sich die Theorie dieses Experimentes
sehr einfach und erwies sich in voller Uebereinstimmung mit
der Erfahrung. Dies bestimmte 0. E. M e y e r dazu, das
Max w ell'sche Experiment auch auf Fliissigkeiten anwenden
ZU lassen. Die festen Scheiben wiirden bei diesen durch den
Boden des Gefasses zu ersetzen sein, und es kam darauf an,
eine bequeme Vorrichtung zu ersinnen, die Entfernung von
Scheibe und Boden leicht nnd scharf zu messen. An einem
noch ziemlich unvollkommenen Apparate arbeitete zuerst
L. G r o s s m a n n . ' ) Er wies nach, dass es in der That moglich sei, auf diese Woise auch fur Flussigkeiten den Reibungscoefficienten zu ermitteln, und leitete Formeln ab,
welche gestatten, eine obere Grenze fur den Reibungscoefficienten anzugeben. Als er, durch Verhlltnisse genothigt, die
Arbeit abbrach, wurde der Verfasser mit dieser Aufgabe betraut. In meiner Dissertation2) fiihrte ich zunachst die
Theorie des Experimentes durch, und es gelang mir, mehrere
einfache Pormeln zur Berechnung des Reibungscoefficienten
zu ermitteln. Anch fand ich das zunilchst freilich nur theoretisch interessante Rssultat, dass das logarithmische Decrement der schwingenden Scheibe fur eine bestimmte Dicke
der Fliissigkeitsschicht einen kleinsten Werth besitzt. Der
Apparat war inzwischen nrtch den Erfahrungen L. Q r o s s mann's und den Angaben 0. E. Meyer's vervollkommnet
worden und gestattete, die Dicke der Fliissigkeitsschicht
leicht zu messen.
Eine genaue Berechnung des Reibungscoefficienten aus
den zahlreichen Beobachtungen, welche ich anstellte, scheiterte jedoch stets an der Schwierigkeit, die Temperatur der
diinnen Fliissigkeitsschicht scharf zu messen, sodass es in
1)
L. G r o s s m a n n , Siehe auch die vorige Abhandlung.
8 ) Th. S.S c h m i d t , Die vorliegende Abhsndlung ist im wesentlichen
ein Abdruck derselben.
Th. 8. Schmidt.
635
der Folge unerlasslich sein wird, bei constanter Temperatur
zu beobachten. Aber zur Bestimmung der Abhangigkeit der
Reibung von der Temperatur eignet sich diese Methode iiberhaupt nicht, hierzu gibt das Stromen der Flussigkeit durch
Capillarrohren ein vie1 sichereres Mittel. Ich mochte den
Nutzen der Maxwell'schen Methode in etwas ganz anderem
suchen.
Die Oberflache der Flussigkeiten namlich ist in neuerer
Zeit mehrfach der *Gegenstand ausgedehnter Untersuchungen
geworden. Nach P l a t e a u ' ) besitzt sie eine besondere Zahigkeit, nach M a r a n g o n i a ) eine gewisse Elasticitat, nach
O b e r b e c k s ) finclet in ihrer Nahe eine rapide Zunahme des
Coefficienten der inneren Reibung statt. Die Methode nun,
welche in den folgenden Seiten entwickelt werden wird, gestattet, denjenigen Theil des logarithmischen Decrementes
zu berechnen, welcher allein von dem Einflusse der Oberflache herruhrt, und setzt uns also in ausgezeichneter Weise
in den Stand, fur verschiedene Flussigkeiten die an der
Oberflache stattfindenden Verhaltnisse zu studiren. I n die
Theorie selbst konnte freilich der Einfluss der Oberflache
nicht aufgenommen werden, schon aus dem Grunde nicht,
weil die Abhangigkeit der Bewegung der Fliissigkeitsringe
vom Radius nicht naher untersucht wurde.
Das Experiment war folgendes : Eine cylindrische Glasscheibe vom Radius R mm und dem Tragheitsmomente
N m g mm2 ist an einem elastischen Drahte so aufgehangt,
dass ihre Haupttragheitsaxe mit der des Drahtes zusammenfallt. Ihre untere Flache beruhrt gerade eine Flussigkeit,
welche sich in einem der Scheibe conaxialen cylindrischen Gefasse befindet und dasselbe bis zur Hohe von c1 mm anfiillt.
Es sol1 das Gesetz ermittelt werden, nach welchem die Bewegung der Scheibe und der Fliissigkeit vor sich geht, unter
der Voraussetzung, dass die Fliissigkeit an der Scheibe und
am Gefassboden haftet.
1) P l a t e a u , Pogg. Ann. 141. p. 44. 1870.
2) Mnrangoni, Nuov. Cim. (2) 5 u. 6. p. 239. 1872; (3) 3. p. 50,
97, 192. 1879.
3) O b e r b e c k , Wied. Ann. 11. p. 634. 1880.
636
5%. S. Schmidt.
6 2. Ich mache die Axe deo Drahtes zur X-Axe und
rechne x von der unteren Flache der Scheibe an positiv
nach unten. 1st die Flussigkeitsschicht diinn, so wird die
Annahme l) , dass alle der Scheibenflache und item Gefassboden parallelen Fliissigkeitsschichten sich wie compacte
Scheiben bewegen , der Wahrheit sehr nahe kommen; bei
der obersten und letzten Schicht findet dieses Verhaltniss unter
der Voraussetzang des Haftens ganz gewiss statt. 1st dann
D die Dichtigkeit q der Reibungscoefficient, so ergibt sich
einer Schicht im Abstande
fur die. Winkelgeschwindigkeit
2 von der Scheibe die Differentialgleichung :
v
fiir welche unter Voraussetzung des Haftens die Bedingungen
gelten, dass:
fur x = c1 y~ = 0 sei, und ebenso
,, t = 0 U,I = 0 sei; dass dagegen
I = 0 die Fltissigkeit die Geschwindigkeit
der Scheibe habe. 1st t das Torsionsmoment des Drahtes,
M das TrLgheitsmoment, R der Radius der Scheibe, so ergibt sich ohne principielle Schwierigkeit fur die Bewegung
der Scheibe die Differentialgleichung :
wenn rp die Ablenkung der Scheibe aus der Ruhelage bezeichnet; hierbei ist:
. l ~ F ? z = o= drp
-*
dt
Uebrigens sol1 zur Zeit t = 0 Q = U0 sein.
Ich werde das Problem nach 0. E. Meyer’s Vorgange
so losen, dass ich zuerst die erste Differentialgleichung integrire und obige Gleichung zur Constantenbestimmung benutze. Indem ich mich in der Bezeichnung an diejenige von
0. E. M e y e r in der fur derartige Untersuchungen grundlegenden Abhandlung z, anschliesse, setze ich:
~ _ _
1) Diese Annahnie macht aucli M a x w e l l ; sie scheint inir fiir Flhs-
sigkeiten noch zuldssiger EU sein als fiir Gaee.
2) 0. E. M e y e r , Crelle’s Jonrii 59. p. 229. 1861.
Th . S, Schmidt.
637
und erhalte nun folgendes transformirte System
chungen:
VOD
Glei-
(1)
und es sol1 fur:
(2)
y = c .
,
. . v=o,
(3)
t =0
.
,~
d
( y=) 0 und -9 und y = (Do sein.
at
Die vollstandige Liisung von (1) ist bekanntlich:
(4)
=
Ze-"'l
( A sinmy
+ B cos my),
.wo m , A , B Constanten sind und die Summe 2' iiber alle
particular en Integrale auszudehnen ist. Unter Beriicksichtigung yon (2), (3), (4) ergibt sich:
(5)
VJ=Z
e-
m9t
Bsin
(' - y!
sinrnc
wo fur m die Bestimmungsgleichung gilt:
(6)
ctg mc
=
rnr
~
+ 'a
2pma
und fiir B :
Die Gleichung (6) ist fur die Berechnung der Reibungsconstanten von der grossten Wicht,igkeit; ich will zunachst die
analoge Gleichung entwickeln, welche gilt, menn die Fliissigkeit an der Scheibe und am Boden gleitet.
0 3. Far die Bewegung eines Flussigkeitstheilchens im
Innern bleibt nuch dann selbstverstandlich die Gleichung
bestehen :
Th. S. Schmidt.
638
Ebenso bleibt die Bedingung erhalten, drtss fur t = 0 rp = U0,
= 0 und drpldt = 0 sein soll.
1st E die Constante der gusseren Reibung, so besteht
ftir x = c1 die Gleichung:
T
J!,
D*
at
dz = - p
f 1;
$dx
-YE,
welche sofort die Bedingung liefert :
?I
fiir
(g)c,=(vJ)ClX.
-
1st yl die Geschwindigkeit der Scheibe, so ergibt sich
also fiir ein Theichen der obersten Schicht die
;c = 0,
Die Bedingungsgleichung der Scheibe lautet :
a,
R
'"
M , a- t - - 7rp + b r J d r p .
0
(v1- y )rs E ,
0
aus welcher sich unter Berticksichtigung der vorigen Gleichung ergibt :
Fuhren wir dieselben Abkurzungen wie im vorigen Paragraphen ein, so erhalten wir, wenn wir abkurzend:
setzen, folgendes System ven Gleichungen :
(8)
(9)
fur y = c soll
ftir ;y = 0 soll
l/J
6-a*
aY
= -~
p ,
t;L
- lpl = -
sein; y, = (dy/ d t) soll aber der Gleichung genugen:
Th. S. Schmidt.
639
sein.
Zunachst ergibt sich wie oben als vollstandige Losung
von (7):
=
e-mPt ( A sin my + B cos my).
2
Da die Bedingung (4) fur alle Zeiten gilt, so muss:
m
t sin m c - cos mc
A = B -m icos mc
= - BF(m)
+ sinmc
ctg----L
me - m
F ( m ) = .-
sein , wo :
'*
m tctgmc
ist.
+I
Hieraus folgt :
,u
=
2
m
iCOB m
+
(c - y)
sin m (c
m ~ c o s m c sinmc
+
- y)
Hieraus lasst sich y o , ( d ~ / d y ermitteln,
)~
und sodann nach
(9) drppldt, also auch @rp/dtz und rp bestimmen. 8etzt man
diese Grossen in (10) ein, so ergibt sich, dass diese Gleichung nur dann fur alle Zeiten bestehen kann, wenn :
m4
+ a4
F ( m ) = -2pm3
- ( I + mCF(ni))
ist.
Ich will das allgemeine Problem nicht weiter verfolgen,
da es mir vor allem nur auf die Ableitung der Gleichung
(12) ankommt. Die letztere geht fiir 5 = 0, also fur E=m,
d. h. wenn ein Hafteh stattfindet, in die Gleichung (6) des
vorigen Paragraphen uber.
Q 4. Betrachte ich zunachst den Fall, dass die Scheibe
ohne Reibung in deln Medium schwingt, so habe ich 71, also
auch /I= 0 zu setzen. Dann erhalt Gleichung (3) die Form:
Diese Gleichung hat die grosste Aehnlichkeit mit der Pendelgleichung und zeigt, dass in diesem Falle periodische
Gchwingungen eintreten werden. Die Gleichung (6), welche
die Gestalt:
m4 u4 = 0
annimmt , liefert in diesem Falle vier complex imaginare
Wurzeln m. Dags auch in dem Falle, wenn Reibung stattfindet, vier complexe Wurzeln auftreten k o n n e n , hat 0. E.
+
Th. 8. Schmidt.
640
M e y e r im 63. Bde. des Crelle’schen Journ. von einer Gleichung bewiesen, welche mit G1. (6) durchaus iibereinstimmt.
F u r den Fall einer sehr kleinen Entfernung c1 scheint jedoch
der Beweis, dass die vier complexen Wurzeln in der That
a u f t r e t e n , noch besonders gefiihrt werden zu mussen.
Hierzu construire ich in bekannter Weise die Curven, welche
entstehen, wenn ich zu den Grossen m a19 Abscissen die
Werthe der beiden Seiten der Gleichung:
m4f a4
ctgmc = _
_
2pm3
als Ordinaten zeichne. Setzen wir:
z1= ctgmc und za = =,
m 4 + a‘
P
so wird m dann eine reelle Wurzel von. G1. (6) sein, wenn es
die Abscisse eines Schnittpunktes beider Curven ist; fur diesen ist namlich z1= z g .
Die Curve z1 besteht aus unendlich vielen Zweigen,
welche von +co an steil herabfallen, die .M-Axe schneiden
und dann steil bis -CQ sinken, und zwar ist:
zlt?+d)
(5-
z1
=m fiir i = o , I , 2 . . . 0 0
8) = - oofiir
,!
9,
1,
wo d eine unendlich kleine Grosse ist.
und
zg (0) = co
d 2
dm
4- 3
- m.---.
Es ist ferner
~ ’
2@m4
Mithin erreicht die Curve fiir m = u
9%ein Minimum.
1st d’ eine sehr kleine Grosse, so ist:
1
z1(a) = il ,
(I4
1
z2 (8) = 28 sa
. .
Wahrend also die Cotangenten fur ein sehr kleines m unendlich gross wie l / 8 werden, wird dagegen ebendaselbst za unendlich wie 1/89, denn u4/2@ hat seiner Definition nach jedenfalls einen endlichen Werth. Daher bleibt in unmittelbarer
Th. 8. Schmidt.
641
Nahe der Ordinate z, stets oberhalb des ersten Zweiges
von zl.
Nun konnen zwei Falle eintreten: die kleinste Ordinate
von z, ist entweder kleiner oder grosser als die Ordinate
von z1 fur m = arq3. 1st z1 < z 2 , so wird der erste Zweig
von z1 zweimal, jeder andere aber nur einmal von z2 geschnitten.
I n diesem Falle hat Gl. (6) augenscheinlich nur reelle Wurzeln. Wird aber fur m = ar $3 z, > z l , so verschwinden die
beiden Durchschnittspunkte von zz mit dem ersten Zweige
von zl;d. h. es werden zwei Wurzeln imaginary und da auf
der negativen Seite der M-Axe dasselbe Verhaltniss im dritten
Quadranten besteht, SO werden gleichzeitig vier Wurzeln m
imaginar, sobald:
za
> 21
wird. Ich zeige nun, dass diese Ungleichung fur meine Versuche bestand. Es sol1 also:
sein, Da stets ctgmc > l/(mc) ist, so wird die verlangte Ungleichung bestehen: wenn:
ist. Tragen wir fur c ,
sichtigen, dass :
B,
u B ihre Werthe ein und bertick-
a-T
ist, wo T die Schwingungszeit der Scheibe im leeren Raume
ist, so ist zu zeigen, dass:
ist.
F u r meinen Apparat betrug:
M = lo1". 1,6803 mg mma,
R = 84,13 mm,
T = 29,8129 sec.
Da fiir die meisten Flussigkeiten 7 < 2 ist, so wird selbst
fur 7 = 2 nur verlangt, dass c1 > 0,038 mm ist. Diese Bedingung war fur meine Versuche stets erfullt.
Ann. d. Phya. e Chem. N. F. XVI.
41
642
Th. S. Schmidt.
Die reellen Wurzeln der Gleichung (6) werden dargestellt durch die Abscissen der Durchschnittspunkte von z,
mit den unendlich vielen Zweigen von zl. Die Schnittpunkte
werden eintreten hinter den Werthen:
m = -i n fur i = l , 2 . . . o o .
Die reellen Wurzeln von (6) werden also sein:
n
7
+ a,,
n
7
+ 4, 7 +
n
d3,..*-,
wo a,, 4,8, kleine Grossen sind. D a ferner das Minimum
von zz fur einen zwischen m = 0 und m = nlc gelegenen
Werth eintritt (denn fiir meine Versuche wenigstens ist
@g/T2 < a/c), so bilden die Grossen a,, a,, S, eine abnehmende Reihe.
Die kleinste reelle Wurzel ist somit > n/c oder > n / c l .
1/11/D. F u r die meisten Fliissigkeiten ist 1//.ll/D ein unechter
Bruch, und bei meinen Versuchen iiberstieg c1 den Werth
3 mm nicht. Daher ist die kleinste bei diesen Versuchen
auftretende reelle Wurzel noch >4 3 . Alle folgenden reellen
Wurzeln sind grosser und wachsen bis ins Unendliche.
W a s die den reellen Wurzeln m entsprechenden Constanten B betrifft, so zeigt eine kleine Ueberlegung, dass
dieselben immer kleiner werden, je grosser die Wurzel m ist.
Nun geht in die Losung des Problems der Factor e-mgt
ein. Nehmen wird t = Tlan, wollen also den Werth von
q nach einer Schwingung ermitteln, so ist der grosste Werth
dieser Grosse kleiner als e-("*P)Ti. Da fur meine Versuche
ungefahr TI = 30 Sec. war, so muss selbst der grosste von
den reellen Wurzeln herriihrende Term verschwinden, da
e--88 der Null gleich gesetzt werden ksnn. Aber auch, wenn
c1 einen bedeutenden Werth hat, so leuchtet ein, dass e-m't
so klein gemacht werden kann, wie man will, wenn man nur
wartet, bis t einen geniigend grossen Werth besitzt.
Somit haben sammtliche reelle Wurzeln der Gleichung
(6) keinen messbaren Einfluss und kiinnen daher vernachlassigt werden.
Die Gleichung (6) besitzt aber, wie gezeigt ist, ausser
unendlich vielen reellen Wurzeln noch vier imaginilre.
...
Th. S. Schmidt.
643
Geniigt m der Qleichung (€9, so geniigt ihr auch - m ;
geniigt ihr rn = a b i , wo i =1/
ist,
3so geniigt ihr auch
m'= a - b i . Sind also a und b zwei pssitiv reelle Grossen,
so sind die vier complexen, allein in Betracht kommenden
Wurzeln von ( 6 ) :
m, = a + b i
m,= --a-bi
m,'= n - b i
m2'= - a + b i .
Die Gleichung (6) erhalt jetzt die Gestalt:
+
sin2ac-i sinhp2bcC O S ~ U C- coshp 2 b c -
A+iB,
wo der hyperbolische Sinus :
+2be
~inhp26.c~
und der hyperbolische Cosinus:
-2bc
Te
2bc
e
coshp2bc = ist, und abkiirzend gesetzt ist:
-2be
+e
2
+ b2)3 4- a* (a' - 3 b 2 )
2 8 (az+ bZ),(a' + bz)3 + a4 (b2 - 3 ~ ' )
B=6
2@(a2 b 2 ) 3 - - A = u (a'
und :
'
+
Das Summenzeichen in der Gleichung (5) ist jetzt so zu verstehen, dass die Summation iiber die vier imaginaren Wurzeln m, ml' m2 m2' auszudehnen ist. Dann ergibt sich nach
geeigneter Umformung und Vereinigung:
(14)
2 + b 2 ) 2a e-'%2t
v = ( a-4a6i
.(
sin m ( c - y)
---e
sin m c
-%"t
sin m, ( c - y)
sin ml c
Vereinigt man die Exponentialfunctionen mit complexen
Exponenten und die Kreisfunctionen mit complexen Argumenten, so zeigt es sich, dass rp und y reel1 sind, und
zwar ist:
+ ( B - l)e-bysin(ay
- 2abt));
41 *
644
Th. S. Schmidt.
J. C l e r k M a x w e l l gibt in seiner diesen Gegenstand
betreffenden Abhandlung l) eine etwas abweichende Losung
des Problems, welche daher kommt, dass er den Anfangszustand fur t = 0 nicht beriicksichtigt. Auch ist daselbst
nichts daruber gesagt, weshalb die unendlich vielen reellen
Wurzeln von (6) zu vernachlassigen sind.
6
5. Betrachte ich das bestimmte Integral:
j.
- y) COB m' (c - y)
sin mc sin m'c
COY m ( c
.mctg m'c
m' ctg _
mc
liy = _
_ -~
m2 - mrz
_
0
und setze voraus, dass m und m' zwei complex imaginare
Wurzeln von (6) sind, so folgt:
C
- b2)
a 4 (a2
0
ly (a2+ bg)3'
D a die linke Seite stets positiv ist, so muss es auch die
rechte sein. Da n und 6, und cc positiv reel1 sind, so folgt:
a'- ba = 1 > 0.
(16)
Ferner ist:
s
sin m (c - y:) sin ,in' (c -y)
- - m ctg m c - m' ctg m'c
ma2 - mz
sin me sin m'a
0
Unter der Voraussetzung, dass m und m' complex imaginare
Wurzeln von (6) sind, ergibt sich:
Hierzu muss stets:
> (aa+ 6 a ) a
r
7 2
sein, oder = - > (az+ b2)2,
M l R
wo T die Schwingungszeit der Scheibe im leeren Raume ist.
D a nun nach (16):
a - 6 > 0, so folgt (aa+ ba) > 2 n 6 , mithin erst recht:
u4
(17)
u2>2ab
oder I T < % .
a2
2ab
1) M a x w e l l , Phil. Trans. 166. p. 1. 1866,
~
Th. S. Schmidt.
645
Betrachten wir nun die Gleichungen (14.) und (15.), so
erkennen wir zunachst, dass die Scheibe pendelartige Schwingungen um ihre H a u p h ausfiihren muss. 'p nirnmt dieselben Werthe an, wenn das Argument um 2 x a wachst, wo
x eine game Zahl angibt. Setze ich das Argument gleich:
nimmt ~pdieselben Werthe wieder an, wenn eine Zeit von
2 m / 2 a b Secunden verflossen ist; diese Zeit nennt man die
doppelte Schwingungszeit. Als die einfache Schwingungszeit
ergibt sich :
00
und so bedeutet denn die Ungleichheit (17) nichts anderes
als :
die Schwingungszeit der Scheibe im leeren Raume ist
kleiner als diejenige in der Fliissigkeit.
Die Ungleichung (16) aber sagt aus, dass die Amplituden in geometrischer Progression abnehmen; der Exponent
der Reihe bezogen auf die Zeiteinheit ist I = as- b2, dieselbe Grosse , welche man gewohnlich das logarithmische
Decrement nennt. Man darf jedoch nicht iibersehen, dass
es sich hier auf nattirliche Logarithmen bezieht. Die Ungleichheit (aa+ b2)2 < a4 kann somit geschrieben werden:
welche Beziehung besagt, dass das logarithmische Decrement
nie unendlich gross werden kann, sondern stets unterhalb
der Grenze n / T bleiben muss.
4 6. Es bleibt schliesslich die Aufgabe, aus den beobachtbaren Grossen : Entfernung c1 , logarithmisches Decrement I und der Schwingungszeit TIdurch geeignete Formeln
die Griisse des Reibungscoefficienten
in absolutem Maasse
zu ermitteln.
Hierzu erinnern wir uns der Gleichung :
111' + '
a
ctg mc = ~
__2pms
Th. S.*Schmidt.
646
1st c1 sehr klein, so kann gesetzt werden:
- cau4))/ca.
mithin m 2 = 1 & u12i= /?/c f
1st nun c2 u4 > B 2 , also:
so finden folgende Beziehungen statt :
oder :
und :
Die beiden sehr einfachen. Gleichungen (19) und (20)
gelten aber nur dann, wenn die Nllherungsgleichung (18) erlaubt ist. Diese gilt aber nur fur sehr kleine Entfernungen cl.
D a es aber aus Grunden, die spater besprochen werden sollen,
misslich ist , Beobachtungen fur so ausserordentlich kleine
Entfernungen c1 anzustellen, so habe ich eine Formel abgeleitet, welche auch fur etwas grossere Entfernungen gilt.
Indem ich in (6.) Reelles und Imagingres trenne und
die entstehenden Gleichungen durch Subtraction vereinige,
erhalte ich:
sin2ac
sinhp2bc
-~
-":
a
+
coehp2bc-cos2ac
(6b
-~
2in4
(a'+
Ich lose die linke Seite in eine Reihe auf:
sin2ac
+--sinhp2bc
b
n
- 4c
(2 ca)
-
3!
( W S (u4 + b4) - I(2 4'
+ <T
T (us - be). ..
Ich mache nun die Voraussetzung, dass die folgenden
Glieder gegen diese vernachlissigt werden diirfen. Das folgende Glied wtirde sein:
(Z
(US
da nach
0
5 (a'
+ P)<
+ P)?< a4 is$
9$
(UZ
+
(574,
so ist erst recht:
Th. S. Schmidt.
647
Sol1 nun dieses G M 10000 ma1 so klein sein als das
erste, also:
4 c = 1 0 0 0 09.!~ c ) g ~ ,
so muss c genommen werden:
Man erhalt also recht bequeme Entfernungen, wenn man TI
recht gross wahlt; dies geschieht, indem man einen dunnen
Aufhiingungsdraht anwendet. Bei meinen Versuchen betrng
TI= 29,8 Sec., mithin gilt die Annaherung bis fur:
c = 2,63,
Ferner ist coshp 2bc - cos2ac = 2c2(a2 b2)
+
Die iibrigen Glieder sind fur die berechnete Entfernung zu
vernachlassigen. Es ergibt sich somit :
2ac
sinhp2bc
c=1
l--+sin-k _ _ _ ~
4 c_ _ . ~ _ 3
_b_ - _ _ _
cos hp2bc- cos2nc
2 c P ( a 2+ b2)
cYZ
l---+3
-
c(a*
c'q4
30
c4q4
90
+ b') (1 + 0,21923 ".Tl) -
F u r Wasser war die grosste Entfernung, in der ich beobachtete, c1 = 2,20 mm. Hierfiir betrug 1 = 0,001 437 und
TI= 29,816 Sec. Berechnet man die linke Seite, indem
man c = cI setzt, so ergibt sich 8,384; rechnet man nach der
von mir angegeben Annaherung, so erhillt man 8,380. Die
Uebereinstimmung ist also befriedigend.
Es ergibt sich somit die Qleichung:
a'l
(21)
oder:
(a2
+ b2)'@ =
Nach dieser Gleichung habe ich meine Beobachtungen berechnet.
Th.S. Schmidt.
648
Fur grosse Entfernungen lasst sich eine ziemlich einfache Formel herleiten. Dann ist namlich ctgnic = - i und
daher :
0 = (a2 + b2)S + cc4 (a),- 3 P ) ,
l = b
a4@ a a- b2) - (a2f bp)8
(aa
+ a*)=@-
Fiir sehr kleine Decremente darf gesetzt werden (uz+ be)= a12.
Dann ergibt sich nach geeigneten Umformungen:
Die Formel (21) hat Aehnlichkeit mit der von M a x w e l l ,
die Formel (22) mit der von 0. E. M e y e r angegebenen. In
beiden Fallen treten jedoch an Stelle von unendlichen Reihen
geschlossene Ausdriicke, welche die Rechnung vereinfachen.
4 6. E s so11 nun untersucht werden, wie sich das logarithmische Decrement und die Schwingungszeit mit der Entfernung der Scheibe vom Gefassboden andern.
Zunachst gelten fur sehr kleine Entfernungen die Formeln (19) und(20). So lange ~ 2 - c 2 0 c 4 < 0 , also c1>(R4T/4M)?~
ist, hat Tl einen endlichen Werth. Wie die Gleichung (20)
lehrt, wird sich derselbe nur sehr wenig von T unterscheiden,
wenn M einen grossen Werth besitzt. Mit wachsender Entfernung muss sodann TI,
kleiner werden und sich schliesslich
einem constanten Werthe nahern. Genaueres uber den Verlauf von TI habe ich nicht ermitteln konnen.
F u r c1 = (R4T/4M)1i wird TI = m ; und fur diesen ausgezeichneten Werth von rl wird, wie die Gleichung (19) zeigt:
IT
Dies ist der grosste Werth , den das logarithmische Decrement uberhaupt annehmen kann; es wird nicht unendlich
gross. Die Erfahrung kann dieses Resultat nicht bestatigen,
2 ZUda der Beobachtung nur das Decrement L = log e mTI.
ganglich ist, welches mit Tl selbst unendlich wird. Mit
wachsender Entfernung wird nun 1 kleiner, und zwar ist nach
(20) das logarithmische Decrement der Entfernung umgekehrt
proportional.
T h . 5: Schmidt.
649
Man sollte nun von vornherein erwarten, dass I mit
wachsender Entfernung fortwahrend kleiner wird und sich
asymptotisch einer festen Grenze nahert; d. h. fragen wir
nach derjenigen Entfernung, fur welche d l l d c , = 0 ist, fur
welche also keine Aenderung mehr stattfindet, so sollte sich
voraussichtlich c1 = co ergeben. Dem ist indess nicht ganz so.
Verglichen mit der Veranderlichkeit des logarithmischen
Decrementes kann die Aenderung der Schwingungszeit ganz
vernachlassigt werden. 1st aber zu setzen Tl = const., so
folgt, da Tl= n/2ab ist, a (dbldc,) - b (daldc,) = 0 .
Soll d l l d c , = 0 sein, so muss:
da
db
=0 ,
dc,
a--bdc,
sein.
Diese beiden Gleichungen kijnnen nur bestehen, wenn
Ich betrachte die Gleichung:
d a l d c , = db/dcl = 0 ist.
sin2ac +
. sinhp2bc
__
---
b
cosahp 2 bc - cos 2 a c = f
21ff
= in2
.
+ b2)S,!l
Soll dl/dcl = O sein, so folgt d f l d c , = O , wo das 8 die
Differentiation nach c1 andeutet, soweit dasselbe e x p l i c i t e
in f ( c ) vorkommt. Die Function f (c) hat aber die bemerkenswerthe Eigenschaft, dass:
ist. Dieser Ausdruck verschrvindet aber nicht nur fur
cos hp22 b c = CQ, also fur c1 = co , sondern auch, wenn:
2 a c = (272 1 ) a oder 2 n n
ist. Die Betrachtung von d 2 f / d c , 2 fur diese Werthe von c
lehrt, dass d a m :
(23)
I ein M i n i m u m ist, wenn 2 a c = (212 l ) . m ,
(24)
I ein M a x i m u m ist, wenn 2 a c = 2 n n
ist. Hiernach muss also I abwechselnd Maxima und Minima
besitzen, welche aber bei einigermassen bedeutenden Entfernungen in einander ubergehen, da dann der zweite Factor:
+
+
sinhp 2 bc
(coshp2bc- cos 2ac)Z
’
~____.___
fur jeden Werth yon c1 Null ist.
Ti. S. Schmidt,
650
Im experimentellen Theile der Untersuchung werde ich
die Beobachtungen mittheilen , welche diese merkwiirdige
Tbatsache VOUatiandig best'8tigen. E a t t e man ein Mittel,
die Entfernung scharf zu bestimmen, fur welche I ein Minimum ist, so hiltte man in der Beziehung 2 a e = w ein gutes
Mittel zur Berechnung der Reibungsconstanten. Da dies
bis jetzt nicht vorhanden ist , hat die vorstehende Betrachtung nur insofern grossen Werth, als sie die durchgefuhrte
Theorie aufs vollstandigste zu prtifen gestattet.
4 7. Ich will nun Formeln ableiten, urn den Coijlfficienten
der inneren und gusseren Reibung von Pliissigkeiten zu berechnen, welche an der Scheibe und am Gefassboden gleiten.
Hierzu erinnere ich mich der Gleichung:
(12)
i- a*
F ( 4= 7
(1 + m w w ) I
111'
wo :
ist. Ich wilhle einen solchen Werth von c1 dass sinhp2bc
= coshp 2 b c gesetzt werden kann, und der zugleich so beschaffen ist, dass sin2uc = 0, also:
2ac = nn,
ist. Dann kann mit sehr grosser Annilherung gesetzt werden:
ctgmc = - i,
also :
--i
-m <
F(m) = 7
=-i,
l-m~,e
dann wird also (12):
- ~ = ( A + B ~ ) -(i (I( a + b i ) c ) ,
und hieraus folgt:
(25) 0 E A + c(bA uB), -1 = B + c(bB - uA),
wo A und 3 die in (134 und (Isa)angegebenen Werthe
haben. Ich will iibrigens einfiihren:
+
dann wird (25):
also :
(26)
0 = (a%
+ a b < ( a + 23)
folglich :
65 1
Th. S. Schmidt.
Sol1 E einen endlichen Werth haben, so muss % von Null
verschieden sein. Nun ist % = (d bp)3+ u 4 ( d- 3b2). Also
muss (uz b2)3> u4(3ba- a2) sein; eine Bedingung, welche
auch geschrieben werden kann :
+
+
Fiir Flussigkeiten, welche an der Scheibe haften, muss
nach 0 5 &[ = 0 sein. Da 9l + 8 = - 2 (ua + b2){u4- el4 P)
ist, so folgt:
(27)
E = 2(a2i-be)b V G {ud - u14 - P) .
-
'a
Bus (25) folgt ferner:
nB + b A
oder:
+ BZ),
= - a (A2
a'%'
+ B'b'
b(Z +a) = - 2 @ ( a 2 + bP)S'
Hieraus folgt:
(28)
V Z , = R'n" - z
2MTl
a
( ( a a-
p-
+ Z')
~ 1 ~ ' ) ~
(a'
((a'
+ a l * ) z+ 2")
- alr - P)
H a t man aus (28) 1/D% berechnet, so erhillt man aus (27)
die Grosse Em
Die Zahl E ist bekanntlich nicht von gleicher Dimension mit 77. Aus den Gleichungen:
und qza w = - I!. E ,
folgt, dass die Dimension:
von 77 ist ml-1 t-1
,, E ,, m k 2 t-l.
0 8. Es kommt nun darauf an, durch geeignete Experimente die entwickelte Theorie zu priifen. Die Voraussetzungen, unter denen die Theorie entwickelt wurde, waren:
1) dass die Scheibe und der Gefassboden parallel und
horizontal seien;
2) dass der Aufhangungsdraht die Axe der Scheibe und
des Gefasses bildet;
3) dass die Scheibe die Oberflache beriihrt;
4) dass die Temperatur der Flussigkeit wllhrend des
Versuches constant bleibt. Ueberdies muss:
652
Tli. S,
tSc?tm idt.
5) der Apparat gestatten, die Entfernung von Scheibe
von Gefassboden bequem und scharf zu messen.
Der Apparat, welcher mir bisher zu Gebote stand, ist
nach den Erfahrungen von 0. E. M e y e r , L o u i s G r o s s m a n n und meinen eigenen construirt worden und gehiirt
dem physikalischen Cabinet der Universitat Breslau. E r erfullt die Bedingungen 1, 2, 3 und 5, nicht aber die Bedingung 4. Dass dies aber geschehe, ist um so wichtiger, als
f i r eine grosse Zahl Flussigkeiten die Abhangigkeit der
Reibung von der Temperatur noch gar nicht genau ermittelt
ist. F u r viele Zwecke (z. B. fur die Bestimmung der Reibung
von gemischten Salzlasungen, Aenderung der Reibung mit
dem Salzgehalte u. s. w.) ist es wiinschenswerth, den Reibungscoefficienten fur dieselbe Temperatur, wohl am besten
fur Null Grad, zu kennen. Bevor daher der Apparat die
Beobachtung bei constanter Temperatur nicht gestattet,
machte ich die Versuche, welche ich mittheilen werde, nicht
als die endgultigen angesehen wissen Ein anderes Moment
kommt noch hinzu. Die Oberflache namlich liefert zweifelsohne einen sehr erheblichen Beitrag zum logarithmischen
Decrement; aber es ist noch durchaus nicht bekannt, in
welcher Weise sich dieser Einfluss mit der Temperatur
andert. Wenn dagegen sammtliche Versuche bei constanter
Temperatur angestellt werden konnten, so wurde man durch
die Theorie denjenigen Betrng des Decrementes berechnen
kiinnen, welcher von der Reibung der Fltissigkeit allein herriihrt, durch die Beobachtung denjenigen, welcher von der
Reibung des Systemes an der Luft und der inneren Reibung
des Drahtes herruhrt: der Rest des Decrementes muss sodann von der Oberflilche herruhren, und man wurde auf
diese Weise ein schiitzenswerthes Mittel erhalten, dieser in
neuerer Zeit ofter von Oberbeck'), P l a t e a u 2 ) , M a r a n g o n i 3, untersuchten Griisse naherzutreten.
Es sollen daher die nachfolgenden Versuche vorliufig
1) Oberbeck, Wied. Ann. 11. p. 634. 1880.
2) Plateau, Pogg. Ann. 141. p. 44. 1870.
3) Marangoni, Nuov. Cim. (2) 5. und tL.1872.
T h . S. Sclimidt.
653
nur den Zweck haben, die entwickelte Theorie zii bestatigen:
so gut es der Apparat bis jetzt zulasst.
Die Glasscheibe G ist an zwei Haken H nach A r t der
Cardanischen Aufhangung so befestigt, dass der Draht die Verlangerung ihrer Hauptaxe bildet. Um ihr Tragheitsmoment zu
vermehren, ist sie rnit einer dicken Bleischeibe von gleichem Radius verbunden, doch so, dass man zwischen Glasscheibe undBleischeibe hindurch die Fliissigkeit erblicken kann. Die Schwingungen der Scheibe werden rnit Fernrohr, Spiegel und Scala
beobachtet. Der iibrige Theil des Apparates dient zur Aufstellung des Gefasses rnit der Fliissigkeit und zur ildessung der Entfernung der Scheibe vom Gefassboden. Um die Glasplatte P m i t
der Glasscheibe G conaxial aufstellen zu konnen, zeichnete ich
auf ersterer rnit dem Diamante einen mit ihr concentrischen
Kreis vom Radius der Glasscheibe; wurde nun der Apparat
so lange verschoben, bis die Glasscheibe den Kreis gerade
deckte; dann fie1 die Hauptaxe der Platte mit der des Drahtes
zusammen. Auf diese zuvor horizontal gestellte Platte wurde
das Gefass fur die zu untersuchende Fliissigkeit aufgesetzt;
da sein Boden fast genau so gross mar a i e die Platte P,
so war mit obiger Manipulation zugieich die Bedingung 2,
die iibrigens ziemlich unwesentlich ist, erfiillt. Der Boden
des Gefasses wurde durch eine diinne planparallele Spiegelglasplatte gebildet ; der Rand bestand aus lackirtem Messing
und war nur etwa 12 mm hoch, aus Griinden, die ich sogleich auseinandersetzen werde.
Die Platte P kann durch den Messingcylinder A gehoben und gesenkt werden, welch letzterer durch Drehen an
der Schraube S, in die Hulse E gezogen wird. Eine Drehung an der Schraube S , arretirt den Messingcylinder A
an beliebiger Stelle. D a der letztere nicht sehr dick ist, so
ist es fur die grossere Stabilitat des Apparates wiinschenswerth, dass er nicht zu weit aus der Hulse E gehoben Z U
werden braucht; daher muss das Gefass moglichst niedrig
sein. Mit der Platte P wird zugleich ein Blikroskop F gehoben und gesenkt, in welchem man die Scala Sc erblickt;
eine Hebung der Platte P bewirkt im Mikroskope eine Veranderung des Bildes. Wird aber das Gefass auf die Platte P
654
Th. S. Schmidt.
aufgesetzt und letztere gehoben, bis sie auf die Glassclieibe
stosst, so verschiebt sich von jenem Punkte an die Scala
nicht mehr gegen das Fadenlrreuz. Bringt man letzteres
zur Co’incidenz init einem Scalentheile, so hat man es in
der Gewalt, das Gefass urn eine beliehige Anzahl Theilstriche zu senken, welche dann gleich ist der Entfernung
zwischen Scheibe und Gefasshoden. Man hat also nur nothig,
jene Scala recht genau auszumessen, um die Entfernung c,
60 genau wie moglich zu erhalten. Ich verglich die Theilung
mit einein Maassstahe von P o r r o in Paris, welcher sich in
der Sammlung des physikalischen Cabinets der Universitat
Konigsberg befindet; es ergnb sich, dass 144 Theilstriche
der Scala = 14,41 inm sind, also 1 Theilstricb = 0,100 mm ist.
Um ferner genau controliren ZLI konnen, ob die Glasscheibe horizontal hangt , sind in gleicher Entfernung von
der Drehungsaxe (und der Peripherie der Scheibe) drei
Schrauben S, angebracht, deren Gewinde in drei Messingstreifen cingeschnitten sind, welche sich in der Drehungsaxe zwischen Glas- und Bleischeibe unter 120° vereinigen.
Diese Schrauben sind der Lange nach durchbohrt, sodass
durch sie lange Eisennadeln mit scharfen Spitzen gesteckt
werden konnen. Ich legte zunachst zwei planparallele Glasplatten uber einander und setzte die Scheibe auf die obere
auf. Dann wurden die Schrauben mit den Nadeln so weit
heruntergeschraubt, dass die Spitzen gerade die untere Glasflache beriihrten; diese Einstellung kann selir scharf erreicht
werden. Wird nun die Scheibe aufgehangt, so ist die durch
die drei Nadelspitzen gelegte Ebene parallel der unteren
Flache der Glasscheibe. Um die verlangte Controle ausfiihren zu konnen, hat man einfach ein Gefass mit Quecksilber unterzusetzen: die drei Spitzen miissen die Oberflache
des letzteren genau gleichzeitig beriihren. Dies war bei
meiner Scheibe bei der angewandten A r t der Aufhaagung
in der That der Fall.
Die Spitzen haben noch einen anderen wesentlichen
Zweck. Nach der angestellten Priifung wird die Scheibe
wieder auf eine ebene Glasplatte (etwa die Platte P)gesetzt
und die Spitzen auf die Beriihrung derselben eingestellt;
Th. S. Schmidt.
655
nun liegt die Ebene der Spitzen i n der Ebene der unteren
Scheibenfliche. Giesst man bei jedem Versuche stets so
vie1 Fliissigkeit in das Gefiiss, dass die drei Spitzen die
Oberflache derselben beriihren, so ist die Bedingnng (3) erfullt. Damit aber die Oberflache durch die Spitzen nicht
verletzt wird, konnen die Nadeln mit Hiilfe eines Magnets
aus den Schraubenspindeln herausgezogen werden.
In die Axe der Scheibe ist ein kleiner Magnet p geschraubt; soll die Scheibe schwingen, so wird ein Pol eines
schwachen Magnets dem Nordpol von p genlhert.
Das Gefass konnte ganz in sin Hiiuschen aus Blech
und Pappe eingeschlossen werden, sodass nur der Spiegel
und die Scala Sc zu sehen war.
Die Temperatur der sehr diinnen Fliissigkeitsschicht
musste mit Hiilfe von Thermostromen und Galvanometer bestimmt werden. Diese Methode der Temperaturmessung ist
zwar sehr empfindlich, allein sie ist nur dann recht brauchbar, wenn man far das Galvanometer einen sehr sicheren
Standort hat. Diese Vorbedingung war fiir das Gebaude,
in dem ich arbeitete, das physikalische Institut zu Kiinigsberg, leider nicht erfiillt. Die Schwankungen, in die ein
voriiberrollender Wagen die Nadel versetzte, machten die
Genauigkeit der Messung illusorisch. Ich habe demnach mein
Augenmerk darauf gerichtet, bei moglichst gleicher Temperatur
zu arbeiten, und stellte die Versuche des Morgens im ungeheizten Zimmer an. Ich weise nochmals auf das am Eingang des Paragraphen tiber die Temperatur Gesagte' hin.
Q 9. Die Theorie verlangt, dam fiir sehr kleine Entfernungen e, das logarithmische Decrement dieser Entfernung umgekehrt proportional sein soll; dies Gesetz gilt
noch bis fur c = 0,482
wenn man statt c1 die Grosse:
einfiihrt; denn dnnn ist nach Formel (21) Zc'= const.
Hierbei ist aber zu berticksichtigen, dass unter 1 derjenige Theil des Decrementes zu verstehen ist, der allein
von der inneren Reibung der Fliissigkeit herriihrt. 1st also 1'
7%. S. Schmidt.
656
das beobachtete Decrement, il derjenige Theil desselben,
der von anderen Einfliissen als der Reibung herruhrt, so muss
die Formel geschrieben werden :
( l ' - 1)c'= const. = C
Die hachfolgende Tabelle gibt in der ersten Columne die Entfernung cl, .in der zweiten das beobachtete Decrement 1'.
Nach der Methode der kleinsten Quadrate ist sodann C
und il berechnet und sodann wieder ruckwarts I' ermittelt
worden, wie es die Theorie verlangt. Bus C ergibt sich
sofort:
q = 1,258 fur 9. = 12,9O C.,
rl = 0,000 134
,,
9)
Der von der Reibung an der Luft und der inneren Reibung
des Drahtes herruhrende Betrag ist 0,000 008 9, also ungefahr 15 ma1 kleiner.
T a b e l l e 1.
D e a t illir t e 8 W a aser.
R
M = lo1'. 1,58315;
1,46
1,47
I
0,002 105
0,002 109
1
= 84,13;
0,002 924
0,002575
0,002516
0,002 459
0,002 353
0,002 273
0,002 226
0,002 140
0,002 127
T = 29,7544;
1,57
1,60
1,78
1,78
1,94
2.04
9,14
2,25
2,28
0,001 972
0.002020
0;OOl 784
0,001 765
0,001 663
0,001559
0,001 508
0,001 436
0,001437
TI= 29,816.
'
1
,
j
j
0,001 999
0.001 965
0;00l 779
0,001 779
0,001644
0,001569
0,001 502
0,001 435
0,001 428
Ich bin iiberzeugt, dass die Ueb reinstimniung zwischen
Rechnung und Beobachtung vie1 grasser sein wird, wenn die
Temperatur bei allen Experimenten genau dieselbe sein wird.
Nach der entwickelten Theorie soll das logarithmische
Decrement mit wachsender Entfernung kleiner werden, aber
von einem Werthe von c1 ab wieder wachsen, kurz sich
wellenformig einer festen Greaze nahern. Mir kam es vorziiglich darauf an, das erste Minimum zu constztiren. Dasselbe soll nach der Theorie eintreten, wenn:
-g
2 a c = n ist; hieraus folgt: cia= 1
D 4aP'
Th. S. Schmidt.
657
Um diese Entfernung schatzen zu konnen, erinnern wir
uns an die Beziehung:
n
-~
2ab =
9
und da a von b nicht sehr verschieden ist, kann annahernd
gesetzt werden :
also ergibt sich c12 = (q/B)(An)
T,,oder, indem wir fiir
-_
Wasser 7 / D= 1 setzen: c1 = r/Jm TI.Hieraus folgt also:
dass in der Nahe der Entfernung:
c1 = 6,84 mm
das logarithmische Decrement ein Minimum besitzen soll.
T a b e l l e IT.
Dee t i l l i r t e s Was ser.
c1
. __.
1,05
2,28
3,25
4,29
5,18
5,85
0,03788
0,01858
0,01377
0,01124
0,00990
0,00938
(mm)
__
6,24
6,54
6,60
7,34
9,30
11,28
L
-
0,00907
0,00908
0,00913
0,00929
0,00950
0,00987
Die Grosse L ist -das unmittelbar beobachtete Decrement der Amplitude. Die Tabelle zeigt, dass das Decrement zwischen 6,24 und 6,54 mm ein Minimum besitzt, also
fur eine kleinere Entfernung , als die a.ngegebene. Dies
riihrt daher, dass in Wirklichkeit T, nicht vollkommen constant ist, also auch nicht streng 2 a b = const. zu setzen war.
Jedenfalls aber zeigt sie, dass das Decrement sich in der
That so andert, wie es die Eormel ( 6 b ) verlangt.
0 10. Als Beispiel einer Fliissigkeit, welche moglicher
Weise an der Glasscheibe gleiten kann, habe ich das Quecksilber gewahlt. Mit dieser Fliissigkeit bin ich jedoch zu
sehr verschiedenen Resultaten gelangt, j e nach dem Quecksilber, welches ich benutzte. In Breslau presste ich dasselbe vor jedem einzelnen Versuche durch Leder; in Konigsberg benutzte ich Quecksilber, welches kurz zuvor im Vacuum
destillirt war, und liess es vor jedem einzelnen Experimente
Ann. d. PhJs. n. Cbem. N. F. XVI.
42
Th. S. Schmidt.
658
durch einen sehr engen eisernen Hah n strijmen. Diese Vorsicht musste angewandt werden, weil ich bemerkte, dass sich
das logarithmische Decrement sehr bald ausserordentlich
vermehrte , sobald die Oberflache eine Zeit lang ungestort
blieb. Um dies anschaulich zu machen, bestimmte ich das
Decrement fur dasselbe Quecksilber nach Zeitraumen von
ungefahr 50 Minuten. Die folgende Tabelle zeigt die gewaltiae Vermehrung des Decrementes mit der Zeit:
T a b e l l e 111.
Q u e clr il b er.
Nach
0 Minuten L = 0,02262
-3
54
1,
,, 0,02272
1,
116
,, 0,02451
9,
195
71
,, 0,03675
0
Nach
7,
7,
7,
,?
220 Minuten L = 0,07339
232
>,
,, 0,1153
248
1,
,, 0,2422
280
1,
,, 0,7758
Wenige Zeit spater klebt die Scheibe an der Oberflache so fest, dass die Kraft eines starken Magnets nicht
im Stande ist, sie zu bewegen; dabei sieht die gegen Staub
geschutzte Oberflache vollstandig rein, blank und unverBndert aus. Die Versuche miissen daher stets gleich nach
dem Einfullen des Quecksilbers beginnen.
Nach den Untersuchungen von S t e f a n 1 ) sol1 das Quecksilber am Glase gleiten, und zwar gibt er den Werth von
E an auf:
w = 0,0035,
w ist bezogen auf mm, sec und mg. Es wurde berechnet
aus den Schwingungen , welche eine Quecksilbermenge in
einem heberfijrmigen Glasgefasse machte. Diese Grosse w
enthalt aber in ihrem Ausdrucke g im Nenner; um also w
auf E zu reduciren, muss man mit:
g = 9810 mm
multipliciren; man erhalt sodann nach S t e f a n den W erth :
E = 34,336.
Nach den Messungen von W a r b u r g 2 ) ergab sich, dass
Quecksilber und Glas aneinander haften, dass also E = 03
zu setzen sei. Der Werth von q- betragt nach ihm:
q- = 1,571,
fur 9 = 1 7 O .
1) S t e f a n , Wien. Ber. 46. p.'501. 1862.
2) Warburg, Pogg. Ann. 140. p. 367. 1870.
659
Th. S. Schmidt.
Die entwickelte Theorie gestattet, eine Prufung vorzunehmen, ob die Fliissigkeit an der Scheibe haftet oder gleitet.
Haftet die Fliissigkeit an der Scheibe, so soll fur bedeutende Entfernungen c1 nach 6 5:
8 = (aZ+ b 2 ) 3 + a4(a2-- 3b2) = 0
sein, wo 2ab = a / T , , a4= a 2 / T a ,n2-b2= I ist; gleitet dagegen die Fliissigkeit an der Scheibe, so soll nach 4 7:
= (a2+ b 2 ) 3
a4 (a2- 3b2) > 0
sein.
Ich beobachtete und berechnete folgende Daten:
+
-
N
__
Breslau
l o l o . 1,5495
Konigsberg l o l o . 1,6832
i
I
1
1
T
i
T
l
-
17,123
29,760
I
1
17,428
30,512
l
I
I
0,003 391 9
~
0,002 633 8
~
%
1 0,000019 7
1 0,000 003 536
Hieraus berechnet sich nach den angegebenen Formeln :
Breslau
fur 4 = 17,1° C. '1 = 1,543 E = 28,85
Konigsberg ,, ,, = 13,6O C. 17 = 1,957 E = 36,06.
Hiernach scheint es, als ob die Reibung bei ganz reinem
Quecksilber grosser ist als bei minder reinem. - Zweifellos
ubt auch hier die Oberflache einen sehr erheblichen Einfluss
auf das Decrement; all'ein man hat kein Mittel, diesen Einfluss zu schatzen oder zu eliminiren; daher hat hier die
Maxwell'sche Methode nicht den Werth, den sie fur haftende Plussigkeiten besitzt. Auch sind die Formeln so complicirt, dass man zur Berechnung die' Methode der kleinsten
Quadrate nicht wohl anwenden kann. - Gleiten scheint
iibrigens nur bei ganz frischen Oberflachen stattzufinden ;
spater klebt die Scheibe an der Fliissigkeit.
S c h l u s s . I n der vorliegenden Arbeit habe ich mich
bemuht, zu zeigen, dass die Maxwell'sche Methode zur Bestimmung der Reibung der Flussigkeiten verwandt werden
kann, und dass die entwickelte Theorie mit der Erfahrung
im Einklange sich befindet; dass ferner die Methode benutzt
werden kann, den Einfluss der Oberflache der Flussigkeiten
zu bestimmen. Die Experimente, welche ich uber Reibung
von Salzlosungen angestellt habe, theile ich noch nicht mit,
weil mir Schliisse uber die Oberflachenspannung derselben,
42 *
6 60
H. Schr oder.
die Veranderlichkeit der Reibung mit dem Salzgehnlte, die
Verhiiltnisse, welche bei Mischung derselben auftreten, n u r
dann gerechtfertigt erscheinen , wenn die Temperatur bei
allen Losungen dieselbe war. Hierzu aber muss der Apparat
erst verandert werden.
Zum Schluss sage ieh Hrn. Professor 0. E. M e y e r in
Breslau, wie ELrn. Professor C. P a p e in Konigsberg fur die
Freundlichkeit, mit der sie mir die Instrumente zu Gebote
stellten und ihren Rath ertheilten, meinen warmsten Dank.
K o n i g s b e r g im April 1882.
VIII. Urztersuchumgen iiber d h V o l u m c m s t i t u t i m
fliissiger Verlrindumgem; v m H. S c h r B d e r .
(I’ortsetzung der in Wied. Ann. 11. p. 997-1016. 1880 und 14. p. 656
bis 670 vorgelegten Abhandlung.)
X. U e b e r e i n e n o c h vorliegende t h e o r e t i e c h e Liicke u n d e i n e
z w e i t e m o g 1i c h e A u f f a s s ti ng.
8 70. In den Paragraphen 1 bis 16 und 22 bis 30 habe
ich lediglich Thntsachen festgestellt, aus welchen sich fur
die Volumina beim Siedepunkt ergab, dass das Volumenmaass
in allen Verbindungsgruppen mit dem Atomgewicht wachst,
bei den Alkoholen und den Aldehyden der Normalreihe
aber mit dem Atomgewicht abnimmt. Ebenso die Thatsache,
dass die Gruppen CH, und OH, der Alkohole, und CH,
und 0, des Carboxyls der Sauren und Ester in jeder einzelnen Verbindung gleiche Raumerfullung haben. Diese
Thatsachen stehen fest.
Nun aber habe ich im 0 31 dargelegt, dam, wenn man
von dem mittleren beobachteten Volumen der Essigsilure das
Volumen des Aethylaldehyds abzieht, fur 0 in OH der
Silure sich ein Rest ergibt, mit welchem die Volumina der
Essigsaure und des Aldehyds selbst ohne Rest theilbar
erscheinen.
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reibung, maxwell, bestimmung, der, method, flssigkeiten, von, nach
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