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Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in weichen Krpern.

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285
VI. Bestimmung der S c h a l l ~ e s c h w i n l e i t in
weichen Kiirpern; @onE m i l W a r b u r g 1).
D i e Schallgeschwindigkeit in festen Kbrpern findet man
nach C h l a d n i aiis den Longitudinaltonen von Sttiben ails
dem zu untersrichenden Material. Diese Methode ltifst an
Gcnauigheit und Requemlichlieit nichls zii wiinschen ubrig.
zumal wenn man nach K u n d t die Tonlrohe der Sfabe durch
Messung der zngehbrigen 1,nftwelle in einem ubergeschobenen Rohr ermittelt; aber sie ist nur anwendbar auf Korper,
von welchen hinreichend langt Stabe zu Gebote stehen und
welche man in kraftige Longitudinalscliwingungen verseizen
kann
W e r t h e im * ) hat sich bei seinen Restimmungen der
Schallgeschwindigkeit in festen Kbrpern der Transversaltiine
bedient. W e n n auch diese Methode schon allgemeiner anwendbar ist, als die Chladni’sche, so giebt es doch eine
Anzahl Korper, welche fur sich weder in kraftige Longitudinal noch Transversalsrhwingungen versetzt werden kbnnen, aiif welche daher weder die Chladni’sche, noch die
We r t h e i m’sche Methode zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit anwendbar ist. Es gehoren hierher weiche
Kbrper, wie Wachs, Talg; ferner Kautschuck u. a. m.
Nach Beendigung dieser Arbeit las der Verfasser eine
Arbeit von S t e f a n *), in welrher dieser Physiker eine
Methode zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit angiebt,
welche auf alle festen Korper anwendbar ist. Diese Methode
beruht darauf, dafs man eineu Stab atis 2 Stiicken zusammensetzt, von denen das eine Stuck A aus einem Material wie
Glas, Holz besteht, das drirch Reiben ziim T h e n gebracht
werden kann, wtihrend das andere Stuck B aus dem zu untersuchenden Material gefertigt ist, das fiir kich keines scharf
-
1) Die Velsuclx wurdcn i . 1 cleni Laboratoiirirn des
an grstellt .
2 ) Atin. d. C l h . et de Pliys. ( I l l ) T.X X I I I .
3)
Sitzurrgshriielitc [lei Wieirei ,%b:idrniie30.
IItrl.
Prof. Magnus
\ p i 1 1S6L
inarkirten Tones Bhig ist. Das System beider Sttibe liefert
in diesem Falle, wenn man den ersten Stab anreibt, einen
gilt charakierisirten Longitudinalton, welcher die Bcstimmnng
der Tonhahe erlaubt. Aus der Touhohe des isolirt schwingenden Stabes A, der l'onunderung, welche die Anfiignng des
Stabes B hervorbringt, den Langen und den Gewichten der
beiden Stabe, bereclinet nun S t e fa n die Schallgeschwindigkeit in dem Stabe B. I)ie Formel, auf welche sich diese
I<erechnung stiitzt, ist hergeleitet uiiter der Voraussetzung,
d d s an der Verbindringsstelle der Stabe das Prodrict aus
der Verdichtung, dem Elasticitatscoefficienten und dem
Querschnitte fiir beide Stabe dasselbe sey. Ein Uebelstaiid
dieser Methodc liegt besonders darin , dafs , wie S t ef a n
fand, die Art der Zusammenftigung der Stabe auf die Tonhohe des Systcms von Eiuflu€s ist, und da€s sich nicht scharf
clefiniren lafst welche Refestigungsai t die Bedingungen der
1 heoretischen Entwicklung verwirklicht ; die Methode ist ferner unsicher bei K6rpern von sehr kleiner Schallgeschwindigkeit, wie Kautschuck.
Die Methode zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit
in fcsten Kiirpern , welche hier beschrieben werden soll,
lafst sich, wie dic S t cf a n 'sche , arif die Korper anwenden,
fiir welche die fruheren Methoden nicht ausreichen. Sie
bernht dararrf, dafs ein Stab ails dern zri untersachenden
Material durch einen anderen Stab in transversale Schwingung versctzt wird; die relative Schallgeschwindigkeit wird
gefunden aus den Abstanden der Schwingungsknoten in den
beiden Staben, welche denselben Ton geben und den Dicken
dieser Sitbe, und zwar nach einer sehr einfachen Formel,
zu deren Ableitring keine Voraussetzungen iiber die Natur
der Verbindungen der Theile gemacht werden.
Auf ein Schwingnngscentrum eines transversal tanenden
Glasstabes A B wird mittelst eines Steges s ein Stab aus
287
dem zu untersuchenden Material befestigt, so dafs die breiten Flachen der Stabe, sowie ihre Axen parallel sind. Es
gelingt in diesem Falle bei allen von dem Verfasser untersuchten Ktirpern die gebildeten Knotenlinien durch aufgestreuten Sand sichlbar zu machen, and zwar gelingt dids
sehr leicht, wenn man die Oberflachen der Stabe zuvor mit
Talkpulver bestreicht, wodurch die Reibung der Sandhorner
auf der Oberache erheblich verringert wird ; ist die Menge
des aufgcstreiiten Sandes nicht zu gro€s, so stellen sich die
Knof enlinien mit einer ausgezeichneten Scharfe dar , welehe
dieselben Messungen zuganglich macht.
Neniieii wir nun die Abtheilungen, in welche die schwingenden Stabe durcli die Knotenliiiien getheilt werden,
schwingende Abtlieilungen, niimcriren dieselben vom freien
Ende atis und nennen die k'" schwingende Abtheilung des
Glasstabes und die kte schwingende Abtheilung drs zu untersuchenden Stabes correspondirende Abtheilungen, so hat
man innerhalb der Griinzen der Beobachtungsfehler
wo S und S' die Schallgeschwindigkeilen in dem Material der
SVabe CD und A B
I, ond l', die Langen correspondirender Abtheilungeii in den
Staben
la und h die Dicken bedeuten.
Vorausgesetzt wird dabei, dafs die Abtheilungen I, und
E', weit geiiug von der Verbindungsstelle entferiit liegen.
Diese Formel sol1 zunachst theoretisch und experimentell
gerechtfertigt werden.
Unser System la€st sich betrachten als zusammengesetzt
aus drei Staben A F , BF, CD, welche durch den Steg s
verbunden sind und unison0 t h e n . Jeder dieser drei Stabe
ist am einen Ende frei, am andern Ende an den Steg s befestigt, welcher sich in periodischer Bewegung befindet. Wir
haben also fur 'die befestigten Enden jedenfalls
y = L . sinrat
.
(1)
I)enken wir uns den Steg in einem Schwingungscentrum
. ..
..
288
A B befestigt, so wird derselbe nahezu nur eine auf
rind abgehende Rewegung erhalten , rind die Tangenten der
Stabe in den Befestignngspunliten werden fortwahrend in
die Axen der Stabe fallen, d. h. man batte ftir die Befestigungspunk te
von
1st der Steg dagegen zwischcn einein Knoten und einem
Schwingungscentrnm von A B befestigt, so wird derselbe
nidit nur eine auf rind abgehende, sondern aucb eine drehende Bewegung annehmen , welche Ietztere um so starker
seyn wird, je naher dem Knoten der Steg befestigt ist
Man hatte in diesem Falle fur die Befestignngspunkte
2
= I,.sin n t,
wo il von dem Befestigungsponkte des Steges auf AB abhangt. In den Versuchen ist zwar immer nahezu das erste
der Fall, der grofseren Allgemeinheit wegen setzeii wir indefs fiir die Befestigungspunkte
82
%=j,.sinnt.
. . ..
(4
Fiir die freien Enden gelten die bekannten Bedingungen
? L o
r4 X =
.. .
(3)
W e n n man nun die Constanten A, B, C, D der allgemeinen Gleichung fiir die Form transversalschwingender
Stiibe
y = A . ear+
Be-ax
+ C . s i n a x +D .c o s a q
I
n die Schwingungszahl
S die Schallgeschwindigkeit
h die Dicke bedeutet)
fur einen Stab bestimmt, fur welchen die oben aufgestellten
Bedingwgen gelten, so erhalt man, wenn das freie Ende
zum Anfangspunkt der Abscissen gewahlt wird
2 89
A=
L (em
a
'+
sin a I+
212
+I (c- a '+
cos a [ )
coy
a2
-sin a t )
+cos al (ea '+ e-
( e_
r z z_
+ c o_
sa_
l - s iu a_
l ) _l(ea'+sinal
+r o s a l )
B -- L- ~_
~. _
~ _ _ .
al>J--"-2 [2+rosal(ea'-+
e
c=
L--(e-"--__
I- ea'+
2 sin a
~
'+
/I +A (e-"
_ _ ea'+
_ _ _ _ _2 _c m a ~ )
__._
2 [2+cosn/(ea1+e-
D=
13
(ea'+e-
a'+2
cos a I
) +i. ( e - a l -
ea I -
2 sin al)
2 [2+cosal(ea'+e-al)]
Daraus ergeben sich die Abscissen der Knoten als die
Wurzeln einer transcendenten Gleicllung , die man auf die
Form bringen kann
(L- A ) (sincra: - cosaa:-ee-aZ)
. ] e - a l ( ~ + ~ . ) + c o s a t(t+i.)+siiiai(L
--a ( l - 2 )
-e
- a)\
. Icos a I ( L - n) -sinn I (L+il)\ {
+e-a'. sin m. I ea'(C +a)+ 2 Lsin ct I +2 ;I.cosa I
+e - a'cos a m . le- a ' ( ~ + L)+2 L cos z - 2 n sin cz z\.
e-
+
a(1-i-Z)
(u
r(
Die rechte Seite dieser Gleichung enthalt nur Glieder,
die theils mit e -( 2 a I-.c) , theils mit e -a(L---TI , theils mit
e-- all+%) , theils mit e-2a1 , theils mit e- a' inultiplicirt
sind. Es wird sich daher die Summe dieser Glieder fur
solche Knoten, welche dem festen Ende nicht zu nahe liegen (far welche e l - a: nicht zu klein ist), mit wachsendem I
der Null nahern; es werden siLh folglich die Abscissen dieser Knoten gewissen Granzen nahern, welche gegeben sind
durch die Gleichung
-
...
a"-sincrs+cosora:
(3)
Diese Gleichung enthalt weder die GrbPse il, noch die
L h g e 1 des Stabes, sondern nur die GroPse u , welche wiederum nur von der Dicke, dem Material und der Schwingiingszahl des Stabes abhangt, Daraus fdgt, dab die oben
definirten Granzwerthe fur solche Knoten, welche dem
PoggendurBr Annal. Bd. CXXXVI.
19
o=e
290
Geien
Lange
festigt
Stabe,
Ende nicht zu nahe liegen, unabhlngig sind von der
des Stabes und von dem Punkte, an welchem er beist. Fur die Abscissen der Knoten auf einem andern
fiir welchen a in a' iibergeht, haben wir die Gleichung
o=e
. . .
- a'x-ssina's+coscr'x
(4)
Bezeichnen wir irgend eine Wurzel der Gleichungen (3)
und (4) durch w, so haben wir
a'x =w
ax=w
_a, -- _ x
a
XI'
4
v1-2. I/s
Sei fur den Stab CD (s. Fig.): cx = __
I/a.I'll,
fur den Stab B F (s. Fig.):
so folgt
_s - _xa
Sl-xQ.
;12
<if=
.
1
v1t
r/S' J/h''
~
h'
h
und m' sind die Absttinde correspondirender Knoten vom
freien Ende, welche Abstande sich wie die Llngen 1, und E',
(S. 287) correspondirender Abtheilungen verbalten; so dab
damit die Formel bewiesen ist , welche oben aufgestelll
w urde.
Urn diese Formel experimentell zu prufen und aulerdem uni zu erfahren, in welcher Entfernung vom festen
Ende die Gleichang (4) merklich richtig ist, wurden viele
Versuche angestellt , voii denen folgende hier Platz findee
m6gen.
1. Der Stab C D ist ein dunner, gleichmalig dicker
Streifen von rheinischem Fensterglase. Derselbe audert dea
Ton des Stabes A B (cines (lichen, langen Syiegelstreifens)
uninerklich wenig. Der Streifen C D wird allmrhlich verkiimzt , a n d die sehwingenden Abtheilungen auf demselben
gcmessen '). Es ergab sich
s
29 1
Abth. 1
2
3
40
40
41
40;
118
118
119
120
40;
40
111
111
110
110;
108;
103;
104
35
nicht vorh.
40:
35
nicht vorh.
n
n
m
n
m
Man sieht, dafs die zweite schwingende Abtheilung sich
nicht merklich mit der Lange des Streifens anderte, so lange
ein dritter Knoten vorhanden' war, dafs die erste schwingende Abtheilung sich nicht merklich mit der LBnge Inderte,
SO lange ein zweiter Knoten vorhanden war.
2. Ein Talgstab E D wird in G mit A B verbunden.
D . .
A,
'
"lo
C "
J
S
"
F
"-B
Auf dem langeren Theile C E bilden sich 4, arif dem ktirzeren CD bilden sich drei Knoten. Es ward gemessen
auf
Abth. 1
2
CE
3
auf C D
4
1
2
3
4
54 18 49 56 nicht vorh.
Man sieht, dafs die Abtheilungen 1 und 2 auf den beiden Theilen C E und C D merklich iibereinstimmen.
Aus vielen ahnlichen Versuchen ward geschlossen, dafs
die fraglichen Granzwerthe schon merklich erreirht werden,
wenn sich zwischen den gemessenen Abtheilungen iind dem
festen Ende noch ein Knoten behdet.
3. Aus einem Spiegelstreifen wurden zwei Stabe geschnitten; der eine schmalere C D ward mit dem andern
A B in der oben beschriebenen Weise verbunden. Die
Crsnzwerthe correspondirender Abtheilungen ergaben sich
auf beiden Stsben merklich gleich, namlich
19 *
18 50
292
auf BB
Abtlr
1
2
C'D
2
auf
3
4
-
Abth.
1
3
-
69"" 190""
68"" 191"" 4. Es ward schliefslich nach der oben aufgestellten
Formel die Schallgeschwindigkeit eines Messingstabes gegen
die eines Glasstabes bestimmt. Es ward gefunden
~'er.sucli 1
1, = 70""
Versiich
.J', = 51"'"
x2 1)
2
(nodere L:inge d. Mesiingsr.)
- 264"",6
XI$
= 188"",75
Es war
h = 6"",6
h = 5"",2
Aus dem ersten Versuch ergiebt sich, wenn S und S'
die Schallgeschwindigkeiteii in Glas und Messing bedeuteq
S'
= 0,676.
S
Ails dem zweiten Versuch:
_
" -- 0,645.
S
Im Mittel:
S
= 0,660.
Dasselbe Verhaltnik ward aus den Longitndinaltbnen
bcider Stitbe bestimmt , wobei man ztir Bestimmung der
Tonhiihe die corresyondirenden Luftwellen nach der K u nd t 'sclien Metliode mask Es ergab sich
Rlesslrlgwell4.
corr. 1,ul'iwclle
(;lnswt.lle
con'. Lul'twrlle
630
60,23
690
44, I
Dararis folgt; wenn V und V' die Schallgeschwindigkeiken
in Glas rind Messing betleuten, die Scliallgeschwindigleit in
Luft = 1 gesetzt:
v = 15,G
Y' = 10,46
woraus
_"- 0,668.
S
-
Diese Zahl unterscheidet sich von dem oben gefundenen
Mittelwerth 0,660 urn i&; diefs entsprkhe ungefAhr einem
Unterschiede von 40'" in der absoluten Schallgeschwindigkeit.
1)
J?. 2 2
btadeuten die Absrissen tles zweiten Knoteti.
293
Im dem Versiich 1 geniigt ein Beobachtungsfehler von
2 ein Beobiichtungsfebler von 2"",
uin die Abweichungen 1011 der nach dei Kundt'schen Methode gewonnenen Zahl zu erkbren.
Die hier entwickelte Methode zur Bestimmung der Srhallgeschwindigheit in festen Kbrpern kann sich zwar bei weilem nicht mit der Methode messen, nach welcher man die
gesuchfe Grofse diirch Longitiidinalt8ne bestimmt, zrimal
d a m nicht, wenn man die Kundt'sche Methode zur Restimmung der Tonliiihe anwendet. J a man wird, wenn man
die Schallgeschwindigiceit aus Transversaltonen bestimmt,
vielleicht genariere Resultate durch die Eigentbne erhalten,
weil in dieseni Falle die Schallgeschwindigkeiten den geinessenen Griifsen ( Schwingunpszahlen ) selbst proportional
sind, wahiend sie sich hier wie die Quadrate der gemessenen Grofsen (correspondirenden Abiheilungen) verhalten.
lndefs ist die beschriebene Methode einerseits in der Anwendung sehr bequem und anderseits auf alle festen Korper anwendbar, sofern alle durch Resonanz zum Tbnen zu
bringen sind. Der Veifasser. hat sie benutzt, um die Schallgeschwindigkeit in weicheii Kiirpern zu bestimmen.
Es wurden Sttibe aus diesen Korpern gegossen und dieselben durch weitercs Bearbeiten mit eiiier Ziehhlinge von
sehr gleichmafsiger Dicke erhalten. Dieselbeii wurden mit
Klebwachs in einer krirzen holzernen Gabel befestigt, welche
mittelst Siegellack auf ein Schwingun;;scen~rom eines sehr
gleichformigen 1740"" langen 6",6 breiten Spiepelstreifens
gekittet war. Der Glasstab ward in z n ei Knotenlinien aufgelegt, und die Knotenlinien auf dem System durch Sand
sichtbar gemacht. Es ist zweckmafsig, die Lange des zu
untersuchenden Stabes so zii wahlen, dafs er auf den Glasstab ein Minimum tonverandernder und dampfender Wirkung aiisiibt; es ist diefs der Fall, wenn der Befestigungspunkt C ein Schwingungscentruln des Stabes C D ist. Es
ist oft etwas schwierig, die Knotenlinien perpendikular auf
den Kanten der Stabe zu erhalten; man gelangt dabin nach
lUltU
, in dem Versrich
294
einiger Uebung durch Aenderung der Befestigung der Stabe
in der Gabel.
Die Langenmessungen geschahen durch dnlegen eines
Millimetermaa€sstabes; die Dickenrnessungen mit einem
SchnabelmaaL.
Die gewonnenen Resultate sind in der folgenden Tabelle enthalten, welche zugleich die jedesmalige Ordnungszahl des Tones des Glasstabes angiebt , welcher benutzt
ward.
-
Ternperatur 15 bis 17" C.
Rilaterial
'rerpenthin
Talg
I
1 1
S
S'
0,055
1
0,079
1 :':: I
0,075
Folgende Tabelle enthllt die voin Verf. nach bekannter
Methode bestirninten specifischen Gewichte der untersuchten
KiIrper rind die aus diesen nnd den Schallgeschwindigkeiten
berechneten Elasticitatscoefticienten.
des Wachsstnbes = 10m"',2,
wahrend die Dicke der StZbe bei
allen uhrigcn Yersuclien ungelahr 6""1 betrug.
1) Dicke
295
Material
Sehallgcschwindigkeit Glas = 1
Spec. G.
ElastieitatscoCffiehteri Glas = 1
1
2,390
1
Glas
Steari I I
?&
T+
I l l
0,9s9
7 5-IUUiJ
1 Y-7
0,917
TTi
Paraffin
&
?:
Waclrs
150
-_
l U 0 U
Wnchs
IJ.
l'erpcnthin
Talg
1
0,974
0,908
0,971
1 IJUU
TTTT
55
26
1
1
Die Unterschiede in den Schallgeschwindigkeiten bei Benatzung verschieden hoher Tone zu ihrer Bestimmring (s. d.
erste Tabelle) sind zu klein und unregelma€ssig, um sie nicht
theils Beobach!ungsfehlern , the& Schwankungen der Temperatur zuzuschreiben.
Die zweite Tabelle zeigt, wie wenig sich auch hier aus
dem Verhalten jener Korper aufser der EIasticitatsgrBnze
auf ihr Verhalten innerhalb derselben schliefsen lafst.
Oberflacblicbe Versuche zeigten, da€s, wie zu erwarten, mit
der Temperatur die Elasticitiitscoefficienten der weichen
Korper, besonders in der Nihe des Schmelzpunktes , stark
abnehmen.
Berechnet man mit Hiilfe der oben gefundenen Zahl
15,65 fur die Schallgeschwindigkeit in dem benutzten Glasstab (die Schallgeschwindigkeit der Luft = 1 gesetzt) die
absolute Schallgeschwindigkeit iin Wachs, so erhiilt man,
die der Luft = 330m gesetzt
zwischen 15 und 17" C.
857"
880".
S t e f a n h d e t bei 17O C.
Berlin d. 15. Dec. 1868.
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