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Bestimmung der Vernderlichkeit des Koeffizienten der Differentialgleichung von Fourier und experimentelle Anwendung auf Wrmeleitung von Isolatoren.

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655
5. Bestirnmzcnq der Ver&nderZichkeit
des Eoeffi%ienten der Differentialgleichung
von P o u r i e r und experimentezle Anwendung
auf Wdtrmeleitumg von I a o l a t o r e n ;
VOW Joh. E o e n i g s b e r g e r u n d J o h . D i s c h .
0 1.
Einleitung.
F o u r i e r hat am SchluS seiner ,,Theorie analytique de
la chaleur" l) darauf hingewiesen, daB die von ihm aufgestellte
Differentialgleichung nicht auf einer physikalischen Erklarung
der Warmewirkung beruht , sondern lediglich formell mathematisch begriindet ist. Er hielt deshalb auch eine Abhangigkeit der Warmeleitungsfahigkeit von der Temperatur und in
geringerem Mag vom Druck fur wahrscheinlich. L. Mach2)
hat gezeigt , daf3 die Differentialgleichung von P o u r i e r
d u l d t = a a d u deshalb in so vielen Gebieten der Physik gilt,,
weil sie a19 rein mathematische Beziehung in erster Annaherung
bei jeder Veranderung eines physikalischen Zustandes gelten
mu8. Die Form der Gleichung und die Konstanz ihres Koeffizienten a2 kann nicht streng gefolgert werden, sondern beruht auf vereinfachenden Annahmen iiber die unbekannte
Funktion, die als Nahewirkungsgesetz den EinfluB der umgebenden Punkte auf den zu untersuchenden darstellt, und
auf Vernachlassigung der Glieder hSherer Ordnung der T a y l o r schen Reihe. Deshalb wird die Konstante aa nicht streng
konstant, sondern eine Funktion der abhangigen Variabeln sein ;
die Warmelei tfahigkeit eine Funktion der Temperatur, die
Diffusionskonstante der Konzentration, die elektrische Leitfahigkeit des Potentials, der Reibungskoeffizient der Geschwindigkeit etc. Bekanntlich ist auch die Differentialgleichung von
F o u r i e r nicht auf die erweiterten Ditierentialgleichungen der
1) J. B. F o u r i e r , Theorie snalytique de la chaleur. Article 453.
2) L. Mach, Prinzipien der Wiirmelehre p. 118. Leipzig 1900.
656
J. .Koenigsberger
u.
J. Disch.
Mechanik zu reduzieren'), und kann also wohl keine mathematisch strenge Darstellung der oben erwahnten physikalischeii
Vorgange sein, die ja einer rein mecltanischen Auffassung
jedenfalls auch zugiinglich sein miissen. Daher ist eine
Abhangigkeit der Konstanten von der abhangigen Variabeln
riicht nur moglich, sondern auBerst wahrscheinlich.
$ 2. Diskussion der fruheren Methoden.
Urn die Abhangigkeit experimentell zu bestimmen , sind
zwei Wege eingeschlagen worden. Die indirekte Messung bernlit
auf Bestimmung der absoluten Gro6e des Koeffizienten aB unter
verschiedenen Bedingungen (z. B. Warmeleitfiihigkeit bei verschiedenen Temperaturen). Bus dem Unterschied der Zahlenwerte
von aa wird dann die Abhangigkeit berechnet. Wenn die Anderung durch eine andere als die abhangige Variable der Differentialgleichung yon F o u r i e r , z. B. durch Druck oder durch
magnetisches Feld etc. bestimmt werden 5011, so ist das vielfach die einzig mSgliche Methode. Sie ist da anwendbar, wo
die Fehler der absoluten Messung wesentlich klejner sind als
die Anderungen der zu messenden Gr66e in verschiedenen
Zustanden und hat so z. B. fur den Temperaturkoeffizienten
der Warmeleitfahigkeit von Metallen befriedigende Werte ergeben. Immerhin sind die Unterschiede des auf diese Art
gefundenen Temperaturkoeffizienten y auch fur die sorgfaltigsten Messungen recht gro6. J L g e r und D i e s s e l h o r s t z )
finden 7 fur reines Blei -0,00016, €ur reinesKupfer -0,00012,
L o r e n z fur ersteres -0,000072, fur letzteres + 0,000028,
H a g s t r i j m ebenfalls fur reines Kupfer - 0,00064, H e c h t
fur Kupfer -0,0004, fur Blei -0,0002.
I n erster Linie sind
diese Verschiedenheiten wohl systematischen Fehlern der absoluten Messungen, namentlich dem starken Einflu6 des LuBeren
Wiirmeleitungsvermogens, das sich mit der Temperatur wesent1) Vgl. L. Koenigsberger, Berl. Ber. p. 7. 16. Febr. 1905.
2) Fur die meisten Angsben sei auf die ausgezeichnete Darstellung
von L. G r a e t z in Winkelmanna Handbuch der Physik: Wiirme (Leipzig
1906) verwiesen. Nur fur die eingehender behandelten Untersuchungen
wird im folgenden die Literatur angegeben.
Bestimmuny der Perandedichkeit des Koeffizienten etc.
657
lich andert, zuzuschreiben. - Vie1 ungunstiger ist dime indirekte Methode bei Anwendung auf die Isolatoren; hier betragen die Fehler der absoluten Messungen bis 10 Proz., die
systematischen, die bei Berechnung des Temperaturkoeffizienten allerdings weniger stiiren, weit mehr. So finden fur
einen so gut definierten und leicht rein zu erhaltenden Kiirper
wie Schwefel die besten Beobachter recht verschiedene Werte :
L o d g e A= 0,00045, H e c h t A = 0,00063, L e e s A= 0,00079;
fur festes Paraffin: R. W e b e r 1=0,00023, L e e s A = 0,00061.
Daher ist es nicht erstaunlich, wenn der Temperaturkoeffizient
0,06 andes festen Paraffins von R. W e b e r l ) (1903) zu
gegeben wird, wahrend er sich aus den Versuchen von Lees2)
(1905) zu etwa -0,014 berechnet. Nur die Messungen von
L e e s an schlecht leitenden Substanzen scheinen uns so exakt
ausgefuhrt, daB die Temperaturkoeffizieuten bei seiner alteren
Methode auf vielleicht 50-100 Proz., und bei seinen neueren
bis zu - 180° reichenden Messungen auf 100 Proz. richtig
sein durften. Doch sind das die einzigen und nur qualitativ
zuverlassigen Bestimmungen von Temperaturkoeffizienten der
fsolatoren.
Ahnliche Schwierigkeiten hat die Bestimmung der Abhangigkeit hes Diffusionskoeffizienten von der Konzentration
gemacht. Die Theorien von N e r n s t und von R i e c k e weisen
darauf hin, daB bei starkeren Konzentrationen der Diffusionskoeffizient nicht konstant ist. B e i l s t e i n , F. W e b e r , S c h u h m e i s t e r , W r o b l e w s k i , Long haben diese Abhangigkeit aus
der Differenz absoluter Messungen bestimmt, aber sehr widersprechende Resultate gefunden. Am beston ubereinstimmend
und wohl am genauesten sind die Messungen von S c h e f f e r
und von Wiedeburg. Letzterer findet in der Gleichung
K = K (1 + z c) x fur Kaliumbichromat und Kupfersulfat
negativ, fur Kochsalz positiv und von einer QroBe, die mit
den Fehlern der absoluten Messung vergleichbar ist. Dasselbe
gilt fur die Diffusion in Gasen.
Ganz unmoglich ware auf indirektem Wege wegen der
Kleinheit des zu erwartenden Effektes die Abhungigkeit der
+
1) R. Weber, Ann. d. Phys. 11. p. 1065. 1903.
2) (311. H. Lees, Phil. Trans. Roy. SOC. London 204. p. 456. 1905.
J. Koenigsberger u. J. Disch.
658
elektrischen JeitfahQkeit vom Potential zu bestimmen , die bei
Vorwiegen einer Elektronenart in schlechten Leitern ers ter
Klasse auftreten mii Ote, oder die des Reibungskoeffizienten von
der Geschwindiykeit, die nach den kinetischen Theorien wahrscheinlich ist.
Die direkte Methode, die F o u r i e r schon angedeutet hat,
hat F o r b e s 1852 zuerst angewandt. Warum sie ihm und
iiberhaupt bisher keine befriedigenden Resultate ergeben hat,
sol1 spiiter besprochen werden. Im stationaren Zustand wird
die abhangige Variable am einfachsten als Funktion von nur
einer der drei Raumkoordinaten gewahlt. Die zu untersuchende Substanz mu0 dann entweder nach einer Richtung
(Stab) oder nach zwei Richtungen (Platte) relativ sehr (theoretisch unendlich) ausgedehnt sein.
MiBt man an drei Punkten 1, 2, 3, deren Abstand voneinander El, bez. I,s sein soll, die GroBe der Variabeln u , so
gilt fur den Koeffizienten
Die Messungen von F o r b e s waren namentlich deshalb
unsicher, weil bei der von ihm angewandten S,tabform die
Abhangigkeit des auoeren Warmeleitungsvermiigens von der
Temperatur die Rechnungen und Beobachtungen verwickelt
macht. Die Versuche sind von einem Komitee, dann von
T a i t und M i t c h e l l nachgepriift worden, und haben andere
Werte ergeben. Splter haben E. H a l l , B a i l l i e , Quickchild und L a n p h e a r auf dieselbe Art die Abhangigkeit des
WarmeleitungsvermGgens der Metalle von der Temperatur gepriift.
I m Frinzip iihnlich ist auch die Methode von B e r g e t ,
der im stationaren Zustand die Warmeleitf'ahigkeit des Quecksilbers und direkt deren Abhangigkeit von der Temperatur
mag. Hierbei war nach dem Prinzip des Schutzringes der
Einflu5 der auBeren Warmeleitung eliminiert , so da0 die
Messungen ganz einwandsfrei sind. Lord K e l v i n und Erskine
Murray1) haben, um von der augeren Warmeleitung unab'
1) Lord K e l v i n u. E. Murray, Proc. Roy. SOC. London 68.
p. 162. 1895.
Bestimmung der Peranderlichkeit des Koeffizienten etc.
659
hangig zu sein, eine sehr ausgedehnte Platte verwandt und
auf diese Art den Temperaturkoeffizienten fur einen trockenen
Granit von Aberdeen gleich -0,0011 gefunden.
Auf Diffusionskoeffizienten etc. ist die direkte Methode
uberhaupt noch nicht angewandt worden. Dies wird wohl
darin seinen Grund haben, da8 schon in den oben erwahnten
Untersuchungen (mit Ausnahme von B e r g e t l), der eine Fliissigkeit, Quecksilber, in langer Saule benutzte) zwei systematische
Fehler das Resultat grundlich falschen konnen.
1. Fehler in der Messung der Abstande zwischen den
beiden Punkten. Man sieht aus Gleichung (I) sofort, daB
lla:Izs so genau bekannt sein mug, als man die Anderung der
Konstanten x zu wissen wunscht. Da man aber aus praktischen Griinden (niedriger Schmelzpunkt etc.) knum Temperaturdifferenzen von mehr als looo, in den meisten Fallen
vie1 kleinere anwenden mui3 - dasselbe gilt in verstirktem
MaB fur die Konzentration bei der Diffusion etc. -, so muB
man, um den Temperaturkoeffizienten auf & 0,0001 sicher
bestimmen zu konnen, die Liingen auf mindestens 0,003 genau
messen. Das ist schwierig, wenn es sich um die Lage von
Thermoelementen im Innern eines festen Kijrpers handelt.
Da, wie oben auseinandergesetzt, wegen des augeren Warmeleitungsvermogens fur exakte Messungen die Plattenform zunachst
wunschenswert ist, so ist, um geniigende AnnBherung an die
theoretischen Voraussetzungen zu erreichen, fur eine Plattendicke von 10 cm mindestens eine Flache von 25 x 25 cm (und
auBerdem ein schmaler Schutzring von Holz) notwendig, also
z. B. eine Granitmasse von mindestens 16 kg.3 Man kann
aber die Lage der Lotstelle oder des wirksamen Teiles der
Lotstelle eines Thermoelementes im Innern kaum mit Sicher1) A. B e r g e t , Journ. de phys. 7. p. 2. 1888.
2) Von uns wurde, um mSglichst alle systematischen Fehler zu
vermeiden, mit solchen sehr groBen Plat,ten gearbeitet. Im dlgemeinen
aber darf man die Forderung, da6 nur Platten verwendet werden, fallen
lassen. Auf den stationgren WllrmefluB ist die Schutaringmethode von
B e r g e t anwendbar, sie kann nur sehr kleine Fehler in der Bestimmung
des Temperaturkoeffizienten verursachen. Bei kostbarem Material kann
man also kleine Stiibe in einer groBen Schutzringplatte aus anderem
Material untersuchen.
660
J. Koenigsherger u. J. Disch.
heit auf 1 mm angeben, und das bedingt fur eine Strecke von
10 cm bereits eine Unsicherheit von 1 Proz., wahrend der
Fehler nur &0,3 Proz. sein sollte. Dasselbe gilt fur Diffusion,
Reibung.
2. Die zweite Quelle systematischer Fehler bei den Messungen in festen Kijrpern ist die oft sehr betraehtliche Inhomogenitat, die sich fur Warmeleitung, Elektrizitatsleitung etc.
nicht anderweitig im voraus feststellen lafit.
5 3.
Verbesserung der direkten Beetimmung und daraue hervorgehende neue Methode.
Diese beiden Pehlerquellen lassen sich durch Pertauschung
der Richtung des Warmestromes etc., also der Temperaturen,
Konzentrationen etc. eliminieren, und es ist nicht notig, beim
Kommutieren beidemal dieselben Temperaturdifferenzen etc.
anzulegen , wie im folgenden rechnerisch gezeigt werden soll.
Es gelte die Differentialgleichung von F o u r i e r
au
__ = a a A u ,
at
und es sei die Strommenge
- qz =
au
X ’ a s ’
wobei zwischen x und a2 die Beziehung besteht a2 = c .x . Es
sei ferner x = x‘ (1 cc u).
Dann gilt fiir den stationaren Zustand in einer Platte,
bei der das aufiere WLmeleitungsvermogen nicht in Betracht
kommt.
+
F u r drei Punkte der Platte mit den Koordinaten
zlJx2, x3
gilt:
+ p;= u2 + %r,2
=- 4 . x 2 + c ,
2
x‘
u1
a
und nach Vertauschung, wobei q und q’ verschieden sein konnen,
. . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Peranderlichkeit des Koeffizienten etc.
661
woraus folat :
- (uE- 24;) (%'-
u,').
Man ersieht sofort, da8 eine genaue Messung von a mir
die sorgfaltige Bestimmung der Bifferenzen (ua - u,) etc. erfordert, und da8 Fehler in dem absoluten Wert von ul, u2 etc.
von geringem Einfiufi sind. Andere Griipen als die abhangige
Variable gehen nicht in die Formel ein; es ist nicht notwendig,
daB etwa u1= u2', da8 also ein exaktes Kommutieren stattfindet. Daher sind die experimentellen Bedingungen die fur
diesen Zweck denkbar einfachsten.
Urn ein sehr kleines oc, von der GrbBe 0,00025, noch zu
bestimmen (a. h. einen mittleren Fehler von nicht mehr
+- 0,000125), miissen, wie man leicht sieht, bei Temperaturdifferenzen von 15O die Differenzen auf etwa &0,6 Proz. genau,
die absoluten Werte von u auf 5Proz. genau gemessen werden,
wobei es am giinstigsten ist, wenn x2 - x1 nicht sehr verschieden von x2 - x s ist.
Fur Kontrollrechnungen und bei kleinem a auch zur Ausrechnung, sind folgende angenaherte Formeln praktisch :
-
und
a ( u 1 - u 3 ) = 2uL- %
.L-2.
zc, - u1
8 4.
Anwendung auf Warmeleitung.
Vera u c h B an o r d n un g.
Die beiden Substanzen, die zur Untersuchung gelangten,
hatten die Form eines Parallelepipeds, dessen Kanten bei
Paraffin 23 x 23 x 9 cm, bei Qranit 24 x 24 x 9,5 cm betrugen.
Urn dieselben war ein Schutzring aus Holz von 10 cm Breite
gelegt (vgl. Figur). Damit war, wie schon erwahnt, die unendlich ausgedehnte Platte praktisch mit genugender Annaherung
realisiert, weil die storenden Wirkungen der freien Enden in
den breiten Holzring fallen. Das Paraffin wurde eingegossen,
der Granit geschliffen. Das Holz war in Leinol getrankt nnd
aufien mit heiBem Paraffin verstrichen. Zwischenraume und
J. Koenigsberyer
662
u.
J
Disch.
Fugen wurden sorgfaltig mit Marineleim und Paraffin verschmiert, und Zwischenlagen von Gummibandern angekittet
iind genagelt, um jeden Wasserdurchtritt zu verhindern. Technisch war dies wegen der standigen Zusammenpressung des
Paraffins der miihsamste Teil der Versuche. Beiderseits trugen
die Klotze durch Asbest geschiitzte BlechThumoelb
kasten, von etwa 1cm Dicke, die am Holzring wasserdicht befestigt waren; dieselben
hatten den Zweck, das Wasser von konstanter Temperatur aufzunehmen, welches
unten durch drei Rijhren zugefuhrt, oben
durch ebenso viele entfernt wurde. Einerseits wurde Wasser der Wasserleitung
durchgeschickt , welches nur geringe Tem9
peratur- und Druckschwankungen zeigte,
auf der anderen Seite Wasser von ca. 50°
durch die Pumpe eines Henricimotors durchgedriickt, welches einem ca. 30 Liter fassenden Thermostaten entnommen wurde. Dieser
war mit Hilfe von Ruhrer und Thermoregulatur auf 0,1-0,2O C. konstant gehalten.
Die Temperaturdifferenz des austretenden
und zuriickflieBenden Thermostatenwassers betrug bei den verschiedenen Versuchen zwischen 0,5 und 1,5O. Sie war bei dem
einzelnen Verauch bis auf 0,l O konstant. Die Temperaturerniedrigung ist teilweise dem Warmeverlust in den Blechkbten,
zum grooeren Teil dem Verlust durch Warmeleitung des Isolators zuzuschreiben. Die Temperatur wurde mit drei Thermo
elementen Manganin-Eisen gemessen; mit je einer Liitstelle
in der Substanz und je einer in einem gemeinschaftlichen Bad.
An drei Stellen waren Lsie (vgl. F'igur) in die Substanzen durch
den Holzring hindurch eingefuhrt und ragten bei Paraffin bis
in die Mitte, im Granit hingegen wegen Bohrungsschwierigkeiten nur bis
hinein. Damit die Lotstellen die Temperatur der Umgebung rasch annahmen, war in die Kanale
des Granits Quecksilber gefullt ; bei Paraffin wurde geniigende
Warmezufuhr durch Einbetten in das noch fliissige Paraffin
gesichert. Der senkrechte Abstand , dessen Kenntnis fur die
Untersuchungen nicht erforderlich war, betrug etwa 3, I bez.
~
'
-
Bestimmung der Yeriinderlichkeit des Koeffizienten etc.
663
3,5 cm. Gegen auBen und voneinander waren die Drahte mit
Glasrohren oder Guttaperchaschlauchen isoliert.
Die in
O geteilten Quecksilberthermometer waren mit
einem Normalthermometer verglichen worden. Die elektromotorischen Erafte wurden kompensiert und mit einem NormalWestonelement verglichen. Durch Kommutieren an verschiedenen Stellen des Stromkreises konnten alle Thermoeffekte
rnit Ausnahme der zu messenden eliminiert werden. Wegen
der schlechten inneren Leitfahigkeit des Paraffins ist der
stationare Zustand erst nach ca. 10 Stunden erreicht; daher
konnte der jedesmalige Gegenversuch erst am folgenden Tag
vorgenommen werden. Bei Granit dagegen wurden an einem
Tage zwei zugehorige Versuche gemacht entsprechend der
10mal besseren Leitfahigkeit. Folgende Tabelle sei als Beispiel fiir einen dernrtigen Paraffinversuch angefuhrt.
L_-
Zeit
Temperaturdifferenzen in
willkiirlichen Einheiteu
links
12h30”
2 20
4 15
4 40
6 00
6 30
6 40
7 15
7 30
- 9
- 8
9,3
9,7
- 9,6
- 9,5
9,50
-
- 10,o
-
9,90
Tbermo- ’etroleum
stat
in O C.
in OC.
Mitte
14
17,6
19,8
20,l
20,8
20,7
20,85
21,2
2140
39,O
42,8
47,5
48,l
48,6
48,6
4P,70
48,s
48,85
10,5
10,o
977
9,7
10,2
10,2
10,2
10,2
10,2
48,5
48,5
49,O
48,7
48,6
48,8
48,7
48,7
48,7
15,2
15,8
16,3
16,3
16,7
16,75
16,75
16,85
16,9
Die Ablesung der Temperatur von Thermostat und Wasserleitung war nur insofern wichtig, als man dadurch eine Kontrolle
fur ihre Konstanz hatte. Das Petroleum brauchte nicbt konstante
Temperatur zu haben, aber dieselbe muBte angenahert bekannt
sein, um die Korrektionen fiir h d e r u n g der thermoelektrischen
Kraft pro I O Temperaturdifferenz mit der absoluten Temperatur
anzubringen. Bei dem angefuhrten Beispiel wurde nun das
arithmetische Mittel der beiden SchluBablesungen , die ihrerseits das Mittel aus mehreren Ablesungen sind, namlich 9,90,
+ 21,10, + 48,85 benutzt.
-
J. Koenigsberger
664
M.
J. BiscA.
Beim Granit verlief die Messung wesentlich schneller, wie
folgende Tabelle zeigt.
Temperatnrdifferenzen in
wilikurlichen Einheiten
Zeit
l U h 40N
11 00
12 00
12 30
12 45
1 00
1 10
1 15
links
Mitte
62,2
63,l
63,5
63,6
63,8
64,O
64,O
64,OO
38,O
38,s
39,3
39,6
I
rechte
Wasserlei tung
in O C.
I’hermo- ’etroleum
stat
ill
C.
in O C.
12,2
12,5
13,7
13,7
14,6
12,s
13,2
13,15
40,2
39,5
39,6
39,60
50,l
50,O
50,O
50,O
50,O
50,O
50,O
50,O
16,3
16,3
16,3
16,35
16,35
16,35
16,37
16,37
Gute Trockenelemente sind die beste konstante Stromquelle fur elektrische Strome unter l/looo Amp. Das hier verwendete anderte sich wahrend der ganzen Messungen innerhalb
eines Jahres um nicht mehr als 1-2 Tausendstel seines Wertes
und ist von der Temperatur fast unabhangig. Die elektromotorische Kraft der benutzten Thermoelemente wurde durch
besondere Eichversuche ermittelt, bei denen die Lotstellen unverandert in die Substanz eingepackt waren; sie wurden auf die
gleichen Temperaturen wie bei den eigentlichen Persuchen gebracht und bei denselhen Temperaturdifferenzen geeicht. Au f
andere Weise ist es, wie uns Versuche zeigten, kaum moglich,
geniigend zuverlassige Werte zu erhalten, d a die thermoelektrischen Krafte bei der geringsten Veranderung an der
Lotstelle um einige Zehntel Prozent schwanken.
§ 5. Resultate.
I m folgenden sind zunachst drei Messungen an ParafpiiL
(solid von Merck in Darmstadt, Schmelzpunkt 74O) herausgegriffen, urn zu zeigen, daB die verschiedenen Messungen, bei
denen die Blechklsten mehrmals geoffnet, auch Paraffin aufgegossen wurde , den Temperaturkoeffizient stets auf einige
Prozent genau ergeben.
Versuch 2. Die Temperatur der drei Lotstellen waren:
t, = 45,55,
tl’= 12,80,
t2 = 30,05,
is‘=
25,30,
ts = 19,95;
ta’= 36,55;
woraus sich a = - 0,0076 berechnet.
Bestimmung der Peranderliciikeit des Koeffizienten etc.
665
Versuch 4.
tl
ta = 29,85,
t i = 25,40,
= 45,45,
h'= 12,70,
woraus cc
=-
ts
19,70;
t8'= 36,45;
0,0070.
Versuch 5.
te = 28,50,
t2'= 24,45,
tl = 44,30,
ti'=
11,90,
te = 18,45;
ti-
35,60;
woraua a = - 0,0076.
Irn Mittel aller Versuche war
a = - 0,00766 (?~0,00025) zwischen 10" und 45O.
Dies Resiiltat stimmt qualitativ mit dem aus L e e s Kurve
zu entnehmenden Wert a = - 0,014; der immerhin ziemlich
grofle Unterschied erklart sich aus der Schwierigkeit der von
L e e s angewandten indirekten Methode. Dagegen ist der Wert
von R. H. W e b e r a = + 0,061 offenbar nur durch die groBen
systematischen Fehler der schwierigen indirekten Messung bedingt. Damit ist auch die einzige scheinbare Ausnahme von
der Regel, da8 der Temperaturhoeffizient der Warmeleitung fester
kristalfinischer Isolatoren negativ ist, beseitigt.
Wir konnten auch, da wir die Gesamtdicke des Paraffins
genau, den Abstand der Thermoelemente x3 zl ziemlich gut
messen konnten und da sich aus den Versuchen xi- xl/x3 - xi
sehr genau berechnen laiBt, den Temperatursprung: pif;0encles
Wasser-Paraffin berechnen. Wir fanden, dafl derselbe kleiner
als O , I o sein mug, bei einem TemperaturgefZlle uon etzva
pro Zentim eter im Paraf@n.
Ferner wurde an Granit vom GotthardpaB, Banchi di
Fibbia (Gotthardgranit frisch , grobkarnig mit schwacher
Bankung) der Temperaturkoeffizient gemessen. Der Granit
wurde mit Wasser durchtrankt; das geschah aus zwei Griinden:
1. Alle Gesteine haben zahllose -Rime und kapillare Raume
zvischen den Gesteinsmineralien , deren GroBe und Abstand
sich mit der Temperatur gndert. Mi& man im trockenen Zustand, so ist das der Bestimmung der elektrischen Leitfahigkeit an Pulvern zu vergleichen. Man weiB nicht, inwieweit
ein Unterschied bei verschiedener Temperatur der Substanz
Annalen der Physik. IV. Folge. 23.
43
-
,
666
J. Koeniysberger u. J. Risch,
selbst oder aber den Veranderungen der Risse und der Warmeleitung der Luft in ihnen zuzuschreiben ist. Fullt man dagegen die Risse mit einer Flussigkeit von annahernd iihnlicher
Warmeleitung (was fur Wasser zutrifft) wie das Gestein, so
mi& man in erster Linie diese letztere und deren Anderungen
mit der Temperatur. Der Granit nimmt etwa 1-2 Proz.
Wasser auf; man mi& also auf 1-2 Proz. genau, und zwar
gerade die Wkmeleitfahigkeit bez. ihre Anderung vie1 genauer,
als wenn man das trockene, stets von Bissen durchzogene
Gestein nehmen wurde.l)
2. F u r geophysikalische Anwendungen mu6 man den Temperaturkoeffizienten der Gesteine im natiirlichen bergfeuchten
Zustand kennen.
Sechs Qersuche ergaben im Mittel:
a = - 0,00020 zwischen l o o und 45O.
Wegen der Kleinheit des Koeffizienten ist sein Wert naturlich
prozentisch nur ungenau bestimmbar ; doch ist er jedenfalls
sehr klein und negativ. Aus den Zahlen von Lord K e l v i n
und M u r r a y ergibt sich etwa a = - 0,001, also 5 ma1 grOBer,
was zum Teil auf geringere Genauigkeit der Methode, zum
Teil auf die Risse im trockenen Granit zuriickzufuhren sein
durfte.
§ 6. Der Temperaturkoeffisient der Wiirmeleitung von
Isolatoren.
Dadurch, dal3 auch fur Paraffin der Temperaturkoeffizient
der Warmeleitung negativ, nicht, wie fruher angenommen positiv,
ist, gilt dies jetzt allgemein fur alle kristallinischen Isolatoren,
von denen etwa 20, hauptsachlich von L e e s , uniersucht worden
sind.9 Es seien im folgenden nur einige der besten neuesten
Zahlen von L e e s (Mittelwerte seiner Untersuchungen 1898
und 1905) angefiihrt, um die GroBenordnung von a zu veranschaulichen.
1) Der Einwsnd von L. G r a e t e (Winkelmanns Handb. d. Physik:
Warme p. 498, Anm. 1. Leipzig 1906) scheint mir daher aiclzt eutreffend,
sondern das Gegenteil der Fall zu sein.
2 ) Vgl. bei L. G r a e t z , 1. c.
Bestimmung der T"eranderlic?tkeitdes Koeffizienten etc.
66 7
Der negative Temperaturkoeffizient gibt uns einen Anhaltspunkt fiir Hypothesen uber die innere Wkmeleitung von
Isolatoren und den Bruchteil der Wkmeleitung von metallisch
leitenden Kijrpern, der wegen des Unterschiedes von der Konstante des W i e d e m a n n - F r a n z s c h e n Gesetzes nicht auf Elektronenleitung zuruckzufuhren ist.l)
H. S c h u s t e r a ) hat gezeigt, daB die Warmeleitung eines
Isolators wie Steinsalz nur zu 0,2Proz. von der Strahlung beeinfluBt werden kann. Doch ist in seiner Theorie von vornherein
der Kosinussatz und im Verlauf der Rechnung das Stefansche
Gesetz vernachlassigt worden; es laBt sich nicht ubersehen, ob
diese Vereinfachungen nicht das Resultat stark beeinflussen.
Da aber der Temperaturkoeffizient negativ ist, so laBt sich leicht
beweisen, da6 bei den Isolatoren die Strahlung nur einen sehr
kleinen Anteil an der Warmeleitung besit,zen kann.
Da die Absorption a in erster Annaherung von der Temperatur unabhangig ist, so gilt fur die zwischen zwei beliebig
absorbierenden Elementen d v von der Temperaturdifferenz d T
durch Strahlung ausgetauschte Warmemenge angenahert
W = G . T3 d T , 4 n . a. d v .3,
-
Die Wiirmemenge mu6te also proportional P 3 eunehmen, der
Temperaturkoeffizient der Warmeleitung von kristallinischen Isolatoren positiv sein, was nicht der Fall istn4) Demnach ist nur
eine Rinetische Theorie miiglich, in der die Vorgange im Molekul
zunachst, soweit sie fur die Warmeleitung in Betrrtcht kommen,
nichts mit der elektromagnetischen Strahlung zu tun haben.
1 ) Physik. Zeitschr. 8. p. 237. 1907.
2) A. S c h u s t e r , Phil. Mag. (6) 6. p. 253. 1903.
3) J. K o e n i g s b e r g e r , Ann. d. Phys. 12. p. 350. 1903.
4) Daher scheinen uns die aberlegungen von Hrn. A. E i n s t e i n
(Ann, d. Phys. 2'2. p. 180. 1907) nicht zwingend.
43*
668
J. A-oenigsberger u. J. Bisch.
Wiirde man freie Bewegung annehmen, so muBte wie in
der kinetischen Gastheorie das Warmeleitungsvermogen proportional IT zunehmen , also auch der Temperaturkoeffizient
positiv sein. Wir gelangen also zu der von F. R i c h a r z l ) aufgestellten Theorie. Nur bei kleinen Schwingungen urn eino
Ruhelage kann die in der Zeiteinheit ubertragene Energie um
so kleiner sein, je kleiner prozentisch die Differenz der Schwingungsenergien benachbarter Energien igt. Die Energiemenge, der
1O Temperaturdifferenz entspricht, ist aber ein um so kleinerer
Bruchteil der gesamten Energie, je hoher die absolute Temperatur ist. Zur Aufstellung einer bestimmten kinetischen Theorie
fester Korper durfte indes das Beobachtungsmaterial, welches
die Regel von D u l o n g und P e t it und der Temperaturkoeffizient
der Warmeleitung ergibt, noch nicht hinreichen, zumal da der
Widerspruch zwischen den Folgerungen aus den Annahmen von
R i c h a r z und denen der Elektronentheorie nicht genugend geklar t ist. 2,
§ 7. Erdwarme und radioaktive Substanzen.
Die Bestimmung des Temperaturkoeffizienten von feuchtem
Granit vom GotthardpaB ist nicht nur fur diesen gultig, sondern
auch fur alle ahnlich zusammengesetzten Gesteine. In ihren
physikalischen Eigenschaften unterscheiden sich die Silikatgesteine sehr wenig voneinander, weil ihre chemische Zusammensetzung und ihr spezifisches Gewicht auch nur wenig verschieden
sind. Man kann daher den ermittelten Wert des Temperaturkoeffizienten der Warmeleitung fur Granit verwenden, um aus
dem beobachteten den wahren Temperaturgradienten der Erde
xu berechnen, und um zu priifen, ob dieser mit dem aus der
Abkiihlungstheorie von F o u r i e r - P o i s s o n oder aus der Annahme warmeerzeugender Substanzen gefolgerten Gradienten
ubereinstimmt. In erster Annaherung ist namlich der direkt
beobachtete Temperaturgradient (a8,Ia r b , falls die Warmeleitfahigkeit A von der Temperatur 9. in der Weise abhangt, daB
a = a,(i
+ q,
1) F. Richarz, Wied. Ann. 48. p. 708. 1892.
2) Vgl. M. R e i n g a n u m , Ann. d. Phys. 2. p. 401.1900 u. A.Wigana,
Physik. Zeitschr. 8. p. 344. 1907; vgi. auch H. A. L o r e n t z , Ber. d.
Dcutsch. Physik. Gosellach. 6. p. 237. 1907.
Bestimmung der Peranderlichheit des Koeffizienten etc.
669
auf den aus der Gleichung von F o u r i e r unter Annahme konstantem A berechneten Temperaturgradienten d81ar pro cm zu
reduzieren, indem man
bildet. I n dem 2 km tiefen Bohrloch in Paruschowitz wurde
eine Temperatur von 60 O erreicht; der beobachtete Temperaturgradient war innerhalb der allerdings nicht unbetrachtlichen
Beobachtungsfehler konstant. Also ware d 8 / a r in 2 km
Tiefe, wo 6 etwa gleich 60° ist,
=
(g)
b (1
0,0002.60),
also um ein Prozent kleiner als an der OberfEtiche. Die Bfrkiihluystheorien ergeben, wie eine leichte Rechnung zeigt, fur 2 km Tiefe
eine sehr geringe Zunahme: 0,3 Proz. Die Annahme, daB ein Teil
der Warme von der Oxydation des metallischen Erdinnern (Silicide,
Ferride, Karbide etc.) herruhrt und nicht von Warnieproduktion
in der ganzen Erde, wiirde eine sehr starke Zunahme von mehr
als 3 Proz. ergeben, ist also jedenfalls ausgeschlossen.
Sind die in Paruschowitz angestellten Beobnchtungen auf
1 Proz. gensu, was uns aber noch nicht ganz sicher gestellt erscheint, so wurde aus unserer Bestimmung von a sich ergeben,
daB in den oberen Schichten der Erde eine Warmeproduktion
stattfindet, die einen nicht unerheblichen Bruchteil der gesamten
WIismestromung betragen muB. Eine solche Warmeproduktion
ergibt sich aus der Annahme von H i m s t e d t l j , daS die in den
Gesteinen vorhandenen radioaktiven Substanzen einen Teil der
Erdwarme liefern. Die rechnerischen Folgerungen aus dieser
Annahme sind von dem einen von uns dargelegta), und neuerdings haben E l s t e r und G e i t e l g in einer umfassenden Schrift
die Literatur und die experimentellen Grundlagen diskutiert.
Wie schon L i e b e n o w auf Grund der dsmals vorliegenden
Messungen folgerte: und wie auch die Untersuchungen von
S t r u tt an Urgesteinen aus allen Teilen der Erde ergeben haben,
ist der Radiumgehalt so groB, daB er mehr Warme liefern
1) F. Himstedt, Verb. Freib. nat. Gles. 14. p. 187. 1903.
2) Physik. Zeitschr. 7. p. 297. 1906.
3) J. Elster u. H. G e i t e l , Radioaktivitat der Erdsubsbnz und
ihre rniigliche Beziehung zur Erdwarrne. Wolfenbuttel 1907.
670
J. Koenigsberger
u. J. Disch.
Bestimmung etc.
wiirde, als die Erde fortleitet. Man muf3 daher - und das
steht in Ubereinstimmung mit der geringen Radioaktivitat der
Laven und Fumarolenprodukte - annehmen, da6 der Radiumgehalt im Innern der Erde geringer ist. Setzen wir ihn einer
beliebigen Potenz n des Erdradius proportional, so folgt I), daW
r n f l
2
a 4 a r - - 0,0003 (x) = - 0,0003 (1 - (n + l)rz),
wo x den Abstand von der Erdoberflache, R den Erdradius
bezeichnet. Aus den Beobachtungen in Parnschowitz und
unserer Messung von a wurde sich n etwa gleich 30 ergeben.
Der Gehalt an Radium in 10 km Tiefe ware also um 5 Proz.
kleiner als an der Erdoberflache; die vom Radium gelieferte
Warrnemenge ware nicht mehr zu grog, sondern wiirde nur
einen Bruchteil der gesamten Warmestromung betragen. Ein
Teil des Wurmestromes der Erde ware also jetzt widerspruchsf r e i durch die von radioaktiuen Substanzen entwickelte Warme zu
erklaren.
Xusammenfassung.
1. Die direkte Methode zur Bestimmung der Abhangigkeit
der Konstanten der Differentialgleichung von F o u r i e r von der
abhangigen Variablen wurde ausgearbeitet und experimentell
auf die Warmeleitung angewandt. Die Methode ist frei von
systematischen Fehlern und hat gut ubereinstimmende Resultate
ergeben.
2. E s wurde festgestellt, da6 Paraffin einen negativen
Temperaturkoeffizienten hat. Somit hat der Satz, daB feste
kristallznisclie Isolatoren einen negatioen Temperaturkoeffizienten
der Wamzeleitung besitzen, keine Ausnahme mehr. Das spricht,
wie dargelegt, fur die Richtigkeit der von R i c h a r z aufgestellten
Hypothese der Schwingungen der Molekule fester Korper.
3. Der Temperaturkoeffizient der Warmeleitung des Qranits
weist in Zusammenhang mit den Beobachtungen des Temperaturgradienten in Bohrlochern auf warmeproduzierende radioaktive
S ubstanzen der 5iuBeren Schichten der Erde.
F r e i b u r g i. B., Physikal. Institut.
1) Physik. Zeitschr. 7. p. 297. 1906.
(Eingegangen 6. Juni 1907.)
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