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Bestimmung des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz und des Tensors der magnetischen Suszeptibilitt durch numerische Berechnung der Stromdichte in der Ladungsverteilung diamagnetischer Molekle.

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Annalen der Physik. 7. Folge, Band 36, Heft 2, 1979, S. 91-102
J. A. Barth, Leipzig
Bestimmung des Abschirmtensors der magnetischen
Kernresonanz und des Tensors der magnetischen
Suszeptibilitat durch numerische Berechnung
der Stro mdichte in der Ladungsverteilung
diamagnetischer Molekiile
Von K. SALZER
NMR-Labor der Sektion Physik der Karl-Marx-Universitiit Leipzig
E semiklassisches
D E L
Verfahren zur BeInhaltsubersicht. In [I] und [2]wurde ~ ~ ~ S C ~eih
rechnung des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz und der magnetischen Suszeptibilitiit
diamqpetischer Molekiile vorgestellt. Dabei mu0 die Kontinuitiitsgleichungfiir die durch das iiu0ere
Magnetfeld in der Elektronenhiille induzierten Streme gelost werden.
In der vorliegenden Arbeit wird eine Methode zur numerischen Liisung dieser phiellen Differentialgleichung entwickelt. Am Beispiel des H,-Molekiils werden die Meglichkeiten dieses Verfahrens
dargestellt.
Determination of the NMR Shielding Tensor and of the Tensor
of Magnetic Susceptibility by Numerical Calculation of the Current Density
in the Chargedistribution of Diamagnetic Molecules
Abstract. In papers [l] and [2] a semiclassical approach for calculation of the N M R shielding
tensor and of the tensor of magnetic susceptibility of diamagnetic molecules was represented by
SCEBIEDEL.
In this method the equation of continuity for the currents in the electronic cloud induced by an
external magnetic field must be solved.
In this paper a method of numerical solution of this partial differential equation is developed.
The H,-molecule serves as an example to present the possibilities of this method.
1. Einleitnng
Durch die hochadosende magnetische Kernresonanz im Festkorper ist der Abschirmtensor der magnetischen Kernresonanz bzw. die Differenz zu einem Standard
(sog. chemische Verschiebung) fur eine wachsende Zahl von Kernen meBbar geworden.
h i d e r gibt es zur Zeit kein theoretisches Verfahren, das es gestatten wiirde, mit vertretbarem Aufwand und hoher Genauigkeit diese chemische Verschiebung zu bereohnen
und drtbei gleichzeitig die physikalisch wesentlichen Effekte, die auf die chemische Ver-'
schiebung EinfluB haben, herauszulosen.
Das semiklassische Verfahren [13 erlaubt solch eine anschauliche Interpretation der
berechneten chemischen Verschiebungen iiber die Darstellung der berechneten Stromdichteverteilungen. Eine Reihe anderer Anstitze fordern die Losung der gleichenpartiellen
Differentialgleichung,vgl. [3]. Die Berechnung der Stromdichteverteilung durch Losung
.
K.
92
S.4LZER
der partiellen Differentialgleichung, d. h. der Kontinuitatsgleichung fiir die durch das
aul3ere Magnetfeld induzierten Strome, durch Minimisierung des entsprechenden Funktionals nach den1 Ritzschen Verfahren [3-71, liefert nur dann gute Ergebnisse, wenn die
Variationsfunktionen den1 speziellen Problem anpepaot werden, vgl. [61. Das hier dargestellte Verfahren zur numerischen Losung der patriellen Differentialgleichung kann
auf einfache Weise dem speziellen Problem angepal3t werden und erlaubt dadurch auch
alle wesentlichen lokalen Effekte richtig widerzuspiegeln und die lokalen Beitrage sowohl
der chemischen Verschiebung als auch der magnetischen Suszeptibilitat zu ermitteln.
uber das am Kernort ro induzierte lokale Absrhirmfeld H'(ro)und das induzierte magnetische Moment m wird der Zusammenhang zwischen Stromdichteverteilung j und dem
Abschirmtensor-rder magnetischen Kernresonanz 2 bzw. deni Tensor der magnetischen
Suszeptibilitat gegeben.
m
=
1
2
-JJJ r x j d V ,
m = - x H
n
O'
Ho bezeichnet das von auBen angelegte Magnetfeld und n die Teilchenkonzentration.
Die Integration wird iiber das gesamte Raumgebiet durchgefuhrt.
2. Numerisches Berechnungsverfahren
Die Herleitung der partiellen Differentialgleichung (5) auf serniklassische Wejse
wird in [2] ausfuhrlich dargestellt,
+
div [ e ( r x n OU)]= 0,
wobei n den Einheitsvektor in Richtnng des Magnetfeldes
(5)
H, = Hon,
(6)
die Elektronendichteverteilung und U das ,,Geschwindigkeitspotential" bezeichnet.
Nach [2] gilt weiterhin
Q
j = e2P0
-H,(rx
2m
n
+ OU),
(7)
wobei e die Elektronenladung, m die Elektronenmasse und ,uo die absolute Permeabilitatskonstante bezeichnet.
Die Differentialgleichung (5) kann auch in der Form
div ( e V U )= -div ( p ( r x n))
(8)
geschrieben werden. Wir bezeichnen e D U mit j,, als ,,paramagnetische" Stromdichte
und e ( r x n) mit id,als ,,diamagnetische" Stromdichte. Dabei gilt
j = id
+ j,.
(9)
Die rechte Seite von GI. (8) kann umgeformt werden zu
-div (e(rx n ) )= -Ve(r x n ) .
(10)
Bestimmung des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz
93
Die GroBe -Vp(rx n) wird mit p(r),als Quelle, bezeichnet. Die Diff.-Gl. (5) kann so in
der Form
(11)
div (j,) = q
dargestellt weiden. Das heifit, die Quelle in jedem Raumpunkt ist gleich der Divergenz
der ,,paramagnetischen" Stromdichte in diesem Punkt. Tntegrieren wir die Diff.-G1. (8)
uber ein Raumgebiet R und wenden auf beide Seiten der Gleichung den GauBschen Sat2
an, so erhalten wir die Gleichung
@ j p d A = - &(rx n ) d A .
R
R
d A ist der infinitesimale Flflchennormalenvektor.
Da die Elektronendichte eines Molekiils bei genugend groBem Abstand vom Ladungsschwerpunkt exponentiell gegen Null strebt, verschwindet das Integral auf der
rechten Seite von G1. (12)) wenn man iiber ein entsprechend groBes Gebiet integriert :
&(r x n) d A = 0.
(13)
R
Das heiBt, das Integral iiber alle Quellen im Molekul mu8 Null sein.
Urn j , zu bestimmen, wird dieses Gebiet durch ein dreidimensionales Gitter in Quader
zerlegt. Die natiirlichen Zahlen i, j , k bezeichnen die Lage des Quaders im Raum:
i legt die x-Koordinate x(i), j die y-Koordinate y(j) und k die z-Koordinate z(k) des
ersten Eckpunktes des Quaders Eijkfest. Die Zahlen i
1, i, k ;i , i
1, k ; i , j , k
1,
i + 1, j + 1,k ;i , j
1,k + 1 ; i + 1, j , k + 1;i
1, j
1, k
1definieren die sieben
verbleibenden Eckpunkte des Quaders Eijk,vgl. Abb. 1.
Dabei sol1 gelten
1 5 i 5 i E ; 1 5 i ( j E ; 1 5 k 5 kE.
(14)
Wir zerlegen das Integrationsgebiet also in n Quader :
+
+
't
Abb. 1 Quader EijE
+
+
+
+
+
K. SALZER
94
Da die ,,diamagnetkche" Stromdichte jd bei vorgegebener Ladungsverteilung e einfach
zu berechnen ist, interessiert uns im folgenden nur die Berechnung von j,.
Die G1. (11)wird iiber jeden der n Quader Eijk integriert:
JJIdiv ( i p ) dV = EJJJq
ijk
dV.
(16)
Eijk
Die linke Seite der G1. (16) kann nach dem GauBschen Satz zu einem Oberfliichenintegral
umgeformt werden :
!#jp
Oijk
dA = Qijk-
(17)
QijEbezeichnet die Quaderquelle und oijk die Oberflache des Quaders Eijk.
Da wir iiber Quader integrieren, vgl. Abb. 1, kann man die linke Seite der GI. (17)
explizit aufschreiben. Die Quaderquellen Qijkder rechten Seite werden aus der Ladungsdichte e des Molekuls bestimmt. Wir erhalten folgendes Gleichungssystem :
[Jp(:)$f,j,k) - JT)(kz$'9k)]
A?
2,3,k + [JP(f:'t1,k)- Jp(f:',E1'k)]
AZj,k
+ [Jp (y
i,&k-l
11 A f , j . k = Q i , j , k ;
; k+l) - Jp(i,j,k
1 < i < i E - 1 ; 15i < j E - 1; 1 5 k <_k, - 1 ,
(18)
wobei &j,k die Fliiche einer der beiden zur x-Richtung normalen Quaderoberflachen,
Aij,kiind Az,i,k die entsprechend zur y- und z-Richtung normalen Flachen des Quaders
Eijkbezeichnen.
Jp(&l*k) ist die mittlere ,,paramagnetische" Stromdichtekomponente aus dem Quader Et,j--I!E
in den Qiiader Ei,j,k. J e kleiner also die Quader gewahlt werden, desto besser
werden &e J , die exakte GroBe der ,,paramagnetischen" Stromdichte wiedergeben.
Nach Definition gilt fur die ,,paramagnetische" Stromdichte die Gleichung
Jp= QVU.
(19)
Fur die in G1. (18) auftretenden Komponenten der paramagnetischen Strome wahlen
wir deshalb folgende Approximation :
mit entsprechenden Gleichungen fur die anderen Komponenten von J p . e($$t,j,k) bezeichnet die mittlere Ladungsdichte auf der Grenzflache zwischen den Quadern Eijk
und Ei+l,jkund Uijk das ,,Geschwindigkeitspotential"in der Mitte des Quaders Eijk.
Da, wie oben dargelegt, die Gitternetzaufteilung die Ladungsverteilung im wesentlichen
erfassen soll, muB die Ladungsdichte an den Grenzen dieser Aufteilung sehr klein sein
und wird deshalb Null gesetzt.
Wir ersetzen in (18) die Grofien J p nach G1. (20), fuhren der Ubersichtlichlteit halber
Bestimmung des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz
95
Die Quaderquellen Qi,j,k aller n Quader werden aus der Ladungsdichte p des Molekiils
in den entsprechenden Quadern Ei,j,k numerisch berechnet, vgl. Gln. (10) und (17).
In Matrizenschreibweise erhalt dieses Gleichungssystem die einfache Form
wobei gilt:
Das zu (23) gehorende homogene Gleichungssystem
besitzt die nichttriviale Losung
/1\
was leicht durch Einsetzen in (22) zu uberpriifen ist. Das Gleichungssystem (23) ist nur
dann bis auf die Addition eines Vielfachen der Losung des homogenen Gleichungssystems
eindeutig losbar, wenn der Vektor Q senkrecht auf der Losung des homogenen Gleichungssystems U, steht,
UHQ = 0,
+
+ +
(26)
Q ~ ~ ~ - l ) , ~ j ~ - ~ ) , ( k=
~ - O*
l)
d*h. &1.1,1
&1,1,2
***
Die Summe aller Quellen im Molekiil mu0 also verschwinden, was nach G1. (13)
garantiert ist. I)a sich demnach die Uijk der verschiedenen Losungen nur um eine Konstante unterscheiden, liefert das Gleichungssystem nach G1. (20) eine eindeutige Stromdichteverteilung fur jedes Problem.
Uni eine genugende Genauigkeit der Stromdichteberechnung zu erreichen, mu0 das
Gitternetz entsprechend fein gewahlt werden, was zu einem sehr gro0en Gleichungssystem fiihren wiirde, das mit den ublicherwsise verfiipbctren Rechnern nicht mehr zu
losen ist. Wir wahlen deshalb einen Weg der schrittweisen Anniiherung, der im Prinzip
dein Seidelschen oder Einzelschritt-Iterationsverfahren[8] entspricht. Das angewendete
Verfahren wird im Anhang beschrieben. Nach den Gln. (1)-(4), (7), (9) und (20) berechnen wir dann die uns interessierenden Parameter, den Abschirmtensor der magnetischen Kernresonanz und den Tensor der magnetischen Suszeptibilitat und konnen die
Konvergenz dieser GroBen in Abhiingigkeit von der Genauigkeitsschranke 6 des angewendeten Niiherungsverfahrens verfolgen.
Die ,,diamagnetkchen" Anteile des Abschirintensors der magnetischen Kernresonanz
0' und desTensors der magnetischen Suszeptibilitat $ wurden numerisch als Summe der
entsprechenden Quaderbeitrage berechnet.
-
K. SALZER
96
3. Berechnungen
Das oft und auch n i t sehr guten Ergebnissen berechnete H,-Molekiil sol1 wegen seiner
Einfachheit als Testmolekiil fur unser Verfahren dienen.
Bei allen hier angefiihrten Berechnungen sowie bei den zum Vergleich herangezogenen theowtischen Werten, wurde die von HOYLAND
[9] fur das H,-Molekul optimierte
Gwndzustandswellenfunktion verwendet. Diese Wellenfunktion ly ist eine Linearkombination zweier Slaterorbitale +(r - rl) und @(r- r,) an den Atomzentren rl undr,
des H,-Molekiils:
y =
P O
-y
-
1
($(r - rl)
+ q(r - r,)),
= y(rI ) = 1 e-clr'l,
va
NO
= J y2 d V ,
z =/+"a.
(27)
Fur den Slaterexponent wurde von HOYLAND
[9] der Wert 1,19 ermittelt. Der Abstand
zwischen den beiden Atomzentren betriigt 1,4 atomare Einheiten. Die Elektronendichteverteilung e ergibt sich aus dem Quadrat der Wellenfunktion $.
Die Gitternetzaufteilung wurde folgendermagen vorgenommen :
Das H,-Molekiil wird in einen Quader gelegt, dessen Mittelpunkt mit dem Ladungsschwerpunkt des H,-Molekuls iibereinstimmt. Der Quadermittelpunkt fiillt mit dem
Koordinatenursprung des hier benutzten rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems zusammen. Die Molekiilachse stimmt mit der z-Achse des Koordinatensystems
Abb. 2 Gitternetzaufteilungen des H,-Molekuls (Koordinaten in atomaren Einheiten)
Bestimmung des Abschirmtensors der magnetkchen Kernresonanz
97
iiherein. Da das H,-Molekul eine axialsymmetrische Ladungsverteilung hesitzt, wurde die
Gitternetzaufteilung in den Ebenen parallel zur xz-Ebene auf die gleiche Weise wie in
den Ebenen parallel zur yz-Ebene vorgenommen. AuBerdem ist die xy-Ehene eine Spiegelebene fur die Ladungsverteilung des H,-Molekiils, so daB die Darstellung eines Viertels
der Gitternetzaufteilung in der yz-Ebene geniigt, die Wahl des Gitternetzes eindeutig
festzulegen.
I n Abb. 2 ist die Gitternetzaufteilung der drei berechneten Varianten A , B und C
auf diese Weise dargestellt. Die gewahlten Grenzen der Aufteilung garantieren, daB die
Ladungsverteilung bis auf einen geringen Fehler erfaBt wird (an der Grenze der Aufteilung
gilt e 5 1,2 . 10-4 Elektronen. (a.E.)-3, bei zwei Elektronen Gesamtladung).
Die hier angegebenen Werte fur den Abschirmtensor der magnetischen Kernresonam
a' und den Tensor der magnetischen Suszeptibilitiit iindern sich in den angegebenen
Stellen nicht mehr bei Verkleinerung der Schranke 6.Das verwendete Verfahren wurde in
POTRAN fur eine Rechenmaschine, Typ BESM-6 programmiert.
--t
4. Ergebnisse und Diskussion
I n Tab. 1werden die von uns berechneten Werte zusammengefalJt und mit fruheren
Berechnungen und experimentellen Ergebnissen verglichen.
I n den ersten drei Spalten stehen die mit der hier beschriebenen Methode fur die drei
verschiedenen Gitternetzaufteilungen A , B und C (vgl. Abb. 2) berechneten Tensorkomponenten der Abschirmung der magnetischen Kernresonanz und der magnetischen
Suszeptibilitiit. I n den drei folgenden Spalten werden diese Tensoren niit den Werten
friiherer Rechnungen und in der letzten Spalte mit den experimentellen Ergebnissen
verglichen.
R bezeichnet die an dem Rechner BESM-6 benotigte Zentralprozessorzeit, q1die
Tensorkomponente der Abschirmung der magnetischen Kernresonanz (mit dem Index D
bzw. P fur den diamagnetischen bzw. paramagnetischen Anted) liings und crl senkrecht
zur Molekulachse. x,, und xl bezeichnen die analogen Komponenten des Tensors der
magnetischen Suszeptibilitiit.
Aus den in Tab. 1zusammengefafiten Werten lassen sich folgende Aussagen ableiten:
-D
1. Die Werte des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz a', sowie der
Normierung NO,vgl. G1. (27), die mit dem hier vorgestellten Verfahren berechnet wur-
den, niihern sich bei groBer werdender Zahl von Gitterpunkten schnell den experimentellen Werten bzw. den Werten der friiheren Rechnungen an.
+
2. Die Werte fur den Tensor der magnetischen Suszeptibilitiit 2 erreichen nicht die
gleiche Genauigkeit wie die Werte fur den Abschirmtensor der magnetischen Kernresonanz 2, da fur eine bessere Wiedergabe der magnetischen Suszeptibilitiit weiter auBen
liegende Bereiche der Ladungsverteilung mit eingeschlossen werden muBten.
3. Fur die Anisotropie A x und den Mittelwert des paramagnetischen Anteils (xp>
der magnetischen Suszeptibilitiit x ergibt sich ebenfalls eine gute Ubereinstimmung mit
den friiheren Rechnungen, fur ( x p ) auch mit dem experimentellen Wert, da sich die
gewiihlte Ladungsverteilung bei groBeren Abstanden der Kugelsymmetrie niihert und
folglich die weiter aufien liegenden Bereiche fur Ax und (xp> geringere Bedeutung besitzen.
4. Der Vergleich mit den Ergebnissen von STERNBERG[5] und J ~ G E[lo]
R zeigt
fur die Variante C, der feinsten Gitternetzaufteilung, eine sehr gute Ubereinstimmung
und weist darauf hin, daB beide Verfahren bei genugend feiner Wahl des Gitternetzes bzw.
bei entsprechend giinstiger Wahl der Variationsfunktionen die gleiche Losung liefern.
7 -4nn.Physik. 7. Folge, Bd. 36
9s
t
Abb. 3a
+w
I
- 0.03
- 0.02
-0.02
-0.07
-0.07
-0.09 -0.73 -0.71 -0.70 -0.05 +005
+-
L
- 0.75
- 0.78
L
I
+
I
- 0.77
- 0.26 -0.49 -0.94
- 0.16
-0.29
-0.09
2
-0.03
+-0.04
+009
-0.70 1-782
_1__!
-0.25 :--202
i-0.25 +702 +2.461-2.49-to79 - 0.79
Bestimmung des Abschirmtensors der magnetischen Kernresonanz
ty
Abb. 3c
Abb. 3 Stromdichteverteilung im H,-Molekiil
(0 kennzeichnet die Lage eines der beiden Protonen. Die Pfeilliinge gibt die GroBe der Stromdichte
in willkurlichen Einheiten an)
a ) Dichte p iind ,,diamttgnetische'" Stromdichte j d
(Die Zahlen an den Gitterpunkten bezeichnen die Dichte e in Einheiten von e . (a.E. ) - 3 . 10-1)
b) Quaderquellen q in der ersten Schicht iiber der Meridianebene und ,,paramagnetische" Stromdichte
j,
(Die Zahlen in den Rechtecken bezeichnen die Quaderquellen in willkurlichen Einheiten)
c) Gesaintstromdichte
5. T k r Rechenzeitbedarf des hier vorgestellten Verfahrens liegt bei dern des STERNBERGschen [ 5 ] und daniit wesentlich unter dem Rechenzeitbedarf der Rechnungen von
HOYLAND
[9], der a n der BESM-6 mehrere Stunden betragen wiirde. Die Rechnungen
von LUDWIG[3] u.a. liefern mit einem dem unseren Verfahren vergleichbaren Aufwand
ahnlich gute Ergebnisse, wurden aber, da diese Autoren andere Grundzustandswellenfunktionen verwendet haben, nicht mit verglichen.
I n Sbb. 3 sind auf einem Viertel der yz-Ebene die Elektronendichte, die Quellenverteilung, die diamagnetische, die paramagnetische und die resultierende Stromdichte
im H,-Molekiil nach unseren Rechnungen fiir den Fall C dargestellt, wenn das Magnetfeld
senkrecht auf der yz-Ebene steht,.
Die Zusammenstellung dieser Abbildungen soll demonstrieren, wie man durch Analyse der Elektronendichteverteilung und daraus abgeleitet der einfach zu bestimmenden
Quellenverteilung den qualitatjven Verlauf der ,,paramagnetischen" Strome ermitteln
kann.
100
K. SALZER
-t
Tabelle 1 Abschirmtensor 7; der magnetischen Kernresonam und Tensor
+
der magnetischen Suszeptibilitiit 2 (a in ppm, X in 1 0 4 cgs Einheiten)
theoretisch
A
# .f: -26,58
-27,20
<#>
-26,79
a?
'a
4
0,94
a[
-0,Ol
<ap>
0,62
u "1
all
<a>
AU
-25,65
/-27,21
-26,17
-1,56
HOY- JUNB
C
- 25,OO
-26,77
-25,59
-0,18
0,04
-0,ll
-26,17
-27,39
-26,58
-26,40
-27,31
-26,70
-0,91
-4,13
-3,38
-3,88
-4,OO
-3,18
-3,73
0,15
-0,02
0,lO
-3,98
-3,40
-3,79
QER
BERQ
[91
WI
~51
a)
-26,17
-34,49
-27,130
-32,19
-27,131 -27,62
-26,65
-0,23
0,09
-0,12
-25,19
-26,73
-25,70
-1,54
-0,33
0,oo
-0,22
-4,33
-3,54
-4,07
0,17
0,oo
0,12
-3,82
-3,18
-3,61
STERN- experimentell
LAND
-26,50
-27,62
-26,88
-1,12
-26,57
-4,33
-3,54
-4,07
-5,49
-3,54
-4,84
0,16
0,oo
0,11
0,11
-3,96
7,91
0,oo
5,27
-4,1?
-3,54
-3,96
-27,60
-26,92 -26,58 f 0,36 [ll]
-1,03
1,32
0,oo
0,88
-4,17
-3,54
-3,96
0,085
-3,982 & 0,019
~131
AX
NO
N
Q
6
R
0,45
4,83
21
5,09 * 10-1
3,62. lo4
27s
0,58
0,64
0,63
0,63
3,57
3,41
3,36
3,36
51
31
4,52 10-1
4,40. 10-1
8,39. lo4
3,87.10-8
103 s
337 s
Nh
b,
219 s
8 ) Ursprung der Vektorpotentiale im Proton; b, manuelle Berechnung. Q = Z@k IQiikl (zu-Qijk
vgl. G1. (17) mit nparallel zur 2-Achse); N Schrittzahl (vgl. Anhang);Aa = all - al; <a) = 1/3 (a,,
201).
+
Der ,,paramagnetische" Strom fliel3t aus Gebieten mit positiven Quellen in Gebiete
mit negativen Quellen, so daB die Divergenz der ,,paramagnetischen(' Stromdichte gleich
der Quelle ist. Drt die Quellen gleich der Divergenz der ,,diamagnetischen" Stromdichte
mit umgekehrten Vorzeichen sind, G1. (ll), wird der resultierende Gesamtstrom
j = ja + j? divergenzfreiund die Kontinuitatsgleichung (6) ist erfiillt. Die anschauliche
Interpretation durch Ermittlung der Quellenverteilung sollte qualitative Aussagen ermoglichen, ohne daB die Rechnung ausgefiihrt wird.
Bestimmung des Abschmtensors der magnetischen Kernresonanz
101
Bei der noch ausstehenden Anwendung des hier vorgestellten Verfahrens auf Molekule mit komplizierteren Elektronendichten, bei denen die Anpassung der Variationsfunktionen fur das ,,Geschwindigkeitspotential" U schwierig ist, sollten die eingangs erwiihnten Vorteile dieses Verfahrens deutlicher werden.
Wir konnen durch eine feinere Einteilung des Gitternetzes a n den Stellen, a n denen
sich p schnell iindert, unser Verfahren dem gegebenen Problem auf einfache Weise anpassen.
Den Herren Prof. Dr. PFEIFER, Doz. Dr. SCHMIEDELund Doz. Dr. FENZKE
danke ich
fur anregende Diskussionen und allseitige Hilfe, Herrn Dip1.-Math. BERNDT
mochte ich
fur einige Hinweise zur mathematischen Behandlung des Problems danken.
Anhang :Modifiziertes EinzelscMttverfshren
Der Ubersichtlichkeit halber numerieren wir die Zeilen des Gleichungssystems
durch, so da13 wir die ubliche Darstellungsweise von Gleichungssystemen erhalten :
n
C CliU, = Q1fur alle 1 = 1, ...,n.
i=l
Losen wir die I-te Zeile des Gleichungssystems (29) nach Ul auf, so erhalten wir die
Gleichung,
Als Startvektor fur U wiihlen wir den Null-Vektor und wenden in unserem Iterationsprozel3 G1. (30) der Reihe nach auf jede Zeile des Gleichungssystems (29) an, wobei die
Ui auf der rechten Seite von G1. (30), jeweils die aktuellen Ui darstellen, d. h., die Ui
die. durch Anwendung der Formel (30) auf die vorhergehenden Zeilen entstanden sind.
Sind alle Zeilen des Gleichungssysterns auf diese Weise abgearbeitet worden, hat man
die erste Naherung fur den Vektor U erhalten, der dann als Startvektor benutzt wird,
um die gleiche Prozedur zu wiederholen. Das Verfahren wird solange fortgesetzt, bis bei
der N-ten Anwendung dieser Prozedur auf das Gleichungssystem (29), die Ungleichung
erfijllt ist, d. h. fur jeden Summanden gilt
I
Qi -
7a
C CIiUi
i=l
I5
6.
(32)
Dieser Suniiuand wird nach Anwendung von G1. (30) auf die 1 - 1-te Zeile mit den &tuellen U i bestimmt.
Mit der Festlegung von 6 wird folglich die Genauigkeit der Lasung des Gleichungssystems (29) vorgegeben.
Die numerischen Ergebnisse zeigen, (vgl. Tab. 1 Schrittzahl N und Genauigkeitsschranke 6) dsD das Verfahren fur das Gleichungssystem (23) schnell konvergiert, da sich
weder die Komponente des Tensors der magnetischen Suszeptibilitiit noch die des
Tensors der kernmagnetischen Abschirmung 2 bei weiterer Verkleinening der Schranke 6
in den angegebenen Stellen vertindern.
2
102
K. S A L Z ~
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[13] G. G. HAVENS,
Bei der Redaktion eingegangen am 2. August 1978.
Anschr. d. Verf. : K. SUER
NMR-Labor der Sektion Physik der Karl-Marx-Universitt
DDR-701 Leipzig, Linnitstr. 6
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suszeptibilitt, ladungsverteilung, der, durch, numerische, stromdichte, abschirmtensors, und, magnetischen, tensors, bestimmung, molekle, diamagnetischer, des, berechnung, kernresonanz
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