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Bestimmung einiger hoher Elasticittsmoduln nebst Bemerkungen ber die Ermittelung von Moduln mit einem Minimum von Material.

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9. R e s t h m u n g e3.niyer h.oher
E l a s t i c i t i i t s r n o d u t n , nebst B e r n e i 4 w n y e n ~u,ber d i e
E r m B t t e k t n g v o n Modwln. mit einern Miw#hhu.rn
v o n Materia I ; v o n F. A u ev b a c h.
Die folgeiide Mittheilung hat, ausser den zahlenmassigen
Ziele einige grosse Elasticitatsmoduln anzugeben, den weiteren
Zweck, die Aufmerksamkeit der Fachgenossen auf die Frage
zu lenken, mit welchem Minimum von Material man Elasticitatsmoduln uberhaupt bestimmen kann, und welche Methode hierfar am meisten geeignet ist.
Unt.er Elasticitiitsmodul ist bekanntlich kein individueller
Begriff, sondern eino Begriffskategorie zu verstehen , indem
namlich jeder besoiideren Art der Beanspruchung auch ein
besonderer Modul entspricht. Diese verschiedenen Moduln
stehen zu einander theils in rein formal-mathematischer Beziehung, z. €3. der Biegungsmodul zum Dehnungsmodul 3,
sodass man die Durchbiegung eines Stabes kennt, wenn man
den Dehnungsmodul B des Materials kennt und umgekehrt,
theils in einer Beziehung , in welche andere Elasticitatsconstanten , praktisch meist die Elasticitiitszahl p (Verhaltniss
der Quercontraction zur Langsdilatation) eingehen. Fur die
Ermittelung yon E ist dieser Fall misslicher als der erstere,
weil man p nicht mit derselben Genauigkeit wie die Moduln
angeben bez. ermitteln kann; z. B. kann man die Torsion
eines Stabes aus E oder umgekehrt E aus der Torsion nur
ungefahr berechnen; um beide Grossen, E und p , genau zu
erhalten, muss man zwei Arten von Beanspruchung, z. B. Biegung und Torsion, combiniren, womit naturlich grosserer Zeitund Materialaufwand verbunden ist. Ueberhaupt erfordern
Dehnungs- , Biegungs- und Drillungsbeobachtungen Materialstucke von betrachtlicher Langenausdehnung, deren siimmtliclie Dimensionen niinutios gemessen werden miissen, und fur
jeden Versuch kommt die tadellose Beschaffenheit dieses ganzen
Stiickes in Betracht.
Demgegenuber ist es wunschenswerth , eine Methode zu
besitzen, welche 1. direct und durch moglichst einfache Rechnung einen bestimmten , an sich interessanten Modul liefert,
2. aus diesem ohne genaue Kenntniss von p und ohne Combination mit anderen Versuchen den Dehnungsmodul hinreichend genau zu berechnen erlaubt, 3. geringen Zeitaufwand,
4. geringen Materialaufwand erfordert und 5. bei jedem einzelnen Versuche nur Voraussetzungen uber die Beschaffenheit
des winzigen , bei diesem Versuche benutzten Theiles des
KiSrpers macht. Alle diese Anspruche befriedigt diejenige Art
der Beanspruchung , welche man als Eindringung bezeichnen
kann, und welche in dem Druck einer Kugelflache auf eine
ebene Flache desselben Materials besteht. Liegt einmal der
von mir ') beschriebene , auch dem vorliegenden Zwecke angepasste Harteapparat vor, so liefert die Methode zunachst
direct den Eindringungsmodul E' nach der einfachen Formel
E' = 12 y ,
wo
der Krummungsrodius der Linse und q der Quotient
des Druckes p durch den Cubus des Durchmessers d der
kreisformigen Druckflache ist; jener (Q) ist aus dem Schleifprocess mit grosser Genauigkeit bekannt, kann ubrigens auch
leicht nachgepruft werden , dieser (y) ergiebt sich aus einer
mit steigenden p angestellten Versuchsreihe, bei der die p
und d mikroskopisch beobachtet werden, als Mittel zahlreicher
Eirizelwerthe , die ihrerseits , da, sie innerhalb des Bereiches
der elastischen Vollkommenheit constant sein mussen, ein Kriterium daftir abgeben, wie weit man in der Drucksteigerung
gehen darf; man wird alsdann gut thun, aus mehreren Versuchsreihen nochmals das Mittel zu nehmen. Nun misst aber
die Druckflache bei den in Betrarht kommenden Drucken
meist nach kleinen Bruchtheilen eines Quadratmillimeters, sodass man mit einer einige Millimeter dicken a) Platte schon
mehrere Versuchsreihen ausfiihren kann, und ebenso lasst sich
die Linse, wenn g klein gewahlt wird (1-5 mm), aus Stucken
1) Auerbsch, G6tt. Nachr. 6. Dee. 1890; Wied. Ann. 43. p. 61.
1891; Rep. d. Phys. 27. p. 231; S m i t h s , Inst. Rep. 1891. p. 207. 1893.
2) Die Dicke dad nicht so klein sein, dam eine, wenn auch minimale Durchbiegung zu befurcliten wsire.
Elasticitatsmoduln.
383
von wenigen Cubikmillimetern herstellen. Man sieht also, dass
die Methode mit ausserst wenig Material, das iibrigens auch
nicht durchweg tadellos zu sein braucht, auskommt und hierin
selbst die von Voigt aufs hochste verfeinerte Biegungs- und
Drillungsmethode I), der sie an Genauigkeit allerdings nicht
ganz ebenbiirtig ist, ebenso sehr ubertrifft, wie durch die Zahl
und Einfachheit der erforderlichen Messungen und Rechnungen.
Ferner erlaubt die Methode, aus dem direct ermittelten
Eindringungsmodul B den Dehnungsmodul E nach der Formel
E = B ( 1 -p2)
ahzuleiten , in welcher p keinen sonderlich grossen und einen
desto geringeren Einfluss ausiibt, j e kleiner es ist. Der resultirende Fehler von E wird also sehr vie1 kleiner sein a19 der
Fehler von p, welchen man beim Einsetzen eines nur ungefahr
bekannten p begeht. Nun weiss man, dass p fur hnrte Korper
zwischen 0,l und 0,2, fur mittlere zwischen 0!2 und 0,3 und
f i r weiche (von ganz weichen abgesehen) zwischen 0,3 und
0,4 liegt; setzt man also in Fallen, wo weitere Anhttltspunkte
nicht vorliegen, z. B. fur einen harten Korper p = 0,15, also
p2 = 0,0225 und (1 - p2) = 0,9775, so ist der iiusserste
Fehler des Resultates etwa 2 Proc., der wahrscheinliche aber
jedenfalls kleiner als 1 Proc. ; eine grossere Genauigkeit
kiinnen aber die meisten Moduln ohiiehin nicht beanspruchen.
Man kann also sehr einfach E aus E' ableiten, indexn man E ,
wenn das Material ilusserst hart ist, um 1-2 Proc., bei sehr
hartem (wie hsrtestes Crownglas) um 3-4 Proc., bei mittelhartem um 5-6 Proc., bei Material wie Fliptglas urn 7 bis
8 Proc., hei weichem um 9-10 Proc. und bei sehr weichem
um 11- 12 Proc. (mehr wird kaum vorkommen) verkleineit.
Koruna.
Als Beispiel diene Korund, dessen Elasticitiltsmodul bisher
noch nicht bekannt gewesen ist. Fur die Beanspruchung in der
Richtung der Hauptaxe diente eine kleine Platte und eine
Linse mit dem Radius g = 2. Um von den Verhaltnissen
eine deutlichere Vorstellung zu geben, habe ich alle Zahlen
nuf die ublichen Maasse (kg fur die Drucke p , mm fur die
Durchmesser d ) umgerechnet.
1) W. V o i g t , Gatt. Nachr. I S M , Nr. 3; Wied. Ann. 31. p. 474. 1887.
P. Auerbach.
984
1. Reihe
__
.~
d
P
__
~
2,23
3,46
5,44
Y,38
11,32
14,28
17,20
20;14
25,08
26,02
2. Reihe
P
__
d
1,47
3,4 6
0,089
2085
0,113
0,159
0,180
0,204
0,218
0,237
0,248-
2277
2142
2038
1808
1770
~
0,100
0,115 2275
0, I32 2365
0,159 2104
0,177 204 1
0,185 2252
0,202
0,218
0,230
0,2379=2193
--
8,38
13,28
18,18
21,12
24,06
27,OO
-
Q
P
-
3. Reihe
d
~
0,98
1,47
2,23
3,46
5,44
8,38
13,28
18,18
23,OE
27,98
~
0,074 2419'
0,089 2085
0,102 2101
0,115 2275
0,133 2312
0,154 2295
0,181 2240
0,208
0,222
1976 0,242- ~.
q = 2206
Wie man sieht, bewegen sich die Werthe VOII q bis zu
zu einem gewissen Wertho von p um einen constanten Mittelwerth herum, nehmen jedoch bei grosseren Drucken ab; fur
die
Mit.t.nlwnrt.hen
nind
--- Rildiinp den -----..
I-~
-I
-
--_1-1-I
--_---
niir din nrnt.nrnn.7
diirch
-----
-_I------
eine Klammer verbundenen Werthe zu benutzen, die Mittelworthe selbst sind am Fusse der Columnen angegeben. Bildet
mau aus ihnen das Hauptmittel und berechnet aus der Bbweichung aller Einzelwerthe den wahrscheinlichen Fehler des
Resultates, so erhhlt man
q = 2199 f 20
uiid damit
E = 52 800 f 500.
Zieht man schliesslich hiervon, da es sich urn ein ausserst
hsrtes Material handelt, 1'1, Proc. ab, so erhiilt man abgerundet
E = 52000 f 800.
Es ist dies bei weitem der grijsste bisher ermittelte Elasticitatsmodul, etwa 2l/, ma1 so gross wie der des Stahles.
Beililufig sei bemerkt, dass einige Versuche mit versehentlich schief orientirten Platten und Linsen wesentlich kleinere
Worthe, im Mittel etwa 46000 ergaben; dieser Zahl kommt
aber keine weitere Bedeutung zu, da die Beanspruchungsrichtung keine ausgezeichnete war und somit das Minimum
vou E' noch kleiner sein kann.
Topas.
Beanspruchung in cler Richtiing senkrecht zur Basis.
Von den benutzten Stuckcn stammte I aus Sachsen, 111 und
IV von uiibekannten, aber beide von demselben Orte, V aus
Brasilien, die Linsen hatten theils (1 = 2 , theils p = 5. Aus
den 22 Versuchsreihen ergaben sich folgende Werthe von (1 q ,
und zwar in den Beobltchtungsmaassen (Einheit fur Langen
'la,
mm, fiir Drucke 0,0098 K ) :
~ = 5
12,90
13,15
12,70
l2,36
12,76
1?,20
I
I
---12,51
12,30
12,15
12,22
12,45
12,00
I2,22
12.96
12,L)o
12,60
12,S4
13,%
13,40
13,45
13,15
13JO
13,30
13,OO
I
i
11
12,SS
12.72
12,38
(1
-
1
13,3R
-
13,?4
13,29
Wie man sieht, weichen die Zahlen fur verschiedene
Sorten starker voneinander nb, als die fur eine und dieselbe
Sorte, womit auch iibereinstimmt, dass die demselben Fundorte entstamnienden Sorten I11 und I V nahezu gleiche Zahlen
ergeben; nimmt m:ui aus ihnen demgemass das Mittel: 12,80,
so erhalt mail fur
I: E' = 25700 t 150
111 und IV: E' = 29600 120
V: E =: 30800 c 100
Es hat also brasilianischer Topas die grosste, sachsischer
die kleinste Elasticitit. Will man von diesen Unterschieden
absehen und einen Mittelwerth fiir Topas schlechthin bilden,
so erhalt, man:
E' = 29500
und, indem man 2
abzieht, rund
E
Ann. d. Phgs. u. Chern. N. F. 68.
=
29000
25
F. Auerbach.
386
F u r Topas liegt schon eine Bestimmuilg von E, und zwar
eine sehr sorgfaltige, von V oi g t I) mittelst Biegung und Drillung
durchgefuhrte, vor. Sein mit dem unsrigen zu vergleichender
Werth ist 26500. Nun ist zwar diese Vergleichung nicht
streng erlaubt, weil bei unseren Beobachtungen zwar die Axe
der Beanspruchung wie bei Voigt senkrecht zur Basis ist, das
ganze System der Beanspruchungen aber bei uns einen Kegel
erfullt ; indessen kann dies nicht entfernt die grosse Differenz
erklaren, diese ruhrt vielmehr jedenfalls von der Verschiedenheit des Materials her. Der Voigt’sche Topas stammte
namlich aus dem Ural; da nun die Differenz zwischen V o i g t
und I nicht grosser ist, als die zwischen I und V, so liegt in
ihr a n sich nichts Auffalliges ; immerhin ware es wunschenswerth, zur Controle entweder Uraltopas der Eindringungsmethode oder brasilianischen der Biegungs-. und Drillingsmethode zu unterwerfen.
Beryll.
Drei verschiedene Platten, eine davon (111) einem als
Smaragd bezeichneten Stucke entnommen; Beanspruchung in
der Axenrichtung.
Werthe von p q :
-
I
/I
Es wird hiermit p q = 9,28 f 0,06 und, auf die richtigen
Maasse umgerechnet,
E’ = 21500 & 150.
Schliesslich durch Abzug von 2OI1,
B = 21 100.
Diese Zahl ist reichlich 2
kleiner als die von V o i g t
gefundene (21 650).
1) W. V o i g t , G6tt. Nachr. 1887, Nr. 19; Wied. Ann. 34. 981, 1888.
387
Elasticitatsmoduln.
Ausserdem wurden auch an zwei Flachen Versuche ausgefiihrt, bei denen die Beaiispruchung senkrecht z u r Hauptaxe
erfolgte; es waren dies die beiden anderen Flachen eines
durchweg polirten Parallelepipeds, dessen erste Flache oben
mit I1 bezeichnet wurde. Sie ergaben folgende Werthe von 9 :
IIa
Ilb
I
10,32
1W8
I
10’15
;:1
:
--
io,o7
10~30
e=5
l
1
10,40
(1
10,25
10115
10,25
1
.
10~40
10,22
10,26
10,18
Das Hauptmittel ist also 10,21 & 0,04, damit wird
E = 23640 + 100
und
E = 23200,
was mit dem Voigt’schen’) Werthe (23 120) fast genau stimmt.
Es ist beachtenswerth, dass die Elasticitat des Berylls senkrecht zur Axe grosser, die Harte dagegen kleiner ist, als in
der Axenrichtung.
Apatit.
Es wurden zwei Platten (I und 11) henutzt, und zwar
von der einen beide Flachen (Ia und Ib); die Bea~~spruchungsrichtung war stets die der Hauptaxe.
Werthe von p q
I
la
6,26
6,52
6,?6
6,04
6,40
1)
6,24
I/
Ib
6,18
6,04
6,32
6,15
6,12
5,92
6’15
11
1
6,32
6,40
6,OO
1
6,45
6,50
6,50
W. Voigt, G6tt. Nachr. 1886, Nr. 3 ; Wied. Ann. 31. p. 474.
25 *
I? A?icrbnr*h.
388
Das Hauptmittel ist also !) q = G,26 & 0,03 und damit
E' = 1.1490 t 70.
Da die Harte des Apatits etwa der mittelharter Glaser gleichkommt, hat man nach dem obigen Schema 5
abzuziehen,
um It zu erhalten und findet abgerundet
R = 13800
Soweit ich iiberselie, ist der Elasticitatsmodul des Apatits
bisher noch nicht bekannt gewesen ; er ubertrifft den zahlreicher anderer Stoffe, die ihrerseits den Apatit an Harte
ubertreffen (Quarz, Adular, hartere Glkser etc.)
Quarz.
Beanspruchung in der Richtung der Hauptnxe. Zwei
Platten (I und II), fur die eine zwei getrennte Serien von
Versuchsreihen (Ia und I b).
Werthe von p q :
g=1
g=4
___
,=5
4,71
4,H3
4,7 1
4,53
4,61
_
I
4,77
4,44
4,78
4,41
4,60
4,45
4,57
4,42
4,50
1
4,60
4,37 ,
42
,9
4,14
4,53
4,47
4,38
4,43
4,39
4,32
4,37
4,48
__
4,60
4,65
4,80
4,50
J,56
4,FO
4,46
4,88
4,51
4,57
Das Hauptmittel wird p q
E
= 4,59
=
f 0,025, damit
10620 & 60
und, nach Abzug von 3
(sehr hartes Material s. 0.)
B = 10300,
in genauer Uebereinstimmung mit der Zahl von Voigt.')
1)
W. V o i g t , \Vied. Ann. 31. p. 474 u. 701. 1887.
h’lasticitatsm oduln.
389
Adular.
Beanspruchungsrichtung IBasis ; zwei eigentliche Adulare
(I und 11) und ein Sanidin.
Werthe von 0 9 :
1
1
Adular I
q=2
3,86
stoff
1
v-5
Adular I1
1
e=5
I/
3,45
Richtung
Korund
Hauptaxe
Brae. Topas
I Basis
I Basis
Sikhs. Topav
I Hauptaxe
Beryll
Hauptaxc
Beryll
Hauptaxe
Apatit
Hauphe
Quarz
Fluesapath
I Oct.
I Spaltfltiche
KalksDath
Aduiar
I Basis
Bary tb-:osilicat
Borosilicat
P
Kalisilicat
Flint
Schwerstes Flint
Natronthonerdeborat
1
3,65
Sanidin
e=2
3,36
3,48
3,44
3,66
I
e=5
3’45
3,45
E’
E
52800
52000
30800
28700
23640
30200
28100
21500
14490
21100
13800
10620
10300
9110
10010
9360
8460
8190
7600
7110
5950
5590
49i5
23200
8440
8120
7950
7300
6800
5470
5090
4700
390
P.duerlach. Elasticitatamoduln.
Der natronreiche Sanidiii ist also merklich schwacher elastisch
als der gewohnliche Adular (wie er such weniger hart ist).
Auch dieser Werth scheint V Q ~anderer Seite noch nicht bestimmt worden zu sein.
Zum Schlusse mogen die obigen Zahlen unter Beifugung
einiger schon friiher nach der Eindringungsmethode ermittelter
Moduln zusammerigestellt werden.
J e n a , April 1896.
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