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Betrachtungen ber den Gltigkeitsbereich der Stokesschen und der Stokes-Cunninghamschen Formel. I. Hydrodynamischer Teil

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1920.
8 9.
ANNALEN DER PHYSIK.
VIERTE FOLGE BAND 62.
Q 1. Binleitune.
Die vorliegende Abhandlung enthat eine kritiache Eusammenstellung unserer Kenntnirrse uber die Gesetze der
,,langsamen" Bewegung von Teilchen in Fliissigkeiten und
Gasen. Der erste Teil ist der hydrodynamischen Seite dea
Problems gewidmet, im zweiien wird die gaskinetiache A d fassung vertreten. Es wird dort auf die lrubrst schwachen
theoretischen Grundlagen der so oft angewandten Sto kesCunnighamschen Formel hingewiesen. Falls manche der
hier enthaltenen Tatsachen und Bemerkungen selbstveretiiadlich oder gar trivial erscheinen sollten, so diem der Hinweia
als Entschddigung, daB in vielen der besprochenen theoretischen und experimentellen Arbeiten verschiedene Resultate der fruheren Forschung teilweise ubersehen oder gar
miDdeutet wurden. Auch harren noch einige Unstimmigkeiten
zwischen experimentellen und theoretischen Ergebnissen ihrer
endgiiltigen Erklikung (vgl. inebesondere 9 7 b).
Wir prbisieren zuerst die Bedeutung einiger Benennungen,
die wir im weiteren durcbgehends gebrauchen werden. Ein
Teilchen bewege sich unter dem Einflusse einer konstanten
Kreft F in einem Medium, dessen Koeffizienten der inneren
Reibung wir mit p bezeichnen wollen. Nach Erreichung dee
stationken Bewegungszustandes wird sich das Teilchen mit
einer konstanten Geschwindigkeit Y bewegen, und wenn wir
(1)
F = W * T r und V = B . F
setzen, so nennen wir, wie gew6bnlich, B die Beweglk7k4
des Teilchens; ihren reziproken Wert W werden wir ale Wi&stundskoef/i&ntem bezeichnen. In allen weiter unteny besprochenen Faillen wird die Geschwindigkeit Y der Kraft F
Ammbm der Phplk. IV. Folp. 68.
1
proportional, d. h. W bzw. B werden von V bzw. F unabhlingig
sein. Wo sie nicht direkt aus den Grundannahmen erschlossen
werden kann, da wird diese Proportionalittit von vornherein
durch eine besondere (stillschweigende) Annahme eingefiihrt
werden .
fie Ermittlung des Widerstandskoeffi&ientenW als Funktion der Eigenschaften des Teilchem und des Medium, in
welchem es sich bewegt, bildet den Gegenstand der vorliegendeii
Besprechung.
8
8. Me sllgemaine Formulierung der Problem der
,,langamenggBewegung einer &en
Flikdgkeit.
Je langsamer die Bewegung einer Fliissigkeit ist, um so
mehr uberwiegt die Wirkung der inneren Reibung diejenige
der Trggheit. Im Grenzfall unendlich kleiner Geschwindigkeiten fallen in den klassischen Navier-Poissonschen Dif ferentialgleichungen der Bewegung einer zlihen Fliissigkeit die
,,TrSigheitsglieder" [mit u ( a u / a r ) usw.] fort, und fiir stationaire
hwegung bei Abwesenheit &uDerer Volumkrafte redn5ieren
sich diese Gleichungen anf die einfache Form
Hierin bedeuten u, u, w die Komponenten der Strtimuiqpgeschwindigkeit in den rechtwinkligen Koordinaten x, y, a,
p den Koeffizienten der inneren Reibung, p den I h c k nnd
Dazu tritt gewohnlich noch, als Bpeziialfall der physikalischen Beziehung mischen Druck und Dichte, die Bedingung der Inkompressibilittit
av
a w = 0.
aU + +BY
ax
ax
In Verbindung mit den notigen Randwertangaben bilden
die Gleichungen (2) und (2') die mathematische Formulierung
des Problems der ,,langsamen", stationken Bewegung eher
slihen Fliissigkeit.1) In jedem einzelnen Falle muS man
1) A. E. H. Love, Enz. d. math. Wisa. IV, 16, Hydrodynamik I,
$13; da die ,,LBngaamkeit" der Bemgung nicht nur VOD der Gesohwindigkeit und der Zkhigkeit, sondern auah von den Raumabmeaaungen
Ober die Stokesschs uqd Stokes-Cunniqhmche F m l . I.
3
nrtturlich die Berechtigung der gemrrchten 1-ernachlbsigungen
besonders untersuchen (vgl # 6).
Die Art der Randwertangaben hilngt wesentlich davon
ab, ob man an der Beruhrungsflbhe der Russigkeit mit festen
Korpern Gleitung zdtil3t oder nicht. Im letzten Falle stilnlnt
in jedem Punkte der Beruhrungsflbhe die Geschwincligkeit~
der Flussigkeit mit der des festen Korpers uberein. Was die
tropfbaren Flussigkeiten anbtrifft, so nimiiit man jetzt gewohnlich an, da13 diese letzte Bedingung iniaier erfullt ist ;
jedenfalls ist das Bestehen der Gleitung idschen einer tropfbaren Elusigkeit und einer festen Oberflbhe nie einwandfrei festgestellt worden.1) Anders verhiilt es sich aber mit verdunnten
&sen, fur welche die Gleitung sowohl experimentell gefunden
als auch theoretisch begrundet wurde. Auf diesen Gegenstand
werden wir im zweiten Teile noch nibher m sprechen kommen.
Vom hydrodynamisch-phiinomenologischen Standpunkte
aus wurde die Moglichkeit der Gleitung bereits \-on Navier
und Poisson beriichichtigt. Die Gleitung besteht bekannt
lich in einem Unterschied der Tangenti&lgeschwindigkeiteii
des festen Korpers und der angrenzenden Flussigkeit. Na vie r
und Poisson nahmen nun an, da13 die Kraft pro Fllicheneinheit, mit welcher die Flussigkeit und der feste Korper aufeinander einwirken, dieser Differenz proportional sei, und da
died Kraft dem tangentialen Zug in der Cirenzschicht der
Flussigkeit das Gleichgewicht halten muB, SO ergibt sich
daraus die erwunschte Grenzbedingung, die im Falle paralleler Leminarbewegung [u = f (y), v = w = 03 die einfache
Form
.
-
(3)
au
8 @- 4 = C"Ty
annimmt. Hierin bedeutet u die Cfiscliwjndigkeit der Fliissigkeit, u' diejenige des festen K6rpers und ist der sogenannte
abhkngig ist (vgl. 0 6), 80 echlfbgt M. Smoluohowski (Kmk,Anz.
8.143, 1904) zur bewren Chamkterieiernng dieees hwegungsensfandes
den . A d r u c k ,,mouvement oalme" [ruhige, aanfte Bewegung] vor,
wghrend L.Prandtl (,,AbriB dcr h h r e von der Flussigkeits- und
asebewegungGa,
a m dem ,,Handwijrterbuch der Naturwiasenschaften",
Bd. 4) den Ansdruok ,,schlei&ende" Bewegung gebrauoht.
1) Vgl. A. E. H. Love, a. a. O., und L. Graetz, ,,Reibung" in
Winkelmame Handbaoh der Physik, Bd. T, 2.
I*
4
J . w8ySSt?nhO#.
Kmifkient der a u k e n Reibung, d,i. der Eetrag der Reibung
pro Einheit der Oberflbhe und pro Einheit der Relstivgeschwindigkeit.
Da die Gleitung um so mehr in Betracht kommt, je
kleiner die ILuSere und j e gr6Ber die innere Reibung ist, BO
haben Helmholtz und Piotrowskil) ale MaB der Gleitung
das Verhiiltnis
(4)
7-f
unter dem Namen Gbdungsb8fibhat ehgefubrt. hrselbe
Name wird auch in der kinetischen Gastheorie gebraucht.
Lorentzs) hat eine Reihe von aUgemeinen Theoremen
iiber die ,,lrtngsame", stationbe Bewegung von festen Kiirpern
in reibenden Fliissigkeiten ( h i Abwesenheit von Gleitung)
aufgestellt, deren Anwenclung wir im f 8 kennen lernen werden.
Den Zusammenhang der Lorentzschen Arbeit mit allgemeinen
Sateen der . Theorie der partiellen Differentialgleichungen ersieht m n am besten durch Vergleich mit analogen Resulfaten
der Elastizit&tsthedrie (Reziprozitgtstheorem von Bet t i, Formeln fiir die Verschiebungskomponenten von Somigliana ,
Integration mittels verrtllgemeinerter Gr e e nscher Funktionen),
wie sie z. B. in dem Enzyklopiidieartikel von Tedone? msammengestellt und besprochen sind. Dieser Parallelismus
stammt daher'), daB die Gleichungen (2) der ,,Iangsamen"
Hewegung einer rei benden Flussigkeit der Form nach identisch
mit den Gleichungen fur das elastische Gleichgewicht isotroper Xorper sind ; an Stelle der Verschiebungskomponenten
der Elestizitiitstheorie treten in (2) die Geschwindigkeibkomponenten ein und die beiden LamBschen Elastizitiitskonstanten A und p reduzieren sich durch den Amatz?
(6)
sa +
Q ~ = O
auf nur eine Konstante, den sogenannten Koeffizienten p
der inneren Reibung der Flussigkeit.
1) Vgl. H. Helmholtz, Wiss. Abh. I. 6. 172.
2) H. A. Lorentz, Abh. uber theor. Physik, I. 6.23.
3) 0.Tedone, Allg. Theoreme der math, Elaetizit&tslebre,Em.
d. math. Wiss. IV. 24.
4) Vgl. A. Lord R a y l e i g h , Phil. Mag. %
8.697.
I
.1911.
6) Vgl. 2;. B. A. G. Webster, ,,"he Dynamics of partiolee . . .''
S. 650, nnd A. E. H. Love, a. a. O., 8 12.
Im weiteren spezialisieren wir unser Problem auf die
Bewegung kugelformiger Teilchen; nur gelegentlich werden
wir noch iiber anders gestaltete Teilchen oinigo Bemerkuilgen
einzuflechten baben.
Q
8.
Dm Stokeomhe Oleask.
Die W u n g des Problems der ,,langsamen", stationliren
Bewegung einer Kugel in einer unbegrenzten, inkompressiblen,
d e n Flussigkeit unter dem Einflusse einer konstanten Kraft
verdanken wir Stokes, der sie im Jahre 1851 in einer Abhandlung uber die Bewegung von Pendelnl), mit Hilfe der
nach ihm benannten Stromfunktion*) gegeben hat. Er fand,
daD die Flussigkeit auf die Kugel eine der Translation der
Kugel entgegengesetzt gerichtete Kraft aiisubt, die der Geschwincligkeit Y der Kugel progortional ist. Der Widerstandskoeffizient druckt sich durch die folgende Forniel ails :
(6)
W=6npa
(a Radius der Kugel), die sllgemein unter dem Namen Stokesechss Gesstz oder Stok%ssche Fomtsl bekannt ist. Bei den An-
wendungen kommt meistens die Spezialform
in Betrmht, die die Geschwindigkeit einer .Linter dem Einflusse der Schwerkraft [+na8 (d - a) g] fallenden Kugel
von der Dichte d in einem zlihen Medium von der Dichte u
angibt.
Eine einfache Ableitung des Stokesschen Gesetms findet
man in Kirchhoffs ,,Mechanik"*) und eine allgemeinere
Methode rmr Liieung der Gleichungen (2) durch Entwicklung
in eine Reihe von r&umlichen Kugelfunktionen in den 68 325
bis 326, 836-336 des Lehrbuches der Hydrodynamik von
Lamb.') Andere Ltisungsmethoden wurden von Boussinesq
(vgl. Q 8 und 12), Noether, Oseen (vgl. 9 7a) u. a. gegeben.
1) G. G. Stokes, Cembr. Trens. 9. 5. 8. 1861; Papers III, S. 59.
2) Vgl. H
. Lamb, Lehrbuoh der Hydrodynamik (deutaoh von
J. Friedel) 1901, 05 04, 86 und 326.
3) 0. Kirohhoff, Vorl. fiber math. Phys., 4. Aufl., Leipig 1897,
Bd. I, S. 378.
4) H. Lamb, a. a. 0.
J . Weyssefllroff.
6
Wir nehmen davon Abtand, einen vollstiir~digenBeweis
des Stokesschen Gesetzes hier wiedermgeben und erwiihnen
nur einige Resultate, aiif die wir uns im folgenden mebrmals
beziehen werden.
Da die Kugel bei der St o lresschen Problemstellung ihre
Lage im Raume fortwiihrend tindert, so kann die Flussigkeitsbewegung in bezug auf ruhende Achsen se1b;ctverstbdlich nicht
station& sein; man pflegt deshalb das in Frage stehende Problem durch ein analoges zu ersetzen, indem man die Kugel
als ruhend und die Fliissigkeit als im Unendlichen mit der
konstanten Geschwindigkeit - T' in der z-Richtung stromend
nnnimmt (,,ruhende Kugel in Parallelstr6mung").
Die Komponenten der Stromungsgeschwindigkeit sind dann
dnrch folgende Formeln gegebenl):
{
(7)
2)
=
und der h c k
p
(8)
.p
Jt p a ITX
+- konst.
+ +
yz z8 = Abstand vom Mittelpunkte der Kugel).
Diese Werte befriedigen die Gleichungen (2) mit den Grenzbedingungenu = v = w = Ofurr = o u n d u = -V,v = w = 0
fur T = 00, woyon nian siPh durch direktes Einsetmn iiberzeugen kann.
Wenn wir jetzt dem ganxen betrachteten System eine
~anslationsgeschwindigkeitV in der z-Richtung erteilen, so
kommt dadmch die FZussigkeit im Unendlichen zur Ruhe,
waihrend die Kugel die Geschwindigkeit P erhglt. Dadurcth
werden die Bedingungen der ursprunglichen Fragestellung
wieder hergestellt ; der entstandene Bewegungsrmstand ist
stationilr in bemg auf ein mit der Kugel eich bewegendes,
nicht aber in beeug auf ein ruhendes Koordinatensystem.
Eine Zeichnung der Stromlinien beim Problem der ruhenden
Kugel in Parallelstromung findet man in dem Ifibrbuche der
(r = ys8
I ) Vgl. H.Lamb, Phil. Mag. 21. S. 112. 1911.
O h &6
StOk%SS&
U&
Stok%~-C~~nh~~hanaschs
F w ~ I..
7
Hydrodynamik \-on Lamb, S. 686. Bus dieser Figur oder
aus der Linearitgt der Gleichungen (2) bzw. aus den Formeln (7)
ist die bemerkenswerte sgmmetrische Form der Stromlhien
vor und hinter der Kugel zu ersehen, welche von der T'ernachllissigung der Wirkung der Trtigheit herriihrt.
Endlich findet man aus (7) fur die Komponenten 6, q, t
des Rotors der Stromungsgeschwindigkeit folgende iiuhrst
einfmhe Ausdriicke:
(9)
Den Symmetrieverhiiltnissen entsprechend sind die Wirbellinien Kreise um die x-Acbse.
Wir schlieSen mit einer interessanfen Bemerkung, die
zuerst wohl von Lord Rayhigh') gemacht wurde. Sowohl
das Bewegungsmoment wie die Energie der geeamten Flussigkeit fallen in der von Stokes gegebenen Ltieung unendlich
aus. Wir miiasen uns vergegenwiktigen, daS zur vollsthdigen
Herstellung des betrachteten stationllren Bewegungsmtandee
eine unendlich lange Einwirkung der konstanten KraftF
aut muere Kugel erforderlicb wke (vgl. aber die Theorie von
Oseen, Q7a).
84
Die Voraussetmngen, die dem Stokesschen Gesetze m grunde liegen, k6nnen wir schematisch etwe folgendermahn
misemmenfassen:
I. Annahme einer inkornpressiblen, ziShen Flussigkeit im
Sinne der Hydrodynemik (vgl. 6).
11. ,,Langsamkeit" der Bewegung, d. i. Vernachlbsigung
der Triigheitsglieder in den hydrodynadchen Grundgleichungen (50 6, 7).
111. Unbegrenetbeit der im Unendlich ruhenden Fliiasig
keit (g 8).
IY. Btationker Bewegungemstand (5 9).
V. Kiigelgestalt des sich bewegenden Korpers (5 10).
VI. Verschwinden der Gleitung k s c h e n der Flussigkeit
und der Kugel (Q 11).
VII. Voraussetming, daB die Kugel ein fester Korper ist (Q 12).
1) Lord Rayleigh, Phil. Mag. 61. S. 374. 1888; Sc. Papem,
EM. IU,S. 480.
J . Weyesmhoff.
8
Fast alle diese Annahmen und Voraussetzungen gaben AnlaB
zu theoretischen und experimentellen Arbeiten, die wir jetzt
der Reihe nwh beepreohen wollen.
Q
6.' Die
dnnahme einer inkomprwiblen, a h e n Pliimigkrit
im Sinne der Hydrodynamik.
Die Annahme einer Flussigkeit im Sinne der Hydrodynamik
imphiert die Vernachlbsigung der atomaren Diskontinuittiten
des Mediums, in welchem sich die Kugel bewegt, was nur d a m
gerechtfertigt ist, wenn die Dimensionen der Kugel groS Bind
im Vergleiche zu dem Mahtabe der atomistischen Struktur
dieses Mediums. Es ergibt sich daraus fur den Radius a der
Kugel eine untere Grenze, die ja selbetversthdlich mit der
im folgenden Paragraphen enthaltenen Bedingung (12) nicht s
m tun hat. Dee Zusammenhanges wegen verlegen wir die
genauere Bespechung dieser Rage in den meiten Teil und
erledigen zuerst die rein hydrodynamische fhite des Problems.
Hier ftillt zuerst die Voraussetzung der InkompreMibilittit
auf. Zwar wird bei tropfbaren Flussigkeiten die Vernsch1Wigung ihrer Zusammendruckbarkeit sicher erlaubt sein,
aber die Behandlung eines Gases als inkompressibles Medium
kann von vornherein eiemlich bedenklich erscheinon. Eine
ntihere Betrachtung migt jedoch, daS bei ,,langsamer", etationber Bewegung die Kompressibilittit keinen merklichen, Finflus suf den Bewegungswstand ausuben kann. h h o n s h e
speaielle Rechnung konnen wir urn eine ungefhhre Vorstellung
vOn den hier obwaltenden Verhtiltnissen maohen. Da die
Kompreseibilittit zu Sttirungen AnlaS gibt, die sich mit bhallgesohwindigkeit fortpflaneen, so ist es ziemlioh einleuchtend,
daS merkliche Verdichtungen nur d a m entstehen konnen,
wenn die Kugelgeschwindigkeit mit der 8ohallgeschwindigkeit
vergleichbar wird. Die Kleinheit des maf3gebenden Verhtiltnisses dieser beiden Qeschwindigkeiten wird aber durch
die im folgenden Paragraphen angefiihrte Bedingung der
,,Langsamkeit" der Bewegung gewtihrleistet. Man ubermugt
sich leicht, daB die Geschwindigkeiten, die der Ungleichung
(12) genugen, noch bei den kleinsten in Betracht kommenden
Radien, ale verschwindend Irlein gegen die Schallgeschwindigkeit angesehen werden diirfen.
Eine genauere Durcbrechnluig dieses Problems fuhrt im
g o h n und ganzen zu den nlimlichen Resultaten, wie bereits
0. E. Meyerl) bei der Behandlung des speziellen Problems
der kleinen fkhwingungen einer Kugel in einem ziiheii Medium
(vgl. auch weiter unten $9) gefunden hat. Einige Bemerkungen,
die mit unserer Rage im Zusammenhang stehen, findet man
auch in einer Arbeit von Lord Rayleigha) iiber das Stramen
einer kompressiblen Riissigkeit um ein Hindernis. Von eineiii
etwas allgemeineren Gesichtspunkte ging Smoluchows ki8)
in seiner Abhandlung u b r die Grundgleichungen der k o dynamik BUS, wo er nicht nur die Kompressibilitiit, solidern
auch den EinfluS der Temperaturunterschiede, der Wiirme t(lnungen, WIirmeleitung usw. in den Kreis seiner Betrachtuiqp~
mg. Insbesondere berechnete er auch niiherungsweise die Einwirkung dieser verschiedenen Faktoren auf die Lileung des
Btokesscheii F'roblems und kam zu dem Resultate, daS sie
alle bei ,,langsamer'' Bewegung mi keinen mel3baren Storangen
AnlaB geben konnen.')
8 6. Me ,,Lmgaemkeit'6 der Bewe-.
Die vom hydrodynamischen Standpunkte wichtigste Ehischrlinkung des Giiltigkeitsbereiches des St o kesschen Gesetms ist meifellos die vorausgesetate ,,Langsamkeit" der
Bewegung. Wir when, daS die Erscheinungen bei zunehmender
Geschwindigkeit der Kugel immer kompliaierter werden, ,,eine
regellose wirbelnde Bewegung wird in einer Flussigkeitsschioht
nahe bei dem Korper ormugt, und eine sich ausbreitende
Schleppe von Wirbeln wird muckgelassen, wlihrend die Bewegung in einiger Entfernung seitlich verhtiltnismtiljig sanft
unC gleichformig vor sich geht".6) Die hier auftretende
,,regellos wirbelnde Bewegung" (,,Eddies"), die mit den eigentliohen Wirbeln (,,Vortices") der klassischen Hydrodynamik
nur sehr wenig eu tun hate), entshht sich bis jet& fast volletiindig der theoretischen Behandlung, und wenn eR sogw
1) 0. E.Meyer, Crelloe Journ. 76. S. 31. 1873.
2) Lord Reyleigh, Ph% Mag. 8% 6.1. 1916.
3) M. Smoluohoweki, BDE. AIL h b u , 6. 143, 1904.
4) 116. Smoluohoweki, a. a. 0. 4 28.
5) E,Lamb, Lehrbuoh der Hydrodynemik (deutsch von J. Prie-
del),
s. 736.
6 ) Vgl. A. E. H.Love, a. a. O., hmerkung 97 auf 8.77.
J. Weyssmhoff.
10
ainmal gelingen sollte, die vollstiindigen Navier -Poisson schen Differentialgleichungen (mit gleichzeitiger Beriicksichtigung der Triigheit und der Viskositiit) fur diesen Fall m
integrieren, so ist es hiichst zweifelhaft, ob dieser Ltrsung uberhaupt irgendeine physikalische Redeutung zukgme ; es scheint
rielmehr, daS beim Eintreten der ,,turbulenten Bewegung" nicht
nur die klassischen Eewegungsgleichungen der Hydrodynamik
ihre Giiltigkeit verlieren, sondern daS hier uberhaupt die
altublichen Methoden, die euf einer eindeutigen Beschreibung
der Naturvorgiinge mittels einiger weniger Differentialgleichungen bernhen, versagen und da8 wahrscheinlichkeitstheoretisohe tfberlegungen, statistische Betrachtungen, Schwankungsberechnungen u. dgl. zu Hilfe gezogen werden mussen.
JXese hhhst interessanten Fragen fallen jedoch vijllig aua dem
Rahmen der vorliegenden Abhandlung heraus ; hier miissen
wir uns nur nach einem geeigneten Kriterium umsehen, mit
dessen Hilfe wir die ,,Langsamkeit" der Rewegung mi beurteilen haben.
Zu einem solchen gelangen wir durch Vergleich der GriiJ3enordnung der vernachlkigten ,,!Cr&gheitsglieder" in den vollstibndigen Navier -Poissonschen Bewegungsgleichungen einer
elihen Fliissigkeit fa = Dichte der Fliissigkeit)
au
ON-,
ax
czv-
GCr6Benordnung: +
==IP ]
nlit der Grohnordnung der in (2) verbliebenen ,,Reibungsglieder"
Die gesuchten GroBenordnungen sind in die eckigen Klamhern
bereits eingetragen. Dss zweite Resultat ergibt sich unmittelbar
wus (8), vom ersten, das &us (7) ermittelt wurde, gibt man
eich am leichtesten Rechenschaft, wenn man bedenkt, daS
u, v, w von der GroBenordnung von V sind und ihre ersten
Ableitungen von der GroBenordnung (a V/rz) der #, q, 5 in (9).
Damit nun die Sto kessche Formel irgendwelche Anspruche
auf Richtigkeit erheben kann, miksen jedenfalls die Ausdrucke (10) in der Unigebung der Kugel (r von der Gr6Benordnimg von a) gegen die Aiisdrucke (11) verschwinden. Diem
Forderung fiihrt zu der folgenden, zuerst von Lord Reyleigh')
abgeleiteten Bedingung fur die ,,Langsamkeit" der Bewegung
beim Stokesschen Problem
In dem links stehenden Ausdrucke, den wir mit einem R bezeichnet haben, erkennen wir die sogenannte ,,Reynoldsche
Zahl", die auch fiir den Eintritt der turbulenten Bewegung
maJ3gebend ist. Doch SOU das keineswegs bedeuten, dal3 es
sich bei den ersten Abweichungen vom Stokesschen Gesetz,
die durch das Hineinspielen der vernachlksigten Trggheit
der Fliiesigkeit mstande kommt, gleich um turbulente Bewegungsmstiinde handeln soolte wie das von manchen Forschern,
clie sich des Sto kesschen Gesetms bedient haben, gelegentlich
erwiihnt wird. Es i t ubrigens fraglich, ob bei der Translationsgeschwindigkeit einer Kugel in einem zghen Medium
eine scharf definierte Grenze zwisohen der regelmiiSigen und
der turbulenten Bewegung uberhaupt vorhanden ist ; weiter
sei noch darauf hingewiesen, daB der Eintritt der Turbulene
bei Flussigkeitsstrtimung in Rohren Re ynoldschen Zahlen
von uber lo00 entspricht, wihend wir gleich when werden,
dal3 die ersten Abweichungen vom Stokessohen Gesetz sich
bereits bei R etwa gleich 0,2 bemerkbar machen. Das Erscheinen der Reynoldschen Zahl in der Ungleichung (12)
erklht sich einfach dadurch, dal3 der Verlauf der beiden Erscheinungen durch dieselben physikalischen GrSBen bedingt
wird ; der Vergleich der Dimensionen der ,,Tr&gheitsglieder"
und der ,,Reibungsglieder" (Anwendung des Prinzips der
,,mechanischen hnlichkeit") fuhrt unmittelbar zu dem Resultate, daS die Giiltigkeit der Stokesschen Formel, ebenso
wie der Eintritt der turbulenten Bewegung, wesentlich nur
von dem Werte der Reynoldschen Zahl abhbgig sein kann.
Die tfberlegungen, mit deren Hilfe wir die Bedingung (12)
abgeleitet haben, scheinen aber etwas mehr 81s Mode Dimensionsbetrachtungen m sein, da sie uns zu dem &hld gefuhrt
haben, daB 80 fur die Giiltigkeit der Stokesschen Formel
notwendig ist, dal3 R vie1 kleiner als die Einheit sei. Dieees
1) Lord Regleigh, Phil. Mag. 88.
a. 0. 8.41.
Lorentz, a.
S. 366. 1893; vgl. auch H.A.
12
J. Weyesenhoff.
Resultat sagt aber nur sehr wenig Bus. Es w k e vielmehr die
Beantwortung der folgenden Frage erwunscht : Unterhdb
welcher G r e m mull R Iiegen, damit man bei der Anwendung
der Stokesschen Formel sicher sein kann, keine grohren
Fehler als so und so vie1 Prozent rm begehen? Ee ist bis
heutzutage - von einem diesberuglichen Versuche, den wir
am Ende des folgenden Paragraphen besprechen werden, abgesehen - nicht gelungen, der Theorie derartige Auskunfte
abzuzwingen; mijglicherweise kann diese Frege erst durch
die Auflbung der vollsttlndigen Navier-Poissonschen Gleichungen vollkommen streng beantwortet werden. Hier ist
eine Bemerkung am Platze, welche die Mathematiker nicht
mude werden, den Physikern zu wiederholen: Um aus den
Fehlern einer nur angeniihert gultigen Differentialgleichung,
insbesondere wenn es sich um eine partielle Differentialgleichung handelt, auf die Fehler des Integrals dieser Gleichung
schliebn zu konnen, ist eine besondere Untersuchung notwendig; man kann einfache Beispiele angeben, wo die Anwesenheit beliebig kleiner Zusatzglieder in der Differentialgleichung den Verlauf der Emhehung, die duroh diese
Gleichung beschrieben wird, vollstbdig veriindert .I)
Die Antwort auf die eben aufgeworfene Frage, der die
Theorie bis heute machtlos gegenuber steht, kann aber durch
unmittelbare T%rsuche erhalten werden. Zuerst wollen wir
noch der Ungleichung (12) eine andere Form geben, die fur
den experhentell wichtigsten Fall, daS die iiuhre Kraft
sich auf die f3chwerkraft reduziert, besonders geeignet erscheint. Die Fallgeschwindigkeit V ist in diesem Falle mittels
der Beziehung (6') lnit dem Kugelradius w r h u p f t und fur
eine bestimmte Flussigkeit und ein bstimmtes Kugelmaterial
hengt die Anwendbarkeit des Stokessohen Gesetzes nur von
dem Kugelradius ab; mit wachsender Groh der Kugel hart
die Gultigkeit dieses Gesetzes alImWch auf. Fa ist dann
einmeckmtlllig, einen sogenannten ,,kritischen Radius"
zufuhrena), fur welchen das Verhtiltnis Q U V / p gerade gleich
eins wird. Mit Hilfe der Beziehung (6') finden wir:
1) Vgl. z. B. E. Bore], Introduotion gbmetrique L quelques
thbries phys., Note IV.
2) Naoh H.S. Allen, Phil. Mag. 60. 8. 833. 1900.
und
(143
Die Bedinping (12) k a m nun folgendermabn geschrieben
werden :
(12')
a<&.
Bei seinen Untersuchungen uber fallende Metallkugeln in
vemhiedenen Olen fand nun Arnold1) (vgl. auch 55 7b, 8
und 153) daa Stokessche Gesetz fur
(15')
a < 0,6a
bestiitigt. Bei etwae grobren Radien beobachfete er merkliche Abweichungen davon. Die Genauigkeit seiner Vereuche
Die Ungleichung (16') oder
betrug etwa l/*-lYw
k6nnen wir also als die experimentell gefundene Bedingung
bb
der Gultigkeit des Stokesschen Gesetme mit einer
1-prozentigen Genauigkeit ansehen. Dieser Befund stimmt
auch gut mit den Experimenten von Zeleny und Mc Keehan')
an in Luft fallenden Kugelchen uberein. (Nur die Versuche
an naturlichen Sporen machen eine Ausnahme, vgl. weihr
unten 8 10.)
Zur Orientierung uber die in Betracht kommenden Grobnordnungen geben wir zwei BeispieIe von ,,bitkchen Radien"
an: Fiir Kugeln vom spezifischen Gewicht 2 in Wasser wird
u etwa gleich 0,011 cm; fur Kugeln vom spezifischen Gewicht 1
in Luft 0,0048 cm. Wir werden so auf die bekannte Tatsache
gefuhrt, daS wir kein Recht haben, die Stokessche Formel
auf gewonhliche Regentropfen amwenden, wohl aber auf
genugend kleine Nebeltr6pfchenDwie sie z. B. in den klaesischen Experimenten zur Beetimmung der elektrischen Hementarladung von J. J. Thomson und H. A. Wilson gebraucht wurden.
1) H. D. Arnold, Phil. M8g.B. 8.766. 1911.
2) J. Zelenyu. L.W.MoKechen, Phya.Zeiteohr.11. 6.78. 1911.
4. weySS~?K)ff.
14
Q 7. Die theorethohen Untemohungen von Oeeen.
a) Um eu der Bedingung (12) zu gelangen, haben wir
einfach d a Verh&ltnisder GroDenordnungen von (10) und (11)
in der Umgebung der Kugel gebildet. Fur beliebige z ist aber
dieses Verhiiltnis gleich u r V / p und wbhst mit r ins Unendliche, wie klein auch die Geschwindigkeit V sein mag.
Von dieser Bemerkung ging Oseenl) aus in einer Arbeit, die
er selbst folgendermaflenzusammenfaSt: ,,Bei der Ton Stokes
gegebenen Ableitung der sogenannten St o ke s schen Formel
werden Glieder vernachlbsigt, welche in grol3er Entfernmg
von der Kugel ausschlaggebend sind. Durch diesen Umstand
wird es bedingt, daD der von Herrn Whiteheada) gemachte
Versuch, die von Stokes gegebenen Formeln fur die duroh
die Translation der Kugel hervorgerufene Bewegung einer
Flussigkeit durch Beruckaichtigung der quadratischen Glieder
m verbessern, scheitern muljte. Um dern genannten tfbelstand abzuhelfen, mulj man auch in erster Annilherung in
den Na vierschen Differentialgleichungen gewisse mit dem
Faktor V behaffete Glieder beibehalten. Zu dem so erhaltenen
linearen Systeme wurden die verallgemeinerten Greenschen
Formeln aufgestellt Mittels der so gewonnenen Hilfsmittel
wurde die durch die genugend langsame Translation einer
Kugel hervorgerufene Bewegung einer Flussigkeit unbrsucht .
fiese Bewegung weicht in hinreichender Entfehung von der
Kugel selbt bei den kleinsten Werten von V betrkhtlich
von der Stokesschen Bewegung ab. Die Stokessche Formel
fiir den Widerstand gegen die Bewegung der Kugel erleidet
dadurch keinen Eintrag in ihrer Gultigkeit."
Die Arbeit von Oseen wurde von Lamb*) in eleganter
Weise kommentiert ; gleichzeitig gab auch L a m b eine Vie1
einfachere Ableitung der Oseenschen Formeln. Die verhderte Berechnungsmethode von Omen besteht nach Lam b
in einer teiltoeisert Beruckaichtigung der Wirkung der TrQheit
der Fliiasigkeit. Dadurch fiillt der errechnete Bewegungsmstand in bezug auf die Aquatorebene (s= 0 ) nicht mebr
symmetrisch aus; in g(iJ3eren Entfernungen von der Kugel
.
1) C. W. Oseen, Arkiv for Mat. Aetr, och Fysik 6. Nr. 29. 1910;
7. Nr. 9-12. 1911.
2) J. B. Whitehead, Quart. Journ. of Math. %
S.78.
I
.1888.
3) H.Lamb, Phil. Mag. 81. S. 112. 1911.
weicht er betrbhtlich von demjenigen der St o ke s scheii
Theorie ab, geht aber in der Umgebung der Kugel in diesen
uber und ergibt deshalb dieselbe Formel fur den Widerstandskoeffizienten. Aus diesem Grunde kommt der Oseenschen
Untersuchung nur rein theoret-isches Interesse zu, um so niehr
ale auch die korrigierten Ausdrucke fur die Stromungskomponenten (die nebenbei bemerkt vie1 komplizierter als die
S t o kesschen sind) physikalisch keinen merklichen Fortschritt
bedeuten: Es ist m a r richtig, da13 mit zunehmender Entfernung von der Kugel die bei der Stokesschen Losung vernachlbsigten Trtigheitsglieder groB im Vergleich zu den beibehaltenen Reibungsgliedern werden, aber wtihrend das Verhiiltnis der Triigheitsglieder zu den Reibungsgliedern wie die
erste Potenz des Radiusvektors mit diesein ins Unendliche
wiichst, verschwinden diese Glieder selbt wie l/r* bzw. l / P .
Die Oseensche Korrektion bezieht sich also auf Gebiete,
wo die Stromung (oder die Abweichungen voii der ungestorten
ParallelstrSmung beim Problem der ,,ruhenden Kugel in Parallelstromung") sowieso wegen ihrer Kleinheit physikalisch
nicht mehr in Betracht kommt. Immerhin i t es beruhigend,
m erfahren, daS fiir genugend kleine Geschwindigkeiten die
Sto kessche Theorie den ganzen Stromungsverlauf, soweit
diem uberhaupt. noch merklich ist, richtig wiedergibt, unbeachtet der Tatsache, da13 diese 5eorie auf Annahmen fuSt,
die fur sehr grab Entfernungen von der Kugel sicher nicht
erfullt sind.
Was den Zussmmenhang der Oseenschen Theorie lnit
der Lorent zschen Methode der Berechnung des Einnueses
fester Wlnde betrifft, vergleiche man den SchluS des folgendeii
Paragraphen.
b) AuBer dem o benerwlhnten Versuche von Whit e he a d ,
der, wie Oseen gezeigt hat, an der Unzularnglichkeit der
Stokesschen Lcisung fur sehr groh Entfernungen von der
Kugel scheiterte, wurde dieselbe Aufgabe auch von Noe t h e r l)
in Angriff genommen. Da der betrachtete Vorgang der gleichmiiSigen Translation einer Kugel in einem ztihen Mediuni,
Wie bereits besprochen, wesentlich nur von dem Werte der
Reynoldschen Zahl R = a u V/c( abhbgt, und da die
1) F. Noether, Zeitsohr.
far Msth.
U.
Phys. 62. S. 1. 1913.
J . Weyssmhoff.
16
St o ke smhe Formel den Grenzfall der allgemein gultigen
Widerstandsformel fiir verschwindende Re ynol dsche Zahlen
darstellt, so konnen wir fur die clurch Berucksichtigung der
,,Triigheitsglieder" korrigierte St o kessche Formel die folgende
Reihenentwicklung nach steigenden Potemn von R
(16)
W
= 6 f i (1
~ +Al
R + A 2 Ra
+. . .)
ansetzen; in den Untersuchungen von w h i t e h e a d , Noether
nnd einer neueren Arbeit \-on Oseenl) handelte es sich im
wesentlichen um die Berechnung des Koeffizienten Al.
Noether gibt merst eine Abllnderung der Stokesschen
Problemstellung, mittels welcher man such die von Oseen,
vermerkte Schwierigkeit umgehen kann, ohm die Gleichung (2)
fur ,,langsame" Bewegung aufgeben zu miissen. Dam braucht
man nur an Stelle der ,,ruhenden Kugel in Padlelstr6mung"
eine Stromung zu betrachten, die durch eine in groBer Entfernung von der Kugel sich befindende Quelle und eine auf
der entgegengesetzten Seite in gleicher Entfernung sich befindende Senke hervorgerufen wird; in der Nghe der Kugel
fallt diese Stromung mit der Stokesschen praktisch zusa,mmen, vorausgesetzt naturlich, daS die Entfernung der
Quellen hinreichend groB gegeniiber dem Kuglradius ist.
b i d e r k6nnen die weiteren Ausfuhrungen von Noe t her ,
wie Oseenl) in einer besonderen Abhandlung gem* hat,
nicht mehr ale einwandfrei bezeichnet werden, was um so
mehr zu bedauern ist, als sie zu sehr anschaulichtln und recht
plausiblen Schlussen fihren und in mancher Beziehung mit
experimentellen Ergebnissen in besserer ffbereinstimmung zu
stehen scheinen, wie die entsprechenden korrigierten Ausdriicke von Oseen.
So findet Noether, daS ,,die Stokessche Formel Gultigkeit hat, bis auf Zusatzglieder, deren Yerhtiltnis zum ursprunglichen quadratisch in der Reynoldschen Zahl R = a u V / p
ist", wZlhrend Oseen fur den Koeffizienten A, nicht den Wert
Null, wie Noether, sondern */* ausrechnet; das fuhrt zu dem
Niiherungsausdrucke
W = 6a II:p (1 +
(1I )
5 cr)
P
1) C. W. Oseen, Arkiv nsw. 9. Nr. 16. 1913.
fiir die korrigierte Stokessche Formel. Dieser steht aber
im offensichtlichen Widerspruch mit den Versuchen von
Arnold (vgl. oben § 6), indem der experimentell ermittelte
Gultigkeitsbereich der ursprunglichen St o ke sschen Formel
sich merklich grobr erweist als der aus (17)folgende. Um
die Arnoldschen Resultate bequem mit (17) vergleichen rm
konnen, macht man am besten von dem bereits eingefuhrten
,,kritischen Radius" Gebrauch, wodurch (17)folgende Gestalt
annimmt :
(173
Der direkte Vergleich mit den von Arnold angegebnen
Kurven fiillt ganz mullgunsten diesee Ausdrucks am. Bereits
bei a; = 0,3Z verlangt die Oseensche Formel (17') eine einprozentige Korrektion des Stokesschen Gesetzes; die Genauigkeit der Arnol dschen Messungen betrug aber etwa
1/4Proz. und es muBten also nach (17') fur alle Kugeln von
gr68srem Radius Wie 0,s B mit Sicherheit feststellbare Abweichungen vom Stokesschen Gesetz auftreten, was, wie
bereits erwiihnt [vgl. Ungleichung (W)]
keineswegs der Fall
war. Erst bei Kugelradien, die 0,6-0,7 des kritischen Radius
betrugen, traten die ersten Amichen des Versagens des
Stokesschen Ctesetzes auf; fur a/n=O,S betrBgt aber das
Korrektionsglied in (17') nicht weniger als 8% des ursprunglichen Wertes. Auch in den Messungen von Zeleny und
Mo Keehanl) an fallenden Wachskugelchen in Luft, deren
Genauigkeit den Arnol dschen Messungen etwas nachsteht ,
kam die Oseensche Korrektion gar nicht mm Vorschein.
Die Versuche von Arnold wmden in zylindriechen Gefill3en ausgefuhrt, und der EinfluS der Gefiil3w8nde m d e
mit Hilfe der Lorent z -La den bu r g schen Korrektiomformel
[vgl. 0 8, Gleichung (lo)] ermittelt. Die Richtigkeit dieser
hrrektion wurde von Ladenburg') selbst fur a/r = 0,Ol
- 0,09 (a = Kugelradius, r = Zylinderradius) und von Arnold
bis 0,l bestiitigt. Fur Kugeln, deren Durchmesser ein Zehntel
des Zylinderdurchmessers uberstieg, beobachtete m a r Arnold
eine Abnahme der Fallgeschwindigkeit, die gr6Ber war, als
1) J. Zeleny und L. W. Mo Keehm, 8. a. 0 .
2) R. L e d e n b u r g , h . d. Phys. SS. 8.287.1007;a 8.447.1907.
Aunrlm dra Phydk. IV. Folge. 6a.
2
18
J.
Weyssenhoff.
die aus der Ladenburgschen Korrektionsformel folgende ;
durch Vergleich der Fallgeschwindigkeiten in vemhieden
weiten Rohren lassen sich jedoch - Niiheres in der Originalabhandlung von Arnold - die Abweichungen infolge des
Versagens der Ladenburgschen Korrektion und infolge des
Hineinspielens der Triigheit der Flussigkeit ziemlich sicher
voneinander unterscheiden, und es scheint, daB man auf diesem
Wege zu keiner brauchbaren E r k l h n g der Unstimmigkeit der
Formel (17) mit der Erfahrung gelangen kann. Auch die
folgende Bemerkung kann das nicht tun. Der Ausdruck (17)
wurde streng genommen nur fur eine unendlich ausgedehnte
Flussigkeit abgeleitet, und d s die Triigheit der Flussigkeit
den Bewegungszustand hauptsilchlich in gr6Eeren Entfernungen
von der Kugel beeinfluflt (vgl. $ 7 , am Anfang), so wiire es
denkbar, daB die VergroBerung des Widerstandskoeffizienten
durch die Triigheit bei Anwesenheit fester W b d e Rleiner
wird als bei einer unendlich ausgedehnten Flussigkeit, und
daB es deshalb nicht erlaubt bt, die Abweichungen voni
Stokesschen Gesetz einfach als Summe der Korrektionen
(17) und (20) m berechnen. Doch kann man auf den von
Arnold angegebenen Kurven auch Punkte sufsuchen, wo
die beobachtete Abweichung vom Stokesschen Gesetz auch
ohne Anbringen der Laden burgschen Korrektion unterhalb
des von (17) geforderten Wertes lie@; beim Festhalten 8n
der Formel (17) wurde diems Resultat auf eine Verkleherung
des Widerstandes durch die Einfiihrung der Wlsnde hinweiaen,
was wohl gbzlich ausgeschlossen erscheint.
Wir haben uns bei dieser F'rage etwas liinger aufgehalten,
weil es sich hier urn die einzige Unstimmigkeit zwischen Theorie
und Experiment handelt, die uns im Laufe der vorliegenden
Besprwhung aufgestoflen ist, und die durch Berufung auf
snderweitig bekannte Tatsachen nicht beseitigt werden konnte.
I% Will fast scheben, als ob in den langwierigen und etwas
uni;bersichtlichen Rechnungen von Oseen irgendein Versehen
iintergelaufen wke, und als ob der Koeffizient der linearen
Glieder in (16) sich dennoch als Null heraEsstellen sollte, wie
in der unkorrigierten Arbeit \-on Noether. Vielleicht lie&
sich die einfache und anschauliche Rechnungsmethode von
Noether derart vervollkommnen, daB man sio dadurch von
dem von Osee n erhobenen Einwand freimachen kann ?
Ubar dis Sto7cessche und Slokes-Cu&ghanzschs
Formel. I .
19
Die weitere theoretische und experimentelle Verfolgung
diem Kontroverse wisre jedenfalls von Interem.
g 8. IdfnfluB der OeEtBwbde.
Die Vorauseetzung einer unendlich ausgedehnten Flussigkeit stellt selbstverstbdlich nur einen Grenzfd dar, der bei
experhentellen Prufungen dea St o kesschen Gesetzes n b
streng erfiillt sein kann. Es erwbhst nun der Theorie die
Aufgabe, den EinnuS verschieden gestalteter GefiiBwhde,
mindestens niiherungsweise zu berechnen, was hider bis jet&
trotz des allgemeinen dam von Lorentz (vgl. unten) angegebenen Niiherungsverfehrens, nur in mei Spezia,lf&llen gelungen ist. Das experimentell so wichtige Problem der Beeinflussung der langsamen Bewegung von Kugeln durch arOei
parallele, ebene W b d e ist theoretisch noch nicht geliist worden.
Jedenfalls genugt aber der e k e der ausgerechneten Spezidfiille - die Bewegung 1bgs der Achse eines Kreis5ylindera -,
urn das Stokessche Gesetz einer experimentellen Prufung
untemiehen zu kdnnen, und der meite - die Eeeidussung
def' Bewegung durch & ebene Wand - kann mindestens
dam verwendet werden, urn den EinfluD der GefiiSwbde
abmschlitzen und in manchen Fidlen als vernachlllseie;br w
erkennen.
Die eben erwiihnte Lorentzsche Methodel) besteht in
einer schrittweisen L&uag des betrachteten Problems durch
Superposition von Eewegungszustiinden, die m a r jedesmal
die Gleichungen (2) fur die ,,langsome" Eewegung einer zlihen
Fliiesigkeit st-rengerfullen, die gegebenen Randwertbedingungen
aber nur teilweise befriedigen. Die sukzessive Bestimmung
der Strdmung, die durch eine gleichfdrmige Translation einer
Kugel in einer von festen Wtinden eingeschlossenen Flussigkeit
hervorgerufen wird, stellt sich etwa fo!gendermaSen dar: Ah
erste N6heruag eimmt man die aus der Stokesschen Theorie
bekannte Strtimung einer unendlich ausgedehnten Flussigkeit
um eine sich translatorisch bewegende Kugel. Die m i t e
Niiherung ergibt sich durch SuperFosition der ersten mit der
,,reflektierten" Striimung. Diem unterliegt der Randwertbedingung, daS die Geschwindigkeiten an der von den festen
Wbden eingenommenen Fltiche entgegengesetzt gleich den1) A. H.Lorente,
&. 8 .
0.
2*
20
J . Weyssmhff.
j e ~ g e ndes emten Bewegungsmstandes sein sollen. Im ubrigen
ist die ,,reflektierte" Stromung wiederum so berechnet, als
ob die Kugel nicht da wiire und die Flussigkeit sich bis ins
Unendliche erstreoken wurde. Die Berechtigung dieser Superposition ist durch die Linearitiit der zugrunde gelegten Gleichungen (2) bedingt. Wir sehen, da5 die ,,reflektierte" Stromung
derart gewiihlt ist, daB sie die ,,direkte" an der WandoberfliSche gerade aufhebt, wodurch die Randwertbedingungen an
dieser FliSche erfullt werden (u = v = w = 0, da die Gleitung
gleich Null vorausgesetzt wird); an der Oberflbhe der beweglichen Kugel ist das abor koineswegs der Fall, denn dort erfullt
bereits die ,,direkte" Stromung fur sich die Randwertbedingungen umeres Problems (u = V, w = w = 0) und die hinzukommenden Geschwindigkeitskomponenten der ,,reflektierten"
Strtimung sind dort im allgeemeinen von Null verschieden.
Das eben geschilderte Niiherungsverfahren kann aber weitel
fortgesetzt werden; ale dritte Niiherung haben wir die Superposition der meiten mit der von der Kugel ,,refhktierten"
Stromung zu nebmen, d a m wiederum die ,,Zuruckwerfung"
von der festen Wand urn.
Die Bnfgabe wird wesentlich erleichtert, wenn die Kugel
als unendlich klein angesehen werden darf. Dam sind such
die Geschwindigkeiten, die diese Kugel in endlicher Entfernung hervorruft, unendlich klein und ebenso alle die Geschwindigkeiten,welche die ,,reflektierte" Stromung ausmaohen.
Ea genugt dam, bereits bei der meiten Niiherung stehen zu
bleiben. Wie die Geschwindigkeiten, so setzt sich such der
Widerstand, den die Kugel erleidet, additiv aus demjenigen
der direkten (Widerstand = 6 n p a V) und der reflektierten
msemmen. Wir brauchen
Strtimung (Widerstand = 6 n p a 7,)
nur die Gescbwindigkeit V, der reflektierten Btriimung am
Orte dee Mittelpunktea der Kugel zu berechnen; da wir diese
Striimung in der u d t t e l b a r e n Umgebung der unendlich
Mehen Kugel 81s Parallelstromung auffassen konnen, berechnen wir die Kraft, die die ,,reflektierte" Stromung auf
uZlsere Kugel ausubt, mit Rilfe der gewiibnlichen Stokeswhen Formel m 632 p a Vl und daraue den gesuchten Widerstendskoeffizienten zu 6 n p a ( 1 + VJV). In der letzten
f)berlegung haben wir etillschweigend engenommen, daS die
Richtung der Geschwindigkeit der ,,reflektiehn" Bewegung
Ober die Stolcessclie und Stobs-Cun&yhamsche Formel. I .
21
mit der Richtung der ursprunglichen Bewegung zusammenfLllt. Im allgemeinen, d. h. bei beliebig gestslteten Wllsden,
braucht das aber keineswegs der Fall zu aein. Wir mussen
d a m in der eben hingeschriebenen Formel V, durch die Komponente der ,,Zusatzgesohwindigkeit" in der Richtung der
ursprunglichen Geschwindigkeit ersetzen und auberdem die
Entstehung einer, durch die Anwesenheit der W h d e bedingten, der Geschwindigkeit proportionalen, transversalen
Kraft auf die Kugel in Eetracht ziehen. Bewegt sich eine
Kugel im Abstande d von einer ebenen Wand parallel zu
derselben, so bt eine solche Kraft, wie Stoc kl) nachgewiesen
hat, sogar bei Berucksichtigung der Glieder vierter Ordnung
in a/d nicht vorhanden; die Kugel wird infolge ihrer Bewegung von der Wand weder angezogen noch abgestoben,
ebensowenig erleidet sie einen Drehimpuls.
Die Anwendung der Lorentzschen Methode auf konkrete Probleme st6Bt aber gewijhnlich auf grobe rechnerisohe
Schwierigkeiten, denn die Bestimmung der ,,reflektierten"
Bewegung erfordert die Berechnung eines Integrals der Differentialgleichungen (2) mit vorgegebenen Geschwindigkeitskomponenten an einer vorgegebenen Flkhe, eine Aufgabe,
fur deren Behandlung mar augemeine Methoden vorhanden
sind (vgl. 8 a), wogegen aber die explizite Durchfuhrung der
Rechnung nur in einigen speziell einfachen F&llen bekannt bt.
Fiir eine Kugel ist die Lbung als Entwicklung in eine Reihe
von r&udichen Kugelfunktionen von Oberbec k und Lamb')
gegeben worden; ebenso l&Stsie sich fur einen unendlich langen
Kreiszylinder mit Hilfe der Besselschen Funktionen behandeln.8) Fur eine unendlich ausgedehnte Ebene hat
L o r e n t s 3 einen Kunstgriff angegeben, wie man direkt aus
einer beliebigen ,,direkten" Str6mung die zugehdrige ,,reflektierte" ausrechnen kann.
Das Lorent zsche Anniiherungaverfahren ist also nur
dann anwendbar, wenn die explizite Berechnung der ,,reflektierten" Stromung, sowohl von dem bewegten Korper (der
I<ugel), als auch von den festen Wiinden msglich bt. Das
1) J. Stock, A m . Ak. Krakau, S. 18, 1911.
2) Vgl. H. Lamb, Lehrb.d. Rydrodynamik, 61 323-326,336-336.
3) R. Ladenburg, Ann. d. Phys. B. 8.447. 1907.
4 ) H. A. Lorentx, a. a. 0.
J . Weyssmhoff.
22
ist z. B. nach dem oben Cfesagten fiir dw bereits mehrfach
emsihnte Problem der Bewegung einer Kugel in einer Ton
einer festen, ebenen Wand begremiten, zehen Fliissigkeit der
Fall, wo die Berechnung der ,,Zuriickwerfung" von der Wand
mit Hilfe des Lorentrschen Kunstgriffes und die ,,Zuriickwerfung" von der Kugel mit Hilfe der von Lamb angegebenen
Reihenentwicklung ausgefuhrt werden kann. Lorent z fand
derart fur den Widerstandskoeffizienteneiner Kugel, die sich
senkreoht zu einer ebenen Wand in der Entfernungd von
derselben bewegt
( X)
(18)
I p s 6 1 1 / ~1~+ - -
und analog fur parallele Bewegung
Stoc kl) set& im Falle der Parallelbewegung diese Bereohnung
bis zu den Gliedern vierter Orbung in a/d fort, und erhielt
Mit Beibehaltung der quadratischen Glieder in ./a k6men
wir also sagen, dab die Anwesenheit einer ebenen, zur Tramlationsrichtung der Kugel parallelen Wand den Widerstands
koeffieienten in der Stokesschen Formel im VerWtnis 1 zu
I - - -a a vergr68ert.
16 d
Ebenso sind nach dem oben Gesagten elle ,,Zuruckwerfungen" bei der analogen Behandlung des Problems der
Bewegung einer Kugel l&ngs der Acbe einw Kreiszylinders
(vom Radius Y) explizite berechenbar. Ladenburg') findet
fiir den Widerstandskoeffizientenin diesem Felle
-
Die Erggnsung dieser Formel durch Beriickeiohtigung
der quadratkchen Glieder in a/?, die nach dem oben Qesagten e k e blob Rechenarbeit darstellt, were aus mehreren
Grunden erwunscht. Arnold8) beobachtete bei seinen
1) J. [Jtook, 8 . 8 . 0.
2) R. Ledenburg, e.8. 0.
3)
E.D. Arnold,
a. a. 0.
h t
a&
Stokessc7ce und Stokes-Cu7tltinghanmb
FOWW~.
I.
as
Experhenten an fallenden Metallkugelchen in olgefullten
Zylindergefiihn Abweichungen von der Laden burgsohen
I~orrektionsformel, die sicherlich durch die Vernachillssigung der quadratischen Glieder in (20) zu erklkon sind.
Auch wurde man durch diese Fortsetzung der Reihenentwicklung (20) instand gesetzt, die experimentell gefundenen Abweichungen vom Stokesschen Gesetz infolge des tfberschreitens des Bereiches der ,Jangsamen" Bewegung besser
von denjenigen, die bei sehr engen Gefiihn hervortreten,
auseinander eu halten, was fur die am fhhlusse des vorigen
Paragraphen durchgefuhrte Diskussion von l3elang ist.
Auf Vie1 griiSere Schwierigkeiten stirfit man bei der
theoretiwhen Behandlung den Problems der lengsamen Bewegung einer Kugel in einer &hen F'liissigkeit, die von mOgi
festen, ebenen WiSnden ehgeschlossen ist. Eine d i r e b Berechnung der ,,Zuruckwerfung" Ton den beiden Ebenen ziisammen i t hier nicht bekannt, dm Lorentzsche I(unstgriff, der nur die Geschwindigkeitskomponenten an eher
Ebene a d einmal aufzuheben gestattet, ist nicht anwendbar.
Laden burg 1) hat versucht, durch wiederholte Anwendung
diems l(unstgriffes zum Ziele zu kommen, doch auch dieses
Verfahren scheirit fiir die Lasung dieses Problems nicht s e h
geeignet zu sein. Denn die Brauchbarbit der Lorentsschen
Methode hilngt wesentlich mit der Kleinheit der Kugel im
Wxhiiltnis zu ihrer Entferuung von den Wbden zusammen,
welche Kleinheit das schnelle A bneben jeder darauffolgenden
,,Zuriiokwerfung" im Vergleich mit der vormgehenden gewffhrleistet. Aber wenn wir die von einer unendlich ausgedehnten Ebene ,,reflektierte" Stromung an der entgegengesetzhn, ebenfalls unendlich ausgedehten Ebene ,,reflektieren", so ist kein Grund vorhanden, warum die meite
,,Zuruckwerfung" aus wesentlich kleineren Geschwindigkeiten
bestehen sollte als die erste. In der Tat nehmen die abwechselnd positiven und negativen Glieder, die Laden burg
fur den Widerstandskoefnten erhiilt, der absoluten Gr6b
nach nur sehr langsam ab. Wenn wir auoh so vide diem
,,Zuruckwerfungen" bestimmt hiitten, daJ3 d e weiteren bereits
mit Recht vernachlbigt werden ktinnten, so hiitte doch die
--1) It. Ladenburg, a. a. 0.
24
J . Weyssenhofl.
Superposition aUer berechneter ,,Zuruckwerfungen" erst das
ergeben, was wir in der allgemeinen Beschreibung der Lorent z schen Methode als ,,erst0 reflektierte Strtimung" beeeichnet
haben: eine Stromung, die zu der gewohnlichen Bto kesschen
Stromung addiert, deren Geschwindigkeitskomponenten an
beiden Ebenen zusammen gerade aufhebt. D a m k&me erst
die Eerechnung der ,,meiten Nlherung" (quadratische Glieder
in a/d) an die Reihe usw.
Das eben Gesagte soll aber keineswegs einen Einwand
gegen die Landenburgsche Arbeit sein, denn bei seinen
Versuchen. war diese Korrektion vernachlibsigbar klein, da
sie nur notwendig war, urn die Anwesenheit der beiden Deckel
seiner zylindrischen C3eflSe zu beriicksichtigen (u/l etwa gleich
0,005). Es soll niir davor gewarnt werden, die von Ladenburg angegebne Korrektionsformel [vgl. (S')]
(1 = halbe Entfernung zwischen den-beiden parallelen, ebenen
Jkckeln) falsch zu interpretieren: Der erste Klammerausdruck
im Nenner tr&t der VergroSerung des Widerstandes durch
die Zylinderwand Rechnung, und stellt das nach der Lorenteschen Methode berechnete erste Glied einer Entwicklung nech
aufsteigenden Potenmen von U / P dar. Der meite Klammerausdruck hat aber eine davon ziemlich verschiedene Bedeutung; denn erstens ist die Beeinflbssung der Bewegung
der fallenden Xugel durch die beiden Deckel mit dem Verh&iltnis der Entfernungen der Kugel von diesen Deckeln veriinderlich und der Koeffizient 3,s stellt einen Mittelwert fur
die in den Experimenten von Ladenburg in Betracht kommenden Entfernungen (etwa 1 :9 bis 9 : 1) dar und zweitens
ist nach dem oben Oesagten die ganm Berechnung dieses
Tiorrektionsfnktors bei weiteni nicht so einwandfrei, wie die
des vorigen.
Die heinflussung der Bewegung von Teilchen durch
zwei parallele Ebenen (ObjekttrQer und Deckglihhen) spielt
eine so wichtige Rolle bei vewchiedenen experimentellenUntersubhungen, dab es jedenfdls der Muhe wert w&, dieses Problem auf die eine oder andere Weise theoretisch m 1Wn.
Man kann ferner iwrmchen, eine empirische Formel dafiir
fiber die Stoksssche urul Stokes-Cunnin&amsche F m l . I .
'15
adzustellen, was auch von Westgrenl) gemacht worden ist.
Seine Experimente, die nach einer &&erst eleganten Methode
ausgefuhrt wurden, bezeichnet er aber selbst als nur vorIiiufige Orientierung und ihre Genauigkeit durfte etwa 10 Proz.
nicht ubersteigen (Sttirungen infolge Konvektionsstromungen,
Zeitmessung mit einer gewohnlichen Stoppuhr usw.). Fur
den Widerstandskoeffizienten in der Mitte zwischen den beiden
Platten stellte West gren die folgende empirische Formel auf
Z die halbe Entfernung der beiden Platten bedeutet.
Es f&Ut hier das Fehlen des linearen Gliedes in a/I auf; man
worin
hhtte eher in Analogie mit der entsprechenden Formel (19)
eine Reihenentwicklung
( +
$-+...)
W = 6 w p a 1 Al ++ 4
(211
eiwartet, mit einem von Null verschiedenen Koeffizienten A,.
[Ek handelt sich ubrigens wohlgemerkt um den Widerstandskoeffizienten in der Mitte zwbhen den beiden Platten; im
rtllgemeinen Falle muSte eine entsprechend kompliziertere
Rsihenentwicklung an Stelle von (21') treten.] Man kann
sogar in Anlehnung an die Lorentzsche Methode von vornherein etwas uber die GrdSe des I(oeffizienten A, aussagen:
Er mu6 zwischen dem Werte s/ls, der fur eine Platte gilt und
dem Doppelten dieses Wertes liegen, denn die von jeder Platte
,,reflektierte" Stromung wird jedenfalls durch die Einfuhrung
der anderen Platte (auf welcher sie verschwinden muS) derart
in ihrer Ausbildung gestort, daS sie eine kleinere Geschwindigkeit am Orte des Mittelpunktes der Kugel besitzen wird. Eine
ni-ihere Betrachtung der Westgrenschen Resultate migt auch,
daS sie der Formel (21') zum mindesten nicht widersprechen.
Die von Westgren gemessenen Fallzeiten fur gleichgrob
Fallstrecken seien mit z bemichnet, dann sind die Werte von
a* z [vgl. Formel (S')] den Widerstandskoeffizienten offenber
proportional; wenn wir a*z als Funktion von a/Z aufaeichnen,
so konnen wir uns davon leicht iiberzeagen, daS die Tangente
keineswegs die Tendem hat, fiir verschwindende Radien der
a-Achse parallel zii werden, wie es die Formel (21) wrla.ngen
1) A. WeRtpren, Ann. d. PhyE. 69. S. 308. 1917.
J . Weyssenhoff.
26
wurde. Eine sichere Ehtscheidung kann naoh den vorliegenden
Messungen nicht getroffen werden, weil die experimentellen
Kurven zu weit von der aaa-Achse weg abbrechen (zu wenig
Messungen fur kleine a/Z); eine Berechnung der Schnittpunkte
mit der 0%a Achse nach dem gewohnlichen St o ke s schen
Gesetz, welches an dieser Achse gelten muS, mit Eerucksichtigung der anderweitig bestimmten Werte fur die Dichte
der Teilchen und die h e r e Reibung der Fallfliissigkeit (Wasser)
fuhrt ebenso zu gane ungeeigneten Resultaten; offenbar ist die
Dichte der Gummigutt- und Mastixteilchen wegen der zufiilligen Verbderlichkeit yon Teilchen zu Teilchen nicht genau
genug bestimmbar. Eine rohe Schiitzung des Koeffizienten A,
kann folgendermal3en erhalten werden: Wir beriicksichtigen
nur die Punkte, fur welche a/l kleiner als 0,2 ist, was etwa
fur die HWte aller Messungen der Fall ist; aa/P ist d a m
kleiner d s 0,04 und da A , etwa gleich 3 ist, so iibersteigt d a m
das quadratiche Glied in (21') kaum die Genauigkeit der
Messungen; die berucksiohtigten Teile der Kurven approximieren
wir nun durch Gerade, und BUS der Neigung dieser Geraden
gegen die a/l-Achse erhalten wir b i den Gummigutteilchen
die folgenden Werte fur A,: 1,46, 1,50, 1,04, 1,20, 0,84, die
sind. Man konnte
gerade von der vermuteten GrGBe, yl,,-~8y
auch den Einwand mnchen, daB, wenn A, nicht gleich Null
w&e, auch die Kurven in der Westgrenschen Figur 6 (aaa
ale Funktion von aa/Z1) keine Geraden sein wiirden; doch laasen
sich die Abweichungen in der Figur deshalb gar nicht bemerken,
weil alle Punkte mit kleinen a, infolge der gewlihlten Auftragungsart, in die unmittelbare Niihe der aaa-Achee rmsammengedrilngt sind. Die weitere experimentelle Untersuchung diem Frage w&e sehr erwiinscht. Jedenfalls ist
es interessant, zu wissen, daD man in einem eiemlioh grol3en
Bereioh von a/Z (0,06-0,7)
den Widerstanda koeffizienten
einer Kugel, die sich in der Mitte zwiachen m e i planparallele
PIatten, parallel zu diesen bewegt, durch die Formel (21)
laratellen kann; doch muB man sich daran erinnern, daB
iiese Formel n u ctuf eine 6-10 prozentige Genauigkeit Anspruch erhebt und man darf sich jedenfalls nicht durch sie
verleiten lassen, die Abweichungen vom Stokesschen Oesetz
fur kleine Werte von a/E zu untersch&ttcen. f i r Radien, die
kleiner sind &Is etwa ein Zehntel der halben Entfernung der
-
beiden Platten, wird es deshalb angemigt sein, sich zu Orientierungsmocken etwa der Formel
(21")
W=Bmpa(l++)
zu bedienen.
Eine weitere Anwendung der Lorentzschen Methode
finden wir in einer Arbit von Smoluchowskil), wo die
gegenseitige Beeinflussung meier fallenden Ihgeln untersuoht
wird. Die Berechnung einer jeden der aufeinanderfolgenden
,,reflektierten" Stromungeu ist hier durch die oft orwtihnte
Lam bsche Reihenentwicklung nach r8;umlichen Ihgelfinktionen ermoglicht, und falls bide Kugeln in Bewegung sind,
so findet man die ruechanischen Wirkungen durch Superposition der Krgfte in den biden Spezialfiillen, in wdchen
je nur einc ICugel in Eewegung und die andero in Ruhe ist.
Fur den Fall, wo bide Kugeln (gleiche Radien a) sich
parallel meinander mit der gloichen Geschwindigkeit V bewegen, findet Smoluohowski die folgenden Resultate: 1. Es
wirken auf beide Kugehi gleiche und gZ&%g&ietets
Krtifte.
2. Eine Komponente in der 13ewegungsrichtung verkleinert
den Widerstand urn
9 u'np V l - L - .
-2.
c
(
::)
Rierin bedeutet r den gegctnseitigen Abstand der beiden Jiugdmittelpunkte. 8. Die andere Komponente ltings der Verr der Richtung
bindungslinie der Kugelmittclpunkte, und m ~ in
von der rmriickgelegenen zur voranschreitenden Kugel, hat
die GroOe:
Hierin bedeutet 8 den Winkel misohen der Bewegungsrichtung
und der Verbhdungslinie der Kugelmittelpunkte. 4. AuSerdem ergibt die Reohnung, dal? die Kugeln vou Drehungemomenten beansprucht werden. In allen angegebenen Resultaten sind die Glieder bis zu der meiten Ordnung in a/t
beruoksichtigt. Interessant ist der schehbare Widerspruch
mit dem Satze von IVkkung und Oegenwirkung, der sioh
1) Y.Smoluohowaki, h a . Ak Krelrsn 8.28. 1911; Cambridge
Intern. MaQ. Congreaa 1912.
sber sofort durch die Bemerkung aufkliirt, dafi ewischen den
Kugeln keine inneren Krlifte &ken, sondern die Flussigkeit
init berucksichtigt werden mu13.
Es ergibt sich auch u. a. aus diesen Resultaten, dafi mei
nebeneinander fallenden Kugeln nicht nur etwas schneller
ale nach dem Stokesschen Gesetz fallen, sondern auch, daS
die Fallbahn der beiden Kugeln von der.Vertikalen um einen
kleinen Winkel e nach der J7erbindiingslinie der Kugelmittelpnnkte hin geneigt ist, wo
Die eben erw&hnt.enhydrodynnmischen Utze von Smo liichows ki wurdnn von Oseenl) einer Kritik untereogen,
die sich ebenso anf alle mit der Lorentzschen Methode ausgefiihrten Rechnungen bezieht. Oseen geht wieder von der
von ihm angegebenen modifizierten Misung des Sto kesschen
Problems aus. Wie wir gesehen haben (5 7a), bezog sich seine
h r r e k t u r nur auf grdflere Entfernungen von der Kugel, wo
die von Sto kee vernschlbsi&n Trfigheitsglieder bereits iiber
die Reibungsglieder hinauswachsen. Der f3tromungszustand
in der unmittelbaren Umgebung der Kugel war in beiden
Theorien gleich und deshrrlb erhielt auch Oseen denselben
Wert fik den Widerstandskoeffizienten einer Kugel in einer
unendlich ausgedehnten Fliissigkeit, wie Stokes. l3ei der
Lorentzschen Methode muB man aber bei der Berecbnung
der ,,reflektierten" Beweguiig von den Werten der Striimungsgeschwindigkeiten in grobren Entfernungen von der Kugel
Gebranch machen und dahei k6nnte die Oseensche Korrektion von Belang werden. Aus dem von Oseen durchgerechneten Spezialfall der gegenseitigen Beeinflussung meier
fallenden Kugeln ksnn man die charakteristischen Merkmale
fur alle analogen Flille ubersehen, wo m m die Rechnungen
nach dem Lorent zschen Nilherungsverfahren ausfuhrt, mit
dem einzigen Tinterschiede, daS men die Oseensche Ltisung
des Stokesschen Problems an Stelle der ursprunglichen
8 t o kesschen als Aiisgengsstriimung nimmt. Die Zusatzkritfte, die nach Oseen auf die Kugeln wirken, sind einander
nicht mehr gleich, wie bei Smoluohowski; es entspricht
1)
C. W. Oseen, Arkiv for Mat. Astr. oeh F p i k 7. Nr. 33. 1011.
0bsr die Stokessche u d Stokes-CunttirsghQmscheFornul. I .
29
dns der Unsymmetrie der Oseenschen Stromung (8 7a) vor
und hinter der Kugel, einer Unsymmetrie, die, wie bereits
erwlihnt, durch die teilweise Derucksichtigung der Triigheit
der Flussigkeit mstande kommt. Die Oseensclion Formelli
werden mit den Smoluchowg kischen identisch, wenil
r (I V / 2 p gegen die Binheit vernachlhsigt werden k a m ;
im entgegengesetzten Falle wird der Widerstand nach dell
Oseenschen Formeln nicht mehr proportional der Geschwindig.
keit, die Begriffe der Beweglichkeit und des Widersfandskoeffizienten verlieren. ihre Uedeutung, und man kann d w
auch so ausdriicken, dal3 man dann auhrhalb des Giiltigkeitsbereiches der ,,langsamen" Bewegung geJangt ist. Die Bedingung
1 hat dieselbe Form, wie die Bedbgung (12)
2P
der ,,Langsamkeit" der Bewegung, nur dal3 die gegenseitige
Entfernung r der beiden Kugeln an die Stelle des Kugelradius o getreten ist. Da r Vie1 groBer als a ist (die Lorentzache Methocle besteht ja in einer Entwicklung nach P o t e m n
von o/r), so ist diese Bedingung vie1 einschrlinkender als (12) ;
in den klassischen Kondensationsversuchen von J. J. Thomson
und A. H. Wilson und den Untersuchungen von Perrin uber
Emulsionen war sie jedenfalls erfullt. Wie Smoluchowski
bemerkt hat, uberschiitzt Oseen in seiner Abhandlung die
Tragweite seiner Korrektion, weiI er durch ein Versehen den
Faktor u in r u V/2 p weggelassen hat.
Die Liisung des Problems der gegenseitigen Beeinflussung
zweier Kugeln setzt uns auch in den Stand, das Problem der
gleichzeitigen Bewegung einer grohn Amahl von Kugeln,
einer Wolke, in Angriff zu nehmen. Da diese Rage in letzter
%it, seitdem man in der experimentellen Elektronik allgemein zu der Methode der Messung an Eineelpartikeln (Milliken-Ehrenhaft) iibergegangen i t , sehr an Aktualitlit eingebuSt hat, verweisen wir in bemg suf nlihere Einzelheiten
auf die diesbesiigliche Abhandlung von Smoluchows kil),
wo auch ein fruherer Liisungsversuch von Cunninghams)
kritisch besprochen wird.
Wir haben bereits am Anfang dieses Paragraphen darauf
hingewiesen, dal3 die Ermittlung der Korrektionsformeln fur
=<
1) M. Smoluohoweki, Cambr. Intern. Math. Congrsee 1912.
2) E. Cunningham, Pror. Roy. Soo.88. S. 367.1910(emiterTeil).
den EinfluS der Wtinde die einwandfreie experimentelle Verifikation des Stokesschen Gesetees erst ermdglicht hat. Ee
kommen hier hauptskhlich die ausgedehnten experimentellen
Untersuchungen von Ladenburg') und von Arnold') in
Betracht. In diesen beiden Abhandlungen findet man auch
eine kritiache Zusammenstellung der friiheren diesbeziiglichen
Arbeiten. Im groBen und ganzen kann man aber aus diesen
illterm Arbeiten nur wenig schlieben, weil in ihnen der EinnuS
der GeftiBe, die ,,Langsamkeit" der Eewegung, die Konstanz
der Temperatur usw. meistenteils nicht genugend berikksichtigt wurden. Speziell die Komtanthaltung der Temperatur stellt groSe Anforderuagen an die Geechicklichkeit
dee Experimentatore, clenn erstens ist der Koeffizient der
inneren Reibung mit der Temperatur gewohnlich ziemlich
stark verbderlich, und zweitens, was noch wichtiger erscheint,
bewirken bereits sehr kleine Temperaturdifferenzen StrGmungen
in der Elussigkeit, die die ganzen Messungen illusorisch machen
kiinnen. In den beiden letdgenannten Untersuchungen wurden
alle ndtigen VorsichtsmaSregeln getroffen und eine MeBgenauigkeit von etwa I/, Pros. erreicht. Die Messungen wurden in
zylindrischen GeftiSen ausgefuhrt und die Korrektion fur den
EinfluR der Whde mittels der Laden burgschen Korrektioneformel (20') berechnet. Sowohl das Stokessche Gesete, Wie
auch diese Korrektionsformel selbst, fanden sich vorzuglich
beettitigt. D a b i arbeitete Ladenburg mit Stahlkugeln \-on
0,1-0,2 cm Radius und einer sehr ztihen Elussigkeit (Liieung
von Kolophonium in Terpentinol, p etwa gleich 1500, also
rund 1OOOOOmal goSer wie bei Wasser von lOOC), wtihrend
Arnold mit verschiedenen Olen \Ton einer mehr a h lOOOmal
experimentierte. Die
Meheren Viskosittit (p = 0,07-0,69)
Metallkgeln, die er gebrauchte, muBten entsprechend vie1
Meher gewWt werden, um innerhalb des Eereiches der
,,langsamen" Bewegung rm bleiben. Wie bereits besprochen,
stellte auch Arnold experimentell die Grenzen dieses Bereiches feet [vgl. (W)].
AuSer diesen beiden Arbeiten, die das Stokessche Geaetz
fur tropfbare Flussigkeiten besttitigten, wurden auch neuer1) R. Ladonburg, a. a. 0.
2) H.D. Arnold, a. a. 0.
Ubsr dis Stokessc7rs und Stokss-Cuminghamsche Formsl. I.
81
dings verschiedene Untersuchungen iiber das Fallen \-on Kugelteilchen in Gasen angestellt. Alle die im meiten Teil zu besprechenden experimentellen Priifungen der $to kes -Cun
nighamschen Formel ergaben auch eine gute Eestiitigung
des gewiihnlichen [Jtokesschen Gesetzes fiir nicht zu niedrige
Gasdrucke .
-
Q
9.
Ungleiohf6rmige Bewegnng.
Ein l b g s t bekanntes Beispiel einer ungleichformigen Eewegung ekes festen K6rpers in einem ziihen Medium ist das
ebenfalls merst von Stokes') geltiste Problem der kleinen
Schwingungen einer Kugel in einer ziihen, inkompressiblen
Flussigkeit. Wenn die Kugel kleine Pendelschwingungen von
der Frequenzn (Periode Zn/a) auf einer geraden Linie ausfuhrt, so ist der Widerstsnd
worin M die Masse der verdrbgten Wiiasigkeit ( t n a 8 u ) bedeutet und E = s gesetd wurde. Der Widerstand bei
der gleichftirmigen Translation ergibt sich als Grenzfall von
dV
(22) fur unendlich langsame Schwingungen (n = 0, dt = 0).
Andererseits wird fur p =0, s = a und der Widerstand
dV
reduziert sich auf eine &aft 4 M x , die proportional der
Beschleunigung kt; es ist das das bekanute Resultat aus der
Hydrodynaplik der idealen (reibungslosen) Flussigkeit, wo die
,,acheinbare Masse" gleich der J3ilfte der von der Kugel verdrbgten Flussigkeitsmasse kt.
Die Kenntnis der Lbung fur die osdlierende Bewegung
eines festen Korpers in einer zllhen Flihsigkeit set& urn in
den Stand, auch das Problem einer beliebigen (,,langsamen")
Bewegung dieses Htirpers in Angriff zu nehmen. Infolge der
Linearitiit der Differentialgleichungen der Eewegang kann
man bier eine iiMiche Anwendurg des Fourierschen Integrals machen, wie sie bei der Ltisung spezieller Problem
der Potentialtheorie seit lengem ublich kt. In bezug auf
ntihere Einzelheiten verweisen Wir auf eine Abhandung von
1) C . 0.Stokes,
8.8.
0.
52
J . Weysaenhoff.
Lord Rayleighl), wo euch Literatmangaben iiber die fruhereu
diesbezuglichen Arbeiten von Basset, Boussinesq u. a. mi
finden sind.
Fir den Widerstand, den eine Kugel bei geradliniger
Bwegung in einey ztihen Fliissigkeit erleidet, wenn ihre Geschwindigkeit V@) als Funktion der %it gegebn ist, findet
man derart die folgende, htjohst interessente Formel
Das erste Glied ist [.Pie in (22)] die scheinbare Masse, wie
sie auch bei verschwindender innerer Reibung vorhanden
wke, das zweite Glied ist gleich dem Widerstande bei gleichformiger Translation, wie er durch die gewohnliche Stokessche
Formel gegeben wird und der letzte Ausdruck bringt den Einflus der Vorgeschichte der Kugel zur Geltung; der Widerstand
im Momente t h b g t mar nur von dem gleichitigen Striimungszustande der Flussigkeit ab, aber der Striimungszusttmd selbst
wird durch die fruhere Bewegung der Kugel lpitbestimmt.
Vie1 schwieriger wird das Problem, wenn nicht die bwhwindigkeit, sondern die Krgfte vorgegeben sind; fur den
Fall einer Kugel, die unter dem Einflnsse der hhwerkraft
frrllt, wurde dieses Problem von Picciatia) und von Boggioa)
gelbst. Die Aufgabe besteht im wesentlichen in der Auf16sung einer integro-differentiellen Gleichung fur V (t), die
men dadurch erhtilt, dalj man den Ausdruck (28) fiir den
Widerstand P in die Bewegungsgleichung der Kugel
M-ddVt = (M-M)g + p
einaetst (M'= Masse der Kugel, M = Masse der ver-n
Eliiesigkeit, wie fruher). Boggio hat gemigt, wie diese und
Withe Oleichungen durch die Anwendung eines bekannten
Theorems von Abel uber die Inversion mn Integralen gelciat
werden konnen. Die Formeln fur V und fur den von der
Kugel in einer gewiasen Zeit rmruckgelegten Weg, m denen
er in dem Falle, daS die Kugel und die Fliiesigkeit ursprung1) Lord Reyleigh, Phil. h g . 9. 8. 697. 1011.
2) Q. Piooiati, Rend. ACO.Liaoei 16. 8.45. 1907.
3) T. Boggio, Rend. ACC.Lincei 16. 8. 613 u. 730. 1907.
lich in Ruhe waren, gelangt, sind verh&ltniam&Bieinfaoh
und eignen sich aur unmittelbaren numerischen Auswertung.
Es ist auffallend, daS die analytische Form dieser Funktionen
von dem Verhiiltnis a'/a der Dichtigkeiten der Kugel und
der Flussigkeit abhiingt, und Basset hat sogar dieses Resultat
tale einen Einwand gegen die Anwendbarkeit der gewohnlichen
angeniiherten Gleichungen fur die Bewegung e b r &hen Russigkeit [Differentialgleichungen (2) der ,,l'angaamen" Bewegung]
betrachtet. Diem Ansicht wird jedoch von Lord Rayleigh
nicht geteilt : vergleiche seine eben erwiihnte Arbeit, wo auch
weitere hiichst interessante Beispiele fur die Anwendung der
Methode von Boggio behandelt werden.l)
In versehiedenen experimentellen Arbeife kann es
wunschenswert sein, rm erfahren, wie lange die Kugel dam
braucht, urn vom Zustande der Ruhe eine mit einer gewiseen
Amtiherung konstante Endgeschwindigkeit mi erreichen. Die
Formeln von Boggio geben eine genaue Antwort anf diem
Rage; eine ungefehre Orientierung kann aber auf einem vie1
einfacheren Wege erreicht werden. Wenn wir annehmen, daia
der Widerstandskoeffizient auch bei beschleunigter Bewegung
in jedem Moment durch das Stokessche Geset5 gegeben
wird, so f&Ut in (23) das Glied mit dem Integral weg, die
Bewegungsgleichung (24) wird m e h r gewahnlichen linearen
Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
(24')
av
(M'+ 4.32) dt = B S ~ U P (W+
M)g
und ale partikuliire Laung, die der Bedingung unterworfen
ist, daS sie fur t = 0 verschwinden 8011, erhalten wir
Wenn wir hier fur die Masse der Kugel M' und fur die Mame
der . verdrhgten Flussigkeit M ihre Werte # n a*d bm.
6 n a* 0 eimetmn, erhalten wir
9Pt
(26)
y'...
+-(I
- 2a~v++~~),
snag
1) Es hhtte sich vielleicht gelohnt, d:e versohiedenen Theorien
der Brownschen Bewegung, bei welchen die Giiltigkeit des Stokessohen Geesetms soger fur die einzelnen Zickzeckwege der unregdmiiBigen
Bahn vorawgesetzt wird, im Lichte der eben erwtbhnten theoretischen
Unterauchungen durchzud.8kutieren.
Annalsa der PhpIk. 15'. Folge. 6%
3
J . w69886&#.
84
wo d6r erste Boeffieiebt gleicth demjenigen der Formel (6')
iut und der Ansdruck
die Rolle einer Art ~laxationsseitspielt. V0n ihr b b g t
die Eebnelligkeit, mit welcher die Kugel ihre Endgeschwindigkeit erreicht, in einfacher Weise ab. Hie wird ersichtlich destn
gr6fier,je @Per die Dichte des Kugelmaterials oder der Fli?esigbit nnd je kleiner die innere Reiburg der FlCssigkeit ist..
2
Der dusdruck ~ ( u ' + ) u ) ist Ton der GriiSerordnung der
Einheit und aus dem Faktor aa/p kann man leicht entnehmen,
wio klein diese Relaxatiorszeit ist fur a h allein in Petracbt
kommenden Fiille, die die Pedingung der ,,laqpmen" Eewegung noch erfellen.
Neuerdings sind zwei experimentelle Arbeiten emhienen,
die in &em gewissen Zcssmmenhange mit dem Gegenstande
dieses Paragraphen stehen. Shewbart l) und Abbott*)
untersuchten mit Hilfe einer photographischen Methode die
Fallbewegung von geladenen Wassertriipfchen und Lycopdiumteilchen, die gleichzeitig durch ein elektrisches Wechselfeld in transversale fkhwirguogen versetzt wurden. Shewhart
beobachtete eine Vergroberung der Fallgeschwindigkeit mit
mnehmender Amplitude der transversalen Schwingungen, A bbott eeigte nachtriiglich, daS dieser Eefund auf einem exprimentellen TrugschluB beruhte. Keiner der biden Autoren
beriicksichtigte leider die eben erwiihnte umfangreiche Literatur
iiber dieeen Gegenstand, und die &hluBfolgerung con Abbott, daJ3 ,,kein Grund aufgefundenwurde, warum die Stokessche Kocstante 6 a p a auch fur diese FUle yon beschleunigter
Eewegung aicht gelten sollte", ist jedenfalls mit gr6Ster Vordicht aufzunehmen. Spziell die let& Versuehsreihe Ton
Abbot t mit dem fallenden &mmiball \-on 9 em Dnrchmeeeer
migt, wie kritNos er bei der Auswertnng seiner experimentellen
Resultate 'orgegangen ist, indem er auf die Eindeutigkeit der
von ihm gewllhlten Erklbngsweise gar kehe RfZcksicht n a b .
hue der fhereinstimmung der experimentellen Kurve det
Falhtrecken als Funktion der h i t mit der ans der h a h m e
*
1)
2)
W.A. Shewhart, Phys. Rev. B. 8.426. 1817.
R. B. Abbott, Phys. Rev. 1% S.381. 1918.
Vber die Sfokeesche ~ n r Stokss-CU&vha;meche
l
F w ~ I..
86
der ProportionalitHt der Kraft mit der Geschwindigkeit berechneten schlieDt er auf das Eestehen dieser Pro~ortionalit~t
.
Da aber die in Rede stehende Kurve bei jedwedem Widerstandsgesetm \-on Null ausgehen und nach sehr kurzer %it
m einer Geraden (V =ko~st.) werden muS, so ist es einleuchtend, da13 man aus dem kureen gebogenen Anfangsstuck
der Kurve in Anbetracht der kleinen Gemuigkeit der Ma6 q p n J die mit einer gewohnlichen Stoppuhr ausgefiihrt
wnrden, gar keine bindende LJchlusse ziehen kann. Der let&
bhlul3 Ton Abbott, da13 ,,fur vie1 gr6Bere Geschwindigkeiten,
als diejenigen, die innerhalb der Qultigkeitsgrenzendes Stokeswhen Gemtees liegen, die Widerstandskraft proportional mit
der Geschwindigkeit ist", enthdt einen inneren Widerepruch:
Da das Stokessche Gesetz fir sehr kleine Geschwindigkeiten
sicher giiltig ist, so behtilt es offenbar seine Gultigkeit solange, ale die Wideratandskraft proportional der Geschwindigkeit ist. In den Experimenten von Abbott war die Fallgeschwindigkeit des Gummiballes (die durch die Neigung der
5it-Fallstrec ke-Kurve bestimmt iet) vide hundertmal grobr
ale nach dem Stokesschen Gesetze!
Auch FrlSulein Snethlagel) hat einige Experimente
uber schwingende Teilchen in einem elektriachen Weohselfelde angestellt, ohne dabei m irgendwelchen positiven 8chliieeen
m gelangen.
Auf die klassischen experimentellen Verifizierungen der
Formel (22) fur Pendelschwingungen gehen wir hier nicht
& e r ein.3) Es sei nur e r w h t , daS Love,& geradem als
den ubereeugendsten Eeweis fiir die Richtigkeit der allgemeh
angenommenen Eeweguhgsgleichungen einer eiihen Flussigkeif
(bei kleinen Geschwindigkeiten) betrachtet, bei deren Ableitung j a manches (LinearitHt der Beziehung zwischen Span.
nung nnd Deformationsgeschwindigkeit, Reduktion von m e i
Konstanten auf eine [vgl. 89, Gleichung (6)D einen etwas
hgpothetischen Charakter trsgt.
Q
10. Beriioluiahtiqrrnp der GleftUng.
Die hydrodynamisehe Eerechnung des Btokesschen Geaetw kann leicht durch Eemckeichtignng der
Gtleifnne an
1) A. Bnethlege, Roo. Ac. Amsterdam 1B. 8. 1006. 1917.
2) Vgl. A. E.B.Love, 8. a. 0. 8 12.
3'
der Oberflbhe der Kugel ergihut werden und in diesern Falle
bekommt man, wie Basset3 gemigt hat,
Der Koeffizient der &uSeren Reibung @ und der Koeftiaient
der Gleitung y wurden bereits im Q 2, Gleichungen (4) und (a),
definiert. Wir werden im eweiten Teile, wo die Teilchen:
bewegung in Gasen behandelt wird, auf die Formel (28) noch
w sprmhen hornmen. Bei tropfbaren Flussigkeiten kommt
bekamtlich die Gleitung der Fliissigkeit liings der feefen
Wgnde gar nicht in btracht. In den bereits mebrfach erwHhnten experimentellen Untemchungen von Ar no1d waz
der Koeffieient der Bubren Reibung B jedenfalls gr6Ser ale
6000, und wahrsctheinlich grobr als 50OOO. Arnold hat
auch die Formel (28) 5ur Dk&utsion seiner Experbnte an
aufsteigenden Luftblasen hinrmgezogen, doch, wie Smolu chowskis) bereits bemerkt hat, konnte ea sich dabei unmijglich urn eine eigentliche Gleitung handeln, mndem men
mull diesen Vorgang als eine Bewegung einer fliissigen Kugel
in einer anderen Flussigkeit auffassen. N h r e a dariiber vgl.
5
12.
Q 11. Widemt~mdmgemetsefir nioht ku#ormigo
Teilohen.
Das Problem der gleichformigen, ,,langsamen" Translation eines festen Ellipsoids in einern &en Medium wmde
von Oberbecka) geliist. AUE den aUgemeinen Ebrmeln von
Oberbec k hat G a d ) Ngherungsausdriicb fur den Widerstandskoeffixienten in verschiedenen SpesialfBllen abgeleitet,
wie 5.B. fur kleine Abweichung von Kugelgestslt, f%r eehr
abgoplattete Rotationsellipoide (Niiherung fiir Scheibchen),
eehr geatreckte (Stiibchen) usw. Diem Formeln wurden von
Zeleny und Mc Keehans) dazu gebrsucht, urn 81x1 den
mihkophch gemeesenen Abweichungen von der Kugelgestalt vemhiedener natuylicher Sporen (Lycopodium, Lyoo1) A. B. Basset, Ph:l.!Crens. 179. S. 43. 1877.
2) M. Smolnohoweki, Cambr. Intern, Math. Congrew 191%
3) A. Oberbeok, Joan. f. Math. 81. 8.62. 1876; vgl. E Lomb,
,,Ey&odynamik" 8 326.
4) R. (lane, S.teb. A h d . Miinohen, 8. 191, 1911.
5) J. Zeleny und L.W.Mo Keehan, a, a. 0.
perdon nnd Polgtrichum) auf die Abweichungen vom Stokee-
=hen Gesete beim Fallen derselben in Luft zu SchlieBen. Die
derart gescblitzten Abweichungen waren jedoch vie1 k l e h r
ds die experimentell gefundenen Anomalien, die wahrscheinlicb
auf eine schwammartige Struktur diem Teilchen zuriiok-
mfiihren Bind (vgl. auch die diesbesugliche Eemerkung \-on
Abbott)').
In einer h b e i t 1-on Przibram') uber die
Browneche Eewegung langgeetreckter Teilchen findet man
eke graphische Darstellung dee Widerstandekoeffhienten e b
gestreckten Ellipoids, in Richtung der groBen Achm und
senlnecbt dam, als Funktion des A c h e e n ~ w h ~ t ~auf~e,
getragen.
Fiir anders gestaltete Teilchen Bind die theoretiechen
Werte der Widerstandskoeffizienten unbekennt, doch kann
man nach Gansa)aus der Linearitlit der Differentialgleichungen
der ,,lengsamen" Eewegurg far alle Teilchen die drei a d einander senkrechte Sjmmedrieebenen besiteen, eine wichtige
Folgerang ziehen: fhlche Teilchen erleiden infolge der Dmckkrtifte der Fliiasigkeit keine Drehimpulse, sie haben also nicht
die Tendens, beim langsamen Fallen in der Fliissigkeit sich
irgeadwie einmstellen. Eei der Eewegung eines Kbpere mit
drei aufeinander senkrechten Spmetrieebenen in der Richtnng
einer der Bsuptacbsen kommt offenbar kein Drehmoment metande. Es folgt daraue, daB dae auch bei der Translation
in einer beliebigen Richturg der Fall min wird, denn infolge
der Linearit lit der migrunde gelegten Pewegune;sgleichimgen
gibt die SuperFoeition meier Li3aungas;leteme wieder ein
mdglichee L&ungssptem, und man kann den Str(imnngsmetand bei der betrachteten Tranelation ale Superpsition
dreier Str6mungszuetiinde auffaesen, die durch Translation
des Korpers in der Richtung der drei Hauptacbeen entstehen.
Ausdriicklich SOU bier nochmels die 1-orausgesetzte ,,Lane
samkeit" der Eewegung betont werden, denn nur dadnroh
wird der Widerspruch, in welchem die Ganesche Regel mit alltblichen Eeobachtungen an fallenden Gegenstlinden m stehen
scheint, geboben. blbetverstiindlich bandelt es sich auch
bei der eben aufgestellten Regel eretene um Teilchen, deren
R. B. Abbott, a. 8. 0.
K. Frdbram, Sitab. A M . Wiep. JS1.Abt. 11s. S.
3) R. Q Q D I , 8. R . 0.
1)
2)
2346. 191%
J . Weym3thoff.
88
Schwerpunkt mit dem geometrischen Mittelpunkt sueammenfalt, und meitens um eine Fliirrsigkeit im 8inne der Hydrodynsmik; bei hinreichend kleinen Teilchen muB die Browneche Rotationsbewegung beriicksichtigt werden.
Q
12. Eowegpng einer fliimi6on Kugel.
h Stokessche Gesetz lest sich auch leicht auf den
Fall der Bewegung einer flihigen Huge1 (Koeftieient der
inneren Reibung k') ausdehnen, indem sowohl die Bewegung
der Buhren, wie die der inneren Flussigkeit durch die D3berentialgleichung (2) der ,,langsamen" Fbwegung behemht
werden ; der Zusamrnenhang der beiden Str6mungssuetbde
ergibt siuh aus der Bedillgung, daS die drei Geschwindigkeitakompononten und die drei Komponenten der Zugkraft doh
beim uberachreiten der Kugeloberflbhe stetig aneinandereahliebn museen. Die bchnung zeigt, d8B die Kugel ihre
Gestalt wghrend der Bewegung beibehelt; offenbar wird dea
nur mlange der Fall min, als die Trsgheitskrsfte, die eine Abplattung der Kugel bewirken, vernachlHssigt werden k6nnen,
d. h. eolange die Bewegung ,,langsam" und die Bwegungsgleichungen linear in den Oeschwindigkeitskompnentenbleiben.
Da die Lage des Angriffspunktes der liuhren KrllEte nioht
gleichgultig iet, so nimmt man meckm8Sig von v6mherein
die infolge der Dichtediffereneder beiden Fluttsigkeiten Wirkende
hhwere ah Bewegungsmache an.
Unabhwg voneinander finden Rybceynski') und Ha damards) die folgende Formel fiir den Wideretandekoeffi5iente;ionten
der fliiasigen Kugel
(8s)
W = 6npa
Sp'
+ ap
Sp'+ sp
Danacb ist die Fallgeschwindigkeit im YerhUtniR
gr6br als diejenige einer ebeu solohen festen Kugel; k iilt
ale0 wPischen den Grenzien 1 und *is
(fiir p'
p) ver&nderlioh.
Die Vergr6Berung der Fallgeachwindigkeit, oder db Ver
<
1) W.Rybosynski, Am. r5k Krslrou, 8.40, 1911.
2) J. Hsdamerd, Compt. rend. 16% 8.1735. 1911; 164. 8.108
1912.
kleinerung des Widerstandekoofienten h b g t nur von dem
VerhUtnb der Koeffizienten der inneren Reibung der beiden
FliisSigkeiten und keineswega vom Radius der Kugel ab.
Die Experimentssn fallenden Quecksilberkugelnin Ricinus61 von R O U X ~
und
) an Quecksilberkugeln in wasserhaltigem
Glymrin und Nitrobemlkugeln in Wariser von Nordlundq
haben jedoch die Rybozynski-Hadamardsche Formel keineswega best&tigt. Vielmehr ergctben sich Fsllgeschwindigkeiten,
die nur gmz wenig diejenigeu gleichgrobr, fester Kugeln
uberatiegen; auch migte sich in den Experimenten von Roux
ein gewisser Gang diem VergrijBerung mit dem Radius der
Kugeln, worauf wir noch gleich zu sprechen kommen. In
den besonden sorgfliltig auegefuhrten Messungen von Nordlund an Quecksilberkugelchen von etwa 2 0 p h h m e s s e r
wurde die Fallgeschwindigkeit im Bereiche der experimentellen
Fehler gleich derjenigen gefunden, die sich BUS dem gewijhnlichen StokesBchen Gesetze orgibt, whrend sie nach Formel
(as) um etwa 46 Pros. gr6Ber sein sollte. obrigens gibt Nordlund an, daB ,,die Fallgeschwindigkeit von 0,076 Proz. gr6Ber
als nach B t o k e s - L a d e n b ~ r g ~ist",
) was wohl ds eine grob
Ubereoh&tzung der Genauigkeit seiner Messungen bemichnet
werden darf. I% bedeute F den ,,soheinbaren" Koeffbhnten
der inneren Reibung der ,,Fallfliissigkeit" (Olymrh mit etwa
11 Pros. Wasser), wie er mit Hilfe des gemessenen Wertee
der Fdgeschwindigkeit BUS dem 8tokesschen Oeeetm [mit
der Ladenburgschen Korrektion (So) fur den EinfluS der
zylindrischen GefBBwandJ berechnet Wird und p, Wie gew6hnlioh,
den Koeffizienten der innererl Reibung der Fallfliisaigkeit, denn
F-r
stellen die bei Nordlnnd tabelliertenWerte von 100 7
reltativen, prozentuellen Vergr6Berungen des Widerstandekoef
fisienten in besug auf dae gew6hnliche Eltokesache Geeets
fiir dis einmlnen Measungea dsr. Nach der Formel (20) mit
Eiaeetsung der entspreohenden Reibungskoeffkbnterr des Queckailbars und des OlymrinS eollten diepe We& etwa gleich Y
uein, wlihrend sie bei Nordlund unregelm&Sigetwa h h e n
-
1) J. ROUX,AM. de Chim. et Phye. SQ. 8.68, 1913.
2) J. Nordlund, Ark fC Met. Betr. ooh Fysik 9. Nr. la. 1918.
a) Dan WllgeuetE, Iwh welohem feste Kugeln in den gebrsllohten
zylindrischen Uefisen siah bewegen wbden.
40
J . Weyeesnhoff.
-
& 10 eohwanken. lhr erithmetischee Mittel betragt
0,0076
(zufalig haben sich also die positiven und negativen Werte
faet aufgehoben, die Auslaesung einer ehdgen M
m w8te
h r genugend, um diesen Mittelwert a d das 1Ofache zu
steigern), w h n d Qr (quadratkche) Mittelwert der Abwebhungen vom arithmetischen Mittel etwa 8,4 betregt. Dsraus
ksnn man die Genauigkeit des Resultatee der 10BMeeeungen
auf etwa 0,8Ao5. echUzen und ale SchluBresultat die Tateache suehen, daB bei den Nordlundschen Meeeungen die
Yergrclkung der Fallgeechwindigkeit in bemg auf die Fallgeschwindigkeit eben so groller fester Kugeln 0,8 h e . jedenfulls nicht vie1 uberechreiten kann. Da die RybcsynskiHadamardsche Formel (29) 46 Proz. erfordert, 80 ist dedurch
ihre Unbaltbarkeit zw Genuge bewiesen.
Bide Autoren haben nun die T'ermutung auegesprochen,
deb ee sich hier um eine gewisse Wirkung der bei der Ableitung der Formel (29) iiicht beriicksichtigten Oberflbhensyennung handeln mu&, wm d w h die theoretiwhen Untereuchungen von B ~ u e s i n e e qsuch
~ ) besthtigt emheht. hlbetverstllindlich kommt man hier mir dem gew6hnlichen h a t e
fiir die Oberflikhenspannung nicht aus, denn die OberflBchentiyannung, wie Inan sie gewohnlich betrachtet, kiinnte hdchetens
die Erhaltung der kugelftirmigen Gestalt des Teilchene begiinefigem, was in der Rybczynski-Hadamardechen Theorie
mWiee0 durch die ,,Langsamkeit" der Bewegung gew&lemtet wird. Um rn einer brauchbaren Erklhng der eigenerfigen Wirkung der Kapillarkrtifte zu gelangen, welche darb
beteht, d8S eine kleine FluSeigkeitskugel sich beim fillen
fast wie ein fester KCirper verhalt, muS man die Oberfl&henachicht in einem Bewegungermstande und nicht, wie daa gew6hnlioh geschieht, in einem Gleichgewichtsmstsnde betrachten und eine Art innerer Rtibung in dieser Schicht einfubren. Das Bestehen einer solchen OberfUkhenvisMM i t .
ja bereits von voimherein ale sehr wahracheinlich m beeeichnen;
Bouesineeq, der unseres W k n s rmm ersten Male h e Wirkung
auf die Bewegung der Elueeigkeit untersuchte, kommt mit.
Hilfe sehr plausibler molekuiarkinetkcher Vorstellungen und
gewisser 8ymmetriebetrachtungen rm den folgenden AueI) J. Bouseineeq, Ann. d. Cbimia et B y e . $0. 8.349, 857, 864.
1813; vgl. n d Roib1.d. Wys. 87. 8. 1867. 1918.
vber die Stokeache und Stokes-Cuminghamche F m l . I .
41
drikken fur die beiden ,,Baupt"-Oberflbhenspannungen (pro
Lllsgeneinheit )
F = f + e , ( a +a') + 2 e a ,
(80)
F'=f+c,(a+a') +2eQ,
a und 8 die beiden ,,~aupt"-Dilatationsgeechwindigkeiten
der Oberflikhenechicht (in mei meinander mnlnechten ,,Eaupt"Richtungen) bedeuten; e und el Bind mei Koeffizienten der
Oberfliichenviskositht, und f, die Oberfliichenepannnng im
Gleichgewicht, ist die gewtihnliche KapillaritHtskonatante.
In (80) when wir dae meidimensionale Andogon der
Anshtee fiir die elastiwhen Spannungen, die gew6hnlich enm
Plmsibelmachen der Ansiitze fur die Spannungen in einer
vialoosen Fltssigkeit gebraucht werden. Der einzige Unterschied beateht darin, daJ3 man in der Theorie der inneren Reibung
\-on Flussigkeiten die beiden Konetanten mittels einer besonderen Annabme [%
2, Gleichung (6)] auf nur eine reduaiert,
w&rend hier diem Reduktion nicht durchgefuhrt wurde.
gbrigns ist das fur das Weitere sowieso ohne Eelang, de
in der endgiiltigen Formel fur den Widerstandskoeffiaienten
die beiden Konstanten e und 4 nur in einer Kombination
wo
(811
e = e +el
auftreten.
Dae am Mange dieses Pmagraphen formulierte hydrodynamhhe Problem ist nun in ereichtlicher Webe m modifizieren; anstatt die Differem der Zughgfte in den beiden
Flueeigkeiten an der Oberflikhe der Kugel gleich Null anzunehmen, muS man eie gleich den durch (80) gegebenen
Spannungen in der Oberflikhenecbicht eeteen. Der weitere
Gang der Rechnung wird von Boussinesq nach einer ron
ihm bereita im Jahre 1886 angegebenen, allgemeinen Methode
zur b u n g des Stokesschen Problems durcbgefiihrt, und
schlieblich gelangt er mr folgenden Formel fiir k, die Vergr6hrung der Fallgesohwindigkeit der fliimigen Kugel im
Verhikltnis zu der Oeschwindigkeit einer ebeneo groflen feeten
Kugel
49
J, Weyssenhoff.
Hierin bedeuten p' den Reibungskoeffiorienten der inneren,
p denjenigen der &d3eren Flussigkeit und 6 ist die eben etw h t e Konstante der Oberfl&chenviskoaitiit.
Wir bemerken gleich, dalS diese Formel mindeatens qualitafiv von den oben beeproohenen experimentellen Ergebniseen
Rechewhaft ni geben gestrrttet. Dio Werte fiir den Widerstandskoeffizienten, die sie liofert, liegen stets &hen
den
Werten fur feate Kugeln (k = 1) und denjenigen, die sich
am der Rybczynski-Hadamardschen Formel ergeben
[k nach Formel (29')l; mit kleiner werdendem Radius nihert
eich die Fallgeschwindigkeit immer mehr der kchwindigkeit
fester Kugeln. Deehalb konnte auch Nordlund bei seinen
Versuchen an Quecksilberkugelnkeine merklichen Abweichungen
vom gewohnlichen Sto kesschen Geaetz finden, w&hrend,Roux,
der mit vie1 griiJ3eren Hg-Kugeln arbeitete (600--900y, allerdings in einer anderen Flussigkeit - Ojiventil bei Roux Gclyzerin bei Nordlund) 6-12 prozentige Abweichungen beobeohtete. Auch der allgemeine Gang d i e m Abweichungen
sie wuchsen mit dem Radius der Teilchen - stimmt mit
der Bouseines qschen Theoiie 6berein.l) Nichtedestoweniger
muS die Frage nach der experimentellen Verifi!dierung der
von Boussinesq fiir die Oberflibhenviskositiit gemaohten
hne8h aolange a18 offen betrachtet werden, als keine au8gedehnteren Untersuchungen (fiir gr(iSere, einheitliche Bereiche von a) vorliegen. Denn da8 daa ursprungliche Stokes
sohe (feste Kugeh) und das Rybczynski-Hadamardscht,
Problem (fltiseige Kugeln ohne Oberfllrchenviskositiit) zwei
Grenefglle daretellen, zwisohen welche sich die fateaObliab
beobhteten Fallgesohwbdigkeiten flussiger Kugeln ehrdnen
wiirden, das war von vornherein, ohne epeeielle Theorh, einleuchtend; auch die Vergr6brung der Abweichungen vom
Btokeeschen Qesetze mit wachsenden Durchmessern der
Teilchen komte wohl ohne weiteres vorhergesehen werden.
Es ist nur die &age zu beantworten, ob der tats&Mch beobachtbm Gang der Verbderlichkeit des Widemtandsbffiaienten mit dem Teilchenradius dem von Bouseineeq abgeleiteten wkklioh entspricht, und d m reichen die Experimente
von Ronx tmd Nordlnnd keheswegs aua. Es wiim vielmehr
-
-
1) Der numerimhe Wert von a I&& sioh daraaa ganc rob eu I,4 g/sek
&bn.
tfber
a&
S ~ O ~ C % S Sund
G~
s ~ o ~ ~ s - ~ w ~ ! J ? uFormel.
x ~ s G I~.
40
erforderlich, in derseltm Fallfluedgkeit und mit denselben
fiuseigen Teilchen, nur mit verhderlichen Radien, die all.
mclhlige Verhderung des Widerstandskoeffizienten von &hen
Werten an, die dem Stokesschen Cbetz fur feate Kugeln
enteprechen, bis eu solchen, wo die Oberflhchenviskositibt rm
vemhl8eeigen bt und die also der Rybceyneki-Hadamard
schen Formel gehorchen, eu vcrfolgen.
Teilweise kann eine solche Kenntnis den bereits oft er.
w h b n Messsungen von Arnold an aufsteigenden buttblbchen in verscniedene'n O h , sowie den analogen, fruheren
Meeeungen von Allen1) an Luftblkhen in Anilin.entnommen
werden. Wie wir im 8 10 bereits erwfihnt haben, hat Smoluchowski darauf hingewiesen, daJ3 bier ein Beispiel fiir die
Anwendung der Rybczyneki-Hadamardschen Theorb vorliegt, aber erst dumh Mitberiioksiohtigung der OberflgchenVislroeitiit findet ein grobr Teil der Arnoldschen Resultate
seine saohgemfih Erklhng. Eb liegt die Mohrzahl der Steig
hilhen der Blbchen mischen den Vorawagen des Stokessohen und des Ryncsyns ki-Hadamsrdschen Gesetzes. Die
Fig.8 v0n Arnold, die den ,,scheinbaren" ReibungBkoeffbienten des Oliventib (der unserem k umgekehrt proportional
bt) in Funktion des Radius der Luftblasen darstellt, zeigt
alle die von der Boussinesqschen Formel (82) geforderten
Phasen der Abh-keit
des Widerstandskoeffizienten vom
Radius: Sehr kleine Kugeln (a < 0,Ol cm) befolgen das gewilhnliche Btokessche Gesetz; der ,,soheinbare" [nach der
Formel (a')aus der gemesseneq 8teiggeschwhdigbit berechneta] Koeffizient der inneren Reibung ist gleich dem
wirklichen, mit einem Viskosimeter meI3baren Koeff izienten.
Mit wacbenden Radien folgt ein schnelles Abnehmen der
echeinbaren Viskositfit, dio Steiggeschwindigkeitnimmt schneller
xu, wie bei festen Kugeln, und bei a = 0,04--0,05 cm erreioht
die Steiggmhwindigkeit den von der Ry basyne ki-Hsdr
mardschen Formel geforderten Wed, d.h. (da p' gegen p
m vernachlbigen ist) */* der Geschwindigkeit gleichgoht
fester Kugeln. Das weitere Ansteigen der Arnoldscbn
Kurve e r k k t sich diirch das bereits erwiihnte (vgl. 4 8) Versagen der Ladenburgschen Korrektion.
-
-
1)
H. S. Allen,
a. a. 0.
44
J . Weyasenhoff.
60 weit stimmt alles schon mit der Thehie uberein; doch
kann man yich bei naherer Betrachtung leicht daion ubermugen, daB die Arnoldsche Kurve unmoglich mit der Boussinesqschen zur Deckung gebracht werden kmn: Whhrend
die erste fiir verschwindende Radien der a-Achse parallel wird,
ist das fur die theoretische Kurve keineswegs der Fall. Noch
schlimmer steht es um die tfbereiastimmung in den Experimenten von Arnold in Leinol. Die Rage, ob man die Schuld
der Theorie oder den Experimenten mschreiben SOU, mu&
bis auf weiteres offen gelsssen werden. In den Experimenten
von Arnold trat eine interessante Nebenerscheinung tbuf,
die die Messungen sehr erschwerte; es war das ntimlich die
,,Erosion" der Oberflache der Teilchen, ein stetiges Abnehmen
des Teilchenradius mit der \-om Teilchen mriickgelegten
Strecke.3 Eei grol3eren Tropfen yon Alkohol in Olivenol konnte
man das Loslosen der Auteascbicht, die sich dann zu eher
groBen Zahl von kleinen Tropfchen zusammenzieht, direkt
beobachten. Arnold bat gezeigt, daB man aus der Annahme,
daB wiihrend der Bewegung der Kugel eine Scbicht von der
Dicke der WirkungssphiGre der molekularen Attrektion von
der Kugel abgeschiilt wird und in der Fallflijssigkeit zuriickbleibt, zu einer sehr plausiblen GroBe diem Wirkungsaphiire
gelaagt. Obwohl es sich hier urn eine grobe Scbatmng handelt,
so ist jedenfalls dadurch die Tatsache nahegelegt, daS wir
es mit eber gewissen Wirkung der Kapillarkrtifte zu ton baben,
und 88 kt sehr wohl mtiglich, daB diese Erscheinung Ton der
Bewegung der Kugel durch die Flihsigkeit, aie sie die Theorie
Ton Boussinesq behandelt, nie streng geschieden werden
kann.') Auch wird wohl, wie bei allen Oberfllicheneffekten,
1) Einige analoge Erscheinungen, wo die K&pilbrkr&ftevielieicht
6ine anssohlaggebende Rolle spielen und von denen man sich noch
sahwerer eine geeignete Vorstellung bilden b n n , fand Targonski
(Aroh. d. Qeneve 41. S. 187. 1916) an Quecksilbertr8pfchen in Luft;
die Teilohen waren so klein, ds6 sie eine merkliche Brownsohe Bemgung zeigten; dss erschwert ungemein das Verstllndnis des beobaohteten E nflusses der sichtbaren Bewegung a d die Gr6Benabnehme
der Teilchen.
2) Die Erosion mu0 urn so kleiner sein, je gr6Ber der Molekulardmok, die ZerreiSfestigkeit ist. Vielteicbt lieBen sich die Experimente
liber die Erosion zu einer Methode der Measung des Molekulanlruckea
saabilden.
die Reinheit der benutsten Materialien bei jeder experimentellen
ob
Verifikation der Boussinesqschen Formei eine groh R
spielen; BO beobachtete Allen bei seinen Luftblbchen in hnilin
unregelmilJ3ige Schwankungen der Steiggesohwindigkeit von
Teilchen zu Teilchen, die h&hatwahmheinlich mit der safHlligen Beschaffenheit der OberfleChe (des Koeffizienfen a
der OberflbhenvbkoaitiLt) im Zusammenhange standen.
Jedenfalls soheinen die theoretische und die experimentelle
Evidenx dafur zu spreohen, daD sich genugend kleine, f l u e
Teilchen, wie klein auoh ihre OberfleChenviskmitSt sein mag,
in bemg a d ihre Bewegliohkeit von'ebenrrolohen, festen Teaohen nicht unterecheiden lessen. Dim Tataache ist fur die
theoretisohe Kolloidchemie von auEerordentlicher Wiohtigkeit.
Auchwird dadurohein Einwand behoben, den Smoluchowskil)
gegen die Anwendung der verschiedenen Theorien der Kataphorese auf Emdsoide erhebt, Theorien, die alle nur fiir feate
(niohtleitende) Teilchen aafgeatellt wurden; fiir Teilchen, die
in der Kolloidchemie in Betracht kommen, werden echon die
Z(apillarkr8fte dafur eorgen, daS man diese Teilchen ale feat
ansehen darf. Die Theorie der Kataphorese brausht a h
nur noch a d leitende Tdchen ausgedehnt m werden.
ZUcioh, Phpikalisches Institut der UniveisitSt.
1) AL v. Smolnohoweki, , , E l e W Endoemoeeund Str6mungretr6me", 5 32 in Graete' ,,Handbuoh der ElektriEitP-t und dea hgnetie-
mm", Ba. II, Lf. 2.
@ i n w e n 14, A u p t 1919.)
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