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Beugung an einer einbackigen Blende endlicher Dicke und der Zusammenhang mit der Theorie der Seitenversetzung des totalreflektierten Strahles.

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ANNALEN DER PHYSIK
*
~
6. F O L G E
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~~
B A N D 7,
~~
HEFT-5
s
*
1950
Beugung an einer einbackigen Blende endlicher Dicke and der
Zusammenhang mit der Theorie der Seitenversetzung des totalref lektierten Strahles
Von K u r t A r t m a n n
(Mit 1 Abbildung)
Inhaltsiibersieht
Auf Grund einer an anderer Stelle veroffentlichten Arbeit l) wird die polarisierende
Wirkung des Blendenschirms auf die Seitenl-ersetzung des totalreflektierten Strahles
beim Verauch von Goo8 und Hiinchen*)quantitativ in Rechnung geatellt, wati auf eine
zusiitzliche ,Seitenveraetzungherauskommt. In] Anschlull dsran ergeben sich einige Bemerkungen, zum Teil richtigstellendcr &t zu einer Arbeit von V. Fragsteins).
1. Problemstellung
I n einer vorangehenden Arbeit4) hatte der Verfasser die von Goos und H a n c hen *) beobachtete Seitenversetzung berechnet, die eine Lichtwelle bei der
Totalreflexion am diinneren Medium erfahrt. Diese Theorie machte nach Kirchhof f die vereinfachende Annahme, daB die Blende, welche die Lichtwelle seitlich
begrenzt, vollkommen schwarz ist. In der Praxis ist diese Annahme nie erfiillt,
sondern es miissen auf dem Blendenschirni die Randbedingungen der Maxwellschen Tbeorie befriedigt werden.
Eine solche Losung der Maxwellschen Gleichungen ist von Sommerfelds)
fur die unendlich diinne einbackige Blende (Halbebene) angegeben worden.
In konkreten Fallen kann die Somnierfeldsche Theorie daher nur auf einen
Blendenschirm angewandt werden, dessen Dicke klei n gegen die Lichtwellenlange
ist. In fast allen praktischen Fallen, speziell beim Versuch von Goos und H a n c h e n
ist die Dicke des Blendenschirms jedoch groB gegen die Lichtwellenlange.
Deshalb hat der Verfasser an anderer Stellel) das Beugungsfeld einer Lichtwelle
hinter einem ,,dicken" einbackigen Blendenschirm berecbnet. Die wesenttichen
Ergebnisse dieser Arbeit sollen im folgenden Abschnitt 2 mitgeteilt werden.
2. Das Beugungsfeld einer Lichtwelle hinter einer einbackigen Blende in der
' Nahe der Schattengrenze
Die Oberflache der metafischen einbackigen Blende, welche die Lichtwelle
beim Versuch von (300s und H a n c h e n seitlich begrenzt\moge aus einem Zyiinder1)
2)
K. Artmann, 2;. Physik 127, 468 (1960).
F. Goos u. H. Hiinchen, Ann. Physik (6) 1 , 3 3 3 (1947); ferner Ann. Physik (6)
6, 261 (1949).
8 ) C. v. Fragstein, Ann. Physik (6) 4, 271 (1949).
4) K. Artmann, Ann. Pbysik (6)2
' , 87 (1948).
6 ) A. Sommerfeld, Math. Ann. 47, 317 (1896).
Ann. Physlk. 8. Folge, Bd. 7
14
An&
210
der Phpi&. 8.Fo47e. Band 7. 1950
mantel bestehen, dessen Mantellinien senkrecht aui der Zeichenebene stehen und
dessen Grundkurve die in Abb.1 gezeichnete Gestalt hat. Der Radius a des Hslbkreises, der die beiden parallelen Geraden verbindet, sol1 >> Wellenlange 2 der
einfallenden Lichtwelle sein. In praktisch vorkommenden Fallen liegt a zwischen
10-*cm und 10-1 cm, so da13 bei sichtbarem Licht a/A numerisch m 10s> 1 ist.
Nach der Theorie des Verfassers ist das Beugungsbild dieses metallischen Blendenechirms gegenuber dem Beugungsbild eines vollkommen schwarzen Blendenschirms
Abb. 1. Zur Entstehung der Schirmversetzungen A,, A g und der TotalreflexioneVersetzungen D,, Dg
desselben Profils, wie es nach der elementaren Kirchhoff-Huygensschen
Beugungstheorie z u erwarten ist, an der Schattengrenze um die Strecke
do = 0,20(a/R)'~.
*1
(1)
senkrecht m Einfallerichtung in Richtung des geometrischen Blendenschattens
versetzt, falls der magnetische Vektor 8 der einfallenden Welle 1) Blendenoffnung
schwingt. Im umgekehrten Polarisationsfall (0:11 Blendenoffnung) betragt die
Verset zung
A , = - 0,39(a/A)". 2
(2)
-
in umgekehrter Richtung. Die relative Versetzung db-d~bei den beiden Polarisationsfallen betriigt demnach
Are*= 0,59 (a/A)'/a- 2 .
(3)
>
Wegen a/A 1 ist dies eine grol3e Anzahl von Lichtwellenlangen. Mit den zu Beginn dieses Abschnitts angegebenen numerischen Daten ist
dre,%7-A.
(3')
K.Ar€mann:Batgtbng am einer einbackigenlBlendc end*l?iGh
211
3. Anwendung von Abschnitt 2 a d den Versuch von G o o 8 und Hiinchen
Wir vergleichen diem Schirmversetzungend 0, de mit den jenigen Versetzungen
DQ,Dq,welche der seitlich begrenzte Lichtstrahl bei der Totalreflexion an
d e r Trennflache der beiden Medien 1 und 2 senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung erfiihrt (Totalreflexions-Versetzungen).Es seien ill und
Wellenlange
und Brechungeexponent im dichteren Medium (Glas) und 1,und nadie enhprechenden Grobn im diinneren Medium (Luft); ferner sei .9, der gegen die Normale der
" r e d a c h e gemessene Einfallswinkel und t9# der Grenzwinkel der Totalreflexion
(Abb. 1). D a m war nach der Theorie des Verfassers im Falle, dab die magnetische
Feldstilrke &j
in der Trennflache liegt:
t4)
wiihrend mch im umgekehrten Polarisationsfall ((3in Trennflache) der Wert
ma 4
D @ = -I*
(5)
- tins a,
ergab. In Abb. 1 steht im 1. Polarisationsfall (do, D,) der mgnetische.Vektor $j
und im 2. Polarisationsfall (dg, De) der elektrische Vektor @ der Lichtwelle 1
n1
l*ina
@#
Zeichenebene.
Falls der Einfallswinkel8# nicht in unmittelbarer Niihe des Grenzwinkels der
Totalreflexion
lie@ (29, -8# 2 lo"), habea die , Totalreflexions-Versetzungen
Do, Dq nach (a), (5)die Grobnordnung I/n.Nach (3') ist dann die relative Schirmversetzung A,, = dg,-da rund 10 bis 2Omal grokr als die TotslreflexionsVersetzung Do, D g . In diesem Fall iiberwiegt die polarisierende Wirkung des
Blendenschirms gegeniiber der Totalreflexions-Seitenversetzung beim Versuch
von.Goos und Hanchen. Mit kleiner werdender Winkeldifferenz $e4g
wachsen
die Totalreflexions-Versetzungen Do und De an, bis me fiir .9,-8, w lIao die
Grohnordnung 7 A der relativen Schirmversetzung Are, = 60-A@ erreichen.
Allerdings fallt dieser Einflub der Blende bei der praktischen Durchfiihrung des
Verauches nicht ins Gewicht, weil Goos und Ha nchen den Lichtstrahl nicht nur
einmal, sondern eie bzigmsl und mehr totalreflektieren lieben, wahrend der
Strahl nur ein eineiges Ma1 die Blende durchsetzt. Auf diese Weise werden die
Totalreflexions-Versetzungen D,, Dg mit einem Faktor 70 multipliziert, wiihrend
die Schirmversetmgen A@,A g h e n Wert (2), (3) unveriindert beibehalten. Aus
dieaem Grunde konnen bei der Goosschen Versuchsgenauigkeit von 10% die
Schirmversetmgen A @ , d ~ tgegeniiber den Totalreflexions-Veraetzungeii A @ ,
De vernachlassigt werden.
-
4. Bemerkungen zu einer Arbeit von v. F ra g 8 t o i n
Im AnschluS an die in Anmerkung 4 der S. 209 zitierte Veroffentlichung des
Verfassers macht Hr. v. Fra gste in*)auf eine sehr intereeaante Arbeit von Schaef e r und Pichs) aufmerksam, in welcher bereits die Vorgange bei der Totalreflexion
einer seitlich begrenzten Lichtwelle behandelt sind. Weder Herrn Prof. Go 0 s
noch Frau Dr. L i ndbe rg-Ha nc he n nbch mir ist diese Arbeit bekannt gewesen.
Bei Schaefer-Pich wird eine Niiherungslosung der Maxwellschen Gleichungen verwendet, welche der Begrenztheit des Lichtbiindels Rechnung tragt.
C. Schaefer U. R. Pich, Ann. Physik (6) 80, 246 (1937).
14*
212
Annab der Phydk. 6.Folge. BandY. 1950
Aber es wird llicht die Frage behandelt, auf welche Weise diese seitlich begrenzte
Lichtwelle entsteht. Sollen die Ergebnisse dieser Rechnungeii experimentell nachgepriift werderi, so mu13 unbedingt ein Blendenschirm in den Kreis der Betrachtungen einbezogen aerden, wie dies hier in den vorangegangeiien Abschiiitt'en 2
und 3 geschehen ist. Es ergibt sich hieraus die Notwendigkeit, die Betrachtungen
von S c h a e f e r - P i c h bezuglich der beiden Polarisationsmoglichkeitcn der einfallenden Lichtwelle, wie im Abschnitt 3 besprochen, zu modifizieren, von denen
S c h a e f e r - P i c h nur die e i n e Polarisationsrnoglichkeit behandelt haben (611 B~CIIden offnung).
I m AnschluD hieran halte ich es fiir erforderlich, zwei kurze Bemerkungen zur
Arbeit von v. F r a g s t e i n zu machen. Einerseits hebt Hr. v. F r a g s t e i n hervor,
da13 die Verwendung dzs P o y n t i n g s c b e n V e k t o r s bei den S c h a e f e r - P i c h schen Betrachtungen besonders anschaulich sei. Bei der elektroniagnctischen
Welle ist eine solche Behandluiig zwar moglich. Aber der Effekt der Seitenversetzung des totalreflektierten Strahles an sich bezieht sich ja iiicht nur auf elcktromagnetische Wellen, sondern auf Wellen belie bige r Art (Schallwellen, Wasserwellen, Materiewellen). D a m existiert aber der Begriff dcs Poyntingschen
Vektors nicht mehr, wahrend der Begriff des P h a s e n s p r u n g s , den der Verfasser zur Berechnung der Strahlversetzung verwendet hatte 9, sich auf Wellen
beliebiger Art iibertragen 1aDt.
' Die zweite Bemerkung betrifft die Behauptung Hni. v. F r a g s t e i n s , da13 die
Ergebnisse meiner (in Anmerkung 4 der S. 209 zitierten) Rechnungeii bereits vollstandig in der Arbeit von S c h a e f e r - P i c h enthalten sein ~,ollen. Diese Behauptung Hm. v. F r a g s t e i n s zwingt mich leider zu eincr Richtigstellung, a d sic
wesentlich iiber das hinausgeht, was sich aus der Arbeit von S c h a e f e r - P i c h entiiehiiien liil3t. Denn einnial wird - wie Hr. V. F r a g s t e i n selbst zugibt - der
Effekt der Seitenversetzung von S c h a e f e r - P i c h nicht ausgesprochena). Ferner
sind bei Hrn. v. F r a g s t e i n 4 Seiten Rechnungen erfarderlich, urn niein Ergebnis
aus den Schaefer-Pichschen Betrachtungen zufolgern. Und schlieBlich behandelt
Hr. v. F r a g s t e i n nur den eiiieii Polarisationsfall (611 Blendenoffnung). Der
andere Polarisationsfall ist - wie oben bereits benierkt - nicht einmal von S c h a e f e r - P i c h behandelt worden, und bei Hrn. v. F r a g s t e i n wird fur diesen 2. Polarisationsfall nur das Ergebnis eincr nicht mitgeteilten Rechiiung angegeben.
')
Vgl. Formcl (2,8) der in Anni. 4, der S. 209 zitierten Arbeit des Verfassers.
Dies geschah cratmalig von G o o s u. Hiinchen ; vgl. Anm. 2).
H a m b u r g , Institut fiir Theoretische Phpsik der Universitat.
(Bei der Redaktion cingegangen am 3. Februar 1960.)
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