close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Beugung konvergierender Lichtwellen.

код для вставкиСкачать
I. Franx-Gotthold
u. M . v. Laue. Beugung konverg. Lichtwellen
249
Beugzcng konvergieren der Uchtwellem
Von IZse P p a n x - G o t t h o l d u n d H a x v o m Laue
(Mit 6 Abbildungen)
Herrn G. M i e , dem die Physik die mathematische Behandlung der
Beugung an Kugeln verdankt, widmen die Verf. dieses kleine Beugungsproblem zurn 70. Geburtstage.
Einleitung
Kurzlich veroffentlichte E. L a u 1) Beobachtungen uber die Verringerung der Breite beim Beugungsmaximum nullter Ordnung, wie
es in der Bildebene einer Lime entsteht. Das Mittel dazu besteht
darin, daB man einen undurchsichtigen
Schirm von der Seite bis gerade an die
geometrische Grenze des abbildenden
Strahlenbundels schiebt (Abb. 1). Die folgenden Ausfiihrungen sollen zur Frage
nach der praktischen Anwendbarkeit dieses
Verfahrens keine Stellung nehmen, wohl
aber die mathematische Theorie dieser
Veranderung bringen. Wir vereinfachen
das Problem gegeniiber der L a u schen
Versuchsanordnung durch Annahme einer
ZylinderwelEe; die Kante K des Schirms S
sol1 auf den in ihr vertreteuen Strahlrich- Abb. 1. 0 Brennpunkt des
von der Linse L konzentungen senkrecht stehen. Dieser Wellen- trierten Strahlenbiindels,
vorgang ist dann nur von 2 Koordinaten S undurchsichtiger Schirm,
abhangig und IaBt sich rechnerisch durch K seine Kante, B BildVereinigung der Sommerfeldschen Losung ebene. Der mit Licht geBereich, geometrisch
fur die Beugung an einer Kante2) mit der fiillte
optisch gedacht, ist
D ebye schen Integraldarstellung fur. eine
schraffiert
Zylinderwelle 3, fassen. Beides sind strenge
Losungen der Wellengleichung; und wenn wir auch von der
Sommerfe ldschen Losung fur den vollkommen spiegelnden Schirm
nur die eine Halfte nehmen, welche fur sich allein zwar der
1) E. L a u , Phys. Ztschr. 38. S. 446. 1937.
2) A. S o m m e r f e l d , Math.Ann.45. S.263. 1894; Enc. d. math. Wiss.V,3;
s. 497.
3) P. D e b y e , Ann. d. Phys. 30. S.766. 1909; Enc. d.matb. Wiss.V, 3; 5.439.
Annalen der Physik. 5. Folge. 33.
17
250
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
Wellengleichung geniigt, aber keinen Grenzbedingungen am Schirm
Rechnung tragt, so ware doch der Fehler dabei unschwer abzuschatzen.
Insofern beanspruchen unsere Ausfiihrungen einen erheblichen Grad
mathematischer Strenge.
Wir sprechen in den folgenden Gleichungen von Funktionen u,
v, w, U der Koordinaten x, y, welche der Wellengleichung fur den
leeren Raum geniigen sollen. Elektromagnetisch stellen diese entweder
die elektrische oder die magnetische Feldstarke einer linear polarisierten Schwingung dar, und zwar immer die Xomponente parallel
zur Kante K. Indem wir die Quadrate der absoluten Betrage als
IntensitatsmaB benutzen, verwenden wir eigentlich verschiedene Intensitatsdefinitionen fiir die beiden Schwingungsrichtungen. Bekanntlich
macht der Unterschied im allgemeinen wenig aus; man sieht bei
Beugungsproblemen iiblicherweise dariiber hinweg l).
§ 1. Allgemeine Theorie
I n Abb. 2 soll, wie in Abb. 1, S den Schirm, K seine Kante
darstellen. Die Richtung einer einfallenden ebenen Welle sei durch
Abb. 2. Erlhterung vgl. den Text
den Winkel cp' gegen S festgelegt, der Aufpunkt A durch seinen
Abstand r von der Kante K und dem Winkel y. Die Sommerf eldsche Lijsung lautet bei Fortlaesung eines am Schirm gespiegelten
Anteils:
B
u = Ce' i k r cos (p-p')
Se-%
z
' I d
5
1) Vgl. hierzu Handb. d. Exper. 18. S. 214/215. 1928.
I . Franz-Gotthold u. M . v. Laue. Beugung hnverg. Lichtwellen 251
C ist eine Konstante. Die einfallende Welle, welche in groSem
Abstand yon der Schattengrenze unverandert auftritt und dem
Wert ,8 = +a entspricht, ist dabei durch
v = Q(1- i)eikrcos(rp--‘)
gegeben, so daB man statt (1) auch schreiben darf:
B
(3)
-W
Die Winkel Q, cp’ sollten uns nur den AnschluB an die Literatur
erleichtern ; zweckmaBiger fur uns sind die Winkel
3
v = -2- Y’,
7c
x=,n-cp,
in denen sich G1. (2) folgendermaBen ausdriickt:
Andererseits stellt Deb y e die Zylinderwelle, deren Brennlinie
die Koordinaten x = y = 0 hat, und deren Offnungswinkel 2 P
!
betragt, bei der Eoordinatenwahl von Abb. 2 durch das Integral dar:
+v
(5)
=p
S e ~ ’ i ( 5 c 0 0 ~ + ~ ~ i ~ p ) a ~ .
-Y
Die reelle Konstante p wollen wir so bestimmen, daB die Qesamtintensitat 1 wird, also:
+YO
(6)
lim
Yo=
Jjwyay
= I,
fur
5
= 0.
00
-YO
Nun ist aber IwIa durch ein Doppelintegral nach v und y’ gegeben;
fuhren wir die Integration nach y zuerst aus, so wird
y als Integrationsvariable ein. Im
Statt v‘ fuhren wir Av =-!/I
Grenzfall hangt das Integral nur von der nachsten Umgebung der
Stelle A y = 0 ab; also ersetzen wir sin y’ - sin y durch A y . cos $I
und integrieren nach A y von --oo bis +a.Das ergibt:
17*
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
252
+Y
+m
sin ( k yo cos y A w)
lw12aY = 2 p 2 J d q [ d ( d v )k c o s q A W
-Y
i
--Do
= +4np4
w+Ty13+T
1 w 5 + * .1. ]
k
Durch (6) und (7) ist p festgelegt.
einfach
F u r kleine Offnungswinkel ist
Jetzt konnen wir den Integranden von (5) mit dem v in (3)
identifizieren, d. h. die Sommerfeldsche Formel auf jede der ebenen
Wellen anwenden, aus denen D e b ye die Zylinderwelle zusammensetzt. Dies ergibt als Darstellung der ndurch Beugung verannderten
Zylinderwelle:
+Y
8
Dies ist zusammen mit (4) eine strenge Losung der Wellengleichung.
Wir haben nur noch p durch die rechtwinkligen Koordinaten x,y,
des Aufpunkts A auszudriicken. Wie in Abb. 2 dargestellt, verlegen
wir A in die Bildebene B (z = 0). Die Koordinaten der Kante K
bezeichnen wir mit X und Y. Nach Ahb. 2 gilt:
(10)
r cosx =
x,
Y- Y
t g x = -.
X
Bei der Umrechnung machen wir nun aber von Annaherungen Gebrauch, darauf fuBend, daB fur t , ~- x nur kleine Werte in Betracht
kommen. Wir ersetzen daher in (4) den Sinus durch sein Argument,
und vertauschen sonst iiberall w mit x. Wiederholte Anwendung
von (10) ermoglicht dann die Umformung:
schlieBlich :
(11)
I . Franz-Gotthold u. M . v. Law. Beugung konverg. Lichtwellen
Formel (9) aber geht fur einen Punkt der Rildebene
(5= 0)
253
iiber in
+P
-Y
-m
Die G1. (11) und (12) enthalten die Losung des Problems in einer
rechnerisch schon brauchbaren Form. Man kommt auch zu ihnen,
indem man das Kirchhoff sche Oberflachenintegral fur den vom
Schirm S unbedeckten Teil seiner Ebene ausrechnet, natiirlich mit
den Vernachlassigungen, welche bei den Fresnelschen Beugungserscheinungen iiblich sind.
Die schon in (1)vollzogene Vernachlassigung jeder Grenzbedingung
fur den Schirm verbietet, (9) auf die Nahe der Kante K anzuwenden;
k r in (4)und k X in (11) miissen groBe Zahlen sein. Befindet sich K
weit augerhalb des Gebiets der Zylinderwelle, so uberwiegt in (11)
das positive Glied Y / X alle anderen, /Iwird sehr grog positiv und
P @)= 1 - i, so daB wir die ungestorte Zylinderwelle aus (12) erhalten, wie selbstverstandlich. Ragt der Schirm weit in den Bereich
der Zylinderwelle hinein, so ist Y I X kleiner als tg ZU, und p wechselt
bei der Integration nach
in (12), mindestens fur manche y-Werte,
sein Vorzeichen. Es springt dabei verhaltnismafiig rasch von grogen
positiven zu groBen negativen Werten, und F springt dabei von
1 - i auf 0. I n diesem Falle also engt die Schirmwirkung den
Integrationsbereich von (12) ein, was jedenfalls Verbreiterung der
Beugungsmaxima bedeutet. Interessant ist der Fall nur, wenn K
nahe dem geometrischen Rande der Zylinderwelle liegt, wie j a auch
L a u angibt.
5 2. Nlihrung fur kleine dffnungswinkel
Zur numerischen Auswertung von (12) muBte man mittels der
Tabellen fur die Fresnelschen Integrale den reellen und den imaginaren Teil des I n tegranden bei festem y fur mehrere q -Werte
ausrechnen, danach durch Interpolation die sie als Funktionen von TL,J
darstellenden Kurven zeichnen und die Integrationen graphisch augfiihren. Einfacher gestaltet es sich fur klcine Offnungswinkel, fur
die man W gegen 1 vernachlassigen darf. Dann ersetzt man in (11)
cos q durch 1 und in (12) sin LJ,I durch y. Mit den Abkiirzungen
kX
(13)
findet man:
+Y
(141
Annalen der Physik. 5 . Folge. Band 33. 1938
254
Da nun aber die Exponentialfunktion leicht zu integrieren ist, kann
man partielle Integration durchfiihren; dabei ist
Also folgt:
Fiihren wir statt
die Integrationsveranderliche
ein, so ergibt die Umrechnung und Einsetzung der Grenzen:
-F
(-
Y(V
+ w --
31.
Da weiter nach (13)
+y.II+-
kY
nY
=Y,
Y
ist, geht dies nach einiger Umrechnung') uber in:
Diesen Ausdruck kann man mittels der Tabellen fur die F r e s n e l when Integrale algebraisch, ohne weitere Integration, berechnen.
§ 3. Numerische Anwendung
Bei den Berechnungen FOR IU/2 als Funktion von y , welche
die folgenden Abbildungen zur Anschauung bringen, legen wir die
1) Die Umrechnung macht u. a. davon Gebrauch, daB fur jede gerade
b
-a
Funktion ale Integranden
1 1
-b
=
a
ist.
I.Franx-Gotthold u. M . v. Law. Beugung konverg. Lichtwellen 255
WellenYange i= 4.10W5cm zugrunde, was der wirksamsten Wellenlange bei L a u s photographischen Aufnahmen, die mit weiBem Licht
gemacht sind, etwa entspricht. In jede Abbildung zeichnen wir zum
Vergleich den Intensitatsverlauf ohne den Schirm S ein. Sie folgt
aus (5) mit x = 0 und unter den Vernachlassigungen von 3 3, wenn
wir sogleich gemat3 GI. (8) normieren, als
Abb. 3. Abstand des Schirms von der Brennebene 7,2.10-3 cm.
Kante K in der geometrischen Begrenzung des Strahlenbiindels.
Die Kreise sind berechnete Pankte
Bei Abb. 3 haben wir, um ungefahren AnschluB an die Verhaltnisse zu gewinnen, unter denen L a u seine Aufnahmen Abb. 3
und 4 gemacht hat,
(17)
Z Y = 1:600, X = 7,2.10-2 cm,
Y
X
-=
ZY
gewahlt; die Kante K liegt danach genau auf dem geometrischen
Rande der Zylinderwelle. Die ersten Nullstellen von lwja liegen,
schon jenseits des Randes der Zeichnung, bei y = & 1,2 10+ cm.
Man sieht, auf der positiven Seite, auf der sich der Schirm befindet,
hebt dessen $chatten" die Intensifat fast auf. Auf der negativen
Seite liegen zahlreiche Maxima und Minima, wie wenn eine ebene
Welle am Rande K gebeugt ware, nur da8 diese Schwankungen
nicht ailmahlich in gleichmaBige Helligkeit ubergehen, sondern, etwa
der Kurve )wI2 folgend, zum Nullwert absinken.
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
256
Dies macht man sich leicht an (11) und (12) klar; denn nach
den obigen Zahlen ist
L = .1,2.10-*
----.
X
7,2*10-’ -
1
6
’
und fur die meisten y-Werte doch von dieser GroBenordnung.
Y
X
Hingegen liegt - - t g y immer unter dem Wert
1
-.300
Konnte
X
Y
1
8
3
2
#
1
I
B
3
-)
4
-i
-1
-2
Ahb. 4. Abstand des Schirms von der Brennebene 0,288 cm.
Kante K in der geometdschen Begrenzung des Strahlenbundels.
Die Kreise sind berechnete Punkte
man dies gegen y/X vernachlassigen, so hinge in (12) das InteB
gral
1
nicht mehr von y ab, man konnte also nach (5) schreiben:
-m
B
-00
der zweite Faktor entsprache dann genau der Beugung einer ebenen
Welle, I U l2 ware das Produkt der entsprechenden Intensitat mit
w 12.
Die obigen Zahlen rechtfertigen zwar diese Vernachlassigung
nicht ganz; denn in G1. (11) ist
dF ( y
=
fur unser Beispiel
Y
- tg y multiudgefahr 60, was mit dem Maximalwert von -
X
pliziert 0,2 ergibt. Und ein solcher Zuwachs der Bogenlange ist bei
I . Frtinx-Gotthold u. M . v. Laue. Beugung konverg. Lichtwellen 257
der C o r n u s schen Spiralen keineswegs geringfiigig. Immerhin ist
man hier von einem Falle nicht mehr weit entfernt, in welchem die
Naherung zulassig ware. - Die nachste Umgebung des Punktes y = 0
bleibt von dieser Erorterung stets ausgeschlossen.
I n Abb. 4 ist ZY und Y / X wie in (17) gewahlt, aber X viermal
so grog, also gleich 0,288 cm. Der Schirm S steht also weiter ab
von der Bildebene B. Die Schattenwirkung des Schirms ist fur
,
I
4
c _
3
I
I
2
7
Y
I
u
I
I
-7
-2
I
-3
-a
I
->
-6 W4rn
Abb. 5. Abstand des Schirms von der Brennebene 0,288 cm. Abstand der
Kante von der geometrischen Begrenzung des Strahlenbiindels 1,92 10- cm.
Die Kreise sind berechnete Punkte
-
positive y geblieben, aber die Maxima fur negative y sind breiter
und weniger zahlreich.
I m Gegensatz zu diesen beiden Fallen liegt bei Abb. 5 die
Kante K nicht mehr auf der geometrischen Begrenzung der Zylinderwelle, sondern auBerhalb, und zwar ist wie bei Abb. 4 X = 0,288 em,
P= -,
1
aber
600
Y = 2,4.
cm. Der Abstand der Kante von der
geometrischen Begrenzung ist also 1,92.
cm. Jetzt liegt ein erstes
Maximum, ahnlich dem von Abb. 4, nahe bei y = 0 .
Denken wir uns nun zwei Zylinderwellen, deren Brennlinien
den Abstand 1,92.10-3 haben, beide yon der Offnung wie oben.
Liegt die Kante K wie bei Abb. 4 genau auf der geometrischen
Grenze der einen, so liegt sie zur zweiten so, wie Abb. 5 angibt.
Die nberlagerung beider (inkoharent angenommenen) Wellen ergibt
dann eine Intensitatsverteilung, welche man aus der nberlagerung
der Kurven 4 und 5 erhalt, nur ist die Xurve 5 vorher um
258
Annalen der Physik. 5. Folge. Band 33. 1938
1,92.10-3 cm nach den negativen y-Werten zu verriicken. Ihr
erstes Maximum fallt dann auf die Stelle, welche in Abb. 4 durch
ein Kreuz gekennzeichnet ist. Man sieht, daB man von der Verdopplung der Zylinderwellen noch nichts bemerken konnte, trotzdem
die fraglichen Maxima sehr vie1 scharfer sind, als das Maximum
der Funktion IwI2. Mit den Aufnahmen L a u s sind unsere Zeichnungen nicht unmittelbar xu vergleichen; denn bei jenen war das
Licht nicht monochromatisch, und vor allem arbeitete er mit einer
Serie inkoharenter Kugelwellen, deren Brennpunkte nur auf einer
Geraden lagen. Soweit man unter diesen Umstanden obereinstirnmung
erwarten kann, diirfte sie vorhanden sein.
Wir beabsichtigen, die Untersuchungen fortzusetzen.
B e r l i n - D a h l e m, Max-Planck-lnstitut, Juli 1938.
(Eingegangen 10. Juli 1938)
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
394 Кб
Теги
beugung, lichtwellen, konvergierender
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа