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Beugungserscheinungen an Doppelrastern.

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Beugungserscheinungen an Doppelrastern
T'on E . L a u
(Mit 2 Ah1)ildungm)
lnhnltfiiihcrnicht
Stellt man 2 gleichart.ige Raster hintercinander, so wird in hestiinmten Abstanden ein Raster durch das andere Raster abpcbildct. Diese Abst,ande ergeben sich
aus der Beupungstheorie. Sie werden herechnet und niit dem Experiment verglichen. Es ergibt sich dabei eine game Pohar yon Abst,anden, die sich nach einem
einfachen Gcsetz aneinanderreihen. Bci d w Ikrechnuiig der Gangunterschiede an
den einzelnen Spalten bei den verschiedeiien .$bstandcn ergaben sich auffallende,
symnietrisch :irigelegt.e Folgen \"on Zahlen, dic i n ciner Tabelle aicdergegeben sind.
Stellt man zwei Linienraster so hintereinander auf, daB die Spalte parallel zueinander verlaufen, so treten geometrische ~berlagerungserscheinungen auf : I n
bestimmten Winkeln sieht man durch die Liicken des vorderen Rasters auf- die
Lucken des zweiten Rasters. Dort erscheinen - - falls ein heller Hintergrund angebracht ist helle Zonen. In anderen Winkcln sieht man
durch die Rast.erlucken des ersten C+itt.ersauf
die Rasterstriche des zweiten, wodurch dunklo
Zonen entstehen. Mit. diesem einfachen Gedankengang laBt sich eine groDe Anzahl der hei
deml) Abstandsmesser auftretenden Erscheinungen auch quantitat.iv erklaren. Bei genauerer Aualyse zeigt sich jedoch, daB wenig
Htens bei engen Gittern die optischen Erscheinungen als Beugungsphanomene an Gittcrn hchandelt werden mussen. Die im folgenden zusammengefaBt,en Tatsachen werden im Zu- J~ 5,
sammenhang mit ihrer Theorie behandelt.
Abb. 1.
Um die Theorie moglichst einfach z u ge- Cangunternchid von S t r a w VBTschiedener Stmhlrichtung
stalten, geht. mail am besten von folgendeni
Schema aus (Abb. 1). Wir betrachten zuniichut.
nur einen Spalt des ersten Gitters, alle anderen Spalte liefern, falls beide Gitter
gleichartig gebaut sind, ein vollkommen analoges Bild, d . h. alle Strahlen von
den verschiedenen Spalten des erst,en Gitters liefern optische Erecheinungen,
die bci Beobachtmg aus unendlicher Entferniing zusammenfallen. Wenn man
..
. -..- .
I)
Z. t e c h . Physik Nov. 1940.
Ann. J'hysik. 6. Folge, Rd. 2
27
418
Aniutlen der Physik. 6. Folge. Bnnd 2 . 1918
sich also iiach obiger Figur aiif die Falle beschrankt, bei dtiieii bei eineiii eirifacheii Spak des ersteii Gitters geortliiete Erscheinungeii hei l)aralleleni Lichtaustritt aus deni zweitcii Gitt,er auftret'c!n, so erfaBt nian die gcsaniten Erscheinungeii,
die die benachbarten Spalte liefern, init.
Eine weitere Vereinfachung kiiniien wir einfiihreii, wenn wir annehnieu, cia13 die
Spalte der beideii Gittcr sehr schinal gegenubcr dcr C:it,terkolist'atlt'e siiid, daW also
der einzeliic Spalt, ini wesentlicheii als Sell, trahler wirkt. Dieser Fall wurde
durch zwei Gitter aiinahernd verw-irklicht, di iiie Gitterkonstante ( q ) von 0,2 iiini
und eiric Spaltbreitc voti 0,02 nini hat't'eti.
Betrachtet niaii dic Gaiiguntcrschieclc dcr eiiizeliicti Strahleii gegeneinantler
h i m Auftreffeii auf clas zweit.e Gitttr, so ergiht sich fur kleiiie \Vinkel ein quadratischer Anstitag fiir deli Gangunt~crschicdder Strahlen. 111Abb. 2 sind zwei
Strahlen isoliert' dargestcllt. BD ist eiii Teil des zweiteti
Git,ters gleich der Gitterkonstante g. Der Kreis schneidet,
den 8trahl S, bis Zuni Gitter in zwei Teile: A D ist offetitxir = AC
C'D. (;'I) ist dcr Gaiigunterschied clicses
St,rahles gegeuiiber tlcin Strahl AS, beiin Suftreffen auf das
zaeite Gitter. Zieht iiiaii nun eine Taiigeiite hei C a n den
Kreis, so scheidet bei klciiieii Winkeln diese Tangente BD
iii zwei gleiche Teile. Daraus folpt, claB BE = 2 C D ist,. CD
ist fiir kleiiie Winkel proportional c h i Winkel h " .
+
Berechnet
iiiati 1iiin,
h i welchem Ahstand a
= AB
bei
uiisereii Rastern der Ganguiit,erschied DC = einer Wellenlliige ist, so ergiht sich folgendes. JVcnn CD := 1 A ist,
zg
Ahb. 2. Strahlengang
zweicr benachbarter
Strahlen
c1aiiti ist BE = 2 A ; sin z =
.>
~
fi ;
Y
tg 3
=
~
9 .
g?
Fiir kleiiie Winkel gilt dann n == -.-.
21. .
Fiir die Wclleiilaiige 0,546 ,u (Hg) rrgibt
= 3,67 elxi.
sich fiir
Fiir die Welleiiliiiigr 0 , 5 3 9 , ~ (Na)
~
ergibt sich fiir
3,39 c111.
I/ =
Bei diescn At)standcn niuW sich eitie opti,~eheErseheiiiiing ergeben, die derjenigen sehr iihnlich ist', wtmi paralleles Liclit xuf ein Gitter fiillt,, denii as treten
keinerlei Plia,seriiiiitcrschied(~beini Sustritt itiis clcrii zweitmi Gitt,er auf. Wie sich
aus der alten Gitterfortiiel ergibt', sitid scharfe Interfereiizstreifen zu erwarten,
deren Erscheiiieri aber abhangig ist von deni dbstand der beiden Raster. Hierbei
tritt eitie iiiakroskopische MeBgroBe auf, die uingekrhrt proportional zur Wellerilaiige also proportioiial zur Frequenz ist. Dies ist auffallig, weil sonst bei Gittern
die MeBgroUen stets proportional zur Wellenliinge sind.
Blickt riiaii iiiin niit eineiii auf uiietidlicli eingestellt,cn Fernrohr auf eiii voii
hiiiten beleuchtetes Doppelraster, so ergcheri sich h i den1 durch obige Formel berechrieten Alistaiid dcr Gitter i1i der Tat scharfe Liniensystenie, iihnlich wic bai
iiblicheii Gitteraiiordiiuiigeii. Es ist' bei eiiieni gegebeneii Rasterahstand innrier
nur eine best'iiriinte Wellenlange, die scharfe Streifen liefert. In der Tabelle sind
einige Abstande zusaiiimengefaBt urid beobachtete Werte iiiit den berechneteii
verglicheri.
1.Lau :Beugungsersclieinungenan Doppdraetern
419
Zu dieser Tabelle ist zu bemerken, dafi fur das Filter ein Wert angegeben ist,
der sich erst aus den Messungen als Scbwerpunkt des gesehenen Lichtes ergeben
hat.Vgl.die Abhandlungvon L a u und L e o in den Annalen der Physik( 6)2,242( 1948).
Untersucht man die auftretendrrl
Tabelle 1
Interferenzstreifen genauer, so sieht inail,
dafi ahnlich xie bei Gitterspektren i n
a) herechnet
b) beobachtet
regelmafiigen Abstanden scharfe Streifen
auftretcn, die offenbar verschiedene Ord(Q) 546 m ~ 3l p c m
3,67 cm
nuiigen ein uiid derselben Erscheinung
3,39 cm
(Na) 589 mp 3,39cm
darstellen. Es gibt jedoch keine ausge- (Filter) 630 m/t - 1
3,17 cm
zeichnete iiulke Ordiiung, sondern d i e
Streifeii sind gleich hell und nionochrouiat.isch . Die andern Farben liefern bei
den1 gegebenen Abst'and keine scharfen Streifen.
Bei dern berechneten Abstand ((I) ist h e Zahl der Streifen in der Winkeleinheit
doppelt so groB als die Zahl der Strahlen, die nach den Regeln der geometrischen
Optik das zweite Gitter durchlaufen. Das ergibt. sich auch bei einer einfachen Uberlegung. Ein Blick auf Abb. 2 zeigt: Ein Strahlenbundel, das beirn Auftreffen auf
die Spa.lte des 2 . Gitters Gangunt,erschiede \-on ganzen Wellenlingen gegen den
Normalstrahl hat, liefert eine Beugungserscheinung, die identisch ist mit einer
solchen, die beini Auftreffen von paralleleni Licht auf das Gitt,er entsteht. Aus der
Abbildung geht. hervor, daD die Strecke BE = zwei Wellenlingen ist, d. h. in dem
Winkelbereich von 01 mussen bereits zwei Maxima auftreten.
Der bisher behandelte Fall ist der einfachste. Es treten nun bei anderen Abstanden gleichfalls Zahlenverhaltnisse von Gaiigunterschieden zwischen den einzelnen Strahlen auf, die cine regelmabige Interferenzerscheinwig im Unendlichen
ermoglichen. Uni einen ~ ~ b e r b l i czu
k geben, teilen wir zunachst diejenigen Abstande mit, hei denen auf Grund cxperimenteller Untersuchungen sich die scharfsten St,reifen ergeben. R i r bezieheii alle mitgeteilten Werte auf den Abstand a
(fur grunes Quecksilberlicht = 3,67 cni). Es tritt dann bei 2 a, 3 a, 4 a usw. gleichfalls ein scharfes Streifensystem im Unendlichen auf. Dieve Streifen sind im allgenieinen scharier als bei a. Die Anzahl der Streifen ist stets ein ganzzahliges Vielfac~hesderjenigen Streifen, die bei den1 Abstand u im gleichen Winkel auftreten.
I n Tabellc 2 bringen wir die Anzahl der h e i f e n (Z), bezogen auf die Zahl der
St,reifen beini A.bsta,ndn in1 gleichen IViiikel.
I
Tabt4lc 2
a:
2:
3 1 6 6 7
1 1 3 2 6 3 7
1 2
8
4
9
9
10 11
5 1 1
1 2 13 14 15 16 1 7 18 19 20
6 1 3
715 817 91910
Man sieht aus der Tabelle, daB bci peraclcn Zahlen von a die halbe Zahl 2 auft,ritt, wahrend hei ungeraden Zahleii das Abstandsverhaltnis identisch mit dem
Streifenzahlverhiiltnis ist .. Bei geraden Zahlen tritt genau die Streifenzahl auf,
die sich auch bei rein geonietzischer Betrachtung ergeben wiirde.
Zur Erklarung diescr Erscheinung miissen nunxnehr die Phasenbeziehungen bestimmt werden, die sich bei den einzelnen Spa!ten des zweiten Gitters fur die verschiedenen Abstande ergeben. Bei dein Ahstand a treten nach obigem iiberhaupt
keine Phasendifferenzen auf, d a die Gangunterschiede bis zum Gitter stets ganzzahlige Vielfache einer Wellenlange sind. Bei den gro13eren Abstanden errechneu
sich die Gangunterschiede ganz analog. Aus dem Gangiinterschied ergeben sich
27*
Annalen a h Physik. 6.Folge. Band2. 1948
420
Tabelle
I
Abstand
I
Spalt
-_
theor. 3em.
(a) mm)
36,7
1
2
72,8
3
109,o
4
146,O
5
183,5
1
N2
- nL
N2
1 --m
2
N2
3
- - m
3
Ly2
2 --m
4
"
5 --m
5
N2
G
219,3
3l--m
6
7
255,7
7 --m
7
1
*
7
p
8
292,3
x2
4 --nnt
8
A-2
9
328,O
9--m
10
365,7
5
11
402 ,? 11
12
9
0
0
0
0
0
586
0
0
6'23
20
732
21
768
22
807
23
842
24
878
25
915
1u '
9
._
11
3
4
0
548
695
0
0
0
19
1
6
2
7
1
8
0
_ -
438.(
658
0
-
0
14
18
11
21
-
0
0
17
I
0
0
13
15
-
1 1 2 13 -_
4 1-5 6
9 16 25 36
- - I,'
18
N Z
19 - - m
19
hl2
10---m
20
21 - - m
21
N2
11 - - m
23
N Z
23--m
23
NZ
12 i - m
24
N2
25--m
26
0
0
0
0
0
0
0
0
16
1
15
5
__5 .
11
1
3
3
15
1
5
1
15
0
1
-
18
16
1
l!)
19
1
1
2
20
16
1 _ - 21 21 7 21
9 8
2 1 22 11 42 11
4
9 16
1
23
23
2
1
3
24
16
1
26
25
I
1
10 0
1
4 11 11 11
1
3 __1 3
4
4
1" -_3 9
13 13 13
4 1
11 7 14 7
2 4
2
3
15 5
1
1
0 - 16 4
15
13 13 1 7 1 7 17
5
5 1 2
9
Y
7 5 5
19 19 19
1 1
0
5 20
6 16
1 21 7 21
6
15 10 11 22 11
8
12 18 23 23 23
3
1
2 6
8
3
6
14 0
25 25
5
9
1
-
1"
12
15
-
11
14
2
__
3
3
--
!t..
1ti
8
17
_7
18
1
4
?
_
L
17
0
(i 17
._ 19 19
4
1 -
4
15
1
1G
15
17
13
18
11
1!1
-
!r
-
5 20
3
1
7
21
3
7 __
3 5
11 32
2 13 3
23 23 23
1 1 1
24 2 24
24
11 0
25 25
4
ti
-
-
0
1
i2
4
13
9
r?
1
15
9
iG
2
-
17'
13
18
7
l!)
1
36
16
- 5
1
2
-
6
-
23
1
24
21
25
Spalt
__
~
12
144
13
169
--
14
196
15
225
16
256
..-
17
289
__18
19
361
20
400
22
21
441 484
--- --- --- ~
~
~
324
~
~
23
24
25
-
629
- 576
- 626
0
4
-
7
1
7
0
0
0
1
13
2
-
7
3
5
07
8
17
0
11
-
19
1
-
5
6
-
7
6
-
11
6
2%
0
19
25
0
1
14
4
15
9
16
16
17
7
18
17
19
9
20
1
21
15
2'2
8
23
1
24
19
25
-
0
1
15
1
-
0
4
9
17
8
9
6
19
4
-
1
16
4
17
1
2
16
19
1
4
1
3
10
-
5
7
5
4
21
22
18
23
11
5
11
12
-
23
1
6
21
25
3
8
0
0
1
~
17
2
9
9
19
~~
4
5
7
-.
3
23
2
3
6
~25
0
1
__
18
4
19
9
-
5G
16
21
3
22
13
(I
1
19
1
6
3
~
7
8
~
93
11
2
23
1
24
14
1
2
24
25
25
0
1
20
0
4
1
dl
2i
0
9
22
16
23
1
24
11
25
211
9
23
2
3
1
22
4
23
~~
~
0
0
~
3
8
16
__
25
1
23
0
1
6
9
25
1
24
4
25
~
0
1
25
Q
422
Annalen der Physik. 6. Folge. Band 2. 1948
leicht die Phasenbeziehungen, wenn man von dcm errechneten Wert die unmittelbar benachbarte kleinere ganze Zahl ( m ) abzieht.. Wir bringen in einer Tabelle 3
einen Uberblick2) uber die bei den einzelnen Spalt,en des zweit.en Gitters auftretenden Phasenbeziehungen bei ganzzahligen Vielfachen von a. Zur Vervollstandigung der friiheren Tabelle geben wir auch die t.atsachlich gemessenen Werte der
Abstande der beiden Raster voneinander an, bei denen scbarfe Streifen beobachtet
worden sind. Die Tabelle befindet sich in der Anlage.
Zur Erklarung der auftretendcn Zahlcnreihen sei folgendes ausgefuhrt : Aus
einfachstcn Ahnlichkeit,sbetiachtungen folgt,, daB - wenn beim Abstand a der
Spalt 1 beim Winkel (Y von cinem Strahl getroffen wird - der gegen den Normalstrahl eine Wellenlange als Gangunterschied hat., beim Bbst,and n a der n-te Spalt
gleichfalls von einem Strahl getroffen w i d , der h i n e n Phasenunterschied gegeniiber dem Normalstrahl hat. Dies macht sich in der Tabelle so bemerkbar, daB ausgehend vom Spalt 1 beim Abstand a eine Reihe von Nullen (unterstrichen) von
Zeile zu Zeile um je eine Spalte weiter riickt.
,
Ein zweites wichtiges Faktum ist, daB- wie an einigen Beispielen durchgefuhrt
ist - eine strenge Periodizitat auftrit.t, d . h. also, daB nach der 0-stets die gleichen
Zahlen auftreten wie nach der ersten Null.
Eine dritte bemerkenswerte Tatsache ist,, daB die Zahlenreihen zwischen Nullen
stets symmetrisch aufgebaut sind.
Ein viertes wichtiges Ergebnis ist, da13 bei geraden Zahlen von a in der Mitte
zwischen xwei Nullen (unterstrichen) stets noch eine Null auftritt oder aber l/*.
Im Falle einer Null ist dann jede Ha1ft.e dieser Zahlenreihen wiederum symmetrisch aufgebaut. Diese Zahlenreihen ahneln dann ganz einer Zahlenreihe, die man
bei dem halben Abstand erwarten konnte. Tritt in der Mitte
auf, so ergibt sich
eine andere merkwiirdige GesetzmaBigkeit : Teilt man die betreffenden Reihen in
zwei gleiche Teile, wie z. B. fur 14 a in folgcnder Weise:
+
(j
1
14
_.
2
illlll:JIIIIL
.713
7
ii -T
7
i4 7-
2 1
1 4 7 1 4 O ’
so daB die mittlercn Zahlen besonders herausgehoben werden und addiert oder
subtrahiert zu diesen Zahlen in der Mitte wiederum 1/2, so ergibt sich wicdgum
eine Null in der Mitte und cine Symmetrie der beiden Halften. I n unserem Beispiel tritt also folgendes auf :
Dasselbe ergibt sich bei 6 a , I O U , 14a, 1 8 a , 22n usw.
Diese Tatsache erklart wohl, daB alle geradzahligen Werte von a sich so verhalten, a1s ob sie den halben Abstanden entsprecheri. Der Phasensprung von
1
in der Mitte der Zahlenreihen wirkt sic% lediglich so aus, daB die Streifensysteme
gegen die Normale etwas verschoben sind. Die Streifen liegen in der Mitte zwischen
den Stellen, an denen sic liegen wiirden, wenn dcr Phasensprung nicht vorhanden
ware. Dies laBt sich auch durch Versuche leicht bestatigen.
2) In der Tabelle 3 bedeutet in der Formel N die Laufzahl der Spaltc des zweiten
Gitters. Der Nenner des Bruches ist der Multiplikator von a aus der ersten senkrechten
NZ
Reihe und m eine - benachbarte ganze Zahl, falls dieser Brueh einen griil3eren U’ert als
n
1 liefert.
1.Lau :Beugungserscheinungenan Doppelrmtern
423
Risher sind nur die auffalligsten Streifensysteme beschrieben worden, die alle
bei ganzzahligen Vielfachen des Abstandes a zwischen den beiden Rastern auftreten. Bei genauerer Beobachtung zeigen sich jedoch in den Zwischenstellungen
noch eine grolje Anzahl von Streifensystemen, die sich jedoch auf die bisher beschriebenen zuriickfiihren lassen. Dieselbe Zahl ( Z ) , die bei dem Abstand a auftritt, tritt namlich auch bei lI2a,l13a, l/,,a, l/;a, li6ausw. auf, nur da13 die Streifen
um so unscharfer werden, je groljer der Nenner ist. Unlich ist es auch bei samtlichen
Streifensystemen. Eigentlich miissen diese Streifensysteme bei beliebigen ganzzahligen Nennern zu beobachten sein, aber manchmal hebt sich der Bruch und es
entsteht dann das dem kleineren Wert von n . n entsprechende Streifensystem.
Manchmal befinden sich unmittelbar benachbart andere Streifensysteme und es
treten so Schwebungen zwischen verschiedenen Streifensystemen auf. J e groljer
der Abstand zwischen den Rastern, um so groljer ist die Scharfe der Streifen. Bei
sehr groljen Abstanden von z. B. 2 Metern sind ungemein feine Streifen z u beobachten. Bei solchen Abstanden nahern sich die Verhaltnisse einer normalen Gitteranordnung im parallelen Strahlengang. Das Eingangsraster liefert lediglich durch
die Vielzahl von Spalten einen Unterschied von einer normalen Gitteranordnung.
Die Leichtigkeit, mit der sich Streifensysteme verschiedener Engigkeit und verschiedener Scharfe hervorrufen lassen, macht die Anordnung vielleicht geeignet
zur Priifung von Objektiven.
Von Wichtigkeit fur die Bearbeitung dieses Gebietes sind noch diejenigen Erscheinungen, die auftreten, wenn man die Spalte etwas breiter macht. Dann verandern die Beugungserscheinungen an den einzelnen Spalten noch das resultierende Bild. Grundsatzlich treten jedoch keine neuen Erscheinungen auf.
Die vorliegende Arbeit wurde im wesentlichen noch ausgefiihrt in der Phyaikalisch-Technischen Reichsanstalt. Die Veroffentlichung erfolgt von dem Optishen
Institut Berlin-Kerow, Arbeitsstelle der Deutschen Akademie der Wisaenscliaften.
B e r l i n - K a r o w , Busonistr. 27.
(Bei der Redaktion eingqpngen am %.April 1948.)
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