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Beweis der Unmglichkeit ergodischer mechanischer Systeme.

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I06 1
8. BeweCs der UnmtJgZichbeQtergoddecker
mechannischer Systemelj;
von H.PZanchereZ.
..
Bezeichnen q l , q s J . q,; p l , p 8 . . ., p, die generalisierten
Koordinaten und Momente eines Ronseruativen mechanischen
Systems von n Freiheitsgraden und E’= E ( q , p ) die totale
Energie desselben, so lauten die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
dpn = -a E
dp, a--a E
(1)
dt
aphJ
dt
a q h (h = l J 2 J , . . J n ) .
Die Qleichung
(2)
E ( q , p )= const.
liefert dann unmittelbar ein erstes Integral der Bewegung.
Qeometrisch konnen wir die jeweilige Phase des Systems
im Zeitmoment t durch einen Punkt mit den Koordinaten ( q J p )
im 2 n-dimensionalen Raum (Phasenraum) darstellen. Der
wirklichen Bewegung des Systems im Laufe der Zeit entspricht
dann im Phasenraum die Bewegung des Punktes ( q , p ) langs
einer Kurve C ( t ) , der Bahnkurve des Systems. Die Bahnkurve gehiht zu einer gewissen Fliiche 8 (Energieflache) der
Schar (2). Es gilt nun fur n > 1 folgender Satz:
Die BahnRtrrue C(t) des Systems geht nicht durch jeden
Punkt der Bnergiefliiche S. Auf der. Energiefliiche ezistiert eine
unendliche, nicht abzahlbare Menge verschiedener Bahnkuruen.
1) Diese Unm6glichkeit habe irh zum eretenmal in einem im Februar 1912 gehaltenen Vortrag des mathematisch-physikischen Seminars
der Universitat Freihurg (Schweiz) bewiesen. Hr. Dr. A. R o e e n t h a l ist
unabhhgig von mir eu einem Beweis [Ann. d. Phys. 42. p. 796. 1913)
gelaogt, der mit meinem damaligen Beweie nahe verwandt ist. Den hier
gegebensn Beweie habe ich in der Berner Sitzung (Miire 1912) der
Scliwrizerischen Physikalischen Geeellschaft vorgetragen. E r unterscheidet sich von meinem ereten Beweia und demjenigen des Hrn.
R o s e n t h s l dadurch, dab er nicht von den Brouwereehen C’atzen auageht, eondern auf der Theorie des MaSee der Punktmengen beruht.
.
1062
M.Planchcrel.
Damit wird die Unvertrkglichkeit der Ergodenhypothese
mit den Hamiltonschen Gleichungen bewiesen; denn diese
Hypothese fordert gerade, daE die Bahnkurve durch jeden
Punkt der Energiefliiche gehen 8011. Wir beschranken uns
daranf, hier die Hauptpunkte des Beweises zu skizzieren.
1. Es ist immer moglich, anf der Flache 8 einen Punkt A
derart zu bestimmen, daE fur einb 2n-dimensionale Kugel 2,
die mit hinreichend kleinem Radius um A als Mittelpunkt beschrieben ist, folgende Bedingungen erfiillt sind : l)
a) Im Innern, und auf der Grenze von 2’ sind alle par:
tiellen Ableitungen erster Ordnung a E l 8 q,,, 8 h’ldp, stetige
Funktionen des Punktes (q,p ) .
b) Im Innern und auf der Grenze von 22 ist mindestens
eine dieser Ableitungen durchweg von Null verschieden. Sei
0.
also etya dglaq, =I=
c) Bezeichnen wir mit G den Teil der Energieflache S,
der innerhalb und anf der Grenze von B liegt, so bildet G
ei11 einfach zusammenhangendes (2 n
1)-dimensionales Qebiet.
2. I n jedem Punkt von G konnen wir desbalb deli Inhalt
d cr eines Flachenelementes durch die Formel
-
definieren. Dadurch wird es maglich, die B o r e l - L e b e s g u e sche Theorie des MaEesP) auf beliebige Punktmengen von G
zu libertragen. Sei B irgend eine Punktmenge auf G, und f
eine. durch die Festsetzung
I, tauf E
f=
{ 0, nuEerhelb E
definierte Funktion ; existiert ferner das iiber G erstreckte
Lebesguesche Integral
(QJ
so stellt dieses Integral das Mae (G) der auf G meEbaren
1) Zur Rechtfertigung dieser Behauptung ~ g l .Roeenthel, 1. c.
2) Vgl. H. L e b e s g u e , Legom Bur I’int8grotion, Paris 1904.
M.Planeherel. Unmoglichkeit erqotlischer mechanischer Systeme. 1065
Punktmenge B dar. Wenn das MaS von E auf G gleich Null
ist, so heiSt E zur Abktirzung eine Nullmenge. Q selbst hat
als Ma0 seinen Flacheninhalt, ist also keine Nullmenge. Die
Summe einer endlichen oder abzllhlbar unendlichen Anzahl
von Nullmengen ist wieder eine Nullmenge.
Ein Kurvenbogen
qh=yh(t)l
ph=Ph(t)
r<t<r'
heiBt rektifirierbar, wenn das Integral
existiert und einen endlichen Wert hat. Besteht ein rektifizierbarer Kurvenbogen nur aus Punkten von G, so bildet
er (n > 1) eine Nullmenge auf G.
3. Betrachten wir jetzt irgend eine durch einen inneren
Punkt von G verlaufende Rahnkurve C(t). Wir bezeichnen
mit C,(t) denjenigen Teil diemr Bahnkurve, der aus inneren
Punkten von G besteht nnd mit T jene Wertmenge (t), welche
C, (t) entspricht. Wegen der Stetigkeit von d qhldt , d p J d t
auf G ersieht man leicht, da6 P! aus den inneren Punkten
einer hochstens abzahlbaren Menge sich nicht iiberdeckender
Intervalle besteht. Folglich ist Cu(1) aus einer endlichen oder
abzahlbar unendlichen Menge rektifizierberer Kurvenbogen
zusammengesetzt. Da jeder dieser Kurvenbogen eine Nullmenge auf G bildet, ist C,(t) selbst eine Nullmenge. Mit
anderen Worten: Der im Gebiete G liegende Teil einer beliebigen Bahnkurve des Systems bildet eine Nnllmenge auf G.
Da G selbst keine Nullmenge ist, so folgt jetzt unmittelbar
der zu beweisende Satz.
F r e i b u r g (Schweiz), August 1913.
(Einpegangen 29. August 1913.)
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