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Beziehungen zwischen den Lorentzschen und den Galileischen Transformationsgleichungen.

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4. BeAehuwgen m $ s c h md m Lorentxschera urn&&ern
G a 8%E eischerc FransformatlonsgEe%chumgm;
von StJepam Nohorov%d%O.
Vor einiger Zeit hat Ed. Guillaumel) eine Theorie entwickelt, in welcher er unter anderen gezeigt hat, wie die
L o r en t zschen Transformationsgleichungen zu deuten sind,
damit die Galileischen Transformationsgleichungen zulilssig
sind. E r setzt voraus, ,,die Zeit sei ein einfucher Begriff, daB
es aber unendlich viele Arten gibt, dieselbe auszudriicken. Die
einparumetrische Darstellung (t)kann durch eine rnehrpurarnetr&
schc ersetzt werden. Beide sind natiirlich gleichwertig; da es
sich darnm handelt eine und dieselbe Zeit darznstellen". Dagegen hat Fr. Ad1e r 3 mittels seines Symmetralsystems gezeigt,
,,daS sich unter der formal-mathematischen Einheit der Einst ein schen Transformationsgleichungen physikalisch ein Doppelcharakter verbirgt", und somit ist er zu seinem ausgezeichneten
Bezugssystem angelangt. Vor fast sechs Jahren habe ich
gezeigtg, daB wir in der speziellen Relativitiitstheorie ,,zu
1) Vgl. z. B. Ed. Guillaume-Ch. W i l l i g e n s , ffber die Grundlagen der Rrlativit$ititetheorie (Phyeikal. ZS. XXII. 1921. S. 109-114);
Ed. G u i l l a u m e , Graphische Darstellung der Optik bewegter Kiirper
(ebenda, S. 386 -388).
2) Fr. Ad 1e r , Ortszeit , Systemzeit, Zonenzeit und daa ausgezeichnete Bezugssystem der Elektrodynamik. Wien 1920 (S. 258) - (S.3). Er
beginnt sein ausgezeichnetes Werk mit den Worten (S. 1): ,,Die Existenz
eines azcsgexehhneten Bezugssystems und die Existenz gleichwertiger Bezugssysteme sind kein unvereinbarer Gegensatz, sondern nebmeflank
miiglieh.((
3) S. MohoroviEi6, nber die raumliche und zeitliche Translation.
I. II. 11. T. ,,Bulletin" So. 6/7 u. 9/10 der siidslaw. Akadem. d. Wiss. u.
I(. in Zagreb, 1916/1? u. 1918. S. 46-73 bzw. 21-3B.
Hier habe ich
gezeigt , da6 allgemein unendlich viele spezielle Relativit??tstheorien
m6glich sind. In neuester Zeit hat dies fur die allgemeine Relativitiitstheorie P. P a i n l e v 6 gezeigt (La mhcanique classique et la thhorie de la
relativit6. Compt. rend. 173. 677-680. Paris 1921).
Xorentzsche und Galila'sche Transformationsgieichungen. 321
gleicher Zeit eine zweifache Translation mit konstanter Qeschwindigkeit, lings der riiumlichen Koordinatenachse x und
der zeitlichen Achse t" haben. Es ist hier meine Absicht, alle
drei erwahnten Theorien in eine einzige zusammenzuschmelzen ;
dabei wird die hier entwickelte Theorie sehr durchsichtig und
ungezwungen.
1. Betrachten wir drei Koordinatensyateme S, S, und S,
Fig. l), welche zu einer gewissen Zeit ubereinstimmen, Das
System S, bewegt sich gegen S liings der positiven x-Achse
Fig.
1.
mit konstanter Beschwindigkeit v , dagegen bewegt sich das
System S, gegen S mit konstanter Beschwindigkeit - v. Das
System S ist also ein Symmetrdsystem, deshalb werden folgende
Tr ansformationsgleichungen bestehen :
bus (1) und (2) folgt:
St. Mohorovi2ib.
322
Bezeichnen wir mit:
17h
G=-
Zl
+ =z!
2
’
(7X
t
+
a
+B
z
=--L
2
’
und
(8)
vo = 2 V )
so folgt aus (3):
und dies sind die Galileischen Transformationsgleichungen,da
vo die Geschwindigkeit ist, mit welcher sich in der klassischen
Mechanik das System Sl gegen S, bewegt. Die Relation (8)
stellt uns das Newt on ache Additionsgesetz der Geschwindig= v o t , wo
keiten dar; t ist die Newtonsche Zeit und
t = t1 = ta.
(11)
Aber such in der neuen Mechanik messen die beiden Beobachter Sl und $, die gleiche Zeit in dem Punkte 0 (da hier
x = 0 iat), und diese Zeit ist gerade proportional mit der
Newtonschen Zeit t, da aus (6),(7)1 und (7)2 folgt:
wo wir die Zeit von dem Momente anfangen zu rechnen, in
welchem 8, S, und Sz zusammenfallen. Die Newtonsche
Zeit t gilt far ‘das ganze System S, und Sz,d. h. die Uhren,
welche nach dieser Zeit gerichtet sind, werden in jedem Punkte
der beiden Systeme Sl und 8, gleich schnell laufen. Umgekehrt, es ware gerade so leicht aus den Galileischen Transformationsgleichungen (9) und (10) zu den Lorentzschen Transformationagleichungen (1)und (2) zu gelangen. l)
2. Wir konnen aber noch um einen Schritt weiter gehen.
Aus (1) und (2) haben wir sofort:
1) Ich mache aufmerksam, daf3 der umgekehrte Weg nicht eindentig jet, und daB er uns zu unendlich vielen Relativitiitstheorien fihrt,
was ich bereits in meinen friiheren Arbeiten gezeigt habe (a. a. 0.).
Lorentzsche und Gddeischs Transfo17nationsgleichungtn. 3 23
und
und daraus:
(14)
Bezeichnen wir mit:
(15)~
20 = w0c3,
so haben wir aus (11) sofort:
(1Q
?Yo
=
6
1
=
g2 -- 3 . +2 4 '
1
und dies sind die ,,Galileischen" Transformationsgleichungen
zwischen den Lorentzschen Zeitkoordinaten rl und t,. Die
beiden Lorentzechen Systeme S, und S, bewegen sich gegeneinander liings der zeitlichen Achse T mit konstanter Geschwindigkeit l)
(1571
u)
0
=210.
c9
Die zeitliche Bewegung
wird mittels der rilumlichen Verschiebung g = 8, = g,
(15'j,
gemessen. Die beiden Beobachter 8, und S, messen also die
gr00. Die Verkntipfang
Verschiebung
_ _ gleich
- des Raumes
mit der Zeit tritt somit -deutlich hervor.
3. Frtiher haben wir gefunden, da0 die Systeme S, und S.,
mittels der (3 a l i 1e i schen Transformationsgleichungen (9) u n i
(10) gebunden sind, wo dae New tonsche Additionsgesetz der
Geschwindigkeiten (8) gilt; die beiden Systeme S, nnd S, sind
auch mittels der Lor en t z schen Transformationegleichungen
gebunden, und aus (1) und (2) h d e n wir leicht:
1) Zu gleichem Rmultate bin ich bereite im Jahre 1916 angelangt.
Siehe a. a 0. I. Teil, S. 52 und 56.
324
St. Mohvrovi2id.
wo das E i n s t e i n sche Addi$ionsgesetz der Geschwindigkeiten gilt:
(20)
2v
@=
1+,
V'd
Daraus geht klar hervor, daB wir die Galileischen und die
Lorentz schen Transformationsgleichungen benutzen und die
Zeit verschiedenartig darstellen kbnnen. Daraus kdnnen wir
nicht den SchluB ziehen, daB der Gang einer Uhr von ihrer
relativen Geschwindigkeit ,,abhiingigi' ist. Die Folgerungen, zu
welchen uns die Relativitatstheorie von Einstein gefuhrt hat,
sind bloB eine Fiktion.
Zagreb (Jngoslavien), Mitte Marz 1922.
(Eingegangen 22. Mgirz 1922.)
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