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Binpre SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen fr quantenstatistische Systeme mit COULOMB-Wechselwirkung. I

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EBELING,KELBGund ROHDE:Binare SLATEn-Summen und Verteilungsfunktionen
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Binare SiArER-Summen und Verteilungsfunktionen
fur quantenstatistische Systeme mit
CouLoMB-WedrseIwirkung. I
Von W. EBELING,
G. KELBGund K. ROHDE
Abstract
High temperature plasmas are investigated on the basis of quantum statistics. The
binary distribution functions for the pairs nucleus-electron, electron-electron and nucleusnucleus are expressed in a first approximation by the binary SLATER-SUmS. The binary
SLATER-SUmSof the above mentioned pairs are expanded in a TAYLOR-serieswith respect
to the distance of the particles T.
The value of the binary SLATER-Sums a t T = 0 as well as the first six derivatives are
calculated. Effects of symmetry are taken into account.
1. Einleitung
Die Behandlung des thermodynamischen Gleichgewichts in einem System
aus Atomkernen und Elektronen bereitet Schwierigkeiten, da der klassische
BOLTZMANN-Faktor und damit die Zustandssumme fur kleine Abstande entgegengesetzt geladener Teilchen divergieren. Diese Divergenz kann bei quantenmechanischer Behandlung vermieden werden. MORITA[l]und KELBG[2] fuhren effektive Potentiale ein, die mit Hilfe der SLATER-Summen quantenmechanisch berechnet werden und wegen der Unscharferelation keine Divergenz im
Ursprung zeigen. Diese effektiven Potentiale, die fur groBere Abstande in das
weitreichende CouLoMB-Potential iibergehen, gestatten es, die freie Energie
von Quanten-Plasmen zu berechnen. Die zweiten und dritten Virialkoeffizienten
der Entwicklung der freien Energie wurden zuerst in [3] gegeben. Hier wurde
gezeigt, daB die binaren SLATER-Summen die exakte Berechnung des zweiten
Virialkoeffizienten und damit der freien Energie bei kleinen Konzentrationen
gestatten. Anwendungen dieser Formel auf Hochtemperatur-Plasmen wurden
in weiteren Arbeiten gegeben [4]. Man kann zeigen, daB die binaren SLATERSummen auch eine naherungsweise Berechnung der Paar-Verteilungsfunktionen
des Plasmas ermoglichen [ 5 , 61. I m zweiten Kapitel der vorliegenden Arbeit
sollen nach der Methode der effektiven Potentiale exakte Ausdrucke fur die
ersten beiden Glieder einer Dichte-Entwicklung der biniiren Verteilungsfunktionen angegeben werden. Die folgenden Kapitel sind der Berechnung der binaren Verteilungsfunktion gewidmet. Der Verlauf der binaren SLATER-Summen
wird fur Kern-Elektron-, Elektron-Elektron- und fur Kern-Kern-Paare berechnet. Wir benutzen dazu im AnschluS an MORITA[l]die Methode der TAYLOR-Entwicklungen nach dem Abstand der Teilchen. Die Hohe der SLATER-
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7. Folge
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Band 21, Heft 5/6
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Summe im Punkt r = 0 und die ersten sechs Ableitungen werden mit Hilfe
der CouLoMs-Wellenfunktionen berechnet und diskutiert. Die TAYLoR-Entwicklung gestattet eine Darstellung der binaren SLATER-SUmme fur kleine
Abstlnde der Teilchen. Da die Quanteneffekte etwa die Reichweite der thermischen DE BROGLIE-Wellenlange haben, kann die SLATER-Summe fur groae
AbstLnde der geladenen Teilchen durch den klassischen BoLTZMANx-Faktor
approximiert werden (s. a. [3])
f ur
<
Durch Interpolation zwischen den Formeln fur kleine Abstande r
l a b und
fiir grol3e AbstZlnde r
erhalt man einen guten uberblick uber den Gesamtverlauf der binaren SLATER-SUmme. Die vorliegende Arbeit beschrankt sich
auf die Berechnung der SLATER-Summe von Teilchen mit dem Spin h/2, die
der FERMI-Statistik geniigen.
>
2. Die binaren Verteilungsfunktionen
Die Wahrscheinlichkeitsdichte dafiir, ein System von N geladenen Teilchen
in der Konfiguration
r1, r2, f ' . ,
r;
anzutreffen, ist im thermodynamischen Gleichgewicht gegeben durch
V(A')(rl, . . ., rm)
=
Q&lSN)(rl,. .. , r;).
Hierbei ist
S(N)
(rl, . . . , r N )
=
N !A 3 N
2
n y n (rl, . . . , r;)
~
(2)
( 2 e+En
die SLATER-Sumrne des N-Teilchen-Problems.
I n dieser Formel sind y, die Energie-Eigenfunktionen zum Eigenwert E ,
und weiter ist
/I = l / k T ; A
QN
h/)/2nmkT.
wird als Konfigurationsintegral bezeichnet
=
j- S ( N )(TI, . .., TN)dr,
.* drfl.
Die binare Verteilungsfunktion fur zwei Teilchen der Sorten a und b , die
d. A. die Nummern 1 und 2 tragen mogeu, definieren wir durch [3]
&A7
=
*
.
V 2&$ J S(") (rl, . . . , ty) dr,, . ., dryy.
Durch Einfuhrung der Darstellung durch effektive Potentiale [l... 4 ]
Fab =
0.
B.
(3)
erhalt das rein mathematische Problem der Auswertung der Integrale in (3)
formal dieselbe Gestalt wie im entsprechenden klassischen Problem [ 7 . - . 91. I n
EBELING,
KELBGund ROHDE
: Biniire SLmEn-Summen und Verteilungsfunktionen
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G1. (4) bedeuten [3, 41
V,
+ Vij
(2)
- k T In Sij
(xi, rj)
u.ijk= - k~ [ ~ n - In ~ 23( 2 ’ In ~,!f’
- In sjp’]
=
Vi+= ( e i e j / r ) .
Unter Benutzung der klassischen Formeln fur die binare Verteilungsfunktion
von COULOMB-SyStemen mit Mehrteilchen-Wechselwirkungen folgt
Pab(rl,
rz) = sZ)(r13~ z exp
)
(gab
x 1 2 nc $ a r c
+
[
+
+ VabjkT)
{@ucgbc
c
+
@bcgac
(3)
(2)
( 2 ) (2)
[(Sabclsab) - quc Sbc
] . exp [ g b c g a c
+ o ( n 2 ) ].
+
+
(5)
@ac@bc)
f
va~
vbcl
Hierbei ist
gab = - 5%
k T r e -xr ,.
@ub=
ex!? [gab
+
x2 =
476 x n , e ; / k T
U
Vab/kTI -
1- gab.
I n ,einer ersten Naherung laBt sich die binare Verteilungsfunktion bei kleinen
Konzentrationen durch die binare SLATER-SUmme ausdriicken
Fab(r) =
~ % ) ( exp
r)
[%+ (I -
e-xr)]
+~(n,).
(6)
I m Grenzfall unendlich kleiner Konzentrationen sind die binare Verteilungsfunktion und die binare SLATER-SUmme miteinander identisch
Die oben nach der Methode der effektiven Potentiale gefundenen Verteilungsfunktionen gelten fur den Fall mittlerer und hoher Temperaturen. Andere
Met hoden zur Berechnung der binaren Verteilungsfunktionen bei hoheren
Temperaturen wurden von TRUBNIKOW
und ELESIN[5], LAMB[lo], KREME
und SCHMITZ[ll]sowie DEKEYSER[12] entwickelt. Fur den Fall tiefer Temperaturen wurden binare Verteilungsfunktionen von FUJITAund HIROTA
[I3 1,
BALESCU[14] sowie DUNNund BROYLES[15] angegeben. I n der vorliegenden
Arbeit werden nur Plasmen hoherer Temperatur behandelt.
I m folgenden werden wir die SLATER-SUmme von 2 Teilchen der Sorten a
und b abkiirzend durch
sab =
s % ) ( r r2)
~>
bezeichnen.
Die folgenden Kapitel befassen sich mit der konkreten Berechnung der
biniiren SLATER-Summen fur Paare geladener Teilchen mit dem Spin hj2.
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Band 21, Heft 5/G
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3. Darstellung der binaren SLATERSummen dureh die CouLom- Wellenfunktionen
3.1. Berechnung der binaren SLATER-Summe fur Kern-Elektron-Paare
Die binare SLATsR-Summe fur Kern-Elektron-Paare ergibt sich in obereinstimmung mit der Definitions-Gleichung ( 2 ) nach MORITA [ l ] zu
S,, (rl,T ~ )= A t &
2
I Yn(rl,r2) l2 e-P%.
n
(7)
Nach Einfuhrung von Relativ- und Schwerpunktkoordinaten finden wir nach
einer Integration uber die Schwerpunktimpulse
S , a e ( ~=) 8n3/2;1:e
2 Iy,(r) l2
e-p'z.
z
Hierbei ist An,
=
(8)
fi11/2mnekTund yi(r) die Losung der SCHRODINGER-Gleichung
y i(T) lLBt sich in zwei Anteile separieren : Fur das kontinuierliche Spektrum
(ck 2 0) gilt
Die Summation iiber die Quantenzahl rn la& sich ausfuhren
Wir zerlegen die SLATER-Summe in die Beitrage des diskreten und des kontinuierlichen Spektrums
Sne ( r ) = Xne ( r , ~i
< 0) + Sne ( r , ~i 2 0).
Fur den diskreten Anteil ergibt sich
Hier ist R,, ( r ) die normierte radiale Eigenfunktion [16]
X P(--n
+ I + 1 , 2 1 + '2, 2 Z r / n a 0 ) ;
m
J
0
]Itnt(?-)
j2r2dr
=
1.
(12)
EBELINQ,
KELBGund ROHDE:Binare SLATER-SUmmen und Verteilungsfunktionen
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Fur den Beitrag des kontinuierlichen Anteils des Spektrums folgt (vgl. [5])
Rk,( r )ist die normierte radiale Eigenfunktion fur das kontinuierliche Spektrum
El61
Rkt(r)
==
1'
4kZ/ao
1
f7
1 - e-2nz/kaos=1
[.s2
+ (Z/kao)2j1i2e - i k r
Wir gehen jetzt zur Berechnung des kontinuierlichen Anteils der SLATERSumme durch TAYLOR-Entwicklung uber. Durch Einsetzen von (16) in (15)
erhalten wir
x ( F ( i Z / k a o+ 1 + 1, 21+ 2, 2ikr)12dk.
I n (17) substituieren wir &k2 = x2 und fuhren nach [4] den Wechselwirkungsparameter tne= gZe2/Ane ein. Damit ergibt sich unter Verwendung von
r' = r/Anedie Darstellung
x F
i5.. + I + i , 2 1 +
l ( 2 x
2, 2ixr'
)
Es ist moglich in (18) eine TaYLoR-Entwicklung nach dem Radius r' durchzufuhren
m
sne(Ette, r', C) =
C
k=O
f k f E n e , C) r ' k -
(19)
Die f, (tm,c ) werden durch Koeffizientenvergleich bestimmt. fO (t,,,c ) und
fl(tne,
c ) wurden schon von MORITA [ l ] bestimmt. Wir erhalten fur die ersten
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Auch der diskrete Anteil der SLATER-Summe kann durch TAYLOR-Reihen-Entwicklung berechnet werden. Durch Einsetzen von (14) in (13) erhalten wir
x lF(-n
+ 1 + 1,21 + 2, 2Zr/na,I2.
Wir fiihren wieder die dimensionslosen GroBen
ein und erhalten die Darstellung
=
,BZe2/inne und r'
=
r/jlIle
Auch in diesem Falle ist die Entwicklung in einer TAYLOR-Reihe moglich
m
Sne(tne,
Die
und
fk
d) =
(En,, d ) werden
fl(Ene,
2
k=O
fk(trze,
4 rlk.
wieder durch Koeffizientenvergleich bestimmt.
d ) sind schon von MORITA [l] berechnet worden.
(23)
f0
(cne,d )
EBELING,
KELBGund ROHDE:Biniire BLATER-Summen und Verteilungsfunktionen
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,-
Es bedeutet
3.2. Berechnung der binaren
Kern-Paare
SLATER-SUIIIme
fur Elektron-Elektron- und Kern-
Die binare SLATER-SUmme fiir Elektron-Elektron-Paare ergibt sich nach
( 2 ) zu
See(r1, r2) = 2 4 2 IFn(r1,22) e-’’,.
l2
Nach Einfuhrung von Relativ- und Schwerpunktkoordinaten und nach Integration iiber den Schwerpunktimpuls ergibt sich
Zur Auswertung von ( 2 5 ) konnen die Ergebnisse des Abschnitts 3.1 fur den
Fall des kontinuierlichen Anteils der biniiren SLATRR-Summefur Kern-ElektronPaare iibernommen werden, wenn wir formal meestatt mne,a = 2 a , statt a,
sowie Z = - 1 setzen und den Faktor 2 ! berucksichtigen. Damit wird der
Wechselwirkungsparameter negativ
AuBerdem haben wir noch die Symmetrieeffekte zu berucksichtigen. Wir verwenden dazu ein Verfahren, das auf HIRSCNFELDER,
CURTISS und BIRD [17]
zuruckgeht. Die gesamte Wellenfunktion, die sich in Spin- und Ortsanteil
separieren liiBt, mu0 antisymmetrisch sein.
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Die Antisgmmetrie der vollstandigen Wellenfunktion kann durch zwei Moglichkeiten realisiert werden :
1. Der Ortsanteil ist symmetrisch (I = 0, 2, 4, . . .); der Spinanteil ist antisymmetrisch.
2. Der Ortsanteil ist antisymmetrisch ( 2 = 1, 3, 5 , ...); der Spinanteil ist
symmetrisch.
Betrachten wir Teilchen rnit dem Spin sh, so ergibt eine Abzahlung der
Zustande, daB die Wellenfunktionen mit symmetrischen Ortsanteil mit dem
Gewicht s / (2 s
I), die Wellenfunktionen mit antisymmetrischem Ortsanteil
mit dem Gewicht (s l ) / ( 2 s 1) auftreten. Damit ergibt sich fur Teilchen
mit dem Spin h/2 folgende Formel
+
+
+
+ + 1, 21 + 2, 2ixr’)
x IP(itee/2x 1
12
&.
Jetzt fuhren wir wieder die TAYLoR-Entwickhng durch
m
See(tee,
r’) =
und bestimmen die
fo
(tee) =
C fk(tee)rIk
k=O
fk
2
(tee)
durch Koeffizientenvergleich
1;t e e
~1 ( t e e )
Fur den Fall der binaren SLATER-SUmme S,, (En,, r’) fur Kern-Kern-Paare
mit dem Spin hi2 haben wir nur formal in (28. +.29) En, = - PZ2e2/jlnnstatt
teeund r’ = r/jlnn statt r’ = rljl,, zu setzen.
I m Teil I1 dieser Arbeit werden auf Grurrd der TAYLOR-Reihen-Entwicklungen die binaren SLATER-Summen in der Umgebung des Nullpunktes r = 0
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tabuliert. Da die binaren SLATER-Summen fur groI3ere AbstLnde durch den
klassischen BOLTZMANN-Faktor approximiert werden konnen, erhalten wir
durch Interpolieren ein Bild vom gesamten Verlauf der binaren SLATER-Summen. Das ermoglicht die Berechnung der biniiren Verteilungsfunktionen. Es
werden binare SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen mit der Temperatur
und Dichte als Parameter graphisch dargestellt und diskutiert.
Lit eraturverzeichnis
[l] MORITA,T., Progr. Theor. Phys. 22 (1959) 757.
Physik 12 (1964) 354 12 (1963)
219.
_121
_ KELBG,G.,W.,Ann.
.
[3] EBELING,
Ann. Physik 19 (1967) 104.
11.
u. G. KELBG,Beitr. Plasmaphysik 7 (1967) 233.
[4] EBELING,W., H. J. HOFFMANN
HOFFMANN,
H. J., u. W. EBELING,
Beitr. Plasinaphysik 8 (1968)43.
[5] TRUBNIROW,
B. A . , u. K. F. ELESIN,Sh. exp. theor. Fis. UdSSR 47 (1964) 1279.
[6] KREMP,D., u. W. D. KRAEFT,Ann. Physik (im Druck); Z. Physik (im Druck).
Ann. Physik 18 (1966) 29.
[7] EBELING,W., G. KELBGu. G. SCHMITZ,
[8] FRIEDMAN,
H. L., Ionic Solution Theory, New York, Interscience 1962.
191 SCHMITZ,
G., Ann. Physik (im Druck).
[lo] LAMB,G. L., Physic. Rev. 140 (1965) A 1529.
1111 KREMP,D., u. G. SCHMITZ,
Z. Naturforsch. 22a (1967) 1366.
[12] DEKEYSER,
R., Physica 35 (1967) 506.
[13] FUJITA,S., u. R. HIROTA,Physic. Rev. 118 (1960) 6.
[14] BALESCU,
R., StatirJtical Mechanics of Charged Particles, London, Interscience 1963.
Physic. Rev. 157 (1967) 156.
[15] DUNN,T., u. A. A. BROYLES,
Lehrbuch der theor. Physik 111,Berlin, Akademie[16] LANDAU,
L. D., u. E. M.LIFSCHITZ,
Verlag 1965.
[17] HIRSCHFELDER,
J. O . , CH. F. CURTISS u. B. R. BIRD,Molecular Theory of Gases and
Liquids, London Chapman and Hall 1954.
R o s t oc k , Institut fur theoretische Physik der Universitat.
Bei der Redaktion eingegangen am 31. Oktober 1967.
16*
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