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Binpre SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen fr quantenstatistische Systeme mit COULOMB-Wechselwirkung. II

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ANNALEN D E R PHYSIK
~~
7. F O L G E
BAND22,
HEFT1/2
1968
Binare SuTER-Summen und Verteilungofunktionen
fiir quantenstatiotioche Systeme
mit CoumMe-Wechrelwirkung. II
Von K. ROHDE,G. KELBGund W. EBELING
Mit 9 Abbildungen
Abstract
In part 1 of this paper the SLATER-sums of two charged particles were expanded in
TAYLOR-series with respect to the distance between t h e particles. Using these expansions
we calculate the binary 8LATER-SUmS for small values of r ( r Q d) A-thermal wavelength).
In the case of r $1 t h e binary SLATER-SUmS can be approximated by the classical BOLTZMANN-factor. In t h e intermediate region r w 2 we get the binary SLATER-sums by interpolation. For high temperatures we obtain KELBG'Sresult. For special cases the binary
SLATER-sumsand the binary distribution functions are presented graphically and discussed.
1. Einleitung
I n Teil I dieser Arbeit [I] wurde gezeigt, wie sich die biniiren Verteilungsfunktionen aus den binaren SLaTER-Summen ergeben. Eine Berechnung der
biniiren Verteilungsfunktionen erfordert damit die genaue Kenntnis der biniiren
SLATER-Summen. Um deren Verhalten in der Umgebung des Nullpunktes zu
ermitteln, wurden in Teil I die biniiren SLATER-Summen fur Kern-Elektron-,
Elektron-Elektron- und Kern-Kern-Paare in eine TAYLoR-Reihe nach dem Abstand der Teilchen entwickelt. Zum Beispiel folgte fur Kern-Elektron-Paare
die Entwicklung
CD
Sne(tne9 T')
=
2 fk(td7"
k=O
(1)
Hierbei ist r' = r/Afleder dimensionslose Abstand der Teilchen, bezogen auf
die DE B~oGL~E-Wellenlange
ti
An, =
,,GkT
mnaist die reduzierte Masse fur die Bewegung des Elektrons um den Kern. Der
dimensionslose Wechselwirkungsparameter ist definiert durch
wobei 2 die Kernladungszahl darstellt.
I m Teil I dieser Arbeit wurden konkrete Ausdrucke fiir die ersten sieben
Koeffizienten der TAYLoR-Entwkklung hergeleitet. Diese Koeffizienten lieBen
sich durch nicht elementar auswertbare Integrale In(E)und Summen Z,.(E) ausdrucken, die im folgenden tabelliert werden sollen. Mit Hilfe dieser Tabellen
werden die biniiren SLATER-Summenim Nullpunkt und in der Umgebung des
1 Ann. Physik.
i . Fo!ge, Ed. 22
2
Annalen der Phyeik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft 1/2
*
19G8
Nullpunktes’berecbnet und der Verlauf bis zum Einmunden in den bekannten
klassischen BoLTzMANN-Faktor interpoliert. Die Kenntnis des Gesamtverlaufs
der biniiren SLATER-Summen erlaubt dann die Berechnung der biniiren Verteilungsfunktionen bei mittleren bzw. hohen Temperaturen und kleinen Dichten.
2. Numerisehe Auswertung der biniiren SLATER-Summen
0.1. Bereohnung der Integale I,,((&) und der Summen Zr&)
Im Rechenzent,rum der Universitiit Rostock wurden mit dem Recbenautomaten ZRA 1 folgende Integrale und Summen tabuliert (s. die Tab. 1, 2, 3):
Tabelle 1
W e r t e d e r I n t e g r a l e I i ( B ) f u r positive B
(1,693 el = 1,693 x 10’)
B
08
0,l
n,2
093
0,4
0,s
0,6
0,7
03
03
190
1,5
2,O
a, 5
3,o
3,5
40
4,6
5,0
5,5
G,O
G,5
7,o
7,5
8;O
8,5
9,0
9,5
10.0
11,o
12,o
13,O
14,O
15,O
16,O
17,O
18,O
19,o
2o.n
I P )
1,000
1,058
1,119
1,183
1,250
1,320
1,392
1,466
1,542
1,621
1,701
2,129
2,590
3,076
3,581
4,100
4,630
5,168
5,712
6,261
6,813
7,368
7,926
8,484
9,043
9,604
1,017 e 1
1,073 e 1
1,129 e 1
1,242 e 1
1,354 e 1
1,467 e 1
1,580 e l
1,693 e 1
1,805 e 1
1,918 e 1
2,031 e 1
2,144 e 1
2,257 B 1
1,000
1,038
1,077
1,118
1,159
1,202
1,245
1,290
1,336
1,383
1,430
1,683
1,956
2,248
2,555
2,875
3,206
3,544
3,890
4,242
4,598
4,959
5,322
5,687
6,055
6,424
6,795
7,166
‘i,539
8,286
9,034
9,784
1,053 e 1
1,129 e l
1,204 e 1
1,279 e 1
1,354 e 1
1,429 e 1
1,506 e 1
1,000
1,030
1,062
1,093
1,126
1,159
1,192
1,227
1,262
1,298
1,334
1,525
1,730
1,948
3,179
2,420
2,670
2,928
3,192
3,463
3,738
4,018
4,301
4,587
4,876
6,166
5,469
5,753
6,048
6,640
7,236
7,833
8,432
9,032
9,632
1,023 e 1
1,083 e 1
1,144 e 1
1,204 e l
ROHDE
, KELBG11. EBELINC
: Binare SLATER-Sllllll~enund Verteiliingsfunktionen
3
Tabelle 2
1Vert.e d e r I n t , e g r a l e I:(B) f i i r n e g a t i v e B (2,234e-3 = 2 , 2 3 4 ~ 1 0 - ~ )
B
~
~~
0,0
-0,l
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
-0,6
-0,7
-0,8
-0,9
-l,o
-1,5
-$0
--B,.i
- 3,O
-3,5
-4.0
-4,b
- 5,0
-5,5
-6,?
- 6,o
- 7,O
-7,5
-8,O
-8,5
-9,0
-9,5
-10,o
-ll,o
-12,o
-13,O
-14,O
-15,O
- 16,O
-17,O
-18.0
- 19,0
-20,o
If@)
I f(B)
1,000
9,452 e-1
8,936 e-1
8,449 e-1
7,989 e-1
7,556 e-1
7,147 e-1
6,762 e-1
6,398 e-1
6,054 e-1
5,730 e-1
4,360 e-1
3,329 e-1
2,550 e-1
1,960 e-1
1,510 e-1
1,168 e-1
9,061 e-2
7,035 e-2
5,482 e-2
4,283 e-2
3,354 e-2
2,633 e-2
2,072 e-2
1,634 e-2
1,291 e-2
1,022 e-2
8,112 e-3
6,449 e-3
4,100 e-3
2,625 e-3
1,692 e-3
1,097 e-3
7,161 e-4
1,700 e-4
3,101 e-4
2,057 e-4
1,371 e-4
9,186 e-5
1,000
9,629 e-1
9,270 e-1
8,921 e-1
8,584 e-1
8,257 e-1
7,941 e-1
7,636 e-1
7,340 e-1
7,056 e-1
ti,780 e-1
5,544 e-1
4,520 e-1
3,677 e-1
2,986 e-1
2,423 e-1
1,965 e-1
1,593 e-1
1,291 e-1
1,047 e-1
8,490 e-2
6,889 e-2
0,693 e-2
4,544 e-2
3,694 e-2
3,006 e-2
2,447 e-2
1,995 e-2
1,627 e-2
1,086 e-2
7,270 e-3
4,888 e-3
3,298 e-3
2,234 e-3
1,518 e-3
1,036 e-3
7,093 e-4
4,873 e-4
3,359 e-4
IT(B)
1,000
9,702 e-1
9,412 e-1
9,127 e-1
8,850 e-1
8,679 e-1
8,314 e-1
8,066 e-1
7,805 e-1
7,560 e-1
7,321 e-1
6,219 e-1
5,263 e-1
4,439 e-1
3,734 e-1
3,133 e-1
2,625 e-1
2,195 e-1
1,833 e-1
1,530 e-1
1,275 e-1
1,063 e-1
8,852 e-2
7,371 e-2
6,137 e-2
5,109 e-2
4,254 e-2
3,542 e-2
2,960 e-2
2,048 e-2
1,423 e-2
9,910 e-3
6,913 e-3
4,832 e-3
3,385 e-3
2,377 e-3
1,672 e-3
1,179 e-3
8,336 R-4
1,000
9,744 e-1
9,494 e-1
9,248 e-1
9,006 e-1
8,770 e-1
8,538 e-1
8,311 e-1
8,088 e-1
7,871 e-1
7,657 e-1
6,659 e-1
5,770 e-1
4,983 e-1
4,291 e-1
3,686 e-1
3,159 e-1
2,701 e-1
2,306 e-1
1,966 e-1
1,674 e-1
1,423 e-1
1,209 e-1
1,026 e-1
8,708 e-2
7,383 e-2
6,257 e-2
5,301 e-2
4,490 e-2
3,220 e-2
2,309 e-2
1,656 e-2
1,188 e-2
8,530 e-3
6,131 e-3
4,412 e-3
3,179 e-3
2,294 e-3
1,657 e-3
fiir B >( 0, n = 1, 3, 5, 7 mit einer Genauigkeit von 5 St'ellen,
b)
T
2, ( B ) =
exp [B2/4nn2]
2nr
11 = 1
fur B > 0, r = 3, 5, 7 mit einer'Genauigkeit von 4 Stellen. Der Zusammenhang
mit den in Teil I definierten Funktionen &(E&) und &(&b) ist
4
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22>Heft 1/2
*
1968
Tabelle 3
W e r t e der S u m m e n Z:(B)
B
0,o
0,l
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0.7
0.8
0,o
I ,o
1.5
"0
2,s
3,0
3,h
u
4.5
$0
5.5
(i,o
(;,5
7.0
7,s
8,O
8,5
9,0
9,h
10,O
11,o
12,o
13,O
14,O
15,O
i6,n
17,O
18,0
19.0
20,o
Z.TW
1,203
1,202
1,203
1,204
I ,206
1,209
1,212
1,215
1,219
1,224
1,229
1,2G3
1,312
1,380
1,467
1,578
1,717
1,892
2,111
2,385
2,728
3,163
3,715
4,421
5,333
6,520
8,080
1,015 e 1
1,292 e 1
2,180 e l
3,879 e I
7,277 e 1
1,438 e 1
2,993 e 2
6,557 e 2
1,512 e 3
3,668 e 3
9,362 e 3
2,514 e 4
1,037
1,037
1,038
1,039
1,041
1,043
1,04G
1,050
1,053
1,058
1,063
1,096
1,144
1,210
1,295
1,403
1,540
1,712
1,926
2.196
2,534
2,963
3,509
4,208
5,112
6,291
7,841
9,898
1,266 e l
2,151 e 1
3,847 e 1
7,240 e 1
1,434 e 2
2,988 e 2
6,551 e 2
1,511 e 3
3,667 e 3
9,361 e 3
2,514 e 4
1,008
1,009
1,009
1,011
1,012
1,015
1,018
1,021
1,025
1,029
1,034
1,067
1,115
1,180
1,265
1,373
1,509
1,680
1,894
2,162
2,499
2,927
3,471
4,169
5,071
6,248
7,795
9,851
1,261 e 1
2,145 e 1
3,840 e 1
7,232 e 1
1,433 e 2
2,987 e 2
6,550 e 2
1,511. e 3
3,6G7 e 3
9,361 e 3
2,514 e 4
9.2. Berechnung der biniiren SLATER-Summe fur Kern-Elektron-Paare
Wir zerlegen die SLATER-Summe in die Beitriige des kontinuierlichen und
cles diskreten Teils des Energiespektrums
S,e(5,,
7') = S n e ( t n e , r', C)
S n , ( t , , , r', d ) .
Fur die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung nach r' gilt die analoge Zerlegiing
/k (5,) = /k ( t n e , C)
1, ( t n e j d ) .
( 5)
Die SLATER-Summen lassen sich bequemer darst,ellen; wenn wir zu dimensionslosen Variablen Q = r/,!?Ze2= r'An0/lnr= r'/$,lpiibergehen
+
+
ROHDE,KELBGt i . EBELING:Biniire SLATER-Summen und Vei.teilnngsfunktionen
Berechnet wurde Sn,(t,,,
ne'
,,
(
e) fur die Werte (9. Tab. 4)
2
= 3,183 * lo-'
-2n
(T= 6,242 * 106°K)
4
= 5 = 6,366 * lo-'
(T= 1,560 * 10'"K)
10
t,,,,= = 1,592
272
E,,
=
E~;,,,
=
5
(T
20
=
2,497 * 1OS0K)
!n = 3,183
(T= 6,242 * l O * " I i )
40
(T
= 6,360
=
-
1,560 1 0 4 0 ~ ) .
Die angegebenen Temperaturen beziehen sich auf Elektronen-Protonen-Paare
(Z = 1).
Tabelle 4
Mit H i l f e der TAYLOR-Reihe
berechnete Werte der biniiren
SLATLTERSum me f iir K e r n - El e k tr on - Pa are
e
1,771
1,753
1,735
1,718
1,700
1,683
1,666
1,650
1,634
1,618
1,602
1,527
1,461
1,350
e
0,000
0,006
0,010
0,050
0,100
sne(Em,,
3,190
3,063
2,942
2,826
2,716
2,611
2,512
2,418
2,330
2,247
2,168
e)
7,499 x 10s
7,120 x lo*
6,776 x 102
4,470 x loa
2,723 x 102
20,79
16,14
12,56
9,78
7,79
6.25
e
-
Sne ( t n t s , 9 )
0,000
0,005
0,008
0.010
0,016
0,020
0,02*5
0,030
1,150 x 1 0 6
9,393 x 106
8,319 x lo6
7,671 x lo6
&2G7 x 10'
5,121 x 106
1,186 x 106
4.426 x 106
Die Konvergenz der TAYLoR-Reihe (5) verschlechtert sich mit wachaenden
e-Werten. Da wir nur die ersten sieben Koeffizienten cfer Reihe explizit kennen,
miissen wir uns auf so kleine e-Werte beschrinken, dalj der Beitrag cie6 Restes
vernachlassigbar ist.
6
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft lp2
*
1968
Zur Berechnung der binaren SLATER-Summe fur Kern-Elektron-Paare im
Spezialfall kleiner tn,-Werte ( f m
1) bleiben wir bei der Darstellung (l),uni
mit dem von KELBQ[2] erhaltenen Ausdruck vergleichen zu konnen.
S,, (lnc,
r ' ) wird fur drei verschiedene t,,,-Werte berechnet
<
2
-
=
[,,,,
4
= ~10n = 1,273 * 10-1
=
(T= 1,56 * 10'OK)
0,3GG 10-2
El,,,
(T
=
3,90 * 107°K)
Die Temperaturen beziehen sich wieder auf Elektron-Proton-Paare (2= 1).
I n Tab. 5 sind die Werte Sne(lne,
r ' ) neben denen von KELBGS:c(&,e,r ' )
aufgetragen, wobei
' % + ( F n e ,T ' )
= 1 -k
(7)
Ene&eP(q(r')
ist (s. [2]).
Tabelle 6
Vergleiche d e r m i t Hilfe d e r TAYLOR-Reihe b e r e c h n e t e n W e r t e
d e r ubiniiren SLATER-Summen fur K e r n - E l e k t r o n - P a . a r e m i t d e n e n
von KELBG
Sne(Enea9
0,01
0,02
0,06
0,lO
0,20
0,30
0.40
0;50
0.76
1,119
1,118
1,118
1,115
1,112
1,106
1,098
1.092
1;085
1.072
I
1,113
1,112
1,111
1,110
1,106
1,100
1,094
1,088
1,082
1,069
1,068
1,264
1,252
1,261
7,246
1,238
1,222
1,208
1,193
1,180
1,149
1,122
1,226
1,224
1,222
1,220
1,212
1,200
1,188
1,176
1,164
1,138
1,116
r')
1,578
1,571
1,570
1,568
1,539
1,500
1,464
1,428
1,396
1,323
1,262
1,452
1,448
1,446
1,440
1,424
1,400
1,376
1,362
1,328
1,276
3 -232
2.8. Bereehnung der biniiren SLATER-SUInmO fur Elektron-Elektron-Psare
In diesem Falle gilt
See (Fee, T ' ) =
Wjr fuhren wieder
lung
s e e (Ere,
e
L
fk (tee) T
t
' ~
(8)
= r i p e 2 = - r/lep= - r'/Eee ein urid erhalhen die Diiwitel-
e) = 2
f k ( t e e ) (k
S,, (t,,,e) wird fur drei verschiedene t,,-Wert'e berechnet (s. Tab. 6)
-2
E,,,
= ~ 2 n
=~-3,183
6eel
-4
-- 2 n = - G,36G 10-1
-
*
-
-10
= -5.- - - 1,592
"ll
10-1
( T = 3,12 * 1 0 6 ° 1 i )
(T
=
-
7,80 105"K)
(T= 1:25 . 1 0 5 0 ~ ) .
RorrnE, KELBG11. EBELING
: Biniire SLATER-Summen und Verteilungsfankt,ionen
7
Tabelle 6
Mit Hilfe d e r TAYLOR-Reihe berechnete Wert,e d e r
b in a r e n SLATER
- S u m men f u r E le k t rone n pa are
2,865 x 10-l
2,898 x 10-l
2,938 x 10-l
2,987 x 10-1
3,040 x 10-l
3,101 x 10-l
3,169 x 10-1
3,245 x 10-l
3,417 x 10-l
1,665 x 10-1
1,743 x 10-l
1,845 x 10-l
1,968 x 10-l
2,113 x 10-1
2,280 x 10-l
2,469 x lo-'
3,517 x
4,745 x 10-2
6,712 x
9,435 x 10-2
1,281 x lo-'
Auch hier haben wir uns auf einen Bereich von e-Werten beschrankt, in dem
geniigende Konvergenz rtuftrat,.
8.4. Berechnung der biniiren SLATER-SUInme fh r = 0
Fur Kern-Elektron-Paare ergibt sich die H6he im Nullpunkt zu
Sm ([me, 0) = fo (t,w,
T
C)
+
Wegen fo(tne,
c ) = I I (nt,,)und
im Nullpunkt (Tab. 7)
10 (tm?
d)
( 9)
9
jO(tm,
d) = \/~&Z:(X[,,)
folgt fur die Hohe
Tabelle 7
Die Hohe d e r b i n a r e n SLaTErt-Summe irn N u l l p u n k t f u r K e r n E l e k t r o n - P a a r e . Die T e m p e r a t u r e n beziehen s i c h auf
Protonen-Elektronen-Paare
Sne (L,
0)
6,24 x lo8
1,56 x lo8
6,93 x lo7
3,go x 107
2,50 x 107
i,73 x 107
i,27 x 107
.9,75 x 106
7,70 x 106
6,24 x lo6
2,77 x 106
1,56 x lo6
9,78 x 1 W
6,93 x lo6
5,io x 105
3,90 x 105
3,08 x 1P
2,50 % 106
2,07 x 105
1,000
1,058
1,120
1,185
1,256
1,328
1,417
1,490
1,578
1,672
1,771
2,372
3,190
4,308
5,845
7,968
1,091 x 10
1,503 x 10
2,079 x 10
2,891 x 10
6,5
7.0
7;5
8,O
8,5
990
995
10,o
ll,o
12,o
13,O
14,O
15,O
16.0
17,O
18,O
19,O
20,o
1,48xlP
1.27~10~
1111x 106
9,795 x 104
8 , a x 104
7,70 x l(r
6,92 x 104
6,24x 104
5,i6 x 104
4,33 x 104
3,69 x lo4
3,i8 x 104
2,77 x 104
2,44 x 104
B,IG x 104
i,93 s 104
i,m x 104
1,5G x 10'
4,030 x 10
5,702 x 10
8,067 x 10
1,151x lo2
1,661 x lo"
2,385 x lo2
3,469 x lo2
5,081 x lo?
7,499 x 102
1,671 x lo3
3,846 x lo3
9 , 1 6 4 ~103
2,258 x 10'
5,776 x 10%
1,535 x lo5
4,246 x 105
1,223 x log
3,671 x lo6
1,150 x 106
8
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft 112
*
1968
I m Falle der AbstoBung (Elektron-Elektron- bzw. Kern-Kern-Paare) ergibt.
sich (Tab. 8)
Tabelle 8
Die Hohen d e r binaren SLaTEa-Summen
im Nullpunkt r = 0 fur Elektronen- baw.
Kern-Paare. Die Temperaturen T,, bexiehen
sich auf Protonen-Paare
-
B = G,
-0,o
-0,l
--0,2
-0,3
-0,4
- 0.6
- 0,G
-0,7
-0,8
-0,9
-l,o
-1,5
-2,o
-2,5
-3,O
-3,5
-4,O
-4,5
- $0
- 5,5
-6,O
- 6,s
-7,O
-7,b
-8,O
-8,s
- 9,0
-9,5
-10,o
-11,o
-12,o
-13,O
-14,O
-15,O
-16,O
-17,O
-- 18,O
--19,0
-20,o
3,12 x 108
7,80 x 107
3,46 x 107
i , 9 x~ 107
i,26 x 107
8,65 x 106
6,35 x 106
4 8 8 x lo6
3 8 5 x 10'
3,12 x 106
1,38 x lo6
7,80 x 105
4,89 x 105
3,46 x lo5
2,56 x l o 6
i,96 x 105
i,54 x 105
i,25 x 105
i,o4 x 105
8,66 x 104
7,40 x 104
6,35 x l o 4
5,55 x 104
4,88 x 104
4,32 x 104
3,85 x 104
3,46 x l o 4
3,i2 x 104
2,58 x 104
2,16 x 104
i,84 x 104
i,59 x 104
i,38 x 104
1,22 x 104
1,08 x 10'
9,65 x 103
8,65 x 10s
7,80~103
5,73 x 10"
1,43x 10"
6,35 x 10'0
3,GO x 1Olo
2,30 x 10lo
1,59 x 10'O
1,17 x 1Olo
8,97 x 109
7,07 x 109
5,73 x 109
2 , x 109
~
1,43 x lo9
8,98 x lo8
6,35 x 108
4 6 8 x log
3,GO x 108
2,83 x loR
2,30 x lo8
1,91 x 108
1,59 x 1oB
1,36 x lo8
1,17 x 1oB
1,02 x 108
8 , x 107
~
7,94 x 107
7,07 x 107
6,35 x 10'
5.73 x 107
1174 x 1 0 7
3.97 x 107
3;38 x lo7
2,92 x 107
2,54 x 107
2,24 x 107
1,98 x lo7
1,77 x lo7
I , X Ix 107
1,43x lo7
5,000 x 10-1
4,726 x 10-1
4,468 x lo-'
1,224 x 10-l
3,994 x 10-1
3,778 x 10-1
3,574 X 10-1
3,381 x 10-l
3,199 x 10-l
3,027 x 10-1
2,865 x 10-l
2,180 x 10-1
1,665 x 10-l
1,275 x 10-l
9,799 x 10-2
7,552 x
5,838 x
1,525 x 10-*
3,517 x lo-*
2,741 x
2,141 x
1,677 x
1,317 x
1,036 x
8,168 x 10-3
6,455 x 10-3
5,112 x 10-3
4,056 x 10-3
3,225 x
2,050 x
1,312 x
8,458 x lo-'
6,486 x 10-4
3,580 x 10-4
2,350 x 10-4
1,550 x
1,029 x
6,857 x
4,593 Y 10-6
ROHDE,KELBQ
u. EBELINCI:
Binare SLaTER-Summen und Verteilungsfiinktionen
9
3. Diskussion der biniiren SLaTER-Sammen
3.1. Diskussion der biniiren SLATER-Summe far Kern-Elektron-Psare
Das klassische Analogon der binaren SLATER-SUmme ergibt sich nach der
Formel (1) aus Teil I zu
l n den Abb. 1, 2 und 3 sind die quantenmechanischen Kurven S,,(4,, e) fur
verschiedene tm-Werte neben der klassischen Kurve S,, (e) aufgetragen. Man
erkennt sofort, dal3 die quantenmechanische Kurve eine endliche Hohe im Nullpunkt hat und sich fiir gr613ere Radien der klassischen Kurve s,&) anschmiegt,.
Es war zu erwarten, daB das System fur grbBere Entfernungen klassisch behandelt werden darf, weil die Quanteneffekte kurzreichend sind. Zur Konvergenz
des Verfahrens ist zu sagen, daB die TAYLoR-Reihe immer schlechter konvergiert, je grol3er tne(tiefe Temperaturen) und je gr6Ber der Abstand der Teilchen e ist. Man erreicht mit den ersten sieben Gliedern der TAYLoR-Reihe noch
iiicht eine solche Konvergenz, die es ermoglicht, das Obergehen von S,,,([,,,, e)
in das klassische S,(g) exakt fur alle Temperaturen zu zeigen. Dadurch ist
man gezwungen, Stucke der Kurve zu interpolieren (Strichpnnktlinie). Wir
haben dabei angenommen, dal3 der 01%
des Einmundens etwa bei r = An, liegt.
Die Untersuchung des genauen Verhaltens der SLATER-Summen fur groBe rWerte wird Ziel einer weiteren Arbeit sein. Dabei konnte die in einer friiheren
Arbeit verwendete h2-Entwicklung verwendet werden [3].
I n der vorliegenden Arbeit wollen wir in einer ersten Niiherung annehmen,
daB sich die betrachteten Systeme fiir r 5 A,, quantenmechanisch und ab
Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Abb. 1. Binare SLaTER-Summen fiir Kern-Elektron-Paare mit T als Parameter (&a =
2 / 2 n ; 4/2x; l 0 / 2 n )im Vergleich mit der klassischen Kurve exp [l/e]
Abb. 2. Binhre SLaTER-Summe fur Kern-Elektron-Paere bei T = 6,24 ' 1W"K (tne
=
20/2n) im Vergleich mit der klassischen Kurve exp [l/e]
Abb. 3 Biniire StATmt-Summe fur Kern-Elektron-Paare bei T = l , 5 6 . l(J4'K (&* =
401272) im Vergleich mit der klassischen Kurve exp [l/e]
10
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft 1/%* 1966
r M Ane klassisch verhalten. Um die biniire SLATER-Summe vollstiindig zu bestimmen, konnen wir naherungsweise fur r 5 An, die quantenmechanischen
Werte und ab r M A,, die klassischen Werte nach Gl. (12) wiihlen. Man erkennt,
weiter, daB die binare SLATER-Summe fur sehr kleine t,, gegen den Wert 1
strebt und fur groBe 6 , immer Atiirker das Verhalten der klassischen Kurve annimmt. S,, (t,,,,
e) setzt, sich ails zwei Anteilen zusammen
e) = Snn(tm, e, C)
+
e, 4.
(13)
Wie zu erwarten, dominiert, fur kleine tw(hohe Temperaturen) der kontinuierliche Anteil und fur grol3e tne(tiefe Temperaturen) der diskrete Anteil. Fur
tne
> tne5
ist der kontinuierliche Anteil innerhalb der Rechengenauigkeit schon
zu vernachlassigen.
Sne(t,ie,
fJne(tne,
3.2. Diskussion der biniiren ScaTeR-Summe tiir Elektronenpsare
Fur Paare von Elektronen ist der klassische Wert der SLATER-Summe nach
der Formel (1) aus Teil 1
E- 1kI; e = Be*
-L.
wird fur e = 0 nicht unendlich,
See(@)
= exp
(14)
Uieser Ausdruck
sondern verschwindet,. Trotszdern sind bei e = 0 die markantesten Abweichungen des klassischen vom
quant.enniechanischen Verhalten zu finden. In Abb. 4 sind S,,(e) und S,,(te,,,
e)
see (fee, 9 J
T. 72s
m
41
*I(
05
70
75 9
Abb. 4. Biniire SLATER-sUmme fur Elektronenpaare mit T als Parameter (tee
=
-21272; - 4 1 2 ~ ; -10/;2n) im Vergleich
mit der klassischen Kurve exp [ - l/e]
aufgetragen. In1 Gegensatz zur klassischen Kurve, die fur e = 0 verschwindet.
hat, die quantenmechanische Kurve S,, (tee,
e ) eine gewisse Hohe im Nullpunkt.,
die eine Folge der HEISENBERGschen Unscharferelation ist. Fur Teilchen mit.
dem Spin ti12 ist die Hohe im Nullpnnkt. e = 0 wegen der Syminetrieeffekte
nur halb so grol3 wie bei spinlosen Teilchen. Das Anschmiegen der klassischen
an die cpantenmechanische Kurve ist, fur Elektronenpaare bei weitem nicht
so gut erkennbar, wie bei der binaren SLATER-Summe fur Kern-Elektron-Paare.
Wir haben vorausgesetzt, daB der 01%des Einmundens der quantenmechanischen Kurve in die klassische ebenfalls bei r M Ace liegt und dazwischen interpoliert (St,richpunktlinie). In1 allgemeinen entspricht das Temperaturverhalten
clem der Kurven S,,(t,,, e). Die Konvergenz wird mit kleiner werdendem T
schlechter, das klassische Verhalten ausgepr&gt,er. Die Hohe im Nullpunkt,
strebt gegen Null, wiihrend sich See(&,,e) fur grol3e T dem Verhalten wechselwirkungsfreier Teilchen niihert. (Die Hohe im Nullpunkt. strebt dann gegen 1/2.)
Zur binaren SLATER-Summe fur Kern-Kern-Paare mit dem Spin 612 ist genau
das gleiche zu sagen. Dtts Temperaturverhalhen ist a.nalog, nur muR die Temperat,ur um einen Fakt.or der GroBenordnung lo3 hoher liegen.
ROHDE,KELBGu. EBELING:
Binare SLATER-Summen und Verteilungsfunktionen
11
3.8. Auswertung der b i n t e n SLATER-Summe fur kleine Werte des Wechselwirkungsparameters te
I n der Abb. 5 sind die in Abschn. 2.2. errechneten Werte Sn,(&,, r') aus
der TAYLOR-Reihe und &(En,, r ' ) nach KELBG(Tab. 5) fur lne
= 2/10n aufgetragen. Man sieht sofort, daB die Werte fiir S,,(t,,, r') durchweg h6her liegeii
Abb. 5. Vergleich der Kurven Sn,(En,,
r') und S$(Efle,r') fur 1 ' 1
T = 1,56 108°K
= 2/10n)
4 10
Qjo
in IbOYO
als die entsprechenden fur S&(tne,r ' ) . Das liegt daran, da13 bei S;(E,,,, r ' ) nur
GrijBen der Ordnimg e2 beriicksichtigt wurden, wiihrend bei Sm(Enel r') auch
GriiBen h6herer Ordnung in e2 beriicksichtigt worden sind. Jedoch laufen die
Werte fur kleinere lm
immer dichter zusammen. Werden in S,(En,, r') auch nur
GrBBen der Ordnung e2 (linear in Enc) beriicksichtigt, so ntimmt die Htihe im
Nullpunkt exakt iiberein
SneOne,
0) = /o(tne-,
(13)
C)
m
=
4
I&,, /-
X
e-Z1
- pEn3dx= I
+ I/ntne + o ( t ~ ) .
ci
Fur den Fall von Elektron-Elektron-Paaren ergibt sich vollig analog bei richtiger Normierung
1
=
2 (1
+ v,t,,, + 0 (R)
*
Dieses Ergebnis gilt unter Beriicksichtigung von Symmetrieeffekten. Ohne
Symmetxieeffekte folgt das Ergebnis von KELBG[2]
Sce(teee,
0) = 1
+ 1/xtee.
(17)
12
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft l/2
*
1968
Fur groBere r' schmiegen sich S,, ,,[(
T ' ) und SL([,,,
r') der klaseischen Kurve
exp [5,/r'] an, fur S,,,([,,, r') jedoch schneller als fur Sie(tne,
T ' ) , dn in S,,([,,, r')
noch hiihere &,-PotenZen berucksichtigt werden.
3.4. Diskusdon der Hohen im Nullpunkt
I n den Abb. 6 und 7 sind die Hohen im Nullpunkt der biniiren SLATERSummen uber B = n&, bzw. T aufgetragen. I m Fall von Kern-Elektron-Paaren
setzt sich die Hohe im Nullpunkt aus dem kontinuierlichen Anteil f0(tne,
c ) und
Abb. i . Die Hohen der biniiren SLATER-Summen fur Paare von Elektronen bzw. Kernen
mit dem Spin R/2. Die Temperaturen Teebeziehen sich auf Elektronen- und die Temperaturen T,, auf Protonen-Paare
Abb. 6. Die Hohe der biniiren
SLATER-Summe fiir Kern-Elektron-Paare im Nullpunkt r = 0.
Die Temperaturen beziehen sich
auf Protonen-Elektronen-Paare
dem diskreten Anteil f,, (t,,,d ) zusammen. Fur hohe Temperaturen uberwiegt
der kontinuierliche Anteil, da der diskrete Anteil erst von der Ordnung [:w ist.
Fur [,,,
1 gilt in Obereinstimmung mit KELBG[2]
<
+ vn
(18)
sru(t+u,
0) = J
tne.
Fur niedrige Temperaturen ([,,
1) iiberwiegt der diskrete Anteil, da er wie
cf, exp
groB wird, wahrend der kontinuierliche Anteil nur linear gegen
unendlich strebt
>
Gngefiihr gleich groB sind beide Anteile im Temperaturintervall 5 * lo5"K
> T > 4*1OS0K.
Fur Elektronenpaare bestimmt sich die Hohe der binaren SLATER-Summe
i m Nullpunkt ails
I
Sce(Fce,
T
0) = f o ( t e e ) = 2- 11( n 5 e c ) .
(20)
13
ROHDE,
KELBGu. EBELING
: Biniire SLATER-Summenund Verteilungsfunktionen
Hier ist der Faktor 1 / 2 eine Folge der Symmehieeffekte. Damit ergibt sich fur
Itee I 1
1
s e e ( t e e j 0) = 3 (1
v i tee).
(21)
<
+
Dicses Ergebnis stimmt bis auf den Faktor 1 / 2 mit KELBQ[2] uberein, da dot%
keine Symmetrieeffekte berucksichtigt wurden. Ohne Symmetrieeffekte ergibt
sich wieder Obereinstimmung. Fur lEee I-+ 00 strebt die H6he im Nullpunkt
gegen Null und niihert sich damit dem Verhalten der klassischen Kurve
exp [- l/e]. Fur Kernpaare liiSt sich bei 2 = 1 und dem Spin A/2 die Diskussion der Hohen im Nullpunkt der binaren SLATER-Summe fur Elektronenpaare
ubernehmen, nur ist die Temperaturskala verschoben.
4. Diskussion der binlren Verteilungsfunktionen
Die binaren Verteilungsfunktionen ergeben sich in erster Niiherung zu
1
F $ ( r ) = ~ , ( r )exp 5 % ( 1 - e-2") .
kTr
Wir rechnen fur e 5 &,/ 1 lab I quantenmechanisch und a b
[
(22)
e % &,/I
&
b,
I klassisch
(23)
Wir sehen, da13 sich F,$(tab,
1
exp sign [ ( e f l e b )--- (1 - e - - x l z . b l p )
[
e) voni S&(&,, e) nur um den Faktor K,,
e
7
2
3 9
Abb. 8. Die binare Verteilungsfunktion FZ.(Enn6,e)f i b T = 2,497
- 10s°K mit der Dichte n nls Parameter ([n]= curs)
1
=
unterscheidet,. Dieser Faktor ist fur Teilchen
1
2
j
43
Zs
Abbe 9. Die binire Verteilungsfmktion
(tee,@)
fur T = 1,25. 1050K mit der Dichte
als Parameter ([n]= cm-7
n
11
Annalen der Physik
*
7. Folge
*
Band 22, Heft 1/2
*
1968
ent,gegerigexetzter Ladung stets kleiner oder gleich 1, fur Teilchen gleicher
Ladung stets gr6Der oder gleich 1. Gegen den Wert 1strebt K h fur x I lh I -+ 0,
also wegen x I lh N n1/2/T3/2
fur geringe Dichte und hohe Temperaturen. Das
bedeutet, dal3 in diesem Fall die SLATER-Summe der ersten Niiherung der Verteilungsfunktionen entspricht. Dasselbe gilt fur e + 00,da d a m exp [ - x I Zd I e ]
verschwindet. I n den Abb. 8 und 9 sind Fh([,, e) und F&(&#,e) fiir l&, l =
10/2nmit der Dichte als Parameter aufgetragen. Man sieht, daB bei den Temperaturen um 106"K, die den Berechnungen der SLATER-Summen zugrunde
lagen, der Faktor K d erst bei sehr hoher Dichte wesentlich von 1 verschieden wird. Das bedeutet, da13 wir bei diesen Temperaturen fur Dichten urn
n = 10l6 ~ 1 1 mit
1 ~ genugender
~
Genauigkeit
(24)
setzen konnen, und zwar urn so eher, je hoher die Temperatur liegt..
I
Literaturverzeichnis
[l] EBELING,
W., G . KELBGu. K. ROHDE.
Ann. Physik91 (1968) 235.
[2] KELBG,G., Ann. Physik 13 (1963) 354.
[3] KELBG,G., u. H. J. HOFFYANN,
Ann. Phyaik 14 (1964) 310.
HOFFWANN,
H. J., 11. G. KELBG,
Ann. Physik 17 (1966) 356; 19 (1967) 186.
R o s t 8 0 c k ,Inst.it,ut fur the~ret~iuche
Physik der Universit,atJ.
Bei der lietlaktion eingegmgen am 23. November 1967.
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