close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Bnndermodell und die Trgheit der lichtelektrischen Leitfhigkeit bei Isolatoren und Halbleitern.

код для вставкиСкачать
Bdindermodell und die Trdigheit der lichtelektrischen Leitfzhigkeit
bei Isolatoren und Halbleitern
Von J. Fassbender, F . Miiiiglich und R . Rompe
Inhaltsiibersieht
Es wird gezeigt, da13 sich die experinlentell bekannten Tatsachen der photoelektrischen Leituiig in guter Ubereiostimmung init der Theorie des Bandermodells
befinden.
Von den Sachkenhern der Theorie des festen Korpers wurde von jeher als
Mange1 empfunden, da0 die theoretisch generell in einem leeren Band zu erwartende
freie Beweglichkeit der Elektronen, die bei Vorhandensein eines PuDeren elektrischen Feldes zu einer Leitfahigkeit fuhren sollte, experimentell an Isolatoren und
Halbleiteru nur in Ausnahmefallen beohachtet wurde. Denn es muate auQer
Zweifel stehen, daD mau bei jedem Isolator durch Bestrahlung init Licht geeigneter
Wellenlange Elektronen in ein leeres Leitfahigkeitsband befordern kann. Die
Leitfahigkeit rnuote fur die Dauer der Bestrahlung vorhanden sein und hinsichtlich
ihrer Temperaturahhangigkeit metallischen Charakter besitzen, d. h. infolge der
anwachsenden Wechselwirkung mit detn Gitter niit zunehmender Temperatur bei
konstanter Absorption sbnehmen. Es wurde niehrfach geauBert, da13 die Seltenheit der praktisch beobachteten lichtelektrischeii Leitung als Argument gegen die
Anwendbarkeit des Bandermodells auf solche Substanzen zu merten ware.
Die Substanzen, an denen man lichtelektrische Leituiig seit langetn beobachtet
hat, traten in zwei typischen Grenzfalleii auf. die nicht recht mit dern Bandermodell
in Einklang zu bringen waren. Bei Substanzen v o m Typus Bleisulfid tritt die
Leitfahigkeit auch bei Wellenlangen auf, die hestimmt Ianger sind als die der Grundgitterabsorptiou entsprechenden. So wird in der Literatur hber eine photoelektrische
Empfindlichkeit des PbS bis zu 3,5p berichtet *), wahrend die Kante der Grundgitterabsorption bei etwa 1 p liegen wird. Eine andere Gruppe von Stoffen, etwa
Zinksulfid in feinkristallinem Zustand, das vor alleni von G u d d e n und Pohl')
untersucht wurde, besitzt ebenfalls eine rnaxinrale lichtelektrische Empfindlichkeit
auf der langwelligen Seite der genau bekannteii Gruudgitterabsorption. Es tritt
ein deutliches Maximum der photoelektrivchen Empfindlichkeit dicht vor der
Kante der Grundgitterabsorption auf.
Ein weiteres Problem. das nicht iin Einklang init der Bandervorstellung zu
sein scheint, war der gro13e ,,Verstarkuugsfaktor". d. h. die unverhaltnismaBig
grol3e Zahl von Elektronen, die pro absorhiertea Lichtquant der lichtelektrischeii
Leitung bei Stoffen des Typus Zinksulfid zur Verfugung stehen. G u d d e n undPohl2)
hatten dafiir die Bezeichnung ,,Sekundareffekt" eingefiihrt und vieles zur rein
-
..___
*) P. G o r l i c h, Z. Naturf.
I)
2,
Be,!47 (1947).
B. Gudden, Struktur der Materic, VII, Springer, 1928, S. 163.
B. Gudden, I . c . S. 156.
3%
ilnnalen der P h y d . 6. Folye. B a d 3. 194s
~)hiiiiomenologischeiiDeutung dieses Effektes beigesteuert. ohne jedoch die Frage
der Deutung ini Rahnien des Biindermodells zu diskutieren.
-41s letzten Punkt miissen wir die bemerkenswerten und auf deli erst,en Blick
iiicht sehr iibersichtlichen Tragheitserscheiiiiiiigen des lichtelektrischen Effektes
aiifuhreii a), die eine Abhiiiigigkeit voii drr Temperat,ur bcsitzen, wie sie aus dcm
Biinderniodell zunachst eiiinial iiicht erwart.et aerdcn sollte : rnit zunehniender
Tciriperat,ur iiiinint die Tragheit. des Effektes in allgerneinen zu.
Die Untersuchungeii uber die Eigenschaft, voii Cadiiiiumsulfid-Eiiikristallen,
wie sie von F r e r i c h s 4 ) begoiinen, yon F a s s b e n d e r s ) uiid K a l l m a n n uiid
Mitarbeit~rn6) fort.gesetzt worden sind, haben jedoch inzwischen eindeutig den
Nachweis erbracht, da13 bei Ausschaltuiig aller Kontakteffekte, wie sie bei Verwendung pulverformigen Materials auft,reten, im Gebiet der Gruiidgitterabsorption
eine starke elektrische Leitfiihigkeit auftritt, niit Beweglichkeiteii der ektronen,
die vergleiclibar sind mit den i n Met,allen vorhandenen. Dieser P a g d u r f t e als
ganz wesentlicher Beitrag ziir Erhartung der Bedcutung des Biindermodells fur
derartige Stoffe gewertet aerdrii.
In Verfolg dieser Untersuchung hat dann F a s a b e n d e r ' ) gezeigt, daD das 1-011
G u d d e n und P o h l beobachtete scharfe Maxiniurn der licht,elektrischen Leitung
an der Kante der Grundgitterabsorption als ciii Schichteffekt aufiufassen ist:
wird die Konzentration der Elektronen im Leitfahigkeitsband durch ein quadrat&
sches Rekomhinationsgesetz begrenzt., so ist ein Maximum der Elektronenkonzentration im Volunien-Element und damit der elektrischexi Leitfahigkeit in Abhangigkeit vom Absorptions-Koeffizienten zu erwarten. Bei sehr kleinen AbsorptionsKoeffizienten ist die Konzentrat,ion der Elektronen klein, bei sehr groder Konzentration der Elektroiien die Rekonibinationswahrscheinlichkeit sehr grod. Dazwischen bildet sich ein Maximum der Leit.fahigkeit aus. Es ist also q c h diescr
Effekt zuriickgefiihrt auf Elemente des Baiidermodells, ohiie da13 es notwendig
wiire, neue Annahnieii zii machen.
Die Theoric des Verstarkuiigsfaktorp, der von F r e r i c h s bei der dnregung der
Leitfahigkeit durch Rontgenstrahleii uiid von Fassbencler uiid K a l l m a n n und
Mitarbeitern auch bei langwelligein Licht festpest,ellt, wurde und der bis zu 104 und
105 Elektroneii pro priiiiiir ausgelostes Elekt,ron bctragen kann, ist, von P ~ h und
l
seinen Mit,arbeiterii 8 ) bereits gegeben wordeii, indeni sie ihii auf eine unt,erschiedliche Beweglichkeit der positiven und iirgat.iven Ladungst,rageriin Krivtall zuruckfuhrten ; die langsamer laufenden positiveii Ladungst,riger konipensieren dauernd
eine grode negat,ive Rauinlatlung der den Kristall durchlaufenden negativen
Elcktronen. Im Rahnien des Baiiderinodells ist, wie F n s s b e n d e r geklart hat,
aiizunehnien, dafi beirn Auftreten der lichtelektrischen Leitung die Kontaktsliannung mi der Kathodcnelektrode sich so eiiistellt, da13 ein ifbertritt voii Elektroneii aus deiii Metal1 in das Leitfahigkeitsband des Ixolators nioglich ist. Es
fliedeii dann soviel Elektroiieii durch den Isolator hindurch, wie gerade durch die
.
W. d e Groot, Physica VI Z'i6 (193!3).
R. F r e r i c h s , Natumiss. 33 281 (1046); Physic. Rev. il,694 (1947); R.Frericlis
u. It. Warminsky, h'atuiwiss. B, 251 (l!W).
5) J . Fa.ssbender, Naturwiss. 34, 212 (1947).
6) I. Broser u. H. Kallmann, %. Naturf. Sa, 439 ( l 9 4 i ) ; Z. Naturf. Sa, 6.I" (1945);
I. Hroser, H. Rallmann u. U. M. Mart,ius, Z. NtLturf. 38,6 (1948) und Ann. Physik
im Erscheinen.
7 ) 6. F a s s b e n d e r , erscheint deninachst.
n, R. Pohl u. F. StGckmann, Ann. Physik ( G ) , 1, 255 (1947).
3)
4,
Fassbender, Miiglich u. Romp:' Tnigheil der-lichtelektrischen Leitflihigkeit
329
Konzentration der pdsitiven Locher raumladungsinal3ig kompensiert wird. Die
Beweglichkeit der Locher ist in einem Idealgitter praktisch gleich der der Elektronen.
Infolge der grol3en Zahl von diskreten Termeii innerhalb der rerboteiien Zone ist
jedoch eine groBe Anlagerungswahrscheinlichkeit von Lochern vorhanden, die zu
einer Herabsetzung ihrer Diffusionsgeschwindigkeit fiihrt. Somit ist aueh der
Verstarkungseffekt als durchaus im Rahmen des Banderinodells beschreibbir
klargestellt.
Zu der Frage der Tragheitserscheinung wollen wir hier noch einen kleinen Beitrag liefern, welcher nuch fur diese Erscheinring weitgehend di-e Vertraglichkeit mit
der Bandemorstellung dartut.
Es sol1 im folgenden 'der Mechanismus cines Storstellenhalbleiters zugrunde
gelegt werden, wie er \-on Wilson und F o w l e r g ) in die theoretischen Betrachtungen eingefiihrt und voii Gisolf lo) durch die Beriicksichtigung der ,,Haftstellen"
erganzt wurde. Das Elektronenenergiespektrum eines solchen Halbleiters besteht
im wesentlichen aus Kontiiiuen von energetischen Zustanden, fur die die Wellenfunktionen durch das Gitterfeld modifizierte ebene Wellen darstellen, mit einem
wohl definierten tiefsten Energiezustand. Diese ,,Bander"ll), von denen das energetisch tiefste als mit Elektronen voll besetzt auzunehmen ist, sind unterbrochen von
verbotenea Zonen, in denen sich Energieterme befinden, die sich von den eben betrachteten dadurch unterscheiden, da13 die zu diesen Energinieveaus gehorenden
Eigenfunktionen nicht den Charakter modifizierter ebener Wellen haben, sondern
den Eigenfunktionen ahneln, die wir aus der Theorie der isolierten Atome keniieii.
Zwischen den Niveaus der ersten Art und den letztgenannten sollen spontane
Elektroneniibergange moglich sein. Die obergange zwischen diesen Niveaus
niachen sich in besoiideren Absorptionsspektreu bemerkbar, die z. B. bei PbS im
Gebiet zwischen 1,sund 3 p liegen. Hingegen geben diese Ubergiinge nicht AnlaB
zum eigentlicheii Absorptionsspektrum des Kristallgitters, das im allgemeinen
wesentlich kurzwelliger liegt. Es riihrt her von Ubergangen zwischen dem tiefsten
vollbesetzten Band und dem nachsthoheren. Die diskreten Terme sollen beim absoluten Nullpunkt und iin Falle fehlender Lichteinstrahlung mit Elektronen voll
besetzt sein (im Sinne des Pauliprinzips).
Bei hoheren Temperaturen und ini Falle der Lichteinstrahlung werden Elektrolien von diskreten Niveaus in die hoheren leeren Bander (Leitfahigkeitsband) gebracht und rufen in der bekniinteii Weise Leitfihigkeit hervor. Daher haben alle
Halbleiter, die nach diesem Mechanismus arbeiten, die Eigenschaft, bei tiefen
Temperaturen eine geringe Dunkelleitfahigkeit zu zeigen. so daI3 die photoelektrischen Erscheiuungen be1 Kiihlung deutlicher hervortreten. Dieses Deutlicherwerden hat allerdings noch eineii andereu Grund, der erst durch die folgende Rechiiuug aufgedeckt wird. Unter dein EinfluB der Rarine und dem des eingestrahlterl
Lichtes wird sich immer einc gewisse Anzahl n von Elektronen pro cm3 im Leitfahigkeitsband befinden. Wie groB diese Zahl ist, hiingt von der Intensitat der
Strahlung und von der mittleren Energiediffereiiz A E zwischen den beiden Termsystemen ab. SchlieBlich hiingt diese Zahl auch noch von der Haufigkeit der Rekombinationen ah, d. h. von der GroBe, die angibt, welcher f'rozentsntz der in1
0 ) A, H. IT'ilson, Proc. Roy. SOC. London, A 183, 458 (1931); A 184, 277 (1932);
R . H. F o w l e r , ebenda A 136, 487 (1932); A 140, 605 (1933).
lo) J. H. Gisolf, Ann. Physik ( 6 ) 1, 3 (1947).
11) Unter dein W;rt
Band verstelien wir eiu Termsystem init Wellenfunktionen, die
in erster Naherung ebene Wellen sind.
330
Bnnakn &r Physik. 6. Fob;. Band 3. 1948
Leitfahigkehband befindlichen Elektronen pro Sekunde in die unteren Terme zuriickkehrt,. I m thermischen Gleichgewicht fallt der letztgenannte EinfluB allerdings heraus.
Es gibt zwei Prozesse, die fur die Herausbeforderung der Elektronen in das
Band Sorge tragen. Wir nennen 2 die Zahl der pro Flacben- und Zeiteinheit auf
den Kiirper nuft,reffenden Licht,quanten, N die Zahl der diskreten Terme. Dann
gibt es erstens den Absorpt,ionsprozeD: Von diesen auftreffenden Lichtquanten
werden nirht alle in der hinter der Flacheneinheit liegenden Volumeneinheit
absorbiert. Wieviele davon wirkiich absorbiert werden, hangt von dcni Wirkungsquerschnitt der fur die betreffende Frequenz vorhandenen Ersatzoszillatoren ab.
Diese Grolle, die man als eine Materialkonstante anzusehen hat,, wollen wir mit x
bezeichnen. AuSerdeni hangt aber die Absorption noch von der Zahl der Oszillatoren ab, die zu einem Absorptionsakt befihigt sind. Wenn alle Elektronen
dieser Ersatzoszillat,oren sich im Grundzustand befanden, so ware diese Zahl einfach iv. na aber durch thermische Effekte und auch vorhcrgehende Absorption
eine gewisae Anzahl von Elektronen sich bereits im oberen Bande befindet, so ist
die pesucht,e .Zahl, wenn wir n die Zahl der Elektronen im oberen Band nennen,
der Zahl M- n gleichzusetzen. Die Zahl der bei dem Auftreffen von 2 Lichtqua.nten absorbierten Quanten ist daher durch 2 . x . ( N - n) gegeben. Zweitens
werden durch t,herniische Einflusse eine gewisse Anzahl von Elektronen nach
oben gehracht. Ihre Anzahl ist pFoportiona1 zur Zahl der in den diskreten Termen
noch vorhandenm Elektronen, also proportional zu N - n , ferner proprt,ional zur
Zahl der freien Terme im Band, also zu K - n, wen4 K die Zahl clcr Terme im
Band iiberhaupt ist. Da K in allen Fallen sehr grolJ gegen n ist, d a d man K - n = K
setzen. Die Zahl thermisch nach oben gebrachter Elektronen ist also cy . ( N - n )
gleichzusetzen, wo OL eine Konstante ist, die von Temperat,ur und Material abhangt.
Demgegenuber gibt es nur einen einzigen Prozel3, der fur die Ruckfuhrung der
Elektronen aus dem oberen Band in die diskreten Terme sorgt. Die Zahl der
Elektronen fur die Rekombination ist gleich der Zahl n dcr Elektronen oben und
der Zahl der freien diskreten Pliitze. Da beide GroBen gleich n sind, so ist die
Zahl der Rekombinationen gleich /I n2 zu setzen, wo /I wie nuch a eine material- und
t,emperaturabhangige GroBe ist.
Wenn wir nun nach der zeitlichen L d e r u n g der GroBe n fragen, so ist diese gegeben durch die Differenz zwischen den beiden ersten I'rozcssen einerseik und
der Rekombination andererseits, also
~-ZX((N--n)$OL(N--n)--/3,a:
ocler auch
(1)
Fassbender, Jf@lich u. Rompe: Triigheit der ZichteleLdrischen Leitftihigkeit
331
und daraus
oder
v$+
v;-
,i
- e'?V. J j p .,9 ( 1 7'. .4 )
-
6
und daraus schlieBlich unter Beachtung von Gleichung (2) :
Weiter IaBt sich zeigen, daB, obgleich a und ,!?
nicht nur von der Temperatur,
sondern im allgemeinen in komplizierter Weise vom Material abhangen, der
Quotient der beiden in einfacher Weise durch Teniperatur und EnergiedifferenzA E
der beiden Termgruppen dargestellt werden kann. Uni dies nachzuweisen, spezialidn
sieren wir die Gleichung (1)auf den Fall therniischen Gleiohgewichtes, wo -- = 0
dt
und 2 = 0 ist. D a m folgt aus (1)
m --
_-
j3
ni
N?Lo.
Die rechte Seite clieser Gleichung ist aber genial3 der Saha-Formell*) gleich
so daB wir fur deli Quotienten aus a und den gleichen Wert erhalten.
Es ist fur das Folgendc zweckmaBig, an Stelle der beiden Konstanten D und
oder T und LY bzw. T und p , die GroBe no und P einzufuhren. Zu diesem Zweck
nierken wir an, da13 sich uninittelban die folgende Gleichung ergibt,
so daB wir Gleichung (4)auch so schreiben konnen:
Bei nornialen Beleuchtungsstarkcn ist die Zahl der auf den Quadratzentinieter
in der Sekunde auffalledden Zahl der Lichtquanten bei nicht zu kleinen Frequenzen
von der GroBenordnung 10'8, die Zahl der im Kubikzentimeter absorbierten
Quanten also wesentlich kleiner. Ferner ist die Zahl der therniisch sich im oberen
Bande aufhaltenden Elektronen bei nicht zu hohen und n i c k zii tiefen Temperaturen in Halblcitern voni PbS-Typ im allgemeinen l/looo bis l/loo
der Zahl
der uberhaupt in den diskreten Termen vorhandenen Elektronen. Da die Zahl
dieser (Zahl der Storstellen) etwa von der GrOBenordnung 101*ist, so kann man
den zweiten Summanden der Wurzel als klein gegen den ersten ansehen. Unter
l?)
Vgl. hienu z. B. F. Moglich, 2. Physik 109, 503 (1938).
332
Annalen der Physik. 6.
me. Band 3.
1948
solcher Voraussetzung geht die Gleichung (6) uber in
\Venn wir jetzt a.nnehiuen, daB die Belichtuiig im Zeitpunkt t = 0 einiesetzt hat,
I= 0 thermisches Gleichgewicht vorhanden war, so
bedeutet. dies, daB Gleichiing (7)fur t = 0 den Wert 1 ergeben muB. Hieraus folgt
danri fur die 1iitegrationskonst:tiite A :
daB aber bis zum Zeitpunkt t
A
--In,
1
/j
,
-l-.I n
O
2
2
.2-1?"?.
---I-'
Z
-.I(+Z
-'?
/i
L' /{
i\: --
,
I
nu 7.
zx
nj
-y i
.)1,,
Weun mail in Gleichung (7) iioch t groB iiiacht. a i r d der
und wir erhalten:
-if i t
Xg
iii
(7) p b - t i - c h 1
(8)
Eine Fltustregel folgt in einfachster Weise aus den Gleichungen (4j und (2).
Denn da der 29 fur groBe Wert,e des Argumentes den Wert 1 annimmt, S O ist die
Slttigungskonzentratioi~des lichtelektrischen Strolnes in; wesentlichen durch
gegehen, ist also groB, weiin
1
kleiu ist,
andererseits ist, im wesentlicheu
- - -.
VJP
die Zeit, die voin Einschalten des Lichtes vergehen uiuB, bis die Elektronenkonxentration einigermaoen den Sattigungswert crreicht hat. Diese Zeit. ist
offenbar groB, wenu 9, klein ist und, umgekehrt. Daher eut,spricht. eineln groBeii
Satt,iguiigswert immer groBe Tragheit und cirieui kleinen Sattigurigswert eiit sprechend geringere Tragheit.
Aus der Gleichung (8) kanii man iioch folgendes Ergebnis nbleiten: Weun
die Elektroiieukorizeiitration nicht groBer als etwn i/lo der Storstellenkonzeiitriltiou
ist. kann
71;
- (A' - n o )
iiiaii 7
.
2%
2 fi
und - gegen no vernltchlassigeii :
z s - no.
%
n--77,-
- p
~
7,"
Es ergibt sich also, da13 der lichtelektrische Stroin ini wesentlichen uiugckehrt
proportional zur Dunkelkouzeiitratiou ist, also iini so griiBer, je kleiiier die Dunkelkonzentration. Die experirnentelle Tatsachc, daB bei Kuhlung der Wirkmigsgrad
der lichtelektrischen Leitfahigkeit groI3er w i d , Leruht, also nicht nur auf eiuer
Herabset.zung des Storpegels, sondern in einer nirklichen Erhiihung des Photostroiiw.
Is e r 1i 11- I3 11c h , Institut fur Fest.korperforschung der Deutschen Akademie der
Wissenschaft und B e r l i n Institut fur theoretischc Physik der Universitit uiid
11. Physikalisches Inst,itut der T,yniversi'tat..
(Bei der Rednlction cingegnngen am 29. Juli 1948.)
~
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
2
Размер файла
387 Кб
Теги
bei, die, der, lichtelektrischen, trgheit, halbleitern, isolator, leitfhigkeit, und, bnndermodell
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа