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Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung unter Bercksichtigung einer Struktur der Elektronen.

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K . Logar u. P. Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung 101
Bremss trahlung bei hochenergetischer
Ele k tron-Elektron-Stre uung unter Berucksichtigung
einer Struktur der Elektronen
V o n K . L o g a r und P . U r b a n
Herrn Professoy Dr. E. Pues xurn 70. Geburtstage gewidmet
Inhaltsiibersic ht
Fur die Berechnung der Bremsstrahlung eines Elektrons im Feld eines zweiten Elektrons wurde bisher immer die B e t h e - H e i t l e r - F o r m e l als zustandig
betrachtet. Dieselbe stellt das Resultat der alten Storungsrechnung dar, wobei
punktformige Teilchen zugrunde gelegt werden. Die in letzter Zeit durchgefuhrten Experimente mit sehr hohen Energien ergaben aber Hinweise auf das Vorhandensein einer sogenannten Struktur, das heiRt auf Teilchen mit endlicher,
wenn auch kleiner Ausdehnung. Fur die Berechnung der Bremsstrahlung bei
hohen Energien solcher strukturbehafteter Teilchen, wurde auf die W e i z s a c k e r - Williams-Methode zuruckgegriffen, bei welcher es moglich war, die
Struktur eines geladenen Teilchens in die Rechnung einzubauen. Hier verweisen
wir auf eine fruhere Arbeitl), bei der das strukturbehaftete geladene Teilchen
durch sein Feld ersetzt wird und dieses nach einer Fourier-Transformation in
Photonen einer passenden Energieverteilung umgerechnet wird. Diese Photonen
stol3en dann auf das zweite, konsequenterweise mit derselben Struktur ausgestattete Elektron. Der Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung ergibt sich
aus dem Wirkungsquerschnitt fur den Compton-Effekt, multipliziert mit der
Anzahl der aquivalenten Photonen, wobei uber die Energie der einlaufenden
Photonen integriert wird. Dcr Wirkungsquerschnitt enthalt drei Summanden :
der erste Summand entspricht der Punktladung (das Ergebnis stimmt mit der
B e t h e - H e i t l e r - Formel uberein), der zweite Summand beriicksichtigt die
Struktur des ruhenden Elektrons und der dritte Summand entspricht der Struktur des mit hoher Energie einlaufenden Elektrons.
Einleitung
Wie wir in einer friiheren Arbeitl) zeigen konnten, ist das Feld schneller geladener Teilchen (w m c ) beinahe identisch mit dem eines Wellenpaketes verV2
schiedener Frequenzen. Das gilt um so mehr, je besser 1
< 1 erfiillt ist.
-s
l) K. Logar u. P. U r b a n , Sitzungsbcrichte der Osterreichischen Akademie der Wissenschaften (Mathematisrh-naturwissenschaftlicheKlasse) Wjen. (Im Erscheinen.)
102
Annalen der Physik. 7 . Folge. Bawd 11. 1963
Die elektromagnetische Wechselwirkung dieses schnellen Teilchens mit einem
anderen geladenen Teilchen, von dem wir annehmen, daB es ruht, ist dann gleich
der Wechselwirkung der ,,virtuellen " Photonen mit dem ruhenden Teilchen. Es
wird eines der Photonen f am ruhenden Teilchen gestreut, das ergibt ein
Photon f'. Das ruhende Teilchen erhalt einen RuckstoB f - f'. Der ProzeB erscheint als Bremsstrahlung f', welche beim ZusammenstoIj emittiert wird, wobei
das schnelle Teilchen die Energie f verliert. Der Wirkungsquerschnitt ist gIeich
dem Wirkungsquerschnitt fur die Streuung (Compt o n Streuung), multipliziert
mit der Anzahl q ( k ) der virtuellen Quanten.
Damit diese Methode angewendet werden darf, mu13 die Bahn des schnellen
Teilchens wahrend des ganzen Prozesses praktisch eine Gerade bleiben. Daher
mussen folgende Bedingungen erfullt sein :
f
< E,
E
Kc2=y
<1
(1)
m = Masse des schnellen Teilchens, E = Energie des schnellen Teilchens.
<
E s scheint nun, daB die Forderung f
E fast zu vie1 verlangt, sind doch die
wesentlichsten Anteile gerade die groBen Energieverluste f w E , zum Beispiel
bei der Brenisstrahlung. In diesem Falle wird das Problem anders angefaBt.
Nehmen wir an, das ruhende Teilchen (Masse m ' ) crhalt nur eine kleine RuckstoBenergie
(C-
€')2
2 mpc2
4 rn'c2. Dann betrachten wir eben den Vorgang im ent-
gegengesetzten L o r e n t z -System, in welchem das tatsachlich ruhende Teilchen
sich schnell bewegt und das schnell bewegte Teilchen zur Ruhe transformiert
wird. Die Tatsache, daB das Teilchen rn' nur einen kleinen RuckstoB erhalten
soll, bedeutet, daB seine Bahn im entgegengesetzten L o r e n t z -System nur wenig
von der geraden Linie abweicht. Man betrachtet das iiquivalente Photonenfeld
und geht ebenso vor wie oben, wobei zum SchluB wieder in das ursprungliche
L o r e n t z -System zurucktransformiert wird. I n diesem Falle ist es das tatsachlich
ruhende Teilchen, dessen virtuelles Feld man sich am in Wahrheit schnell bewegten Teilchen gestreut denkt. Im entgegengesetzten L o r e n t z -System mussen
die virtuellen Photonen f* die Bedingung (1)erfullen, aber nach der Riicktransformation in das Originalsystem kann das gestreute Photon f' ohne weiteres
eine mit E vergleichbare Energie haben. Dieses Verfahren, welches nach H e i t l e r 2 )
den Namen ,,Weiszacker-Williams-Methode" trlgt, wurde auf unser Problem angewendet .
Die Struktur der Teilchen wird durch eine Ladungsverteilung, an Stelle der
Punktladung gekennzeichnet. Hierfiir wird das ,,Va c h a s p a t i -Potential", eine
Mischung aus einem anziehenden C o u l o m b -Potential und einem abstoBenden
Y u k a w a -Potential3) verwendet. Fur ein ruhendes Elektron ist das Potential
a, = Gewichtsanteil des Y u k a w a -Potentials; a2 = Reziproke Reichweite des
Yukawa-Potentials.
F u r dieses Va c h a s p a t i -Potential errechnet sich eine Ladungsdichte zu
Q
= - (a, - 1)d3(r)
a:
+ u1
--- e c U s r .
4nr
~
2, W. H e i t l e r , The Quantum Theory of Radiation (Oxford University Press-London,
3. Auflage 1960).
3, V a c h a s p a t i , Phys. Rev. 93, 502 (1954).
K. Logar u. P. Urban: 3remsstrc~hlun.gbei hochenergetischer Elekt~on-Elektron-Streuung 10i-1
Das Elektron wird durch sein Feld ersetzt, welches nun mit der Geschwindigkeit v m c , mit dem zweiten ruhenden Elektron in Wechselwirkung tritt. Dazu
werden von dem mit der Geschwindigkeit v bewegten Feld, die Feldstarken in
Abhangigkeit von der Zeit berechnet, diese dann fouriertransformiert und dann
der Energicstrom
00
7-SZdf=
I'
p(v)fivdv
l
=TC
M
dv[@(v),$j(v)lz
0
---oo
(4)
errechnet, welcher dann in eine Anzahl von Photonen p ( v ) dv rnit einer Frequenz
zwischen v und v
dv, die im Abstand b durch die Einheitsflachc hindurchgehen, gequantelt wird. Da wir aber an EinzelstoBen nicht interessiert sind,
mussen wir uber die ganze zur Geschwindigkeit v senkrechte Flache integrieren.
Die Integration darf sich aber nicht von endlich bis null erstrecken, die Quantentheorie setzt hier Grenzen. Reide Teilchen stellen Wellenpakete dar, deren seitliche Ausdehnung nach der UnscharfereIat,ion in der GroBenordnung der Co m -
+
pon-Wellenlange
5
.
liegt. Wir schlieRen also bei der Integration den Selbst-
energieterm des Elektrons aus und integrieren von unendlich bis
blllin = k a
m c 3'
wobei a3eine Strukturkonstante des Wellenpaketes von der GroBenordnung 1ist.
Setzen wir k = 7i v und fuhren obige Integration durch, so erhalten wir fur
die Anzahl der virtuellen C o u l o m b -Photonen (d. h. reinen transversalen
Schwingungen entsprechende Phot,onen mit, der Frequenz v oder der Energie k):
(6)
Diese Gleichung setzt die Bedingung (1) voraus.
Die Ersctzung des Elektronenfeldes durch ein Strahlungsfeld enthalt vier
Ungenauigkeiten :
1. Das Feld bewegt sich nicht genau mit der Lichtgeschwindigkeit,
2 . Das bewegte Feld ist nicht streng transversal,
3. Die elektrische und magnetische Feldstarke sind im bewegten Feld nicht
genau gleich groB,
4. Das bewegte Feld variiert auch innerhalb des vom Elektron eingenommenen Raumgebietes noch senkrecht zur Bewegungsrichtung.
W e i z s a c k e r konntt in seiner Arbeit4) zeigen, daB die Ungenauigkeiten in der
GroRenordnung von
E
liegen und unsere Methode bis auf Fehler dieser GroRen-
ordnung die richtige Ausstrahlungswahrscheinlichkeit liefert. Wesentlich ist also
die Bedingung: die Energie des schnellen Teilchens mu13 gro13 gegenuber der
Masse des Teilchens sein.
Diese, das Elektron ersetzenclen Photonen stoRen auf das ruhende Teilchen,
in unserem Falle ebenfalls ein Elektron. Das ruhende Elektron hat konsequenterweise dieselbe Struktur, wie das bewegte Elektron. Die fur diesen C o m p t o n 4,
C. F. v. W e i z s a c k e r , Z. Physik 88, 61%(1934).
104
Awnalen der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
effekt zustiindige K l e i n - N i s h i n a - F o r m e lwird mit Hilfe eines Verfahrens von
S a l e cker5), unter Einbeziehung eines Formfaktors, welcher fur dieses Potential errechnet wurde, abgeandert. Fur die Berechnung des Formfaktors wurden
die Arbeiten von D r e l l und Z a c h a r i a s e n e ) herangezogen, dabei war eine
Transformation in ein zeitunabhangiges System erforderlich. Der Wirkungsquerschnitt fiir die Streuung am strukturbehafteten Elektron wurde berechnet.
Die Berechnung des Wirkungsquerschnittes fur die Bremsstrahlung ist gleich
dem Wirkungsquerschnitt fur die C o m p t on-Streuung, multipliziert mit der
Anzahl der virtuellen Photonen, integriert uber die Energie der einlaufenden
Photonen. Dabei wird die, fur groBe Energieverluste k m E erforderliche L o r e n t z -Transformation durchgefuhrt und die Rucktransformation gleich in die
Integration eingebaut.
Der so erhaltene Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung enthalt drei
Summanden : der erste Summand entspricht der Punktladung, der zweite Summand berucksichtigt die Struktur des ruhenden Elektrons und der dritte Summand entspricht dem St,rukturanteil des mit der Energie E einlaufenden Elektrons.
Die Compton-Streuung mit Formfaktor
I n der verallgemeinerten W e i z s a c k e r - Williams-Methode haben wir durch
die Annahme des V a c h a s p a t i -Potentials,dem Elektron eine Struktur gegeben.
Die K l e i n - N i s h i n a - F o r m e l ist aber nur fur Punktladungen gultig. Es murj
daher auch hier die Struktur des ruhenden Elektrons in die Rechnung einbezogen
werden. Dies geschieht durch Formfaktoren. Dazu steht uns eine Arbeit von
H. S a l e c k e r zur Verfugung6), in welcher das Matrixelement fur die C o m p t o n Streuung mit Formfaktoren bereehnet wurde. Der Formfaktor wird fur unsere
Ladungsverteilung explizit ausgerechnet und in das Matrixelement eingesetzt.
Die Berechnung des Wirkungsquerschnittes ist damit moglich.
Folgende Definitionen werden eingefuhrt :
e = 1, ii = 1
m im EnergiemaS ( m c2).
(71
Sind k und k' die Energien des einfallenden und des gestrcuten Photons, so
gilt fur das Laborsystem ( p = 0)
x=-- 2mL '
2 k'
t=--.
rn
Wir definieren einen Elekt,ronformfaktor G, als Funktion der Invarianten m2 x
und r n 2 z.Dieser mu13 fur raum- und zeitartiges Argument wegen der Unitaritat
der S-Matrix reell sein. Das Absolutquadret, des Matrixelementes wird d a m
]MI2=($-
+ (--4
22
-)E(2
(?A
m 2 x ) + 2 --
2!
- 5)
Gi(-mz
T
T
-1_
It
+) G, (-m2 x) G,(-m2
t)
t).
Mit der C o m p t o n -Beziehung
2--X
+ T
X T
= 1-cos8
H. S a l e c k e r , Z. Physik 160, 385 (1960).
D r e l l u. Z a c h a r i a s e n , Electromagnetic structure of nucleons (Oxford University
Press 1961).
6)
K . Logar u. P . Urban: Bremsstmhlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung
105
und den Definitionen
e2
171
__
- r@
dQ = sin 8 d 8 dg:
wird dann, w-enn fiber 6 ulid y integriert wird, der totale Wirkungsquerschnitt
Dabei geht
X-’
nL
roil
E
+
bis k .
Fur die Berechnung des Elektronformfaktors andern-wir den Vertex folgenderniafien a b :
Die einlaufende innerc Elektronenlinie p endet in x, das auslaufende Photon k’
und das Elektron entstehen in x‘.
Die Wechselwirkung hat die Form :
e ( x ) = - e jp(x)A p ( x ) = - e w ( 2 )Y r w ( 2 )A” (2).
Fur punktformige Teilchen ist
,Q ( 2 ) = -e
(a’ y r
ep
(10)
u)J d4x eik’z . ei(p’--p)z.
Dieser Ansatz indert sich unter den obigen Bedingungen einer Absorption
in x und einer Emission in z’ zu
2 =-e
( E‘ y), e, u ) J d4x J d4x’ eip’z’ eivz’ e-fpz
P (2’ - z).
Wir setzen:
p‘
+ le’ = P,
P (x’- x) = Formfaktor fur die Ladungswolke.
Daher wird
2 = - e ( 2y p e,‘ u ) J d4x J d4x’ ei(pz‘-z) 3’(z’- z).
Wir definieren :
p x’ - p 2 z p +2 p .(x’- *x) + PIE2
(2’ +).
2
+
und setzen x‘ - .t‘ = X beziehungsweise x’
x = Y , und damit wird
d4s d4x’ = 16 d4X d4Y.
Es ist
106
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
ist
Q3=-
e (U' y, e, u ) J d4X (8 n)4 e
%(
y
x
a4 ( P - p ) F ( X ) .
Die 6 Funktion blendet den Wert P = p heraus.
z=-e(-'u
y, e, u ) { d4X ( 8 ~e i p) x ~. F ( X ) .
F ( X )ist die Dichtefunktion der Ladungsverteilung. Diese hangt aber nur vom
Ort und nicht von der Zeit ab.
F ( 4= @(Is/).
Wir transformieren daher das ganze System in ein anderes, in welchem die
Zeitabhangigkeit herausfallt. D r e l l und Z a c h a r i a s e n haben in ihrer Arbeitc)
eine ahnliche Transformation fur innere Photonenlinien vorgenommen. Der
Viererimpuls fur die innere Elektronenlinie sei p,. Dann mu6 fur das zeitunabhangige System p p = m sein.
Transformation :
Bezugssystem IT
Bezugssystem I
P,, E , P , @ ( F )
p t = E2- P 2
p,
= m,
q
@(lf)? P = IP I
p' - m2 P-
E s ist mit y
= - 1 / 1P3 2 -
1
P
~2
+
-
m2
q2.
= ___
11-B"
=F
+ b {F
2'2 F) ( y - 1 ) - y
1)
und
t = y t - y (a, F )
beziehungsweise
E =m =y
{ E - (D, p ) ]
b = 2 .v und da D und p dieselbe Richtung haben ist daher
n
Damit wird
und
- ( E p - m v p 2 - E2
+ m2j . t', .
Die Transformation des Ortes ist damit durchgefiihrt. Die Ladung ist eine Invariante der Lorentztransformation. Nachdem wir in ein System transformieFen, in welc'hem keine zeitliche Abhangigkeit auftritt, ist die Stromkomponent'e
gleich null.
K . Logar
u.
P . Urban: Breinsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung10‘7
a2 als reziproke Reichweite transforniiert sich wie eine Masse
a2 = u 2 . y ,
wobei y
Die Ladungsdichte erhalt die Form :
e(s) =Vl-P(-(a,-
1)S 3 ( F )
.
=mE : 1st.
+ :;;,J
e-askll.
Wir lassen jetzt nach der Transformation die Striche wieder weg und setzen fur
F = r und fur a, = a2.
Wir haben nach (7) c = ti = 1gesetzt. a2 ist aber in der weiteren Rechnung
im EnergiemaR zu nehmen und wir setzen
= arm-1
a2
*
y
. c . ti.
(11)
Diese Definition beruhrt auch die Formel (6). Wir schreiben fur
V&2ti2y2+k2
=Va;
+%.
Da keine Zeitabhangigkeit mehr auftritt, konnen wir schreiben :
2 = e (ti‘ y p e,, u)J d 3r
( 8 ,c)3 e+(q,r)
-I-
Y
[- (a1- 1)
83(r)
+ :&
e-oxr]
7cr
und da
ist, wird
.I d3r f(r) S3(d = f(0)
d3r = r2 dr sin 6 d 6 dp
wird das Integral
Die Integrationen iiber p, 8 u r i d r werclen durchgefiihrt und wir erhalten:
Damit ist
wobei
Der Elektronformfaktor errechnet sich dann zu
oder in unserer Bezeichnungsweisc
108
Awnalen der Phyaik. 7. Folge. Band 11. 1963
Mit diesen Ausdriicken wird das Absolutquadrat des Matrixelementes :
und wir erhalten den Wirkungsquerschnit t zu
+
-2ma1[
+
2(m2 k k'
m k) - m a i ( k - k') - 4 m2 k k'
k(a;+ 2 m k )
kk'(a:+ 2mk)(a;-2mmt)
+
1
2(m2
k k' - m k')
k'(a5 - 2 m k')
x (2m+k-k')-
(14)
+ 4 na2 a; [
+
- k k ' - m k'
(a:- 2 m k ' ) z
m2
Das ist der Wirkungsquerschnitt fur die Compton-Streuung, wobei fur das
ruhende Elektron eine Struktur einkalkuliert wurde. Die Strukturanteile haben
den Gewichtsanteil des Y u k a w a -Potentials a, beziehungsweise a%als Faktor,
wahrend die von a, freien Glieder die K l e i n - N i s h i n a - F o r m e l wiedergeben.
Der Wert von a2 ist sehr grol3, so daB wir in der weiteren Rechnung alle
Glieder, in denen a2 im Nenner in dcr vierten Potenz vorkommt, vernachlassigen
konnen .
Die Berechnung des Wirkungsquerschnittes fur die Bremsstrahlung
Der Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung bei der Elektron-ElektronStreuung wird errechnet, indem der Wirkungsquerschnitt fur die C o m p t o n streuung (14) mit der Anzahl der virtuellen Photonen (6) multipliziert wird und
das Produkt iiber die Energie der einlaufenden Photonen integriert wird.
@ dk' = dk' J q ( k )@ ( k ,k') d k .
h?
m
Die Grenzen sind fur k' < B
von
und fur k'
m k'
m-2kk'
bis k'
>2
ist die obere Grenze E. Alle Frequenzen bzw. Energien der Pho2
tonen, welche groRer als die kinetische Energie des Teilchens sind, haben keine
Wirkung, da die notige Energie fehlt, urn ein ganzes Quantum zu liefern.
Die Giiltigkeit der W e i z s a c k e r - Williams-Methode ist, an die Bedingungen (1)geknupft, das heifit k
<E und E = y + 1. Die Feldstarken wurden in
dieser Methode so bestimmt, daR das bewegte Feld von der z-Richtung nicht abweicht. Das bedingt, daR der RiickstoR des Elektrons klein sein muR.
K . Logar u. P. Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung 109
Durch dieAnwendungder Wcizsiicker-Williams-Methodewird das Elektron 1 durch sein Feld ersetzt.
bqoy
@
2
I
Rechnen wir den Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung fur den
Pall b ) , so ist er groBenordnungsma8ig um
m
k
zu klein. Der Grund dafur ist,
daR die wesentlichsten Anteile die groRen Energieverluste k w,E es sind, welche
den Wirkungsquerschnitt beeinflussen. Um diesem uberstand abzuhelfen, fuhren wir eine L o r e n t z -Transformation durch. Wir ersetzen das ruhende Elektron
durch sein Feld.
in Ruhe
Die Energie des cinlaufenden Elektrons ist sehr groB gegenuber der Energie
des ruhenden Feldes. Das Elektron wird am ruhenden Feld gestreut, wir haben
eine Potentialstreuung. Nachdem wir aber die C o m p t o n -Streuung in Anwendung bringen wollen, fuhren wir jetzt die L o r e n t z -Transformation durch. Wir
setzen uns auf das einlaufende Elektron und lassen d ns Feld auf niis zukommen.
Die Energie der Photonen k*, die clas Feld des ruhenden Elektrons ersetzen,
ist a priori klein gegenuber der Energie E. Damit ist die Bedingung (1)erfullt.
Wir betrachten jetzt alle Vorgange im neuen L o r e n t z -System, in welchem das
feste einlaufende Teilchen zur Ruhe transformiert worderi ist. Alle GroBen in
diesem System wrrden riiit einem * Stern versehen. Der Wirkungsquerschnitt
fur die Emission eines Photons k'* durch eiri Photon /;* ist durch (15) gegeben,
E . Wir
wenn an Stelle von k' und k , k'* bzw. k* gesetzt wird und gilt fiir k*
<
110
Anmlen der Physik. 7. Folge. Band 11. 1963
transformieren gleich an dieser Stelle wieder zuruck in das Originalsystem und
erhalten :
<
<
und weil k*
E ist, mu13 daher k rn sein. Da k klein im Vergleich zu E ist,
kann (16) noch vereinfacht werden zu
k -2Ek
k*
Id* = ( E - k').
E
vn '
(17)'
Der Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung ist also
@dkJ* = dk'*
1 q(k*) @(k*, k'*) dk*.
b'i
Setzen wir (17) ein und berucksichtigen, daB
mit den Integrationsgrenzen
da k'*
<
-;
m k'*
.~
-~- bis
m-22*
%yon
m2 k'
4 E (E
- k')
k'*,
bis k'
so erhalten wir fur den Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung
m4 f 4 k 2 E ( E - k') + 2 m 2 E k
2a1[
Ek(4+4Ek)
m2
a
:
k'
(rn2
k
k')
E(E-?d)(a$+ 4 E k ) [ai-4k(E-kk'n
. {?(In -3- 0,385)
- rns + 4 E k2(E - k') - 2 m2-~k ( B - k')
k ( E - k') [a;- 4 k ( E - k')]
137 k n
2a,k
-
rn2 k
'
k E ( E - k')
+
-I}
2
Wir definieren :
E'
=E
-
k'.
(20)
Die beiden geschweiften Klammerausdriicke werden ausmultipliziert und das
Integral laBt sich dann als Summe von Einzelintegralen darstellen :
n r2r n 2
k'
@kjdk'=-----'
dk'zJ j
2,137 E2
m4'
--
4EE'
.
(21)
K . Logap u. P . Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung 111
Die Integration ist im Anhang durchgefuhrt. Wir erhalten fur den Wirkungsquerschnitt :
Der so erhaltene Wirkungsquerschnitt ergibt fur a, = 0, den Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung an Punktladungen. Die beiden a, enthaltenen
Terme geben den EinfluB der Struktur der Teilchen wieder.
Numerische Berechnung des Wirkungsquerschnittes
Bei der numerischen Berechnung des Wirkungsquerschnittes fur die Bremsstrahlung beziehen wir uns auf die Arbeiten von H. Z i n g l ') und die Arbeit
P. U r b a n und H. Z i n g l *).
Zur besseren Obersicht) wird der Wirkungsquerschnitt in die drei Summanden zerlegt :
@rdk' = @ p dk' - @csg dk' - @ m w s dk',
(23)
wobei
@p
dk' der Wirkungsquerschnitt fur punktformige Elektronen
ist. Die aus der C o m p t on-Streuung infolge Struktur sich ergebende Korrektur
ist,
Die dnderung des Wirkungsquerschnittes infolge Struktur bei der W eiz s ii c k e r - W i l l i a m s -Xlethode ist
Fur die numerische Berechnung wurden die Konstanten in Anlehnung an
') wie folgt angenommen:
al = 1
a2 = 1014
=I
R
Ruhemasse rn des Elektrons = 0,511 MeV.
Ferner die Energie des einlaufenden Elektrons E = 1000 MeV Laborsystem.
k'(MeV)
@P
@C8X
@CSII@P
@k,
(%I
I
200
400
1,05089. lo-**
2,10955.
1,01847 . 1 O p Z 9
6,20727 .
1,54
3,95640. lWL9
2300
1,02979
9
I
600
2,21939 10-29
2,85647 .
1,29
2,19083. 10-29
I
I
800
1,30451 . 10-29
3,96032 .
3,04
1,26491 . 10-29
112
Alznalen der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
Der Beitrag von @ w w dk'
~ kann gleich null gesetzt werden, da die e-Potenz
e
%
-_En'
=e
- 10".
It1
eh
= e-3852,74 = 0
ist. Der Exponent ist unabhangig von E und nur abhangig von
1
)tk
.
Zusammenfassung
Der Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung bei der Elektron-ElektronStreuung unter Beriicksichtigung einer angenommenen Struktur der Elektronen
wurde berechnet. Wie aus (23) ersichtlich ist, zerfallt der Gesamtwirkungsquerschnitt in drei Summanden :
Der erste Summand @ p dlc' stellt den Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung von punktformigen Elektronen dar. E r wurde in dieser Form von
H e i t 1e r nach der W eiz s a c k e r - W i l l i a m s -Methode berechnet 2). Das Ergebnis
ist praktisch gleich dem Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung, bei welcher ein Elektron im auBeren Feld eines Nukleons (multipliziert mit 2 2 ) abgebremst wird und in dieser Form von B e t h e - H e i t l e r auf eine andere Weise berechnet wurde. Der in @ p dlc' zusatzlich gegeniiber der Be t h e - H e i t l e r -Formel
1
9
auftretende Summand - - ist vernachlassigbar. Die gute Obereinstimmung der
beiden Ergebnisse war der Grund, die Berechnung des Wirkungsquerschnittes
nach der W e i z s l i c k e r -Williams-Methode auch fur andere Prozesse wie Paarerzeugung usw anzuwenden.
Der zweite Summand @ C S ~dk' stellt den EinfluB der Struktur des ruhenden
Elektrons dar. Die virtuellen Photonen werden am ruhenden, mit einer Struktur
behafteten Elektron gestreut. Die Berechnung dieser C o m p t on-Streuung erfolgt nach K l e i n - N i s h i n a mit einer von S a l e c k e r s ) gemachten Abanderung
durch Einfuhrung eines Formfaktors. Wie (22) zeigt, vermindert die Struktur
des Elektrons den Gesamtwirkungsquerschnitt.Die Berechnung fur E = 1000MeV
ergibt bei der Elektron-Elektron-Streuungeine Abnahme des Qesamtwirkungsquerschnittes fur die Bremsstrahlung von ungefahr zwei Prozent.
Der dritte Summand @mwKdk' gibt den EinfluB der Struktur des bewegten
Elektrons, welches nach der W e i z s a c k e r - Williams-Methode durch die virtuellen Photonen ersetzt wird, wieder. Auch er vermindert den Gesamtwirkungsquerschnitt. Die Abanderung der Anzahl der virtuellen Photonen q ( k ) dk fur
das strukturbehaftete Elektron gegenuber dem punktformigen Elektron ist,
wie in einer friiheren Arbeit
bzw. Formel (6) gezeigt werden konnte, von der
--a"j~e~zy~+k?
GroRenordnung e
. Das kommt auch im @wwK dk' zum Ausdruck,
wobei die Abanderung von derselben GroBenordnung ist. Wie gezeigt werden
konnte, ist der Exponent dieser e-Potenz nur von a2 (cm-1) und
1
-
m
abhangig.
I n unserem Falle der Bremsstrahlung bei der Elektron-Elektron-Streuungkonnen wir den Anteil @ttTpvK dk' gleich null setzen.
Allgemein kann fur die Bremsstrahlung gesagt werden, daB unter der Annahme der aus 7, entnommenen Konstanten a, = 1,a2 = 1014 cni-1 und a3 = 1,
die Struktur der Elektronen wohl den Gesamtwirkungsquerschnitt vermindert ,
die GroBe der Verminderung aber unwesentlich ist. Fur die Struktureffckte
scheint im wesentlichen die GroSe von a3 bestimmend zu sein.
K . Logar u. P . Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung 113
Wir wollen abschliel3end noch diese Methode der Berechnung des Wirkungsquerschnittes unter Einbeziehung der Struktur der Teilchen, auf die ElektronProton Bremsstrahlung anwenden. Wie H e i t l e r 2 ) ausfuhrt, gelten die Berechnungen nach der Weizsacker-Williams-Methode,wenn eines der beiden
Teilchen ein schweres Teilchen ist ( M >> m ) ,a fortiori. Dies ist natiirlich nur dann
der Fall, wenn die starke Wechselwirkung vernachlassigt wird. Fur die ElektronElektron-Bremsstrahlung und fur die Elektron-Proton-Bremsstrahlungkommt
derselbe Wirkungsquerschnitt heraus.
@ I , dk’ bleibt gleich. Die Protonenmasse wiirde nur im Ausdruck fur die Ausdehnung der beiden Wellenpakete b,,,, (5)eingehen. Da aber fur die weitere Rechnung die groBere Ausdehnung der beiden Wellenpakete genommen werden muB,
bleibt fur bmin die Elektronenmasse m stehen. Die in den andereri Teilen @p dk’
auftretende Masse m ist immer die Elektronenmasse, herriihrend vom C 0 m p t 0 n Effekt, weil infolge der Transformation, das Proton durch virtuelle Photonen
ersetzt wird und diese auf das ruhende Elektron mit der Masse m stoBen.
QCsg dk’ andert sich ebenfalls nicht, da auch hier alle GroBen von der Elektronenmasse m bestimmt sind.
Nur der Wert von @ ~ W Kdk’ iindert sich. Hier wird u2von der Protonenmasse
bestimmt mit u2 = u2p = a::-‘.
E
Unter der Annahme von
M’
c . fi . --
a2p
=
1014em-l nimmt der Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung fur ein
strukturbehaftetes Proton bei einer Energie von E = 1000 MeV fur das Elektron im Laborsystem um etwa 10 Prozent ah, d. h. hier ist der EinfluB der Strukt u r des Protons sehr wohl zu bemerken.
Bis jetzt haben wir mit a, = 1 gerechnet. Wir haben es aber in der Hand,
mit E l f e dieser Konstanten die Resultate an die experimentellen Ergebnisse
anzupassen. Hier miiBte eine grol3ere Anzahl von experimentellen Daten vorliegen, um genauere Aussagen iiber die GrojBe von a, machen zu konnen.
Die vorliegende Rechnung gilt nur fur groBe Energien und ist eine Naherung.
Von einer starken Weehselwirkung wurdc abgesehen und die Ungenauigkeiten,
welche die W e i z s a c k e r - Williams-Methode in sich tragt wurden in Kauf genommen. Doch scheint uns wesentlich zu sein, gezeigt zu haben, welchen qualitativen EinfluB eine vorgegebene Struktur der Teilchen auf den Wirkungsquerschnitt fur die Bremsstrahlung hat.
Anhang
Die Summe der Integrale aus Formel (21) ist zu berechnen
ll!,
m4k’2
dk
--------I
*
2
1
cz
;
In ( 2
kj 2 a,
1124
E k(a2,
--
Jl5
Ann. Yhysik. 7. F’olge, Bd. 11
1
k2
”-)
rnz k’
ln(.2 a , k k E E ‘ d k
~
d
+ 4 k 2 E E‘ + 2 m2- E’k- d k
Tc
8
2
514
*’I3
+J
-
+ ./-- n
+4 EX)
-
-A
114
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
+J2 L I n
, TC k2
___
2a
-.
+
m2 a; k' (m2 k k')
dk
lEE'k(u:+4Ek)(af-4EE'k)
(2zk)
~
Jla
1124
f
J;,
-
4 E E ' k 2 - 2 m 2E ' k
dk
E k (a: - 4 E' k )
--
1 Erdk
+J-+2 . 0 385 k2 E
k2 E' dk
-
c
-
J21
J22
2.0,385 1 m4 k ' 2 dk +J'2
n
k2 4 k 2 E 2 El2
.0,385 1 _____
m2 k'
dk
n
k2 k E E'
-- -
J2,
m4
'2.0,385 1
+J 7
J25
+j-
2 ' 0,385 __
1
n
k2
J2P
+ 4 k2 E E' + 2 m2 E k d k
E k (a: + 4 E k )
+
m2 a: k' (m2
k k')
dk
a l E m k + 4 E k ) (a: - 4 E' k ) ,
J26
2'0,385 1
m4f4k2EE-2m~Ek
dk
J ' - T g 2 % Ek(a,2-4EE'k)
+
J2,
-2fS4kly" 1m2
1 E +-+
E'
___
m4 kt2
k2 [p E
4 k2 E 2 El2
2nE-
a3
v4
--
k'
J30
a: e
+J4
-g\ia:GT
2nE
~~~~~~
m 2 a i k ' ( m_2+
kk')
_ __
E E' k (u; 4 E k ) (a: - 4 E'-k)
+
1
m4+4k2EE+2m2Ek
@[
Ek(ai+4Ek)
k2-2
- __--E' k (a: - 4 E' k )
m4
+4E E
Y
J,,
mit den Grenzen
mzk'
4EE
und k'.
Die einzelnen Integrale ergeben:
k,
k'
Da 4 E E' << k' ist, kann der Anteil a n der oberen Grenze weggelassen werden.
Damit erhalten wir
m 2
J
2 E 4EE"
E # m2 k ,
~
11
-
TC
-In
(4mEE',j]
2a3m2k/
~-
'
K . Logur u. P. Urban: Brewisstruhlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung115
Das Integral
4E'E'
ist, unter Weglassung der oberen Grenze :
=-
J12
2 E' 4 E E'
E
4 m E E'
Das Integral
k'
J 13 -- 6
m
1
1
m4 k'2
[3- In (2n3 k)]
EGE12
1
mB'
4EE
ist, wenri die obere Grenze wieder weggelassen wird :
m4k'2 64 E 3 E ' 3 _ _ In (4
m E E'
_______~
[
= - 6 % E2 E'2
J13
k'3
m6
Das Integral
4EE'
ist, wieder ohne obere Grenze:
4 nz E E'
Die zweite Gruppe Bhnlich zu losender Integrale, welche den Gewichtsfaktor a,
des Y u k a w a -Potentials nieht enthalten, sind :
k'
J
I
. 03 82
5 E-1
-9
z
21-
E'k
.
m2k'
~~
4EE'
Auch hier kann die obere Grenze vernachlassigt werden:
2 . 0,385 E' 4 E E'
=-7
%.k'
*
J,,
Das Integral
k'
2 .0,386 E 1
J
2
2
=
7
E
I
z
,1
mW
__
4EE'
ist unter Weglassung der oberen Grenze :
2 .0,385 E' 4 E E'
J 22 -- - --7
-E 9nT-k7 .
Das Integral
k'
J23
0,385 * m4. k"
= 6537E'Z
1
,1
mzk'
4EE
i s t , wenn die obere Grenze wieder weggelassen wird,
0,385 . m4 k'2 64 E3 El3
JZ3= - GGETE*2- m 6 F 3 '
8*
116
Annaleiz der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
Das Integral
L'
0,385. m2 k' 1
nEE'
k2
J
24-
I
1
m2k'
4EE'
ist, wieder ohne obere Grenze :
J
24
-
0,385 . m_2_k' 16 E2 __
E'Z
7c E E
m4k'2
'
Das Ergebnis dieser 8 Integrationen wollen wir zusammenfassen ; sind es doch
jene Integrale, welche vom C o u l o m b -Potential herruhren. Das Ergebnis entspricht also dem Anteil, der nur die Punktladung der Elektronen berucksichtigt.
Das Resultat stimmt mit der Rechnung von H e i t l e r 2 ) uberein.
c
Jll
+ + + + + + + J,,
Jl,
J13
J14
J21
J22
J23
Alle weiteren Integrale enthalten den Gewichtsfaktor fur das Y a k u wa -Potential %. Ihr Beitrag entspricht dem Struktureinfluo. Fur die Berechnung dieser
Integrale wurden 9, und lo) herangezogen.
[4
m4
E
+ E' a; - 2 m2 E a;]
[
In ( k ) In
(m(a:
+ 3 E k)
~
l n ( a ~ + 4 E k ) + 2 2 ( - -4 ~E -k) ]
m2
+z i p
[- 8 m 2 E k
+ m2 a3 +
2 a3 k
4 E k a ; ] [In( - m
) + 11
k'
--I
1124
4afk2J
mak'
__
4EE
Setzen wir die Grenzen ein und beriicksichtigen wir, da8 2, ( 2 )= Dilogarithmus,
welcher fur Iz I _i 1 nach lo)die Reihenentwicklung ermogliclit
bzw. in unserem Falle:
so erhalten wir, wenn wir alle Ausdrucke, in denen a2mit einer groljeren Potenz als
der zweiten im Nenner vorkommt, weglassen, bzw. da a2 $ E , k , k' ist, auch
den zweiten Summanden vernachlassigen :
9)
lo)
1950).
J a h n k e u. Emde, Funktionentafeln, 2. u. 6. Auflage (1960).
W. G r o b n e r u. N. Hofreiter, Integraltafeln 1. u. 2. Teil (Springer Verlag, Wien
K . Logar u. P . Urban: Bremsstrahlung bei lioch~nergetischerElektron-Elektron-Streuung117
Ferner w c d e n in diesem Ergebnis, da E'
4 m2 k'
m2
4-E'-aj vernachlassigt. LaSt man noch
'
> nt,
In ( 2
m4
(tic Ausdriicke 4 a f k , 2 und
%") weg,
so erhalten wir
schliefilich :
Ein ciem Integral JI5sehr ahnliches lntegral ist
k'
4EE
Mit denselben ~aherixngsffesiclitspiink
ten und Vernachlassigungen wie im
Integral J15erhalten wir schliel3lich
118
Annulen der Physik. 7. Folge. Band 11. 1963
Alle Ausdriicke, bei denen im Nenner a2 mit groBerer, als der zweiten Potenz
vorkommt, konnen weggelassen werden. Der noch verbleibende Rest des Integrals w i d mit einem Vorfaktor, welcher proportional
ist, multipliziert. Weil
m, kann auch dieser verbleibende Rest gegenuber den anderen Inteaber E
gralen vernachlassigt werden. J16 konnen wir also gleich null setzen.
Das Integral J25wird
k
J
7
k
E
+ 4 E' In (z-+4Ek)
+ 2 m2 [- -k1 + 4In
a,
(at+;Ek)]]
mzk'
~
4EE'
LaBt man auch hier wieder alle Ausdrucke weg, die im Nenner eine hohere Potenz von a2 als die Quadratische aufweisen, so verbleibt mit a2a $ E , k und
mit E 9 m
16 .0,385 a, E'
J 25 -
a I-
Das Integral
4E E
(In(+)
2
+ k'2,.
Ez\
k'
I
m'k'
-~
4EE'
ergibt mit denselben Niiherungsgesichtspunbten wie bei J2,
J2, = Bei dem Integral
~
?c
konnen wir wie beim Integral J16 verfahren. Auf Grund des Vorfaktors konnen
wir das Integral J , gleich null setzen.
Fassen wir die letzten 6 Integrale, welche dem Strukturanteil aus der Comp t o n -Streuung entsprechen, zusammen :
K . Logar u. P . Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung119
Die niichste Integralgruppe kommt aus dem Strukturterm der Weiz s a c k e r Williams-Methode. Wir haben das Integral
+
Die Berechnung dieses Integrals stoat wegen der Wurzel
4 k2 y2 auf grol3e
Schwierigkeiten. Da aber a; 9 4 k2 y2, konnen wir die Wurzel in eine Reihe
entwickeln :
Genauso entwickeln wir die Wurzel:
erhalt unser Integral die Form:
-m2
k'
mit den Grenzen 4 E E und k'.
Das Integral
J1 = J e-nkz d k
wird mit a k2 = z2, k = 2- und dk =
Ila
1
J
l-
Das Integral
1
~
I/.
dz
( e - z z dz = Fehlerintegral.
I n .
120
Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 11. 1963
ist bekannt a,ls
J,
= 2
Ei (-z2)
= Exponentialintegral, siehe lo).
Das Integral
J3
wird partiell integriert :
=
J --[-+--/e-z'dz
e-akl
2a
3 -
k
1
.
I/%
Das Integral
wird ebenfalls partiell integriert :
ergibt bei partieller Integration unter ,Verwendung von J3
A11e Integrale haben wieder die Integrationsgrenzen
m2 k'
und k'. Nach 9, kann
man das Exponentialintegral entwickeln :
00
Ei
C f 1n
(-2) =
f
n=l
Xn
~.
n n!
F u r groBe x-Werte ist Ei (-x) = 0 beziehungsweise
= Ei (- 01 k2) = obere Grenze = Ei (Ei (-2,)
01
k f 2 )= 0.
Es verbleibt fur die weitere Rechnung nur mehr der Wert an der unteren Grenze :
Ei (-a
[
k'
m2
-
4EE
,3",
=
c + In (8-
---) + [-
a3 k'2
u2 E El2
m2
nb2u3 k'2
8 u2 E E'*
+ --
-.
u2
-5- ma k'4
256 EZE'4
a$
.
*I.
?\TachWeglassen der hoheren Terme ist
C
= 0,577215665 = Euler-Mascheronische Konstante.
<
m2 k'
I m Fehlerintegral -/ e r Z 2dz konnen wir die untere Grenze ~ ~ _ 1_n8he4 E E'
rungsweise gleich null setzen. Die obere Grenze ist k'. An der Stelle k' ist der
Wert der Funktion aber hereits so klein, daB wir fur die obere Grenze 00 setzen
konnen. Unser Integral hat also naherungsweise die Form:
K . Logar
Nach
u.
11)
P . Urban: Bremsstrahlung bei hochenergetischer Elektron-Elektron-Streuung121
ist
Damit wird der Anteil des Strukturtermes aus der W e i z s a c k e r - W i l l i a m s Methode :
Folgende Vereinfachungen konnen getroffen werden :
,pk’*
-
k’
- 2nlBL’’
man2
~
k,
-ak’?
p-~k‘z
= 0, ebenso
= 0 und
Ferner gilt
m’ka
-&-
Weiter wird
?~a~a,k’~
-~
~
16EaE’a
~
8EE’%z, =
1
m2 a k r 2
ET3,T
gegenuber den anderen Sumnianden vernachlassigt.
a2
Wegen a2 9 E konnen wir das Ergebnis noch writer vereirifachen und erhalten
fur J30
11) E. Madelung, Die mathematischen Hilfsmittel des Physikers (Springer Verlag,
6. Auflage 1957).
122
Anmalen der Physik. 7 . Polge. Band 11. 1963
JS1 konnen wir als Produkt des Korrekturtermes aus der Corn p t on-Streuung
niit dem Strukturterm aus der W e i z s a c k e r - Williams-Methode in erster
Niiherung gleich null setzen.
Bilden wir nun die Xumme uber alle Integrale, so erhalten wir :
Urn den Wirkungsquerschnitt zu erhalten, mu13 die 2 J noch mit dem Vorfaktor
7c r%m2
drE‘ multipliziert werden. Da der Wirkungsquerschnitt immer eine
2 . 137 E2
positiv-reelle GroBe darstellt, konnen wir das Minuszeichen beim Vorfaktor,
welches durch die Lor e n t z -Transformation hereingekommen ist, weglassen.
Aus den drei Summanden heben wir noch
(‘r E’)
8 E E‘
heraus. Weiter ersetzen wir
nm2k
In ,-;
= - In (E;)
und erhalten so die Endformel fur den Wirkungsa3 m k
:
querschnitt fur die Bremsstrahlung bei der Elektron-Elektron-Streuung
G r az, Institut fur Theoretische Physik an der Universitat,.
Re1 der Redaktion ringegallgen am 20. Dezember 1962.
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